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Inducción electromagnética. Ecuaciones de Maxwell

Física II

Grado en Ingeniería de Organización Industrial

Primer Curso

Joaquín Bernal Méndez/Ana Marco Ramírez Curso 2011-2012

Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Índice

IntroducciónFlujo magnéticoFem inducida: Ley de Faraday

Campo eléctrico creado por un campo magnético variable

Ley de LenzFem de movimientoFuerza sobre corrientes inducidasGeneradores y transformadores Inductancia: autoinducción e inductancia mutuaEnergía magnéticaEcuaciones de Maxwell

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Introducción (I)

Las partículas cargadas crean campos eléctricos y también sufren fuerzas debidas a campos eléctricos externos

Las corrientes eléctricas crean campos magnéticos y también sufren fuerzas debidas a campos magnéticos externos

Esto implica una “conexión” entre electricidad y magnetismo

Si las corrientes crean campos magnéticos ¿Crearán los campos magnéticos corrientes?

Esto fue investigado por Faraday y Henry en 1830

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Introducción (II)En 1830 Faraday y Henry descubrieron por separado que un campo magnético variable en el tiempopuede inducir una corriente en una espira:

Aparece una fuerza sobre las cargas eléctricas (campo eléctrico) que las impulsa a “circular”

Se tratará de un campo eléctrico no conservativo (no electrostático)

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Flujo magnéticoFlujo de un campo magnético a través de una superficie:

Unidades: T.m2 = Wb (weber)

Es proporcional al número de líneas de campo magnético que atraviesan la superficie

Para una bobina de N vueltas y un campo uniforme:

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ˆ m nS S SB n dA B dA B dA

ˆ cosm NB nA NBA A

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Fem inducida: Ley de Faraday

Cuando cambia la corriente en1 aparece una corrienteinducida en 2, como si existiera una fuente de fem

Se dice que hay una fuerza electromotriz (fem) inducida

La corriente inducida aumenta con:El área y número de vueltas del devanado 2

La velocidad de cambio del flujo magnético

Expresión matemática:

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md

dt

LEY DE FARADAY

1 2

Situaciones donde apareceuna fem inducida (I)

Campo magnético variable en el tiempo:La corriente que genera el campo magnético es variable

La espira que crea el campo magnético se mueve

El campo magnético vienecreado por un imán quese mueve

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Situaciones donde apareceuna fem inducida (II)

Campo magnético externo constante con el tiempo:Cambios de orientación y/ó forma en la espira en la que se induce la corriente

Desplazamiento de una espira en un campo magnético no uniforme

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Campo eléctrico creado porun flujo magnético variable

Cuando se induce una fem (trabajo por unidadde carga) debe existir una fuerza sobre lascargas que las haga “circular”

Las fuerzas magnéticas no realizan trabajo

Aparece una campo eléctrico cuya integralen un camino cerrado es igual a la fem:

Recordemos que la integral en un caminocerrado del campo electrostático es nula

Este campo inducido por la variación delcampo magnético es de otra naturaleza:campo no conservativo

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ncm

S

d dE dl B dA

dt dt

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Sentido de la corrienteinducida: Ley de Lenz

Permite determinar el sentido de la corriente inducida sin necesidad de hacer cálculos:

Sea un campo magnético externo cuyo flujo es variable en una superficie

En presencia de un medio conductor (espira, bobina, superficie metálica, etc) aparecerá una corriente inducida que, a su vez, genera un campo magnético

Tenemos entonces dos campos magnéticos: el externo y el asociado a la corriente inducida

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El sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético asociado a ella se opone a la variación del

flujo magnético del campo magnético externo

Ley de Lenz: ejemplos

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I

2I

I

Ejemplo de cálculo decorriente inducida

Espira de resistencia R que sale con velocidad v de una región con campo magnético uniforme

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extm SB dA B Lx

md

dt

ext

dxB L

dt

I

IR extB LvI

R

dA

hacia dentro del papel

;dx

vdt

El signo de la corriente se interpreta respecto al sentido positivo que se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha al escogidodA

extB Lv

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Fem de movimientoEs la fem que aparece cuando un conductor se desplaza en el interior de un campo magnético

La fem de movimiento puede explicarse y calcularse a partir de las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre las cargas en movimiento del conductor

Puede ser explicada sin necesidad de la Ley de Faraday

Para estos casos la Ley de Faraday simplemente proporciona una visión alternativa (en términos de cambio de flujo)

Sin embargo, en situaciones donde el campo magnético varía en el tiempo las corrientes inducidas solamente pueden explicarse y calcularse con la Ley de Faraday.

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Fem de movimiento: EjemploVarilla conductora que se desplaza sobre raíles conductores en un campo magnético externo

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m SB dA BS Blx

md

dt

dxBl Blv

dt

Solución usando la Ley de Faraday:

BlvI

R R

I

Fem de movimiento: EjemploVarilla conductora que se desplaza sobre raíles conductores en un campo magnético externo

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Solución usando la fuerza magnética:• La fuerza magnética provoca una separación de cargas en la varilla (como en una batería).

• La fem es el trabajo por unidad de carga:

• Si la varilla tuviera una resistencia r:

F F qvBdl l l Blv

q q q

V Ir

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Fuerza sobre corrientes inducidas (I)

La corriente inducida se encuentra inmersa en el propio campo magnético que la induce

Por lo tanto sobre la corriente inducida debe aparecer una fuerza debida al campo magnético:

Ejemplo: cuando acercamos un imán a una espira aparece una fuerza repulsiva entre imán y espira

¿Cómo es la fuerza si el imán se está alejando?21/46

F I dl B

Fuerza sobre corrientes inducidas (II)

¿Cuál es la fuerza sobre la varilla en el ejemplo anterior?

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F Il B

IF

BlvI

R

2 2B l vF IlB

R

• Esta fuerza se opone a que aumente el flujo magnético en el circuito • Para mantener la varilla con v constante debe aplicarse una fuerza igual y de sentido contrario: Fext

• La potencia suministrada por el agente externo en ese caso es:

extF

2 2 2

ext

B l vP F v

R 2I R

Coincide con la potencia que se disipa en la resistencia por

efecto Joule

Coincide con la potencia que se disipa en la resistencia por

efecto Joule

Resultado lógico desde el punto de

vista de conservación de la energía

Resultado lógico desde el punto de

vista de conservación de la energía

Fuerza sobre corrientes inducidas (III)

Lámina conductora no ferromagnéticaque oscila entre los polos de unelectroimán

Aparecen corrientes inducidas en lalámina: corrientes de Foucault

La fuerza magnética sobre estascorrientes frena las oscilaciones

Principio físico de los frenos magnéticos

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Corrientes de Foucault: aplicaciones

Detectores de metales:

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Aplicaciones de laLey de Faraday

Existen muchos dispositivos muy comunes cuyo funcionamiento se basa en la Ley de Faraday:

Generadores

Transformadores

Motores de inducción

Micrófonos

Escritura/lectura magnéticaBanda magnética en tarjetas de crédito

Sismógrafos

Interruptores diferenciales (GFCI)

etc…

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Generadores (I)

Transforman energía mecánica (habitualmente energía de rotación de una turbina) en energía eléctrica, que puede ser transportada

Se utilizan en todo tipo de centrales generadoras: hidroeléctricas, térmicas, nucleares…

Esquema simple:una espira giratoria en uncampo magnético uniforme

En virtud de la Ley de Faradayse induce una corrientealterna en la espira

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Generadores (II)

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Flujo magnético a través de la bobina:

Si la bobina gira con velocidadangular constante:

Según la Ley de Faraday:

Los generadores reales tienenuna construcción más compleja

t cosm NBA t

senmdNBA t

dt

Se produce una fem

sinusoidalSe produce una fem

sinusoidal

cosm NBA

Transformadores (I)

Se usan para elevar o disminuir el voltaje (en alterna)

La corriente variableen la bobina 1(primario) induceuna corriente en labobina 2 (secundario)

El núcleo de hierromagnifica el campo magnético de 1 y lo guía a 2

Prácticamente todo el campo que crea 1 atraviesa 2:

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1 1 v 2 2 v ; N N v;( : Flujo por vuelta)

Transformadores (II)

Despreciando la resistencia de la bobina y de la fuente:

En el secundario (en abierto) tenemos:

Dividiendo ambas ecuaciones:

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v11 1

ddV N

dt dt

v22 2

ddV N

dt dt

22 1

1

NV V

N

1 1 v

2 2 v

N

N

+

-2V

Transformadores (III)

La relación entre voltajes solo depende de N2/N1

Si N2>N1: transformador elevador o de alta

Si N2<N1: transformador reductor o de baja

Si se conecta una carga: relación entre intensidades (transformador ideal)

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22 1

1

NV V

N+

-2V

1 1 1 2 2 2P I V P I V 12 1

2

NI I

N

Transformadores (IV)Funcionan solamente en AC (corriente alterna)

Fundamentales para transmitir energía eléctrica:Importante transmitir en alta tensión para reducir pérdidas en los cables conductores por efecto Joule: P=I2R

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La posibilidad de usar transformadores para elevar o disminuir el voltaje constituye la gran ventaja de AC frente a DC (corriente continua)

Transformadores (V)En el interior del núcleo ferromagnético, que es conductor, aparecen corrientes de Foucault

Se produce un calentamiento del núcleo del transformador

Se traduce en pérdida de potencia transmitida

Para limitar este efecto se usan núcleos laminados

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Núcleo de hierro laminado

Devanados primario y secundario (cubiertos)

Ejemplo: transformador del cargador de un móvil

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Autoinducción (I)Sea una bobina que transporta unacorriente variable

Existe un flujo magnético por el interior dela bobina debido al campo magnético queella misma crea

Si I es variable tendremos flujo magnéticovariable con el tiempo: según la Ley deFaraday dará lugar a una fem autoinducida

Esta fem se sumará a la fem externa que crea la corriente variable I

Este fenómeno se denomina autoinducción y aparece en cualquier circuito por el que circule una corriente variable

Puede definirse un parámetro que caracteriza la susceptibilidad de un circuito o dispositivo a sufrir este fenómeno: autoinducción del dispositivo

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Autoinducción (II)

Sea una bobina de N vueltas y longitud l que transporta una corriente variable (n=N/l)

El flujo del campo magnético en su interior es:

El flujo es proporcional a la corriente I

La constante de proporcionalidad se denomina autoinducción:

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0B nI 20m NBA n IAl

mLI

Depende de la forma geométrica de la bobina

Unidades: henrios (H) 1 H=1 Wb/A=1 T·m2/A

Se puede definir para cualquier circuito. Para la bobina: 2

0L n Al

Fem autoinducida en una bobina

Una bobina con alta autoinducción se suele denominar inductor

Cuando se coloca un inductor en un circuitola autoinducción del circuito suele serdespreciable frente a la del propio inductor

Según la Ley de Faraday la femautoinducida en la bobina es:

Entonces la caída de tensión entre sus extremos es:

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md dIL

dt dt

V Ir ; Donde: r = resistencia interna del inductor(r=0 para un inductor ideal)

Inductancia mutua

El flujo magnético que atraviesa un circuito depende de la corriente propia y de la de los circuitos próximos

El flujo a través de 2 debido al campo magnético de 1 puede escribirse:

M12: inductancia mutua de los dos circuitos

Se cumple: M12=M21 suele escribirse M38/46

12 12 1m M I

1 2B B B

2 12 22m m m

22 2 2m L I

Ejemplo: recarga de cepillosde dientes eléctricos

Los cepillos de dientes eléctricos tienenuna batería interna que es precisorecargar

Como es inevitable que el cepillo y la base entren en contacto con el agua deben estarsellados: no puede usarse el sistematradicional con contactos metálicos

Se aprovecha entonces la inducciónmutua entre dos bobinas que no se tocan

El cepillo y la base pueden verse como los dosdevanados de un transformador

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Energía magnéticaalmacenada en un inductor (I)

Un inductor almacena energía magnética como un condensador almacena energía eléctrica

Puede obtenerse una expresión a partirdel análisis un circuito sencillo:

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0 0dI

IR Ldt

20 0

dII I R LI

dt

Potencia suministrada por la bateríaPotencia suministrada por la batería

Potencia disipada en la resistenciaPotencia disipada en la resistencia

Variación de la energía magnética almacenada en el inductor:

Variación de la energía magnética almacenada en el inductor:

mdU dILI

dt dt

Energía magnéticaalmacenada en un inductor (II)

Partimos de la variación de energía magnética almacenada en el inductor:

Si integramos:

La constante C se anula si escogemos Um=0 para I=0:

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mdU dILI

dt dt mdU LIdI

21

2mU LI C

21

2mU LI ENERGÍA ALMACENADAEN UN INDUCTOR

Puede considerarse una energía almacenada en el campo magnético que crea la corriente que circula por la bobina

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Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell, que ya han ido apareciendo, son:

Ley de Gauss

⋅ 4

Ley de Gauss para el magnetismo

⋅ 0

Ley de Faraday (forma de la ley sin incluir movimiento)

⋅ ⋅

Ley de Ampère generalizada

⋅

donde a la ley de Ampère que vimos en el tema anterior (válida para corriente estacionaria) se le añade el término de la corriente de desplazamiento de Maxwell, para que incluya todas las situaciones. 44/46

Ecuación de ondas para las ondas electromagnéticas

En el tema de Movimiento Ondulatorio, vimos que las ondas en una cuerda obedecían la llamada ecuación de onda:

Las ecuaciones de Maxwell implican que tanto como obedecen a ecuaciones de onda semejantes. En el vacío, se cumple:

con , velocidad de la luz en el vacío, 2.99792458 ⋅ 10 m/s

, y ambos

al eje (dirección

de propagación, la

misma de ) 45/46

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )y x t y x t

x v t

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )B x t B x t

x c t

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )E x t E x t

x c t

Resumen

La Ley de Faraday establece que un campo magnético variable en el tiempo provoca la aparición de un campo eléctrico no conservativo

En presencia de un medio conductor este campo eléctrico da lugar a corrientes inducidas La fem inducida es proporcional al ritmo de cambio del flujo del campo magnético

La Ley de Faraday puede usarse también para calcular corrientes inducidas en conductores que se desplazan en el seno de campos magnéticos estáticos: fem de movimientoLa Ley de Lenz permite predecir el sentido de las corrientes inducidas sin realizar cálculosSobre las corrientes inducidas aparecen fuerzas debidas al propio campo magnético que las crea

Estas fuerzas se oponen al cambio de flujo magnético

La autoinducción de un dispositivo o un circuito es proporcional a la femautoinducida que aparece cuando lo atraviesa una corriente variableLa inductancia mutua entre dos circuitos permite cuantificar la fem inducida en uno de ellos cuando el otro es atravesado por una corriente variableUn inductor o bobina almacena energía magnéticaLas leyes de electricidad y magnetismo se resumen mediante las ecuaciones de Maxwell, que implican que y en el vacío obedecen una ecuación de onda

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