Indice general

Prologo xiii

1 Introducci on 1

2 Teorıa del consumidor 52.1 El conjunto de consumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Las preferencias . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Propiedades fundamentales de las preferencias . . . . . . 72.2.2 Continuidad, convexidad y monotonıa de las preferencias . 10

2.3 La funcion de utilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 La conducta del consumidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Los precios y las restricciones del consumidor. . . . . . . 192.4.2 La maximizacion de las preferencias. . . . . . . . . . . . 202.4.3 Derivacion de la funcion de demanda marshalliana . . . . 212.4.4 Bienes sustitutivos y complementarios. . . . . . . . . . . 262.4.5 Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.6 Funcion inversa de demanda . .. . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 La funcion indirecta de utilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 La funcion hicksiana de demanda y la funcion de gasto . . . . . . 322.7 Aplicaciones de la dualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7.1 Propiedades de las funciones de demanda. . . . . . . . . 442.8 Estatica comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8.1 La curva de Engel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8.2 La curva de oferta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9 La preferencia revelada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.10 Variaciones de precios y de bienestar . .. . . . . . . . . . . . . . 53

2.10.1 Indices de precios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10.2 Cambios en el bienestar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.10.3 El excedente del consumidor . .. . . . . . . . . . . . . . 57

2.11 El problema de la integrabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12 La demanda agregada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

viii Indice general

2.13 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Teorıa de la empresa 733.1 Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.1 Isocuantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3 La funcion de produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 El comportamiento de la empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3 La oferta agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4 Costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5 Dualidad entre las funciones de coste y de produccion . . . . . . . 1013.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Teorıa del equilibrio general 1094.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1.1 Descripcion de la economıa. . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Economıas de intercambio puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.1 Una ilustracion: la economıa de la caja de Edgeworth . . . 1134.2.2 El modelo walrasiano de equilibrio general competitivo . . 1254.2.3 Equilibrio de Walras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2.4 Existencia de equilibrio de Walras . . . . . . . . . . . . . 1264.2.5 Teoremas del bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.6 El nucleo y el equilibrio walrasiano . . . . . . . . . . . . 1314.2.7 Unicidad del equilibrio walrasiano . . . . . . . . . . . . . 131

4.3 Economıas con produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Apendices 93

A Condiciones necesarias y suficientes 95A.1 Logica formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B Programacion No Lineal. 99B.1 El cas de restriccions de no negativitat solament (m = 0). . . . . . 101B.2 Les condicions de Kuhn-Tucker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.3 El teorema de Kuhn-Tucker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110B.4 Les condicions de Fritz-John. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice general ix

C Algebra Lineal: vectores y matrices 121C.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121C.2 Operacions amb Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

C.2.1 Suma de vectors i multiplicacio de vectors per escalars. . . 123C.2.2 Interpretacio Geometrica dels Vectors. . . . . . . . . . . . 123C.2.3 El Producte Escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

C.3 Lınies i Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C.3.1 Lınies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C.3.2 Hiperplans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

C.4 Matrius i Operacions amb matrius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131C.4.1 Operacions amb matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.5 Determinants i Inversio de Matrius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Bibliografıa 135

Indice de figuras

2.1 El conjunto de consumo Xi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 La clase de indiferencia de x1

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 La convexidad de las preferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 El punto de maxima felicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 La existencia de una funcion de utilidad. . . . . . . . . . . . . . . 162.6 La solucion del problema del consumidor. . . . . . . . . . . . . . 232.7 Solucion de esquina en el problema del consumidor. . . . . . . . . 242.8 Bienes sustitutivos y complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Propiedades de la funcion indirecta de utilidad. . . . . . . . . . . 322.10 La maximizacion de la utilidad y la minimizacion del gasto. . . . 362.11 La dualidad del problema del consumidor. . . . . . . . . . . . . . 372.12 Los efectos sustitucion y renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.13 Demanda marshalliana y demanda hicksiana. . . . . . . . . . . . 452.14 Utilidad, demanda y gasto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.15 Curva de Engel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.16 Curva de oferta-precio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.17 Preferencia revelada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.18 Variacion equivalente y variacion compensatoria . . . . . . . . . . 572.19 El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.20 Aproximacion al excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . 62

3.1 El conjunto de posibilidades de produccion. . . . . . . . . . . . . 743.2 Sin input no hay output. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Violacion de la propiedad (iii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Free disposal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Rendimientos no crecientes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . 773.6 Rendimientos no decrecientes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . 783.7 Rendimientos constantes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.8 Aditividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.9 Convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.10 Conjunto de necesidades de inputs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.11 Puntos eficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

xii Indice de figuras

3.12 La funcion de transformacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.13 La funcion de produccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.14 Homogeneidad y homoteticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.15 Equilibrio y RCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.16 La maximizacion del beneficio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.17 El lema de Hotelling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.18 La minimizacion del coste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.19 La concavidad de la funcion de coste. . . . . . . . . . . . . . . . 1003.20 Dualidad entre produccion y coste. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.21 Tecnologıa y coste (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.22 Tecnologıa y coste (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1 La caja de Edgeworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2 Los conjuntos presupuestarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3 Mapas de indiferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4 La demanda del consumidor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5 La curva de oferta del consumidor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.6 Intercambio incompatible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.7 Equilibrio walrasiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.8 Caracterizacion del equilibrio walrasiano. . . . . . . . . . . . . . 1194.9 Un equilibrio en el lımite de la caja de Edgeworth. . . . . . . . . . 1194.10 Multiplicidad de equilibrios walrasianos. . . . . . . . . . . . . . . 1204.11 No existencia de equilibrio walrasiano (1). . . . . . . . . . . . . . 1214.12 No existencia de equilibrio walrasiano (2). . . . . . . . . . . . . . 1214.13 Optimalidad de Pareto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.14 El conjunto de Pareto y la curva de contrato. . . . . . . . . . . . . 1234.15 El segundo teorema del bienestar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.16 El simplex unitario en IR2 y en IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A.1 Condiciones necesarias y suficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.1 Tres possibles solucions al problema unidimensional de la maxim-itzacio d’una funcio objectiu restringida a valors no negatius del’ instrument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

B.2 Representacio geometrica de la solucio al problema de progra-macio no lineal (B.20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B.3 Els conjunts A i B per un problema de programacio no lineal ambm = n = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

C.1 Interpretacion geometrica de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . 124C.2 Suma de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C.3 Diferencia de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Indice de figuras xiii

C.4 Distancia entre dos vectores en IR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127C.5 Distancia entre dos vectores en IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C.6 Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129C.7 Una lınea en IR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130C.8 Ortogonalidad e hiperplanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Indice de tablas

2.1 Ejemplo de revelacion de preferencias (1). . . . . . . . . . . . . . 522.2 Ejemplo de revelacion de preferencias (2). . . . . . . . . . . . . . 53

A.1 Condicion suficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Condicion necesaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Condicion necesaria y suficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.4 Condiciones necesarias y suficientes en el ejemplo. . . . . . . . . 97A.5 Condiciones necesarias y suficientes en el ejemplo (2). . . . . . . 97

Capıtulo 3

Teorıa de la empresa

En este capıtulo estudiaremos otro agente fundamental de la economıa: la empre-sa, o si se prefiere el lado de la oferta. Este estudio lo dividiremos en tres partes.En primer lugar nos centraremos en la denominada teorıa de la produccion. Esta esuna seccion eminentemente tecnica. Aquı no encontraremos como se decide queproducir sino que se puede producir. En otras palabras, estudiaremos el conjuntode posibilidades de produccion y sus propiedades y las funciones de producciony los rendimientos a escala.

La segunda parte del capıtulo esta dedicada a los aspectos economicos de laproduccion, es decir los costes. Encontraremos la funcion de costes, los costes decorto y largo plazo y los conceptos de costes totales, medios y marginales.

Por ultimo, culminamos el analisis con el estudio del proceso de toma de de-cision de la empresa, es decir la maximizacion del beneficio y el problema dualde la minimizacion de costes, fundamentalmente en un contexto de mercado com-petitivo.

Un aspecto importante del analisis que veremos a continuacion es que una em-presa es simplemente una entidad en el mismo sentido en el que tambien lo es elconsumidor. En otras palabras es un agente economico que toma decisiones deproduccion. La diferencia fundamental entre el estudio del consumidor y de laempresa es que en el caso del primero la mayor parte de la atencion recae sobrela funcion objetivo mientras que la restriccion presupuestaria apenas genera uncomentario. En el caso de la empresa, la situacion va a ser la opuesta. Dedicare-mos buena parte del esfuerzo a estudiar la representacion de la tecnologıa. Lafuncion objetivo sin embargo no necesitara tanta atencion. Esta funcion objetivode la empresa supondremos que es la maximizacion del beneficio. Aunque esteno tienen porque ser el objetivo de una empresa (pensemos en cuotas de merca-do, ventas, cotizacion de las acciones, etc) permite construir un buen modelo delcomportamiento de la empresa.

output

Input0

yj

Yj

74 3.1 Produccion

3.1 Produccion

La actividad de una empresa es producir mercancıas. Esto quiere decir que laempresa debe escoger un plan de produccion a partir de un conjunto de produc-cion que muestre las posibilidades productivas que la tecnologıa utilizada pone adisposicion de la empresa. Una tecnologıa para una empresa es un proceso quepermite transformar unas mercancıas (inputs) en otras (outputs).

En la economıa suponemos que hay l mercancıas. Una mercancıa k, k =1, 2, . . . , l puede ser un input en un cierto proceso de produccion y un output enotro. Al igual que hemos hecho en el analisis del consumidor, utilizaremos aquıtambien la convencion de inputs negativos. Por lo tanto, un plan de produccionpara una empresa es un vector l-dimensional y = (y1, y2, . . . , yl) ∈ IRl dondeyk > 0 denota un output para la empresa, yk < 0 denota un input, y yk = 0representa que la mercancıa k no forma parte del proceso de produccion de laempresa.

Supondremos que hay n empresas que representamos con el subındice j, j =1, 2, . . . , n. Ası pues, yj ∈ IRl representa un plan de produccion de la empresa j,y yjk �= 0 representa que la empresa j utiliza yjk unidades de la mercancıa k en suproceso de produccion.

Por ultimo definimos el conjunto de posibilidades de produccion de la em-presa j, que denotamos como Yj ⊂ IRl, como el conjunto de todos los planes deproduccion tecnicamente viables. La figura 3.1 representa este conjunto en unaeconomıa con dos bienes, un input y un output.

Figura 3.1: El conjunto de posibilidades de produccion.

Veamos que propiedades vamos a suponer que satisface el conjunto de posi-bilidades de produccion. En primer lugar introduciremos cinco supuestos que

output

Input0

Yj

output

Input0

Yj

(a) (b)

Teorıa de la empresa 75

cualquier tecnologıa debe satisfacer con independencia de cual sea la actividad dela empresa. A continuacion presentaremos cinco supuestos mas, la idoneidad delos cuales dependera del entorno particular de la empresa.

(i) Yj es no vacıo y cerrado.

Este es un supuesto tecnico que nos dice que el conjunto de posibilidadesde produccion contiene los puntos de su frontera. Formalmente, el lımite deuna secuencia de planes de produccion es tambien un plan de produccion.Es decir, sea ynj una secuencia de planes de produccion para la empresa jtal que ynj ∈ Yj . Entonces, si ynj → y implica que y ∈ Yj .

(ii) Sin input no hay output.

No es posible producir algo a partir de nada. Formalmente, sea yj un plande produccion tal que ∀k, yjk ≥ 0, es decir no contiene inputs. Entonces,yj = 0. La parte (a) de la figura 3.2 muestra un ejemplo (para k = 2) dondese viola esta propiedad, mientras que la parte (b) muestra un ejemplo dondese satisface, es decir donde Yj ∩ IRl

+ ⊂ {0}.

Figura 3.2: Sin input no hay output.

(iii) Posibilidad de suspender la actividad.

Esta propiedad dice 0 ∈ Yj , donde 0 representa un vector l-dimensional demercancıas con todos sus componentes iguales a cero. Este es un supuestomas razonable a largo plazo que a corto plazo. A corto plazo la empresapuede facilmente encontrase con obligaciones contractuales que la impidandejar de existir (nominas, creditos, pedidos, etc). Tecnicamente, a corto

output

Input0

Yj

Sunk cost

76 3.1 Produccion

plazo la empresa puede estar sujeta a costes irrecuperables (sunk costs) quele impiden estar inactiva. La figura 3.3 muestra un ejemplo (para k = 2)donde se viola esta propiedad.

Figura 3.3: Violacion de la propiedad (iii).

(iv) Free disposal.

Esta propiedad nos dice que la empresa puede eliminar sin coste las mer-cancıas (inputs o outputs) que tiene en exceso. Formalmente, si y1

j ∈ Yj yy2j es tal que y2

jk ≤ y1jk, k = 1, 2, . . . , l, entonces y2

j ∈ Yj . Es decir, el plande produccion y2

j permite obtener como maximo el mismo output que elplan de produccion y1

j , con por lo menos los mismos inputs. Graficamente,la figura 3.4 representa esta situacion. En la parte (a) de la figura, dadocualquier yj ∈ Yj , todos los planes de produccion por debajo y a la izquier-da de yj tambien forman parte del conjunto de posibilidades de produccion.

(v) Irreversibilidad de la produccion.

Esta propiedad dice que no es posible cambiar el papel de los inputs y de losoutputs en el proceso de produccion, excepto en el caso trivial de la inac-tividad. Formalmente, si yj = (yj1, yj2, . . . , yjl) es un plan de produccion,el plan de produccion −yj = (−yj1,−yj2, . . . ,−yjl) que obtenemos cam-biando los inputs por outputs y viceversa no es factible. En otras palabras, siyj ∈ Yj y yj �= 0, entonces−yj �∈ Yj , o equivalentemente Yj∩(−Yj) = {0}.

Veamos a continuacion otro conjunto de supuestos especıficos que pueden apli-carse al conjunto de posibilidades de produccion (aunque no simultaneamente).

output

Input0

Yj

(a)

yj1

output

Input0

Yj

(b)

yj1

output

Input0

Yj

(a)

yj

yjλ

output

Input0

Yj

(b)

yj

yjλ

Teorıa de la empresa 77

Figura 3.4: Free disposal.

(vi) Rendimientos no crecientes a escala.

Decimos que el conjunto de posibilidades de produccion exhibe rendimien-tos no crecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y cualquier escalarλ ∈ [0, 1] resulta que λyj ∈ Yj . Esta propiedad nos dice que cualquierplan de produccion puede reescalarse hacia abajo. Una implicacion de estesupuesto es la posibilidad de suspender la actividad (propiedad (iii)). Laparte (a) de la figura 3.5 ilustra un conjunto de posibilidades de produccionque satisface esta propiedad. La parte (b) de la misma figura muestra unejemplo en el que el conjunto Yj viola esta propiedad.

Figura 3.5: Rendimientos no crecientes a escala.

output

Input0

Yj

(a)

yjyjλ

Fixed cost

output

Input0

Yj

(b)

yjyjλ

Sunk cost

78 3.1 Produccion

(vii) Rendimientos no decrecientes a escala.

Decimos que el conjunto de posibilidades de produccion exhibe rendimien-tos no decrecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y cualquier escalarλ ≥ 1 resulta que λyj ∈ Yj . Esta propiedad nos dice que cualquier plande produccion puede reescalarse hacia arriba. La figura 3.6 ilustra estasituacion. Fijemonos que para que el conjunto Yj presente rendimientosno decrecientes a escala es necesario que la produccion requiera de un costefijo. No importa si este coste fijo ademas es irrecuperable, en cuyo caso0 �∈ Yj .

Figura 3.6: Rendimientos no decrecientes a escala.

(viii) Rendimientos constantes a escala.

Esta propiedad es la conjuncion de las dos anteriores. Decimos que elconjunto de posibilidades de produccion exhibe rendimientos constantesa escala si para cualquier yj ∈ Yj y cualquier escalar λ ≥ 0 resulta queλyj ∈ Yj . En otras palabras, el conjunto Yj es un cono. La figura 3.7 ilustraesta situacion.

(ix) Aditividad.

La propiedad de aditividad del conjunto de posibilidades de produccion nosdice que dados dos planes de produccion y1

j , y2j ∈ Yj , podemos establecer

dos fabricas independientes entre si y producir y1j e y2

j por separado. Elresultado es un plan de produccion y1

j+y2j . Formalmente, dados y1

j , y2j ∈ Yj ,

entonces y1j + y2

j ∈ Yj . La parte (a) de la figura 3.8 muestra un ejemplode conjunto de produccion aditivo. La parte (b) presenta un conjunto deproduccion que no satisface la aditividad.

output

Input0

Yj

yj

yjλ

output

Input0

Yj

(b)

yj2

yj1

yj1 yj

2+output

Input0

Yj

(a)

yj2

yj1

yj1 yj

2+

Teorıa de la empresa 79

Figura 3.7: Rendimientos constantes a escala.

Figura 3.8: Aditividad.

output

Input0

Yj

yj2 yj

1

80 3.1 Produccion

(x) Convexidad.

Decimos que el conjunto de posibilidades de produccion es convexo sipara cualquier par de planes de produccion y1

j , y2j ∈ Yj y cualquier escala

λ ∈ [0, 1], el plan de produccion definido como λy1j + (1− λ)y2

j ∈ Yj . Porejemplo el conjunto de produccion de la figura 3.5(a) es convexo mientrasque el conjunto de la parte (b) de la misma figura no es convexo. La con-vexidad combina varias ideas. En primer lugar la perfecta divisibilidad delos planes de produccion. En segundo lugar los rendimientos no crecientes.En particular, si 0 ∈ Yj , la convexidad implica que el conjunto de posibili-dades de produccion exhibe rendimientos no crecientes a escala. Fijemonosque podemos expresar el plan de produccion yj como λyj + (1 − λ)0 conλ ∈ [0, 1]. Por lo tanto si yj ∈ Yj y 0 ∈ Yj la convexidad implica queλyj ∈ Yj . Por ultimo, la convexidad captura la idea de que combinacionesde inputs “desequilibradas” no son mas productivas que combinaciones deinputs “equilibradas” . En otras palabras, si consideramos dos planes deproduccion que generan el mismo output pero utilizan diferentes combina-ciones de inputs, podemos construir un nuevo plan de produccion utilizandola media de los inputs de los dos planes de produccion anteriores y el out-put resultante sera como mınimo tan grande como el correspondiente a losplanes de produccion iniciales (ver Mas-Colell et al. (1995, p. 134)). Lafigura 3.9 ilustra esta idea.

Figura 3.9: Convexidad.

Teorıa de la empresa 81

3.1.1 Isocuantas

En la construccion general que estamos desarrollando, hemos considerado que enun plan de produccion yj = (yj1, . . . , yjl) ∈ Yj algunas mercancıas son inputs yotras son outputs. Para facilitar la distincion entre unos y otros vamos a introduciruna notacion diferenciada. Para ello vamos a denotar los inputs como z y vamosa suponer que las primeras ν mercancıas van a representar inputs, mientras quelas restantes l − ν mercancıas van a representar outputs. Ası pues, un plan deproduccion para la empresa j ahora lo representaremos como

yj = (zj1, zj2, . . . , zjν ; yjν+1, yjν+2, . . . , yjl) = (zj, yj),

donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yj ∈ Yj ⊂ IRl−ν . Por lo tanto el conjunto de posibilidadesde produccion de la empresa j es Yj = Zj ∪ Yj . Ademas, dada la convencion deinputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν y yjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l.

Una ventaja de esta representacion es que ahora podemos fijar los niveles deoutputs de la empresa y estudiar las necesidades de inputs para producir esosoutputs. Definimos pues,

Definicion 3.1 (Conjunto de necesidades de inputs). Dado un vector de outputsyj ∈ Yj , el conjunto de necesidades de inputs asociado es

Vj(yj) = {zj : (zj, yj) ∈ Yj}.

Es decir, el conjunto de necesidades de inputs es el conjunto de todas las posi-bles combinaciones de inputs que permiten producir el vector de outputs yj .

Sobre este conjunto Vj(yj) vamos a introducir dos propiedades:

(i) Vj(yj) es comprensivo hacia arriba.

Esta propiedad dice que Vj(yj) es el conjunto de combinaciones de inputsque permiten producir por lo menos el vector de outputs yj . Formalmente,ante dos vectores de inputs z1

j y z2j si z1

j ∈ Vj(yj) y z2j ≥ z1

j , entoncesz2j ∈ Vj(yj). Es decir, si podemos producir el vector de outputs yj a partir

del vector de inputs z1j tambien lo podemos hacer con mas inputs. Esta

propiedad es parecida a la propiedad de “ free disposal” que vimos en lateorıa del consumidor. La parte (a) de la figura 3.10 ilustra esta propiedadpara el caso de dos inputs.

(ii) Vj(yj) es convexo.

Senalemos que el conjunto de necesidades de inputs se refiere a un vectorparticular de outputs. Ahora queremos comparar las necesidades de inputs paradiferentes vectores de outputs. Para ello introducimos una propiedad adicionalsobre los conjuntos de necesidades de inputs.

(b)

z2j

z1j

V ( )j

y2j

~

V ( )j

y1j

~

(a)

z2j

z1j

V ( )j

y j~

Q ( )j

y j~

82 3.1 Produccion

Figura 3.10: Conjunto de necesidades de inputs.

(iii) Nesting

Puesto que el conjunto de necesidades de inputs satisface la propiedad (i),dados dos vectores de outputs y1

j y y2j si y1

j ≥ y2j , entonces Vj(y1

j ) ⊆ Vj(y2j ).

En pocas palabras, esta propiedad nos dice que para producir mas necesita-mos mas inputs. La parte (b) de la figura 3.10 ilustra esta propiedad para elcaso de dos inputs.

Esta propiedad de “nesting” nos permite definir el conjunto de vectores deinputs que permiten producir exactamente un cierto vector de outputs.

Definicion 3.2 (Isocuanta). Dado un vector de outputs yj , definimos la isocuantaasociada como la frontera de su conjunto de necesidades de inputs. Formalmente

Qj(yj) = {zj : (zj, yj) ∈ Yj, (zj, y′j) �∈ Yj, para cualquier y

′j ≥ yj, y

′j �= yj}.

La parte (a) de la figura 3.10 ilustra esta definicion.

3.1.2 Eficiencia

La definicion del conjunto de necesidades de inputs nos indica, como hemos visto,todos los vectores de inputs que permiten a una empresa producir un determinadovolumen de output. Ahora bien, resulta razonable suponer que el interes de laempresa esta en producir ese vector de outputs con los mınimos requerimientosde inputs, o de forma equivalente, dado un vector de inputs intentara obtener elmaximo volumen de outputs posible. Esta idea recoge el espıritu del concepto deeficiencia.

.output

Input0Yj

yj2

yj1

ineficientes

...

Teorıa de la empresa 83

Definicion 3.3 (Planes de produccion eficientes). Un plan de produccion yj ∈Yj es eficiente si no podemos encontrar otro punto y

′j ∈ Yj, yj �= y

′j tal que

y′j ≥ yj .

Intuitivamente, los puntos eficientes se encuentran sobre la frontera del con-junto de posibilidades de produccion, aunque ello no es condicion suficiente deeficiencia como muestra la figura 3.11. Intuitivamente, un punto es eficiente sipara cualquier entorno arbitrariamente pequeno (y dada la convencion de inputsnegativos) no podemos encontrar otro plan de produccion con algun output o inputmayor.

Figura 3.11: Puntos eficientes.

3.1.3 La funcion de produccion

Hasta ahora hemos representado la tecnologıa de produccion por medio del con-junto de posibilidades de produccion. Este es un concepto abstracto al que a vecesnos puede interesar dar una estructura especıfica a traves de una funcion Fj(·) quedenominamos funcion de transformacion. La funcion de transformacion tiene lapropiedad que Yj = {yj ∈ IRl : Fj(yj) ≤ 0} y Fj(yj) = 0 si y solo si yj seencuentra en la frontera del conjunto de produccion Yj . El conjunto de puntos enla frontera de Yj, {yj ∈ IRl : Fj(yj) = 0}, se denomina la frontera de transfor-macion. La figura 3.12 ilustra ambos conceptos para el caso de dos mercancıas.

Esta funcion de transformacion, cuando existe, es util porque nos permite de-scribir a la empresa a partir de una unica funcion.

Consideremos ahora un plan de produccion yj en la frontera de transforma-cion, i.e. Fj(yj) = 0, y supongamos que Fj(·) es diferenciable. Para cualquier

y j

output

input

0

Yj = {yj : Fj (yj) ≤ 0}

{yj : Fj(yj) = 0}

84 3.1 Produccion

Figura 3.12: La funcion de transformacion.

par de mercancıas h, k, h �= k, h, k = 1, 2, . . . , l podemos definir la tasa marginalde transformacion (TMT) de la mercancıa h en la mercancıa k dentro del plan deproduccion yj . Esta es una medida de en cuanto puede variar la cantidad de la mer-cancıa k si la empresa varıa la cantidad de la mercancıa h en una unidad marginal.Formalmente,

TMThk(yj) =

∂Fj(yj)

∂yjh∂Fj(yj)

∂yjk

.

Graficamente, la TMT (con signo negativo) es la pendiente de la frontera detransformacion en el punto yj (ver la figura 3.12). Ello es ası porque si diferenci-amos totalmente la funcion de transformacion, y dado que Fj(yj) = 0, obtenemos

∂Fj(yj)

∂yjhdyjh +

∂Fj(yj)

∂yjkdyjk = 0.

Ası pues, la pendiente de la frontera de la funcion de transformacion es precisa-mente −TMThk(yj).

Uno de los modelos de produccion que nos encontramos con mas frecuenciaes aquel en el que un conjunto de inputs se destina a la produccion de un unicooutput. En este caso, un plan de produccion es

yj = (zj1, zj2, . . . , zjl−1; yjl) = (zj, y)

output

input

0

y = fj(z)

Yj

Teorıa de la empresa 85

donde zj ∈ Zj ⊂ IRl−1 representa el vector de inputs e y ∈ IR el output.Esta tecnologıa la podemos describir por medio de una funcion de produc-

cion, fj(zj), un caso particular de frontera de transformacion, que nos indica elmaximo volumen de output y que puede conseguirse utilizando el vector de in-puts (zj1, zj2, . . . , zjl−1). La figura 3.13 representa la funcion de produccion co-mo la rotacion sobre el eje del output de la frontera del conjunto de posibilidadesde produccion. Senalemos que en esta situacion los inputs ya los representamoscomo numeros positivos, abandonando la convencion de inputs negativos puestoque la notacion no ofrece ambiguedad.

Figura 3.13: La funcion de produccion.

Es importante tener presente que no todos los conjuntos de posibilidades deproduccion son susceptibles de ser representados por medio de una funcion deproduccion.

La tasa marginal de transformacion en el entorno de tecnologıas de un out-put se conoce como la relacion tecnica de sustitucion asociada a un volumen deproduccion y, y se define como:

RTShk(y) = −

∂fj(zj)

∂zjh∂fj(zj)

∂zjk

.

Esto es la pendiente de la isocuanta correspondiente al nivel de produccion yen el espacio de las mercancıas h y k.

Por ultimo, las propiedades que hemos estudiado sobre los conjunto de pro-duccion se traducen en propiedades de la funcion de produccion.

86 3.1 Produccion

(i) fj es no decreciente.

Esta propiedad esta ligada al supuesto de “ free disposal” del conjunto deproduccion.

(ii) fj es cuasiconcava.

Esta propiedad esta asociada a la convexidad del conjunto Vj(yj). Formal-mente,

Definicion 3.4. Una funcion fj es cuasiconcava si

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj tal que fj(z

1j ) = fj(z

2j ) yα ∈ (0, 1)

entonces fj(αz1j + (1− α)z2

j ) ≥ fj(z1j ).

Definicion 3.5 (cuasiconcavidad estricta). Una funcion fj es estrictamentecuasiconcava si

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj tal que fj(z

1j ) = fj(z

2j ) yα ∈ (0, 1)

entonces fj(αz1j + (1− α)z2

j ) > fj(z1j ).

Definicion 3.6 (concavidad). Una funcion fj es concava si

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj α ∈ (0, 1)

fj(αz1j + (1− α)z2

j ) ≥ αfj(z1j ) + (1− α)fj(z

2j ).

Definicion 3.7 (concavidad estricta). Una funcion fj es estrictamente concavasi

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj α ∈ (0, 1)

fj(αz1j + (1− α)z2

j ) > αfj(z1j ) + (1− α)fj(z

2j ).

(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala.

Esta propiedad se deriva de los rendimientos no decrecientes a escala delconjunto Zj . Formalmente,

Definicion 3.8 (Rendimientos no decrecientes a escala). Una funcion fjexhibe rendimientos no decrecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).

De forma parecida,

Teorıa de la empresa 87

Definicion 3.9 (Rendimientos crecientes a escala). Una funcion fj exhiberendimientos crecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) > αfj(zj).

(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala.

Esta propiedad se deriva de los rendimientos no crecientes a escala del con-junto Zj . Formalmente,

Definicion 3.10 (Rendimientos no crecientes a escala). Una funcion fj ex-hibe rendimientos no crecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).

De forma parecida,

Definicion 3.11 (Rendimientos decrecientes a escala). Una funcion fj ex-hibe rendimientos decrecientes a escala si

∀α > 1, fj(αzj) < αfj(zj).

(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala.

Esta propiedad se deriva de los rendimientos constantes a escala del conjun-to Zj . Formalmente,

Definicion 3.12 (Rendimientos constantes a escala). Una funcion fj ex-hibe rendimientos constantes a escala si

∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).

En este caso decimos que fj es homogenea de grado 1.

En general,

Definicion 3.13 (Homogeneidad de grado r). Una funcion fj es homogeneade grado r si

∀λ > 0, fj(λzj) ≥ λrfj(zj)

donde r = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . .

Por ultimo, introducimos el concepto de funcion homotetica, como unatransformacion monotona de una funcion homogenea de grado 1, es decir

input 1

input 20(a)

z1

z2

αz1

αz2

f(z)=y

f(αz)=αy

input 1

input 20(b)

z1

z2

αz1

αz2

f(z)=y

f(αz) ≠ αy

88 3.1 Produccion

Definicion 3.14 (Homoteticidad). Una funcion fj es homotetica si

∀(z1j , z

2j ) ∈ Zj tal que fj(z

1j ) = fj(z

2j ) yα ∈ IR+

entonces fj(αz1j ) = fj(αz

2j ).

La diferencia entre homogeneidad y homoteticidad es sutil. La figura 3.14lo ilustra. La parte (a) de la figura muestra una funcion que es homogenea degrado 1, es decir si los vectores de inputs z1

j y z2j permiten producir y unidades de

output, entonces los vectores de inputs 2z1j y 2z2

j pueden generar 2y unidades deoutput. La parte (b) de la figura representa una funcion homotetica. En este casosi los vectores de inputs z1

j y z2j permiten producir y unidades de output, entonces

los vectores de inputs 2z1j y 2z2

j pueden generar el mismo nivel de output pero nonecesariamente 2y.

Figura 3.14: Homogeneidad y homoteticidad.

Finalmente, completaremos el analisis de la funcion de produccion introducien-do los conceptos de elasticidad de sustitucion y elasticidad de escala.

La elasticidad de sustitucion mide la variacion porcentual del cociente entredos inputs con respecto a la variacion porcentual de la variacion de la RTS asoci-ada. Formalmente,

σhk =

∂(zjh/zjk)

(zjh/zjk)

∂RTShkRTShk

=∂(zjh/zjk)

∂RTShk

RTShk(zjh/zjk)

.

Teorıa de la empresa 89

Esta expresion mide la curvatura de la isocuanta con respecto a los dos factoresde referencia. Evalua como varıa el cociente entre los factores h y k cuando varıala pendiente de la isocuanta. Si una variacion pequena de esta tiene un impactofuerte sobre el cociente de los factores, la isocuanta es relativamente horizontal, yla elasticidad de sustitucion es grande.

La elasticidad de escala mide el aumento porcentual que experimenta el nivelde produccion cuando se aumentan todos los factores en la misma proporcion.El interes de esta medida viene dado porque una funcion de produccion puedepresentar rendimientos crecientes a escala para ciertos niveles de los factores yrendimientos decrecientes a escala para otros. Ello genera la necesidad de definiruna medida local de los rendimientos a escala.

Consideremos una funcion de produccion y = fj(zj) y un escalar t > 0.Examinemos ahora la funcion y(t) = fj(tzj). Si t = 1, tenemos la escala deoperaciones presente; si t < 1 estamos dividiendo todos los factores por t; sit > 1 estamos multiplicando todos los factores por t. La elasticidad de escala sedefine como,

e(zj) =

∂fj(tzj)

fj(tzj)

∂t

t

∣∣∣∣∣t=1

=∂fj(tzj)

∂t

t

fj(tzj)

∣∣∣t=1

Evaluamos la expresion en t = 1 porque queremos obtener la elasticidad en elpunto zj . La tecnologıa muestra localmente rendimientos crecientes, constantes,o decrecientes cuando la elasticidad es mayor que, igual a, o menor que uno.

3.2 El comportamiento de la empresa

Una vez descritas las posibilidades tecnicas de produccion, nos preguntamos aho-ra que decisiones tomara la empresa, o en otras palabras, cual sera el compor-tamiento de la empresa. Este comportamiento estara determinado por tres elemen-tos fundamentales: la tecnologıa de produccion, el marco economico en el que laempresa se encuentra (basicamente, la estructura de propiedad de las empresas),y el objetivo de la empresa. Con respecto al marco institucional supondremos unaeconomıa de propiedad privada; el objetivo de la empresa sera la maximizaciondel beneficio. Marcos alternativos de funcionamiento son descritos y analizadosen Kreps (1990, cap. 19), Mas Colell et al. (1995 cap 5G), o Blad y Keiding(1990, pp. 99-100).

El beneficio de la empresa se define como la diferencia entre los ingresos to-tales de la empresa producto de la venta de su produccion y los costes en que

90 3.2 El comportamiento de la empresa

incurre para obtener esa produccion. Desde un punto de vista descriptivo, pode-mos argumentar que las empresas no actuan con el solo proposito de maximizarbeneficios. Otros elementos importantes ligados a la retribucion de sus gerentesy trabajadores son la cotizacion de las acciones de la empresa en el mercado devalores, la gestion de stocks, la cuota de mercado, el volumen de ventas, por citaralgunos. Desde un punto de vista normativo, podemos pensar que una empresa de-berıa funcionar de manera que promoviera la eficiencia y el bienestar social. Bajociertas condiciones la maximizacion de beneficios permite obtener ese resultado.Estas condiciones son (i) ausencia de externalidades, (ii) ausencia de incertidum-bre, (iii) ausencia de impuestos, y (iv) propiedad de la empresa repartida entreun numero grande de pequenos accionistas. En nuestro analisis supondremos queesta es precisamente la situacion.

Tambien es importante recordar que la definicion de beneficios que utilizare-mos se refiere a beneficios economicos y no beneficios contables.

A partir del conjunto de posibilidades de produccion, Yj ⊂ IRl que caracterizaa la empresa, denotamos como Πj(p, yj) una funcion Π : Yj → IR que representalos beneficios de la empresa j asociados al plan de produccion yj . Dados losprecios p = (p1, p2, . . . , pl), los beneficios de la empresa son simplemente

Πj(p, yj) =l∑

k=1

pkyjk.

Senalemos tambien que dada la convencion de inputs negativos, si la mercancıa kes un input, su contribucion a los beneficios, pkyjk es negativa, es decir representaun coste.

Esta forma de escribir los beneficios contiene un supuesto implıcito. Este esque la empresa no es capaz de afectar el comportamiento de los precios a los quese enfrenta. Esto supone que estamos considerando que el volumen de las opera-ciones de las empresas es pequeno con respecto al tamano del mercado. En otraspalabras, este supuesto implica que la empresa no va a encontrar restriccionesen el mercado de inputs ni en el mercado de outputs, lo que se conoce como laconjetura competitiva.

Las empresas grandes sin embargo, sı pueden hacer variar los precios con susdecisiones. En esta caso deberemos escribir pk(yj) representado el hecho de quela empresa j es grande en el mercado de la mercancıa k, en cuyo caso la funcionde beneficios se escribe

Πj(p, yj) =l∑

k=1

pk(yj)yjk.

Teorıa de la empresa 91

Ası pues, podemos resumir el comportamiento de la empresa como la selec-cion de un plan de produccion y∗j ∈ Yj tal que, dado un vector de precios p ∈ IRl

+,permita obtener el maximo beneficio. Formalmente,

maxyj

l∑k=1

pkyjk s.a yj ∈ Yj,

donde Yj satisface los supuestos (i)-(v) de la seccion 3.1. De forma equivalentepodemos formular el problema de la empresa utilizando la funcion de transforma-cion,

maxyj

l∑k=1

pkyjk s.a Fj(yj) ≤ 0,

Dados los supuestos sobre el conjunto de produccion, si el vector de precioscontuviera algun elemento negativo, digamos p1 < 0, el problema del productorno tendrıa solucion, puesto que la empresa podrıa aumentar indefinidamente susbeneficios con un plan de produccion yj = λ(yj1, 0, 0, . . . , 0) con yj1 < 0. Paraevitar este tipo de situaciones suponemos que los precios son no negativos. Nat-uralmente, esto no garantiza la existencia de planes de produccion de equilibriopara cualquier vector de precios no negativo.

Por ejemplo, consideremos una tecnologıa con un input yj1 y un output yj2,que exhibe rendimientos constantes a escala λ. Sea (p1, p2) el correspondientevector de precios. Entonces,

• si λ >p1

p2

no hay equilibrio puesto que la empresa puede escoger yj2 arbi-

trariamente grande y obtener beneficios arbitrariamente grandes.

• si λ =p1

p2

cualquier plan de produccion es una solucion al problema del pro-

ductor. En todos estos equilibrios, sin embargo el beneficio de la empresaes nulo.

• si λ <p1

p2

hay un unico equilibrio en el que la empresa obtiene beneficios

nulos.

La figura 3.15 ilustra este ejemplo.Si la funcion de transformacion es diferenciable, podemos caracterizar la solu-

cion del problema del productor a partir de las condiciones de primer orden,

∂Πj(yj)

∂yjk= pk − λ

∂Fj(yj)

∂yjk= 0, k = 1, 2, . . . , l,

α λtg( ) =

βtg( ) = p1

p2

output

Input

0

Yj

α

β

(a)

output

Input

0

Yj

α

β

(b)

p

α

�F (yj(p))

yj(p)

Yj

yj1

yj2

{ y : p y = Π }jj j

~

{ y : p y = Π }jj j^

tg( α ) = - p / p1 2

92 3.2 El comportamiento de la empresa

Figura 3.15: Equilibrio y RCE.

donde λ ≥ 0 representa el multiplicador de Lagrange. Este conjunto de condi-ciones de primer orden nos dicen que el vector de precios p es proporcional algradiente de la funcion Fj . Tambien nos dice que la tasa marginal de transforma-cion entre dos bienes h y k es igual al negativo ratio de sus precios, es decir

TMThk(yj) = −phpk

. (3.1)

La figura 3.16 ilustra este argumento.

Figura 3.16: La maximizacion del beneficio.

La solucion del problema del productor es un conjunto de planes de produc-cion que maximizan el beneficio dados los precios. Este conjunto lo denominamos

Teorıa de la empresa 93

la correspondencia de oferta que denotamos como ηj : IRl+ → Yj donde para un

p ∈ IRl+ dado le asociamos el conjunto ηj(p) = {yj ∈ Yj : p · yj es maximo}. Si

este conjunto tiene un unico elemento lo denotamos y∗j (p) y lo denominamos lafuncion de oferta de la empresa j dados los precios p.

Antes de examinar las propiedades de la funcion de beneficio y de la corre-spondencia de oferta, consideremos el caso particular de una tecnologıa con unsolo output. En este caso, recordemos que representamos un plan de produccioncomo

yj = (zj1, zj2, . . . , zjl−1; yjl) = (zj, y)

donde zj ∈ Zj ⊂ IRl−1 representa el vector de inputs e y ∈ IR el output. Tambiendenotaremos por p > 0 el precio del output y por w = (w1, . . . , wl−1), wk >0, k = 1, 2, . . . , l − 1, el vector de precios de los inputs. Ası pues, un sistemade precios se representa como (p, w). En este caso, y = fj(zj) es la funcion deproduccion y el problema de la empresa consiste en determinar la combinacion deinputs z∗j que, dados (p, w), maximiza el beneficio. Formalmente, z∗j es el vectorde inputs que maximiza el beneficio dados (p, w) si es la solucion de

maxzj≥0

pfj(zj)− w · zj.

Las condiciones de primer orden son

p∂fj(zj)

∂zjk− wk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , l

y[p∂fj(zj)

∂zjk− wk

]zjk = 0, k = 1, 2, . . . , l.

Es decir, el producto marginal de cada input activo k es igual a su precio medido enterminos del precio del output (wk/p). Tambien la relacion tecnica de sustitucionentre dos inputs es igual al ratio de sus precios (es decir a la tasa economica desustitucion entre ellos), RTShk = wh/wk. Esto no es mas que un caso especial dela condicion mas general (3.1). A su vez, estas condiciones de primer orden sonnecesarias y suficientes para caracterizar la solucion al problema del productorcuando el conjunto de produccion Yj es convexo.

Supongamos que Πj(p) representa la funcion de beneficios de la empresa jcuyo conjunto de produccion es Yj y la correspondencia de oferta es ηj(p). Supong-amos que Yj es cerrado y satisface la propiedad de free disposal. Entonces (verpor ejemplo, Mas Colell et al. (1995, pp.138-139), Kreps (1990, pp. 244-247) oVarian (1992, pp.49-50)),

94 3.2 El comportamiento de la empresa

i) Πj(p) es homogenea de grado uno;

ii) Πj(p) es convexa;

iii) Πj(p) es continua;

iv) Si Yj es convexo, entonces Yj = {yj ∈ IRl : p · yj ≤ Πj(p) ∀p� 0};

v) ηj(p) es homogenea de grado cero;

vi) Si Yj es convexo, entonces ηj(p) es un conjunto convexo para todo p. Ademas,si Yj es estrictamente convexo, ηj(p) es una funcion;

vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) contiene un unico punto (y∗j1, . . . , y∗jl), en-

tonces Πj(p) es diferenciable en p, y∂Πj

∂pk

∣∣∣p

= y∗jk, k = 1, 2, . . . , l;

viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entonces Dηj(p) = D2Πj(p) esuna matriz simetrica y semidefinida positiva con Dηj(p)p = 0.

Demostracion. i) Supongamos que y∗j soluciona el problema del productor alos precios p, de manera que py∗j ≥ py, ∀y ∈ Yj . Sea λ > 0. Entoncestambien se verifica λpy∗j ≥ λpy, ∀y ∈ Yj , es decir y∗j soluciona el problemadel productor a los precios λp. Por lo tanto Πj(λp) = λpy∗j = λΠj(p).

ii) Consideremos dos sistemas de precios p y p. Consideremos tambien unescalar λ ∈ [0, 1], y construyamos un sistema de precios p = λp + (1 −λ)p. Supongamos ahora que yj maximiza los beneficios a los precios p, yjmaximiza los beneficios a los precios p, y yj maximiza los beneficios a losprecios p. Senalemos que yj es un plan de produccion factible a los preciosp y p. Entonces podemos escribir

Πj(p) = pyj = (λp + (1− λ)p)yj = λpyj + (1− λ)pyj. (3.2)

Dado que y maximiza beneficios a los precios p, podemos afirmar queλpyj ≤ λpy = λΠj(p). Paralelamente, dado que y maximiza beneficiosa los precios p, tambien podemos afirmar que (1 − λ)pyj ≤ (1 − λ)py =(1− λ)Πj(p). Sumemos ahora ambas desigualdades para obtener

(λp + (1− λ)p)yj ≤ λpyj + (1− λ)pyj.

Podemos reescribir esta desigualdad utilizando (3.2) como

Πj(p) ≤ λΠj(p) + (1− λ)Πj(p).

que es precisamente la definicion de convexidad.

Teorıa de la empresa 95

iii) La funcion de beneficios es continua si p � 0 y esta bien definida. Kreps(1990, p. 244) muestra el argumento riguroso de continuidad.

iv) Esta propiedad nos dice que si Yj es cerrado, convexo y satisface la propiedadde free disposal, la funcion de beneficios es una representacion dual de latecnologıa.

v) La homogeneidad de grado zero nos dice que ηj(λp) = ηj(p), λ > 0. Estademostracion, como la de la propiedad vi) son triviales y se dejan comoejercicios al lector.

vii) El lema de Hotelling (o la propiedad de la derivada como tambien se conoce)relaciona el comportamiento de oferta de la empresa con las derivadas de lafuncion de beneficios. Es decir, nos permite derivar la funcion de oferta apartir de la funcion de beneficios.

Consideremos el sistema de precios p∗ y sea ηj(p∗) una solucion del prob-

lema del productor. Esta solucion genera un nivel de beneficios Πj(p∗) =

p∗ηj(p∗). Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k.

Supongamos ahora que pk aumenta pero la empresa continua utilizandoηj(p

∗) de manera que los beneficios asociados son pky∗jk +

∑h�=k p

∗hy∗jh. En

el espacio del bien k, esta funcion es una lınea recta. La figura 3.17 repre-senta esta funcion. Si la empresa ajusta su plan de produccion optimamente,obtendra un nivel de beneficios por lo menos tan elevado como el que ob-tiene si no ajusta su nivel de produccion, es decir pkyjk +

∑h�=k p

∗jy∗jh ≤

Πj(p∗1, . . . , p

∗k−1, pk, p

∗k+1, . . . , p

∗l ). Este argumento es valido para cualquier

precio, de manera que la funcion de beneficios debe encontrarse por encimade sus tangentes o, en otras palabras, debe ser convexa.

Dado que las dos funciones son tangentes en el punto p∗k, las derivadas deambas funciones deben ser iguales, y la derivada de la funcion lineal es y∗jk.

viii) La matrix Dηj(p) es semidefinida positiva como consecuencia de la con-vexidad de la funcion de beneficios deducida en el apartado anterior. Estapropiedad es la ley de la oferta: las cantidades responden en la mismadireccion que los cambios de precios. Dada la convencion de signos nega-tivos, esto quiere decir que si el precio de un output aumenta (manteniendoconstantes todos los demas precios) la oferta de ese output aumenta; si elprecio de un input aumenta, la oferta de ese input disminuye.

Es importante senalar que el comportamiento de la empresa no esta sujeto aninguna restriccion presupuestaria (como ocurre en el caso del consumidor)de manera que variaciones de precios solo generan efectos de sustitucionpero no generan efectos renta.

Π (p , ..., p , p , p , ..., p )* * * *j 1

*k-1 k k+1 l

p *k

p k

*h

p y*jhh≠k

Σk

p y *jk

+

96 3.3 La oferta agregada

Figura 3.17: El lema de Hotelling.

El hecho de que la matriz de efectos sustitucion sea semidefinida positivaquiere decir que los efectos de sustitucion por variaciones del propio precio

son no negativas,∂yjk∂pk

≥ 0, y ademas los efectos cruzados son simetricos,

∂yjk∂ph

=∂yjh∂pk

, ∀(h, k), h �= k.

Por ultimo, Dηj(p)p = 0 es una consecuencia de la homogeneidad de lafuncion de oferta (propiedad (v)).

3.3 La oferta agregada

Denominamos oferta agregada, y, a la suma de los niveles de produccion individ-uales de cada empresa, y =

∑j yj . De forma paralela, el conjunto de produccion

total, Y , lo definimos como la suma de los conjuntos de produccion de las empre-sas, Y =

∑j Yj .

Dados los supuestos sobre los conjuntos de produccion individuales, es in-mediato verificar que el conjunto de produccion total verifica

• 0 ∈ Y ;

• −IRl+ ⊂ Y ;

• Y es convexo.

Teorıa de la empresa 97

Sin embargo no necesariamente verifica la propiedad de la imposibilidad deproduccion libre. Es decir, aunque para cada empresa individual no sea factibleproducir outputs sin inputs, ello puede resultar factible a nivel agregado. Para evi-tar esta situacion impondremos un supuesto adicional sobre el conjunto de produc-cion agregado que denominamos supuesto de irreversibilidad. La irreversibilidaddice Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. Es decir, si una produccion agregada y �= 0 es posible,la produccion −y no es posible. La implicacion inmediata de este supuesto esque Y ∩ IRl

+ ⊂ {0}, es decir que la economıa en su conjunto no puede producirningun output sin utilizar algun input. Esta propiedad se deriva de los supuestosde eliminacion libre e irreversibilidad.

Por ultimo definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) como η :IRl

+ → Y , donde a cada sistema de precios p ∈ IRl+ le asociamos el conjunto

η(p) =∑j

ηj(p).

Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada se derivan directa-mente de las propiedades sobre el conjunto de produccion agregado:

1. η(p) es homogenea de grado cero en p;

2. η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+;

3. Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, η(p) es hemicontinua

superior en p.

4. Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, los beneficios agregados

se maximizan si y solo si cada empresa maximiza sus beneficios individ-ualmente, cuando las empresas toman el sistema de precios p como dado.Formalmente, enunciamos esta propiedad como (ver Villar (1990, p.92)) dela manera siguiente: sea Y =

∑j Yj , y sea p∗ ∈ IRl

+ tal que η(p∗) sea novacıo. Entonces, y∗ ∈ η(p∗)⇔ p∗y∗ ≥ p∗y, ∀y ∈ Y .

3.4 Costes

Una implicacion del comportamiento de la empresa maximizadora de beneficio esque el volumen de produccion de outputs escogido no es posible producirlo conun menor coste de los inputs. En otras palabras, la minimizacion del coste es nece-saria para obtener la maximizacion del beneficio. El estudio de la minimizaciondel coste es especialmente relevante cuando la empresa no se comporta de formacompetitiva en el mercado de outputs no podemos utilizar la funcion de beneficiospara el analisis; tambien, cuando el conjunto de produccion exhibe rendimientos

98 3.4 Costes

no decrecientes a escala el problema de la minimizacion del coste se comportamejor que el problema de la maximizacion del beneficio.

Consideremos pues una empresa que utiliza n inputs para producir m outputs(es decir m+n = l). Denotamos por zj ∈ IRn un vector de inputs de la empresa, ypor xj ∈ IRm un vector de outputs (notemos que ahora no utilizamos la convencionde inputs negativos). Sea Vj(xj) el conjunto de requerimientos de inputs paraproducir el vector de outputs xj . Supongamos que la empresa se comporta deforma competitiva en el mercado de inputs de manera que toma como dado elvector de precios de los inputs w = (w1, . . . , wn) ∈ IRn.

El problema que queremos abordar es el siguiente. Supongamos que por algu-na razon la empresa ha decidido producir el vector de outputs xj . Para ello debeescoger un vector de inputs tal que dado w, minimiza el coste de produccion de xj .Formalmente, la empresa resolvera el problema

minzj

wzj sujeto a zj ∈ Vj(xj)

Suponiendo que Vj(xj) es cerrado y no vacıo y que los precios de los inputs sonestrictamente positivos, este problema tiene solucion. Para comprobar que ello esası, consideremos un punto arbitrario zj ∈ Vj(xj). Dado que zj representa unaforma factible de producir xj al coste wzj , la solucion optima no puede ser mascara. La solucion optima es un vector dentro del conjunto

{zj ∈ Vj(xj) : wzj ≤ wzj}.

Si Vj(xj) es cerrado, este conjunto es compacto de manera que la existencia desolucion esta garantizada.

El valor de la combinacion de inputs solucion de este problema es una funcioncj(w, xj) que denominamos funcion de coste.

La figura 3.18 representa la solucion del problema de minimizacion de costepara el caso de dos inputs.

En esta figura representamos la funcion de costes a partir del mapa de lıneasisocoste y el conjunto de requerimientos de inputs asociado al vector de produc-cion xj . El problema de la empresa es escoger la combinacion de inputs en lalınea isocoste mas cercana al origen compatible con la produccion del vector xj .Este problema es paralelo al problema dual del consumidor donde este minimizael gasto de la cesta de consumo compatible con un nivel dado de utilidad.

La funcion que describe la combinacion optima de inputs para producir unvector dado de outputs la denominamos funcion de demanda condicionada defactores, y la denotamos z∗j (w, xj) (Notemos que esta es una funcion que de-termina cantidades, mientras que la funcion de coste determina el valor de esacombinacion de inputs, i.e. wz∗j (w, xj)).

Las propiedades de la funcion de coste son las siguientes:

zj1

zj2

V (x )j j

z j2*

zj1*

0

Teorıa de la empresa 99

Figura 3.18: La minimizacion del coste.

i) La funcion de coste es homogenea de grado uno en w;

ii) La funcion de coste es no decreciente en xj;

iii) La funcion de coste es concava en w;

iv) La funcion de coste es continua en w.

La demostracion de estas propiedades sigue el mismo razonamiento que lademostracion de propiedades similares en la teorıa del consumidor, de maneraque se dejan al lector como ejercicio (Ver Varian (1992, pp. 86)).

Estas propiedades de la funcion de costes nos dicen que cuando sube el preciode un factor (manteniendo constantes todos los demas) los costes no disminuyen(propiedad (ii)) pero aumentan a una tasa decreciente (propiedad (iii)) porque laempresa para minimizar el coste sustituira este factor por otros. La figura 3.19ilustra este argumento.

Supongamos que z∗j es una combinacion de inputs minimizadora de coste alos precios w∗. Supongamos ahora que el precio del input k varıa desde w∗k awk. Si la empresa continua utilizando la misma combinacion de factores deberahacer frente a unos costes C = wkz

∗jk +

∑h�=k w

∗hz∗jh. Ahora bien, esta no es

una conducta minimizadora de coste. El coste mınimo de produccion tiene queser inferior a esa expresion. Este argumento es valido para cualquier variacion decualesquiera precios de los inputs. En consecuencia, (a) la funcion de costes debeencontrarse por debajo de la recta C = wkz

∗jk +

∑h�=k w

∗hz∗jh; (b) la funcion de

costes y la recta C = wkz∗jk +

∑h�=k w

∗hz∗jh deben coincidir en el punto w∗k. Ello

implica que la funcion de coste es concava con respecto a w∗k.

C (w , ..., w , w , w , ..., w )* * * *j 1

*k-1 k k+1 l

*h

w z*jhh≠k

Σk

w z*jk

+

w *k

w

k

100 3.4 Costes

Figura 3.19: La concavidad de la funcion de coste.

Por su parte, la funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w, xi) satis-face las propiedades siguientes:

i) Si z∗j soluciona el problema de la minimizacion de coste para (w, xj), en-tonces tambien es una solucion minimizadora de coste para (αw, xj), α >0. En otras palabras, z∗j es homogenea de grado cero en w;

ii) Si Vj(xj) es convexo, el conjunto z∗j de soluciones del problema de mini-mizacion del coste para (w, xj) es convexo;

iii) (Lema de Shephard) Supongamos que cj(w, xj) es continuamente diferen-ciable en w (para un xj dado) al vector de precios w∗. Sea z∗j una soluciondel problema de minimizacion del coste para (w∗, xj). Entonces,

z∗jk =∂cj(w, xj)

∂wk

∣∣∣(w∗,xj)

, k = 1, 2, . . . , n.

(iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w, entonces Dzj(w, xj) = D2cj(w, xj)es una matriz simetrica y semidefinida negativa con Dz∗j (w, xj)w = 0.

Las dos primeras propiedades son triviales y su demostracion se deja al lector.Veamos con detalle la demostracion del lema de Shephard.

Sea z∗j una solucion del problema de minimizacion del coste para (w∗, xj).Definamos ahora la funcion

g(w) = cj(w, xj)− wz∗j .

Teorıa de la empresa 101

Dado que cj(w, xj) es la forma mas barata de producir xj , la funcion g(w) nuncapuede ser positiva, es decir, g(w∗) = 0 y g(w) < 0, w �= w∗ Por lo tanto, estafuncion alcanza su maximo valor en w∗, de manera que satisfara la condicion deprimer orden dada por

∂g(w∗)

∂wk=

∂cj(w∗, xj)

∂wk− z∗jk = 0, k = 1, 2, . . . , n.

3.5 Dualidad entre las funciones de coste y de pro-duccion

De la misma manera como en la teorıa del consumidor encontramos una dualidadentre el problema de la maximizacion de la utilidad y la minimizacion del coste,en la teorıa del productor tambien podemos mostrar una dualidad entre el enfoquede la funcion de produccion y el de la funcion de coste. Es decir, a partir deuna funcion de produccion podemos construir una funcion de costes, y al reves, apartir de esa funcion de costes podemos recuperar la funcion de produccion.

Sea Yj ⊂ IRl un conjunto de produccion de la empresa j. Supongamos porsimplicidad, que esta empresa solo produce un output, y, utilizando l − 1 inputs.Ası pues, podemos describir Yj como una funcion de produccion fj : IRl−1 → IR,es decir y ≤ fj(zj1, . . . , zjl−1), para cualquier vector de inputs zj ∈ Yj mientrasque cuando y es eficiente y = fj(zj1, . . . , zjl−1).

Consideremos ahora un sistema de precios de los inputs dado w ∈ IRl−1+ . El

coste de producir el output y se define como,

cj(y) = minzj{l−1∑k=1

wkzjk : zjk ∈ IR, y ≤ fj(zj1, . . . , zjl−1)}

Vemos pues que, para un sistema dado de precios, la definicion de la funcionde costes no es mas que la funcion de produccion del productor. Nos interesasin embargo estudiar una funcion de costes dependiente no solo del output sinotambien de los precios. Por lo tanto consideremos una funcion de produccionfj : IRl−1 → IR, y definamos una funcion de costes asociada a un sistema deprecios arbitrario w ∈ IRl−1

+ y a un nivel de produccion y como

cj(w, y) = minzj{l−1∑k=1

wkzjk : zjk ∈ IR, y ≤ fj(zj1, . . . , zjl−1)},

es decir, cj(w, y) especifica el coste mınimo de producir el output y a los preciosde los inputs w. Esta definicion es analoga a la definicion de la funcion de gasto ei

x

x’

w’

w

z j1

z j2

w1

w2

w

w’

x x’

isocuantaisocoste

102 3.5 Dualidad entre las funciones de coste y de produccion

del consumidor. En consecuencia podemos traducir directamente las propiedadesde la funcion de gasto del consumidor en propiedades de la funcion de coste comoya hemos visto en el analisis de la funcion de coste.

Finalmente para mostrar la dualidad entre la funcion de costes cj(w, xj) y lafuncion de produccion fj(zj1, . . . , zjl−1), construimos una funcion dual de cj enla que proyectamos el vector de inputs en el output, es decir

c∗j(zj1, . . . , zjl−1) = max{y :l−1∑k=1

wkzjk ≥ cj(w, y), w ∈ IRl−1+ }.

Es facil demostrar (ver Blad-Keiding (1990, cap.2)) que esta funcion dual esprecisamente la funcion de produccion original, es decir, c∗j(zj1, . . . , zjl−1) =fj(zj1, . . . , zjl−1).

Para ilustrar esta dualidad, consideremos una empresa que produce un outputa partir de dos inputs y comparemos la relacion entre su tecnologıa (produccion)y su conducta economica (costes). La figura 3.20 muestra las curvas isocuanta eisocoste correspondientes a un nivel de produccion y.

Figura 3.20: Dualidad entre produccion y coste.

La pendiente de la curva isocoste a los precios (w∗1, w∗2) es

dw2(w∗1)

dw1

= −

∂cj(w∗, y)

∂w1

∂cj(w∗, y)

∂w2

= −zj1(w∗, y)

zj2(w∗, y).

La pendiente de la curva isocuanta es

Teorıa de la empresa 103

dzj2(z∗j1)

dzj1= −

∂fj(z∗j )

∂zj1∂fj(z

∗j )

∂zj2

.

Si (z∗j1, z∗j2) minimiza los costes a los precios (w∗1, w

∗2), necesariamente satis-

face la condicion de primer orden, de manera que

w∗1w∗2

=

∂fj(z∗j )

∂zj1∂fj(z

∗j )

∂zj2

.

Vemos pues que la pendiente de la curva isocuanta es precisamente el cocientede los precios de los factores, mientras que la pendiente de la isocoste es precisa-mente el cociente entre los niveles de los factores.

La figura 3.20 nos permite tambien ilustrar la relacion entre la curvatura de lasdos curvas. Vemos que cuando la isocuanta es muy curvada, la isocoste es muylineal y viceversa. Supongamos que la situacion inicial esta representada por losprecios w y los niveles de factores zj . Consideremos un cambio de precios a w′

que nos desplaza significativamente a lo largo de la curva isocoste. Supongamosque la pendiente de la curva isocoste a los nuevos precios no es significativamentediferente, es decir, las combinaciones de factores minimizadoras de coste en am-bas situaciones son parecidas. En terminos de la figura 3.20 esto significa que laisocuanta es muy lineal. En el caso extremo de la tecnologıa Leontieff en la quelas curvas isocuantas tienen forma de L, las isocoste son rectas y viceversa, si lafuncion de costes de de tipo Leontieff, de manera que las curvas isocoste tienenforma de L, obtenemos isocuantas lineales.

Esta relacion entre tecnologıa y costes podemos resumirla en las dos propiedadessiguientes:

(i) Si fj(·) es homogenea de grado 1 (i.e. exhibe rendimientos constantes aescala), entonces cj(·) y zj(·) son homogeneas de grado 1 en y.

(ii) Si fj(·) es concava, entonces cj(·) es convexa en y (en particular, los costesmarginales son no decrecientes en y).

Una forma sencilla de visualizar la relacion entre la tecnologıa y los costes esel caso de la produccion de un unico output y, en el que ademas los precios delos inputs w estan fijos. En este caso podemos denotar la funcion de coste como

104 3.5 Dualidad entre las funciones de coste y de produccion

C(y), la funcion de coste medio como AC(y), y la funcion de coste marginalcomo MC(y).

Como acabamos de ver, si el conjunto de produccion es convexo, la funcionde coste es convexa en y. Por lo tanto el coste marginal es no decreciente ylas condiciones de primer orden son suficientes para asegurar que y es tambienmaximizador de beneficio al precio p.

La figura 3.21(a)-(f) muestra dos ejemplos de conjuntos de produccion con-vexos. En el primer ejemplo el conjunto de produccion exhibe rendimientos es-trictamente decrecientes a escala, mientras que en el segundo ejemplo los rendi-mientos a escala son constantes. En ambos ejemplos suponemos que hay un unicoinput cuyo precio se ha normalizado a 1. Los paneles (b) y (d) muestran la funcionde coste como una rotacion de 90 grados de la funcion de produccion. Los paneles(c) y (f) muestran los costes medios y marginales y la curva de oferta con un trazomas grueso.

Si la tecnologıa no es convexa, la satisfaccion de la condicion de primer ordenya no es suficiente para asegurar que y maximiza el beneficio. Los paneles (g)-(i) de la figura 3.21 muestran una una funcion de produccion con rendimientoscrecientes para niveles bajos de input y rendimientos decrecientes para nivelesaltos de input. El coste medio es pues decreciente al principio y creciente despues.El nivel de produccion correspondiente al mınimo del coste medio se denomina laescala eficiente de produccion. En este caso la funcion de oferta es discontinua.Cuando p > AC(y) la empresa maximiza beneficio produciendo el unico nivelde y que satisface p = MC(y) > AC(y). Cuando, por el contrario, p < AC(y),cualquier nivel de produccion q genera beneficios negativos, de manera que ladecision optima de la empresa es producir y = 0.

Cuando la tecnologıa conlleva costes fijos (o irrecuperables) el conjunto deproduccion no es convexo. La figura 3.22 muestra dos ejemplos de esta situacion.En estos ejemplos la empresa incurre en un coste fijo si y solo si produce una can-tidad positiva de output. Es decir los costes son de la forma C(y) = V C(y) + Kpara y > 0, y V C(0) = 0 donde V C(y) que denota el coste variable es una fun-cion convexa. El panel (a)-(c) muestra el caso de los costes variables estrictamenteconvexos. Los paneles (d)-(f) muestran el caso del coste variable lineal. La fun-cion de oferta en ambos casos se muestra en los paneles (c) y (f) respectivamente.En ambos casos la empresa decidira producir cantidades positivas de output solosi los ingresos le permiten cubrir no solo los costes variables sino tambien el costefijo K. En el panel (f), la oferta optima es y = 0 cuando p < p, mientras que esinfinita para p > p.

Por ultimo los paneles (g)-(i) de la figura 3.22 muestran el caso de los costesirrecuperables, es decir C(0) > 0. En otras palabras, ahora la funcion de costeses C(y) = V C(y) + K para y ≥ 0 de manera que la empresa debe pagar Kindependientemente de que decida producir una cantidad positiva de output o no.

Y

z

q

q q

C C,p

(a) (b) (c)

z

q

q q

C C,p

(d) (e) (f)

z

q

q q

C C,p

(g) (h) (i)

α

βtg(α)=AC(q)~tg(β)=MC(q)~

q~

C(q)MC(q)

AC(q)q(p)

Y

C(q)

MC(q)=AC(q)

q(p

Y

q~

q~ q~

AC(q)MC(q

q(p)

Teorıa de la empresa 105

Figura 3.21: Tecnologıa y coste (1).

.z

y

y y

C C,p

(d) (e) (f)

Y

C(y)

y(p)

z

y

y y

C C,p

(a) (b) (c)

Y

y~

y~ y~

MC(y)

y(p)

C(y)

MVC(y)

AC(y)

z

y

y y

C C,p

(g) (h) (i)

Y

y~

y~ y~

AC(y)

MC(y)

y(p)

C(y)

.

.

AC(y)

AVC(y

106 3.5 Dualidad entre las funciones de coste y de produccion

Figura 3.22: Tecnologıa y coste (2).

Teorıa de la empresa 107

Como consecuencia la inaccion no es posible puesto que ello no evita a la empresaafrontar el coste K. El coste variable es convexo y V C(0) = 0. El comportamien-to de la funcion de oferta, comparando las figuras 3.21(c) y 3.22(i), es el mismoque si la empresa no tuviera que pagar el coste irrecuperable.

3.6 Ejercicios

1. Considere una funcion de produccion Cobb-Douglas con dos inputs:

f(z1, z2) = Azα1 zβ2 donde A,α, β ≥ 0.

(a) ¿Bajo que condiciones se cumple que el producto marginal del inputz1 es creciente y el del input z2 es decreciente?

(b) ¿Bajo que condiciones presentara la tecnologıa rendimientos crecientesa escala?

(c) Si dada una tecnologıa de produccion los productos marginales de to-dos los factores son decrecientes, ¿implica esto necesariamente quehay rendimientos decrecientes a escala?

2. Para cada una de las siguientes tecnologıas calcule las funciones de de-manda final de factores, la funcion de oferta de producto y la funcion debeneficio.

(a) f(z1, z2) = (z1 + z2)12 .

(b) f(z1, z2) = (min{z1, z2})α donde α ∈ (0, 1).

(c)

f(z) =

{0 si z ≤ 1.

log z si z > 1.

(d) Elasticidad de sustitucion constante (ESC):

f(z1, z2) = (zρ1 + zρ2)αρ donde ρ ∈ (0, 1) y α ∈ (0, 1).

(e) Cobb–Douglas (CD) con n factores de produccion:

f(z1, ..., zn) = Πni=1z

αii donde αi > 0 y

n∑i=1

αi < 1.

108 3.6 Ejercicios

3. Para las tecnologıas ESC y CD del ejercicio 2, calcule la proporcion delingreso que la empresa destina a la retribucion del factor i:

wizi(p, w)

pq(p, w).

Compruebe que en el caso CD esta proporcion es constante, mientras queen el caso ESC la proporcion depende del precio de los factores.

4. Considere la funcion

Π(p, w1, w2) = p2( 1

w1

+1

w2

).

¿Es una funcion de beneficio? En caso afirmativo, calcule las funciones dedemanda final de factores y la funcion de oferta de producto.

5. Considere la funcion

Π(p, w1, w2) = pαwβ1

1 wβ2

2 .

¿Para que valores de α, β1 y β2 es una funcion de beneficios? ¿Cuales sonlas funciones de demanda final de factores y de oferta de producto corre-spondientes?

6. Calcule las funciones de demanda condicionada de factores, la funcion decoste y la funcion de coste marginal para las tecnologıas (b), (d) y (e) delejercicio 2. Relacione el crecimiento o decrecimiento del coste marginalcon los parametros de la funcion de produccion. Para valores adecuados deestos parametros, calcule la funcion de oferta.

7. Considere una empresa con funcion de produccion

q = f(z1, z2) = z1 + 10√z2

(a) Calcule las demandas condicionadas de los factores, zi(w1, w2, q) (i =1, 2).

(b) Compruebe que para valores de q suficientemente altos la funcion decostes es

c(w1, w2, q) = w1q − 25w2

1

w2

,

mientras que para valores suficientemente bajos de q, la funcion esproporcional a q2.

(c) Dibuje c(w1, w2, q) para q ≥ 0.

Teorıa de la empresa 109

(d) Dibuje la funcion de coste marginal para dos valores distintos de w1.

8. Para una tecnologıa de produccion basada en el uso de multiples factoresdada por la funcion

q = f(z),

donde z = (z1, . . . , zm), considere las funciones de demanda condicionadade los factores.

(a) ¿Es posible que un aumento en la cantidad de output producida provoqueuna reduccion en la demanda de alguno de los factores? Ilustre graficamentesu respuesta.

(b) Demuestre que si el coste marginal baja al aumentar el precio de unfactor, dicho factor es necesariamente un factor inferior.

(c) ¿Es posible que un aumento en el precio del bien producido tengacomo resultado una disminucion en el coste marginal de produccionde dicho bien? Justifique su respuesta.

9. Una empresa tiene dos instalaciones con funciones de coste c1(q1) y c1(q2),respectivamente (notese que dichas funciones tienen ya incorporados losprecios de los factores de produccion). Calcule la funcion de coste de laempresa c(q) en los siguientes casos (q es la cantidad total de output; q =q1 + q2):

(a) c1(q1) = q21/2, c2(q2) = q2.

(b) c1(q1) = 4√q1, c2(q2) = 2

√q2.

(c) c1(q1) = 3q31, c2(q2) = q2

2.

10. Se sabe que las funciones de demanda condicionada de factores de una em-presa son

z1(w1, w2, q) = (1 + 3w−1/21 wa

2)q, z2(w1, w2, q) = (1 + bw−1/21 wc

2)q.

Calcule los valores de los parametros a, b y c.

11. Estudie si cada una de las siguientes funciones es una funcion de coste.En caso afirmativo, encuentre las funciones de demanda condicionada defactores y comente el tipo de tecnologıa de produccion que genera dichasfunciones de coste.

(a) c(w1, w2, q) = q12 (w1w2)

34 .

(b) c(w1, w2, q) = q(w1 +√w1w2 + w2).

110 3.6 Ejercicios

(c) c(w1, w2, q) = q(w1 −√w1w2 + w2).

(d) c(w1, w2, q) = (q + 1q)√w1w2.

12. Un factor es inferior si su demanda condicionada disminuye con el nivel deproduccion. Es decir, ∂zi(w,q)

∂q< 0.

(a) Ilustre graficamente la posibilidad de que un factor sea inferior.

(b) Explique por que cuando las funciones de produccion son homogeneasno existen factores inferiores.

(c) Demuestre que si el coste marginal baja al aumentar el precio de unfactor, dicho factor es inferior.

13. Dada la funcion de coste

c(w1, w2, q) = wα1w

β2 q

γ, α, β ∈ (0, 1), γ > 1

calcule las funciones de demanda condicionada de factores, la funcion deoferta de producto y las funciones de demanda final de factores.

14. Dada la funcion de coste

c(q) =

{q2 + 1 si q > 0

0 si q = 0

calcule la funcion de oferta de producto.

15. Considere una empresa con funcion de coste

c(w1, w2, q) = w2q −w2

2

4w1

.

¿Cual es la funcion de produccion de la empresa? (Utilice el lema de Shep-hard).

16. Dada la funcion de produccion q = f(z) = ln(z + 1), donde z es el unicoinput,

(a) derive la funcion de coste y la funcion de beneficio,

(b) compruebe que el lema de Shephard y el lema de Hotelling se cumplen.

17. Las funciones de oferta y demanda de una empresa competitiva con unproducto y dos factores de produccion son respectivamente q(p, w1, w2)

z1(p, w1, w2) y z2(p, w1, w2). Se sabe que∂q

∂w1

> 0. ¿ Que podemos de-

cir sobre los signos de∂z2

∂w1

,∂z1

∂w2

,∂z1

∂p?

Teorıa de la empresa 111

18. Considere una empresa con una tecnologıa de produccion Cobb–Douglas:

q = zα1 zβ2 , α, β ≥ 0.

Suponiendo que la empresa toma los precios de mercado de output y de losfactores de produccion como dados,

(a) Escriba el problema de maximizacion del beneficio de la empresa ycalcule la funcion de oferta de la empresa, q(p, w1, w2). ¿Que restric-cion deben satisfacer los parametros α y β para que q∗ represente unmaximo? Relacione su respuesta con el concepto de rendimientos aescala en la produccion.

(b) Calcule la funcion de beneficio de la empresa π(p, w1, w2).

(c) Para el caso α = β = 1/4, calcule la funcion de coste de la empresa, lafuncion de coste marginal, el nivel optimo de produccion y el beneficiomaximo de la empresa.

(d) Demuestre que la primera ley de la oferta se cumple, es decir,

∂q(p, w1, w2)

∂p≥ 0.

Demuestre tambien que

∂q(p, w1, w2)

∂wi≤ 0, i = 1, 2.

(e) Demuestre que la funcion de beneficios π(p, w1, w2) satisface las sigu-ientes propiedades: (A) homogeneidad de grado 1 en (p, w1, w2); (B)creciente con respecto al precio del output y decreciente con respectoal precio de los inputs; (C) convexa en (p, w1, w2).

(f) Calcule las funciones de demanda incondicionales. Demuestre que laprimera ley de demanda de factores de produccion se cumple, es decir,

∂z(p, w1, w2)

∂wi≤ 0, i = 1, 2.

(g) Suponga que los precios en el mercado de factores son w1 = w2 = 12.

Encuentre la funcion de oferta de la empresa y representela grafica-mente.