indice: análisis empírico y qq plot ……………2 movimiento ... · distribución y proceso de...

1

La Formulación de Black-Scholes con “Jump Diffusion”

INDICE:

• Análisis empírico y QQ Plot ……………...2• Movimiento browniano ……………...9• Distribución y proceso de Poisson …………….12• Ampliación del EDP de Black-Scholes …………….15• Cobertura Delta /Arbitraje …………….19• VAR y simulación Monte Carlo …………….27

2

Análisis empírico y QQ Plot

• Quantile-Quantile o Q-Q plot: metodo gráfico de representacion de ladiferencia entre dos distribuciones de probabilidad para analizar lascolas de la distribución

• El gráfico se construye como sigue:

1. Ordenar los datos empíricos (incrementos percentuales diarios) enorden creciente )( iy con índice i desde 1 hasta n

2. Determinar incrementos porcentuales (teóricos) ix con función dedistribución normal igual a ni /

3. Representar los datos ),( ii yx gráficamente: cuanto mas similares sonlas dos distribuciónes la linea se aproxima mas a una recta

3

Case Study [1a]: Mexican Peso-US$

QQ - Plot :MXN-$ daily returns [Feb2000 - Feb2001]

-2

-1

0

1

2

3

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41

theoretical return from N(0,1)

obse

rved

retu

rn

(sta

ndar

dise

d)

MXN-$ daily returns [Feb2000 - Feb2001]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-3.00

-2.00

-1.00 0.0

0

1.00

2.00

3.00

StandardisedreturnsNormal returns

8.6

8.8

9

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

Feb 8

, 200

0

Feb 2

4, 20

00

Mar 13

, 200

0

Mar 29

, 200

0

Apr 17

, 200

0May

5, 20

00

May 23

, 200

0

Jun 8

, 2000

Jun 2

6, 200

0Ju

l 12,

2000

Jul 2

8, 20

00

Aug 15

, 200

0Sep

1, 20

00

Sep 19

, 200

0Oct

5, 20

00

Oct 23

, 200

0

Nov 8,

2000

Nov 24

, 200

0

Dec 12

, 200

0

Dec 29

, 200

0

Jan 1

6, 20

01Fe

b 1, 2

001

muestra:

feb. 2000 - feb. 2001

Distribucion ~ Normal

muestra:

feb. 2000 - feb. 2001


4

Case Study [1b]: Mexican Peso-US$

QQ - Plot :MXN-$ daily returns [Sept1994 - Sept1995]

-3-2-1012345

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41


obse

rved

retu

rn

(sta

ndar

dise

d)

MXN-$ daily returns [Sept1994 - Sept1995]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00


0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sep 8, 1

994

Sep 23,

1994

Oct 11,

1994

Oct 28,

1994

Nov 1

5, 199

4

Nov 3

0, 199

4

Dec 19,

1994

Jan 4,

1995

Jan 19

, 1995

Feb 3

, 1995

Feb 2

0, 199

5Mar

7, 199

5

Mar 24

, 1995

Apr 10,

1995

Apr 2

7, 199

5

May 15

, 1995

May 31

, 1995

Jun 15

, 1995

Jun 30

, 1995

Jul 17

, 1995

Aug 1, 1

995

Aug 16,

1995

Aug 3

1, 199

5

muestra:

sep. 1994 - sep. 1995

Distribucion no Normal

crisis Mejicana

muestra:

sep. 1994 - sep. 1995


crisis Mejicana

5

Case Study [2a]: Ibex Index

QQ - Plot :Ibex daily returns [Feb2000 - Feb2001]

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41

theore tical re turn from N(0,1)

obse

rved

retu

rn (s

tand

ardi

sed)

Ibe x da ily re turns [Fe b2 0 0 0 - Fe b2 0 0 1 ]:Obs e rve d Sta nda rdis e d Dis tr ibution vs Nornm a l (0 ,1 )

0

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

S tandard isedre turnsNorm al re turns

6000700080009000

1000011000120001300014000

Feb 1

4, 2000

Feb 2

9, 2000

Mar 15,

2000

Mar 30,

2000

Apr 1

4, 200

0May

4, 2000

May 19,

2000

Jun 5,

2000

Jun 20

, 200

0Jul

5, 200

0 Jul

20, 20

00Au

g 4, 20

00Au

g 21, 2

000

Sep 5

, 2000

Sep 2

0, 200

0Oct

5, 2000

Oct 23,

2000

Nov 8,

2000

Nov 23

, 2000

Dec 12

, 2000

Dec 29

, 2000

Jan 16

, 200

1Jan

31, 2

001

muestra:

feb. 2000 - feb. 2001


muestra:

feb. 2000 - feb. 2001


6

Case Study [2b]: Ibex IndexQQ - Plot :Ibex daily returns [Feb1998 - Feb1999]

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41


obse

rved

retu

rn (s

tand

ardi

sed)

Ibex daily returns [Feb1998 - Feb1999]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-3.00

-2.00 -1.00

0.00

1.00

2.00

3.00


6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

Feb 1

3, 1998

Mar 2, 19

98Mar 1

7, 1998

Apr 2,

1998

Apr 22

, 1998

May 8, 1

998May

25, 19

98Jun

10, 19

98Jun

25, 19

98Jul

10, 19

98Jul

27, 19

98Au

g 11, 1

998Au

g 26, 1

998Se

p 10, 1

998Se

p 25, 1

998Oct 1

3, 1998

Oct 28, 1

998Nov

12, 19

98Nov

27, 19

98Dec

15, 19

98Jan

5, 199

9Jan

21, 19

99Fe

b 5, 19

99

muestra:

feb. 1998 - feb. 1999


Default de Rusia

muestra:

feb. 1998 - feb. 1999


Default de Rusia

7

Case Study [3a]: YEN-US$

QQ - Plot :$-YEN daily returns [Feb2000 - Feb2001]

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41


obse

rved

retu

rn (s

tand

ardi

sed)

$-YEN daily returns [Feb2000 - Feb2001]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-3.00

-2.00 -1.00

0.00

1.00 2.00

3.00


90

95

100

105

110

115

120

Feb 23

, 200

0

Mar 8,

2000

Mar 22

, 200

0

Apr 5,

2000

Apr 19

, 200

0

May 3,

2000

May 17

, 200

0

May 31

, 200

0

Jun 1

4, 20

00

Jun 2

8, 20

00

Jul 1

2, 20

00

Jul 2

6, 20

00

Aug 9,

2000

Aug 23

, 200

0

Sep 6,

2000

Sep 20

, 200

0

Oct 4,

2000

Oct 18

, 200

0

Nov 1,

2000

Nov 15

, 200

0

Nov 29

, 200

0

Dec 13

, 200

0

Dec 27

, 200

0

Jan 1

0, 20

01

Jan 2

4, 20

01

Feb 7,

2001

muestra:

feb. 2000 - feb. 2001


muestra:

feb. 2000 - feb. 2001


8

Case Study [3b]: YEN-US$

$ -YEN da ily re turns [Fe b1 9 9 8 - Fe b1 9 9 9 ]:O bs e rve d S ta nda rdis e d Dis tr ibution vs Nornm a l (0 ,1 )

0

0.05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

S tanda rd isedre turnsNorm a l re turns

90

100

110

120

130

140

150

160

Feb 23

, 199

8

Mar 10

, 199

8

Mar 25

, 199

8

Apr 9,

1998

Apr 24

, 199

8

May 11

, 199

8

May 26

, 199

8

Jun 1

0, 19

98

Jun 2

5, 19

98

Jul 1

0, 19

98

Jul 2

7, 19

98

Aug 11

, 199

8

Aug 26

, 199

8

Sep 10

, 199

8

Sep 25

, 199

8

Oct 12

, 199

8

Oct 27

, 199

8

Nov 11

, 199

8

Nov 26

, 199

8

Dec 11

, 199

8

Dec 28

, 199

8

Jan 1

2, 19

99

Jan 2

7, 19

99

QQ - Plot :$-YEN daily returns [Feb1998 - Feb1999]

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.8

-1.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.04

0.24

0.45

0.69

0.97

1.36

2.41


obse

rved

retu

rn (s

tand

ardi

sed)

muestra:

feb. 1998 - feb. 1999


Default de Rusia

muestra:

feb. 1998 - feb. 1999


Default de Rusia

9

Movimiento browniano

Características del movimiento browniano )( tX :

• Límite: el incremento es proporcional a la raíz cuadrada de la variaciónde tiempo

• Normal: )()( 1−− ii tXtX tiene distribución Normal con media cero yvarianza 1−− ii tt

• Continuidad: las trayectorias son continuas

• Markov: la distribución condicional de )( tX dada la información hastat<τ depende solo de )( tX

• Martingala: dada la información t<τ la esperanza condicional de)( tX es )(τX

10

dt 0.1000s qrt(dt) 0.3162

f[X(t)]= df= f[X(t+dt)]- df[X(t)] - co in t X(t) X(t)^2 f[X(t)] 2X(t)dX(t) 2X(t)dX(t)

1 0.0000 0.0000 0.0000 0.1000 0.0000 0.10001 0.1000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000

-1 0.2000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.3000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000

-1 0.4000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.5000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000

-1 0.6000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.7000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000

-1 0.8000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.9000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000

-1 1.0000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.1000-1 1.1000 0.3162 0.1000 -0.1000 -0.2000 0.10001 1.2000 0.0000 0.0000 0.1000 0.0000 0.1000

11

• Fórmula de Itô

dtSVbdS

SVdt

tVdV

dXtSbdttSadStSVV

2

22

21

),(),(),(

∂∂+

∂∂+

∂∂=

+==

• Fórmula de Itô con dos factores de riesgo

dqtSVtJSVdtSVbdS

SVdt

tVdV

SdqJdXtSbdttSadStSVV

)),(),((

)1(),(),(),(

2

22

21 −+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

−++==

12

Distribución y proceso de Poisson

• Modelo básico de la variacion aleatoria en relación aacontecimientos extraordinarios

• Regula fenómenos donde los cambios son grandes, pero ocurrencon baja frecuencia

Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parametroλ si asume valores enteros no negativos 0≥κ con probabilidad:

,...2,1,0!

)( === − κκλκ

κλeXP

13

El conjunto de variables aleatorias }0),({ ≥ttq es un procesode Poisson con parámetro (intensidad) λ, 0>λ si:

1. 0)0( =q2. Los numeros de eventos que ocurren en intervalos de tiempo

separados son independientes3. La distribución del numero de eventos que ocurren en un intervalo

dado depende solo de la extensión del intervalo (no de su colocacióntemporal)

4. )(}1)({ hohhqP +== λ5. )(}2)({ hohqP =≥

!)(})({

ntentqP

nt λλ−

==

14

Poisson distribution

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

lambda*h=0.1lambda*t =2

15

Ampliación del PDE de Black-Scholes

Se puede incorporar el proceso de Poisson en un modelo de precio deactivos financieros (cfr. Wilmott, 2000):

SdqJSdXSdtdS )1( −++= σµ

−

=dtadprobabilidcon

dtadprobabilidcondq

λλ

110

Hipótesis :

• no hay correlación entre el movimiento browniano y el proceso dePoisson. Cuando hay un salto )1( =dq S toma inmediatamentevalor JS

• J = variable aleatoria con funcion de densidad de probabilidad P(J),sin correlación con el movimiento browniano y el proceso dePoisson.

16

El proceso estocástico del logaritmo de S es :

dqJdXdtSd )log()()(log 221 ++−= σσµ

Esta es una version “jump-diffusion” de Itô.

Consideramos la cartera:

StSV ∆−=Π ),(

El incremento de valor es:

+

∆−

∂∂+

∂∂+

∂∂=Π dS

SVdt

SVS

tVd 2

222

21 σ

dqSJtSVtJSV ))1(),(),(( −∆−−+

17

Si no hay salto en el tiempo t )0( =dq podemos eliminar el riesgoponiendo:

SV

∂∂=∆

Si hay un salto )1( =dq la variacion en el valor de la cartera no tienecobertura. No sabemos si cubrir los movimientos pequeños difusivos o elmovimiento mas grande que aparece rara vez.

• Cubrir la difusion:

SV

∂∂=∆

Se puede argumentar (cfr. Merton,1976) que si la componente de salto enel precio del activo financiero no está correlacionado con el total delmercado, el riesgo en el punto de discontiuidad no tiene que incorporarseal precio de la opcion.

18

Esperanza matemática de Πd = rendimiento libre de riesgo :

0)]1[()],(),([2

222

21 =−

∂∂−−+−

∂∂+

∂∂+

∂∂ JSE

SVtSVtJSVErV

SVrS

SVS

tV λλσ

Hay una solución analítica de esta ecuación bajo la hipótesis de que ellogaritmo de J tenga distribución Normal con desviación estandar σ ′ y

]1[ −= JEk :

),;,())((!

1 )(

1nnBS

ntT

nrtSVtTe

nσλλ −′−′−

∞

=∑

tTknkrr

tTnk nn −

++−=−′

+=+=′ )1log(,,)1(2

22 λσσσλλ

19

Cobertura Delta /Arbitraje

En la formulación anterior se cubrió el elemento difusivo del procesoestocástico del precio del activo. Otra posibilidad es intentar cubrir los dosfactores de riesgo. Podemos elegir ∆ para minimizar la varianza de lacartera:

...)),(),()1(( +−+−∆−+

∆−

∂∂=Π dqtSVtJSVSJdS

SVd

La varianza de este incremento, que es una medición del riesgo de lacartera, es:

...])),(),()1([(][ 2222

+−+−∆−+

∆−

∂∂=Π dttSVtJSVSJEdtS

SVdVar λσ

Si diferenciamos con respecto a ∆ y ponemos el resultado igual a cero:

SJSESVStSVtJSVJE

22

2

])1[(

))],(),()(1[(

σλ

σλ

+−∂∂+−−

=∆

20

Si valoramos la opción como esperanza actualizada real bajo estaestrategia de cobertura, se obtiene:

rVrkdS

VSSVS

tV −

−+−

∂∂+

∂∂+

∂∂ )(

2

2

222

21 λµσµσ

0)(11)),(),(( =

−+−−−+ rk

dJtSVtJSVE λµλ

22 ])1[( σλ +−= JEd

21

Arbitraje

• Se puede solucionar esta EDP numéricamente

• Imposibilidad de cobertura perfecta

• El mercado no es completo: no podemos utilizar la técnica “noarbitraje”

• Se necesitan µ y λ para calcular el valor de la opción y calibrar elmodelo (en la teoria clasica de Black-Scholes el parametro µ no tieneimpacto sobra el valor)

Mercado completo : cobertura Delta/neutralidad de riesgo

Mercado incompleto: CAPM para determinar V(S,t)

Mercado completo : cobertura Delta/neutralidad de riesgo

Mercado incompleto: CAPM para determinar V(S,t)

22

0%

20%

40%

60%

80%

0% 25% 50% 75% 100% 125% 150%

risk

retu

rnop s e t borde r e ffic ie nt frontie r ca p m arke t line a s s e ts

23

Consideramos opción CALL con S=10, E=10, vencimiento=1 año,volatilidad = 40%, drift =µ 20%, tipo de interes = 4%:

Esperanza real:

0)()(

)0,(

2

222

21 =+−

∂∂++

∂∂+

∂∂

−−+=

VrSVSr

SVS

tV

ESMaxSdqSdXSdtdS

λλσ

σµ

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

sp o t p r ic e

B la c k -S c h o le sR e a l E x p . V a lu e

Modelo basico:

m = lambda + r

.20 = .16 + .04

Modelo basico:

m = lambda + r

.20 = .16 + .04

24

Desviación estándar:

),( tSG = Esperanza del pay-off actualizado al cuadrado

0)(

))0,((),(

2

222

21

2)(

=∂∂++

∂∂+

∂∂

−= +−

SGSr

SGS

tG

ESMaxeTSG Tr

λσ

λ

Por definición, la desviación estándar al día de hoy es:

2))0,(()0,( SVSG −

S ta nda rd De via tion of P a y-off P re se nt V a lue

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20spot pr ic e

25

Una forma de representar estos resultados es un gráfico riesgo-beneficio:

=

)0,()0,(log1

SVSV

Treturn

BS

TSVSVSGrisk

BS )0,())0,(()0,( 2−

=

V 0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .0 0 1 .00 2 .00 3 .0 0 4 .00 5 .0 0

R isk

Retu

rn

26

Maturity: 6 monthVolatility: 25%Risk Free: 4%Prob default: 1.50%E: 10

(E-S)/E Spot price B-S Value V adjusted % difference30%OTM 7 0.0158275 0.0175911 -11.14%20%OTM 8 0.0967018 0.1048608 -8.44%10%OTM 9 0.3367215 0.3580271 -6.33%ATM 10 0.7999231 0.8378831 -4.75%10%ITM 11 1.481645 1.5344319 -3.56%20%ITM 12 2.3182543 2.3811893 -2.71%30%ITM 13 3.2446549 3.3132808 -2.12%

Maturity: 2 yearVolatility: 25%Risk Free: 4%Prob default: 1.50%E: 10

(E-S)/E Spot price B-S Value V adjusted % difference30%OTM 7 0.3483869 0.3972484 -14.03%20%OTM 8 0.6908136 0.7711576 -11.63%10%OTM 9 1.166149 1.2801855 -9.78%ATM 10 1.7659296 1.9122983 -8.29%10%ITM 11 2.471943 2.6468181 -7.07%20%ITM 12 3.2603898 3.4589412 -6.09%30%ITM 13 4.1084835 4.326078 -5.30%

27

VAR y simulación Monte Carlo

• Value at Risk (VAR) es una medición de la pérdida potencial deuna cartera debida a movimientos de mercado.

• La simulación de Monte Carlo consiste en generar unadistribución de precios de activos financieros utilizando numerosaleatorios ⇒ estimación directa del VAR de una cartera

• Herramienta de gran interés para la junta directiva de un banco

• Capital Adequacy Ratios : conjunto de reglas para asegurar quelos bancos estén protegidos contra movimientos extremos demercado

• Consideramos una simple aplicacion en VB:

28

Asset 10 Time AssetDrift 20% 0 10Volatility 40% 0.01 9.431403Intensity 0 0.02 9.041942Jump 0% 0.03 9.060285Timestep 0.01 0.04 9.103241

0.05 9.0328930.06 8.8134520.07 8.1075910.08 7.4619810.09 7.6007550.1 7.656332

0.11 7.5949980.12 7.9645460.13 7.6848730.14 7.4991320.15 6.9361720.16 7.1457110.17 7.6242330.18 7.7011130.19 7.4958560.2 6.93097

0.21 7.5268170.22 7.9012410.23 7.5893650.24 7.212564

Brownian motion

02468

101214

00.

140.

280.

420.

56 0.7

0.84

0.98

1.12

1.26 1.

41.

541.

681.

821.

96

Case(1):

Brownian motion

Case(1):

Brownian motion

29

Case(2):

Poisson process

Case(2):

Poisson process

Time q(t)0 0

0.01 0Intensity 2 0.02 0Timestep 0.01 0.03 0

0.04 00.05 00.06 00.07 00.08 00.09 00.1 0

0.11 00.12 00.13 00.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.2 1

0.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10.26 10.27 10.28 10.29 1

Poisson process

012345

0

0.14

0.28

0.42

0.56 0.7

0.84

0.98

1.12

1.26 1.4

1.54

1.68

1.82

1.96

Poisson distribution at t=2 [q(2) with lambda=2]

00.050.1

0.150.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

30

Asset 10 Time AssetDrift 20% 0 10Volatility 40% 0.01 10.43222Intensity 2 0.02 10.76532Jump -40% 0.03 11.64714Timestep 0.01 0.04 10.78573

0.05 10.577670.06 10.976990.07 11.145590.08 11.252270.09 11.841720.1 12.17219

0.11 12.192760.12 12.168710.13 11.369760.14 12.3670.15 13.22870.16 14.091660.17 13.918970.18 14.035760.19 14.281110.2 14.6575

0.21 15.083770.22 15.714540.23 15.045860.24 15.91799

dS = a*dt+b*dX+ (J-1)*S*dq

0

5

10

15

20

00.

140.

280.

420.

56 0.7

0.84

0.98

1.12

1.26 1.

41.

541.

681.

821.

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Case(3):

Jump Diffusion

Case(3):

Jump Diffusion

indice: análisis empírico y qq plot ……………2 movimiento ... · distribución y proceso de...

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