1
La Formulación de Black-Scholes con “Jump Diffusion”
INDICE:
• Análisis empírico y QQ Plot ……………...2• Movimiento browniano ……………...9• Distribución y proceso de Poisson …………….12• Ampliación del EDP de Black-Scholes …………….15• Cobertura Delta /Arbitraje …………….19• VAR y simulación Monte Carlo …………….27
2
Análisis empírico y QQ Plot
• Quantile-Quantile o Q-Q plot: metodo gráfico de representacion de ladiferencia entre dos distribuciones de probabilidad para analizar lascolas de la distribución
• El gráfico se construye como sigue:
1. Ordenar los datos empíricos (incrementos percentuales diarios) enorden creciente )( iy con índice i desde 1 hasta n
2. Determinar incrementos porcentuales (teóricos) ix con función dedistribución normal igual a ni /
3. Representar los datos ),( ii yx gráficamente: cuanto mas similares sonlas dos distribuciónes la linea se aproxima mas a una recta
3
Case Study [1a]: Mexican Peso-US$
QQ - Plot :MXN-$ daily returns [Feb2000 - Feb2001]
-2
-1
0
1
2
3
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theoretical return from N(0,1)
obse
rved
retu
rn
(sta
ndar
dise
d)
MXN-$ daily returns [Feb2000 - Feb2001]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
-3.00
-2.00
-1.00 0.0
0
1.00
2.00
3.00
StandardisedreturnsNormal returns
8.6
8.8
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
10.2
Feb 8
, 200
0
Feb 2
4, 20
00
Mar 13
, 200
0
Mar 29
, 200
0
Apr 17
, 200
0May
5, 20
00
May 23
, 200
0
Jun 8
, 2000
Jun 2
6, 200
0Ju
l 12,
2000
Jul 2
8, 20
00
Aug 15
, 200
0Sep
1, 20
00
Sep 19
, 200
0Oct
5, 20
00
Oct 23
, 200
0
Nov 8,
2000
Nov 24
, 200
0
Dec 12
, 200
0
Dec 29
, 200
0
Jan 1
6, 20
01Fe
b 1, 2
001
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
4
Case Study [1b]: Mexican Peso-US$
QQ - Plot :MXN-$ daily returns [Sept1994 - Sept1995]
-3-2-1012345
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theoretical return from N(0,1)
obse
rved
retu
rn
(sta
ndar
dise
d)
MXN-$ daily returns [Sept1994 - Sept1995]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
StandardisedreturnsNormal returns
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sep 8, 1
994
Sep 23,
1994
Oct 11,
1994
Oct 28,
1994
Nov 1
5, 199
4
Nov 3
0, 199
4
Dec 19,
1994
Jan 4,
1995
Jan 19
, 1995
Feb 3
, 1995
Feb 2
0, 199
5Mar
7, 199
5
Mar 24
, 1995
Apr 10,
1995
Apr 2
7, 199
5
May 15
, 1995
May 31
, 1995
Jun 15
, 1995
Jun 30
, 1995
Jul 17
, 1995
Aug 1, 1
995
Aug 16,
1995
Aug 3
1, 199
5
muestra:
sep. 1994 - sep. 1995
Distribucion no Normal
crisis Mejicana
muestra:
sep. 1994 - sep. 1995
Distribucion no Normal
crisis Mejicana
5
Case Study [2a]: Ibex Index
QQ - Plot :Ibex daily returns [Feb2000 - Feb2001]
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theore tical re turn from N(0,1)
obse
rved
retu
rn (s
tand
ardi
sed)
Ibe x da ily re turns [Fe b2 0 0 0 - Fe b2 0 0 1 ]:Obs e rve d Sta nda rdis e d Dis tr ibution vs Nornm a l (0 ,1 )
0
0 .05
0 .1
0 .15
0 .2
0 .25
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
S tandard isedre turnsNorm al re turns
6000700080009000
1000011000120001300014000
Feb 1
4, 2000
Feb 2
9, 2000
Mar 15,
2000
Mar 30,
2000
Apr 1
4, 200
0May
4, 2000
May 19,
2000
Jun 5,
2000
Jun 20
, 200
0Jul
5, 200
0 Jul
20, 20
00Au
g 4, 20
00Au
g 21, 2
000
Sep 5
, 2000
Sep 2
0, 200
0Oct
5, 2000
Oct 23,
2000
Nov 8,
2000
Nov 23
, 2000
Dec 12
, 2000
Dec 29
, 2000
Jan 16
, 200
1Jan
31, 2
001
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
6
Case Study [2b]: Ibex IndexQQ - Plot :Ibex daily returns [Feb1998 - Feb1999]
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theoretical return from N(0,1)
obse
rved
retu
rn (s
tand
ardi
sed)
Ibex daily returns [Feb1998 - Feb1999]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-3.00
-2.00 -1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
StandardisedreturnsNormal returns
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
Feb 1
3, 1998
Mar 2, 19
98Mar 1
7, 1998
Apr 2,
1998
Apr 22
, 1998
May 8, 1
998May
25, 19
98Jun
10, 19
98Jun
25, 19
98Jul
10, 19
98Jul
27, 19
98Au
g 11, 1
998Au
g 26, 1
998Se
p 10, 1
998Se
p 25, 1
998Oct 1
3, 1998
Oct 28, 1
998Nov
12, 19
98Nov
27, 19
98Dec
15, 19
98Jan
5, 199
9Jan
21, 19
99Fe
b 5, 19
99
muestra:
feb. 1998 - feb. 1999
Distribucion no Normal
Default de Rusia
muestra:
feb. 1998 - feb. 1999
Distribucion no Normal
Default de Rusia
7
Case Study [3a]: YEN-US$
QQ - Plot :$-YEN daily returns [Feb2000 - Feb2001]
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theoretical return from N(0,1)
obse
rved
retu
rn (s
tand
ardi
sed)
$-YEN daily returns [Feb2000 - Feb2001]:Observed Standardised Distribution vs Nornmal (0,1)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
-3.00
-2.00 -1.00
0.00
1.00 2.00
3.00
StandardisedreturnsNormal returns
90
95
100
105
110
115
120
Feb 23
, 200
0
Mar 8,
2000
Mar 22
, 200
0
Apr 5,
2000
Apr 19
, 200
0
May 3,
2000
May 17
, 200
0
May 31
, 200
0
Jun 1
4, 20
00
Jun 2
8, 20
00
Jul 1
2, 20
00
Jul 2
6, 20
00
Aug 9,
2000
Aug 23
, 200
0
Sep 6,
2000
Sep 20
, 200
0
Oct 4,
2000
Oct 18
, 200
0
Nov 1,
2000
Nov 15
, 200
0
Nov 29
, 200
0
Dec 13
, 200
0
Dec 27
, 200
0
Jan 1
0, 20
01
Jan 2
4, 20
01
Feb 7,
2001
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
muestra:
feb. 2000 - feb. 2001
Distribucion ~ Normal
8
Case Study [3b]: YEN-US$
$ -YEN da ily re turns [Fe b1 9 9 8 - Fe b1 9 9 9 ]:O bs e rve d S ta nda rdis e d Dis tr ibution vs Nornm a l (0 ,1 )
0
0.05
0 .1
0 .15
0 .2
0 .25
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
S tanda rd isedre turnsNorm a l re turns
90
100
110
120
130
140
150
160
Feb 23
, 199
8
Mar 10
, 199
8
Mar 25
, 199
8
Apr 9,
1998
Apr 24
, 199
8
May 11
, 199
8
May 26
, 199
8
Jun 1
0, 19
98
Jun 2
5, 19
98
Jul 1
0, 19
98
Jul 2
7, 19
98
Aug 11
, 199
8
Aug 26
, 199
8
Sep 10
, 199
8
Sep 25
, 199
8
Oct 12
, 199
8
Oct 27
, 199
8
Nov 11
, 199
8
Nov 26
, 199
8
Dec 11
, 199
8
Dec 28
, 199
8
Jan 1
2, 19
99
Jan 2
7, 19
99
QQ - Plot :$-YEN daily returns [Feb1998 - Feb1999]
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.8
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.04
0.24
0.45
0.69
0.97
1.36
2.41
theoretical return from N(0,1)
obse
rved
retu
rn (s
tand
ardi
sed)
muestra:
feb. 1998 - feb. 1999
Distribucion no Normal
Default de Rusia
muestra:
feb. 1998 - feb. 1999
Distribucion no Normal
Default de Rusia
9
Movimiento browniano
Características del movimiento browniano )( tX :
• Límite: el incremento es proporcional a la raíz cuadrada de la variaciónde tiempo
• Normal: )()( 1−− ii tXtX tiene distribución Normal con media cero yvarianza 1−− ii tt
• Continuidad: las trayectorias son continuas
• Markov: la distribución condicional de )( tX dada la información hastat<τ depende solo de )( tX
• Martingala: dada la información t<τ la esperanza condicional de)( tX es )(τX
10
dt 0.1000s qrt(dt) 0.3162
f[X(t)]= df= f[X(t+dt)]- df[X(t)] - co in t X(t) X(t)^2 f[X(t)] 2X(t)dX(t) 2X(t)dX(t)
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.1000 0.0000 0.10001 0.1000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000
-1 0.2000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.3000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000
-1 0.4000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.5000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000
-1 0.6000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.7000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000
-1 0.8000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.10001 0.9000 0.3162 0.1000 0.3000 0.2000 0.1000
-1 1.0000 0.6325 0.4000 -0.3000 -0.4000 0.1000-1 1.1000 0.3162 0.1000 -0.1000 -0.2000 0.10001 1.2000 0.0000 0.0000 0.1000 0.0000 0.1000
11
• Fórmula de Itô
dtSVbdS
SVdt
tVdV
dXtSbdttSadStSVV
2
22
21
),(),(),(
∂∂+
∂∂+
∂∂=
+==
• Fórmula de Itô con dos factores de riesgo
dqtSVtJSVdtSVbdS
SVdt
tVdV
SdqJdXtSbdttSadStSVV
)),(),((
)1(),(),(),(
2
22
21 −+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
−++==
12
Distribución y proceso de Poisson
• Modelo básico de la variacion aleatoria en relación aacontecimientos extraordinarios
• Regula fenómenos donde los cambios son grandes, pero ocurrencon baja frecuencia
Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parametroλ si asume valores enteros no negativos 0≥κ con probabilidad:
,...2,1,0!
)( === − κκλκ
κλeXP
13
El conjunto de variables aleatorias }0),({ ≥ttq es un procesode Poisson con parámetro (intensidad) λ, 0>λ si:
1. 0)0( =q2. Los numeros de eventos que ocurren en intervalos de tiempo
separados son independientes3. La distribución del numero de eventos que ocurren en un intervalo
dado depende solo de la extensión del intervalo (no de su colocacióntemporal)
4. )(}1)({ hohhqP +== λ5. )(}2)({ hohqP =≥
!)(})({
ntentqP
nt λλ−
==
14
Poisson distribution
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
lambda*h=0.1lambda*t =2
15
Ampliación del PDE de Black-Scholes
Se puede incorporar el proceso de Poisson en un modelo de precio deactivos financieros (cfr. Wilmott, 2000):
SdqJSdXSdtdS )1( −++= σµ
−
=dtadprobabilidcon
dtadprobabilidcondq
λλ
110
Hipótesis :
• no hay correlación entre el movimiento browniano y el proceso dePoisson. Cuando hay un salto )1( =dq S toma inmediatamentevalor JS
• J = variable aleatoria con funcion de densidad de probabilidad P(J),sin correlación con el movimiento browniano y el proceso dePoisson.
16
El proceso estocástico del logaritmo de S es :
dqJdXdtSd )log()()(log 221 ++−= σσµ
Esta es una version “jump-diffusion” de Itô.
Consideramos la cartera:
StSV ∆−=Π ),(
El incremento de valor es:
+
∆−
∂∂+
∂∂+
∂∂=Π dS
SVdt
SVS
tVd 2
222
21 σ
dqSJtSVtJSV ))1(),(),(( −∆−−+
17
Si no hay salto en el tiempo t )0( =dq podemos eliminar el riesgoponiendo:
SV
∂∂=∆
Si hay un salto )1( =dq la variacion en el valor de la cartera no tienecobertura. No sabemos si cubrir los movimientos pequeños difusivos o elmovimiento mas grande que aparece rara vez.
• Cubrir la difusion:
SV
∂∂=∆
Se puede argumentar (cfr. Merton,1976) que si la componente de salto enel precio del activo financiero no está correlacionado con el total delmercado, el riesgo en el punto de discontiuidad no tiene que incorporarseal precio de la opcion.
18
Esperanza matemática de Πd = rendimiento libre de riesgo :
0)]1[()],(),([2
222
21 =−
∂∂−−+−
∂∂+
∂∂+
∂∂ JSE
SVtSVtJSVErV
SVrS
SVS
tV λλσ
Hay una solución analítica de esta ecuación bajo la hipótesis de que ellogaritmo de J tenga distribución Normal con desviación estandar σ ′ y
]1[ −= JEk :
),;,())((!
1 )(
1nnBS
ntT
nrtSVtTe
nσλλ −′−′−
∞
=∑
tTknkrr
tTnk nn −
++−=−′
+=+=′ )1log(,,)1(2
22 λσσσλλ
19
Cobertura Delta /Arbitraje
En la formulación anterior se cubrió el elemento difusivo del procesoestocástico del precio del activo. Otra posibilidad es intentar cubrir los dosfactores de riesgo. Podemos elegir ∆ para minimizar la varianza de lacartera:
...)),(),()1(( +−+−∆−+
∆−
∂∂=Π dqtSVtJSVSJdS
SVd
La varianza de este incremento, que es una medición del riesgo de lacartera, es:
...])),(),()1([(][ 2222
+−+−∆−+
∆−
∂∂=Π dttSVtJSVSJEdtS
SVdVar λσ
Si diferenciamos con respecto a ∆ y ponemos el resultado igual a cero:
SJSESVStSVtJSVJE
22
2
])1[(
))],(),()(1[(
σλ
σλ
+−∂∂+−−
=∆
20
Si valoramos la opción como esperanza actualizada real bajo estaestrategia de cobertura, se obtiene:
rVrkdS
VSSVS
tV −
−+−
∂∂+
∂∂+
∂∂ )(
2
2
222
21 λµσµσ
0)(11)),(),(( =
−+−−−+ rk
dJtSVtJSVE λµλ
22 ])1[( σλ +−= JEd
21
Arbitraje
• Se puede solucionar esta EDP numéricamente
• Imposibilidad de cobertura perfecta
• El mercado no es completo: no podemos utilizar la técnica “noarbitraje”
• Se necesitan µ y λ para calcular el valor de la opción y calibrar elmodelo (en la teoria clasica de Black-Scholes el parametro µ no tieneimpacto sobra el valor)
Mercado completo : cobertura Delta/neutralidad de riesgo
Mercado incompleto: CAPM para determinar V(S,t)
Mercado completo : cobertura Delta/neutralidad de riesgo
Mercado incompleto: CAPM para determinar V(S,t)
22
0%
20%
40%
60%
80%
0% 25% 50% 75% 100% 125% 150%
risk
retu
rnop s e t borde r e ffic ie nt frontie r ca p m arke t line a s s e ts
23
Consideramos opción CALL con S=10, E=10, vencimiento=1 año,volatilidad = 40%, drift =µ 20%, tipo de interes = 4%:
Esperanza real:
0)()(
)0,(
2
222
21 =+−
∂∂++
∂∂+
∂∂
−−+=
VrSVSr
SVS
tV
ESMaxSdqSdXSdtdS
λλσ
σµ
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
sp o t p r ic e
B la c k -S c h o le sR e a l E x p . V a lu e
Modelo basico:
m = lambda + r
.20 = .16 + .04
Modelo basico:
m = lambda + r
.20 = .16 + .04
24
Desviación estándar:
),( tSG = Esperanza del pay-off actualizado al cuadrado
0)(
))0,((),(
2
222
21
2)(
=∂∂++
∂∂+
∂∂
−= +−
SGSr
SGS
tG
ESMaxeTSG Tr
λσ
λ
Por definición, la desviación estándar al día de hoy es:
2))0,(()0,( SVSG −
S ta nda rd De via tion of P a y-off P re se nt V a lue
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20spot pr ic e
25
Una forma de representar estos resultados es un gráfico riesgo-beneficio:
=
)0,()0,(log1
SVSV
Treturn
BS
TSVSVSGrisk
BS )0,())0,(()0,( 2−
=
V 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .0 0 1 .00 2 .00 3 .0 0 4 .00 5 .0 0
R isk
Retu
rn
26
Maturity: 6 monthVolatility: 25%Risk Free: 4%Prob default: 1.50%E: 10
(E-S)/E Spot price B-S Value V adjusted % difference30%OTM 7 0.0158275 0.0175911 -11.14%20%OTM 8 0.0967018 0.1048608 -8.44%10%OTM 9 0.3367215 0.3580271 -6.33%ATM 10 0.7999231 0.8378831 -4.75%10%ITM 11 1.481645 1.5344319 -3.56%20%ITM 12 2.3182543 2.3811893 -2.71%30%ITM 13 3.2446549 3.3132808 -2.12%
Maturity: 2 yearVolatility: 25%Risk Free: 4%Prob default: 1.50%E: 10
(E-S)/E Spot price B-S Value V adjusted % difference30%OTM 7 0.3483869 0.3972484 -14.03%20%OTM 8 0.6908136 0.7711576 -11.63%10%OTM 9 1.166149 1.2801855 -9.78%ATM 10 1.7659296 1.9122983 -8.29%10%ITM 11 2.471943 2.6468181 -7.07%20%ITM 12 3.2603898 3.4589412 -6.09%30%ITM 13 4.1084835 4.326078 -5.30%
27
VAR y simulación Monte Carlo
• Value at Risk (VAR) es una medición de la pérdida potencial deuna cartera debida a movimientos de mercado.
• La simulación de Monte Carlo consiste en generar unadistribución de precios de activos financieros utilizando numerosaleatorios ⇒ estimación directa del VAR de una cartera
• Herramienta de gran interés para la junta directiva de un banco
• Capital Adequacy Ratios : conjunto de reglas para asegurar quelos bancos estén protegidos contra movimientos extremos demercado
• Consideramos una simple aplicacion en VB:
28
Asset 10 Time AssetDrift 20% 0 10Volatility 40% 0.01 9.431403Intensity 0 0.02 9.041942Jump 0% 0.03 9.060285Timestep 0.01 0.04 9.103241
0.05 9.0328930.06 8.8134520.07 8.1075910.08 7.4619810.09 7.6007550.1 7.656332
0.11 7.5949980.12 7.9645460.13 7.6848730.14 7.4991320.15 6.9361720.16 7.1457110.17 7.6242330.18 7.7011130.19 7.4958560.2 6.93097
0.21 7.5268170.22 7.9012410.23 7.5893650.24 7.212564
Brownian motion
02468
101214
00.
140.
280.
420.
56 0.7
0.84
0.98
1.12
1.26 1.
41.
541.
681.
821.
96
Case(1):
Brownian motion
Case(1):
Brownian motion
29
Case(2):
Poisson process
Case(2):
Poisson process
Time q(t)0 0
0.01 0Intensity 2 0.02 0Timestep 0.01 0.03 0
0.04 00.05 00.06 00.07 00.08 00.09 00.1 0
0.11 00.12 00.13 00.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.2 1
0.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10.26 10.27 10.28 10.29 1
Poisson process
012345
0
0.14
0.28
0.42
0.56 0.7
0.84
0.98
1.12
1.26 1.4
1.54
1.68
1.82
1.96
Poisson distribution at t=2 [q(2) with lambda=2]
00.050.1
0.150.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
30
Asset 10 Time AssetDrift 20% 0 10Volatility 40% 0.01 10.43222Intensity 2 0.02 10.76532Jump -40% 0.03 11.64714Timestep 0.01 0.04 10.78573
0.05 10.577670.06 10.976990.07 11.145590.08 11.252270.09 11.841720.1 12.17219
0.11 12.192760.12 12.168710.13 11.369760.14 12.3670.15 13.22870.16 14.091660.17 13.918970.18 14.035760.19 14.281110.2 14.6575
0.21 15.083770.22 15.714540.23 15.045860.24 15.91799
dS = a*dt+b*dX+ (J-1)*S*dq
0
5
10
15
20
00.
140.
280.
420.
56 0.7
0.84
0.98
1.12
1.26 1.
41.
541.
681.
821.
96
Case(3):
Jump Diffusion
Case(3):
Jump Diffusion