INDICE: 1. Desigualdades

1.1. Ordenación de los números reales

1.2. Desigualdades

1.3. Propiedades de las desigualdades

2. Inecuaciones

2.1. Inecuaciones de 1er grado

2.1.1. Resolución 2.1.2. Representación de las soluciones

2.2. Inecuaciones de 22 grado

2.3. Inecuaciones con fracciones algebraicas

ANEXO I: Relación de ejercicios ANEXO II: Relación de ejercicios resueltos

INECUACIONES 1. DESIGUALDADES:

1.1. ORDENACIÓN DE NUMEROS REALES:

Cuando representamos números en la recta real al comparar unos con otros sabemos que cuanto más a la izquierda esté un número más pequeño será, y cuanto más a la derecha, más grande. De esta forma, si comparamos dos números entre sí, el que esté representado a la izquierda será el menor, y el representado a la derecha será el mayor. Si nos fijamos en los siguientes números, podemos decir:

2 es menor que 4 (está a su izquierda) 7 es mayor que 2 (está a su derecha) 5’2 es menor que 7 (está a su izquierda) Esta relación entre números se expresa algebraicamente con los símbolos < y >. < significa “menor que” y nos indica que el número que escribamos a la izquierda ha de ser menor que el que escribamos a la derecha.

Así, podemos escribir:

2 < 5 (2 es menor que 5) 3,7 < 14 (3,7 es menor que 14) – 3 < 1 (-3 es menor que 1)

> significa “mayor que” y nos indica que el número que escribamos a la izquierda ha de ser mayor que el que escribamos a la derecha. Así, podemos escribir 23 > 12 (23 es mayor que 12)

6,25 > √2 (6,25 es mayor que √2) 2 >– 4 (2 es mayor que –4)

En cambio, es incorrecto escribir:

2 > 7 (2 es mayor que 7 es falso) 11 < 9 (11 es menor que 9 es falso)

Ejercicio:

Escribe relaciones de orden con los números 2, 7, −12, √3, �� , 0

La relación de orden entre dos números también puede expresarse con los símbolos ≤ y ≥. ≤ significa “menor o igual que” y nos indica que el número que escribamos a la

izquierda ha de ser menor que el que escribamos a la derecha, pero también pueden ser el mismo número.

Así, podemos escribir:

2 ≤ 7 (2 es menor o igual que 7) −3 ≤ 5 (-3 es menor o igual que 5) 4 ≤ 4 (4 es menor o igual que 4)

≥.significa “mayor o igual que” y nos indica que el número que escribamos a la izquierda ha de ser mayor que el que escribamos a la derecha, pero también pueden ser el mismo número. Así, podemos escribir:

9 ≥ 2(9 es mayor o igual que 2) 1�3 ≥ −4 (1,3 es mayor o igual que -4) 7 ≥ 7 (7 es mayor o igual que 7)

En cambio, es incorrecto escribir:

5 ≤ 1, 3 ≥ 8.3, −2.1 ≤ −7,...

Ejercicio:

Con los números 2,−3, �� , √2, 15, −7 utiliza los símbolos ≤ y ≥ . para

expresar cuatro relaciones de orden. Escribe también dos relaciones erróneas.

1.2. DESIGUALDADES:

Cuando tengamos una relación como las anteriores utilizando los símbolos <, >, ≤ ó ≥, diremos que tenemos una desigualdad numérica. Podemos decir entonces que una desigualdad numérica es una relación entre números que expresa la ordenación de los mismos.

Ejemplos:

2 < 7, −4 < 0, 7.5 ≥ 3, − 12 ≤ 0, √5 ≥ 1, 12 > −4.5

1.3. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

Vamos a ver que cuando tenemos una desigualdad, realizando diversas operaciones con ella obtenemos otra desigualdad que sigue siendo cierta. a) SUMAR UN MISMO NÚMERO A LOS DOS MIEMBROS DE UNA

DESIGUALDAD: Partamos de un ejemplo: 2 < 7 ( 2 es menor que 7 es cierto)

¿Qué ocurre si sumamos un mismo número a los dos miembros de la desigualdad? Sumemos 6 a los dos miembros: 2 + 6 < 7 + 6 ⇒ 8 < 13 Obtenemos una desigualdad que sigue siendo cierta. ¿Y si sumamos un número negativo? (o lo que es lo mismo, si restamos un número a los dos miembros de la desigualdad) Restemos 1 a los dos miembros: 2 − 1 < 7 − 1 ⇒ 1 < 6 La desigualdad resultante continua siendo cierta. Ejercicio: Suma o resta un número a los dos miembros de las siguientes desigualdades y comprueba si dan lugar a desigualdades ciertas o no:

4 ≤ 7, −2 < 7�5, 9 ≥ 6, 7 < 15, 1 ≤ 12 CONCLUSIÓN:

CUANDO SUMAMOS O RESTAMOS UN MISMO NÚMERO A LOS DOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD, OBTENEMOS OTRA DESIGUALDAD QUE SIGUE SIENDO CIERTA.

b) MULTIPLICAR POR UN MISMO NÚMERO LOS DOS MIEMBROS DE

UNA DESIGUALDAD: Por ejemplo: 9 ≥ 2

¿Obtenemos una desigualdad cierta si multiplicamos los dos miembros por un número positivo? 9 · 3 ≥ 2 · 3 ⇒ 27 ≥ 6, que sigue siendo cierto. 9 · 5 ≥ 2 · 5 ⇒ 45 ≥ 10, que sigue siendo cierto Luego parece ser que si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número positivo da lugar a otra desigualdad verdadera.

Ejercicio:

Multiplica por un mismo número positivo los dos miembros de las siguientes desigualdades y comprueba que las desigualdades resultantes siguen siendo ciertas:

2 < 9; 7 ≥ −2;−3 ≤ 4; 12 > 6

Pero, ¿y si el número por el que multiplicamos es un número negativo? ¿Da lugar también a una desigualdad cierta?

Por ejemplo: 4 < 6 Multipliquemos los dos miembros por −2: 4 · �−2� < 6 · �−2� ⇒ −8 < −12. Esto es falso; lo cierto es que -8 > −12. Veamos otro ejemplo a ver si ocurre lo mismo: 5 > −3 Multipliquemos los dos miembros por −4: 5 · �−4� > −3 · �−4� ⇒ −20 > 12. Esto también es falso; lo cierto es que −20 < 12 Luego al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, para que siga siendo una desigualdad verdadera tenemos que cambiar “el sentido” de la desigualdad: si la primera era con <, la que resulta es con >, y viceversa. Ejemplos: 2 < 7. Si multiplicamos los dos miembros por −3, entonces resulta que 2 · �−3� > 7 · �−3� ⟺ −6 > −21. CAMBIA EL SENTIDO DE LA DESIGUALDAD 5 > −4. Si multiplicamos los dos miembros por −2, entonces resulta que 5 · �−2� < −4 · �−2� ⟺ −10 < 8. CAMBIA EL SENTIDO DE LA DESIGUALDAD −3 ≤ 9 . Si multiplicamos los dos miembros por −6 , resulta que �−3� · �−6� ≥ 9 · �−6� ⟺ 18 ≥ −54 CAMBIA EL SENTIDO DE LA DESIGUALDAD CONCLUSIÓN:

CUANDO MULTIPLICAMOS LOS DOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN MISMO NÚMERO POSITIVO, LA DESIGUALDAD RESULTANTE SIGUE SIENDO CIERTA.

Ejercicio:

Multiplica las siguientes desigualdades por un número positivo o negativo teniendo cuidado de cambiar el sentido cuando sea necesario:

2 < 7; 5 ≥ −2;−3 ≤ 6; 7 > 4;−8 ≤ −2 2. INECUACIONES:

Una inecuación es una expresión algebraica en la que aparecen relacionados números y letras mediante signos de orden como <, >, ≤ ó ≥. Así, son inecuaciones:

22 − 3 < 72 − 12332� − 122 + 5 ≥ 062 · 3 − 12 > 72�

La nomenclatura es la misma que para las ecuaciones:

• Las incógnitas son las letras que aparecen. • El grado es el mayor exponente al que aparecen elevadas las incógnitas. • Solución de una inecuación es el valor que hay que dar a las incógnitas para

que la desigualdad que aparece sea cierta. • Resolver una inecuación es encontrar los valores de las incógnitas que

cumplen la desigualdad. • Comprobar una inecuación es verificar que las soluciones encontradas

satisfacen la inecuación (sustituir la incógnita por las soluciones y verificar que la desigualdad que resulta es cierta)

Ejemplo:

22 − 5 < 9

• La incógnita es 2. • Es una inecuación de 1º grado. • Una solución es 2 = 4:

2 · 4 − 5 < 9 ⇒ 8 − 5 < 9 ⇒ 3 < 9 ESTA DESIGUALDAD ESCIERTA,LUEGO 2 = 4 es solución.

• Otra solución es 2 = 6: 2 · 6 − 5 < 9 ⇒ 12 − 5 < 9 ⇒ 7 < 9 ES CIERTO, LUEGO

CUANDOMULTIPLICAMOSLOSDOSMIEMBROSDEUNADESIGUALDADPORUNMISMONÚMERO

NEGATIVO,CAMBIAELSENTIDODELADESIGUALDADRESULTANTE.

2 = 6 es solución. • En cambio 2 = 10 NO es solución:

2 · 10 − 5 < 9 ⇒ 20 − 5 < 9 ⇒ 15 < 9. ESTA DESIGUALDADESFALSA,PORTANTO 6 = 78 NO es solución.

En este tema aprenderemos a resolver inecuaciones de 1º y 2º grado con una incógnita.

2.1. INECUACIONES DE 1er GRADO:

2.1.1. RESOLUCIÓN:

Resolver una inecuación de 1er grado significa encontrar los valores de la incógnita que dan lugar a una desigualdad verdadera. Para encontrar estos valores vamos a seguir un procedimiento semejante al que empleamos a la hora de resolver una ecuación: vamos a “despejar” la 2.

Es decir, el proceso de resolución estará terminado cuando dejemos a la incógnita, normalmente 2, en alguno de los dos lados de la inecuación.

IMPORTANTE: Estamos trabajando con desigualdades, luego al despejar la incógnita no pongamos nunca expresiones del tipo 2 = 4, 92 = −3, etc. Estamos utilizando los símbolos <, >,≤ y ≥, así que al final quedará uno de ellos. NOCAMBIARLONUNCAPORUNSIGNO=.

Para “despejar” la incógnita, vamos a utilizar las dos propiedades dadas para las desigualdades:

A) SUMARORESTARUNMISMONÚMEROALOSDOSMIEMBROSDE

LAINECUACIÓN�ELSENTIDONOVARIA� B) MULTIPLICAR POR UN MISMO NÚMERO POSITIVO LOS DOS

MIEMBROSDELAINECUACIÓN�ELSENTIDONOVARIA� C) MULTIPLICAR POR UN MISMO NÚMERO NEGATIVO LOS DOS

MIEMBROSDELA INECUACIÓNYCAMBIAREL SENTIDODE LADESIGUALDAD

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

22 − 3 < 7 Sumamos 3 a los dos miembros:22 − 3 + 3 < 7 + 3 ⇒ 22 < 10 Dividimos los dos miembros entre 2:

222 < 10

2 ⇒ 2 < 5

La incógnita “está despejada”; la solución es 2 < 5

Ejemplo 2: −32 − 4 < 8 Sumamos 4 a los dos miembros:−32 − 4 + 4 < 8 + 4 ⇒ −32 < 12 Dividimos los dos miembros entre −3: −32−3 > 12−3 ⇒ 2 > −4

La incógnita “está despejada”; la solución es 2 > −4

REGLA PRACTICA:

Las inecuaciones de 1er grado se resuelven siguiendo el mismo procedimiento que las ecuaciones; lo único a tener en cuenta es que si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Ejercicio: Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 22 − 5 < 7 b) 32 + 4 ≥ 10

c) −42 + 5 ≤ −23 d) −52 − 2 < 13

2.1.2. REPRESENTACIÓN DE LAS SOLUCIONES:

Debemos darnos cuenta de que las inecuaciones de primer grado no tienen una única solución, sino que van a existir infinitos números que la verifican, esto es, que son solución. Por ejemplo, si la solución de una inecuación es 2 < 4, significa que todos los números menores que 4 son solución: 3, 2.5, 2, 1.77777, . . . , √2 , −5, −10000, … .. son soluciones. Para representar a todos estos números utilizamos los llamados intervalos. Cuando en un intervalo utilizamos el símbolo ( ó ) quiere decir que el extremo no se incluye. Cuando usamos los símbolos [ ó ] significa que los extremos si están incluidos. Así, 2 < 4 lo representamos como el intervalo �← ,4). Gráficamente son los números:

2 > 8 lo representamos �8, →). Gráficamente son los números:

2 ≤ −3 lo representamos �@←, −3A@. Gráficamente son los números:

2 ≥ 1 lo representamos �@1, →A@. Gráficamente son los números:

Ejercicio: a) Expresa como intervalos las soluciones de las siguientes inecuaciones:

1) 2 < −3 2) 2 ≥ 5 3) 22 − 1 ≤ 32 − 4

b) Para cada una de las inecuaciones anteriores, indica dos números que sean

solución y dos que no lo sean.

2.2. INECUACIONES DE 2º GRADO:

Una vez que hayamos realizado las operaciones, nos van a quedar inecuaciones de la forma:

B2� + C2 + D < 0 B2� + C2 + D ≤ 0 B2� + C2 + D > 0 B2� + C2 + D ≥ 0

Todas las vamos a resolver siguiendo el mismo método. Lo vemos con un ejemplo: Resolver 22 − 52 + 4 ≤ 0 Seguimos los siguientes pasos: 1) RESOLVER LA ECUACIÓN ASOCIADA:

En este caso, resolvamos 22 − 52 + 4 = 0:

2 = 5 ± F�−5)� − 4 · 1 · 42 · 1 = 5 ± √25 − 162 = 5 ± √92 =

= 5 ± 32 = ↗↘5 + 32 = 82 = 45 − 32 = 22 = 1

Las soluciones de la ecuación asociada son 2� = 1, 2� = 4.

2) DIVIDIR LA RECTA REAL A PARTIR DE LAS SOLUCIONES DE LA

ECUACIÓN: Como las soluciones son 2� = 1 y 2� = 4, la recta real queda dividida en tres intervalos: �← ,1), �1,4) y �4, →)

3) COMPROBAR SI SE VERIFICA LA INECUACIÓN EN CADA UNO DE LOS

INTERVALOS ANTERIORES: Elegimos un número cualquiera en cada uno de los intervalos y lo sustituimos en la inecuación, comprobando si la desigualdad es cierta o falsa. Para hacer estos cálculos más rápidamente construimos la siguiente tabla:

INTERVALOS �← ,1) �1,4) �4, →) 2 −2 3 5 2� − 52 + 4 4 + 10 + 4 = 18 9 − 15 + 4 = −2 25 − 25 + 4 = 4 2� − 52 + 4 ≤ 0 18 ≤ 0 −2 ≤ 0 4 ≤ 0 FALSO CIERTO FALSO

Por tanto, la inecuación se cumple cuando elegimos un número en el intervalo �1,4). Sólo falta comprobar una cosa:¿se cumple la inecuación si sustituimos en los extremos del intervalo? 1� − 5 · 1 + 4 ≤ 0 ⇒ 1 − 5 + 4 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 0. SE CUMPLE 4� − 5 · 4 + 4 ≤ 0 ⇒ 16 − 20 + 4 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 0 SE CUMPLE Luego los extremos del intervalo también son solución. Por tanto la solución de la inecuación es el intervalo [1,4A OBSERVACIÓN: Cuando la inecuación sea con ≤ 9 ≥, los extremos del intervalo siempre se van a incluir en la solución, pues si sustituimos por ellos va a quedar 0 ≤ 0 o 0 ≥ 0, que es cierto. En cambio, cuando la inecuación sea con < ó >, los extremos del intervalo no se van a incluir en la solución, pues al sustituir por ellos quedará 0 < 0 ó 0 > 0, que es falso.

Ejercicio:

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 22 + 6 > 72 b) 22� − 42 ≥ 16

2.3. INECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Tanto en las inecuaciones de 1er como de 2º grado pueden aparecernos expresiones algebraicas en el denominador, por ejemplo:

22 − 42 − 8 < 0

En este caso, al ser una fracción, el signo se estudiará teniendo en cuenta el signo del numerador y el del denominador. Para el ejemplo anterior habría que buscar cuando aparece

JK ó KJ. Los cálculos necesarios para saberlo vamos a realizarlos de manera

ordenada para que nos sea más fácil resolver la inecuación. PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA INECUACIÓN CON FRACCIONES ALGEBRAICAS: Lo vemos a partir del ejemplo anterior:

22 − 42 − 8 < 0

1) Igualamos a 0 numerador y denominador y resolvemos las ecuaciones que aparezcan:

22 − 4 = 0 ⇒ 22 = 4 ⇒ 2 = 42 ⇒ 2 = 2

2 − 8 = 0 ⇒ 2 = 8

2) Dividimos la recta real en intervalos a partir de los valores anteriores:

En nuestro caso los intervalos son �← ,2), �2,8), �8, →)

3) Tomamos un valor cualquiera en cada intervalo y sustituimos en la inecuación para comprobar si la verifica:

INTERVALOS �← ,2) �2,8) �8, →) 2 0 4 9 22 − 42 − 8 −4−8 = 12

8 − 44 − 8 = 4−4 = −1 18 − 49 − 8 = 141 = 14 22 − 42 − 8 < 0

12 < 0 −1 < 0 14 < 0

FALSO CIERTO FALSO Por tanto la inecuación se verifica en el intervalo �2,8) ¿Hay que añadir los extremos?

Como el símbolo es <, no. Por tanto, a solución es �2,8)

EJERCICIO:

Resuelve la inecuación 22 + 1232 − 6 ≥ 0

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES EN LAS QUE APARECEN VARIAS FRACCIONES ALGEBRAICAS:

El razonamiento es el mismo que en el caso anterior, pero antes tenemos que operar todas las fracciones para que quede una sola. Lo vemos a partir del ejemplo siguiente:

2 − 32 + 2 ≥ 2 + 12 − 2

1) Pasamos todas las fracciones a un mismo miembro de la inecuación:

2 − 32 + 2 − 2 + 12 − 2 ≥ 0

2) Operamos las fracciones: L. D. L. = �2 + 2) · �2 − 2) 2 − 32 + 2 − 2 + 12 − 2 ≥ 0 ⇒ �2 − 3) · �2 − 2)�2 + 2) · �2 − 2) − �2 + 1) · �2 + 2)�2 + 2) · �2 − 2) ≥ 0 ⇒

⇒ 2� − 22 − 32 + 6�2 + 2) · �2 − 2) − 2� + 22 + 2 + 2�2 + 2) · �2 − 2) ≥ 0 ⇒

⇒ 2� − 52 + 6�2 + 2) · �2 − 2) − 2� + 32 + 2�2 + 2) · �2 − 2) ≥ 0 ⇒

⇒ 2� − 52 + 6 − 2� − 32 − 2�2 + 2) · �2 − 2) ≥ 0 ⇒ −82 + 4�2 + 2) · �2 − 2) ≥ 0

Como ya tenemos una fracción, seguimos los mismos pasos que en el apartado

anterior:

3) Igualamos a 0 numerador y denominador y resolvemos las ecuaciones: −82 + 4 = 0 ⇒ −82 = −4 ⇒ 2 = −4−8 = 12

�2 + 2) · �2 − 2) = 0 ⇒ ↗↘2 + 2 = 0 ⇒ 2 = −22 − 2 = 0 ⇒ 2 = 2

4) Dividimos la recta real en intervalos a partir de los valores anteriores:

En nuestro caso los intervalos son: �←, −2), M−2, 12N , M12 , 2N , �2, →)

5) Tomamos un valor cualquiera en cada intervalo y sustituimos en la inecuación para

comprobar si la verifica:

INTERVALOS �←, −2) M−2, 12N M12 , 2N �2, →) 2 −3 0 1 4

−82 + 4�2 + 2) · �2 − 2)

24 + 4�−1) · �−5)= 285

42 · �−2)= 4−4 = −1

−8 + 43 · �−1)= −4−3 = 43

−32 + 46 · 2= −2812 = −73 −82 + 4�2 + 2) · �2 − 2)≥ 0

285 ≥ 0 −1 ≥ 0 43 ≥ 0

−73 ≥ 0

CIERTO FALSO CIERTO FALSO

Por tanto la inecuación se verifica en �← ,2) y O�� , 2P

¿Qué ocurre en los extremos? Además de tener en cuenta que la desigualdad es ≥, hemos de fijarnos que estamos trabajando con fracciones, luego el denominador no puede ser nunca 0 (algo/0 no existe).

Luego cuando obtengamos 0 en el denominador la desigualdad también será falsa. ¿Para qué valores ocurre esto? Para 2 y −2 .Por tanto, el único extremo que podemos incluir es 1/2. La solución de la inecuación es: �← ,2) ∪ S@12 , 2N@ Ejercicio:

Resuelve: 22 − 22 + 1 < 22 − 32 − 2

EJERCICIOS DE INECUACIONES

1) Resuelve las siguientes inecuaciones, indicando cual es el conjunto solución; da dos números que sean solución y otros dos que no lo sean:

a) 2�2 − 1) ≤ 3�2 + 2) − �2 + 8)

b) TUV − �� >

�U� −5

c) UK�� − �J�U� ≤ �UK�� − V�KUK�)� − WU�

d) 2 · �2 + 3) > 2�– 9

e) −1 > 2�1 − 2) − UK�X

2) ¿Qué diferencia hay a la hora de resolver una ecuación y una inecuación? Compruébalo

con un ejemplo.

3) Resuelve las siguientes inecuaciones de 2° grado e indica cuál es el conjunto solución:

a) 2� + 112 + 24 ≤ 0 b) �2 + 5)�2 + 2) > 40 c) 2� + 42 + 4 > 0

4) Resuelve ordenadamente e indica qué intervalos componen el conjunto solución:

a) 2� + 9 + 62 ≤ 0 b) −42� + 122 − 9 > 0 c) 2� + 5 > 42 d) 2�2 − 3)� > 0 e) 2� + 2 ≤ 1

f) UK�UJX < 0

g) 0 ≤ �UKW�UJ�

h) UK��UKV < 3

i) �UYKZUJ�UYKVUJX > 0

j) U�UK� − �UJ�UK� > 0

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

SOLUCIÓN: Para resolver inecuaciones sabemos que tenemos que seguir el mismo procedimiento que para ecuaciones, con la particularidad de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo la inecuación cambia de sentido.

a) �UJ�� − 2�2 + 1) < 1

• Suprimimos los paréntesis: 32 + 12 − 22 − 2 < 1

• Reducimos a común denominador: 32 + 1 − 42 − 42 < 22 ⇒ 32 + 1 − 42 − 4 < 2

• Agrupamos términos: −2 < 2 − 1 + 4 ⇒ −2 < 5

• Despejamos x: dividimos entre -1: LA INECUACIÓN CAMBIA DE SENTIDO 2 > −5

La solución es el intervalo �−5, →) (todos los números mayores que −5 sin incluir a éste). Luego dos números que sean solución son 2 = −4, 2 = 7.5, y dos números que no sean solución son 2 = −5, 2 = −10

b) V� −4 · UJ�� < 22 −

�� · �2 − 4)

1) Resuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado, indica cuál es la solución y da dos números que pertenezcan a la solución y otros dos que no pertenezcan.

a) �UJ�� − 2�2 + 1) < 1

b) V� −4 · UJ�� < 22 −

�� · �2 − 4)

Suprimimos paréntesis: 52 − 42 + 123 < 22 − 2 − 43

Reducimos a común denominador: L. D. L. �2, 3) = 6 15 − 82 − 246 < 122 − 22 + 86 ⇒ 15 − 82 − 24 < 122 − 22 + 8

Agrupamos términos: −82 − 9 < 102 + 8 ⇒ −82 − 102 < 8 + 9 ⇒ −182 < 17 Despejamos x: dividimos entre -18: LA INECUACIÓN CAMBIA DE SENTIDO 2 > − 1718

La solución es el intervalo O− �T�W , →P

Dos números que sean solución son 2 = 0, 2 = √5 Dos números que no sean solución son 2 = −1, 2 = −1245.6

SOLUCIÓN: Tenemos que resolver primero la ecuación asociada y a partir de ahí obtener los intervalos en los que comprobar si se verifica o no la inecuación. a) �2 + 4) · �2 − 3) > 0

La ecuación asociada es �2 + 4) · �2 − 3) = 0 Para resolverla no hace falta desarrollarla, directamente: 2 + 4 = 0 ⇒ 2 = −4 2 − 3 = 0 ⇒ 2 = 3 Luego las soluciones son 2 = −4, 2 = 3. Los intervalos en los que queda dividida la recta real son: �←, −4), �−4,3) y

2) Resuelve las siguientes inecuaciones de 2° grado:

a) �2 + 4) · �2 − 3) > 0 b) 42� + 42 + 1 ≤ 0 c) 62 − 92� > 1

�3, →). En cada uno de ellos tenemos que comprobar si se verifica la inecuación, para lo que tomamos un número en cada intervalo y sustituimos en la inecuación, y lo hacemos construyendo la siguiente tabla:

�←, −4) �−4,3) �3, →) 2 −5 2 6 �2 + 4) · �2 − 3) �−1) · �−8) = 8 6 · �−1) = −6 10 · 3 = 30 �2 + 4) · �2 − 3) > 0 8 > 0 −6 > 0 30 > 0 CIERTO FALSO CIERTO

Luego la inecuación se verifica en los intervalos �←, −4) y �3, →). Como el signo es > los extremos no la verifican, luego la solución es �←, −4) ∪�3, →).

SOLUCIÓN:

a) �UYJVUK�

�UJ� ≥ 0

Igualamos a cero numerador y denominador y resolvemos las ecuaciones asociadas:

22� + 52 − 3 = 0

2 = −5 ±F5� − 4 · 2 · �−3�2 · 2 = −5 ± √25 + 24

4 = −5 ± √494 =

−5 ± 74 = ↗

↘

−5 + 74 = 2

4 =12

−5 − 74 = −12

4 = −3

22 + 3 = 0 ⇒ 22 = −3 ⇒ 2 = −32

Los intervalos en que queda dividida la recta real son: �←,−3�, O−3, K�� P,

OK�� , ��P y O�� , →P.

3) Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) �UYJVUK�

�UJ� ≥ 0

b) UK��UK� <

UJ��UJ�

Tomamos un número en cada intervalo y comprobamos si verifica la inecuación:

�←, −3) M−3, −32 N M−32 , 12N M12 , →N 2 −4 −2 0 1 22� + 52 − 322 + 3

32 − 20 − 3−8 + 3 = −9

5 8 − 10 − 3−4 + 3 = 5

−33 = −1

2 + 5 − 32 + 3 = 4

5

22� + 52 − 322 + 3 ≥ 0

−95 ≥ 0 5 ≥ 0 −1 ≥ 0

45 ≥ 0

FALSO CIERTO FALSO CIERTO

Por tanto los intervalos en los que se verifica la inecuación son: O−3, K�� P y

O�� , →P.

¿Qué ocurre en los extremos? K�� es la solución del denominador, luego no se incluye (algo/0 no existe).

Como el signo de la desigualdad es ≥, las soluciones del numerador sí se

incluyen (para −3 y �� queda 0 ≥ 0, que es cierto)

Por tanto, la solución de la inecuación es:

S@−3,−32N ∪ S@12 ,→N@@

b) UK��UK� <

UJ��UJ�

Al haber varias fracciones, en primer lugar pasaremos todas las fracciones a un mismo término y realizaremos las operaciones:

2 − 132 − 2 <

2 + 232 + 1 ⇒

2 − 132 − 2 −

2 + 232 + 1 < 0 ⇒

⇒ �2 − 1� · �32 + 1��32 − 2� · �32 + 1� −

�2 + 2� · �32 − 2��32 + 1� · �32 − 2� < 0 ⇒

⇒ 32� + 2 − 32 − 1�32 − 2� · �32 + 1� −

32� − 22 + 62 − 4�32 + 1� · �32 − 2� < 0 ⇒

⇒ 32� − 22 − 1�32 − 2� · �32 + 1� −

32� + 42 − 4�32 + 1� · �32 − 2� < 0 ⇒

⇒ 32� − 22 − 1 − 32� − 42 + 4�32 + 1� · �32 − 2� < 0 ⇒ −62 + 3

�32 + 1� · �32 − 2� < 0

Una vez realizadas las operaciones, llegamos a una sola fracción, con lo que seguimos los mismos pasos que en el ejercicio anterior: Igualamos a cero numerador y denominador y resolvemos las ecuaciones asociadas: −62 + 3 = 0 ⇒ −62 = −3 ⇒ 2 = −3−6 = 12

�32 − 2) · �32 + 1) = 0 ⇒ [ 32 − 2 = 0 ⇒ 32 = 2 ⇒ 2 = 2332 + 1 = 0 ⇒ 32 = −1 ⇒ 2 = − 13@

Obtenemos los intervalos: M←, − 13N , M− 13 , 12N , M12 , 23N , M23 , →N

Tomamos un número en cada intervalo y comprobamos si verifica la inecuación:

M←, − 13N M− 13 , 12N M12 , 23N M23 , →N 2 −1 0 0.6 1 −62 − 3�32 − 2) · �32 + 1) 6 + 3�−5)�−2) = 910

3�−2) · 1 = − 32 −0.6−0.56 = 1.07

−34 −62 − 3�32 − 2) · �32 + 1) < 0 910 < 0 − 32 < 0 1.07 < 0 − 34 < 0

FALSO CIERTO FALSO CIERTO

Por tanto los intervalos en los que se verifica la inecuación son O− �� , ��P y O�� , →P.

Como el signo es <, los extremos no se incluyen, luego la solución es: M− 13 , − 12N ∪ M23 , →N