Incrementos y diferencialesPara funciones de una variable, se define el incremento decomo

y la diferencial decomo

representa el cambio en la altura de la curvayrepresenta la variacin ena lo largo de la recta tangente cuandovara en una cantidad.En la siguiente figura se muestra.

Figura 1: diferencial

Observe quese aproxima a cero ms rpidamente que, ya que

y al hacer, tenemos que.Por tanto

dondeconforme.

Ahora consideremos una funcin de dos variables.Siyson incrementadosy, entonces el correspondiente incremento dees

Con lo cualrepresenta el cambio en el valor decuandocambia a.Definicin

Seanuna funcin escalar yyincrementos dey de, entonces la diferencial total de la variable dependientees

Ejemplo 1Calcule la diferencial total para la funcin

Las derivadas parciales estn dadas por

de donde

Teorema(aproximacin lineal)

Seauna funcin escalar continua en. Suponga queyson incrementos dey de, lo suficientemente pequeos para que, entonces si las derivadas parcialesyson continuas enel incremento de la variable dependiente

puede escribirse como

dondecuandocuando

Los incrementosyse les llama diferenciales de las variables independientes y se denotan pory.Observacin:Este teorema afirma que el cambio real enes aproximadamente igual a la diferencial total, cuando los incrementosyson pequeos, es decir,.

Ejemplo 2El radio de la base y la altura de un cono circular recto mideny, respectivamente, con un posible error en la medicin de, cuando mucho. Utilice diferenciales para estimar el error mximo en el volumen del cono.SolucinEl volumen de un cono es, con lo cual la diferencial total es

Puesto que los errores son, cuando mucho, del orden de, tenemos quey. Para estimar el mximo error en el volumen, tomanos el mximo error en las medidas dey. Por tanto,y, junto con

De esta forma el mximo error en el volumen es de aproximadamente.Para que una funcin mtfde varias variables seaderivableen un puntono basta con que las derivadas parciales existan, esto nos dice que la derivabilidad de una funcin de varias variables es ms compleja que la de una variable.Definicin (diferenciabilidad)

Dada una funcin escalarcontinua encon derivadas parcialesyson continuas en, sipuede expresarse como

dondecuandocuandodecimos quees diferenciable en.

Observacin:Es decir, que una funcines diferenciable ensi la diferencial totales una buena aproximacin al incremento total. En otras palabras, la funcin lineal

es una buena aproximacin de la funcincerca de. Por consiguiente, por el teorema de aproximacin lineal, siyexisten cerca dey son continuas en este punto, entonceses diferenciable en este punto.Ejemplo 3Use diferenciales para calcular un valor aproximado para

Solucin

Consideremos la funciny observe que podemos calcular con facilidad. Por lo tanto, tomandoyy, obtenemos

La diferencial defue calculada en el ejemplo 1.

Al igual que para funciones de una variable la diferenciabilidada implica continuidad, como vemos en el siguiente teorema.

Definicin (diferenciabilidad y continuidad)

Seauna funcin de escalar diferenciable en, entonceses continua en.