Medición,incertidumbre yestadística(una breveintroducción)

LucianoA.Masullo

Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica

FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires

Probabilidad

• Variablealeatoria:esunacantidad cuyo valornoesfijo sino quepuedetomardiferentes valores como resultados deunexperimento aleatorio.

• Lavariablealeatoria toma una serie devalores asociados aunconjunto deeventos posibles• Nosepuedepredecir elpróximo resultado(ovalordelavariablealeatoria)perosísepuede,enprincipio,conocersuprobabilidad.

• Probabilidad: esunafunciónquevadeunconjunto(deeventosposibles)ylesasignaunvalorentre0(imposible)y1(seguro).

• Lasumadelasprobabilidadesdetodosloselementosdelconjuntodeeventosdebeseriguala1.

• Elconjuntodeeventosposiblespuedeserdiscreto(ej:“resultadosdetirarundado”)ocontinuo(ej:“resultadosdelamedicióndelladodeunamesa”).

Resultados deunexperimentoTirar undadoN=100veces

Medición # Caradeldado

1 2

2 6

3 1

… …

99 4

100 1

Medición# Tiempo (s)

1 1,02

2 0,98

3 1,07

… …

99 1,22

100 1,10

Medir elperíodo deunfaroN=100veces

Resultados deunexperimento:histogramaTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces

Histograma normalizadoTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces

𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑"𝑎 𝑑" =

𝑛"𝑎𝑁

con

𝐹" =frecucencia delresultado k-ésimo𝑛" =número deresultadosenelbin k-ésimo𝑑" =densidaddeprobabilidaddelbin k-ésimo𝑎=tamañodelbin (bin size)𝑁 =númerototaldeeventos

Normalización:

Distribución deprobabilidad N=10

Distribución deprobabilidad N=100

Distribución deprobabilidad N=1000

Distribución deprobabilidad N=10000

Distribución deprobabilidad N=10000

Distribuciones deprobabilidad

Distribuciones deprobabilidaddiscretaycontinua

Condicióndenormalización

Discreto Continuo

𝑁 → ∞𝑎 → 0

𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑" 𝑎 𝑑" =

𝑛"𝑎𝑁con

𝑎:binsize

X:variablealeatoria (ej:resultado deunamedición)xk:resultadok-ésimox:resultadocontinuo Fk:frecuenciadelresultadoxkf(x):densidaddeprobabilidad delresultadoxN:númerototalderesultados (ej:mediciones)nk:númerodevecesqueseobtuvo xk

f(x)dx esanálogoaFk

xesanálogoaxk

Notaciones

Caso discreto Caso continuo

Valormedio

Varianza

Desviaciónestándar

Valormedio,varianzaydesviaciónestándar

Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?

¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde

medirunciertonúmeroreal?

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?

¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde

medirunciertonúmeroreal?

ej: ej:

𝑎 𝑏

Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealtirareldadosalga3omenorque3?

Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealmedirelperíododelfaroelcronómetroindiqueentre1,0y1,1s?

𝑎 𝑏

EjemplosdedistribucionesdeprobabilidadBinomial

Poisson

Gauss

Exponencial

Ejemplosdedistribucionesdeprobabilidad

¡LadeGaussnoeslaúnicadistribución deprobabilidad!

Binomial

Poisson

Gauss

Exponencial

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

𝜇 = 2

𝜎 = 1

𝜇 = 2

𝜎 = 1

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

DistribucióndeGauss:algunaspropiedades• Estácentradaen𝑥 = 𝜇• Essimétricaalrededorde𝑥 = 𝜇• Tiendeexponencialmentea0para 𝑥 − 𝜇 ≫ 𝜎• Elparámetro𝜎 daunamedidadesuancho

𝜇 = 0𝜎 = 2

𝜇 = 2𝜎 = 1

𝜇 = 5𝜎 = 3

Estadística

Objetivo:estimar losparámetros deladistribucióndeprobabilidaddelavariablealeatoriaapartirdelosdatos.

¿Dequédistribucióndeprobabilidad provienenmisdatos?

porejemplo𝜇 y𝜎 delagaussiana

¿ ?¿𝜇, 𝜎 ?

Datos obtenidos

EstimacióndelosparámetrosdeladistribucióndeGauss

Sonestimadores:funciones delosdatos medidos 𝑥7 Parámetros desconocidosdeladistribucióndeGauss

n:cantidad demediciones delavariablealeatoria Xrealizadas

Distribucióndelavariablealeatoria“unamedición”

n=10000

Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”

n=10000n=400N=25

*

*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice

:variablealeatoria “una medición”

:variablealeatoria “promediodeNmediciones”

n:númerodecuentasenelhistograma

promedio de

desv.estándar de

desv.estándar de

promedio de

Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”

n=10000n=400N=25

*

*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice

:variablealeatoria “una medición”

:variablealeatoria “promediodeNmediciones”

n:númerodecuentasenelhistograma

promedio de

desv.estándar de

desv.estándar de

promedio de

Errorestadísticoyerrorinstrumental

LlamaremoserrorestadísticoaladesviaciónestándardelamediadeNmediciones

• Elerrorestadísticodisminuyeamedidaqueserealizanmásmedicionescondependencia ∝ 9:

• Elerrorinstrumentalnodependedelacantidaddemediciones realizadas

Elerrortotaldeunamedicióneslasumaencuadratura*detodaslascontribuciones deerrorindependientes.Sivolvemosalejemplodelamedicióndelperíododelfaroconsiderandoporahorasolamenteelerrorinstrumental(porej.laprecisiónparamedirtiempodelcronómetro)yelerrorestadístico(lavariabilidadenlamediciónporpartedelexperimentador)

¿Cuántas vecesesnecesariomedirparaque𝑒<=>=? seadespreciablerespectoa𝑒7@<=? ?

*Esteresultado esunresultado delaestadística yprovienedesuponerquelascontribucionessonindependientesentresí.VerporejemploBairdDC,Experimentación, Prentice-HallHispanoamérica(1991),pp 46-50

𝑒=A=? = 𝑒<=>=? + 𝑒7@<=?

𝑒<=>= ≡ 𝜎DEF

Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza

¿Cuál eslaprobabilidad dequeunamedición(ounpromediodeNmediciones)estéentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎?

¿Yentre𝜇 − 𝑡𝜎y𝜇 + 𝑡𝜎?

Niveldeconfianza

Lanotación

resultado=valor± error

Significa error=𝜎(nivel deconfianza del68,3%)

Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza

Laprobabilidad dequelapróxima mediciónseencuentreentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎esdel68,3%

Laprobabilidad dequeelvalorreal𝜇seencuentreentre 𝑥I − 𝜎y𝑥I + 𝜎esdel68,3%

Dosinterpretaciones:

=

resultado=valor± error

ej:T=(1,10± 0,07)s

𝜇𝑥I

𝑥I:valormedido

ApéndiceDemostracióndelafórmuladeladesviaciónestándardelpromedio:

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

Propiedades delaVarianza