lgebra 4

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IEP. "KEPLER COLLEGE"-JAEN

DIOS PATRIA ESTUDIO DISCIPLINA

E j emp l o : En el polinomio:

8 4 5 7 3 9 11

1 2 3 4P( )= 7 + 9 8 + 4

T T T Tx x y x y x y xy

G.A.(T1) = G.A.(T2) = G.A.(T3) = G.A.(T4) = 12Es decir:grado de homogeneidad (P) = 12

C o r o l a r i oTodo polinomio homogneo P(x; y) de grado n verificala siguiente sustitucin literal:

P( )= P( );nmx; my m x; y m Donde n es el grado de homogeneidad y la constantem es un escalar real.

E j em p l o :Dado el polinomio homogneo:P(x; y) =4x3y2 7x2y3 + 5xy4

Sustituyendo: ;x mx y my P(mx; my) = 4(mx)3(my)27(mx)2(my)3+5(mx)(my)4P(mx; my) =m5(4x3y2 7x2y3 + 5xy4)Finalmente: P(mx; my) = m5 P(x; y) ; m Donde: 5 es el grado de homogeneidad.

4 . Polinomios idnticosDos o ms polinomios del mismo grado y en lasmismas variables son idnticos, si los valoresnumricos resultantes de dichas expresiones soniguales, para cualquier sistema de valores asignadosa sus variables. Es decir:

P( ) Q( ) P( ; ) Q( ; ) ; ,x; y x; y a b a b a b E j e m p l o :Dados :P(x; y) = (x + y)4 (x y)4

Q(x; y) = 8xy (x2 + y2)

Afirmamos que P y Q son idnticos, debido a que alevaluarlos para:

4 4

2 2P(1; 1) (1 1) (1 1) 161

1 Q(1; 1) 8(1)(1)(1 1 ) 16xy

Del mismo modo, para:

4 4

2 2P(2; 1) (2 1) (2 1) 81 1 802

1 Q(2; 1) 8(2)(1)(2 1 ) 16(5) 80xy

Los valores numricos resultantes siempre soniguales.

Te o r e m aDos polinomios de las mismas caractersticas, tales como:P(x; y) = a0xm + a1xnyp + a2xqyr +...+akysQ(x; y) = b0xm + b1xnyp + b2xqyr +...+bkys

son idnticos, si los coeficientes de sus respectivos trminossemejantes, son iguales. Es decir:

0 0 1 1 2 2= ; = ; = , ... , =k ka b a b a b a b

E j em p l o :Si son idnticos los polinomios:P(x; y; z) = (a+b)x5 + (a+c)y3 + (c+a)x4Q(x; y; z) = 5x5 + 3y3 + 4x4Calcular el valor de a + b + c. Por el teorema: a + b = 5

b + c = 3c + a = 4

Sumando las relaciones: 2(a + b + c) = 12Simplificando: a + b + c = 6

5 . Polinomio idnticamente nuloEs aquel polinomio de grado no definido, cuyo valornumrico resultante siempre es igual a cero, paracualquier sistema de valores que asumen susvariables. Es decir:

P ( )= 0, P( ; )= 0 ; { ; }x; y a b a b

E j em p l o :Dado P(x; y) = (x+4y)(x+y)(x+3y)(x+2y)+2y2,afirmamos que P es idnticamente nulo, debido a queal evaluarlo para:

1 P(1; 1) (5)(2) (4)(3) 2 01xy

De igual manera, para:

1 P(1; 1) ( 3)(0) ( 2)( 1) 2 01xy

Los valores numricos siempre resultan ser iguales acero.

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lgebra 4

DIEGO PALOMINO N 1521- 2 PISO CELULAR: # 955 902453- # 955 901493

1 . Sea P(x) un polinomio tal que:P(2 ) P( ) P(1 )x x x x

si la suma de coeficientes de P es k y su trminoindependiente es 2k ; adems P(2) = 4 k ; calcule:

P(2) + k2

R e s o l u c i n :Se cumple:

coef(P) P(1) k T.I.(P) = P(0) = 2k

Por dato: P(2) = 4 k Haciendo que x = 0 en la identidad.

P(2 ) P( ) P(1 )x x x x P(2) P(0) 0 P(1 )x 4 2k k k

2k

P(2) 4 2k 2P(2) 2 4 6k

Rpta.: 6

2 . Hallar el valor de m + n si:15 2 (2 3) (3 5)x m x n x

R e s o l u c i n :15 2 2 3 3 5x mx m nx n 15 2 (2 3 ) (5 3 )x m n x n m

2 3 2m n = 6 9 6m n =3 5 15m + n = 6 10 30m + n =

n = 36

+

2 3(36) 2m 2m = 2 + 108

m = 55

91m n Rpta.: 91

3 . Dado el polinomio homogneo:P( ; ) a b c b c c b d e e dx y x y x y x y x y x y

la suma de todos los exponentes del polinomio es54; determinar el valor de:

E = a + b + c + d + e

R e s o l u c i n :Si P es homogneo; se cumple:

...( )a b c c b d e Suma de exponentes de P es 54.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54a b c b c c b d c c d Reemplazando por ( ); se tiene:

6 54 9a a Luego: E ( ) ( )

a aa b c d e

E 3 3(9) 27a Rpta.: 27