La parábola es una curva que tienen una gran

importancia en Física y que se ajusta a la

descripción o a la representación matemática

de muchos fenómenos.

Pero la parábola también tiene importancia

en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas

veces no nos fijemos o no seamos

conscientes de ello, tenemos muchas

parábolas a nuestro alrededor.

En esta presentación vamos a observar

algunos ejemplos importantes.

Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma

oblicua u horizontal describe un movimiento

parabólico bajo la acción de la gravedad. Por

ejemplo es el caso de una pelota que se

desplaza botando.

También, es el caso de los chorros y las

gotas de agua que salen de los caños de las

numerosas fuentes que podemos encontrar

en las ciudades. El desplazamiento bajo la

acción de la atracción gravitatoria de la

Tierra permite obtener bonitos arcos

parabólicos.

Arcos parabólicos en dos de las fuentes

que pueden encontrarse en el Paseo del

Prado de Madrid.

También obtenemos formas parabólicas

cuando un haz luminoso de forma cónica se

proyecta sobre una pared. Las líneas

parabólicas de la imagen se han obtenido

proyectando un haz de luz sobre una pared

blanca.

Una de las propiedades más importantes de las formas

parabólicas es que cualquier rayo que incida de forma

paralela al eje de la parábola rebota en su superficie

pasando por el foco. La parábola sirve para concentrar

los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la

cocina solar, o las radiaciones electromagnéticas, en

general, en las antenas parabólicas.

Pero también sirve, como en el

caso del faro de un coche, para

conseguir que la luz que sale del

foco se concentre en un haz más

o menos cerrado.

Faro de un coche

Antena Parabólica de Televisión

La parábola es la curva que adopta un

cable que tenga que soportar una

carga, un peso, uniformemente

distribuido, ejemplo: Puente de San

Francisco: El Golden Gate.

circunferencia

parábola

hipérbola elipse

.

Secciones cónicas degeneradas

La parábola es el conjunto de

puntos en el plano que estan a una

misma distancia de un punto fijo

llamafo Foco y una recta fija

llamada directriz.

LA PARÁBOLA

Parábola

.

foco

directríz

. .

. . . . . . . .

. eje

vértice

.

PF = PD

La Parábola tiene un eje de

simetría, que intersecta a la

parábola en un punto

llamado vértice.

| p |

La distancia

desde el vértice

al foco es | p |.

| p |

La distancia

desde la directriz

al vértice es | p |.

Lado recto

El lado recto (4p) es la cuerda paralela a

la directriz que pasa por el foco.

Ecuación de la

parábola con foco

en el eje X y

vértice en (0, 0) es

y2 = 4px.

Las coordenadas del Foco es (p, 0).

La ecuación de la directriz es x = -p.

Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha.

Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.

Ecuación Principal de la Parábola con vértice (0, 0)

Ecuación de la parábola

con foco en el eje X y

vértice en (0, 0) es:

y2 = 4px.

• Las coordenadas del

Foco es (0, p).

• La ecuación de la

directriz es y = -p.

Si p > 0, la parábola abre hacia la arriba.

Si p < 0, la parábola abre hacia la abajo.

Ecuación Principal de la Parábola con vértice (0, 0)

Dada una parábola de ecuación y2 = -8x.

Determmine coordenadasd del foco y ecuación de la

directriz.

El vértice de la parábola es (0, 0).

El foco se encuentra en el eje X.

Luego, la ecuación principal es y2 = 4px.

Luego , 4p = -8, entonces

p = -2.

Las coordenadas del foco

son (-2, 0).

La ecuación de la directriz

es x = -p, por lo tanto, x = 2.

F(-2, 0)

x = 2

Ejemplo

La Parábola con eje de simetría paralelo al eje Y y

vértice (h, k), tiene por ecuación

• Ecuación del eje de simetría x = h.

• Coordenadas del Foco es (h, k + p).

• Ecuación de la Directriz es y = k - p.

• Cuando p es positivo, la parábola

abre hacia arriba.

(x - h)2 = 4p(y - k)

Ecuación Principal de la Parábola con vértice (h, k)

• Cuando p es negativo, la parábola

abre hacia abajo.

La Parábola con eje de simetría paralelo al eje X y

vértice (h, k), tiene por ecuación

• Ecuación del eje de simetría y = k.

• Coordenadas del Foco es (h+p, k).

• Ecuación de la Directriz es x = h - p.

• Cuando p es positivo, la parábola

abre hacia la derecha.

(y - k)2 = 4p(x - h)

Ecuación Principal de la Parábola con vértice (h, k)

• Cuando p es negativo, la parábola

abre hacia la izquierda.

La forma principal de la parábola paralela al eje X es:

(x - h)2 = 4p(y - k)

2

2 2

2 2

x h 4 p y k

x 2hx h 4 py 4 pk

x 4 py 2hx h 4 pk 0

Desarrollando cuadrado de binomio y ordenando

Haciendo

2D 2h; E 2k; F 4h pk

Luego la ecuación general de la parábola paralela

al eje X es:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0

Análogamente la ecuación general de la parábola

paralela al eje Y es:

Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Luego la forma general de la parábola es:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde A = 0 o C = 0.

Escribe la ecuación de la parábola con foco (3, 5)

y directriz x = 9, en su forma principal y

general.

La distancia desde el foco a la directriz es de 6

unidades, Luego, 2p = -6, p = -3. Así, el vértice

es (6, 5).

(y - k)2 = 4p(x - h)

h = 6 and k = 5

Ecuación Principal

y2 - 10y + 25 = -12x + 72

y2 + 12x - 10y - 47 = 0

Ecuación General

(y - 5)2 = 4(-3)(x - 6)

(y - 5)2 = -12(x - 6)

Ejemplo

Encuentre la ecuación de la parábola que tiene por

vértice (-2, 6) y pasa por el punto (2, 8), paralela al

eje Y.

Sustituyendo en la ecuación

principal los valores de h = -2;

k = 6; x = 2 e y = 8

podemos encontrar el valor

de p (2 - (-2))2 = 4p(8 - 6)

16 = 8p

2 = p

(x - h)2 = 4p(y - k)

(x - (-2))2 = 4(2)(y - 6)

(x + 2)2 = 8(y - 6)

Ecuación Principal

x2 + 4x + 4 = 8y - 48

x2 + 4x + 8y + 52 = 0

Ecuación General

Ejemplo

Encuentra las coordenadas del vertice y foco,

además la ecuación de la directriz, del eje de

simetría dela parábola cuya ecuación es

y2 - 8x - 2y - 15 = 0.

y2 - 8x - 2y - 15 = 0

y2 - 2y + ___ = 8x + 15 + ___ 1 1

(y - 1)2 = 8x + 16

(y - 1)2 = 8(x + 2)

Vértice(-2, 1).

Foco (0, 1).

Ecuación de la directriz x + 4 = 0.

Ecuación eje de simetría y - 1 = 0.

4p = 8

p = 2

Ejemplo

2x2 + 4x - 2y + 6 = 0

2(x2 + 2x + ___) = 2y - 6 + ___ 1 2(1)

2(x + 1)2 = 2(y - 2)

(x + 1)2 = (y - 2)

Vértice (-1, 2).

Foco ( -1, 2 ¼ ).

Ecuación de la diretriz: y = 1¾ .

Ecuación eje de simetría: x = -1 .

4p = 1

p = ¼

Encuentra las coordenadas del vertice y foco,

además la ecuación de la directriz, del eje de

simetría dela parábola cuya ecuación es

2x2 + 4x - 2y + 6 = 0.

Ejemplo

4 4 y2 + 4y + ___ = 10x + 16 + _____

(y + 2)2 = 10x + 20

(y + 2)2 = 10(x + 2)

Vértice: (-2, -2)

Ecuación eje de simetría: y = -2

p = 2.5

Foco: ( 0.5, -3)

Ecuación de directriz: x= - 4.5

Ejemplo

Encuentra las coordenadas del vertice y foco,

además la ecuación de la directriz, del eje de

simetría dela parábola cuya ecuación es

y2 - 10x + 4y - 16 = 0

Propiedad óptica de la parábola

. fuente luminosa

Propiedad óptica de la parábola

. ocular