IMPLEMENTACION DE EL TEOREMA DE GRAM-SCHMIDT

1 OBJETIVO Implementar el teorema de Gram-Smith elaborando un programa en MATLAB

2 INTRODUCCION

En aacutelgebra lineal el proceso de ortogonalizacioacuten de GramndashSchmidt es un algoritmo para construir a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente el espacio eucliacutedeo Rn) otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial

3 DESARROLLO

Proyeccioacuten ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal

Sean V un espacio vectorial real o complejo con producto interno b1helliphellip bj algunos vectores ortogonales no nulos y veuro V Definimos los vectores u w euro V de la siguiente manera

u=sumk=1

m (bk v )bk bk

lowastbk

w=vminusuEntonces w es perpendicular a L (b1hellipbj)

Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt

Sea V un espacio vectorial real o complejo con producto interno y sean a1hellip am euroV Queremos construir vectores ortogonales b1helliphellip bm euro V de tal manera que para todo j euro 1hellipmg

L(b1hellipbj)=L(a1hellipaj)

Idea del proceso de ortogonalizacion de Gram Schmidt en el j-esimo pasodefinir el vector bj como aj menos la proyeccioacuten ortogonal del vector aj al subespacio generado por los vectores b1hellipbj10485761En el j-esimo paso suponemos que los vectores b1hellip bj10485761 ya estaacuten construidos y son ortogonales entre si Buscamos bj de la forma

bj=ajminussumk=1

jminus1

λj klowastbk

Para memorizar los iacutendices del coeficiente λjk puede notar que este coeficiente sirve para ldquocorregir el vector aj usando el vector bk

Para calcular el coeficiente λjq multipliquemos la igualdad (2) por bq en el sentido del producto interno

Queremos que (bq bj) sea igual a 0 Si bq 6= 0 entonces λjq debe ser igual a

Si bq = 0 entonces el sumando λjqbi no depende de λjq y λjq se puede elegir de manera arbitraria En este caso por simplicidad ponemos λjq = 0Asiacute obtenemos las formulas principales

Observacioacuten

Es importante que el vector bj se construye como una combinacioacuten lineal de los vectores b1hellip bj10485761 aj con el uso de los vectores nuevos b1hellip bj10485761 Los vectores b1hellip bj10485761 ya son ortogonales entre siacute por eso las foacutermulas para los coeficientesλj jk son tan simples Sera muy incoacutemodo construir bj como una combinacioacuten lineal de los vectores originales a1hellip aj10485761 aj

4 CONCLUSION

Se aplicoacute el funcionamiento de Gram- Schmidt utilizando un ejemplo de vectores a1=[4 -2 -1 2]a2=[-6 3 4 -8]a3=[5 -5 -3 -4]

Donde se consigue vectores ortogonales[ANEXOS]

Se debioacute estudiar los comandos de programacioacuten de Matlab Se utilizoacute conocimiento obtenido en algebra lineal de

ortogonalizacion

5 ANEXO

IMAacuteGENES

CODIGO6 r21=07 r22=08 r33=09 (introdusca el tamantildeo del vector)10 m=411 (introdusca los valores para el vector a1)12 for n= 1m13 a1(n)=input() 14 end15 16 a1=[4 -2 -1 2]17 (introdusca los valores para el vector a2)

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

bj=ajminussumk=1

jminus1

λj klowastbk

Para memorizar los iacutendices del coeficiente λjk puede notar que este coeficiente sirve para ldquocorregir el vector aj usando el vector bk

Para calcular el coeficiente λjq multipliquemos la igualdad (2) por bq en el sentido del producto interno

Queremos que (bq bj) sea igual a 0 Si bq 6= 0 entonces λjq debe ser igual a

Si bq = 0 entonces el sumando λjqbi no depende de λjq y λjq se puede elegir de manera arbitraria En este caso por simplicidad ponemos λjq = 0Asiacute obtenemos las formulas principales

Observacioacuten

Es importante que el vector bj se construye como una combinacioacuten lineal de los vectores b1hellip bj10485761 aj con el uso de los vectores nuevos b1hellip bj10485761 Los vectores b1hellip bj10485761 ya son ortogonales entre siacute por eso las foacutermulas para los coeficientesλj jk son tan simples Sera muy incoacutemodo construir bj como una combinacioacuten lineal de los vectores originales a1hellip aj10485761 aj

4 CONCLUSION

Se aplicoacute el funcionamiento de Gram- Schmidt utilizando un ejemplo de vectores a1=[4 -2 -1 2]a2=[-6 3 4 -8]a3=[5 -5 -3 -4]

Donde se consigue vectores ortogonales[ANEXOS]

Se debioacute estudiar los comandos de programacioacuten de Matlab Se utilizoacute conocimiento obtenido en algebra lineal de

ortogonalizacion

5 ANEXO

IMAacuteGENES

CODIGO6 r21=07 r22=08 r33=09 (introdusca el tamantildeo del vector)10 m=411 (introdusca los valores para el vector a1)12 for n= 1m13 a1(n)=input() 14 end15 16 a1=[4 -2 -1 2]17 (introdusca los valores para el vector a2)

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

4 CONCLUSION

Se aplicoacute el funcionamiento de Gram- Schmidt utilizando un ejemplo de vectores a1=[4 -2 -1 2]a2=[-6 3 4 -8]a3=[5 -5 -3 -4]

Donde se consigue vectores ortogonales[ANEXOS]

Se debioacute estudiar los comandos de programacioacuten de Matlab Se utilizoacute conocimiento obtenido en algebra lineal de

ortogonalizacion

5 ANEXO

IMAacuteGENES

CODIGO6 r21=07 r22=08 r33=09 (introdusca el tamantildeo del vector)10 m=411 (introdusca los valores para el vector a1)12 for n= 1m13 a1(n)=input() 14 end15 16 a1=[4 -2 -1 2]17 (introdusca los valores para el vector a2)

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

IMAacuteGENES

CODIGO6 r21=07 r22=08 r33=09 (introdusca el tamantildeo del vector)10 m=411 (introdusca los valores para el vector a1)12 for n= 1m13 a1(n)=input() 14 end15 16 a1=[4 -2 -1 2]17 (introdusca los valores para el vector a2)

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

CODIGO6 r21=07 r22=08 r33=09 (introdusca el tamantildeo del vector)10 m=411 (introdusca los valores para el vector a1)12 for n= 1m13 a1(n)=input() 14 end15 16 a1=[4 -2 -1 2]17 (introdusca los valores para el vector a2)

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

18 for n= 1m19 a2(n)=input() 20 end21 22 a2=[-6 3 4 -8]23 (introdusca los valores para el vector a3)24 for n= 1m25 a3(n)=input() 26 end27 a3=[5 -5 -3 -4]28 Y1=a129 Y2=a230 Y3=a331 (1er Vector ortogonal)32 V1=a133 Normalizando V134 for n= 1m35 r21=r21+(a1(n))^236 end37 r21=(r21)^(12)38 b=(Y1a2)(r21^2)39 CAculando V240 41 (2do Vector ortogonal)42 V2=a2-(bY1)43 Calculando V344 for n= 1m45 r22=r22+(V2(n))^246 end47 r22=(r22)^(12)48 construimos vector V349 c=(Y1a3)(r21^2)50 d=(V2a3)(r22^2)51 de aqui52 53 (3er Vector ortogonal)54 V3=a3-a1-V255 56 for n= 1m57 r33=r33+(V3(n))^258 end 59 r33=(r33)^(12)60 61 (vectores normalizados(divididos entre sus normas))62 c1=V1r2163 c2=V2r2264 c3=V3r33

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68

65 66 G=[V1V2V3]67 Gt=GG68