ADICIÓNADICIÓN

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” III BIM – ARITMÉTICA – 5TO. AÑO

Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente.

Sin embargo los matemáticos de la India en el siglo VII, usaban los números negativos para indicar deudas y los representaban con un círculo sobre el número; admitían soluciones negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la gente no aprueba las raíces negativas”

Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars. Magna (1545) los estudio exhaustivamente.

John Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitorum (1655) demuestra la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

Leonardo Euler es el primero en darles el estatuto legal; en Anteitung Zur Álgebra (1770) tata de demostrar que (-1) (-1) = (+1); argumenta que el producto tiene que ser +1 o -1 y que, sabiendo que se cumple (1) (-1) = -1 tendría que ser: (-1) (-1) = +1.

Hoy una de las preguntas más repetidas en las clases de matemáticas es ¿Por qué menos por menos es más?

Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables:

Equivalente lingüístico la doble negativa equivale a una afirmación:

Ejemplo: No es cierto que Pepito no tenga libro equivale.

Pepito tiene libro.

Un ejemplo más fácil de vitalizar es el de la isla Barataria donde hay ciudadanos “buenos” a los que se les asigna el signo (+) y ciudadanos “malos” a los que se les da el signo (-). También se acuerda que “salir” de la isla equivale al signo (-1) y entrar a la isla equivale el signo (+)

Si un ciudadano bueno (+) entre (+) a Barataria, el resultado para la isla es positivo (+) (+) = (+)

Si un ciudadano malo (-) sale (-) de Barataria, el resultado para la isla es positivo: (-1) (-1) = (+)

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de Barataria, el resultado para la isla es negativo (+) (-) = (-)

Si un ciudadano malo (-) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es negativo (-) (+) = (-).

SUMAS NOTABLES

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 97

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 5 QUINTO AÑO

Los Quipucamayocs, usaron el ábaco en el Imperio incaico 1350.

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A. Suma de los “n” primeros enteros positivos.

1 + 2 + 3 + … + n =

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + … + 48 = =

1176

B. Suma de los “n” primeros números pares positivos.2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Ejemplo:2 + 4 +6 + … + 92 = 46(4 + 1)

= 2162

C. Suma de los “n” primeros números impares positivos.1 + 3 + 5 + 7 + … (2n - 1) = n2

Ejemplo:1 + 3 + 5 + … + 59 = 302

= 900

D. Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos.12 + 22 + 32 + … + 62

=

= 81 375

E. Suma de los “n” primeros cubos perfectos.

13 + 23 + 33 + … n3 =

Ejemplo:

13 + 23 + 33 … 243 =

= 90 000

F. Suma de los “n” primeros productos de dos enteros consecutivos.

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … 7475 … + n(n+1)

=

Ejemplo:1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 … 74 x 75

=

= 140 600

G. Sumas triangulares

S1 = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2

S2 = 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2

S3 = 32 + 42 + … + n2

S1 + S2 + S3 + … + Sn =

1. Averiguar el valor de las siguiente sumas:

S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 44 Rpta. ________R = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 75 Rpta. ________T = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 91 Rpta. ________N = 12 + 22 + 32 + … + 252 Rpta. ________

2. Decir el resultado de las siguientes sumas:

N = 40 + 45 + 50 + … + 195 Rpta. ________E = 11 + 22 + 33 + … + 154 Rpta. ________R = 81 + 100 + 121 + 144 + … + 625

Rpta. ________Y = 9 + 12 + 15 + 18 + … + 150 Rpta. ________

3. Sumar y dar el resultado:

T = 9 + 12 + 17 + 24 + … (30 sumandos)U = 6 + 10 + 16 + 24 + … (50 sumandos)L = 5 + 8 + 13 + 20 + … + 229I = 12 + 16 + 21 + 27… (15 sumandos)O = 3 + 12 + 22 + 33 … (20 sumandos)

4. Hallar “a”

A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + a = 120B = (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) … + (a + 81) = 812

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”98

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5. Determina las siguientes sumas:

S = 123 + 124 + 125 + … + 12100

P = 217 + 219 + 2111 + … + 2131

6. Calcular las tres últimas cifras de las siguientes sumas:

M = 7 + 77 + 777 + … 777 …7

25 cifras

N = 64 + 6464 + 646464 + … 64 …64

64 cifras

7. Sabiendo que la suma de 25 números enteros consecutivos es 775. Hallar la suma de los 25 números consecutivos siguientes.

a) 920 b) 1400 c) 825d) 975 e) 2100

8. Si:

Hallar: a + b + c + x

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

9. Hallar el valor de P + U + G, si:

a) 10 b) 11 c) 12d) 15 e) 17

10. Hallar “N” si se cumple:1 + 2 + 3 + 4 + … + N = p 0

a) 100 b) 101 c) 102d) 72 e) 76

11. Si se cumple:1 + 2 + 3 + … + N = Hallar: 12 + 22 + 32 + … + N2

a) 17 408 b) 16206 c) 15 408d) 12 406 e) 18 302

12. Hallar la suma de cifras del resultado de:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … (100 sumandos)

a) 99 b) 100 c) 101d) 87 e) 89

13. Determinar la suma de cifras de:7 + 97 + 997 + … 999…997

60 cifras

a) 67 b) 68 c) 69d) 70 e) 71

14. Hallar: p + q + r, si: = 1272

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 4

15. La suma de 21 números enteros y consecutivos se halla comprendido entre 1060 y 1090. Hallar el término central.

a) 31 b) 52 c) 73d) 50 e) 51

1. Calcular el valor de:12 + 15 + 18 …. (30 sumandos)

a) 1665 b) 1565 c) 1555d) 1666 e) 1265

2. Cumpliéndose que: = 2328

Hallar:

a) 786 b) 687 c) 678d) 876 e) 768

3. Calcular las últimas 3 cifras del resultado de:6 + 66 + 666 + … (30 sumandos)

a) 420 b) 520 c) 620d) 820 e) 720

4. Sabiendo que: = 12132233

Hallar: a + b + c + d + e

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 29

5. Calcular (a + b + c) si:

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

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Los egipcios y Caldeo Asirios ya tienen conocimiento de la adición. (3500 a.C.)

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6. Si:

Calcular: (a + b + c + d + e)

a) 20 b) 22 c) 23d) 19 e) 18

7. Hallar la suma de todos los números de cuatro cifras que comienzan con 5 y terminan en 3.

a) 549 800 b) 594 800 c) 584 800d) 539 800 e) 544 800

8. Hallar “c” en la siguiente suma:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

9. ¿Cuál es el valor de “z” en la siguiente operación?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

10. ¿Cuál es el valor de si se cumple que:

?

a) 1343 b) 1232 c) 1343d) 1333 e) N.A.

11. Si: Hallar: a x c + b

a) 10 b) 15 c) 20d) 8 e) 11

12. Hallar el valor de si:

a) 474 b) 585 c) 696d) 676 e) N.A.

13. Hallar la suma de los 40 términos de la siguiente serie:9 + 99 + 999 + 9999 + … 999 …9

40 cifras

Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 40 b) 38 c) 47d) 45 e) 50

14. Calcular el término de lugar 100, en:31, 46, 64, 85, …

a) 16 049 b) 16 069 c) 16 350d) 16 381 e) N.A.

15. Hallar la suma de cifras de E.E = 1 + 3 + 5 + 11 + 33 + 55 + 111 + 333 + 555 …

(60 sumandos)

a) 24 b) 25 c) 26

d) 27 e) N.A.

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”100

Los signos + y – posiblemente fueron utilizados por los comerciantes, como simples marcas indicativas del exceso (+) o falta (-) de pero en las mercaderías que recibían.