II.-Algebra Básica b).-Operaciones con términos semejantes.c).-Valor de una expresión por sustitución de valores.

Polinomio de una sola variable

Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn +an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x1 + ao

Siendo an, an -1 ... a1 , a0 números, llamados coeficientes.

n un número natural. x la variable o indeterminada. an es el coeficiente principal. ao es el término independiente.

Grado de un PolinomioEl grado de un polinomio P(x)

es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Tipos de PolinomiosPolinomio nulo El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes

nulos. Polinomio completo Un polinomio completo tiene todos los términos

desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3 Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios

que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Tipos de Polinomio según su gradoPolinomio de grado cero

P(x) = 2 Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2 Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2 Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2 Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2

Valor numérico de un PolinomioEl valor numérico de un

polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Suma de PolinomiosPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x)= 4x - 3x2 + 2x3

1.-Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)

2.-Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3

3.-Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

Resta de PolinomiosLa resta de polinomios consiste

en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3

P(x) − Q(x) = 3 x2 + x - 3

Producto de un número por un PolinomioEs otro polinomio que tiene de

grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) =

6x3 - 9x2 + 12x - 6

Producto de un Monomio por un PolinomioSe multiplica el monomio por

todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) =

6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2

Producto de PolinomiosP(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer

polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo

grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es

la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Binomio al cuadrado(a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2

(x + 3)2= x2 + 2· x· 3 + 32 = x2 + 6 x + 9

(2x − 3)2= (2x)2 − 2· 2x· 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo

Suma por DiferenciaSuma por diferencia es igual

a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

Fracciones AlgebraicasUna fracción algebraica es el

cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

son equivalentes porque: (x+2)· (x+2) = x2 − 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de Fracciones algebraicasPara simplificar una fracción

algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

II.-Algebra Básica b).-Operaciones con términos semejantes.c).-Valor de una expresión por sustitución de valores.

Valor numérico de una Expresión Algebraica Para un determinado valor, es el

número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2r r = 5. L (5)= 2 · 5 = 10 S(l) = l2 l = 5. A (5)= 52 = 25 V(a) = a3

a = 5 V (5) = 53 = 125

Valor numérico de un PolinomioEl valor numérico de un

polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Ejercicios1.- Sean los polinomios:A(x) = 6x5 - 4x4 - 4x3 - 2x2 + 3x + 8B(x) = 5x5 + 4x4 - 3x3 - 2x2 + 5x - 8C(x) = - 8x6 + 4x5 + 3x4 - 3x3 + 4Hallar:1.- A(x) + B(x)2.- A(x) - C(x)3.- A(x) - B(x) + C(x)4.- A(x) + B(x) - C(x)5.- A(x) - B(x) - C(x)6.- - A(x) + B(x) - C(x)

Ejercicios 2.- Sean los polinomios: A(x) = 3/5 x5 - 1/6 x4 + 2x3 + 1/3 x + 8 B(x) = 2/3 x4 + 1/5 x3 - 3/5 x2 + 1/4 x - 2/3 C(x) = 1/4 x5 - 3x3 - 1/2 x2 - 3/4 x + 1/2 Hallar: 1.- A(x) + B(x) + C(x) 2.- A(x) - B(x) + C(x) 3.- A(x) - B(x) - C(x) 4.- 2A(x) + 3B(x) - 2C(x) 5.- 3A(x) - 2B(x) + C(x) 6.- 4A(x) - B(x) + 2C(x) 7.- 4A(x) - 3B(x) + 5C(x) 8.- A(x) - 4B(x) - 2C(x)

Ejercicios 3.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios: Sean los polinomios: A(x) = x5 - 2x4 + 3x3 + 5x2 - 9x + 2 B(x) = x2 - 2x + 3 C(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 1 D(x) = 4x2 + 3x - 2 Hallar: 1.- [A(x)] [B(x)] 2.- [A(x)] [C(x)] 3.- [A(x)] [D(x)] 4.- [A(x)] [B(x) + C(x)] 5.- [A(x)] [B(x) - C(x)] 6.- [A(x)] [B(x) - D(x)] 7.- [A(x)] [B(x) - C(x) - D(x)]

Ejercicios 4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de

polinomios: Sean los polinomios: A(x) = x7 - 2/3 x6 + 1/4 x5 + 2/3 x4 - 2/3 x2 + 5x - 1/4 B(x) = x2 - 2x - 3 C(x) = x2 + 1/2 x - 5/3 D(x) = 1/3 x3 - 1/2 x2 + 2/5 x - 4 Hallar: 1.- [A(x)] [B(x)] 2.- [A(x)] [C(x)] 3.- [A(x)] [D(x)] 4.- [A(x)] [B(x) + C(x)] 5.- [A(x)] [B(x) - C(x) + D(x)]