IED DIVERSIFICADO DE CHIA

Chia,Señores Estudiantes grados NOVENOS a continuación encontrarán una serie de conceptos actividades y problemas que deben desarrollar durante este periodo en el cuaderno y en hojas para entregar en la fecha que se le asigne a cada curso. Estos conceptos y ejercicios son bajados de internet y de los libros de Santillana, norma de noveno.Recuerden que en cada curso ya se les informo hasta que fecha va el periodo y cuando es la evaluación bimestral.

Rosario Monastoque R.

Poliedros y

Cuerpos

redondosLa palabra poliedro (Πoλυεδρos)

deriva de los términos griegos

Πoλυs (mucho) y εδρα (plano).

“No entre aquí quien no sepa geometría”

Platón

“Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.

Galileo Galilei

“Donde hay materia hay geometría.”Johannes Kepler

Actividad: Elaborar la Biografía en el cuaderno con los grandes aportes realizados a la ciencia por parte de Platón, Galileo Galilei y Kepler

CUERPOS SÓLIDOS

Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el

espacio.

Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o

formados por caras planas (poliedros), o teniendo

alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.

c. Señala 3 objetos reales que sean poliedros.

POLIEDROS

Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

Ángulos diedros

Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones.

Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro.

Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.

Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

Al punto común se le llama vértice.

Actividad

Observa los siguientes poliedros.

• Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

• A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos.

Actividad

En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?

Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?

c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?

FÓRMULA DE EULER (1750)

En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A?

CONCLUSIÓN

En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de

caras más el número de vértices es igual al número de aristas más

dos:

C + V = A + 2

Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? • Une dos vértices que no están en la misma cara.

¿Y el plano diagonal?• Contiene dos diagonales

¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

Explica razonadamente cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas

1. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4.

2. Las caras de un poliedro son todas iguales.

3. Hay poliedros con tres caras.

4. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.

5. Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos.

6. Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices.

7. El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3.

8. El cilindro es un poliedro.

Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando:1. El fuego al tetraedro (El fuego tiene la forma del tetraedro,

pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo)2. La tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), 3. El aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y

fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) 4. El agua al icosaedro(El agua, el más móvil y fluido de los

elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar)

5. El dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos.

POLIEDROS REGULARES

Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse

Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales.

Si quieres comprobarlo, fíjate en el número de caras, de vértices y de aristas de cada uno de los siguientes poliedros regulares:

Sólo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

POLIEDRO DEFINICIÓN FIGURA

TETRAEDRO

REGULAR

Formado por tres triángulos

equiláteros. Es el que tiene

menor volumen de los cinco

en comparación con su

superficie. Representa el

fuego. Está formado por 4

caras, 6 aristas y 4 vértices. FUEGO

OCTAEDRO

REGULAR

Formado por ocho triángulos

equiláteros. Gira libremente

cuando se sujeta por vértices

opuestos. Por ello,

representa al aire en

movimiento. Está formado

por 8 caras, 12 aristas y 6

vértices. AIRE

SOLIDOS PLATÓNICOS

POLIEDRO DEFINICIÓN FIGURA

ICOSAEDRO

REGULAR

Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

AGUA

HEXAEDRO

REGULAR

O CUBO

Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

TIERRA

DODECAEDRO

REGULAR

Formado por doce pentágonos

regulares. Corresponde al

Universo, pues sus doce caras

pueden albergar los doce

signos del Zodiaco. Tiene 12

caras, 30 aristas y 20 vértices. EL UNIVERSO

Un desarrollo de cada sólido

platónico

Dibújalos en una cartulina o pastas de cuadernos viejos recórtalos la construcción se realizará en el aula de clase

PRISMAS Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras

laterales son paralelogramos.

Los elementos de un prisma son los siguientes:

Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario.

• La altura de un prisma será el segmento de perpendicular a las bases comprendido entre estas.

• Si la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará triangular; si es un cuadrado, se llamará cuadrangular, etc.

Hay unos prismas especialmente

interesantes dentro de los

prismas cuadrangulares. Estos

son los paralelepípedos

llamados así porque los

cuadriláteros de las bases son

paralelogramos.

•Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de ortoedro.

PIRÁMIDES

Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamado pirámide.

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:La base: es la cara en la que se apoya la pirámide.Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide.Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide.

Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal...

Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas. Así, hay pirámides rectas y oblicuas, según que el centro del polígono de la base coincida o no con el pie de la altura de la pirámide, y regulares e irregulares, según que el polígono de la base sea o no regular.

• Así mismo, según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

TRONCO DE PIRÁMIDE

Si cortamos una pirámide por un plano,obtenemos un tronco de pirámide, que serárecto u oblicuo, según que el plano sea o noparalelo a la base. Fíjate en que las caraslaterales de un tronco de pirámide sontrapecios y cuando éste es regular, entonceslos trapecios son isósceles iguales y su alturacoincide con la apotema del tronco depirámide. Por otra parte, las bases sonpolígonos semejantes.

Cuerpos redondosUna lata de refresco, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera.A estos tres cuerpos: cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

Cilindro

•Las columnas de un templo clásico, unrodillo de amasar son también ejemplosde cilindros.•El cilindro se forma al girar unrectángulo alrededor de uno de suslados, que se mantiene fijo, como en unapuerta giratoria.•Si cortamos el cono por su superficielateral y lo extendemos sobre unasuperficie plana, obtenemos sudesarrollo:

Cono

•El cucurucho de un helado y el tejado de una choza son ejemplos de conos.•El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.•Si cortamos el cono por su superficie lateral y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

EsferaUna pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.LA ESFERA TERRESTREComo la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos), la llamamos la esfera terrestre.En ella podemos trazar unas líneas imaginarias, que nos permitirán precisar la posición de cualquier punto sobre ella, por ejemplo, la situación de tu pueblo o ciudad.•Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los meridianos.

PROBLEMASA continuación encontrará una serie deproblemas del libro de Santillana loscuales debe realizarlos en hojascuadriculadas, para entregar el día yhora que se le asigne a cada curso.Estos ejercicios son prerrequisito parapresentar la evaluación bimestral.(Se encuentran en el archivo Poliedrosy cuerpos redondos problemas en pdf)