EIQ 657: Ingeniería Económica

Versión 2011Profesor: Luis Vega Alarcón

Matemáticas Financieras

2

Valor del dinero en el tiempo

El valor del dinero en el tiempo es el concepto

fundamental de la Ingeniería Económica.

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El dinero como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco. Un hombre puede tener una casa o puede cambiarla por

dinero en efectivo, o tener un auto y cambiarlo por dinero en efectivo. Si este hombre no es dueño de una casa y necesita

utilizar una, deberá rentarla, es decir, deberá pagar por ello; si

no posee un auto y necesita utilizar uno, deberá pagar una renta, no importando si es por media hora, como en el caso de

un taxi, o por un día o un mes. Del mismo modo, si este hombre no tiene dinero y lo necesita, deberá pagar cierta

cantidad para tenerlo.

En general, el uso de bienes ajenos con valor intrínsico implica necesariamente un pago por

ese uso. 4

“El interés es una medida del valor del dinero en el tiempo, representa el incremento entre la suma originalmente prestada

o invertida y la cantidad final debida o acumulada”.

Interés y tasa de interés

Para un préstamo

Original Prestamo -Debida CantidadInterés =

Original Inversión - AcumuladaCantidadInterés =

Para una inversión

5

Cuando se expresa el interés como porcentaje del monto

original por unidad de tiempo el resultado es la Tasa de Interés.

100 original Cantidad

tiempo de unidad por

acumulado Interés

Porcentual

Interés

de Tasa

×

=

Junto a la tasa de interés se debe identificar la unidad de

tiempo usada, a esta unidad de tiempo se le denomina

Periodo de Interés . El periodo más comúnmente empleado es

de 1 año, sin embargo, a menudo se utilizan periodos de

interés mas cortos que un año (interés trimestral, interés

mensual, etc.). 6

Interés simple e interés compuesto

Cuando se considera más de un periodo de interés es

necesario distinguir entre interés simple e interés compuesto.

El Interés Simple se calcula considerando el capital inicial

solamente sin considerar las ganancias generadas entre

los periodos.

El calculo con Interés Compuesto considera el capital y

las ganancias obtenidas entre los periodos.

7

Ejemplo. Se solicita un préstamo de $1000 a un 14% anual. ¿Cuanto dinero se deberá al cabo de 3 años?

a) Calculo con interés simple.

Fin de Capital Interes Cantidadaño adeudada0 10001 140 11402 140 12803 140 1420

420 $ .14)1000)(3)(0 $ (

interes) de tasaperiodos)( de número(Capital)(Interes

===

1420 $ 420 $ 1000 $

)(Intereses (Capital) AdeudadaCantidad

=+=+=

8

b) Calculo con interés compuesto .

Fin de Capital Interes Cantidadaño adeudada0 10001 140,00 1140,002 159,60 1299,603 181,94 1481,54

481,54

1481.54 $ 481.54 $ 1000 $

(Interés) (Capital) AdeudadaCandidad

=+=+=

Cantidad adeudada luego de tres años:

Interés Simple

Interés Compuesto $ 1481.54

$ 1420.00

9

Flujos de efectivo o Flujo de caja

Un flujo de efectivo (o flujo de caja) es el resultado neto de los

diversos ingresos de dinero y pagos de dinero (costos) que ocurren en ciertos intervalos de tiempo.

Una empresa tiene un flujo de efectivo positivo cuando recibe dinero por la venta de sus productos; de igual forma, tendrá un

flujo de efectivo negativo cuando el dinero salga de la empresa,

como cuando paga el sueldo a sus trabajadores.

Ingresos por Ventas + $ 10.000Pago de sueldos - $ 4.000Flujo de Efectivo Neto = $ 6.000

10

Un flujo de caja normalmente tendrá lugar en algún tiempo

dentro de un periodo de interés. Comúnmente para simplificar

se adopta la convención de fin de periodo que supone que

todos los flujos de dinero ocurren al final del correspondiente

periodo de interés.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Fecha real de pago

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Con el convenio de fin de periodo

11

Se acostumbra representar los flujos de efectivo en forma gráfica .

“Al tiempo se le representa como una línea horizontal. El inicio

del periodo siempre se ubica en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. Los flujos de efectivo estarán

representados por flechas, con la punta hacia arriba o hacia

abajo, según sea positivo o negativo el flujo analizado”.

+

-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Años

$ 3600

$ 700$ 1800

$ 600

$ 3200

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Formulas de Ingeniería Económica

Las formulas matemáticas de ingeniería económica general-mente involucran los siguientes términos:

P : Suma de dinero en el tiempo presente.

F : Suma de dinero en algún tiempo futuro.A : Una serie consecutiva e igual de dinero al final

de cada periodo.G : Gradiente

n : Número de períodos.

i : Tasa de interés por período

13

Tanto P como F son valores sencillos que ocurren una sola vez en el tiempo, expresadas en unidades monetarias, mientras

que A se expresa en unidades monetarias por unidad de tiempo.

0 1 2 3 7 8años

P

F

4 5 6

A A A

14

0 1 2 3 n-1 naños

P conocida

¿ F ?

Considerando que se conoce el valor presente de una inversión

P y se quiere conocer su valor futuro F al final del periodo n con

una tasa de interés i.

15

0 1 2 3 n-1 naños

F1

¿ F ?

El monto de dinero acumulado al final del primer año seria:

)i1(PiPPF1 +=⋅+=

16

0 1 2 3 n-1 naños

F2

¿ F ?

Al final del segundo año la cantidad acumulada F2 será igual a

la acumulada al final del primer año F1 mas los intereses del

segundo periodo.2

112 )i1(Pi)i1(P)i1(PiFFF +=⋅+++=⋅+=

17

De la misma forma tenemos que la cantidad de dinero

acumulada al final del tercer año es:

32

2223 )i1(P)i1()i1(P)i1(FiFFF +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅+=

De los resultados anteriores se puede generalizar para n años

como:

n)i1(PF +⋅=

Ejemplo. Si deposita hoy $ 50.000 en un banco que paga el 26% anual. ¿Qué cantidad de dinero habrá acumulado al cabo

de 5 años, si usted no hace ningún retiro durante dicho tiempo?

( ) 790.158$26.01000.50)i1(PF 5n =+⋅=+⋅=18

De la ecuación anterior obtenemos:

( )

+⋅=

ni1

1FP

Podemos conocer el valor presente de un valor futuro conocido

al fin del periodo n a un interés i.

Ejemplo. Cuanto debe depositarse hoy en un banco que da un 2% mensual para poder retirar dentro de un año $300000?

( ) 548.236 $02.01

1300000P 12 =

+⋅=

19

Si conocemos el valor de una serie de pagos o cuotas iguales

A en n periodos a una tasa de interés i y queremos conocer el

valor presente P.

0 1 2 3 n-1 naños

¿ P ?

A A A A A A

20

Considerando cada A como un valor futuro para el calculo del

valor presente tenemos:

+⋅+

+⋅++

+⋅+

+⋅+

+⋅= − n1n321 )i1(

1A

)i1(

1A.........

)i1(

1A

)i1(

1A

)i1(

1AP

0 1 2 3 n-1 naños

¿ P ?

A A A A A A

21

Factorizando y reordenado la relación anterior obtenemos:

0)(i )i1(i

1)i1(AP

n

n

≠

+⋅−+⋅=

Ejemplo. ¿Cuánto debe depositarse hoy en vez de depositar mensualmente $ 3000 en un banco al 2% mensual durante 3

años?

76.467 $ )02.01(02.01)02.01(

3000P 36

36

=

+⋅−+⋅=

22

De la relación anterior podemos conocer el valor de una serie

de cuotas o pagos iguales equivalentes a realizar hoy una

inversión P.

−++⋅⋅=

1)i1(

)i1(iPA

n

n

Ejemplo. Un banco otorga un crédito de $5.000.000 a 2 años a una tasa del 3% mensual. ¿Cuál será el valor del dividendo

mensual?

295237 $1)03.01()03.01(03.0

5000000A 24

24

=

−++⋅⋅=

23

Para conocer el valor A de la serie de cuotas uniformes

equivalentes a un valor futuro F conocido en el periodo n a una tasa de interés i.

0 1 2 3 n-1 naños

F

A A A A A A ¿A?

24

Combinando las dos ecuaciones anteriores:

−+⋅=

1)i1(

iFA

n

n)i1(PF +⋅=

0)(i )i1(i

1)i1(AP

n

n

≠

+⋅−+⋅=

Obtenemos:

Ejemplo. ¿Cuanto debe depositar mensualmente en un banco

que da un 3% mensual, para tener acumulado al final de dos

años la suma $5.000.000?

145.237 $1)03.01(

03.0000.000.5A 24 =

−+⋅=

25

De la relación anterior obtenemos:

i

1)i1(AF

n

−+⋅=

670604.5 $ 02.0

1)02.01(50000F

12

=

−+⋅=

Ejemplo. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final de un año en un

banco que da un 2% mensual si se hacen depósitos mensuales de $50.000?

26

n)i1(PF +⋅=

( )

+⋅=

ni1

1FP

+⋅−+⋅= n

n

)i1(i1)i1(

AP

−++⋅⋅=

1)i1(

)i1(iPA

n

n

Factor Cantidad Compuesta Pago Unico (FCCPU).

Factor Valor Presente Pago

Único (FVPPU).

Factor Valor Presente Serie

Uniforme (FVPSU).

Factor de Recuperación de Capital (FRC)

27

−+⋅=

1)i1(i

FA n

−+⋅=i

1)i1(AF

n

Factor Fondo de Amortiza-ción (FFA).

Factor Cantidad Com-puesta Serie Uniforme

(FCCSU).

28

P

A F

n)i1(PF +⋅= )i1(i

1)i1(AP

n

n

+⋅−+⋅=

−+⋅=

1)i1(

iFA

n

i y n

En resumen:

29

En algunos casos se conoce la cantidad de dinero invertida P y la recibida F después de un numero especifico de años, y se

desea determinar la tasa de interés o tasa de retorno. La tasa de interés desconocida puede determinarse por solución directa

de la ecuación cuando sólo están involucrados un pago único y

una entrada única, o una serie uniforme de pagos o entradas. Sin embargo, cuando se trata de pagos no uniformes o varios

factores están involucrados, el problema debe resolverse por medio de métodos de ensayo y error.

30

Ejemplo. Si hoy se hace una inversión comercial que de $3.000

para recibir $ 5.000 dentro de 5 años. ¿Cual sería la tasa de retorno sobre la inversión?

( ) 1076.0135

i i130005000

)i1(PF

51

5

n

=−

=⇒+⋅=

+⋅=

0 1 2 3años

F =5000

P=3000

¿ i ?

4 5

31

En otro casos, se requiere determinar el numero de periodos

requeridos para que una inversión produzca una cantidad

determinada de dinero.

32

Ejemplo. ¿En cuánto tiempo se duplicarán $ 1000 si la tasa de

interés es de 5% anual?

0 1 2 3 n-1 naños

F=2000

i=5%

P=1000

¿ n ?

( )( )n

n

n

05.012

05.0110002000

)i1(PF

+=

+⋅=

+⋅= Aplicando logaritmo: n=14.2

Luego, en 14.2 años se duplica el capital.