Practico

36 Unidad 1 - Inecuaciones lineales

Resuelve las siguientes actividades para consolidar los conceptos y los procedimientos que has aprendido.

1. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.a. 2 · 7 > (2 + 1) · (7 – 1)b. 32 > 23

c. 42 > 4 · 3d. (10 + 4)(10 – 4) G 102 – 42

e. (5 + 6)2 > 52 + 62

f. 3√18 < √10

2. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.a. El sentido de una desigualdad se invierte si se

suma o resta un mismo número real negativo en ambos lados de la desigualdad.

b. El sentido de una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un mismo número real negativo a ambos miembros de la desigualdad.

3. Define los siguientes conjuntos por comprensión, a partir de la característica en común que tengan sus elementos.a. I = {lápiz, goma, sacapuntas, regla}b. M = {visión, audición, tacto, gusto, olfato}c. N = {automóvil, camión, bus, avión}d. O = {metro, litro, gramo, segundo}

4. Determina si los siguientes conjuntos están definidos por extensión o por comprensión. Explica el por qué.a. A = {x ∈ N / x es múltiplo de 3}b. T = {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...}c. P = {y ∈ N / y es divisor de 27}d. O = {3, 9, 15, 21, 27...}e. Q = {q ∈ Z / q es impar ∧ q es divisor de 24}f. B = {d ∈ N / d es compuesto ∧ d es par}

5. Dados los siguientes conjuntos, escríbelos por extensión o por comprensión, según corresponda.a. C = {m es positivo ∧ m divisor de 4}b. D = {2, 5, 8, 11, 14, 17, ...}c. E = {g ∈ Z / g es par ∧ g < 13}d. F = {1, 4, 16, 64, 256, 1 024, ...}e. G = {..., –11, –9, –7, –5, –3, –1}f. I = {d ∈ N / d tiene 2 cifras ∧ d es divisor de 120}

6. A partir de los siguientes conjuntos, realiza las operaciones dadas.

F = {f ∈ N / f es múltiplo de 6 } G = {g ∈ N / g es divisor de 54 } H = {h ∈ N / h es par ∧ h < 27 }

a. F ( Gb. G ( Hc. F ( H

d. F ( G ( He. (F ' H) ( Gf. (G ' H) ( F

7. Expresa la información de las siguientes situaciones utilizando desigualdades.a. Solo podrán asistir las personas cuya edad

no sea inferior a 21 años.b. Si el nivel de intensidad sonora (NIS) de un

sonido es superior a 50 dB, puede provocar daños en el oído.

c. Las frecuencias audibles por el ser humano son aquellas que fluctúan entre 20 Hz y 20 000 Hz.

d. El precio del dólar se mantiene bajo los $ 500, pero nunca es inferior a $ 450.

8. Expresa por extensión y comprensión el conjunto de todos los números enteros que se encuentren entre:a. –8 y 8, ambos incluidos.b. –3 y 5, sin incluirlos.c. 2 y 15, ambos incluidos.

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1Unidad

Inecuaciones lineales - Unidad 1 37

9. Inventa una situación que se pueda representar utilizando cada desigualdad.a. t < 200 b. 0 < m < 12

c. a > 6d. –4 G r G 4

10. Encuentra tres números reales que pertenezcan a cada uno de los intervalos dados.a. [–2, 5[

b. C– 12

, +∞9 c. ]–∞,–4]

d. [ √5 , 3]e. [0; 0,1[f. ] √2 , √3 [

11. Determina el resultado de las uniones e intersecciones de intervalos. Luego, expresa el resultado como intervalo y gráficamente.a. [1, 5] ( ]2, 7[

b. [–2, 4[ ' [0, 5]

c. ]2, ∞[ ( ]–4, 6]

d. C25

, 89 ( _ [1, 4] ( ]–∞, 3[ ie. [1, 8] ' _ ]2, 4[ ( [3, 10[ if. d C2

3, 49 ' C–4, 8

119 m ' _ [0, 4] ( ]–∞, –2[ i

12. Expresa como intervalo y representa gráficamente los siguientes conjuntos.a. {x ∈ R / 2 < x}

b. &x ∈ R / – 23

> x0c. &x ∈ R /0 > x > – 4

50

d. {x ∈ R– / x H –4}

e. {x ∈ R+ / x G √2 }

f. {x ∈ R / 7,2 < x G 12}

13. Determina el intervalo representado en cada una de las siguientes representaciones gráficas.

a. –3 3

2

b. –6

c. –5

14. Si un número varía entre –2 y 7, ¿entre qué valores se encuentra su opuesto aumentado en 9?

15. La base de un triángulo mide el triple que su altura. Si la medida de la altura puede variar entre 2 cm y 7 cm, ¿entre qué valores oscila el área de dicho triángulo?

16. Si la arista de un cubo varía entre 2 cm y 5 cm, ¿entre qué valores se encuentra su volumen?, ¿y el área de una de sus caras?, ¿y su área total?

17. Si la diagonal de un cuadrado varía entre 4√2 cm y 5√2 cm, ¿entre qué valores se encuentran sus lados?

18. Si un número varía entre√5 y √10 , ¿entre qué valores se encuentra su cuadrado disminuido en 5?

19. CONEXIÓN CON LA ECONOMÍA El precio de un cuaderno fluctúa entre $ 460 y $ 980, y el de un lápiz, entre $ 80 y $ 220. Si Enrique tiene que comprar 12 cuadernos y 8 lápices, ¿cuánto dinero necesita como mínimo?, ¿y como máximo?

20. CONEXIÓN CON LA NATURALEZA El cóndor adulto es el animal volador más grande del mundo, puede llegar a medir entre 1,1 y 1,3 m. Si una pulgada es igual a 2,54 cm, determina el rango de valores que puede adoptar el tamaño de un cóndor adulto, en pulgadas.

21. CONEXIÓN CON LA LITERATURA En el mundo mágico de Harry Potter, el sistema de monedas es diferente al que usamos habitualmente. Allí existen galeones de oro, sickles de plata y knuts de bronce. Se sabe que un galeón de oro equivale a 17 sickles de plata y que 1 sickle de plata equivale a 29 knuts de bronce.a. Si el precio de una escoba voladora oscila entre

10 y 29 galeones de oro, ¿entre qué valores varía el precio de la escoba, en sickles de plata?, ¿y en knuts de bronce?

b. Un mago tiene dinero ahorrado, no sabe exactamente cuánto tiene, pero sabe que es un valor mayor que 884 sickles de plata y no superior a 1 632 sickles de plata. ¿Entre cuántos galeones de oro se encuentra la cantidad de dinero que el mago ha ahorrado?, ¿y entre cuántos knuts de bronce?

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38 Unidad 1 - Inecuaciones lineales

Marca la opción correcta en los ítems 22 al 40.

22. ¿A qué conjunto representa el intervalo ]–∞, –2[?A. {x ∈ R / –2 G x}B. {x ∈ R / –2 H x}C. {x ∈ N / –2 > x}D. {x ∈ R / –2 > x}E. {x ∈ R– / 2 < x}

23. Dado un número m cualquiera, que cumple la condición –1 G m < 10, ¿cuál de las siguientes desigualdades es siempre verdadera?A. 1 H m > –10B. m < 10C. m > –1D. –1 G m G 10 E. 1 H –m > 10

24. Se sabe que a es un número real, tal que –20 < a G –11. ¿Cuál de los siguientes valores no corresponde a un valor posible de a? A. –20 B. –17C. –15D. –14E. –12

25. Para el conjunto de números reales

A = &x ∈ R / π2 G x < 3√2 0, ¿cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera? I. 4 ∈ A II. 1,5 ∈ A III. √18 ∈ A

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I y IIIE. I, II y III

26. ]–4, a] ( [b, 2] es vacío si:A. a + b < 0 B. a – b < 0 C. a < 0 y b < 0D. a G 0 y b H 0E. a H 0 y b G 0

27. Si a, b, c y d son números enteros negativos, ¿cuál o cuáles de las siguientes desigualdades siempre se cumple? I. a + b < 0 II. a + b + c > 0III. a + b < c + d

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y III E. I, II, III

28. Si a > b y b < 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre positiva?A. ab B. a2b C. ab2

D. a2 + b2

E. a2 – b2

29. De los siguientes números, ¿cuál se encuentra en el intervalo ]–5, –3] ' ]2, 4[?A. –5 B. –3C. 0D. 2E. 4

30. Si u + 1 < v < 0, la expresión uv – 1 es:

A. menor que –1.B. mayor que –1 y menor que 0.C. mayor que 0 y menor que 1. D. mayor que 1.E. No se puede determinar.

31. Sean a y b dos números reales tales que a + b < b y además ab < 0. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?A. b – a < 0 B. a – b > 0 C. a < 0 y b < 0D. a > 0 y b < 0E. a < 0 y b > 0

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1Unidad

Inecuaciones lineales - Unidad 1 39

32. ¿Qué conjunto es equivalente a (]–2, 6[ ' ]4, 9]) ' ]1, 7[?A. ]–2, 9] B. ]–2, 4[ ' ]6, 9] C. ]–2, 1[ ' ]4, 6[ D. ]–2, 6[ ' ]7, 9]E. ]–2, 1[ ' ]4, 9]

33. Si ab > bc, con b < –4, ¿cuál de las siguientes desigualdades se cumple?A. a > c B. a < cC. a G cD. a H cE. a = c

34. Se debe construir un cubo cuya arista a puede medir desde 4 cm hasta 6 cm. El máximo volumen V que puede tener el cubo es 125 cm3. ¿Cuál de las siguientes alternativas expresa correctamente la situación descrita?

A. 4 G a G 6 y V < 125B. 4 G a G 6 y V G 125C. 4 G a G 6 y V = 125D. a G 5 G 6 y V = 125E. a < 6 y V G 125

35. Si 0 < a < 1, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es falsa? I. a2 > 1 II. a2 – 1 < 1 III. a2 < a

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III E. I y III

36. ¿En cuál de las siguientes alternativas está definido por comprensión el conjunto A?

A = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}

A. {x ∈ N / –5 G x G 2}B. {x ∈ N / –5 < x < 2}C. {x ∈ Z / –5 G x < 3}D. {x ∈ Z / –5 < x < 2}E. {x ∈ R / –6 < x G 3}

37. Sean a y b números reales tales que:

–6 G a < 12 y –3 < b < 7¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas?I. –9 < a + b < 19II. –12 G 2a < 24III. 6 < –2b < –14

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y IIIE. I, II y III

38. ¿En cuál de las siguientes alternativas está definido por extensión el conjunto B?

B = {x ∈ N / –6 G x < 6}

A. {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}C. {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}E. {1, 2, 3, 4, 5}

39. Sean a, b y c números reales distintos de 0; se

puede determinar el signo de la expresión a2bc2 si:

(1) a < 0 (2) bc 2 < 0

A. (1) por sí sola.B. (2) por sí sola.C. Ambas juntas, (1) y (2).D. Cada una por sí sola, (1) o (2).E. Se requiere información adicional.

40. La expresión a + ba – b , con a y b números reales

y a ≠ b, es positiva si:

(1) a > b (2) b > 0

A. (1) por sí sola.B. (2) por sí sola.C. Ambas juntas, (1) y (2).D. Cada una por sí sola, (1) o (2).E. Se requiere información adicional.

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Evaluación de proceso

40 Unidad 1 - Inecuaciones lineales

1. Dados los conjuntos A, B y C, realiza las siguientes operaciones. A = {–4, –2, 0, 2, 4, 6, 8} B = {x ∈ N / x es divisor de 12} C = {x ∈ N / x es de una cifra ∧ x es par}a. A ' Bb. A ( C

c. (C ' B) ' Ad. (B ( C) ( A

2. Sea A = {x ∈ N / x es compuesto de una cifra}. Marca con una X todos los números que pertenecen al conjunto A.

3

511

1

–8

–5

9

17

152

3. Escribe la información de las siguientes situaciones utilizando desigualdades.a. p está entre –2 y 6, ambos números inclusive.b. k es un número positivo inferior a 10.c. b no excede a 5.d. q es un número negativo que excede o es igual

a –12.

4. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.a. (–4)2 G (–4)3

b. 3 + 1111

G 1 + 2211

c. 3 – 25

H 3 – 52

d. 1 + 47

G 1 + 47

5. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado como un intervalo o como una unión o intersección de estos.a. [1, 3[ ' ]2, 7[

b. [1, +∞[ ( ]–∞, 40[

c. ]2, 8] ( [–3, 2]

d. ]–1, +∞[ ' ]–∞, 1[

e. 914

, 72C ' [2, 5[

f. 945

, 549 ( 97

8, 8

79

6. Expresa como intervalo las siguientes representaciones gráficas.

a. –2 5

b. –4

c. –4 3

5

d. 94

e. 8

7. Si –4 G p < 5, determina entre qué números varía cada una de las siguientes expresiones.a. 2p

b. –p

c. p3 – 1

5

d. 4p – 5

e. 6 – 7p

f. 34

– 2p3

8. Considera la siguiente afirmación: “El sucesor del cuadrado de un número natural siempre es igual o mayor que el doble de dicho número”.a. ¿Cómo representarías la afirmación anterior

utilizando una desigualdad?b. Verifica la validez de la afirmación probando

con algunos valores. ¿Se cumple en todos los casos?

c. Demuestra la afirmación anterior.

9. El lado de un cuadrado varía entre 8 m y 12 m.a. ¿En cuánto varía su área, disminuida en 4 m2?b. ¿En cuánto varía su perímetro, aumentado

en 3 m?c. ¿En cuánto varía la medida de su diagonal?

Redondea a la décima.

Aplica lo aprendido hasta este momento en la unidad y desarrolla las siguientes actividades.

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43

5

21

1Unidad

Inecuaciones lineales - Unidad 1 41

Marca la opción correcta en los ítems 10 a 19.

10. ¿Con cuál intervalo se puede representar el conjunto de los números reales negativos?A. ]–∞, 0]B. ]–∞, 0[C. ]0, +∞[D. [0, +∞[E. ]–∞, +∞[

11. Si el lado de un triángulo equilátero varía entre 5 cm y 14 cm, ¿entre qué valores varía su perímetro, disminuido en 5 cm?A. Entre 15 cm y 42 cm.B. Entre 20 cm y 47 cm.C. Entre 20 cm y 56 cm.D. Entre 10 cm y 37 cm.E. Entre 15 cm y 51 cm.

12. Si a H b + c, ¿cuál de las siguientes desigualdades es correcta?A. a – c H bB. a – b G cC. a + c G bD. b – a H –cE. a + b < c

13. ¿Con cuál intervalo se puede representar el conjunto A = {x ∈ R / –2 G x < 6}?A. ]–2, 5]B. [–2, 5]C. [–2, 6]D. ]–2, 6[E. [–2, 6[

14. ¿Cómo se representa por comprensión el conjunto de todos los números naturales tales que no son inferiores que 9 y no exceden 21?A. {x ∈ N / 9 < x < 21}B. {x ∈ N / 9 < x G 21}C. {x ∈ N / 9 G x G 21}D. {x ∈ N / 8 G x < 22}E. {x ∈ N / 8 < x G 22}

15. ¿Cuál de los siguientes números NO pertenece al conjunto A = {x ∈ Z / x es impar}?A. 321B. –357C. –129D. 603E. 358

16. ¿Cuál de las siguientes situaciones se puede representar con la desigualdad p G 9 000?A. El valor de la cuota mensual excede los $ 9 000.B. Al concierto asistieron 9 000 personas.C. Al menos 9 000 beneficiados tuvo la nueva ley.D. Por menos de $ 9 000, puedes llevarlo.E. A lo más 9 000 personas llegaron al partido.

17. ¿A qué intervalo pertenece el número –4,01?A. ]–∞, –4]B. ]–∞, –5]C. [–4, +∞[D. ]–4, +∞[E. [–3, +∞[

18. ¿En cuál de las alternativas el siguiente conjunto está definido por extensión?R = {x ∈ N / x es de dos cifras ∧ x termina en 1}

A. {1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}B. {1, 10, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}C. {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}D. {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}E. {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?A. Si a > b y b < c, entonces a > c.B. Si a > b y b > c, entonces c < a.C. Si a > b, entonces a – 3 < b – 3.D. Si a H b y b H c, entonces a = c.E. Si a > b, entonces –a > –b.

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