i introducciÓn 1. ¿lógica? sí, lógica · peramos que e1 cajero nos 1a dé o nos 1a niegue, ......

1 . ¿Lógica? Sí, lógica

I

INTRODUCCIÓN

Quejarnos porque 1a cuenta del restaurante esalta no nos dará ningún resultado : no lograremosconvencer a1 mozo y pasaremos por mezquinos .Pero sí encontramos algún error en 1a suma provoca-remos una consulta y obtendremos, junto con 1a en-míenda, las correspondientes excusas : tal es e1 poderde 1a aritmética, que ní los comerciantes se atrevencontra ella . Y 1a aritmética no es una invencióndiabólica, ni e1 arma secreta de 1a administraciónimpositiva : es, simplemente, un sistema teórico quereconstruye, en abstracto, las relaciones que todosaceptamos entre las cantidades concretas . Dosmás dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y 1u-gar, se trate de dólares, camellos o vueltas en cale-síta; y e1 conjunto de las relaciones de este tipo,reunidas en una teoría matemática universalmente

20 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA

admítída, nos permite verífícar formalmente 1aexactitud de cualquier cálculo .

Lo mismo ocurre con 1a lógica . Si alguien nosendílga un largo discurso sobre un tema que ígno-ramos, nos será dificil formarnos una idea sobre 1averdad o 1a falsedad de cada una de sus afirmacio-nes; pero sí entre ellas hay dos que resulten contra-díctorías entre sí, no necesitaremos averiguar máspara saber que en esa cháchara hay algo que nofunciona bien . A1 razonar de este modo habremosutilizado un sistema teórico -1a lógica- que reco-pi1a, generaliza, abstrae y reconstruye en fórmulaslas relaciones aceptables entre las proposiciones,aun con total prescindencia de su contenido : esdecir, de modo completamente formal .

En otras palabras, 1a lógica es un sistema queentre otras cosas- permite verificar 1a corrección

de los razonamientos. ¿Qué es esto de 1a correc-ción de los razonamientos? Lo entenderemos mejora través de algunos ejemplos .

Ejémplo 1 : Toda música se compone de sonidos .E1 tango es música . Por 1o tanto, e1 tango se com-pone de sonidos .

Ejemplo 2: Como e1 cíelo es azul y las nubes sonblancas, me siento alegre y optimista .

Ejemplo 3: Como todas las cucarachas tienenalas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas .

A primera vista los dos primeros ejemplos pa-recen muy "razonables", en tanto e1 tercero parece

INTRODUCCIÓN 21

ridículo . Pero sí nos quedamos con esta ímpresíónno fremos muy lejos en nuestra capacidad de racío-cínío y seremos fácilmente engañados por una retó-ríca falaz. Examinemos los ejemplos uno por uno,con más cuidado .

E1 ejemplo 1 propone dos premisas y una con-clNsíón. Y cualquiera que 10 lea advertirá que 1aconclusión es una consecuencia necesaria de las pre-misas . En efecto, podemos no saber gran cosa demúsica, y podemos ignorar por completo 1a existen-cía del tango; pero si nos informan que 1a músicase compone de sonidos y que e1 tango es una formade música, en esos datos se encuentra contenido,implícitamente, e1 resultado que aquel razonamien-to hace explícito : que e1 tango se compone de so-nídos .

E1 ejemplo 2 también contiene dos premisas yuna conclusión, pero ésta no se desprende necesa-ríamente de aquéllas. Puede ocurrir, por cierto,que una persona de talante contemplativo se sientaimpulsada a un irresistible optimismo por 1a meracomprobación del color del cíelo y de las nubes ;pero también sucede que a veces uno tiene un dolorde muelas, y entonces e1 cíelo y las nubes carecende toda eficacia como talismanes de buen humor .Y aquí aparece -entonces- un importante datosobre 1a lógica : una deducción válida no es 1a queeventualmente lleva a un resultado verdadero, sino1a que necesariamente lleva a un resultado verdadero siempre que las premisas también 1o sean .


Esto podrá comprenderse mejor a partir delejemplo 3 que, contra 1o que podría suponerse aprimera vista, es absolutamente uá1Ø. No, porcierto, porque quienes esto escriben hayan sufridoalguna metamorfosis kafkiana y se dediquen a revo-lotear por las cocinas, sino porque 1a conclusiónse desprende necesariamente de las premisas . Enefecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tie-nen alas, y sí fuera exacto que yo pertenezco a tanpoco apreciada especie, entonces también sería eíer-to que tengo alas . Nótese que no existe otra posi-bilidad lógica : sí yo no tengo alas no puedo ser unacucaracha (porque hemos supuesto que todas lascucarachas las tienen ) ; y si no tengo alas y a pesarde eso sigo siendo una cucaracha, entonces no pue-de ser verdad 1a hipótesis general sobre e1 vuelo cu-carachìl. De modo que e1 ejemplo 3 es una deduc-ción correcta, a pesar de que tanto sus premisascomo su conclusión son obviamente falsas .

Claro está que aquí puede surgir una reflexiónescéptica : si 1a lógica aprueba un razonamiento se-gún e1 cual todas las cucarachas tienen alas y yosoy una cucaracha alada, también podría aprobarque los chanchos escriben poemas, y que 1a ínfla-cíún no existe, y que 1a luna es una bola de quesoGruyère . Entonces ¿para qué sirve 1a lógica, si nopermite distinguir 1o verdadero de 1o falso? Estovale tanto como preguntar para qué sirve 1a televi-sión, sí los programas son tan malos . Sí e1 espee-táculo no nos gusta, haremos bien en apagar e1 re-

INTRODUCCION

ceptor, pues no obtendremos de é1 mayor utilidad .Pero e1 día que haya un programa bueno ¿cómo ha-remos para verlo sin un aparato que funcione ade-cuadamente?

Del mismo modo, exigir a 1a lógica que nos en-señe 1o verdadero y 1o falso es injusto : 1o que nohan logrado hacer todavía 1a ciencia y 1a filosofíano puede conseguirse del mero razonamiento, quees sólo una herramienta intelectual, y no 1a fuentede 1a verdad . Sí partimos de premisas falsas, nín-guna seguridad tendremos de llegar a conclusionesverdaderas ( si 1o hacemos, será por casualidad ) .Pero, sí tenemos 1a fortuna de hallar premisas ver-daderas para alimentar e1 razonamiento, éste nosproporcionará nuevas y relucientes afirmaciones,tan verdaderas como aquéllas de las que partimos .

Es que 1a lógica, pese a su utilidad, no es omni-potente. Recordemos e1 ejemplo del principio : e1de la cuenta del restawante. La aritmética nopuede evitar que nos cobren por algún plato másde 1o que vale ( de otro modo existiría gran deman-da de textos sobre matemáticas ) ; pero ya es algoque nos permita controlar 1a suma para ver sí tam-bién ahí alguien pretende quedarse con nuestro di-nero .

2. Lógica y bloqueo mental, o el valor de la sonrisa

"Claro, lógico", solemos decir ( no siempre conpropiedad ) cuando oímos una afirmación que flQ

23

24 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA

parece sencilla y plausible . Pero cuando e1 adjeti-vo se vuelve sustantivo y nos hablan de 1a Lógica,la imaginamos con una L mayúscula, alta como unmuro en e1 que nuestra capacidad de comprenderse estrellará irremediablemente .

Por supuesto, esta predicción casí siempre seconfirma . Con ella ocurre 1o mismo que con losrumores de 1a Bolsa : sí hacemos correr 1a voz deque determinada acción va a subir, 1a gente 1o cree,1a demanda aumenta y e1 precio efectivamentesube . De idéntico modo, nuestra concepción de 1alógica como un instrumento de tortura ( imagen se-mejante a 1a que solemos tener de las matemáticas )tiende a crear un bloqueo mental que a menudo nonos permite siquiera averiguar sí hay algo de ciertodetrás de aquella idea.

Lo primero que debe advertirse es que 1a lógicano es un pasatiempo para chiflados ociosos . Tieneaplicación práctica, y está mucho más cerca denuestra experiencia cotidiana de 1o que suele supo-nerse . Todos sabemos algo de lógica y 1a usamosconstantemente; pero, como e1 burgués gentilhom-bre de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo,estamos tan habituados a ella que no sabemos verla .Sí juegan Boca Juniors y River Plate y nos informanque uno de ellos ganó, automáticamente tenemos 1acerteza de que e1 otro perdió . Sí extraviamos algojunto ßa1 Obelisco, no se nos ocurre ír a buscarlo aJa sombre de 1a Torre de los Ingleses . Y, puestos

ιINTRODUctIÓN 25

a comprar una ficha para hablar por teléfono, es-peramos que e1 cajero nos 1a dé o nos 1a niegue,pero nos sentimos burlados sí nos contesta : "toda-vía me quedan algunas, pero se me terminaron" .Todas estas actitudes son aplicaciones de leyes 16-

gicas antiguas y muy conocidas, , pero que tienensonoros nombres en latín y se disfrazan con ciertoempaque académico cada vez que un texto de lógi-

ca nos las propina .La receta para encarar satisf actoríamente e1 es-

tudío de 1a lógica incluye, pues, dos remedios, quedeben administrarse en forma conjunta. E1 prime-

ro consiste en advertir 1a importancia de 1a lógica

como exposición de un sistema explícito que nospermite ordenar, controlar y -en caso necesario-reformular 1a enorme cantidad de razonamientosque de todos modos desarrollamos cada día . Y e1segundo, no dejarnos intimidar y tomar 1a lógicacon calma, con buena voluntad y -sí es posiblecon una pizca de sentido del humor . Si conseguí-mos pertrecharnos de este modo estaremos en con-dícíones de ádquírir, sin grave desgarramiento afec-tívo, un ínstruménto de valor inestimable . Peropara lograr este resultado es indispensable aceptare1 desafío intelectual que 1a lógica nos propone yjamás, por ningún motivo, murmurar para nosotros"ésto no 1o voy a entender nunca".

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3. De qué se trata, o a qué vamos a jugar

LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA

Formuladas las advertencias preliminares, co-rrespondería mostrar ahora las características con-cretas del estudio que . nos proponemos emprender.Pero no es fácil hacer esto con 1a lógica, que es unsistema de relaciones abstractas ; y enumerar losproblemas que están o han estado incluidos bajoeste título llevaría a una exposición histórica bastan-te larga : en veinticinco siglos de desarrollo, 1a 16-gica occidental ha recorrido un camino largo y muy-varíado . Para nuestros fines bastará decir que 1alógica busca formular y sistematizar las relacionesØmisibles entre las proposiciones, y se preocupapor establecer métodos para decidir si una proposí-ción se desprende o no de otras a través de un razo-namiento válido .

Aristóteles trató de cumplir esta tarea a travésdel mismo lenguaje que usamos todos los días (lla-mado lenguaje natural) , a1 que incorporó vocablosespecialmente definidos y aun ciertos símbolos abs-tractos (letras como A o B, por ejemplo, para repre-sentar 1a estructura de una proposición con sujetoy predicado ) . Aristóteles emprendió así, proba-blemente, e1 primer estudio sistemático de 1a 1ó-gíca formal ; y puso en ello tanto genio que aun hoysus obras sobre e1 tema se leen con admiración . E1mismo camino siguieron los que vinieron después,y se prolongó a través de 1a Edad Media y del Rena-

INTRODUCCION 27

cimiento. Pero en ocasiones e1 intento chocabacon ciertas dificultades, a pesar del gran desarrolloalcanzado por 1a lógica aristotélica y medieval; e1lenguaje natural contiene una grande y en buenamedida inevitable dosis de imprecisión ( vaguedad,ambigüedad y otras intoxicaciones semánticas ), demodo que, por muy riguroso que fuera e1 propósitode establecer relaciones unívocas, siempre existíae1 riesgo de interpretaciones diversas y de apariciónde seudoproblemas bajo 1a forma de disputas verba-les . Aparte de esto e1 lenguaje natural está com-puesto por palabras que se supone tienen sígnifíca-dos concretos ; y esta presencia constante de los con-tenídos semánticos tiende a oscurecer 1a diferenciaentre distintos tipos de demostración : "todas lasmadres tienen sexo femenino", por ejemplo, es ver-dadera por razones semánticas, ya que 1a feminei-dad es característica definitoria de "madre" ; pero"sí llueve y hace frío, llueve" puede demostrarse sinrecurso alvino a1 significado de las palabras "11ue-ve" ni "hace frío", ya que su verdad resulta directa-mente de 1a estructura lógica de 1a proposición .Esta demostración,' así como otros desarrollos mo-demos de 1a lógica, corresponde a una etapa en quequedó superado en gran medida e1 uso del lengua-je natural .

Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716),pero se desarrolló a 10 largo del siglo xix en lostrabajos de De Morgan (1806-1876), Boole (1815-1864), Free (1848-1925) y Peano (1858-1932) .


entre otros, hasta quedar firmemente establecida aprincipios del siglo xx, cuando Russell y Whiteheadpublicaron su obra Principia Mathernatica (1910-1913 ) . Estos autores aplicaron a 1a 1óica un for-midable instrumento proveniente de las matemáti-cas, campo donde ya había demostrado su utilidad .Este instrumento es e1 lenguaje formal, en e1 quesímbolos convencionales, distintos de las palabrasque conocemos y definidos con rigurosa precisión,según 1a función que cumplan, pueden combinarseentre sí a través de reglas deliberadamente cons-truídas .

Este nuevo desarrollo recibió distintos nombres,que pretendían diferenciarlo de 1a lógica tradícío-na1 : "lógica matemática", "lógica simbólica" . Al-gunos 1o llaman "1ógica formal", a pesar del carácterrelevantemente formal del análisis aristotélico .Pero, a medida que pasa e1 tiempo y 1a gente sehabitúa a1 manejo de los símbolos ( a 1o que contrí-buye mucño e1 aprendizaje de 1a teoría de conjuntosen las escuelas), 1a importancia de estas denomina-ciones disminuye y todo empieza a llamarse, puray simplemente, lógica . Esta evolución es concep-tualmente importante, porque ayuda a señalar que1a nueva lógica no se opone a 1a antigua, sino que1a complementa, 1a enmarca, en parte 1a corrige yen buena medida 1a supera, sin que por ello Aris-tóteles deba bajar de su pedestal .

Existen hoy muchos temas -tradicionalmenteenglobados en 1a lógića- que resultan alcanzados

INTRODUCCION 29

poco o nada por e1 uso actual del lenguaje iólíto : e1 análisis de las funciones del lenguaje, porejemplo, 0 1a teoría del significado y de 1a defini-ción, o e1 estudio de las falacias no formales, 0 losconceptos relacionados con cl razonamiento índuc-tívo . Pero nosotros aceptaremos directa e ínmedía-tamente e1 desafío de que hablábamos antes y -sinmenospreciar 1a utilidad de aquellos temas, sobrelos que existen excelentes textos nos lanzaremosa1 asalto de las fórmulas .

Para esto estudiaremos primero las relacionesentre proposiciones (lógica proposicional) , para 11e-gar luego a las lógicas modales : alétíca y deóntica .

4. Bueno, pero ¿por qué a mí?

E1 programa que acabamos de enunciar entu-siasmaría, seguramente, a una persona con ínclina-cíones matemáticas; pero e1 caso es que este librono está dirigido a ingenieros ní a estudiosos de lasciencias exactas . Y entonces e1 lector -profesionalo estudiante de •derecho, de sociología, de cienciaspolíticas o, en fin, de disciplinas tradicionalmentehumanísticas- puede sentirse como aquel niño aquien regalaban una moneda por cada cucharadaque 1e daban de un desagradable remedio . . . y cu-yos padres rompían 1a alcancía, cada vez que estaballena, para comprar otro frasco del mismo remedio .Las ciencias humanísticas se consideran tradícional-


mente como un refugio contra las matemáticas, acubierto de 1a insidiosa infiltración de las fórmulas ;y quien las ha elegido para sí con esa esperanzapuede sentirse defraudado . Por supuesto, podríaobservarse que más vale advertir e1 fraude que ig-norarlo; pero, como quiera que esta reflexión nosuena muy estimulante, convendrá hacer algunasaclaraciones sobre e1 punto .

La lógica es una de las disciplinas humanísticasmás tradicionales; pero 1e ha sucedido 1o mismo quea 1a mayoría de las ciencias que, cuanto más se per-feccíonan, más se acercan a las matemáticas . Granparte del progreso científico ha consistido en adver-tir que dos o más conceptos diferentes no eran sinodistintos estadios de una misma realidad contínua,y en medir 1a diferencia entre ellos sobre cierta es-cala común . Así es como, por ejemplo, las relacío-nes entre e1 espacio y e1 tiempo y entre 1a mate-ria y 1a energía han provocado una verdadera revo-Iucíón en 1a física, con ramificaciones sobre otrasdisciplinas ( incluida 1a filosofía ) . Pues bien, lasciencias sociales adolecen desde su origen de 1a ín-sufíciencía de sus métodos para aislar los fenóme-nos, compararlos y medirlos . En 1a medida en queesto se consigue poco a poco, e1 lenguaje formal seintroduce para abstraer cierta relación o cierto as-pecto de un fenómeno complejo con independenciade su contexto contingente ; y una vez hecho estoaparecen las fórmulas para establecer los vínculoshallados entre aquellas abstracciones . De modo

IN'fl ODUCCIóN 31

que esta suerte de matematiza.ción de las cienciassociales parece una tendencia inevitable, en 1a que1a lógica se presenta como un simple caso particular .

¿Y por qué precisamente 1a lógica? Ante todoporque cualquier sector de 1a ciencia que empleee1 lenguaje y e1 razonamiento debe someterse a 1aprueba de 1a validez de su propio método ; pero unaciencia que no sólo emplee e1 lenguaje como herramienta sino que además tenga por objeto de estu-dío argumentos que se suponen lógicamente enca-denados -como las ciencias políticas y jurídicas-no puede privarse de analizar 1a estructura de supropio objeto .

Esta circunstancia es particularmente sensible ene1 caso de los sistemas normativos . En efecto, en-tre los significados que pueden simbolizarse con e1lenguaje hay algunos que nos afectan profundamen-te en nuestros intereses : son las normas, que nosobligan a cumplir ciertas conductas y nos prohibenotras ; que limitan e1 universo de nuestra libertady -en e1 caso del derecho- hasta nos amenazancon e1 embargo, e1 desalojo, 1a prisíón o 1a muerte .Y existen personas ćuya profesión es razonar sobrelas normas, inventar y refutar argumentos sobreellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlas . Losabogados -de ellos se trata- no están todos deacuerdo sobre 1a justicia y 1a injusticia de cada nor-ma ( como no 1o están los comerciantes sobre 1a ren-tabilidad de determinado precio ni los científicossobre 1a verdad de ciertas afirmaciones de hecho) ;


pero 1a mayoría de ellos está dispuesta a admitir queexisten entre las normas ciertas relaciones formales,y que sí una conducta x está prohibida, por ejemplo,sería dif ícil aceptar simultáneamente que 1a mismaconducta x es obligatoria ; y esto ocurre aun cuandono sepamos en qué consiste dicha conducta, ní síprohibirla es un acto de buen gobierno o una mues-tra de insufrible tiranía .

Existe, pues, desde hace aproximadamente me-dio siglo, una lógica formal de las normas, tambiénllamada lógica cleóntica o normatíva.

Este esquema o sistema teórico, a 10 largo desucesivas versiones, permite ejercer un control for-mal sobre e1 discurso normativo, equivalente a1 quetenemos sobre los cálculos mediante 1a aritmética osobre e1 discurso en general a través de 1a lógicaproposicional . Como en los otros casos, este instru-mento conceptual no nos otorga un dominio abso-luto sobre los fenómenos a que se refiere ( para ellohabría que tener poder sobre las premisas como e1legislador 1o tiene sobre las leyes que dicta ) ; peroa1 menos nos enseña a extraer conclusiones válidasa partir de las premisas que se nos imponen ; y noes poca cosa encontrar así una base común de razo-namiento en una materia como 1a normatíva, tanpolémica que 1a gente mata y muere por ella .

Si una lógica deóntica merece, pues, un lugarpreeminente en 1a metodología de 1a ciencia jurí-dica, conviene también señalar que esa importanciaestá perdiendo rápidamente su ropaje especulativn

INTRODUCCION

para hacerse cada vez más práctica y cotidiana . Enmateria tecnológica e1 derecho es e1 pariente pobrede las demás ciencias, y e1 jurista maneja aún . . sís-temas y procedimientos conceptuales que no hanvariado casí en milenios. Pero, como ya se ha vis-to, asistimos aquí también a un avance inconteniblede las matemáticas, de 1o que puede ser medido,pesado, contado, calculado y . . . computado . Lasnormas son información ( en e1 sentido que a estapalabra atribuye 1a ínf ormátíca ) ; y las computado-ras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, re-copilarlas y reproducirlas para facilitar e1 trabajo deabogados, jueces y legisladores. Incluso se estudiaen nuestros días 1a posibilidad de instituir proce-sos de decisión automática, en los que 1a soluciónde un caso surja directamente de 1a norma, a tra-vés de un mero cálculo lógico . E1 aprovechamíen-to de estas realidades y perspectivas exige a1 juristamoderno una precisión de conceptos y una exacti-tud de razonamientos a las que e1 abogado tradi-cíonal no está habituado, cuya fuente es 1a lógicaformal y cuyo instrumento es 1a abstracción conte-nída en las fórmulas . .

3 . Lógica .

33

1 . Concepto de proposición

II

DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA

En e1 uso corriente del lenguaje es común quetomemos como sinónimas expresiones tales como"enunciado" y "proposición". Decimos, por ejem-plo, "este párrafo contiene siete proposiciones" o"no creo en los enunciados de 1a astrología" y, aun-que de una manera vaga, sabemos qué queremosdecir con ello . La propia gramática española sueleusar con e1 mismo significado los vocablos "propo-sícíon , enuncíadó , oration y asercion . Peropara 1a lógica algunas de estas denominaciones ad-quieren un sentido más preciso, y se refieren a con-ceptos distintos .

A1 hablar nos expresamos mediante enunciados ;esto es, oraciones como "este es un libro de lógica","tengo sueño" o "1o que estoy leyendo es tremenda-mente aburrido". Estos conjuntos de palabras son

38 LÓCICA, PROPOSICIÓN Y NOEMA

oraciones porque cumplen con e1 requisito de sersignificativas, de expresar cabalmente una idea. Noocurre 1o mismo, en cambio, con expresiones como"verde e1 es campo", o "cigarrillo cenicero e1 e1 enestá" . A pesar de estar compuestas por palabrasconocidas, su desorden interno ( respecto de las re-glas de 1a construcción castellana ) las priva de síg-nífícado y con ello les impide constituirse en enun-cíados u oraciones .

Supongamos ahora tres enunciados: "hace frío","í1 fait froid", "ít is cold". Salta a 1a vista que ellosson diferentes : están compuestos por palabras dis-lintas, y hasta corresponden a diversos idiomas .Pero también advertimos que los tres tienen algoen común: quieren decir 1o mismo. Y para esto nohace falta siquiera recurrir a otros lenguajes : "e1presidente de Bolivia fue derrocado por e1 ejército"y "e1 ejército derrocó al presidente de Bolivia" sontambién enunciados distintos que quieren decir 10

mismo : es decir, tienen idéntico significado. Cuan-do varios enunciados tienen e1 mismo significado,decimos de ellos que expresan 1a misma proposición 1 .

Una proposición es, pues, e1 significado de un

1 También puede ocurrir a la inversa : enunciados idénticos ex-presan proposiciones diferentes . En efecto, según e1 sujeto que laspranuneie y las circunstancias de tiempo y lugar en que lo haga, laspalabras "ahora salgo para allá" pueden significar que José Fernándezse dispone a viajar de Mendoza a Córdoba el 15 de febrero de 1979 oque Margarita Farinelli proyecta trasladarse desde la esquina de Co-rrientes y Uruguay hasta Montevideo 528, piso 5Q, oficina 506, el 23de octubre de 1981 entre las 16 .10 y las 16 .25.

ι

DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 37

enunciado declarativo o descriptivo . No es e1enunciado mismo, que está compuesto por palabrasde algún idioma determinado, ordenadas segúnciertas reglas gramaticales : es e1 contenido delenunciado, que es común a las diversas maneras dedecir 1o mismo . Y exigimos que e1 enunciado seadesc riptivo para desechar expresamente los otrosusos del lenguaje : frases como "¡cáspita!" o "páseme1a mostaza, por favor" no expresan proposiciones,en e1 sentido que aquí damos a este concepto Z .

Esto ocurre porque 1a lógica ( a1 menos, 1a partede 1a lógica que estamos estudiando ) se maneja através de los llamados valores de verdØ, que -enun sistema bivalente como e1 que analizamos- sondos : verdadero y falso ( algunos prefieren decirlode modo más abstracto y utilizan los símbolos 1 y0) . Cuando un enunciado hace referencia a ciertosestados de cosas, de tal suerte que sea posible deter-

minar si es verdadero o falso, decimos que es un

enunciado descriptivo o declarativo, cuya verdaddepende de 1a existencia real del estado de cosasdescripto . E1 enunciado "está lloviendo", por ejem-p1o, es verdadero śí en efecto sucede e1 hecho ex-presado y falso sí, por el contrario, el sol brilla en un

cíelo sin nubes . No importa en este momento ave-

2 El lenguaje puede usarse en sentido descriptivo ( "la tierra esredonda"), expresivo ("¡atiza!"), prescriptive o directivo ("váyase y novuelva nunca más") y operativo o perf ormativo ("buenos días, señorjefe" ) . Sobre este tema pueden consultarse Carrió, Genaro R ., Notassobre derecho y lenguaje, Bs . As ., 1965, p. 15 y ss . ; y Copi, Irving, In-troducción a la lógica, Bs. As., 1967, p. 34 y siguientes.

3$


riguar sí es verdadero o falso ( en todo caso, siémprepodemos mirar por 1a ventana o extender e1 brazofnera de ella ) . Lo relevante es que, si e1 enun-ciado puede ser verdadero o falso, entonces es des-criptivo y constituye materia prima para 1a granmaquinaría lógica . Tal cosa no ocurre, en princi-pio, con e1 enunciado "tírese a1 río": éste expresauna orden que puede ser válida o no, justa o injusta,disparatada o aceptable, pero nunca verdadera nifalsa. Para este tipo de enunciados se ha creadauna lógica algo diferente, que más adelante examí-naremos .

2. Variables, conectivas y signos auxiliares.Simbologia y notación

Como ya sabemos, 1a lógica (lógica simbólica omatemática) utiliza un lenguaje formal compuestopor símbolos convencionales . Estos símbolos per-míten manejar las proposiciones según las relacionesque tengan entre sí, y sin prestar atención a su con-tenído. En esto 1a lógica se parece a1 álgebra, quehace 1o mismo con e1 cálculo numérico . Suponga-mos, por ejemplo, 1a siguiente fórmula algebraica :

a+b=b+a

No nos interesa saber qué número puede asignarsea cada una de las letras minúsculas utilizadas, síem-pre que cada una de ellas tenga en todos los casos

dentro del mismo cálculo- un valor idéntico .

rDE LA PROPOSICION A LA FORMULA 39

Así, sí suponemos que a es 4 y que b es 5, 1afórmula debería interpretarse de este modo :

4+5=5+4

donde cada letra ha sido reemplazada por e1 mismonúmero en todas sus apariciones .

Pero, como podemos asignar a "a" y a "b" cual-quier valor que queramos, 1a fórmula algebraicamencionada en primer término resulta especialmen-te útí1 para mostrar una relación general, a saber :que si sumamos dos números cualesquiera, e1 resul-tado será idéntico sin que importe e1 orden de lossumandos.

En 1a lógica proposicional las letras minúsculasno representan números, sino proposiciones. Sellaman por esto variables proposicionales, ya quepodemos asignarles como contenido cualquier pro-posición concreta que deseemos ( suponiendo quequeramos asignarles alguno, 1o que en general nosucede ) . Este es e1 nombre más extendido, peroalgunos autores las llaman también "letras esquemá-tícas" o "letras sentenciales" 3 . Por costumbre seusan preferentemente las letras p, q, r, s, t, w, z ;y cualquiera de ellas puede representar una propo-sición . A su vez, cada variable puede representarcualquier proposición, y aun distintas proposicionesen diferentes contextos : en una demostración, porejemplo, podemos suponer que "p" simboliza "hace

3 Orayen, Raúl, Verdad, lógica y significado, en revista "Crítica",México, 1976, vol . VIII, p . 14 .


un lindo día", y en otro desarrollo podemos asignar-1e e1 contenido "mí gato tiene bigotes largos" . Peroí jual que en e1 álgebra, es indispensable tomar unaelemental precaución : dentro de un mismo contex-to, e1 significado que se asigne a cada variable debeser siempre idéntico . .

Ahora bien ; en e1 lenguaje natural solemos vin-cular entre sí dos o más enunciados para formar unenunciado más complejo, de tal modo que e1 valorde verdad del enunciado resultante depende decierta combinación de los valores de verdad de sus.componentes . Así, "no llueve" será verdadero sí"llueve" es falso, y viceversa . "Llueve y hace frío"sólo será verdad si es verdad que 11ueve y tambiénes verdad que hace frío, y será falso aunque llueva,sí hace calor, y aunque hiele, sí no llueve . Estafunción vínculatoría es cumplida en castellanopor palabras tales como "y", "o", "sí", "aunque","pero", "sin embargo", "sí y sólo sí", "siempre que"y otras; pero no siempre es fácil, dentro de 1a c1á-síca ambigüedad del lenguaje natural, establecerunívocamente e1 tipo de relación que se busca expresar. Si alguien nos dice, por ejemplo, "esta no-che iré a1 cine o a comer" no sabemos con seguridadsi pretende elegir una de dichas actividades o sítambién deja abierta 1a posibilidad de hacer ambascosas .

Para evitar problemas de este tipo y facilitar e1cálculo, e1 lenguaje formal representa aquellosvínculos mediante signos especiales, que reciben el

DE LA PROPOSICIÓN w LA FÓRMULA 41

nombre de conectivas extensionales ( conectivas asecas, para los íntimos), signos l6gicos, constanteslógicas u ØerØores . Pero no existe un acuerdo ge-neralizado acerca de cómo representar estos signos .Lsto da lugar a 1a existencia de distintas notaciones,o sistemas gráficos de escritura de 1a lógica simbóli-ca. La notación más extendida es 1a llamada in-glesa o de Russell, en una de cuyas versiones -queusaremos de aquí en adelante- las conectivas prin-cipales se representan mediante los símbolos sí-guíentes •

«

y «»,.Por e1 modo en que las conectivas afectat a las

variables a que se refieren, se las divide en monádi-

4 Aunque sea a modo de ilustración, convendrá tener presente quela mencionada no es la única notación "inglesa" existente . Algunosautores reemplazan "--" por o por ". " por "A" ; "D " por-3 o m por f-> .

Hay además una notación completamente distinta, cuyas ventajasconsisten en que no recurre a símbolos diferentes de los alfabéticos yque no requiere uso alguno de paréntesis, aparte de ciertas facilidadesde cálculo que no vale la pena enumerar aquí . Se trata de la notaciónpolaca, introducida por Lukasiewiez, cuyas equivalencias con la nota-ción inglesa son las siguientes :

"Np", equivale a "-p"

No usaremos la notación polaca. porque al lado de sus virtudes pre-senta algunas dificultades, sobre todo para el principiante : su lecturaes menos intuitiva, y cuando las fórmulas se hacen complicadas es másfácil comprender de un vistazo su estructura general con la notación deRussell, donde las conectivas diádicas se ubican precisamente entre lasvariables conectadas .

"kpq" equivale a "p q""Apq" equivale a "p v q""Ĵpq" equivale a "p q"'`Cpq" equivale a "p D q""Epq" equivale a "p q"

42 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA

cas y di4dicas o binarias. E1 signo " " es moná-díco, porque sólo afecta a una proposición : 1a repre-sentada por 1a fórmula de 1a derecha . Así, 1a ver-dad de 1a fórmula "-p" dependerá del valor deverdad de "p" modificado por e1 operador "=" .Las demás conectivas mencionadas se llaman diá-dicas porque afectan a dos proposiciones conjunta-mente: las situadas a derecha e izquierda del signode que se trate. Por ejemplo, e1 valor de "p . q"depende del valor de verdad de "p" y del valor deverdad de "q", combinados en 1a forma índica-da por " . " .

Por e1 momento, conviene que resistamos a 1atentación de buscar a cada uno de estos signos unequivalente en lenguaje natural. Tales equívalen-cías -aunque existen- no son perfectas ni unívo-cas, debido a 1a imprecisión del lenguaje natural .Por esto, como luego veremos, trataremos de defi-nir cada signo por su función de verdad y sóloa partir de a11í buscaremos las trØucciones a1 cas-tellano. Sí hiciéramos a1 revés, correrlamos e1 ries-

go de introducir en e1 lenguaje formal, por 1a víade las definiciones, los mismos inconvenientes se-mántícos que buscamos eliminar .

Aparte de las variables y de las conectivas, 1alógica cuenta también con símbolos auxiliares, quehacen las veces de signos de puntuación y sirven

para separar, en caso necesario, unas fórmulas deotras. Se trata de los paréntesis "( )", los corche-tes "[ ]", las llaves "~ }" y las barras "~ I" .


3. Concepto de fórmula proposicional

Hasta ahora hemos hablado bastante sobre lasfórmulas, de modo que resulta oportuno fijar uncontenido preciso para esta palabreja . Una fór-mula proposicional es una expresión simbólica queestá compuesta exclusivamente por variables pro-posicionales, conectivas o signos lógicos y símbolosauxiliares 5 . Esta definición puede tomarnos algodesprevenidos, por 1o que convendrá hacer algunasaclaraciones sobre ella .

Una fórmula está siempre compuesta, en formaexclusiva, por los signos apuntados, que constítu-yen -por así decirlo- su elenco estable. Ningúnactor ajeno a 1a compañía puede introducirse en. 1afunción ( "llueve . hace frío"; "llueve yp"; "p . hacefrio " ) pues e1 resultado no sería una formula ( seríaalgo así como mezclar, en una sola frase, palabrasde varios idiomas diferentes : "Ich am going au ciné-ma domani por 1a noche" ) .

Que variables, conectivas y signos auxiliares for-men e1 elenco estable del teatro lógico no implicaque todos ellos deban estar siempre en escena: bas-tará con que haya, por 1o menos, una variable . Así;"p" es una fórmula ; "-p" y "p . q" también 1o son,igual que otras más complicadas como :

"(p q) D [r v (q

s)]»

5 Cfr. Orayen, ob . citada .

43

Ø

Por último, no basta que los actores estén enescena para constituir una función teatral : ademáses necesario que desempeñen su papel según cíer-to libreto y de acuerdo con ciertas reglas que defi-nen esa actividad . Del mismo modo, los compo-nentes de una fórmula no pueden estar mezcladosa1 azar : han de respetar las llamadas reglas de for-maCiÓn ) o normas sintácticas convencionales que ri-gen 1a estructura simbólica de las fórmulas. Estasreglas pueden enunciarse así :

1) Una variable proposicional es una fórmula.cc ιι

cc ιι

cc ιιEj. :


2) Una fórmula precedida por un operador mo-nádíco es una formula .

E' cc

ι) cc

,,

cc

ι)

-p, -q, r .

3) Dos fórmulas encerradas dentro de un parde signos auxiliares y entre las cuales hay un opera-dor diádico ( y sólo un operador diádico) , consti-tuyen una fórmula .Ej . : `(P • 4)» "(-P D 9)(P 9) D ( r v s)]" .

Las reglas de formación, que en su conjuntopueden considerarse también como una definiciónde "fórmula", permiten excluir de nuestro lenguajesimbólico todas las expresiones que no se ajusten aellas. Así, "~ ", q-, pq, rs, (qv .q) "," ( r . ) s" no son fórmulas bien formadas ; y puedeconstituir un interesante ejercicio averiguar cuál esel defecto que aqueja a cada una de tales expresiones .


Conviene aquí hacer una aclaración sobre lossignos auxiliares . Su función consiste en eliminarambigüedades : sin ellos, 1a expresión "-p q", porejemplo, podría interpretarse de dos maneras :

a) (-p . q ) , donde e1 operador monádíco afectasólo a 1a fórmula "p", o bien

b) -(p , q), dondeel operador monádíco afec-ta a la formula (p . q)

No toda fórmula, sin embargo, plantea semejan-tes ambigüedades ; y de a11í resulta que puede esta-blecerse una convención práctica : cuando una ex-presíón simbólica no es susceptible de ínterpreta-ciones esquemáticas diversas, es posible eliminar lossignos auxiliares innecesarios : por ejemplo, en 1u-gar de "( p q ) " puede escribirse "p q"; pero sí1a misma fórmula lia de relacionarse a su vez conotra -por ejemplo, en "(p q ) v r" e1 uso deparéntesis no puede omitirse .

4 . Fórmulas atómicas y fórmulas moleculares

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Así como e1 lenguaje natural vincula dos o másenunciados para formar un enunciado complejo, e1lenguaje simbólico combína las variables -por me-dio de las conectivas- para constituir fórmulas com-puestas . Por asociación de ideas con e1 modo enque los átomos de elementos simples constituyen lasmoléculas de los compuestos químicos, 1a lógica haadoptado aquí una nomenclatura con reminiscencias


de 1a física nuclear . Una fórmula atómica es aque-1la constituida exclusivamente por una variable pro-

no modificada por operador alguno : ``p",por ejemplo. Las fórmulas en las que aparece unoperador monádico ( "-q" ) o que resultan de unacombinación de fórmulas unidas por conectivas diá-dicas ( "r v s", "z =- w" ) se llaman moleculares .

Toda fórmula molecular es una función de ver-dØ de las fórmulas atómicas que 1a componen : esdecir, su verdad o su falsedad dependen de 1a verdado de 1a falsedad de las proposiciones representadaspor las variables simples . Pero, como hemos vistoantes, e1 modo en que deben combinarse 1a verdad01a falsedad de los componentes para determinar e1valor de verdad de 1a fórmula molecular dependede las conectivas que aparezcan en 1a misma fónnu-la . Por esto los operadores resultan ser 1a clavepara desentrañar 1a estructura interna de una fór-mula. A su estudio, pues, dedicaremos e1 próximocapítulo .

i introducciÓn 1. ¿lógica? sí, lógica · peramos que e1 cajero nos 1a dé o nos 1a niegue, ......

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