i - unesp de calculo...- = - = 2)' + 6xy2 + 12x2) dy dx ijx ijy . 51. (a) primeiro x (d)...
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59. T = (~cos t} - (sen t)j + (~cos t)k;
N = (- ~ sen t} - (cos t)j - (Vi ~en 1)k;l' 1 1B = - j - - k K = -' T = O
\12 \12' \12'61. 'Ti/3
63. x = 1 + t,)' = t, Z= -165. 5.971 km, 1,639 X 107km2, 3,21 % visível
Capítulo 10 ExercíciosAdicionais, p. 250-2531. (26,23,-113) 3. IF I= 20 Ib
9. (b) 6\14(b) Sim
15 32. + 23 . - 13k'411 41.1 41
17. (a) IFI = GMm (1 + i 2 )d2 i~1 (i2 + 1)3/2
d:r. . dy. .21. (a) dt= r cos 8 - re sen 8, dt = r sen e + re cos 8
d,.. . de. .(b) -d = x cos (}+ )' sen e". -d
= -x sen e + )' cos et . 1 .
25. (a) v(1) = -U/, + 3un,a(1) = -9u/, + 6un
(b) 6,5 po1.
CAPíTULO11
Seção 11.1, p. 261-264
1. (a) Todos os pontos no plano xy (I» Todos os reais(c) As retas)' - x = c «I) Sem pontos de fronteira
(e) É tanto aberta quanto fechada (f) Ilimitado
3. (a) Todos os pontos no plano xy (h) z.;::::O
(c) Paraf(x, y) = O, a origem; para/(x, y) '* O, elipses com ocentro (O, O) e os eixos principal e secundário ao longo doseixos.x e y, respectivamente
(d) Sem pontos de fronteira (e) É tanto aberta quanto fechada
(n Ilimitado
5. (a) Todos os pontos no plano xy (I» Todos os reais
(c) Paraf(x. y) = O,os eixos x e y; para/(x, y) '* O,as hipér-boles com os eixos .1:e y como assíntotas
(d) Sem pontos de fronteira (e) É tanto abertaquanto fechada(t) Ilimitado
7. (a) Todos os (.:1:,y) satisfazendo x2 + y2< 16 (b) z.2: *(c) Circunferências centradas na origem com raios r < 4
(d) A fronteira é a circunferência X2 + / = 16(e) Aberto (t) Limitado
9. (3) (x, y) '* (O, O) (h) Todos os reais
(c) As circunferências com centro (O, O) e raios,. > O
Respostas 545
(d) A fronteira é o único ponto (O, O)
(e) Aberto (O Ilimitado
11. (a) Todos (x, y) satisfazendo -1 :::;y - x :::; 1
(h) - 11"/2 :::; z. :::; 11"/2
(c) Retas da forma)' - x = c, onde -1 :::;c :::;1
«I) A fronteira é duas retas y = 1 + x e y = -1 + x(e) Fechado (O Ilimitado
13. Gráfico (f) 15. Gráfico (a) 17. Gráfico (d)
19. (a)
21. (a)
23. (a)
25. (a)
~
I, ' ~,'
~,x
;:: ~ _(.\,2 + ."2)
x
(b)
!
(b)
(h)
2 r X
(b) ."
;::~4
546 Respostas
27. (a) z = 1-1)'1
(b)
29. X2 + / ::::; 1031. arc tg y - arc tgx ::::; 2 arc tg V2
33.
$1 1
x ~ yI
/(;0;.y. z) = x2 + y2 + z 2 = I
37.
x tEI
y
39.
y.Y
41. ~ - ln z ::::; 2
45. Sim, 2,000
35.
X+Y43. z--::::; ln 2
47. 63 km
Seção 11.2, p. 269-271
1. 5/2 3. 2\16
7. 1/2 9. 1
13. O 15. - I
19. l/4 21. 19/1225. 3
27. (u) Todos (x, y) (b) Todos (x, y) exceto (O,O)29. (a) Todos (x, y) exceto onde x ::::;O OllY ::::;O
(b) Todos (x, y)31. (u) Todos (x, y, z)
(b) Todos (x, y, z) exceto o interior do cilindro X2 + i ::::; 133. (a) Todos (x, y, z) com z * O
(b) Todos (x, y z) com X2 + Z2 * 135. Considere os caminhos ao longo de y ::::;x, x > Oe ao longo de
y ::::;x, x < 00
37. Considere os caminhos y ::::;kx2, sendo k lima constante,39. Considere os caminhos y ::::;kx, sendo k uma constante, k =1=-1.41. Considere os caminhos y ::::; kX2;sendo k uma constante, k * 0045. 8::::;0,1 47. 8::::;0,005
49. 8::::; \10,015 , 51. 8::::; 0,00555. O 57. Não existe
5. 1
11. O
17. 2
23. 2
_9 'li
~ . 263. Não65. (a) f(x, y)1 )=/lLo;::::;sen 20, onde tg O ::::;l1/67. O limite é 1 69. O limite é O
61. f(O, O) ::::;lu 3
Seção 11.3, p. 281-283aI aI
1 -::::; 4r - ::::;-3. (Jx "üyüf df)3 -::::; 2 \,( ) ' + ') -::::; c - 1. ()x '. - , dy ,
(If df5. -;-::::; 2y(x )' - 1), -;-::::; 2x(x ) ' - 1)
uX' dy
df - x df - Y
7. -;-- ~,-;-- ~-uX X2 + y2 i/y X2 + y2df - 1 df - 1
9. (Ix::::;(x + }f' (IY ::::;(x + y)2
df - / - 1 df - X2 - 111. -;-::::; ), --;;- ::::; . ?
dx c\)' - 1)- o)' (xy - 1)-dF dF dlf' dlf
'
13 2. = ex+y+l2.::::;e\+)+1 15 - = -1- - = ~~. dX ' dY . dX x + y' ay x + y
df af17. - ::::;2 seu (x - 3y) cos (x - 3v), -;- ::::;-6 sen (x - 3) ') cos
dY . . dy(x - 3y)
dl af19 "":""'::::;),\,y-I - ::::; \'Y 111\.. ax . . , dY . .23. L ::::;l,f; ::::;2xy,f~ ::::;-4z
25. f~ ::::;1.,f;'-::::;-y(i + Z2)-1/2,f; ::::;_Z(y2 + Z2)-1I2
27 '::::; yz , ::::; xz ' ::::;~. fo; \I ? ? ?' fI \I ? ? ?' fz / ? ? ?1 - rrz-' 1 - ry-z- \ 1 - .cy-z-
29 f' ::::; 1 f ::::; 2 f' ::::; 3. x x + 2y + 3z' Y x + 2y + 3z' z x + 2y + 3z
31. J~::::;-2xe-(..:-+y'+z'\J; ::::;-2ye-(X'+Y'+z'J,f; ::::;-2ze-(x'+l+z'J
33. f: ::::; sech2 (x + 2y + 3z), f~ ::::;2 sech2 (x + 2y + 3z), f; ::::;3 sech2 (x + 2y + 3z)
af af21. -;-::::; - g(x) -::::; g ( v)
dx ' ay ,
v
02 z=oz= 1
E-I z=-l-2
iJf r7f
35. ar = -211"sen (211"1- 0'), r7~ = sen (21TI - 0')r7h iJh r7h
37. ap = sen cPcos e, acP = p cos cPcos e, = r/e = - p sen 4) sen e8U2
39. Wp(P, V, 8, u, g) = v, Wv(P, V, 8, u, g) = P + 2'. gVU2 V8u
W,)(P, V, 8, u, g) :=:2g' Wv(P, V, 8, u, g) = g'V()U2
W~(P, V, 8, u, g) = -~. 2g
r7/ iJf aY r/:f r7:f iJ:f41. - = 1 + )', - = 1 + x, - = O,- = O,- = - = Iax . ri)' rlX2 ri)'2 r/)'rlX r/XiJ)'
ag r7g r72g43. - = 2xy + )' cos x. - = X2 - sen )' + sen x. - = 2)' - )'ax . r/,}' . . rlx2 . .
a2g r72g iJ2gsen .:r,- 2 = -eos y, --.=;--;-= -;-;- = 2x + eos X
r7y oy (IX riX oy
ar 1 iJ,. 1 ()2,. - 1 ()2,. - 145. -=-,-=-,-=-,-=-.
r7x x + )' ri)' x + )' r7x2 (x + yp r7)'2 (x + y)2a2r - a2,. - -1
a)' (/X - ax d)' - (x + )')2
()I\' 2 aI\' 3 rl2~t' iJ2w -647. -=-,-=-,-=-=-
rlX 2x + 3)' iJ)' 2x + 3)' (/)' ax rlXiJy (2x + 3)')2
iJw 2 :> 2 4 dW 2 2 :> 149. :I = ) ' + 2x) " + 3x v , --:;-=2xv + 3x \' + 4x v' ,(IX . (i)' - - .
a 21\' rl2W- = - = 2)' + 6xy2 + 12x2)dYdX iJxiJy .
51. (a) primeiro x(d) primeiro x
(b) primeiro y(e) primeiro y
(c) primeiro x(O primeiro y
53. f~(1, 2) = -13"f~,(1, 2) = -2
55. 12 57. -2
59 riA = a aA = c cos A - b. da bc sen A' ria bc sen A
ln u61. Ux= (ln u)(ln u) - I
77. Sim
Seção 11.4, p. 289-291
1. ~;' = O,~;'<11")= O
3. (a) ~;' = 1dw
5. (a) ;jf = 41are tg 1+ 1
(b) dll' (3) = 1dI
(b) dw (I) = 11" + 1dI
7 ( )rlZ 4 1 rlZ.. a ~.
= eos l' n (11sen v) + 4 cos 1',~ =0/1 oV
411 eos2 \'-411 sen v ln (11sen v) + --sen:-v
(b) ~z = V2 On2 + 2), ~Z.= -2V2 On 2 - 2)(lU . (lU
()w aI\'9. (a) -;-
.= 2u + 4uu, -;- = -2u + 2U2
(TU oU
(b) iJw= 3. aw = _l(711 . aI' 2
Respostas 547
11. (a) au = °,au= L-, au= ~(7x ay (z - y)2 az (z - y)2
(b) r7/1= O, riu = 1, au = - 2r7x iJy . az
13. dz. = dz. d:r + dZ.dydI dx dI ay dI
ali' dw ax aw r7y aw az dW aw ax aw ay15 - = - - + - - + - - - - - - + - - +. au ax riu (7yau aZ.au' au ax au ay aurlWdz.
rlZ.r7)'
(711' ri\\' rI.r a\\' ay aw ali' ax aw ay17. -=--+--,-=--+--rllI r7xali a)' ali' au rlXau a)' au
x y yx
19 dz. = rlZ.r7x + rlZ ay r7z= az (7x+ az ay. r71 ax (71 rlYr7/'as d:ras ay as
x y yx
21. ri\\! = dw rllI, dw = dw auris du a,,;.dI du (}II\'
I
d\l'
d'l
/I
I
dll
d.<
\I"
I
dI\'
dt
II
I
d/l
dI
23 dw r7\1'dx + a\\' dy aw dx d)' O. ;;;: = r7xdI' (}y d,. = dx d,. uma vez que dr = ,
dll' r7wdx ali' d:r ali' dy dx- = -- + -- = --uma vez que- = Ods ax ds a)' ds ay ds ds
548 Respostas
x yy x
25. 4/3
29 éJz = 1. éJz = -l. éJx 4'éJy 4
éJ7 éJ731.~=-1,::=-1
iJx iJy
33. 12
37. az = 2,~z = 1au iJv
39. -0,00005 amps/s
45. (cos 1,sen 1,1) e (cos(-2), sen (-2), -2)
47 ()M' o
(
V2V2) (
V2 V2)
'o
. a aXlmo em -2' 2 e 2' -2 ;I1UI111nOem
(
V2V2)e(
- V2 - V2
)2 ' 2 2' 2
(b) Máx = 6, ITIÍn = 2
27. -4/5
35. -7
.r ')
f3;c dt
49.2XVX8 + X3+ 2Vt" + X3o
Seção 11.5, p. 303-306
1. y 3.
1y-x-= -1
x
5. \j1= 3i + 2j - 4k
9. -4
13.3
7 \7'1
0- 26. ?3 ?3. v ---1+=-'--
11.31/13 27 54j 54 k
15.2
17. u = - ,,~ i + " ~j, (Duf)p = V2; -u = " ~i - " ~j,v2 v2" v2 v2(D-u/)pu = -V2
19. u = ,,1~i- ,,5~j, - ,,1~k, (Duf)p = 3V3;3v3 3v3 3v3 "
-u= - ,,1~i + ,,5;:;;-j+ ,,1;:;;-k,(D-uf)p= -3V33v3 3v3 3v3 "
21. u = " ~ (i + j + k), (D-uf)p = 2V3;v 3 u
-u= -" ~ (i + j + k), (D-uf)p = -2V3v3 "9
23. dI = 11.830 = 0,0008
27. (a) x + y +z = 3
(b) x = 1 + 2t, Y = 1 + 2r, z = 1 + 2t
29. (a) 2x - 2 - 2 = O
(b) x = 2 - 4r, y = O, 2 = 2 + 2t
25. dg = O
31. (u) 2x + 2y + 7.- 4 = O
(b) x = 2r,y = 1 + 2r,z = 2 + r
33. (a) x + y + Z - I = O
(b) x = t, Y = I + r, 2 = r
35. 2x - z - 2 = O
39. \'
. 'Vf = 2\l2i -t 2,'2j
37. x - y + 2z - 1 = O41.
y= x-4
.~
) , -x- + .1'-'" 4
y '" -x -r2E
43. x = I,y = 1 + 2r,z = 1 - 2r
145. x = 1 - 2r,)' = 1, z = '2 + 2r
47. x = 1 + 90r, y = 1 - 90r, z = 3
49 7. 2. 7. 2.'.U=-I--j,-U=--I+-j
V53 V53 V53 V53
51.Não,a taxa máxima de variação é -vT8S < 147
53. - V5
55. (a) ~ sen V3- t cos \/3 = 0,935°C/pés(b) V3 sen V3 - cos \13 = 1,87°C/s
57. Em -J!.4'- ,,7T;-; em O, O; em J, ?,,7TI)2v2 _VL
x
Seção 11.6, p. 314-3161. (a) L(x, y) = 13. (u) L(x, y) = 3x - 4y + 5
5. (u) L(x, y) = 1 + x
7. L(x, y) = 7 + x - 6y; 0,0611. L(x, y) = 1 + x; 0,022213. Preste mais atenção à menor das duas dimensões. Ela gerará a
derivada parcial maior15. Erro máximo (estimativa) ::; 0,31 em magnitude17. Máximo erro percentual = :t4,83"7ú19. Seja Ix-li::; 0,014,Iy - 1 I::; 0,01421. =0,1%23. (a) L(x, y, z) = 2x + 2y + 2z - 3
(b) L(x,y,z) =y + Z(c) L(x, y, z) = O
25. (a) L(x, y, z) = x1 1
(b) L(x,y,z) = V2x+ V2Y1 ? ?
(c) L(x, y) z) = '3 x + 3y + 3z
(b) Ux,y) = 2.\" + 2)' - 1(b) L(x,y) = 3.\" - 4)' + 5
7T
(b) L(x, y) = -y + "2
9. L(x, y) = x + y + 1; 0.08
27. (a) L(x, y, z) = 2 + x7T
(b) L(x,)',z) = x - y - z + '2 + 17T
(c) L(x, y, z) =x - y - z + 2" + 129. L(x, y, z) = 2x - 6y - 22 + 6, 0,0024
31. L(x, y. z) = x + y - z - 1,0,00135
33. (a) So(1~0 dI' + dx - 5 dI\' - 30 dh)(b) Mais sensível ~lvariação da altura
35. f é mais sensível à variação eled
37 47 ,~
. 24 pes. . ~
39. Magnitude do erro possível::; 4,8
Seção 11.7, p. 324-3271. f(-3, 3) = -5, mínimolocal 3. f(-2, 1),pontodcsela
(13 3
) 31, .
5. f 12' -4 = -] 2' mll1l1nO local
7. f(l. 2), ponto de sela 9. f(O, I) = 4, máximo local11. f(O, O), ponto ele sela;f( -1, -1) = I, mínimo local
(4 4
)64, .
13. f(O. O),ponto de sela;f 9' 3" = - 8] , mll1lmO local
15. f(O, O), ponto de sela; f(l, 1) = 2, f( -1. -1) = 2, máximoslocais
17. f(O, O) = -1, máximo local19. f(11'11',O), ponto de sela;f(l17T, O) = O para todo 1121. Máximo absoluto: 1 em (O, O); mínimo absoluto: - 5 em (1, 2)23. Máximo absoluto: 11 em (O, - 3); mínimo absoluto: -10 em
(4, - 2)
25. Máximo absoluto: 4 em (2, O); mínimo absoluto: 3~ em
(3, -*). (3,*). (1, -*)c(I,*)27. a = - 3, h = 2
. 2 10
(1 V3
) ( 1 V3)
.f
.29. MaISquente: '4 em -2' 2 e -2' -2 ; maIS TIO:
10
(1
)-'4em 2' O
31. (a) f(O, O),ponto de sela(b) f(1, 2), mínimo local(c) f(1, -2), mínimo local;f( -I. -2). ponto de sela
37. (1/6,1/3,3SS136)
41. (a) Sobre a semicircunferência, máx f = 2\1'2 em 1 = J' mínf = -2 em f = 7T;sobre o quarto ele circunferência,
máx/= 2\1'2 em f = ~, mínf = 2 em 1= O'-I
(b) Sobrea semicircunl'erência,máxg = 2 em f =J' míl12 37T 1 I
.i, A' J
g = - em f = 4; so)t'e o quarto c e clrcun °erencla, max
27T J O 0
7T
g = em 1 = 4' mll1 g = . em f = , 2(c) Sobre a semicircunferência, t11<lXh = 8 em f = O,7T; mín
h = 4 em f = -I; sobre o quarto de circunl'erência, máx h = 8
em f = O,mín h = 4em 1 = -I43. O) mínf = -~em 1 = -~; no m,lx
(ii) máxf = Oem f = -I, O;mínf = -~ em 1 = -~(m) máxf = 4 em 1 = 1; mínf = Oem 1 = O
Respostas 549
Seção 11.8, P 335-337
1.(~~,t} (~~, -i)3. 39 5. (3, ~3\1'2)
(b) 647. (a) 8
9. r = 2 em,h = 4 cm 11. f = 4\1'2, H'= 3\1'2
13. f(O, O) = Oé mínimo,.f(2, 4) = 20 é máximo
15. Maisbaixa = 0°;maisalta = 125°
17. (~.2,~)19. 1 21. (O, O, 2), (O, O, - 2)
23. f(l, - 2, S) = 30 é máximo;f( -1,2, -5) = - 30 é minimo
25. 3.3.3 27. ~~por ~ por ~ ~unidadesv 3 \/3 v 3 !
29. (~4/3, -413, -4/3) 31. U(8, 14) = $1284
33. f(2/3, 4/3, -4/3) = "3 35. (2,4,4)37. O máximo é] + 6\13 em (~V6, \13,1); o mínimo é 1 - 6\13
em (~V6, -\13, 1)39. O máximo é 4 em (O,O,~2); o mínimo é 2 em (~\1'2, ~\1'2, O)
Seção 11.9, p. 3421. (a) O
3 ( ) (7U + aU(~ ), . a ap (fT l1R
5. (a) 5
(r7X
)7. - = eos e(7r (I
(ar)
x
(]x y = Yx2 + y2
(b) 1 + 2z (c) 1 + 2z
(b) aU(l1R
)+ auap V aT
(b) 5
Seção 11.10, p. 347
1 Q d" + ' b' 1 ..,
. ua ratlca: x xy; cu Ica: x + .:\)'+ 2:x)'"'
3. Quaelrática:xy;cúbica:xy
5. QlIadrática: y + t (2xy - y2)1 C ' b
'
2" u lca: y + (2x)' - )'2
3xy2 + 2y~)
7. Quaclrática:~ (2X2+ 2y2)= X2 + y2
Cúbica: X2 + y2
9. Quadrática: 1 + (x + y) + (x + y)2;
Cúbica: 1 + (x + y) + (x + y)2 + (x + y)3
11. QlIadrática: 1 - tX2 _~y2; E(x, y) :S 0,00134