informatica2011ulagos.files.wordpress.com · 2011-04-12 · 3 5 tema 4. aritmética binaria en los...

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Luis Rincón Córcoles

José Ignacio Martínez Torre

Ángel Serrano Sánchez de León

Estructura y Tecnología de Computadores (ITIG)

2

Tema 4. Aritmética binaria en los computadores

Programa1. Introducción.2. Operaciones lógicas.3. Bases de la aritmética binaria en coma fija.4. Operaciones de desplazamiento. 5. Aritmética en coma fija.

a. Aritmética en binario natural.b. Aritmética en signo-magnitud.c. Aritmética en complemento (a 2, a 1).d. Cambio de signo.e. Extensión de signo.

6. Bibliografía.

Conceptos básicos: operaciones lógicas bit a bit (not, and, or), operaciones aritméticas básicas en binario (+, -, *, /), desbordamiento, desplazamiento (lógico, aritmético, circulares), cambio de signo, extensión de signo.

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3


Los computadores operan con los datos de forma diferente dependiendo del sistema de representación utilizado.

• Coma fija: binario puro, signo-magnitud, complemento a 2, complemento a 1, exceso a M, BCD.

• Coma flotante.

En los computadores el tamaño de los operandos está limitado.• Coma fija: n = p+q bits (p: parte entera; q: parte fraccionaria).

• Coma flotante: n = p+q bits (p: mantisa; q: exponente).

Estudiaremos:• La aritmética binaria básica.

• Los distintos tipos de operaciones lógicas y desplazamientos.

• La suma, la resta, la extensión de signo y el cambio de signo en algunos sistemas de coma fija.

• La aritmética en coma flotante la veremos en un tema posterior.

1. Introducción

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De acuerdo con los axiomas del álgebra de Boole, las operaciones lógicas toman bits individuales como operandos.

Sin embargo, los computadores realizan operaciones lógicas tomando datos completos de n bits.

� Operación lógica NOT (monaria): se invierten todos los bits del operando.

• Ejemplo: n=4 bits, A=0110.

� Operaciones binarias: se realizan bit a bit con dos operandos.

• Ejemplo: n=4 bits, A=0110, B=1100.

2. Operaciones lógicas

A = 0 1 1 0NOT A = 1 0 0 1

A = 0 1 1 0 B = 1 1 0 0

A OR B = 1 1 1 0

A = 0 1 1 0 B = 1 1 0 0

A AND B = 0 1 0 0

A = 0 1 1 0 B = 1 1 0 0

A XOR B = 1 0 1 0

33

5


Las operaciones aritméticas en binario se realizan según tablas más sencillas que las equivalentes en el sistema decimal. Para octal y hexadecimal se haría de manera análoga.

3. Bases de la aritmética binaria en coma fija

SUMABINARIA

(+)0 1

0 0 1

1 1 1 0acarreo

1 9

15

24

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0

+ +

acarreos 8321

62

1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 0

- -acarreos

minuendosustraendo

diferencia

RESTABINARIA

(-)0 1

0 0 1

1 1 1 0

AAAA

BB BB

Suma binaria Resta binaria

6


126

72

1 1 0 01 1 0

0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 0 1 0 0 0

64 + 8 = 72

×multiplicando

resultado

A

B

PRODUCTOBINARIO

(××××)0 1

0 0 0

1 0 1

multiplicador

Productos parciales

×

Producto binario

44

7


La división binaria se puede realizar igual que la decimal.

En el caso de la binaria es más sencillo porque se simplifica la elección de cada dígito del cociente, ya que sólo pueden ser 0 ó 1.

� Si el dividendo parcial es mayor o igual que el divisor, el siguiente dígito del cociente es 1, si no es 0.

División binaria

112 80 14

1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 00 1 1 0 0

1 0 0 00 1 0 0 0

1 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

cociente

resto

divisordividendo

-

-

-

-

8


Multiplicación y división de un número N por una potencia de la base r (rm):q-

q-1-

1-0

01-p

1-p rarararaN ⋅++⋅+⋅++⋅= ��

mp-p-

m1-1-

m00

m1-n1-n

m rararararN ++++ ⋅++⋅+⋅++⋅=⋅ ��

La coma aparece a la derecha del dígito ai que cumple i+m = 0 � i = -m, es decir detrás del dígito que originalmente era a-m.

� si m > 0 (producto) se mueve (desplaza) la coma p lugares a la derecha.� si m < 0 (división) se mueve (desplaza) la coma p lugares a

la izquierda.

Ejemplo: (1101001,111)2 × 23 = (1101001111,0)2

(1101001,111)2 × 2-4 = (110,1001111)2

(10,53)10 × 104 = (105300,0)10

55

9


El desbordamiento (overflow) es la circunstancia que sucede cuando el resultado de una operación aritmética está fuera del rango de representación.

� Desbordamiento positivo: el número es positivo y mayor que el más grande representable.

� Desbordamiento negativo: el número es más negativo (menor) que el extremo inferior del rango de los negativos.

Es necesario detectar la condición de desbordamiento (¡el resultado obtenido es erróneo!).

Subdesbordamiento (underflow): sucede cuando el número que queremos representar está demasiado cercano a 0 y se confunde con él.

� Subdesbordamiento positivo: el número es positivo.

� Subdesbordamiento negativo: el número es negativo.

Situaciones especiales

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Son operaciones unarias en las que los bits del operando se desplazan hacia la izquierda o hacia la derecha.

La longitud del desplazamiento será s ≥ 1, generándose un “hueco” de s bits.

Según el criterio utilizado para dar valores a los s bits del hueco hay varios tipos de desplazamientos:

� Lógicos.

� Aritméticos.

� Circulares (rotaciones).

Los desplazamientos y rotaciones suelen involucrar a algún indicador de resultado.

4. Operaciones de desplazamiento

66

11


En este caso los bits del hueco se rellenan con ceros.• El último bit que sale se almacena en un indicador llamado C.

Desplazamiento lógico

� Desplazamientos lógicos a la derecha:Longitud s = 3

A’ = 000001

C = 0

Longitud s = 2

A’ = 000010

C = 1

Longitud s = 1

A’ = 000101

C = 1

� Desplazamientos lógicos a la izquierda:

Longitud s = 3

A’ = 011000C = 1

Longitud s = 2

A’ = 101100C = 0

Longitud s = 1

A’ = 010110C = 0

Ejemplos: n = 6 bits, A = 001011

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Se usa cuando se considera que el dato es un número en complemento a 2.• Hacia la derecha: se replica el bit de signo.

• Hacia la izquierda: se rellena con ceros, y si se modifica el bit de signo en el proceso el indicador V se pone a 1.

• El último bit que sale va al indicador C.

Desplazamiento aritmético

� n = 6 bits, A = 001011:Longitud s = 3

A’ = 000001

C = 0

Longitud s = 2

A’ = 000010

C = 1

Longitud s = 1

A’ = 000101

C = 1

Longitud s = 3

B’ = 111100

C = 1

Longitud s = 2

B’ = 111001

C = 0

Longitud s = 1

B’ = 110010

C = 1

Ejemplos de desplazamientos aritméticos a la derecha:

� n = 6 bits, B = 100101:

77

13


� n = 6 bits, A = 001011:Longitud s = 3

A’ = 011000C = 1, V = 0

Longitud s = 2

A’ = 101100C = 0, V = 1

Longitud s = 1

A’ = 010110C = 0, V = 0

Longitud s = 3

B’ = 101000C = 0, V = 0

Longitud s = 2

B’ = 010100C = 0, V = 1

Longitud s = 1

B’ = 001010C = 1, V = 1

Ejemplos de desplazamientos aritméticos a la izquierda:

� n = 6 bits, B = 100101:

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Los bits que salen por un extremo entran por el otro.• El último bit que sale va al indicador C.

Rotación

� Rotación a la derecha:Longitud s = 3

A = 001011A’ = 011001

C = 0

Longitud s = 2

A = 001011A’ = 110010

C = 1

Longitud s = 1

A = 001011A’ = 100101

C = 1

� Rotación a la izquierda:

Longitud s = 3

A = 001011

A’ = 011001C = 1

Longitud s = 2

A = 001011

A’ = 101100C = 0

Longitud s = 1

A = 001011

A’ = 010110C = 0

Ejemplos: n = 6 bits, A = 001011

88

15


Los bits que salen por un extremo entran por el otro, interponiéndose un indicador en el proceso que actúa de almacén.

• El último bit que sale va al indicador C.

Rotación con extensión

� Rotación a la derecha con extensión:

Longitud s = 3

C = 1, A = 001011C’ = 0, A’ = 111001

Longitud s = 2

C = 1, A = 001011C’ = 1, A’ = 110010

Longitud s = 1

C = 1, A = 001011C’ = 1, A’ = 100101

� Rotación a la izquierda con extensión:

Longitud s = 3

C = 1, A = 001011

C’ = 1, A’ = 011100

Longitud s = 2

C = 1, A = 001011

C’ = 0, A’ = 101110

Longitud s = 1

C = 1, A = 001011

C’ = 0, A’ = 010111

Ejemplos: n = 6 bits, A = 001011, inicialmente C=1

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Despl. a la Izquierda Despl. a la Derecha

Lógico

Aritmético

Circular

Circular con extensión

99

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Estudiaremos las reglas básicas de la aritmética de algunos sistemas de

representación numérica en coma fija estudiados:

� Binario puro.

� Magnitud y signo.

� Complemento a 2.

� Complemento a 1.

5. Aritmética binaria en coma fija

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acarreo

Sus reglas son las de la aritmética binaria ya estudiada, con la limitación del tamaño de los operandos (n = p+q).

Desbordamiento: puede darse al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

� Suma: el resultado puede tener n+1 bits (acarreo superior C = 1)

1101 13+ 1111 +15

1 1100 28

acarreo

1101 13- 1111 - 15

1 1110 - 2

� Resta: el resultado puede ser negativo (acarreo superior C = 1)

� Producto: al multiplicar números de n bits el resultado puede necesitar hasta 2n bits (¡puede salirse de rango!).

� División: hay desbordamiento si el divisor es 0.

5.a. Aritmética de binario puro

DESBORDAMIENTO NEGATIVO:sustraendo mayor que minuendo

DESBORDAMIENTO POSITIVO

1010

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Este sistema equivale al que los humanos usamos para operar.� Diferencia: opera en binario y no en base 10.

Las reglas básicas son similares a las del binario puro.� Diferencia: es preciso tratar por separado signos y magnitudes.

Suma: R = A + B � Signo(A) = Signo(B):

• Signo(R) = signo(A) = signo(B)

• |R| = |A| + |B|

� A ≥ 0 y B ≤ 0:• Si |A| ≥ |B| � signo(R) = 0 y |R| = |A| – |B|

• Si |A| < |B| � signo(R) = 1 y |R| = |B| – |A|

� A ≤ 0 y B ≥ 0: igual que el caso anterior cambiando A por B.

Resta: similar a la suma, cambiando el signo del segundo operando.

5.b. Aritmética en magnitud y signo

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Por tanto, al sumar o restar con módulo y signo se debe hacer lo siguiente:1. Observar los signos y decidir qué operación se va a realizar.2. Ordenar los módulos si hay que restar.3. Operar con los módulos y detectar el posible desbordamiento.4. Colocar el signo al resultado.

Producto:1. Se separan el signo y el módulo del multiplicando y del multiplicador.

2. Se multiplican los módulos (da un resultado de hasta 2n-2 bits).

3. Si los signos del multiplicando y el multiplicador son iguales, el resultado es positivo, y si no es negativo.

El resultado puede tener hasta 2n-1 bits (¡puede salirse de rango!).

1111

21


División:1. Se separan el signo y el módulo del dividendo y del divisor.

2. Se dividen los módulos.

3. Si los signos del dividendo y divisor son iguales, el cociente es positivo, y si no es negativo.

4. El signo del resto será siempre igual que el del dividendo.

Desbordamiento: se detecta al operar con los módulos.Puede producirse al sumar dos números de igual signo o al restar dos números de

distinto signo.

También puede producirse desbordamiento en productos y divisiones.

22


Para simplificar el diseño de los circuitos aritméticos del computador sería muy bueno que la suma y la resta pudieran ser tratadas sin distinciones, es decir, que la resta pudiera realizarse como si fuese una suma y no con un circuito radicalmente distinto.

En matemáticas se suele tratar a la resta como la suma de un opuesto, es decir, A-B = A+(-B), pero aún así hay que utilizar la tabla de la resta.

Ejemplo: base r=10, n=2 dígitos.

23 � La suma no sirve para hacer la resta.– 02

21

Complementando el sustraendo y sumando:

23 � La suma casi sirve para hacer la resta+ 98 a excepción de un 1 como bit más1 21 significativo.

5.c. Aritmética en complemento

1212

23


Sistema decimal (base 10): C10N = 10n - N Si n = 2, C10(2) = 102 - 2 = 100 - 2 = 98

Sistema binario (base 2): C2N = 2n - NSi n = 4, C2(1010) = 10000 - 1010 = 0110 Si n = 5, C2(10100) = 25 - 10100 = 01100

Ejemplo:

Inconveniente: hay que complementar el sustraendo.Sin embargo, ya sabemos que en base 2 el C2N se puede calcular sin restar.Debido a que en la complementación el minuendo siempre es de la forma 10...00, para el cálculo del C2 se procede de derecha a izquierda de la siguiente manera:

� Copiar todos los bits de N hasta el primer 1 inclusive.� El resto de los bits se obtienen cambiando 1s por 0s y 0s por 1s.

100000– 10100

01100

La importancia del Cr de N reside en que permite restar aplicando la suma.

24


Suma en complemento a 2:Además de permitir la resta mediante la operación de suma, los números representados en complemento a la base permiten calcular la suma operando con todos los bits de igual modo, sin hacer distinciones con el bit de signo.Esto hace que la representación en complemento a 2 sea muy utilizada.

� Si A >0 y B >0: aritmética binaria pura. Ejemplo: 0100 4+ 0010 + 2

0110 6�� Si A >0 y B <0: dos posibles casos dependiendo del valor absoluto de A y B

� Si |A| ≥≥≥≥ |B| �� R positivo, signo(R) = 0, se calcula R = |A| – |B|

0110 6+ 1100 - 4

1 0010 2

Ejemplo: 6 + (-4) = 2A se representa normalB se representa en C2

R = A + B = |A| + rn - |B| = rn + |A| - |B|es un número positivo normal, y se desprecia el bit de acarreo

1313

25


� Si A >0 y B <0:

� Si |A| < |B| �� R negativo, signo(R) = 1, se calcula R = -(|B| – |A|)

0100 4+ 1010 - 6

1110 - 2

Ejemplo: 4 + (-6) = -2A se representa normalB se representa en C2

R = A + B = |A| + rn - |B| = rn - (|B| - |A|), es un número negativo en complemento a la base, sin acarreo

� Si A <0 y B >0: caso anterior cambiando A por B (conmutatividad).

� Si A <0 y B <0 �� R negativo, signo(R) = 1, se calcula R = -(|A| + |B|)

A se representa en C2B se representa en C2

R = A + B = rn - |A| + rn - |B| = rn+ (rn - (|A| + |B|)), es un número negativo en complemento a la base, y se desprecia el bit de acarreo

1110 -2+ 1101 -3

1 1011 -5

Ejemplo: -2 + (-3) = -5

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Resta en complemento a 2:Toda operación de resta en complemento a la base puede reducirse a un caso de suma, sin más que complementar previamente el sustraendo.Ejemplo: A = 6�10 = 0110�C2, B = 4�10 = 0100�C2, A-B = 2�10, n = 4, q = 0

Primero: complementar el sustraendo -B�C2 = C2(B�C2) = 1100�C2

Segundo: sumar A+(-B) 0110+ 1100

10010Ejemplo: A = -7�10 = 1001�C2, B = -3�10 = 1101 �C2, A-B = -4�10, n = 4, q = 0

Primero: complementar el sustraendo -B�C2 = C2(B�C2) = 0011�C2

Segundo: sumar A+(-B)1001

+ 0011

1100

El acarreo superior se desprecia,y el resultado es positivo

1414

27


� En sumas y restas en complemento a 2, el bit de acarreo superiorsiempre se desprecia, y el resultado obtenido siempre es correcto (salvo que se produzca desbordamiento).

� Desbordamiento en sumas y restas: se detecta porque el resultado presenta un signo erróneo.

Puede producirse desbordamiento al sumar dos números de igual signo o al restar dos números de distinto signo.

Nunca puede haber desbordamiento al sumar números de distinto signo o al restar números de igual signo.

El posible acarreo superior resultante en una suma o una resta no indica desbordamiento.

También puede producirse desbordamiento en productos y divisiones.

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Ejemplos de sumas con desbordamiento

A = 6�10 = 0110�C2, B = 3�10 = 0011�C2, A+B = 9�10, n = 4, q = 0

0110 6+ 0011 + 3

1001 ¡¡-7!!

La suma de dos números positivos no puede producir un número negativo: hay desbordamiento (pero no acarreo)

A = -3�10 = 1101�C2, B = -7�10 = 1001�C2, A+B = -10�10, n = 4, q = 0

1101 -3+ 1001 + -7

10110 ¡¡6!!

La suma de dos números negativos no puede producir un número positivo: hay desbordamiento (y acarreo)

El acarreo superior se desprecia, y el resultado es positivo

1515

29


Aunque hay algoritmos para multiplicar y dividir directamente números en complemento a 2, no los vamos a estudiar todavía (tema 14).

De momento, para multiplicar y para dividir haremos lo siguiente:� Pasamos los operandos a positivos.

� Operamos en binario puro.

� Si el análisis de los signos de los operandos revela que el resultado (o el cociente o el resto) debe ser negativo, se complementa el dato obtenido.

De forma análoga a la aritmética estudiada para la representación en complemento a la base, se puede estudiar la aritmética para la representación en complemento restringido a la base (complemento a 1).

� El acarreo superior siempre se desprecia.

� Problema: si en sumas o restas el bit de acarreo superior vale 1, es preciso sumar 1 al resultado.

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� Binario puro: no es posible.

� Magnitud y signo: basta con invertir el bit de signo.

� Complemento a 2: se lleva a cabo mediante la complementación.

Ejemplo 1: cambiar de signo el número A�C2 = 00011101�C2, n = 8, q = 0

-A�C2 = C2(A�C2) = 11100011�C2

Valor de -A�C2 = 11100011�C2 = 1x20 + 1x21 + 1x25 + 1x26 - 1x27 = -29

Ejemplo 2: cambiar de signo el número -A�C2 = 11100011�C2, n = 8, q = 0

-(-A�C2) = C2(-A�C2) = 00011101�C2

Valor de -(-A�C2) = 00011101�C2 = 1x20 + 1x22 + 1x23 + 1x24 = 29

Ejemplo 3: cambiar de signo el número B�C2 = 11001011�C2 , n = 8, q = 0

-B�C2 = C2(B�C2) = 00110101�C2

Valor de -B�C2 = 00110101�C2 = 1x20 + 1x22 + 1x24 + 1x25 = 53

� Complemento a 1: igual que en complemento a 2.

5.d. Cambio de signo

1616

31


Es una operación consistente en que, dado un número A representado con nbits, pasamos a representarlo con m bits, siendo n < m.

� Binario puro: se rellenan los bits sobrantes en el destino con 0.

Ejemplo: extender X = 0110�2 de 4 a 8 bits 011000000110

� Magnitud y signo: se desplaza a la izquierda el bit de signo, y el hueco en el destino se rellena con bits a 0.

Ejemplo 1: extender X = 100110�MS de 6 a 8 bits 100110

10000110

Ejemplo 2: extender X = 010011�MS de 6 a 8 bits 010011

00010011

5.e. Extensión de signo

32


� Complemento a 2: se replica el bit de signo hacia la izquierda.

Ejemplo 1: extender X = 100110�C2 de 6 a 8 bits 100110

11100110

Ejemplo 2: extender X = 010011�C2 de 6 a 8 bits 010011

00010011

� Complemento a 1: se hace igual que en complemento a 2.

1717

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� C. CERRADA, V. FELIU. Estructura y Tecnología de Computadores I. U.N.E.D., 1993.� J.M. ANGULO, J.GARCÍA. Sistemas Digitales y Tecnología de Computadores.Paraninfo, 2002.� P. DE MIGUEL. Fundamentos de los Computadores. 7ª edición. Paraninfo, 1999.� W. STALLINGS. Organización y Arquitectura de Computadores. 5ªedición, Prentice Hall, 2000.� D.A. PATTERSON, J.L. HENNESSY. Estructura y Diseño de Computadores. Reverté, 2000.�A. PRIETO, A. LLORIS, J.C. TORRES. Introducción a la Informática. 3ªedición, McGraw-Hill, 2002.� L. RINCÓN. Representación Digital de la Información en los Computadores. Apuntes complementarios de la asignatura.

6. Bibliografía

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