Campos Electromagneticos. Ecuaciones de Maxwell 1

Electromagnetismo I - Curso 2013-14

Tema 2. El Campo electrosttico en el vaco.

Ley de Coulomb. Campo y potencial elctricos. Formulacin diferencial e integral de las ecuaciones del cam-po electrosttico. Ley de Gauss. Medios conductores y dielctricos. Desarrollo multipolar del potencial creado por una distribucin de carga. Dpolo elctrico.

1. Un ncleo de oro puede considerarse como una esfera de 610-15 m de radio con una car-ga positiva igual a 79e (e es la carga del electrn) distribuida uniformemente en su interior. Calcular el potencial electrosttico en el centro del ncleo y sobre su superficie.

2. En su estado fundamental, el electrn de un tomo de hidrgeno est descrito por la fun-

cin de onda / 3/r ae a de modo que se puede considerar como distribuido por el

espacio segn la densidad de carga =-e||2, o sea

2 /

3( ) r a

er e

a

,

siendo e la carga del electrn, en valor absoluto, y a = 0.5310-10 m el llamado radio de Bohr, o sea de la primera rbita en el modelo atmico de Bohr. Calcular: a) La carga total

asociada a la distribucin . b) La carga total dentro de la esfera de radio a. c) El campo elctrico en funcin de r creado por esa distribucin de carga.

3. Un cono de base circular y radio a est colocado de forma que su eje es horizontal. Se apli-ca un campo elctrico uniforme en la direccion que se indica en la figura. Calcular el flujo elctrico a travs de la superficie cnica.

4. Tres lminas metlicas, paralelas, de rea S y espesor e, estn separadas una distancia d

( S >> e, d) y estn cargadas con densidades superficiales de carga 1, 2 y 3. Calcular la distribucin de carga en las superficies de cada lmina: a) Si las tres lminas estn aisladas. b) Si se conectan elctricamente las lminas de los extremos.

5. Dos lminas conductoras paralelas e indefinidas estn inicialmente muy separadas. La l-

mina 1 tiene una carga por unidad de superficie 1 y la lmina 2 est conectada a tierra. Cuando la lmina 1 se sita a una distancia d de la lmina 2, calcular la carga de la lmina 2 y el potencial de la 1.

6. Se deposita la misma cantidad de carga, q, sobre dos esferas, de radios R y 2R. Dnde es mayor el campo elctrico, cerca de la superficie de la esfera mayor o de la menor? Si a con-tinuacin se unen las esferas con un alambre conductor, cul es la carga final sobre cada esfera?

7. Un campo elctrico en el vaco tiene simetra esfrica y su valor (componente radial), en unidades SI, viene dado por

6 2

0

10r

rE r

a

para r < a

0rE para r a

E

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donde a =1 m. Se pide: a) La carga total encerrada en el interior de la esfera conductora de radio a con centro en el origen. Cmo explica el resultado? b) La distribucin de car-ga en el interior de la esfera de radio a. c) El potencial en el origen de coordenadas si la superficie de la esfera de radio a est a potencial nulo.

8. Un campo elctrico de simetra radial tiene por expresin / 2(1 ) /r aE k e r . Calcular la

carga encerrada en una esfera de radio a centrada en el origen de r. Cunto vale la densi-dad cbica de carga?

9. Se rodea una densidad de carga (C m-3) en forma de esfera de radio a con una corteza esfrica conductora conectada a tierra, de radios b y c (a < b < c), concntrica con la densi-

dad de carga. Calcular: a) Campo elctrico en todo el espacio; b) Potencial electrosttico

en todo el espacio; c) E en todo el espacio; d) 2 en todo el espacio; e) Razonar como se modificaran los resultados de los apartados a)-d) si el conductor estuviera conectado a un potencial Vo.

10. En el espacio comprendido entre dos planos conductores indefinidos, conectados a tierra, situados en x = 0 y x = 3a existe una carga distribuida uniformemente, sobre un estrato de

espesor a, que ocupa la regin a x 2a . Calcular el campo y el potencial electrstaticos en los distintos puntos del espacio, representndolos grficamente.

11. Tres esferas conductoras concntricas de radios R1, R2 y R3 (R1 < R2 < R3) estn conecta-das respectivamente a tres fuentes de potencial V1, V2 y V3. Cules son las cargas de cada una de las esferas?. Si se desconectan las esferas de sus fuentes y, a continuacin la esfera de radio R2 se une a tierra, calclese, es esta situacin, las cargas y los potenciales de las es-feras.

12. Tres esferas metlicas concntricas de radios R1, R2 y R3 (R1 < R2 < R3) estn inicialmente descargadas. Si a la esfera de radio R2 se le da una carga Q, qu potencial deber aplicarse a la esfera de radio R3 para que el potencial de la esfera de radio R1 sea cero?

13. Una esfera metlica hueca de radio b y espesor despreciable frente a b contiene otra esfera metlica concntrica de radio a (a < b). La esfera interior tiene una carga Q mientras que la esfera exterior est descargada. Se conectan ambas esferas mediante un conductor de resis-tencia R. Una vez alcanzado el equilibrio, calcular la variacin de energa electrosttica y la energa que se ha disipado en la resistencia.

14. Se tiene un cilindro indefinido sobre el que existe una distribucin volmica de carga por

unidad de longitud = 3(a-r)/a3, siendo a = 5 cm, el radio del cilindro, = 10C/m y r la distancia al eje del cilindro. Calcular: a) El potencial a 2 y 10 cm. del eje; b) el trabajo ne-

cesario para llevar la carga de 1C desde la superficie hasta una distancia de 1m. del eje.

15. Calcule los potenciales monopolar, dipolar y cuadrupolar de las siguientes configuraciones de carga: a) dos cargas de valor +q en a az, b) dos cargas de valor +q en a az y una de valor -2q en el origen, c) tres cargas positivas +q en a ax , a ay, a az y tres negativas q en -a ax , -a ay, -a az

16. Sean cuatro cargas puntuales, de valor y coordenadas: +q(-a,a), -q(a,a), +q(a,-a) y q (-a,-a). Calcular: a) El potencial electrosttico en los ejes x, y, z; b) El campo electrosttico E (m-dulo, direccin y sentido) en los ejes x, y, z; c) las 9 componentes del tensor cuadrupolar.

17. Sea una carga total q distribuida uniformemente en el interior de un cilindro de altura 2l y radio a. Sea Ec(z) el campo elctrico que crea esa distribucin en el eje del cilindro, y Eo(z) el que creara la carga q si estuviese concentrada en el centro del cilindro. Comparar los va-lores de Ec(z) y Eo(z) lejos del cilindro, interpretando su diferencia y calculndola de modo aproximado.

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18. Se tiene una varilla de longitud L cargada con una densidad lineal de carga . Calcular:

a) El potencial elctrico exacto en puntos del eje z (z>L/2) y su valor aproximado

para puntos z>>L/2.

b) El valor de los momentos mono-, di y cuadrupolar de la distribucin de carga.

c) Los trminos mono-, di- y cuadrupolar del potencial elctrico.

d) La expresin aproximada del potencial para un punto arbitrario de coordenadas

(,,z).

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