hormigón armado i resumen nilson

Hormigón Armado

Capítulo 1 – Introducción

1 Preámbulo El hormigón es un material semejante a la piedra que se obtiene mediante la mezcla cuidadosamente proporcionada (dosificada) de agua, cemento, arena, grava y otros agregados. Esta mezcla que en estado fresco es moldeable es vertida en moldajes, lo que son removidos una vez que el hormigón endurece obteniéndose las formas y dimensiones deseadas. El cuerpo material del hormigón lo conforman los áridos (arena y grava). El cemento actúa como pegamento entre estas partículas y conformar una masa sólida. El agua es utilizada para activar las reacciones químicas en el cemento que lo convierten en el pegamento que une los áridos, además de darle la trabajabilidad necesaria para poder llenar los moldajes y rodear las barras de acero de refuerzo en forma adecuada, previo al endurecimiento. Los factores que hacen del hormigón un material tan atractivo en la construcción son por ejemplo:

La facilidad que presenta en estado plástico, para depositarse en moldajes que permiten obtener cualquier forma estructural o arquitectónica deseada.

Su alta resistencia la fuego y al clima. La mayor parte de los materiales que lo constituyen, exceptuando el cemento y los

aditivos, son de fácil disposición en obra y de bajo costo. Su alta resistencia a compresión, similar al de las piedras naturales, lo hace apropiado

para ser utilizado en elementos sometidos a este tipo de cargas (columnas y arcos) Si embargo, una de sus mayores desventajas corresponde, al igual que en el caso de las piedras naturales, a su fragilidad y baja resistencia a la tracción, del orden de un 10% a un 20% de la presentada en compresión. Para contrarrestar esta desventaja y poder utilizar el hormigón en elementos que experimentan tensión, tales como vigas o losas, en el siglo XIX se comenzó a utilizar barras de acero embebidas en el hormigón, de tal manera, ellas suplirían la falta de de resistencia a tracción, pues, como es sabido, el acero presenta una alta resistencia a la tracción. Además gracias al comportamiento propio de las barras de hormigón, cuya curva carga-deformación presenta una meseta de fluencia, fue posible proporciónale ductilidad al los elementos de hormigón evitando las fallas frágiles y repentinas. La combinación resultante de elementos de hormigón reforzados con barras de acero (armaduras) es conocida como Hormigón Armado. La confluencia de todas las ventajas del hormigón (Trabajabilidad, resistencia a al compresión, fuego y ambiente, bajo costo, etc.) y el acero (Resistencia a la tracción y ductilidad), permiten un uso casi ilimitado de este material, el cual aún continua revelando nuevas ventajas.

-1- Claudio Oyarzo V.

Facultad de Ingeniería - UCSC

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2 Requerimientos y Fundamentos del Diseño Para que una estructura cumpla con los propósitos para que fue construida debe cumplir con una serie de requerimientos de seguridad y servicio. La condición mínima de seguridad de una estructura, será siempre y a todo evento, evitar el colapso, mientras que sus condicione de servicio podría incluir el limitar las deformaciones, que el posible agrietamiento se reduzca a limites tolerables, las vibraciones se minimicen etc.

2.1 Requerimiento de Seguridad: Si la resistencia de una estructura, construida tal como se diseño, pudiera predecirse con toda exactitud, y las cargas aplicadas sobre dicha estructura, así como los esfuerzos generados por dichas cargas sobre los elementos se conocieran con precisión, la seguridad de la edificación podría garantizarse proporcionando una capacidad resistente a los elementos ligeramente superior a las solicitadas por las cargas. Sin embargo, existen diversas fuentes de incertidumbre en el análisis, diseño y construcción de la estructura que no permiten contar con dicha exactitud, lo que exige del ingeniero un diseño que proporcione márgenes de seguridad adecuados. Sólo por enumerar algunas de las fuentes de incertidumbre:

La magnitud de las cargas reales pueden diferir de las supuestas. La distribución y punto de aplicación de las cargas reales pueden diferir de las

supuestas. Las suposiciones y simplificaciones propias del análisis pueden alterar el resultado final

de los esfuerzos calculados (momento, corte, axial) y diferir de los que efectivamente actúan sobre la estructura.

El comportamiento estructural real puede diferir del supuesto, debido a limitaciones del conocimiento actual.

Pueden existir imperfecciones en la construcción (dimensiones reales de los elementos pueden diferir de aquellas especificadas, los refuerzos pueden no estar en la posición definida, existencia nidos)

La resistencia real de los materiales puede diferir de la supuesta. Por otro lado existen elementos estructurales que cumplen un rol más importante en relación a otros elementos de la estructura, y la falla de estos elementos podría involucrar un daño mayor de la estructura e incluso el colapso de parte o la totalidad de ella. A dichos elementos se le deberán proporcionar márgenes de seguridad mayores que a otros elementos secundarios fáciles de reemplazar. Así mismo, existen tipos de fallas más indeseables que otras. Por ejemplo, siempre se preferirá una falla lenta por sobre a una repentina, pues esta permitirá tomar medidas paliativas que eviten el colapso, o en el peor de los casos un tiempo suficiente para la evacuación. A modo de resumen es posible decir que la seguridad estructural queda definida por las solicitaciones máximas que pueden actuar sobre una estructura y las resistencias mínimas que le han sido proporcionada a la estructura. La evaluación de la seguridad quedará establecida bajo los criterios de resistencia (el sistema debe poseer la integridad estructural para asegurar que el daño producido por una carga sea limitado y no provoque el colapso), estabilidad



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(Incluye los efectos de segundo orden relativos a las grandes deformaciones) y de ductilidad (capacidad de la estructura de deformarse por sobre el rango elástico sin pérdidas significativas de su capacidad resistente). La seguridad estructural puede estimarse en forma estadística a partir de la distribución de densidad de probabilidad de las solicitaciones (f(Q)) y de las resistencias (f(S)). La probabilidad de ocurrencia de un cierto nivel de solicitaciones (Q) se define a partir del conocimiento de sobre las cargas que pueden actuar sobre la estructura, así como del método de análisis utilizado. La probabilidad de obtención de un cierto nivel de resistencia (S) puede obtenerse en base al conocimiento y certeza de las dimensiones, proporciones, calidad de los materiales y control de calidad en la construcción. La probabilidad de falla de la estructura puede calcularse como la probabilidad que un cierto nivel de solicitaciones exceda la resistencia proporcionada.

)()( SfQf >

0QfSf <− )()(

En la figura todo el tramo de la función de densidad de probabilidades f(M=S-Q) a la derecha de cero corresponde a la “zona segura”, mientras que el área achurada corresponde a la “zona de riesgo”



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Después de esta breve explicación queda claro que establecer márgenes de seguridad adecuados para cada estructura no es tarea fácil, sin embargo, las asociaciones de ingenieros, centros de estudios e instituciones gubernamentales han establecido códigos que dan orientaciones propios a la realidad cada país. En Chile contamos con el “Código de Diseño de Hormigón Armado” editado por la Cámara Chilena de la Construcción y el Instituto del Cemento y Hormigón basado en el código ACI-318 (EE.UU.), el cual se revisa y actualiza periódicamente.

2.2 Requerimiento de Servicio: Se refieren a la respuesta estructural de ante cargas o condiciones que puedan causar daño estético, deterioro de los materiales, impedimento de uso, temor, etc. En general, son condiciones que no significan un riesgo inmediato para la seguridad de los usuarios. Entre estos requerimiento se consideran la deflexiones, el agrietamiento y las vibraciones, por mencionar algunas. Además las estructuras de Hormigón Armado debe considerar requerimientos económicos y constructivos como cualquier obra.

2.3 Fundamentos de Diseño: La característica particular más importante de cualquier elemento estructural es su resistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir con algún margen de reserva todas las cargas previsibles que puedan actuar sobre aquel elemento durante la vida útil de la estructura, sin que presente falla o algún otro tipo de inconveniente. Bajo esta premisa es posible realizar el diseño de los elementos de hormigón armado (establecer dimensiones y cantidad de refuerzo) de un elemento estructural en base a dos métodos. El primer método y más antiguo corresponde al conocido como “Diseño bajo cargas de servicio” o “Tensiones Admisibles” Este método propone diseñar los elementos de tal manera que los esfuerzos sobre las barras de acero y el hormigón resultantes de las cargas normales de servicio aplicadas sobre el elemento en cuestión, estén dentro de unos limites especificados. Estos límites, son conocidos como esfuerzos admisibles, y corresponde a una fracción de los esfuerzos de falla de los materiales (falla por compresión del hormigón y fluencia del acero). Si se considera que el comportamiento del hormigón puede considerarse elástico para esfuerzos de compresión menores al 50% de su resistencia a compresión, y el acero también presenta un comportamiento elástico hasta prácticamente su esfuerzo de fluencia, es posible diseñar los elementos en base a métodos elásticos (resistencia de materiales), siempre y cuando los esfuerzos permanezcan bajo estos limites. En la practica los limite utilizados como tensiones admisibles corresponde a un 50% de la resistencia a la compresión del hormigón y un 50% de la tensión de fluencia del acero. En este método las cargas son tratadas de la misma forma sin considerar su variabilidad individual o grado de incertidumbre, asimismo, los esfuerzos se calculan en base a métodos elásticos, cuando en realidad en realidad la resistencia de un elemento depende del comportamiento en el rango inelástico cercano a la falla. Por estas razones no es posible evaluar de forma explicita el margen de seguridad del diseño. Este método de diseño está prácticamente en desuso y los códigos de diseño ya no lo incluyen.



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Un nuevo método y ampliamente utilizado en la actualidad corresponde al conocido como “Diseño por resistencia o rotura”, también conocido como “Factores de carga y resistencia”. En este caso los elementos se diseñan suponiendo estados de carga considerablemente mayorales a los que se esperan que se produzcan en condiciones de servicio en la estructura, de manera de llevarlas a la falla. Para elementos de hormigón armado bajo condiciones cercanas al colapso, uno o ambos materiales estarán trabajando en el rango no lineal inelástico, consecuentemente la resistencia nominal del elemento deberá calcularse en base al comportamiento inelástico de los elementos que al conforman. Un elemento diseñado en rotura debe demostrar un comportamiento satisfactorio bajo las cargas normales de servicio. Por ejemplo, las deformaciones deben estar limitadas dentro de rangos admisibles, lo mismo ocurrirá con la fisuración. Estas condiciones siempre deberán ser verificadas adicionalmente. Bajo este método de diseño es posible asignar diferentes factores de mayoración a las distintas cargas en función de su importancia y grado de incertidumbre, también es posible aplicar factores de reducción a las resistencias en base al grado de incertidumbre con que se determinan (estado del arte y el conocimiento), tipo de falla o grado de seguridad que se le desee proporcionar. Debido a estas diferencia en el grado de realismo y confiabilidad este método de diseño rápidamente ha desplazado al método bajo cargas de servicio y los códigos actualmente existentes así lo reflejan. Básicamente el método de rotura propone diseñar los elementos con una resistencia nominal (Rn) que sea superior a la Carga Ultima de Diseño (U), la cual se obtiene partir de una adecuada combinación de las cargas aplicadas sobre el elemento, mayoradas mediante factores que identifican su grado de importancia e incertidumbre. Adicionalmente incorpora un factor de reducción ( )φ a la resistencia nominal que representa la inexactitud asociados al cálculo de la capacidad resistente del elemento.

URn ≥φ

2.3.1 Factores de cargas y combinaciones Los factores de carga tiene como propósito dar la seguridad adecuada contra un aumento de las cargas de servicio más allá de las especificadas en el diseño, de manera que sea sumamente improbable la falla. Además ayudan a que las deformaciones bajo cargas de servicio no sean excesivas. Los factores de carga son distintos para diversos tipos de carga debido a que, por ejemplo, es menos probable que una carga permanente (ej. peso propio) se exceda a la utilizada en el diseño, no así con sobrecargas de uso (ej. tráfico), las que pueden depender de factores externos no consideradas en el diseño. Estos factores no consideran la gravedad de la falla o importancia del elemento.



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Las combinaciones de carga exigidas por el código son:

( )FD41U += ·. ( ) ( ) ( )rL50HL61TFD21U ·.·.·. +++++= ( ) ( ) ( )S50HL61TFD21U ·.·.·. +++++= ( ) ( ) ( )R50HL61TFD21U ·.·.·. +++++=

L01L61D21U r ·.·.·. ++= L01S61D21U ·.·.·. ++= L01R61D21U ·.·.·. ++= W80L61D21U r ·.·.·. ++=

W80S61D21U ·.·.·. ++= W80R61D21U ·.·.·. ++=

rL50L01W61D21U ·.·.·.·. +++= S50L01W61D21U ·.·.·.·. +++= R50L01W61D21U ·.·.·.·. +++= S20L01E01D21U ·.·.·.·. +++=

H61W61D90U ·.·.·. ++= H61E01D90U ·.·.·. ++=

Dónde:

D = Cargas permanentes F = Cargas o presiones debidas a fluidos de densidad y altura conocida T = Efectos acumulados de la temperatura, fluencia lenta, retracción,

asentamientos diferenciales y del hormigón de retracción compensada. L = Sobrecargas H = Cargas o presiones debidas al suelo, agua del suelo u otro material. Lr = Sobrecargas de techumbre S = Sobrecargas de nieve R = Cargas por lluvia W = Cargas de viento E = Carga sísmica

Ver excepciones y comentarios en Código ACI 318-2002, Pto 9.2.

2.3.2 Factores de reducciones de resistencia Los factores de reducción de resistencia se toman en cuenta para considerar las inexactitudes en los cálculos y fluctuaciones en las resistencias del material, mano de obra y dimensiones. Este factor φ dependerán del grado de importancia del elemento, la cantidad de variable que inciden en la determinación de las resistencias, gravedad o daño implícito en la falla, etc. así por ejemplo una viga tiene un valor vφ mayor que una columna cφ , pues se espera que la falla de la viga sea por flexión y debido a la fluencia del acero. Este tipo de falla es dúctil y muy fácil de predecir y reparar. En cambio, las columnas pueden presentar una falla por corte o compresión, la cual es mucho más frágil. Además por lo general la falla de una columna podría significar el desplome de una buena parte de la estructura y su reparación no es fácil.



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Los factores de reducción de resistencia prescritos por el código son:

Secciones controladas por tracción : 900.=φ Secciones controladas por Flexión: 900.=φ Secciones controladas por compresión con zunchos: 700.=φ Secciones controladas por compresión con otros elementos armados: 650.=φ Corte y torsión: 750.=φ Aplastamiento en el hormigón: 650.=φ

Ver otros requerimientos, condiciones paras sismos y comentarios en Código ACI 318-2002, Pto 9.3.



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3 Materiales En esta sección se presentarán en forma breve algunas de las características mecánicas más importantes del hormigón y el acero de refuerzo.

3.1 Hormigón

3.1.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Hormigón: Las curvas de comportamiento del hormigón se obtiene de ensayos a compresión uniaxial de probetas cúbicas o cilíndricas (H/D = 2). En la figura se muestra las curvas carga-deformación de una serie de probetas cilíndricas cargadas uniaxialmente a baja velocidad durante 2 o 3 minutos hasta la falla.

En las figuras se puede apreciar que:

Las curvas se comportan linealmente hasta aproximadamente la mitad de su resistencia a compresión, para efectos prácticos por lo general se consideran lineales hasta

. max·. Cf40 La resistencia máxima ocurre a un nivel de deformaciones unitarias relativamente

constante del orden de 0.002. maxCf

El hormigón presenta un apreciable resistencia residual posterior a alcanzar su máximo.

Las curvas de los hormigones de mayor resistencia tiene un máximo más marcado, para

luego descender bruscamente. A partir de estos ensayo algunos investigadores han aventurado expresiones analíticas que puedan representar el comportamiento del hormigón. Una de las más aceptadas y utilizadas



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corresponde a la propuesta por Hognestad. El propone una curva compuesta por una primera rama ascendente parabólica de segundo grado hasta alcanzar el máximo y luego un rama descendente lineal. La extensión de la rama descendente depende del limite de deformación útil supuesta para el hormigón. La relación entre max'' Cc ff = y la resistencia cilíndrica característica

, depende de la forma del espécimen ensayado. 'cf

3.1.2 Resistencia: La resistencia del hormigón queda definida según los ensayos establecidos en las normas chilenas NCh 170. La norma clasifica a los hormigones en grados, en función de su resistencia a la compresión o respecto a su resistencia a la flexotracción.

a. Compresión:

Esta resistencia se determina por medio de ensayos uniaxiales a probetas cúbicas de 200 mm de arista, la cual es convertida mediante factores de transformación a valores compatibles con los que se obtendrían en ensayos con probetas cilíndricas, los que se indican en la misma NCH 170. Estos ensayos se realizan en hormigones con una edad de 28 días. Como resultado de estos ensayos se obtiene , resistencia cilíndrica característica a compresión especificada a 28 días, la cual satisface ciertos niveles de confiabilidad que minimicen la frecuencia de resistencias bajo dicho valor.

'cf



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Los hormigones quedan clasificados en función de este parámetro de la siguiente forma:

Clasificación de Hormigones según NCh170

Grado Resistencia Especificada (P. Cúbica)

cf [Kg/cm2]

Resistencia Característica (P. Cilíndrica utilizada en diseño)

'cf [Kg/cm2] H5 50 40 H10 100 80 H15 150 120 H20 200 160 H25 250 200 H30 300 250 H35 350 300 H40 400 350 H45 450 400 H50 500 450

b. Flexotracción: Esta resistencia se determina por medio de ensayos a flexión de probetas de sección cuadrada. La resistencia a la tracción medida de esta forma se conoce como módulo de ruptura y se obtiene a partir de las ecuaciones de de resistencia de materiales para la flexión:

rf

ZMfr =

Dónde Z es el módulo resistente de la sección:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 21

T yy2A

Z____

·

El código (9.5.2.3) propone las siguientes expresiones para calcular el módulo de ruptura:

'. cr f70f = en unidades de MPa

'. cr f212f = en unidades de Kg/cm2



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Los hormigones quedan clasificados en función de este parámetro de la siguiente forma:

Clasificación de Hormigones según NCh170

Grado Resistencia Especificada tf [Kg/cm2]

HF3.0 30 HF3.5 35 HF4.0 40 HF4.5 45 HF5.0 50 HF5.5 55 HF6.0 60

c. Tracción Directa:

Usualmente no se especifican ensayos de tracción directa por las dificultades practicas que conllevan. No obstante se acepta que la resistencia a tracción directa del hormigón es:

'. ct f50f = en unidades de MPa

'. ct f61f = en unidades de Kg/cm2

d. Hendimiento:

Este ensayo conocido como “Ensayo brasilero” se propone como un forma alternativa de determinación de la resistencia a la tracción. En el, un cilindro se carga en la dirección de su diámetro hasta que el hormigón falla por tracción a lo largo de su diámetro. La teoría de elasticidad permite deducir que la resistencia tracción corresponde a: tf

dhP2ft ···

π=

Donde: P : Carga de ruptura h : Longitud del cilindro d : Diámetro del cilindro

Comúnmente . rrt f750f500f ·.~·.= Dado que la resistencia a tracción del hormigón es baja (menor al 20% de la resistencia

a compresión) es normal que no se considere en el cálculo de resistencia a flexión de secciones de hormigón armado, cuando es necesario considerarla, se supone que el comportamiento es lineal hasta la rotura por tracción, con el mismo módulo de elasticidad que en compresión. No obstante, la resistencia a tracción del hormigón es sumamente importante en fenómenos asociados a la resistencia al corte, adherencia y anclaje.



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3.1.3 Módulo de Elasticidad Para efectos de diseño, usualmente se usa el módulo de elasticidad secante medido entre 0 y

. El módulo de elasticidad del hormigón en términos de la resistencia característica

y el peso unitario del hormigón , queda definido por el código como: max·. Cf50 cE

'cf cw

'.·.c

51cc f0430wE = en unidades de MPa

Para hormigones de peso normal entre 1500 Kg/mcw 3 y 2500 Kg/m3 la relación anterior adopta la forma:

'cc f4700E = en unidades de MPa

'cc f14860E = en unidades de Kg/cm2

Estas expresiones entregan valores que pueden estar hasta un 30% bajo los valores reales del módulo de elasticidad del hormigón, lo cual, debe ser especialmente considerado en el caso de la determinación de la respuesta estructural ante solicitaciones sísmicas. Para una determinación más exacta del Módulo de Young del hormigón se puede revisar el documento ASTM C469-94, “Test Method for Static Modulus of Elasticity and Poisson’s Ratio of Concrete in Compression”.

3.1.4 Coeficiente de Poisson Usualmente el coeficiente de Poisson del hormigón varía entre 0.15 y 0.2, sin embargo, experimentalmente se han registrado valores de 0.10 y 0.30. a altos niveles de esfuerzo axial, la aparición de grietas paralelas a la dirección de esfuerzos incrementan notablemente las deformaciones transversales. Normalmente la falla por compresión axialtrae asociado un aumento de volumen del espécimen.

3.1.5 Confinamiento: Resultados experimentales han demostrado que la existencia de una presión de confinamiento modifica la respuesta carga deformación de cilindros de hormigón ensayados a compresión tal comos e muestra en la figura: En los hormigones sin confinamiento, cuando los esfuerzos axiales se acercan a la resistencia de compresión, aparecen grandes deformaciones transversales producidas por la propagación de microfisuras paralelas a la dirección de carga. Esto causa inestabilidad y finalmente la falla del hormigón. Estas deformaciones



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laterales son restringidas ante la presencia de presiones laterales de confinamiento, lo que permite que el hormigón alcance mayores niveles de resistencia y deformación. Los análisis experimentales han permitido establecer que la resistencia a compresión 'ccf cuando existe un presión lateral de confinamiento lf es:

lf14ff ccc ·.'' +=

in embargo en la realidad no es posible aplicar una presión de confinamiento activa, como la

onsidere el caso más simple de confinamiento pasivo: un

medida que se aplica carga, el tubo no tendrá efecto en la

Simpuesta en los ensayos que se comentan, en cambio, solo es posible proporcional confinamiento mediante presiones pasivas, esto es, en respuesta a las deformaciones generadas. Ctubo de acero rodeando un espécimen de hormigón en compresión uniaxial. Arespuesta hasta que el hormigón se expanda lateralmente debido al efecto Poisson. Sin embargo, los coeficientes de Poisson del acero y el hormigón son muy similares en la primera etapa, 250s .=ν y 170c .=ν respectivamente. A medida que aumenta el esfuerzo de compresión, el hormigón comienza a agrietarse ( )'·. f450f cc = , se expande lateralmente, resultando en un incremento aparente del efecto Poisson, hasta llegar a un módulo de Poisson de aproximadamente 50c .=ν cuando 'cc ff ≈ . El confinamiento pasivo que aporta e acero n fectivo hasta ese ptotalmente agrietado y muy cerca de su capacidad de compresión. Por esta razón, el confinamiento pasivo no incrementa notablemente la resistencia a compresión, en cambio, al restringir la expansión lateral, incrementa el valor que puede alcanzar la máxima deformación útil.

el tubo d o es e

n la practica no se utilizan comúnmente tubos de acero para proporcionar confinamiento, lo

a. Confinamiento por zunchos

os zunchos son aros circulares de acero que rodean el elemento estructural al cual se le

uponiendo que los zunchos están suficientemente próximos entre si para aplicar una presión casi uniforme en el cilindro o a lo menos a nivel de cada zuncho, es posible calcular la presión de confinamiento a partir de la tensión sobre cada aro de acero.

unto, en que el hormigón está

Eusual es utilizar armadura transversal el forma de espirales (zunchos) o estribos. La armadura longitudinal distribuida también aporta al confinamiento aunque en menor medida.

Ldesea proporcionar confinamiento, por ejemplo columnas. Estos aros envuelven a la armadura longitudinal y el hormigón y creando un núcleo confinado, lo que permite proporcionar mayor ductilidad a las columnas. S



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Considerando el diagrama de cuerpo libre de medio aro. La presión lateral en el hormigón lf alcanza su máximo cuando el refuerzo llega a la fluencia yf . Si D es el diámetro del aro,

s es el paso entre zunchos y sA el área de la sección del aro de refuerzo, por condiciones equilibrio estático se tiene:

lfsDAf2 sy ···· =

de

sy Af ·

sDAf2

f sy

···

=l

Por lo tanto, la resistencia a compresión del hormigón confinado por zunchos será:

lfD

sy Af ·

sD28ff sy

ccc ··.'' +=

Af ·

En las regiones sin zuncho el elemento sufrirá desprendimientos de hormigón.

. Confinamiento por estribos

os estribos son aros rectangulares de acero que cumplen la misma función que los dos en elementos de sección prismática, sin embargo, no

on tan efectivos como los zunchos, pues en zonas alejadas de las esquinas estos

b Lzunchos y son ampliamente utilizaselementos se deforman por flexión, perdiéndose el efecto de confinamiento.



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Basados en resultados experimentales, Blume et Al. han propuesto expresiones para calcular la resistencia del hormigón confinado por estribos. En esta expresión, la ontribución del los estribos se considera igual a la mitad de la contribución de los zunchos. c

Para estribos donde la longitud del lado largo es h, se tiene:

shAf

14ff syccc ·

··.'' +=

No obstante, se ha demostrado que para estribos con ganchos intermedios las propiedades de confinamiento son tan buenas como la des los zunchos.

3.1 íclicas

a ad es especialmente

portante al evaluar la respuesta de estructuras bajo la acción de cargas dinámicas, tales

rmación. Empíricamente se ha demostrado que la envolvente de stos ciclos de histéresis es casi idéntica a la respuesta monotónica, por lo que no se requiere

.6 Influencia de la velocidad de carga y cargas c Resultados experimentales han demostrado que el hormigón aumenta su resistencia y rigidez altas velocidades de aplicación de carga durante el ensayo. Esta propiedimcomo sismos, impactos, etc. Por ejemplo, un ensayo a una velocidad de deformación de 0.01/seg, presenta un incremento de resistencia de aproximadamente un 17% y un aumento de su rigidez cercana al 10%. Por otro lado, ciclos repetidos de carga de alta intensidad producen claros ciclos de histéresis en la respuesta carga-defoemodificar las curvas esfuerzo-deformación al evaluar la resistencia a la flexión de elementos sometidos a acciones sísmica.



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Envolvente Historia Carga-Desplazamiento Segunda Serie

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Desplazamiento [mm]

Car

ga [k

g]

Muro M6AMuro M6B

3.1.7 Hormigones en Chile En chile existe todo un protocolo de dosificación de hormigones de forma de obtener las resistencias requeridas por el ingeniero que diseña la obra, clasificados según los grados especificados por la norma. En general se utiliza la clasificación especificada por la resistencia cilíndrica característica a compresión especificada a 28 días, . 'cf El hormigón puede ser preparado en obra o bien proporcionada por empresas especializadas en el ramo, que garantizan dosificación y calidad adecuadas a los requerimientos de cada obra.



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-19--19- Claudio Oyarzo V.


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Claudio Oyarzo V.


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-21-

Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC

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3.2 Acero

3.2.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Acero: Las propiedades de ductilidad del hormigón armado son proporcionadas por la capacidad del acero de refuerzo de deformarse dentro del rango inelástico, sin sufrir degradación significativa, aún a altos niveles de deformaciones. En la figura mostrada a continuación se muestra la curva esfuerzo deformación típica del acero de refuerzo para hormigón armado. En esta curva se distinguen las siguientes zona:

Rango elástico, con un módulo de elasticidad (pendiente) , hasta alcanzar su punto de fluencia .

26s cmKg1012E /. ×=

yf

Meseta de fluencia. La extensión de esta zona depende de la resistencia del acero. Aceros de alto contenido de carbono y alta resistencia, presentan por lo general una meseta más reducida.

Zona de endurecimiento por deformación, hasta alcanzar su carga máxima . Esta se

explica por la disminución en el área de la sección de la barra acero por efecto Poisson. Esta zona presenta un módulo de elasticidad menor .

uf

shE

Perdida de resistencia y falla a un nivel de carga menor al máximo registrado previamente.

yf

uf

sf

sεyε shε uε

Algunos aceros presentan un comportamiento particular, por ejemplo, en algunos casos, la meseta de fluencia no existe, comenzando el endurecimiento por deformación inmediatamente después de la fluencia. Dado que el punto de fluencia no queda bien definido, se debe adoptar



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algún criterio para especificar una resistencia nominal a la fluencia. Este comportamiento es típico de los aceros de alta resistencia, y no es el más adecuado para fines de diseño sísmico.

3.2.2 Resistencia:

a. Fluencia Se conoce como resistencia de fluencia , el nivel de esfuerzos a la cual una barra de acero fluye, esto es se deforma significativamente con un leve incremento de carga.

yf

La resistencia de fluencia especificada para los acero ( ), por lo general corresponden a un valor mínimo, siendo la resistencia real superior en la mayoría de los casos.

yf

b. Rotura: Se conoce como resistencia de rotura , el nivel de esfuerzos a la cual una barra de acero se corta. Por lo general, se establece como requerimiento, la existencia de un valor mínimo de alargamiento en fluencia antes de la rotura, a fin de asegurar capacidad de deformación en los elementos de hormigón armado (ductilidad).

uf

Mediante un proceso de pre-estiramiento es posible llevar el punto de fluencia hasta la

carga de ruptura , sin embargo, este tipo de tratamientos genera aceros de baja ductilidad disponible.

yf

uf

3.2.3 Módulo de Elasticidad El módulo de elasticidad del acero queda definido por el código como:

200000Es = MPa6

s 1012E ×= . Kg/cm2

Por lo general los fabricantes de acero están en condiciones de garantizar dicho valor gracias a los estrictos controles de calidad aplicados en la fabricación.

3.2.4 Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas Para cargas aplicadas a latas velocidades, se ha demostrado empíricamente que el módulo de elasticidad y el punto de fluencia , se incrementan hasta en un 15%. sE yf Bajo cargas cíclicas en el rango inelástico el acero se comporta en forma no lineal a niveles menores de deformación inicial de fluencia, tal como se muestra en la figura. Este fenómenos se conoce como Efecto Bauschinger.



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3.2.5 Aceros en Chile Las barras de acero para refuerzo de hormigón armado se fabrican en Chile de acuerdo a la Norma NCh204, lisas y con resaltes, en las calidades:

A 44-28 H A 63-42 H

En esta notación, la “A” indica que es acero; el primer numero la tensión de rotura; el segundo numero la tensión de fluencia; y finalmente la “H” su utilización como acero de refuerzo para hormigón armado. Por ejemplo una acero A 44-28 H, tendrá una resistencia a la rotura de 4400 Kg/cm2 y una tensión de fluencia de 2800 Kg/cm2. Las barras con resalte, poseen protuberancias en su superficie, destinadas a aumentar la adherencia entre el refuerzo y el hormigón. Estas barras están disponibles en los diámetros de 8, 10, 12, 16, 18, 22, 25, 28, 32 y 36 mm Las barras lisas están disponibles solo en diámetros de 6mm.



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Hormigón Armado

φ Número de barras

[mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 0.28 0.57 0.85 1.13 1.42 1.70 1.98 2.26 2.55 2.83 3.11 3.408 0.50 1.01 1.51 2.01 2.52 3.02 3.52 4.02 4.53 5.03 5.53 6.04

10 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.4212 1.13 2.26 3.39 4.52 5.66 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.5716 2.01 4.02 6.03 8.04 10.06 12.07 14.08 16.09 18.10 20.11 22.12 24.1318 2.55 5.09 7.64 10.18 12.73 15.27 17.82 20.36 22.91 25.45 28.00 30.5422 3.80 7.60 11.40 15.20 19.01 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 41.81 45.6125 4.91 9.82 14.73 19.64 24.55 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.9128 6.16 12.32 18.47 24.63 30.79 36.95 43.11 49.26 55.42 61.58 67.74 73.9032 8.04 16.09 24.13 32.17 40.22 48.26 56.30 64.34 72.39 80.43 88.47 96.5236 10.18 20.36 30.54 40.72 50.90 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 111.97 122.15

φ Espaciamiento de barras por metro

[mm] 6 8 10 12 14 15 16 18 20 22 24 25 6 4.72 3.54 2.83 2.36 2.02 1.89 1.77 1.57 1.42 1.29 1.18 1.138 8.38 6.29 5.03 4.19 3.59 3.35 3.14 2.79 2.52 2.29 2.10 2.0110 13.08 9.81 7.85 6.54 5.61 5.23 4.91 4.36 3.93 3.57 3.27 3.1412 18.85 14.14 11.31 9.43 8.08 7.54 7.07 6.28 5.66 5.14 4.71 4.5216 33.52 25.14 20.11 16.76 14.36 13.41 12.57 11.17 10.06 9.14 8.38 8.0418 42.42 31.81 25.45 21.21 18.18 16.97 15.91 14.14 12.73 11.57 10.60 10.1822 63.35 47.51 38.01 31.68 27.15 25.34 23.76 21.12 19.01 17.28 15.84 15.2025 81.82 61.36 49.09 40.91 35.06 32.73 30.68 27.27 24.55 22.31 20.45 19.6428 102.63 76.98 61.58 51.32 43.99 41.05 38.49 34.21 30.79 27.99 25.66 24.6332 134.05 100.54 80.43 67.03 57.45 53.62 50.27 44.68 40.22 36.56 33.51 32.1736 169.65 127.24 101.79 84.83 72.71 67.86 63.62 56.55 50.90 46.27 42.41 40.72



Hormigón Armado

4 Lecturas Recomendadas

Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 1 Park, R & Pauly, ) “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 1 y 2 ICH “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 8 y 9.1. a 9.4.



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Capítulo 2 – Carga Axial

5 Elementos Sometidos a Compresión Pura En elementos que soportan principalmente compresión axial, por ejemplo, columnas cortas, resulta muy económico hacer que el hormigón resista la mayor parte de la carga. No obstante siempre es recomendable incluir en dichos elemento acero de refuerzo por varias razones. En primer lugar, rara vez existen elementos que estén sometido a carga axial pura durante toda su vida útil, por lo que es conveniente incluir armaduras que resistan las posibles tensiones generadas por la ocurrencia de flexión. Por otro lado, si el acero con mucha mayor resistencia que el hormigón toma parte de la carga de compresión, es posible reducir la sección transversal de la columna, cuanto mayor sea la cantidad de acero. El caso extremo sería reemplazar la columna de hormigón armado por una de acero.

5.1 Comportamiento Elástico Para esfuerzo inferiores a , el hormigón parece tener un comportamiento prácticamente elástico, es decir, los esfuerzos y las deformaciones unitarias se mantienen proporcionales. Este rango se extiende en el hormigón hasta deformaciones unitarias del orden de 0.0005, mientras que para el acero el rango elástico se extiendo a deformaciones de hasta 0.002. Debido a que el hormigón y el acero actúan en forma solidaria, las deformaciones unitarias a compresión de ambos materiales será la misma:

'·. cf50

sc εε =

s

s

c

c

Ef

Ef

=

A partir de lo cual es posible establecer una relación de esfuerzos entre el acero y el hormigón:

ccc

ss fnf

EE

f ·· ==

Donde c

sE

En = es conocida como razón modular.

Entonces si un elemento está sometido a una carga P de compresión, esta carga se distribuirá sobre los materiales de la siguiente manera:

( )scccsccsscc AnAffnAfAfAfAP ······ +=+=+= El término puede interpretarse como el área de una sección transversal ficticia de hormigón, llamada área transformada, la cual cuando está sometida al esfuerzo particular del concreto da la misma carga axial P que la sección real de hormigón y acero.

( sc AnA ·+ )

Esto puede verse en las figuras (a)y (b). En ellas las tres barras de acero a lo largo de cada una de las caras son reemplazadas con áreas adicionales de hormigón ficticias, iguales a ( )sAn· ,



Hormigón Armado

situadas a la misma distancia del eje de la sección que las barras. Dado que las barras han sido reemplazadas por hormigón, parte del área de hormigón es utilizada para rellenar el espacio dejado por los refuerzos, por lo tanto el solo se requeriría adicionar ( ) sA1n − , al área bruta de hormigón , tal como se muestra en (c). Por lo tanto la ecuación de equilibrio de la sección queda de la siguiente forma:

gA

( )[ ]sgc A1nAfP ·−+=

5.2 Comportamiento Inelástico Las relaciones expuestas anteriormente sólo son válidas para el rango elástico ( )00050.<ε , pues en este rango los módulos de elasticidad de ambos materiales permanecen constantes. Sobre este nivel de deformaciones, primero el modulo de elasticidad del hormigón comienza a decaer y además una vez que se supera el nivel de deformaciones unitarias 0020.<ε el acero comienza a fluir, momento en que deja de aumentar y adopta un valor fijo ; más adelante o incluso coincidiendo con la fluencia del aceros el hormigón alcanza su punto de falla por aplastamiento.

sf yf

Por lo tanto en el rango inelástico es necesario realizar un análisis punto a punto determinando la magnitud de para el hormigón y para el acero, para cada valor de cf sf ε . Luego la ecuación de equilibrio corresponderá a:

sscc fAfAP ·· +=

Donde y son funciones de cf sf ε . Si esto lo escribimos de la siguiente manera.



Hormigón Armado

( )sccsc

scc AnAfAE

EAfP ·· +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

Tenemos que, antes de la fluencia del acero, puede mantener se relativamente constante

mientras es función de

sE

cE ε , por consiguiente c

sE

En = también será función de ε .

Entonces a medida que aumenta la deformación, el hormigón pierde rigidez, esto es va

disminuyendo, por lo tanto

cE

c

sE

En = va creciendo. Esto significa, que a medida que aumentan

las deformaciones en el rango inelástico, la carga se va redistribuyendo, aumentando cada vez más la participación del acero en la resistencia del elemento. La falla de elemento ocurrirá cuando el hormigón alcance su resistencia a la compresión y en acero alcance su tensión de fluencia . En este punto la ecuación de equilibrio adopta la forma:

'cf

yf

yscc fAfA850P ·'··. +=

La aparición del factor 0.85 aplicado al hormigón será revisado con más detalle en capítulos futuros.

6 Elementos Sometidos a Tracción Pura Ya se ha visto que la resistencia a la tracción del hormigón es apenas una pequeña fracción de su resistencia a la compresión, de esto se concluye que el hormigón no está bien condicionado para ser utilizado en elementos sometidos a tensión, no obstante, existen situaciones en que el hormigón armado puede estar sometido a tracción, principalmente en elementos de unión en arco o estructuras similares. Tales elementos por lo general están compuestos un arreglo de barras embebidas en el hormigón muy similar a los elementos en compresión. Cuando las fuerzas de tensión se mantiene en niveles suficientemente bajos de manera que los esfuerzos en el hormigón no alcancen su resistencia a la tracción, tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente. En esta situación, todas las expresiones derivadas para el comportamiento elástico en compresión son válidas. En particular la expresión de equilibrio en la sección, la cual se expresa:

( )scct AnAfP ·+= Donde corresponde al esfuerzo en tensión del hormigón. ctf Sin embargo, al aumentar la carga, el hormigón alcanza su resistencia a la tracción para un esfuerzo y deformación unitaria del orden de un 10% de lo que puede alcanzar en compresión y mucho antes que el acero alcance su estado de fluencia. En este estado el hormigón se agrieta a través de toda su sección transversal, cuando esto ocurre el hormigón deja de resistir



Hormigón Armado

tracción, pues evidentemente ninguna fuerza puede trasmitirse a través del espacio de aire dejado por la grieta. Por lo tanto a partir de este instante es el acero quien resiste toda la carga. Entonces, en este estado la ecuación anteriormente expuesta adopta la forma:

ss AfP ·=

Ecuación que se mantiene hasta que el acero alcanza su fluencia, lo que es considerado como Punto de falla, pues el incremento de las deformaciones ante pequeños aumento de carga son excesivos. La resistencia máxima útil del elemento en tracción queda entonces definida por la fluencia del acero, lo que esta representado en la siguiente ecuación:

syn AfP ·= Para mantener un margen de seguridad adecuado, la fuerza permitida en un elemento en tracción para cargas de servicio normales deben estar en el orden de . nP50 ·. Ahora bien, pese a que una vez fisurada la sección el hormigón no aporta resistencia al elemento, esta continúa cumpliendo sus funciones de protección contra el fuego y las corrosión del acero. Existen situaciones en las cuales el hormigón armado que se utiliza en tracción no admite la presencia de grietas, por ejemplo: estanques circulares. En estos casos se debe garantizar la impermeabilidad de la estructura, por lo que debe evitarse que la tensión circular causada por la presión del fluido sobre las paredes ocasione grietas. En estos casos se suele diseñar basados en las ecuaciones elásticas definidas para niveles de esfuerzo establecidos por debajo de la resistencia a tracción , o bien se establecen límites de ancho de grieta para condiciones de servicio.

ctf



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Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 1.9. y Problemas



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Capítulo 3 – Flexión

8 Preámbulo e Hipótesis de Diseño En este capítulo se tratará el comportamiento, análisis y diseño de elementos sometidos a flexión, por ejemplo vigas. Se verá en detalle la distribución de esfuerzos internos generados en una sección debido a un momento flector, los tipos de falla que se pueden presentar, la determinación de resistencia de dichos elementos, diseño y recomendaciones. Las hipótesis fundamentales utilizadas en el análisis son las siguientes:

Los esfuerzos internos, normales y tangenciales, en cualquier sección del elemento están en equilibrio con los efectos de las cargas externas aplicadas (Momento, corte, carga axial).

La deformación unitaria experimentada por las barras de acero embebidas en el hormigón es la misma que se registra en el hormigón circundante. Dicho de otra forma, existe una adherencia perfecta entre el hormigón y las barras de refuerzo. No existe deslizamiento.

Las secciones transversales planas antes de la aplicación de carga, permanece planas bajo la acción de las cargas.

Debido a que la resistencia a tracción de hormigón es apenas una pequeña fracción de la resistencia a compresión, el concreto de la parte de la sección sometida a tracción por lo general se encontrará fisurado. Aunque para elementos bien diseñados dichas fisuras son apenas visibles, estas no permiten que el hormigón trasmita carga. De acuerdo con esto, en general, se supone que el hormigón no resiste tracción.



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9 Vigas Rectangulares Simplemente Armadas Las vigas de hormigón simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión, pues su resistencia a tracción en flexión es muy baja frente a su capacidad resistente en compresión por flexión. En consecuencia estas vigas fallan en el lado sometido a tracción a cargas muy bajas, antes de que se desarrolle la resistencia completa del hormigón en la cara a compresión. Por esta razón se colocan barras de acero como refuerzo en el lado sometido a tracción, tan cerca como sea posible del extremo de la fibra sometida a tracción, sólo cuidándose de conservar un cierto recubrimiento de hormigón a modo de protección contra la corrosión y el fuego.

a. Comportamiento A modo de ejemplo ilustrativo considere la siguiente viga simplemente apoyada de sección rectangular sometida a un par de cargas puntuales, tal como se muestra en la figura.

Q(x)

M(x)

P P

A

A

(-)

(+)

(+)

Las cargas sobre dicha viga se incrementan paulatinamente desde cero hasta alcanzar su punto de falla. Bajo estos supuestos se pueden distinguir claramente los siguientes estados de comportamiento diferentes:



Hormigón Armado

Rango elástico. Sección no fisurada

Para cargas bajas, por debajo del módulo de rotura del hormigón ( , toda la sección de hormigón actúa resistiendo los esfuerzos de tracción y compresión generados por el momento flector a ambos lados del eje neutro. En esta etapa, las deformaciones son pequeñas y los esfuerzos son proporcionales a ellas (rango elástico).

)rf

La distribución de deformaciones y esfuerzos se ilustra en la siguiente figura:

En este caso, el análisis de la sección se basa en la teoría elástica, muy similar a lo realizado en el estudio de secciones sometidas a carga axial, presentado en el capítulo 2. Se define una sección transformada, donde el área aportada por las barras de acero es reemplazada por un área equivalente de hormigón, determinada por la razón modular, ( )cs EEn = .

Entonces, si la sección esta sometida a un momento flector M, los esfuerzos máximos generados sobre el hormigón quedan determinados por las ecuaciones:

IyMfc·

= I

yhMfct)·( −

=

d

b

As

fct

fc

fs

εc

εct

εs

d

b

(n-1)·As

yEje

Neutroh

As

b

dh

h



Hormigón Armado

Los esfuerzos sobre el acero se determinan mediante:

IydMnfs

)·(· −=

Donde I corresponde a la momento de inercia de la sección transformada respecto al eje neutro, e y corresponde a la posición del eje neutro de la sección transformada respecto a la fibra extrema a compresión (tal como se realiza para encontrar el centroide de una sección plana). En este caso:

( )( ) s

s

A1nhb

dA1n2hhb

y)·(·

·)·(··

−+

−+=

( )( ) ( )2s

22

h3

ydA1nyhb12hbI −−+−+= ·)·(···

Por lo tanto el momento máximo que es capaz de resistir el una viga de hormigón armado antes de agrietarse corresponde a:

)(·yh

IfM r

gr −=

Rango elástico. Sección fisurada

Cuando se aumenta la carga y se supera el módulo de rotura del hormigón en la cara traccionada se desarrollan grietas, las que se propagan rápidamente acercándose al eje neutro, el que a su vez también se desplaza debido a la perdida de área efectiva de hormigón que resiste la tensión. Es evidente que el hormigón esta imposibilitado de trasmitir carga a través del tramo fisurado. En vigas bien diseñadas la amplitud de las grietas por lo general son tan pequeñas, que no es posible detectarlas a simple vista y no revisten un perjuicio desde el punto de vista de la protección de las barras contra el fuego y la corrosión. Si la carga aplicada es moderada y genera esfuerzos sobre el concreto menores a 0.5·fc’, los materiales permanecerán en el rango elástico, esto es, los esfuerzos serán proporcionales a las deformaciones unitarias. La situación antes descrita, ocurre por lo general para estructuras bajo condiciones normales de servicio. Para simplificar el análisis se supone que las grietas alcanzan el eje neutro y que se cumplen la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación carga permanecen planas durante la aplicación de carga.



Hormigón Armado

Para calcular los esfuerzo internos en el material sometido a un momento flector M, es posible aplicar una metodología similar a la aplicada con anterioridad a secciones no fisuradas en que los materiales permanecen dentro del rango elástico utilizando la sección transformada, pero considerando sólo el área transformada de acero actuando en tracción, pues el hormigón al encontrarse agrietado ya no resiste tensiones. La sección transformada corresponderá entonces a la que se muestra en la siguiente figura:

La ubicación de eje neutro queda determinada a través del factor “kd” que representa una fracción de la altura efectiva d. Dado que la sección se encuentra en equilibrio con las cargas externas se debe comprobar que la resultante de compresión es igual a la resultante de tracción; y además los momentos generados por estas resultantes son iguales al momento externo M aplicado.

hd

b

As

fc

fs

εc

εs

d

b

n·As

kdEje

Neutro

fc

fs

kdd

h

As

b

dh



Hormigón Armado

Suponiendo que la distribución de esfuerzos de compresión es triangular tal como se indica en la figura, es posible definir la siguiente ecuación:

TC = ssc Afb2kdf

···

=

Por compatibilidad geométrica:

cs kdkdd εε ·−

=

·c

s

EE

n =

ccc Ef ε·=

ccccssss fkd

kddnkd

kddEnkd

kddEEf ······· −=

−=

−== εεε

Por lo tanto:

ssc Afb2kdf

···

=

scc Af

kdkddnb

2kdf

···· −

=

Reordenando, es posible obtener la siguiente ecuación para kd :

( ) ( ) 0dAnkdAnkd2b

ss2 =−+ ·····

Por otro lado las ecuaciones de momento corresponde a:

( )3kddCM −= · ( )3

kddb2kdf

M c −= ···

( )3

kddTM −= · ( )3kddAfM ss −= ··

A partir de estas ecuaciones es posible determinar los esfuerzos máximos a los que está sometido el hormigón:

( )b3kddkd

M2fc··

·−

=



Hormigón Armado

Mientras que los esfuerzos registrados por el refuerzo de acero son:

( )3kddA

Mfs

s−

=·

Finalmente el máxima flexión que puede desarrollar esta sección, antes de perder sus propiedades elásticas correspondería al caso en que , esto es: '·. cc f50f =

( )3kddkdb

4f

M cel −= ···

'

Rango inelástico. Sección fisurada

Si se continúa aumentando la carga, los esfuerzos dejan de ser proporcionales a las deformaciones, pues el hormigón entra en la zona inelástica de la curva. Por lo tanto, si bien se puede seguir considerando la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación de carga permanecen planas durante la aplicación de carga, la distribución de esfuerzos a compresión no será lineal, sino que adoptará la forma de la curva esfuerzo deformación del hormigón.

El estudio del comportamiento del hormigón armado en esta fase es sumamente importante, pues es bajo esta situación donde se produce la falla de los elementos. Luego, conociendo el comportamiento del hormigón fisurado dentro del rango inelástico es posible obtener predicciones adecuadas para la capacidad última de la estructura, condición de diseño de nuestras estructuras, proporcionando los márgenes de seguridad correspondientes. Sin embargo, existe el problema en la determinación de la forma que adopta la distribución de esfuerzos en el tramo comprimido, pues no existe una expresión analítica que permita determinarla con exactitud, y las aproximaciones realizadas, son demasiado elaboradas como para aplicarlas en diseño. Lo que si se ha logrado determinar con relativa precisión, son parámetros geométricos ( )βα y que permitan determinar la ubicación del eje neutro (c) y la resultante de compresión (C).

fc

fs

εc

εs

b

dh

As



Hormigón Armado

Aplicando condiciones de equilibrio similares al caso anterior:

TC = ssc Afcbf ···· =α

( )cdCM ·· β−= ( )cdcbfM c ····· βα −=

( )cdTM ·· β−= ( )cdAfM ss ··· β−= Luego:

····

bfAf

cc

ss

α=

Entonces:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

····

······bf

AfdAfcdAfM

c

ssssss α

ββ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

···

···bfAf

dAfMc

ssss α

β

Experimentalmente se ha logrado determinar que en estados cercanos a la falla del hormigón por aplastamiento ( )'cc ff ≈ , los parámetros α y β adoptan los siguientes valores:

fc

fs

cbfC c ···α=

ss fAT ·=

c·β

c

d



Hormigón Armado

[ ]

[ ][ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

≤

=

2c

2c

c

2c

cmKg550fsi560

cmKg550f275si0407568275f

720

cmKg275fsi720

/'.

/'.·.

'.

/'.

α

[ ]

[ ][ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

≤

=

2c

2c

c

2c

cmKg550fsi3250

cmKg550f275si02507568275f

4250

cmKg275fsi4250

/'.

/'.·.

'.

/'.

β

Luego la ecuación de momento adopta la forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

·'··

·.··bf

Af590dAfM

c

ssss

b. Tipos de Falla: Suponga un elementos sometido a flexión pura. Si a este elemento se le lleva hasta su capacidad máxima, los esfuerzos internos aumentarán paulatinamente hasta que alguno de los elementos alcance su resistencia máxima, en ese instante el elemento dejara de resistir carga, las deformaciones aumentaran ostensiblemente y el grado de agrietamiento será notorio, presentándose de esta forma la falla. Esta falla podría producirse por dos razones, la primera correspondería al caso en que el hormigón alcance su resistencia máxima a compresión ( )'cf , la otra alternativa es que el acero de refuerzo alcance la fluencia ( )yf .

Falla por Compresión: Cuando a un elemento de hormigón armado se le ha proporcionado cantidades elevadas de acero, es posible que el hormigón alcance su capacidad máxima antes de que el acero logre entrar en fluencia. En tal caso la profundidad del eje neutro (c) aumenta considerablemente, lo que provoca un aumento de la resultante de compresión, a fin de equipara la resultante de tracción. La resistencia a flexión del elemento se alcanza cuando los esfuerzos sobre el hormigón alcanza el valor 'cc ff = lo que ocurre por lo general para una deformación de la fibra exterior del hormigón en compresión del orden de 0.003 cm/cm (deformación última 00

0u 3=ε ). Este tipo de falla es frágil y repentina, no existiendo

ninguna advertencia que permita prever la falla, debido a que las grietas generadas en la zona de tracción son pequeñas, debido al bajo esfuerzo sobre el acero.



Hormigón Armado

En la falla por compresión, por definición ys ff < . Aplicando las relaciones de compatibilidad geométrica:

cssss ccdEEf εε ··· −

==

Luego el momento máximo que puede resistir el elemento en flexión (Momento último) es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

·'··

·.··bf

Af590dAfM

c

ssssu

Donde se determina en función de la deformación última del hormigón: sf

0030c

cdEc

cdEf suss .···· −=

−= ε

Falla por Fluencia

Si el área de acero proporcionada a la sección es baja, el refuerzo alcanzará tempranamente su límite de fluencia, antes que el hormigón alcance su resistencia; en tal caso la resultante de tracción permanecerá constantes ( )ys fAT ·= . Bajo estas condiciones un ligero aumento de carga provocará elongaciones significativas en el acero, aumentando el nivel de agrietamiento y, en consecuencia, disminuyendo la profundidad del eje neutro, pero con un aumento de los esfuerzos sobre el hormigón. Finalmente la resistencia al flexión del elemento se alcanzará cuando el hormigón presente deformaciones unitarias del orden de 0.003, provocándose el aplastamiento del hormigón. Este tipo de falla es dúctil y va anunciada por una gran cantidad de grietas de espesor significativo en la zona de tracción, lo que aporta un margen de seguridad frente al colapso. En este caso, se cumple ys ff = , por lo tanto el momento máximo que puede resistir el elemento en flexión (Momento último) es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

·'··

·.··bfAf

590dAfMc

sysyu

Ahora bien, podría darse el caso en que la cantidad de acero de refuerzo sea tan reducida que, antes que el hormigón falle por aplastamiento, el acero se corte, pues ha alcanzado su resistencia última. Obviamente este tipo de falla es absolutamente indeseable, pues ocurre en forma súbita, por lo que se debe evitar a toda costa.



Hormigón Armado

Falla Balanceada Finalmente, existe una cantidad específica de acero para la cual el hormigón alcanza su deformación última al mismo tiempo que el refuerzo entra en fluencia, este tipo de falla se conoce como “Falla Balanceada”. En tal caso:

0030c .=ε y ·· ssys Eff ε== A partir de las ecuaciones de compatibilidad geométrica es posible determinar :

·b

b

c

s

ccd −

=εε

·. b

bs

y

ccd

0030E

f−

=

Luego, la profundidad del eje neutro en una falla balanceada corresponderá a:

( ) dE0030f

E0030c

sy

sb ·

·.·.

+=

Considerando que se debe cumplir el equilibrio en la sección:

TC =

ssc Afcbf ···· =α

s

cs f

cbfA

···α=

dfcf

bdA

s

cs

···α

=

Si se define la razón bdAs como cuantía de acero ( )ρ , es posible calcular la cuantía de

acero para la cual se presenta una falla balanceada:

dfcf

y

bcb ·

'··αρ =

( )sy

s

y

cb E0030f

E0030ff

·.·.'·

+=

αρ



Hormigón Armado

En tan caso la resistencia a flexión del elemento sería:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

·'··

·.··bfAf

590dAfMc

sysyu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

·'····

·.····bf

dbf590ddbfM

c

bybyu

ρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

'··.····

c

yb

2byu f

f5901dbfM ρρ

Sin embargo, este tipo de falla es un caso muy especial y por lo general bρρ ≠ , así que la cuantía balanceada sólo se utiliza como una herramienta para determinar a priori el tipo de falla que presentará un elementos sometido a flexión.

bρρ > Falla por compresión

bρρ < Falla por fluencia

c. Diseño

Distribución rectangular equivalente de esfuerzos Como ya se ha explicado, para analizar el comportamiento de un elemento de hormigón armado sometido a cargas de flexión, no es necesario conocer con toda exactitud la forma como se distribuyen los esfuerzos de compresión, sino que basta con definir el valor de la resultante de compresión y su ubicación, lo que se realiza mediante los parámetros empíricos α y β . Se puede pensar, entonces, que es posible reemplazar la distribución de compresiones real, por una ficticia de geometría mucho más simple que cumpla con la condición de entregar una misma resultante de compresión que aplicada en el mismo punto que la real bajo condiciones de falla. Por ejemplo una distribución rectangular. La distribución rectangular equivalente propuesta es la indicada en la figura precedente. La magnitud de los esfuerzos esta definida por el valor '· cfγ , aplicada sobre una profundidad “a” correspondiente a una fracción de la profundidad del eje neutro ( )ca 1 ·β= .



Hormigón Armado

Para que satisfaga la primera condición impuesta sobre la ubicación resultante de compresión se debe cumplir:

2ac =·β

2cc 1 ·· ββ =

ββ 21 =

La segunda condición se refiere a la magnitud de la resultante:

eequivalentreal CC =

abfcbf cc ·'···'·· γα =

ac ·· γα =

cc

ac

1 ···β

ααγ ==

βα

βαγ

21

==

fc’

fs

cbfC c ·'··α=

ss fAT ·=

c·β

d

c

fs

abfC c ·'··γ=

ss fAT ·=

2ac =·β

'· cfγ

ca 1 ·β=

c

d



Hormigón Armado

Si aplicamos los resultados experimentales obtenidos para α y β , podemos demostrar que:

850.=γ

[ ][ ]

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

≤

=

2c

2c

c

2c

1

cmKg550fsi650

cmKg550f275si0507568275f

850

cmKg275fsi850

/'.

/'.·.

'.

/'.

β

Nótese que el valor de 850.=γ es independiente de la resistencia del hormigón y viene a explicar la ecuación establecida para la falla a compresión de un elemento cometido a carga axial.

'cf

De esta forma la el momento que es capaz de resistir un elemento a flexión queda determinado por el siguiente modelo:

Aplicando equilibrio de fuerzas en la sección:

CT =

abf850fA css ·'··.· =

bf850fA

ac

ss

'··.·

=

fs

abf850C c ·'··.=

ss fAT ·=

2a

'·. cf850

ca 1 ·β=

c

d



Hormigón Armado

Aplicando equilibrio de momentos en la sección:

( )2adTM −= ·

( )2

adfAM ss −= ··

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

bf850fA

21dfAM

c

ssss '··.

···

Si suponemos que es deseable una falla dúctil y paulatina del elemente se debería imponer condiciones que garanticen una fluencia temprana del acero, de tal manera que la resistencia nominal de la sección corresponderá a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

bf850fA

21dfAM

c

ysysn '··.

···

Finalmente, para un diseño adecuado se debería asegurar que:

nu MM ·φ≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤

bf850fA

21dfAM

c

ysysu '··.

····φ

Con un factor de reducción de resistencia φ definido por el código. Cuantía máxima

Con anterioridad se ha mencionado que una falla por compresión en un elemento sometido a flexión, es repentina y no da ninguna señal de alerta, en cambio si el elemento falla por fluencia del acero, lo hará de forma gradual, mostrando grandes grietas y deflexiones, lo que permitirá tomar las mediadas necesarias que eviten el colapso. A esto se suma, la existencia de una reserva de resistencia debida al endurecimiento por deformación del acero que sigue a la meseta de fluencia, lo que no se ha tenido en cuenta al momento de calcular Mn. Estas razones son suficientes, como para exigir que si existe falla en un elemento a flexión esta sea por fluencia del acero. Y no por aplastamiento de la cabeza de compresión del hormigón. Este tipo de falla se logra imponiendo que la cuantía de acero sea menor que la cuantía balanceada. En la práctica los códigos establecen como cuantía máxima un 75% de la cuantía balanceada, a fin de garantizar la falla por fluencia del acero, esto es:

b750 ρρ ·.max =



Hormigón Armado

Donde:

( )sy

s

y

cb E0030f

E0030ff

·.·.'·

+=

αρ

Cuantía mínima

Por otro lado, se hace necesario imponer un límite inferior a la cuantía de refuerzo sometido a tracción , pues una baja cuantía de refuerzo podría provocar modos de falla indeseables. Por ejemplo, supongamos que a una viga se le proporciona una cantidad de refuerzo tal, que su momento resistente (Mn) es menor que el momento de agrietamiento calculado según las ecuaciones establecidas para una sección no fisurada. Si se llega a superar el momento de agrietamiento, una vez que se forme la primera grieta, el acero no será capaz de resistir la carga y se cortará, provocando un falla repentina. De esta manera se ha llegado a establecer que la cuantía de refuerzo debe ser tal que a lo menos cubra esta demanda de resistencia y evite la falla frágil.

crn MM ≥

)(·

'··.·

··yhIf

bf850fA

21dfA r

c

ysys −

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2h12bhf

bf850fA

21dfA

3

r

c

ysys

·

'··.·

·· ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Suponiendo que en condiciones normales, por lo general,

d11h ·.= y d950bf850

fA21d

c

ys ·.'··.

·=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Entonces:

6bhf

bf850fA

21dfA

2r

c

ysys

·'··.

··· ≥⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

( )6

d11bfd950fA

2r

ys·.··

.·· ≥



Hormigón Armado

dbff

210Ay

rs ···.≥

y

rs

ff

210db

A·.

·≥

Aplicando valores típicos de , es posible establecer la cuantía mínima de refuerzo exigida:

rf

yy

c

f41

f4f .·

'min ≥=ρ En unidades de MPa

yy

c

f14

ff

790 ≥='

.minρ En unidades de Kg/cm2

Espaciamiento

Siempre es necesario mantener una distancia mínima entre barras de refuerzo, a fin de garantizar el correcto llenado de los moldajes con el hormigón fresco y evitar la generación de nidos. El código (ACI 7.6) exige un espaciamiento entre barras de a lo menos una vez el diámetro de la barra, pero nunca menor que 25 mm.

mm25de b ≥≥

Recubrimiento: Para dar al acero una adecuada protección contra el fuego y la corrosión el código ACI-318 recomienda en su sección 7.7 un recubrimiento mínimo (rmin) de hormigón para las barras. Este recubrimiento se mide desde el borde exterior de la barra más externa, que por lo general corresponde a los estribos o zunchos.

r

dd

r



Hormigón Armado

Recubrimiento mínimo (rmin) [mm]

Hormigón colocado contra el suelo y permanentemente expuesto a él

70

Hormigón expuesto al suelo o al aire libre Barras Φ18 a Φ56 50 Barras Φ16 y menores 40 Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Losas, muros y viguetas

Barras Φ44 a Φ56 40 Barras Φ36 y menores 20 Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Vigas y columnas

Armadura principal, amarras, estribos y zunchos

40

Hormigón No expuesto al suelo ni al aire libre Cáscaras y placas plegadas

Barras Φ18 y mayores 20 Barras Φ16 y menores 15



Hormigón Armado

10 Vigas Rectangulares Doblemente Armadas Pueden existir situaciones en las cuales se hace necesario proporcionar armadura en ambas caras de la viga. Este es el caso, por ejemplo, de las vigas que por razones arquitectónicas son de poca altura, donde la resistencia a flexión obtenida utilizando la cuantía máxima de acero es insuficiente. Es posible entonces elevar el momento resistente colocando acero a compresión que cubra el déficit de altura (sección transformada). Otra justificación para el uso de acero en la cara de compresión corresponde al aumento de ductilidad que se proporciona al elemento estructural. Si hay acero a compresión, la profundidad del eje neutro disminuye, pues la fuerza interna de compresión se distribuye entre el acero y el hormigón, en consecuencia la falla de la cabeza de compresión se retrasa y por ende la curvatura última aumenta. También se utiliza acero a compresión para disminuir las deflexiones en las vigas bajo cargas de servicio. El acero a compresión reduce las deflexiones a largo plazo y reduce las curvaturas debido a la retracción del hormigón. Finalmente, la principal razón por la cual resulta recomendable utilizar vigas doblemente reforzadas corresponde a la posibilidad de que las cargas a las que esta sometido el elemento estructural se inviertan, cambiando el signo del momento flector, convirtiendo la cara comprimida en traccionada y viceversa. Ahora bien, en la evaluación de resistencia a la flexión de una sección, siempre es más conservador ignorar la presencia de acero a compresión, sin embargo, en ocasiones es necesario afinar el cálculo, por lo que se ha decido incluir esta sección. Considere la siguiente sección de una viga de hormigón armado utilizando la nomenclatura indicada:

As

As’ d’

d

εc

εs’

εs

a

As·fs

As’·fs’

b

0.85·fc’

En estado último se puede presentar las siguientes situaciones:



Hormigón Armado

a. Acero a tracción y compresión en fluencia ( )yss fff == ' Si la cuantía de acero en tracción es menor o igual a la cuantía balanceada es posible calcular la resistencia de una viga doblemente reforzada omitiendo la armadura en compresión, pues la resistencia será controlada por la fluencia del acero en tensión y en general el brazo del momento resistente se verá afectado por el refuerzo en compresión muy poco. En cambio si la cuantía de acero es mayor que la balanceada, es necesario realizar un análisis más profundo. Considere la sección previamente mostrada, pero ahora desglosada:

0.85·fc’ 0.85·fc’

As’·fy

As·fy

a

(As-As’)·fy

a

d-d’

As’·fy

= +As’·fy

(1) (2)

El momento resistente total corresponderá a la superposición de (1) y (2)

2n1nn MMM +=

( )'·'· ddfAM ys1n −=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

2adfAAM yss2n ··'

Esto es: ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−=

2adfAAddfAM yssysn ··''·'·

Dónde: ( )

bf850fAA

ac

yss

'··.·'−

=

Se puede demostrar que la cuantía balaceada de un sección doblemente armada es:

'ρρρ += bb Dónde bρ corresponde a la cuantía balanceada de la sección simplemente armada y

bdAs '' =ρ .



Hormigón Armado

Finalmente es aconsejable para garantizar una falla dúctil que la cuantía total MAXρ de la sección no supere el siguiente limite superior:

'. ρρρ += bMAX 750

b. Acero a tracción en fluencia, acero en compresión por debajo de la fluencia ( )ysys ffff <= ';

Este caso se puede presentar en vigas anchas de poca altura, vigas con recubrimiento de hormigón sobre el acero a compresión mayor que lo habitual o vigas con cantidades relativamente pequeñas de refuerzo a tensión. Se hace necesario entonces desarrollar un análisis más general, válido para el caso en que la armadura de compresión no fluya y determinar la cuantía de acero a tensión mínima para la cual el acero a compresión comienza a fluir. Imponiendo que ys εε =' , por compatibilidad geométrica (semejanza de triángulos) se puede encontrar la profundidad del eje neutro:

yc

c

dc

εεε−

='

'dcyc

c ⋅−

=εε

ε

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas:

ysysc fAfAbaf850 ·'··'··. =+ ysys1c fAfAbcf850 ·'···'··. =+β

Despejando As se tiene:

'···'·.

s1y

cs Abc

ff850

A += β

Reemplazando c:

''···'·.

syc

c1

y

cs Abd

ff850

A +⋅−

=εε

εβ

Al expresar la ecuación anterior en términos de cuantía (para vigas rectangulares):

'·''

··. ρεε

εβρ +

−⋅=

yc

c

y

c1cy d

dff

850



Hormigón Armado

Donde cyρ es la cuantía mínima de acero a tensión para que el acero a compresión comience a

fluir y en la condición última (falla) 0030c .=ε y Efyy =ε . Por otro lado si la cuantía de acero a tensión es menor que el mínimo anteriormente definido

cyρ , el acero a compresión no logrará alcanzar la tensión de fluencia, pues la profundidad del eje neutro será muy baja. En tal caso es necesario determinar la cuantía balanceada de acero a tracción de manera de garantizar una falla dúctil, esto es, que ys εε = cuando uc εε = Del diagrama de deformaciones:

''

dcsc

c ⋅−

=εε

ε y

'''

sy

ys ddc

εεεε

+

⋅+⋅=

Igualando ambas expresiones se tiene

'''

'' sy

ys

sc

c ddd

εεεε

εεε

+

⋅+⋅=⋅

−

''

''' sy

s

sy

y

sc

c dd

εεε

εεε

εεε

+⋅

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−

( ) ( )

( ) dd ssc

scysyc ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+''

'''

εεε

εεεεεε

( ) dd ssc

sycyscyc ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−+''

'''

εεε

εεεεεεεε

( )dd

yccs'' ⋅+−= εεεε

( )yuus dd εεεε +⋅−=

''

Por otro lado: '·' sss Ef ε=

Luego: ( ) yyuuss fddEf ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−= εεε '·'



Hormigón Armado

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas:

ysss1c fAfAbcf850 ·''···'··. =+β

Reemplazando el valor de c y despejando la cuantía de acero a tensión se obtiene:

y

sbb f

f ''⋅+= ρρρ

donde bρ es la cuantía de acero a tensión para la cual el acero a tensión comienza a fluir. El cumplimiento de estas condiciones ( bρρ < y cyρρ < ), indican que, si bien, el acero a tensión está fluyendo, el acero a compresión aún no alcanza su límite de fluencia. Finalmente, si:

cdcEf sus

'··' −= ε

Es posible obtener la profundidad del eje neutro (c) de la ecuación cuadrática que se obtiene al aplicar la condición de equilibrio de fuerzas:

yssus1c fAc

dcEAbcf850 ·'··'···'··. =−

+ εβ

De esta forma la resistencia de la viga queda determinada por:

( )''·'···'··. ddfA2adbaf850M sscn −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Donde ca 1 ·β=

c. Acero a tracción por debajo de la fluencia, acero en compresión en fluencia ( )ysys ffff '; =<

En forma análoga se puede demostrar que si bρρ > y cyρρ > , el acero a tensión no fluye pero el acero a compresión si fluye. Sin embargo, esta situación conduce a una falla frágil, pues el acero a tracción no alcanza su fluencia y la falla se provoca por un aplastamiento prematuro del hormigón, colapso que es brusco, repentino y obviamente indeseable.



Hormigón Armado

11 Vigas T En la mayoría de los edificios estructurados en hormigón armado, el hormigonado de las vigas se hace en conjunto con las losas. De esta forma, una parte de la losa va actuar en conjunto con la parte superior de la viga para resistir la compresión longitudinal, conformando una sección tipo T en vez de una rectangular. Según el código ACI-318 en su art. 8.10, se establece que el ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T (b) no debe exceder ¼ de la luz de la viga. Además el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:

a) 8 veces el espesor de la losa (hf) b) la mitad de la distancia libre al siguiente alma.

Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:

a) 1/12 de la luz de la viga b) 6 veces el espesor de la losa (hf). c) La mitad de la distancia libre al siguiente alma.

Para vigas T aisladas, en las cuales el ala se utiliza únicamente con el propósito de proporcionar un área adicional de compresión, el espesor del ala (hf) no debe ser menor que la mitad del ancho del alma (bw) y el ancho total del ala (b) no debe exceder 4 veces el del alma (bw).

hf

b b

bw bw

Si se estudia del comportamiento de las vigas T, es posible darse cuenta que según la ubicación del eje neutro deben hacerse dos análisis. En el primer caso, el eje neutro puede ubicarse en el ala. Si suponemos que la falla esta controlada por la fluencia del acero, entonces el comportamiento de la viga podría modelarse tal como una viga rectangular de ancho igual al ancho colaborante de las alas, esto es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

bf850fA

21dfAM

c

ysysn '··.

···



Hormigón Armado

Caso 1: EJE NEUTRO EN EL ALA (c < hf)

bw

b

hfc Eje neutro

d

El segundo caso corresponde a aquel en que el eje neutro se encuentra por debajo del ala, esto es, c > hf., en tal caso corresponde ver dos situaciones. Si la altura del bloque de compresión (a) resulta ser menor que el espesor del ala, el analisis es similar al realizado anteriormente, es decir, si:

fc

ss hbf850

fAa <=

'··.·

Entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

bf850fA

21dfAM

c

ysysn '··.

···

En caso contrario se debe proceder de la siguiente manera. Si consideramos que existe una falla dominada por la fluencia, conviene dividir adecuadamente la cabeza de compresión de la viga en una sección correspondiente a las alas (1) y otra al alma (2), tal como se indica en la figura: Caso 2: EJE NEUTRO EN EL ALMA (c > hf)

bw

b

c hf

Eje neutro

(2)(1)(1) a

d



Hormigón Armado

De igual manera, el área de acero a tensión se divide en dos parte:

( )sfsss AAAA −+= donde representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo fsfA y , equilibra a la fuerza de compresión longitudinal de la porción sobresaliente de las alas (1), y ( )sfs AA − representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo fy , equilibra a la fuerza de compresión longitudinal de la porción del alma (2). Por condiciones de equilibrio de fuerzas sabemos que: para las alas )·('··.· wfcysf bbhf850fA −= para el alma ( ) wcysfs baf850fAA ·'··.· =− De la ecuación para las alas es posible despejar el valor de : sfA

)·(·'

·. wfy

csf bbh

ff

850A −= .

Y el momento resistente aportado por esta porción es:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅=

2h

dfAM fysf1n

Por otro lado de la ecuación del alma es posible despeja el valor de la altura de la cabeza de compresión a :

( )wc

ysfs

bf850fAA

a'··.

·−=

Por lo tanto el momento resistente aportado por esta porción es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

2adfAAM ysfs1n

Por lo tanto el momento resistente nominal total queda:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=+=

2adfAA

2h

dfAMMM ysfsf

ysf2n1nn ··



Hormigón Armado

Finalmente, conviene mencionar que, si bien, la gran superficie de hormigón en compresión proporcionada por las alas logra desarrollar la fluencia, no esta demás precisar una forma de determinar el limite superior de armadura a fin de garantizar la fluencia. Del diagrama de deformaciones unitarias se obtiene:

yu

u

dc

εεε+

=

Según la condición de equilibrio de fuerzas horizontales:

( ) yswfcwc fAbbhf850baf850 ··'··.·'··. =−+ Reordenando:

( )wfy

cw

y

cs bbh

ff

850baff

850A −+= ··'

·.··'

·.

Expresado en forma de cuantía:

( )dbbbh

ff

850db

baff

850w

wf

y

c

w

w

y

cwb ·

··'

·.·

··'

·.−

+=ρ

( )

dbbbh

ff

850da

ff

850w

wf

y

c

y

cwb ·

··'

·.·'

·.−

+=ρ

fbwb ρρρ +=

Donde:

wbρ : cuantía balanceada de acero para vigas T

bρ : cuantía balanceada de acero para vigas rectangulares :

( )dbf

hbbf850

wy

fwcf ⋅⋅

⋅−=

'··.ρ

Se puede demostrar que es adecuado establecer como limite superior:

( )fbMaxw 750 ρρρ += ·. Respecto a la cuantía mínima se aplican las mismas restricción que a las vigas rectangulares.



Hormigón Armado

12 Referencias y Recomendaciones del Código ACI 318-02.

12.1 Límites de deformaciones Tal como se mencionó en capítulos previos, un buen diseño de vigas debe respetar los requisitos de seguridad y serviciabilidad. Con respecto a la serviciabilidad, el código ACI art.9.5 propone alturas o espesores mínimos (h) para vigas que no soporten o estén ligadas a elementos susceptibles de ser dañados por las deformaciones.

Si se calculan las deformaciones, aquellas que ocurran inmediatamente por la aplicación de la carga, deberán calcularse mediante métodos tradicionales para las deformaciones elásticas, considerando el efecto del agrietamiento y de las armaduras en la rigidez, esto es, considerando el momento de inercia efectivo (Ie), el cual puede calcularse según:



Hormigón Armado

cr

3

a

crg

3

a

cre I

MM

1IMM

I ··⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Dónde:

t

grcr y

IfM

·= : momento de fisuración

: momento máximo del elemento aM : momento de inercia de la sección bruta gI : momento de inercia de la sección fisurada crI : profundidad del centroide de la sección bruta ty : módulo e rotura del hormigón rf Las deformaciones a largo plazo, resultantes de la fluencia lenta y retracción del hormigón se calculan multiplicando la deformación inmediata por el factor:

'ρξλ501 +

=

Dónde 'ρ : cuantía a compresión en la mitad de la luz o apoyo de un voladizo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≥

=

meses301meses621meses1241años502

.

.

..

ξ

Todas estas deformaciones no deben exceder lo valores establecidos en la siguiente tabla:



Hormigón Armado

12.2 Prescripciones de Diseño Según ACI 318-02 Tal como se ha indicado en secciones previas, la resistencia nominal a flexión de un elemento de hormigón armado se alcanza cuando la fibra externa en compresión alcanza el limite de deformaciones asumido de 0.003. La ultima versión del código ACI contiene algunas innovaciones. En principio las secciones de los elementos sometidos a flexión se diferencian en tres tipos en función de las deformaciones unitarias netas del acero más traccionado tε :

εu = 0.003

εt

dt

Armadura más cercana a la superficie en tracción

c



Hormigón Armado

Secciones controladas por compresión: Esto ocurre cuando la deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero más traccionado es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003.

El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción de la armadura en condiciones de deformación unitaria balanceada (deformación de fluencia)), es decir, yt εε ≤ cuando 0030u .=ε . En tal caso, se esperará que el tipo de falla sea frágil, sin un claro aviso de falla inminente. Entonces es recomendable usar:

φ = 0.7 elementos con zunchos φ = 0.65 elementos con estribos

Para armaduras grado 420 se permite fijar el límite de deformaciones unitarias controladas por compresión en 0.002

Secciones controladas por tracción: Esto ocurre cuando la deformación unitaria

neta de tracción en el refuerzo de acero más traccionado es igual o mayor a 0.005, justo cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de deformación unitaria asumido de 0.003, es decir, 0050t .≥ε cuando 0030u .=ε , entonces se esperará que la falla se presente forma dúctil, con grandes deformaciones y agrietamiento que permita predecir el colapso. En tal caso es recomendable usar

φ = 0.9

Secciones no controladas ni por tracción ni compresión: Este caso se refiere

a si yt0050 εε ≤≤. cuando 0030u .=ε En estos casos el factor φ se debe interpolar linealmente , tomando como extremos los dos casos anteriores.

( )

( ) 700050

20

y

yt ..

.+

−

−⋅=

εεε

φ elementos con zunchos

( )( ) 650

0050250

y

yt ..

.+

−

−⋅=

εεε

φ elementos con estribos

Para efectos de diseño, el código propone que para elementos en flexión la deformación neta de tracción debe ser mayor a 0.004 ( 0040t .≥ε ) . Esta limitación tiene por objetivo restringir en forma indirecta la cuantía máxima de acero de refuerzo( b750 ρρ ·.< ). La cuantía mínima de acero corresponde a la ya indicada anteriormente:

yy

c

f41

f4f .·

'min ≥=ρ En unidades de MPa



Hormigón Armado


Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 3 Park, R & Pauly, “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 3 y 4 ICH “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 10.



Hormigón Armado

Capítulo 4 – Longitud de Desarrollo, Empalmes y Anclajes

14 Preámbulo Los ingenieros más antiguos recuerdan el tiempo en que se al elaborar elementos de hormigón armado se utilizaban barras de acero lisas. En aquel entonces se requerían disposiciones y detalles especiales en las armadura, a fin de evitar el deslizamiento de la barra dentro del hormigón, pues la adherencia era proporcionada únicamente por la unión química y la fricción entre el hormigón y el acero, ambas de resistencia muy baja. Era común entonces ver ganchos en los bordes, tales como lo que se muestran en la figura y que las vigas fueran analizadas como arcos atirantados, en que las barras de acero están

sometidas a una fuerza de tracción constante jdMT max= , donde jd corresponde al brazo del

momento interno generado por la resultante de compresión y tracción.

Afortunadamente las innovaciones introducidas en la producción de las barras de acero de refuerzo han logrado desarrollar una nueva generación de barras estriadas, las cuales logran una mejor adherencias de entre el acero y el hormigón gracias al efecto de trabazón que se logra debido a las rugosidades incorporadas a su superficie. Esto permite que la tensión sobre las barras se distribuya a lo largo de toda su longitud, en forma proporcional a la distribución de momentos y brazo jd, en cada punto. Esto ha traído consigo un uso más eficiente de las barras, reducción de deformaciones y generación de grietas y un incremento en las condiciones de seguridad.



Hormigón Armado

15 Esfuerzos de Adherencia Para hacer un análisis simple del comportamiento de los esfuerzos de adherencia generados sobre las carras de acero, considere un pequeño tramo de viga de longitud dx, tal como se indica en la figura (a). En el se puede observar que por el lado izquierdo se registran esfuerzo de compresión sobre el hormigón y de tracción sobre el acero cuyas resultantes son C y T, respectivamente. Mientras que por el lado derecho existen esfuerzos de compresión y tracción levemente distintos, por lo tanto sus resultantes diferirán de las registradas al lado izquierdo, por lo que adoptan el valor y , respectivamente. dCC + dTT + Ahora bien si se calcula el momento generado por estas resultantes a cada lado se obtiene que, por la izquierda:

jdTMizq ·= Mientras que por la derecha:

( ) jddTjdTjddTTMder ··· +=+= Luego si: dMMM izqder += Entonces: jddTdM ·= Por otra parte en la figura (b) se puede observar el segmento de acero embebido en el tramo de hormigón de la figura (a), donde u representa a los esfuerzos de adherencia por unidad de superficie en el tramo dx. Aplicando equilibrio sobre el conjunto de barras de acero del tramo se tiene que:

dTTdxuT O +=∑+ ·· Donde corresponde al perímetro total de las barras, entonces: O∑

dxjddM

dxdTu

OO ··· ∑=

∑=

Dado que:

VdxdM

=



Hormigón Armado

Se llega a:

OjdVu∑

=·

La ecuación anterior corresponde a la “ecuación de una sección elástica fisurada” para los esfuerzos de adherencia a flexión e indica que el esfuerzo de adherencia unitario ( )u es proporcional al corte ( en cada sección, es decir, es proporcional a la tasa de cambio del momento

)V( )dxdM .

El anterior análisis sólo considera al refuerzo sometido a tracción por flexión. En el caso de que el refuerzo se encuentre comprimido se ha logrado demostrar que los esfuerzos de adherencia a flexión son muy bajos. Como es de suponer el comportamiento real del hormigón armado no es tan perfecto como el indicado en el anterior modelo. En realidad el hormigón deja de resistir tensión únicamente en el punto donde se genera la grieta. En este lugar la tensiones máxima ( jdMT = ), entre las grietas, donde el hormigón esta intacto, este sigue resistiendo cantidades moderadas de tensión, resistencia que transmite a las barras a través de la adherencia, lo que en consecuencia reduce la tracción sobre el acero. Por otro lado, se ha logrado determinar que en los puntos adyacentes a las grietas, se generan grandes tensiones en la interfase hormigón armadura, lo que inevitablemente provoca un deslizamiento local de la armadura.

Finalmente cabe mencionar que en barras de acero sometidas a tensión es posible que ocurran dos tipos de falla por adherencia. La primera es aquella llamada falla por desprendimiento directo, la cual por lo general se presenta en vigas con barras de pequeño diámetro con recubrimientos y espaciamientos adecuados, pero que sin embargo falla debido a que los esfuerzos de adherencia generados por las estrías fracturan el hormigón inmediatamente adyacente a estas con el subsecuente deslizamiento de las barras, sin que el hormigón adyacente presente daño alguno.



Hormigón Armado

El otro tipo de falla es conocido como falla por fracturamiento. Este se manifiesta cuando el espaciamiento o recubrimiento es insuficiente para resistir la tensión lateral en el hormigón. En tal caso, se observan grietas paralelas a las barras. Este tipo de falla es el más común. En ambos casos (cuando se sobrepasa la resistencia de adherencia o la fractura se extiende a todo lo largo de la barra) se presenta una falla repentina y completa, vale decir, el colapso total de la viga. Luego resulta de vital importancia determinar la longitud de la barra necesaria para que la adherencia pueda resistir la tracción a la cual esta sometida y definir las condiciones de espaciamiento y recubrimiento de tal manera de evitar el fracturamiento.

16 Longitud de desarrollo La longitud de empotramiento de una barra necesaria para desarrollar toda la resistencia de adherencia o fracturamiento requerida debido a la tracción de la barra es conocida como longitud de desarrollo . Es decir, corresponde a la longitud extra que debe estar embebida un barra de acero mas allá del punto donde deja de ser necesaria para proporcionar la resistencia a flexión. Si un barra se extiende un distancia , mas allá del punto donde es requerida por el diseño a flexión, se puede garantizar que la falla que se presentará será por flexión o corte, pero no lo hará por adherencia.

( dl )

dll >

Los factores más importantes que afectan la longitud de desarrollo son:

• Resistencia a la tracción del acero ( )rf • Recubrimiento • Espaciamiento • Cuantía de refuerzo transversal (Estribos)

Además de otros tales como la ubicación vertical de las armaduras dentro del elemento de hormigón armado el uso de epóxicos para recubrir las barras, etc. Las disposiciones para la longitud de desarrollo de vigas en tensión establecidas por el Código ACI-318/2002 están contenidas en el capítulo 12.2. y estas se pueden resumir de la siguiente forma:

mm300d

dKcf

f109

b

b

trc

yd ≥

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ·····

'· λγβα

l

Donde los factores que se incluyen en esta formula se especifican en la siguiente tabla:

yf Tensión de fluencia especificada del acero. [MPa]

'cf

Resistencia característica a compresión del hormigón. [MPa]



Hormigón Armado

1.3 Si se hormigona más de 300 mm de hormigón fresco bajo la longitud de desarrollo α Factor de ubicación del acero

1.0 En otros casos

1.5

Barras revestidas con epóxico con recubrimientos menores a

o espaciamiento menor que

bd3

bd6

1.2 Todas las demás barras revestidas con epóxico

β Factor de revestimiento epóxico

1.0 Armadura no recubierta con epóxico

0.8 18φ o menores γ Factor por tamaño de armadura 1.0 22φ o mayores

1.3 Si se usa hormigón con agregado liviano

01ff

560ct

c .'

·. > Cuando se conoce ctfλ Factor por hormigón de agregado liviano

1.0 Si no se usa hormigón con agregado liviano

c

Menor valor entre el recubrimiento y la mitad del espaciamiento medidos desde los centros de la barra

[mm] ( )2erMin ;

trK

Índice de Armadura Transversal ns10

fA yttr

···

trA

Área total de toda la armadura transversal espaciada un distancia s y que cruza un potencial plano de falla.

[mm2]

ytf

Tensión de fluencia especificada de la armadura transversal (estribos).

[MPa]

s Espaciamiento máximo de la armadura transversal dentro de

medida desde los centros dl[mm]

n Numero de barras ancladas a lo largo del plano de falla.

ctf Resistencia a la tracción por hendimiento del hormigón con agregado liviano

[MPa]

bd

Diámetro de las barras de acero [mm]



Hormigón Armado

Además se incluyen las siguientes condiciones adicionales

52d

Kc01

b

tr .. <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +< y 7101 .·. << βα

El código, considerando la tipología tradicional de los elementos de hormigón armado y la experiencia práctica en ingeniería, también propone versiones simplificadas de la expresión para . dl

17 Ganchos Existen situaciones en las cuales no es posible proporcionar a las barras la longitud necesaria para desarrollar su adherencia, por ejemplo, por que el elemento es discontinuo. En estos casos se hace necesario doblar las barras y crear ganchos (en general de 90º o 180º) que proporcionen el anclaje necesario que compense la falta de la longitud de desarrollo. Las dimensiones y radios de doblado de estos ganchos están contenidas en el punto 7.1 del código ACI-318. Los ganchos ahí definidos son conocidos como ganchos estándar y su geometría puede observarse en la figura



Hormigón Armado

Las barras con gancho se resisten a ser extraídas debido a la acción conjunta de la adherencia a lo largo del tramo recto de de la barra y el anclaje provisto por el gancho. En general, con este tipo de detallamiento de las barras el tipo de falla observado corresponde a un fracturamiento del hormigón en el plano del gancho, el que se produce por las tensiones generadas en el hormigón debido al gancho. Estudios experimentales ha permitido establecer que estas tensiones se ven influidas por el diámetro de las barras y el radio de doblado, mientras que la resistencia al fracturamiento depende del recubrimiento de las barras. Dado que el código considera el aporte de la adherencia en el tramo recto y el anclaje del gancho, es necesario especificar longitudes de desarrollo para el tramo recto de la barra anterior al gancho. Esta longitud queda definida por el término , el cual queda definido en el punto 12.5.2 y 12.5.3 del código.

dhl

mm150d8df

f240 bb

c

ydh >>= ··

'···. λβl

Con:

⎩⎨⎧

=epóxicotnorecubrimiesin01epóxicotnorecubrimiecon21

.

.β

⎩⎨⎧

=normalhormigón01

livianoagregadoconhormigón31..

λ

yf : Tensión de fluencia del acero en [MPa]

'cf : Resistencia característica del hormigón en [MPa]

bd : diámetro de las barras en [mm] Ahora bien estas longitudes de desarrollo pueden corregirse mediante factores de reducción bajo las siguientes condiciones:

Condición Factor de reducción Barras ø36 y menores con recubrimiento lateral ≥ 60 mm 0.7 Ganchos de 90º con recubrimiento sobre el gancho 50 mm ≥ 0.7 Barras ø36 y menores con gancho de 90º confinados por amarras o estribos perpendiculares o paralelos a barra con espaciamiento en menor que dhl bd3

0.8

Barras ø36 y menores con gancho de 180º confinados por amarras o estribos perpendiculares a barra con espaciamiento en menor que dhl bd3

0.8

Cuando no se necesita específicamente anclaje o longitud de desarrollo para fy, y se dispone de mayor cuantía de refuerzo que la requerida. adoProporcions

RequeidasA

A



Hormigón Armado

18 Traslapes Como ya es sabido, las barras de refuerzo están comúnmente disponibles en longitudes de 6 m o 12 m, por lo cual en muchas ocasiones es necesario empalmar barras a fin de cubrir longitudes mayores. Esto se realiza por lo general (ø36 y menores) mediante el traslapo de las barras en el caso de las barras en tensión, y mediante uniones de tope en barras que van a estar sometidas solo a esfuerzos de compresión. Las barras traslapadas por lo general son atadas mediante alambres, con la única finalidad de mantenerla en su posición durante el hormigonado. Este traslapo se deben hacer siempre en secciones alejadas de los puntos de máximo esfuerzo (momento o tensión) y en forma escalonada (a lo menos 60 cm). Las barras mayores a ø36 sometidas a tensión no se deben traslapar. Antes de presentar los requisitos especificados por el código, conviene realizar algunos comentarios generales respecto al comportamiento de los empalmes:

• Un empalme de refuerzo nunca reproducirá el comportamiento de una barra continua. • El objetivo de las especificaciones contenidas en el código, es lograr una falla dúctil por

fluencia del refuerzo antes que una falla en la conexión. Las fallas en los empalmes son repentinas y peligrosas.

• Los traslapos fallan debido a la separación del hormigón alo largo de las barras. Si se

utilizan estribos o algún otro tipo de armadura de confinamiento, se reduce la posibilidad de ocurrencia de esta falla, por lo que se requiere de una menor longitud de traslape.

El código clasifica los empalmes a tracción en dos tipo según cumpla dos condiciones: Empalme clase A: La cuantía de acero proporcionada en el empale es el doble de la

necesaria en la sección; y además, menos de la mitad del acero de refuerzo se empalma en cualquier punto dentro de la longitud de traslape.

Empalme clase B Todos aquellos que no cumplan con al menos una de las 2 condiciones

preestablecidas.

Porcentaje de empalmada dentro de la longitud de traslape

sA

requeridos

adoproporcionsA

A50 % 100%

2≥ Clase A Clase B

2< Clase B Clase B



Hormigón Armado

Entonces para cada tipo de empalme la longitud de traslape será:

Traslape Clase A: mm30001 dtraslape ≥= ll ·.

Traslape Clase B: mm30031 dtraslape ≥= ll ·. Donde corresponde a la longitud de desarrollo, omitiendo la modificación por exceso de armadura.

dl

En el caso de empalmes a compresión el código recomienda utilizas longitudes de traslape:

mm300df070 bytraslape ≥= ··.l para MPa420fy ≤

( ) mm300d24f130 bytraslape ≥−= ··.l para MPa420fy > Si se utilizan hormigones con , entonces la longitud de traslape debe multiplicarse pos 1.33.

MPa20fc <'

Cuando se traslapan barras de diferente diámetro, la longitud de traslape debe ser mayor que la longitud de desarrollo de la barra mayor o la longitud de traslape de la barra menor. Se permite traslapar barras ø56 o ø44 con barras ø36 y menores.



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19 Recomendaciones especiales según ACI 318 – 2002



Hormigón Armado



Hormigón Armado

Las longitudes de desarrollo, ganchos y detalles de las armaduras transversales (estribos) se revisaran en capítulos posteriores junto al comportamiento frente a esfuerzos de corte.



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Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 5 ICH “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 12.



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Capítulo 5 – Corte

21 Preámbulo El análisis del comportamiento de elementos de hormigón armado frente a solicitaciones de corte es complicado, hasta el momento no ha sido posible desarrollar una teoría basada en la Mecánica Estructural, que represente de manera satisfactoria este fenómeno y sea lo suficientemente simple como para implementarla en diseño. Por esta razón, el desarrollo que se expondrá a continuación descansa fuertemente en resultados experimentales, que han permitido una comprensión satisfactoria del mecanismo resistente al esfuerzo de corte en elementos de hormigón armado. El tipo de falla asociada al corte en elementos sin refuerzo transversal es bastante súbita y frágil. Las vigas que fallan de esta forma presentan grietas diagonales, antes de que el acero logra alcanzar las tensiones de fluencia. Para evitar el colapso del elemento es de suma importancia diseñar adecuadamente la viga, proporcionándole refuerzos tipo estribos o zunchos para que controlen la generación de grietas diagonales y evite la falla prematura de la viga por corte antes de que se desarrolle su capacidad última a flexión. Es importante hacer notar que la falla de elementos de hormigón armado asociada al corte no corresponde exactamente a una superación por parte de los esfuerzos de cizalle de la resistencia del material, en general los esfuerzos de cizalle están muy por debajo de la resistencia de corte directo del hormigón. Sino más bien, corresponde a un fenómeno asociado a las tensiones principales generadas por la combinación de las esfuerzos de corte y tensiones por flexión, es por eso que resulta más adecuado hablas de Falla por Tensión Diagonal.



Hormigón Armado

Del análisis realizado por mecánica de materiales se sabe que en vigas elásticas y homogéneas las tensiones provocadas por flexión y corte pueden ser calculadas mediante las ecuaciones de Navier y Jouraski respectivamente

IyMf ⋅

= bISVv

⋅⋅

=

Donde

f : Esfuerzo de flexión actuando a una distancia “y” medida desde el eje neutro. M : Momento flector externo en la sección. I : Momento de inercia de la sección c/r al eje neutro. V : Fuerza de corte externa. S : Momento estático c/r al eje neutro de una porción de la sección transversal

ubicada entre una línea que pasa por el punto en cuestión, paralela al eje neutro, y la cara más cercana de la viga (superior o inferior)

b : Ancho de la viga en determinado punto.

Además, si se le aísla un tramo infinitesimal de longitud “dx” , es posible definir la siguiente distribución de esfuerzos

Flexión Corte

M h Vh

f

v

dxdx

Si se considera un elemento infinitesimal cuadrado ubicado dentro del elemento se puede observar que las caras estarán sometidos a una combinación de esfuerzos flectores y cortantes, tal como se indica en la figura. Es posible combinar los seis esfuerzos que actúan sobre el elemento de manera de formar un par de esfuerzos inclinados a compresión (t2), y un par de esfuerzos inclinados a tensión (t1) ortogonales entre si.



Hormigón Armado

ff

v

vv

v

t2 t1

t1

t2

α=

Estos esfuerzos reciben el nombre de “esfuerzos principales” cuyo módulo esta dado por:

22

v4f

2ft +±=

Y su ángulo de inclinación queda definido por:

( )fv22 =αtan

ótese que en caso de que el elemento de volumen se encuentre sobre eje neutro f = 0, luego:

y

N

vt ±= º45=α

omo las magnitudes particulares de los esfuerzos “v” y “f” varían con la localización de la

el análisis anterior se puede concluir que los esfuerzos de tensión (que causan agrietamiento

Csección y la distancia del eje neutro, se observa que los esfuerzos principales “t” también varían en cuanto a dirección y magnitud tal como se indica en la figura expuesta a continuación, donde se indican las trayectorias de los esfuerzos principales de tracción y de compresión.

Den vigas de hormigón) no solo provienen de los esfuerzos horizontales de flexión pura, sino que existen esfuerzos de tensión con varias inclinaciones provenientes de la combinación de cortante y flexión. De esta forma se concluye que los esfuerzos de tensión inclinados (llamados también esfuerzos de tensión diagonal) deben siempre ser considerados para el correcto diseño de elementos de hormigón armado, y cada vez que estos superen el módulo de rotura del hormigón ( )ft > se estará en presencia de un grieta por tensión diagonal.

r1



Hormigón Armado

22 Vigas sin refuerzo transversal Consideremos una viga de hormigón armado, a la cual se aumenta la carga gradualmente. En primera instancia se formarán grietas de tensión donde los esfuerzos de tensión son máximos, por lo general, en las fibras extremas en las zonas de máximo momento flector. Si la viga esta bien diseñada, el acero de refuerzo proporcionará la resistencia requerida contra la tensión por flexión, pudiendo soportar la viga mayores cargas. Al seguir aumentando la carga, se comenzarán a generar esfuerzos significativos de tensión diagonal debido al aumento de los esfuerzos internos de flexión y corte en las zonas no fisuradas. En las zonas de máximo esfuerzo cortante, ubicadas usualmente cerca de los apoyos, las tensiones diagonales alcanzarán más tempranamente la resistencia a tracción del hormigón propiciando la generación de grietas perpendiculares a las tensiones diagonales (grietas diagonales).

De acuerdo con la configuración, las condiciones de a poyo y la distribución de carga, una sección determinada de viga puede estar bajo el efecto combinado de momento y corte. Por lo general se da que un momento flector muy pequeño suele coincidir con un corte bastante grande, o al revés, un momento flector muy grande coincide con un corte pequeño. En el primer caso, zonas de corte grandes y momentos flectores pequeños, se generan muy pocas grietas por flexión antes de la formación de la primera grieta diagonal (figura a). El esfuerzo cortante promedio antes de la formación de grietas es:

dbVv⋅

=

Mientras que las tensiones por flexión es posible considerarlas f = 0, luego

vv4f

2ft 2

2

±=+±= y ( ) ºtan 45fv22 =⇒∞→= αα



Hormigón Armado

Lo que explica la presencia de grietas diagonales de cortante en el alma. De diversos ensayos experimentales se determinó que en zonas de V grande y M pequeño las primeras grietas de tensión diagonal se generaban para un esfuerzo cortante promedio igual a la resistencia tracción directa, esto es:

'. ccr f30v ⋅= En unidades de MPa.

'. ccr f950v ⋅= En unidades de Kg/cm2.

Luego la primera grieta se formara para una fuerza de corte

( ) dbf30V ccr ··'. ⋅= En unidades de MPa.

( ) dbf950v ccr ··'. ⋅= En unidades de Kg/cm2.

En el segundo caso, zonas de corte pequeño y momentos flectores grandes, aparecen primeramente una serie de grietas a flexión, sin embargo estas se encuentran bien controladas en su ancho, longitud y distribución debido al acero de refuerzo a flexión. Cuando el esfuerzo de tensión diagonal, en la parte superior de una grieta a flexión, excede la resistencia a tensión del concreto, la grieta comienza a inclinarse diagonalmente y continúa abriéndose y alargándose (figura b). No se ha encontrado un método basado en la mecánica de sólidos para calcular el nivel de tensiones que desencadena este fenómeno, pero en base a resultado empíricos se han llegado a determinar que esto ocurre cuando:

'ccr f71v ⋅= En unidades de MPa.

'. ccr f450v ⋅= En unidades de Kg/cm2. Luego la grieta de flexión comenzaría a inclinarse y convertirse en una grieta de cortante y flexión para una fuerza de corte

dbf71V ccr ··' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= En unidades de MPa.

( ) dbf450V ccr ··'. ⋅= En unidades de Kg/cm2. De las ecuaciones presentadas anteriormente puede deducirse que ante la presencia de grandes momentos flectores, la fuerza cortante necesaria para generar grietas de diagonales puede reducirse hasta casi la mitad de la fuerza registrada para el caso de momentos flectores muy pequeños. Por lo tanto es posible afirmar que la resistencia a tensión diagonal de un elemento de hormigón armado depende en gran medida de la relación entre el corte y el momento. A partir de esta hipótesis y gracias a un gran numero de ensayos se ha logrado establecer una relación que describa la resistencia de corte del hormigón sin refuerzo transversal, la cual ha sido incluida en el capítulo 11.3.2.1 del código ACI 318:



Hormigón Armado

dbf30dbM

dV120

71f

71V c

u

uwccr ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ρ En unidades de MPa.

dbf930dbM

dV175f50V c

u

uwccr ··'.··

···'·. ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ρ En unidades de Kg/cm2.

Dónde 1M

dV

u

u ≤·

Esta expresión depende de la resistencia a tracción del hormigón, la cuantía de acero a longitudinal en tensión ( )wρ y la relación entre los momentos flectores y fuerzas de corte solicitantes en la viga ( )uu MdV · . Considere una porción de viga cargada arbitrariamente, donde se ha formado una grieta de tensión diagonal:

En ella es posible apreciar las fuerzas de los diferentes mecanismos resistentes transversales:

czV : Resistencia al corte del hormigón no agrietado (Cabeza de compresión).

iyV : Resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados

dV : Resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto “tarugo” o “dovela” Se debe hacer notar que a mediada que crece la grieta el efecto de trabazón de los agregados va disminuyendo ( )0Viy → , y algo similar ocurre con el efecto tarugo, pues el acero fluye, se

dobla y el recubrimiento se desprende ( )0Vd → , de esta forma el mecanismo resistente ve cada vez más ligado a la resistencia al corte del hormigón no agrietado ( y puesto que la resistencia a agrietarse ha quedado definida anteriormente como , la resistencia la corte de una viga sin refuerzo transversal queda definida por la expresión:

)czc VV →

crV



Hormigón Armado

dbf30dbM

dV120

71f

71V c

u

uwcc ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝


Donde de alguna manera están contenidos los efectos asociados a la resistencia al corte del hormigón no agrietado ( , la resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados

)czV( )iyV y la resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto tarugo ( ) . dV

22.1 Efecto de la carga axial En las sección anterior se estudiaron vigas sometidas solamente a esfuerzos de corte y flexión. Por diversas razones, las vigas de hormigón armado podrían estar sometidas también a cargas axiales (tracción o compresión) que actúan en forma simultanea con el corte y la flexión1. El principal efecto de la carga axial es modificar la carga que produce el agrietamiento por tensión diagonal. Anteriormente se demostró que el agrietamiento por tensión diagonal ocurre cuando el esfuerzo principal de tensión (generado por la combinación de flexión y corte) supera el módulo de rotura del hormigón. Es lógico, entonces, pensar que la introducción de carga longitudinal modificará la magnitud y dirección de los esfuerzos principales y, por ende, puede alterar de forma significativa el valor de la carga última de agrietamiento diagonal. La compresión aumentara la resistencia del elemento (tenderá a mantener cerrada la grieta) mientras que la tracción irá en desmedro de la resistencia (propiciará la apertura temprana de la grieta). Para elementos sometidos a flexión, corte y además carga axial es posible modificar la expresión propuesta para , en base al análisis expuesto a continuación. cV Suponga una sección de viga de hormigón armado sometida solo a cargas de Momento y Corte.

T=As·fs

V C

jdd

M V h

Por equilibrio de momentos se debería cumplir: MjdfA ss =··

Luego la tensión sobre el acero sería: jdA

Mfs

s ·=

1 ATENCION: No se hace referencia al caso de hormigón pretensado. Para este tipo de elementos existe una teoría y base empírica propia que difiere a la que se expondrá a continuación.



Hormigón Armado

Suponga, ahora, una sección de viga de hormigón armado sometida solo a cargas Axial (Aplicada en el eje), Momento y Corte.

T=As·fs

V C

jdd

M V h/2

N

h/2

Por equilibrio de momentos se debería cumplir: ( ) MdjdNjdfA 2

hss =+−+ ···

Luego la tensión sobre el acero sería: jdA

djdNMfs

2h

s ·)·( +−−

=

Si se sabe que usualmente 87j ≈ , entonces:

jdANMf

s

8d

2h

s ·)·( −−

=

Esta última expresión es muy similar a la obtenida para una viga sin carga axial, salvo que en

lugar de utilizar el termino M en el numerador, se utiliza el término 8

dh4NM )(· −− .

Basado en este análisis el código ACI 318 (11.3.2.2), recomienda utilizar la misma expresión propuesta anteriormente:

dbf30dbM

dV120

71f

71V c

u

uwcc ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝


Pero corregida por:

8dh4NMM uum

)(· −−=

Sin limitar que u

u

MdV ·

sea menor que 1, pero asegurando que:

g

ucc A

N301dbf30V .···'. +⋅≤ En unidades de MPa

Donde el término g

u

AN

debe estar en unidades de MPa



Hormigón Armado

Ahora bien, si 08

dh4NMM uum <−

−=)(·

se debe utilizar la expresión g

ucc A

N301dbf30V .···'. +⋅=

Alternativamente el código propone una expresión más simple (ACI 11.3.1.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A14

N1db

6f

V·

··'

En unidades de MPa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A140

N1dbf530V

···'·. En unidades de Kg/cm2

El análisis y ecuaciones antes expuestas solo son válidas para cargas axiales de compresión. En el caso de cargas de tracción el código propone calcular el aporte a la resistencia del hormigón no agrietado mediante:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A

N301db

6f

V ·.··'

En unidades de MPa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A35

N1dbf530V

···'·. En unidades de Kg/cm2

Donde , para cargas de tracción. 0Nu <



Hormigón Armado

23 Vigas con refuerzo al corte Un adecuado diseño siempre exige privilegiar la ocurrencia de fallas dúctiles, que permitan prever el inminente colapso de la estructura, por sobre fallas súbitas y explosivas, que no proporcionen un margen de seguridad ante el colapso. Este último tipo de falla (frágil) es característico de elementos estructurales que han alcanzado su capacidad máxima de corte en forma prematura, antes de presentar una falla por flexión (fluencia del acero longitudinal). En consecuencia si el hormigón y la armadura longitudinal no logra proporcionar la resistencia necesaria de manera que se presente una falla por flexión antes que la falla por tensión diagonal, es necesario reforzar el alma de la viga mediante armadura transversal (estribos) que suplan el déficit de resistencia. Este refuerzo se suministra principalmente a través de estribos verticales, espaciados a intervalos variables o constantes a lo largo del eje de la viga, según se requiera. La nomenclatura utilizada por lo general es del tipo: Eφ 8@20cm ; lo que se significa que se deben dispones estribos de 8 mm de diámetro espaciados 20 cm entre si.

Se ha llegado a determinar que ante la inexistencia de grietas diagonales, la presencia de los estribos no altera de forma alguna el comportamiento mecánico de una viga.

135º6 db

bd

6 db

135º

b6 d b6 d b6 d

135º 135º 90º

ganchosísmico

estribosísmico

lazosimple

horquillas lazodoble (2 pz)

estribo sísmico

horquilla

Una vez que aparecen las grietas diagonales, los estribos aportan al resistencia al corte de los elementos de hormigón armado de 4 maneras distintas:

• Las barras de los estribos que atraviesan la grieta, resisten en tracción parte de la fuerza cortante.

• Los estribos restringen el crecimiento de las grietas y su penetración en la zona

comprimida del hormigón. Esto conserva una mayor área de hormigón no fisurado para resistir la acción combinada de esfuerzos de compresión y cortante.

• Los estribos restringen el ensanchamiento de las grietas, aumentando los mecanismo de

resistencia por trabazón de los agregados.

• Los estribos restringen el fracturamiento del hormigón a lo largo del refuerzo longitudinal y proveen soporte a las mismas, lo que mejora el mecanismo de resistencia por efecto tarugo de la armadura longitudinal



Hormigón Armado

Considerando lo anterior, resulta obvio que la falla ocurrirá cuando el acero de la armadura transversal entre en fluencia, pues además de agotarse la resistencia de los estribos, se producirá un ensanchamiento de las grietas. El comportamiento mecánico de las vigas con posterioridad a la formación de las grietas diagonales no es un fenómeno simple de analizar, pues depende en gran medida de la configuración particular de cada grieta, proceso que es absolutamente aleatorio. Luego, el diseño implementado para el corte esta basado fuertemente en resultados empíricos y la experiencia de diseños exitosos. A continuación considere un tramo de viga agrietado diagonalmente y reforzado con estribos verticales, tal como el mostrado en la figura:

En el se indican las fuerzas que aportan la resistencia necesaria para evitar el colapso por corte de la viga:

czV : Resistencia al corte del hormigón no agrietado (Cabeza de compresión).

iV : Resistencia al corte debido al efecto de trabazón de los agregados

dV : Resistencia al corte de la armadura longitudinal por efecto “tarugo” o “dovela”

vv fA · : Resistencia al corte de cada una de las barras de refuerzo transversal que atraviesan la grieta diagonal

vA correspondería al área transversal de los dos brazos de cada estribo que atraviesan la

grieta, y sería la tensión en el acero de los estribos. Entonces si n estribos cruzan la grieta el aporte total del refuerzo transversal sería

vf

vvs fAnV ··= . Entonces la resistencia al corte de una sección armada con estribos verticales será:

sdiczn VVVVV +++= Puesto que el refuerzo transversal no afecta la resistencia al corte de una viga no agrietada, la magnitud de la fuerza cortante que genera el agrietamiento por tensión diagonal es el mismo que el de una viga sin armadura transversal, es decir:



Hormigón Armado

dbf30dbM

dV120

71f

71VV c

u

uwcccz ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== ρ En unidades de MPa.

O en alguna de sus formas corregidas por carga axial. Por otro lado, a causa del ensanchamiento de las grietas los términos asociados a la trabazón de los agregados ( y efecto tarugo )iV ( )dV pierden importancia, por lo tanto, la resistencia nominal al corte de una sección armada con estribos verticales será:

scn VVV += Dónde corresponde a aporte a la resistencia del hormigón que se calcula según lo indicado en el punto 2 de este capítulo; y corresponde al aporte a la resistencia de los estribos, que en condición de fluencia es:

cV

sV

yvs fAnV ··=

Ahora bien, si la grieta diagonal se supone con ángulo aproximado de 45º, es posible afirmar que la proyección horizontal de la grieta es igual a la altura efectiva de la viga (d). por lo tanto en numero de estribos que cruzaran a la grieta queda determinado por la razón entre la altura efectiva de la viga y espaciamiento de los estribos ( )s

dn = , luego:

sdfA

V yvs

⋅⋅=

24 Disposiciones de diseño para refuerzo al corte El código de diseño ACI-318/2002 propone una serie de disposiciones que rigen el diseño al corte. Como es tradicional, la ecuación básica de diseño es de la forma:

nu VV ·φ≤ Donde:

750.=φ : Factor de reducción de resistencia al corte (ACI 9.3.2.3)

scn VVV += : Resistencia nominal al corte

uV : Fuerza última de corte mayorado



Hormigón Armado

Luego:

( )scu VVV +≤ ·φ

sdfA

VV yvcu

⋅⋅+≤ ·· φφ

Si se sabe que el aporte a la resistencia del hormigón ( )cV puede ser calculado de la siguiente forma:

• En el caso de que exista sólo corte y flexión:

dbf30dbM

dV120

71f

71V c

u

uwcc ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝


Dónde 1M

dV

u

u ≤·

O bien en forma simplificada:

db6f

V cc ··

'= En unidades de MPa.

• En el caso de que exista corte, flexión y compresión:

Se debe utilizar la ecuación anterior pero corregida por:

8dh4NMM uum

)(· −−=

Sin limitar que u

u

MdV ·

sea menor que 1, pero asegurando que:

g

ucc A

N301dbf30V .···'. +⋅≤ En unidades de MPa


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A14

N1db

6f

V·

··'

En unidades de MPa



Hormigón Armado

• En el caso de que exista corte, flexión y tracción:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A

N301db

6f

V ·.··'

En unidades de MPa

Donde , para cargas de tracción. 0Nu < En diseño la práctica tradicional es, una vez calculado , mediante cualquiera de las formas anteriores, escoger algún tipo de barra para elaborar los estribos (en general

cV6φ , 8φ o 10φ ) y

calcular el espaciamiento requerido para cumplir con la ecuación:

( )scu VVV +≤ ·φ Esto es

sdfA

VV yvcu

⋅⋅+≤ ·· φφ

sdfA

VV yvcu

⋅⋅≤− ·· φφ

cu

yv

VVdfA

s·

·φ

φ−

⋅⋅≤

Dónde se exige que , o bien MPa420fy ≤ MPa560fy ≤ si se utilizan mallas electrosoldadas. El código también impone limitaciones al espaciamiento entre estribos, lo que puede ser resumido de la siguiente forma:

⎩⎨⎧

≤mm6002

ds si dbf

31V cs ⋅⋅⋅< '

⎩⎨⎧

≤mm3004

ds si dbf

31V cs ⋅⋅⋅≥ '

Es conveniente destacar, que la práctica chilena recomienda usar espaciamientos máximos de 200mm Por otro lado el código exige una cantidad mínima de refuerzo de corte, a fin de proporcionar ductilidad al elemento y evitar las fallas repentinas:

yycv f

sb350fsbf06250A ··.··'.min ≥= En unidades de MPa



Hormigón Armado

Expresado en forma de espaciamiento

b350fA

fb06250

fAs yv

c

yv

·.·

'··.

·≤≤ En unidades de MPa y mm

Esto se de cumplir siempre que uc VV21

≤⋅⋅φ , en caso contrario no es necesario.

En la practica chilena la armadura mínima es Eφ 8@20cm. Finalmente el código hace una última especificación referida a la resistencia máxima del acero transversal, que busca evitar fallas por compresión diagonal, debido al exceso de armadura.

dbf32V cs ⋅⋅⋅≤ ' En unidades de MPa

25 Consideraciones especiales para vigas altas Existe un gran número de elementos estructurales tipo viga cuya altura en relación a su luz libre es considerable, en este tipo de elementos la hipótesis usual de que las secciones planas antes de la flexión, permanecen iguales después de esta no se cumple, lo cual ha sido corroborado mediante experimentos y análisis por medio de elementos finitos. De hecho, como consecuencia de los altos esfuerzos cortantes, se presenta un alabeo significativo de la sección transversal y por lo tanto , los esfuerzos de flexión no se distribuyen linealmente ni siquiera en el intervalo elástico. Este es el caso de elementos tales como vigas son: vigas de acoplamiento de muros, segmentos horizontales en muros con aberturas, vigas de fundación, etc. No obstante, a partir de ensayos experimentales se ha demostrado que la resistencia a flexión puede predecirse con suficiente precisión utilizando los mismos métodos empleados para vigas de dimensiones normales. Sin embargo, la resistencia a la tensión diagonal puede ser del orden de 2 o 3 veces mayor que la determinada por medio de las ecuaciones de diseño para vigas normales. Como ya se ha mencionado anteriormente, el mecanismo resistente al corte de la vigas esta asociado a la transferencia directa en la zona de compresión, trabazón de los agregados, efecto tarugo de la armadura longitudinal y la tensión directa del acero transversal. Sin embargo para vigas de gran altura, un aparte significativa de la carga se transfiere en forma directa como compresión desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos a través de los puntales diagonales que se generan entre las grietas, el cual se equilibra con la tensión del refuerzo principal que actúa como tirante, tal como se indica en la figura, lo que en consecuencia exige un detallamiento especial en los bordes, por lo general ganchos.



Hormigón Armado

Por otro lado, es usual distribuir barras en toda la altura de la viga (armadura de repartición). Si además se considera que a causa de la orientación de los esfuerzos principales en vigas altas, el agrietamiento diagonal generalmente tendrá ángulos mayores a 45º, el rol que cumple la armadura de repartición horizontal se vuelve fundamental, tanto o más importante que los estribos verticales actuando en realidad como una malla, en que las barra longitudinales además de resistir por efecto tarugo lo hace en tensión directa.

S

S

El código define como vigas altas aquellos elementos en los cuales su altura efectiva se mayor a un cuarto de su luz libre ( , o bien, en el caso que se aplique una carga puntual a una distancia menor al doble de su altura desde el apoyo y que estén cargadas en una de sus caras y apoyadas en la otra de manera de formar puntales de compresión.

)d4n ≤l

La normativa exige que la vigas altas sean diseñadas considerando análisis no lineal. Alternativamente, la última versión del código incluye en su apéndice A un método de análisis basado en el modelo puntal tensor, sobre el cual se hablará más adelante. Según el código ACI 318-2002 se deben tomar en cuenta las siguientes disposiciones para el cálculo de la resistencia al corte de vigas altas:

• Resistencia nominal: dbf65V wcn ⋅⋅⋅≤ '

• Armadura transversal de corte: sb00250Av ··.≥

• Espaciamiento de armadura transversal: cm305

ds ≤≤

• Armadura longitudinal de corte: 2vh sb00150A ··.≥

• Espaciamiento de armadura longitudinal de corte: cm305

ds2 ≤≤



Hormigón Armado

26 Modelo Puntal-Tensor Como ya se ha mencionado anteriormente en vigas altas, el mecanismo resistente al corte esta asociado al traspaso de una parte significativa de la carga en forma de compresión directa desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos a través de los puntales diagonales que se generan entre las grietas, el cual se equilibra con la tensión del refuerzo principal que actúa como tirante, tal como se indica en la figura. Basados en esto la última versión del código ha incluido un apéndice donde se expone una metodología de diseño basada en este principio, conocido como Modelo Puntal Tensor. En este modelo las cargas concentradas están sostenidas por dos puntales de compresión que van desde el punto de aplicación de la carga al apoyo. El empuje hacia fuera en la parte inferior de los puntales es equilibrado por un tensor adecuadamente anclado. La zona de intersección entre dos puntales o entre un puntal y un tensor, se conoce como nudo. El modelo puede fallar entonces por tres razones:

• Aplastamiento del hormigón de en los puntales. • Aplastamiento del hormigón en los nudos. • Fluencia del acero del tensor.

Como resulta natural, se preferirá la ocurrencia de una falla por fluencia del acero por sobre una falla por aplastamiento (ductilidad), luego la viga se deberá dimensionar de forma adecuada para alcanzar este propósito. En la práctica el diseño por este método consiste en definir una configuración de puntales y tensores compatible y verificar la resistencia a la compresión en los puntales, la resistencia a la compresión en los nudos y la resistencia a la tracción en s el tensor, cada uno por separado. Basados en la práctica habitual y resultados experimentales, el código establece como restricción para la geometría y formas de calcular la resistencia de cada miembro. Dado que este método de diseño no es incorporado con toda propiedad al código no se profundizará más en él. Para mayor información ir al Apéndice A del código ACI 318-2002 y a los capítulos 4.8 y 4.9.c. del libro “Diseño de Estructuras de Concreto” de Nilson.



Hormigón Armado

27 Detallamiento de Armaduras



Hormigón Armado



Hormigón Armado

Existen también detallamientos especiales para el caso sísmico, los que son presentados a continuación:



Hormigón Armado


Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 4 ICH “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 11.



Hormigón Armado

Capítulo 6 – Flexocompresión

29 Preámbulo Las columnas son elementos estructurales verticales diseñados para resistir principalmente las cargas gravitacional, por lo cual que trabaja generalmente en compresión, sin embargo, también actúan sobre ellas cargas laterales, tales como solicitaciones de viento o sismo lo que provoca momentos flectores en ella. Es necesario entonces diseñar estos elementos de tal forma que sean capaces de resistir la acción conjunta de los esfuerzo de compresión y flexión simultáneamente (flexocompresión). Es posible identificar tres tipos de columnas según su distribución de sus armaduras longitudinales y transversales, estas son:

• Columnas rectangulares con barras longitudinales y estribos. • Columnas circulares con barras longitudinales y zunchos espirales. • Columnas con refuerzos longitudinales consistentes en perfiles de acero.

Se recomienda que la cuantía total de armadura longitudinal en una columna ( )gρ , no sea inferior a 0.01, pues de esta forma se garantiza que la resistencia necesaria para los momentos flectores no tenidos en cuenta en el análisis estructural y reducir los efectos de fluencia lenta y retracción del hormigón bajo compresión sostenida; por otro lado también se recomienda no superar la cuantía 0.08, pues además de ser antieconómicas, pueden provocar excesiva congestión de armaduras.

080AA

010g

stg .. ≤=≤ ρ

donde: stA : Área total de acero longitudinal

gA : Área bruta de hormigón. Por otro lado, es posible clasificar las columnas según su esbeltez λ .



Hormigón Armado

A

Kr

KΙ

==ll ··λ

En el caso de columnas cortas la resistencia depende de la calidad de los materiales y la geometría de la sección transversal. En columnas esbeltas además de los factores anteriores se debe tomar en consideración reducciones de resistencia debido a inestabilidad lateral (pandeo) Para marcos arriostrados contra el desplazamiento lateral, si

21

MM1234 −≤λ es posible

considerar la columna como corta Para marcos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, si 22≤λ es posible considerar la columna como corta Estudios del ACI y el ASCE han demostrado que alrededor de un 90% de las columnas arriostradas y un 40% de las no arriostradas pueden ser consideradas y por ende diseñadas como columnas cortas. Por esta razón, se analizara en profundad el comportamiento de este tipo de elementos estructurales y sólo a modo de breve reseña nos referiremos a las columnas esbeltas, dejando en manos del estudiante la responsabilidad de estudiar y conocer el comportamiento de estas últimas.

30 Columnas cortas bajo cargas centradas en su eje El comportamiento de elementos cortos cargados axialmente se estudio en capítulo 2 de esta asignatura, se retomará este tema a fin de repasar y profundizar en otros aspectos. Como se mencionó previamente, para el caso de cargas bajas es común que los materiales permanezcan dentro de su rango elástico. Bajo dichas condiciones es posible analizar el elemento de hormigón armado, aplicando los conocimientos básicos de mecánica de sólidos y verificar el comportamiento de las secciones mediante el análisis de una sección transformadas, considerando , donde cs fnf ⋅=

CS

EEn = .



Hormigón Armado

En esta condición la compresión es absorbida por la columna bajo la siguiente forma:

( )[ ]stgc A1nAfP ·−+= Bajo la situación de carga última ( 0030c .= )ε , la resistencia de la columna queda determinada por la acción conjunta del hormigón y el acero que ya ha alcanzado la fluencia para dicho nivel de deformaciones. Se ha determinado experimentalmente que la resistencia del hormigón en una columna cargada axialmente es ' . Luego, la resistencia nominal en compresión será:

· cf85.0

ε

Acero

HormigóP

Ast·fy

0.85fc’·(Ag – Ast)

( ) yststgcn fAAAf850P ·'··. +−=

Y como ya es sabido, el diseño buscara cumplir con:

nu PP ·φ≤ El código ACI 318-2002 indica que: 650.=φ : columnas con estribos 700.=φ : columnas con zunchos espirales El valor de 700.=φ para columnas con zunchos es mayor, pues experimentalmente se ha comprobado que los zunchos proveen mayor confinamiento y por consiguiente mayor capacidad de desarrollar ductilidad. Además los valores de φ son menores que los valores para flexión en vigas ( 900.=φ ), pues este tipo de falla es dominado en general por la fluencia del acero (falla por tensión); además, estructuralmente las columnas tienen mayor importancia que las vigas desde el punto de vista del colapso. Si una viga colapsa, esta falla sólo afectará una región limitada de la estructura, mientras que la falla en una columna puede comprometer la seguridad global del sistema.



Hormigón Armado

El código establece además un límite superior en la capacidad de carga axial de una columna para reflejar excentricidades accidentales no considerados en el análisis estructural

( )( )[ ]stystgcn AfAAf850850P ⋅+−⋅⋅⋅⋅= '..max φφ Elementos con zunchos 700.=φ

( )( )[ ]stystgcn AfAAf850800P ⋅+−⋅⋅⋅⋅= '..max φφ Elementos con estribos 650.=φ

30.1 Armadura de Refuerzo El código incluye algunas recomendaciones respecto a la disposición de armaduras en una columna (ACI 10.9.). Se exige un mínimo de barras longitudinales según el tipo de columna:

Columnas rectangulares o circulare rodeadas por estribos: 4 barras Columnas triangulares rodeadas por estribos: 3 barras Columnas circulare rodeadas por zunchos: 6 barras

Además en columnas rectangulares las barras longitudinales no deben estar espaciadas más de 15 cm. En lo que respecta a armadura transversal, esta cumple una triple función.

• Ayudar a resistir los esfuerzos de corte solicitantes. • Lograr que las barras longitudinales mantengan su posición durante el hormigonado. • Evitar el pandeo de barras longitudinales esbeltas sometidas a altos esfuerzos

En el caso de zunchos el código exige una cuantía volumétrica mínima:

y

c

c

gs f

f1

AA

450'

··. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ρ

Donde hormigóndenúcleodelVolumen

ltransversaacerosdeVolumens =ρ

=gA área bruta de hormigón

=cA área del núcleo de de hormigón rodeado por los zunchos Además, el código (ACI 7.10.4) recomienda utilizar para los zunchos diámetros de barras 10φ o superiores con un espaciamiento entres espiras s mayor o igual que 25 mm y menor o igual de 80 mm . ( )mm80smm25 ≤≤



Hormigón Armado

En el caso de estribos, el código (ACI 7.10.5) recomienda utilizar barras de diámetros:

10φ o superiores para amarrar barras longitudinales de diámetro menor o igual a 32φ 12φ o superiores para amarrar barras longitudinales de diámetro mayor o igual a 36φ

El espaciamiento debe cumplir siempre con:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

columnaladedimensiónmenor

d16

d48

s longb

estribob

··

.

Un detallamiento deficiente de las armaduras transversales de una columna confinada con estribos puede redundar en una falla por pandeo del acero longitudinal entre estribos. Si las armaduras son adecuadas la falla se generará por aplastamiento del hormigón del núcleo, pero a mayores niveles de deformación (mayor ductilidad).



Hormigón Armado

31 Columnas cortas bajo cargas excéntricas

31.1 Flexión uniaxial Resulta raro encontrar en estructuras reales elementos verticales sometidos únicamente a compresión, por lo general las columnas además de estar cargadas en la línea de su eje, deben resistir cargas laterales debido a los efectos , por ejemplo, propio de los sismos o el viento, pues han sido construidas en forma monolítica con el resto de la estructura, lo que generan esfuerzos de flexión. Este momento flector es por lo general representado a través de un excentricidad de

la carga vertical., esto es, conocidos y , uP uMu

uP

Me = .

Pu

Mu

= e

Pu

e

Pu

Si la carga de compresión es muy alta con respecto al momento, la excentricidad resultante es pequeña, y en este caso, por lo general se presenta una falla por aplastamiento del hormigón y fluencia del acero a compresión. Por el contrario, si la carga de compresión es muy pequeña con respecto al momento, la excentricidad resultante es grande, generando esfuerzos de tensión que pueden llegar a alcanzar la fluencia, con la consiguiente falla por fluencia del acero a tensión. Es deseable entonces que este tipo de elementos estructurales cumplan en forma satisfactoria los requerimientos asociados a la compresión y la flexión simultáneamente, esto es:

nu PP ·φ<

nu MM ·φ<



Hormigón Armado

Como una primera aproximación al estudio de este fenómeno considere un columna rectangular, con armadura concentrada en las caras y dispuesta en forma simétrica2.

e

b Pn

h/2

d’ AS AS’

DIAGRAMA DE DEFORM. UNITARIAS

DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS

c εs

εs’ εu

fs

fs’

0.85fc’

β1 c

d

h/2

Pn

2 Debido a la alta recurrencia de movimientos sísmicos en Chile, se recomienda armar

las columnas en forma simétrica a fin de responde en forma similar en ambos sentidos frente a cargas reversibles.



Hormigón Armado

A partir del diagrama de esfuerzos internos podemos obtener las siguientes ecuaciones para la resistencia : Por equilibrio entre fuerzas:

ssss1cn fAfAbcf850P ·''···'··. −+= β Por equilibrio de momentos con respecto al centroide:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850ePM ssss

11cnn ··''·'·

····'··.·

ββ

Para una excentricidad dada ( uu PMe )= , es posible resolver las ecuaciones antes presentadas, expresando y en términos de la profundidad del eje neutro (c) mediante compatibilidad de deformaciones bajo la situación de deformación última del hormigón

sf 'sf

( )0030u .=ε .

'sε

sε

uε

ysusus fEc

cdfc

cd≤

−=→

−= ··· εεε

ysusus fEc

dcfc

dc≤

−=→

−= ·'·''·' εεε

hac1 ≤=·βd’

c

d

Con esto en las ecuaciones

sussus1cn Ec

cdAEc

dcAbcf850P ····'·'···'··. −−

−+= εεβ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

2hdE

ccdAd

2hE

cdcA

2c

2hbcf850ePM sussus

11cnn ····'··'·'·

····'··.· εε

ββ

Las únicas incógnitas, dado e, As y As’, serían c y , pudiéndose resolver el sistema de manera de satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones. Sin embargo, esto en la práctica resulta muy complejo algebraicamente, más aún si se exige que

nP

ha < , y . ys ff < ys ff <'



Hormigón Armado

Lo que se realiza realmente es, variando el valor de c, obtener una serie de valores para y , de manera de obtener, para diferentes excentricidades

nP

nM ( )∞≤≤ nn PM0 , las resistencias nominales a compresión y flexión de la columna. Esto definirá una zona segura diseño dentro de la cual deberían encontrarse todas las combinaciones uu MP − , tal que el elemento estructural no falle, esto es, nu PP ·φ< y nu MM ·φ< simultáneamente. La figura resultante de esta operación es conocida como diagrama de interacción.

M

1

11 P

Me =

2

22 P

Me =

3

33 P

Me =

nn PM −

nu

nu

PPMM

>

>Zona de Falla

nu

nu

PPMM

<

<

Zona Segura

P

e1< e2< e3

• Falla balanceada Tal como se ha hecho en capítulos anteriores, en este caso también es posible definir la falla balanceada de un elemento sometido a flexocompresión, esto es la situación de carga bajo la cual el acero en tensión fluye en el mismo instante en que el hormigón alcanza su deformación última.

'sε

yε

uεysys ff =→= εε

ysusus fEc

dcfc

dc≤

−=→

−= ·'·'·' εεε

bcc =d’

cb

d



Hormigón Armado

Por compatibilidad de deformaciones:

dccdc yu

ub

b

y

b

u ·εε

εεε+

=→−

=

Si además, se asume que el acero en compresión también está en fluencia3 ( )ys ff =' , es posible calcular la compresión y momento balanceado:

ysysb1cb fAfAbcf850P ·'···'··. −+= β

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysys

1b1cb ··'·'·

····'··.

ββ

Y en consecuencia la excentricidad balanceada corresponderá a b

bb P

Me =

A diferencia de las vigas, en las columnas no es posible limitar el diseño de tal manera que el acero alcance la fluencia antes que el hormigón alcance su deformación última, lo que se hace entonces es establecer requerimientos de seguridad especiales y diferentes para columnas que fallen por fluencia del acero en tensión frente a aquellas cuya falla sea atribuida a la compresión del hormigón.

• Falla por tensión Si, para una situación de carga determinada , eso significará que la resistencia nominal a compresión . En dicha situación

bee >

bn PP < bcc < , luego ys εε > , entonces . Se estará entonces en presencia de una falla dominada por tensión.

ys ff =

• Falla por compresión Si, para una situación de carga determinada bee < , eso significará que la resistencia nominal a compresión . En dicha situación , luego bn PP > bcc > ys εε < , entonces . Se estará entonces en presencia de una falla dominada por compresión.

ys ff <

3 Si para la determinación de Pb y Mb se asumió que el acero a compresión fluye, se debe verificar que en caso contrario, se debe utilizar ys'· εε ≥ ysss fEf <= '·' ε



Hormigón Armado

• Diagrama de interacción Como se mencionó anteriormente una forma de representar de manera resumida el comportamiento de una columna es mediante la utilización de diagramas de interacción, tal como el que se muestra en la siguiente figura:

M

1e

( )bb PM ;

0e =

∞=e

be

2eFalla por Tensión (eb<e2)

Falla por Compresión

(e1<eb)

P

El punto asociado a la falla balanceada ( )bb PM ; , define la excentricidad balanceada eb. Todos aquellos puntos de la curva ubicados por sobre dicha línea, tendrán una excentricidad e<eb y presentarán una falla dominada por el aplastamiento prematuro del hormigón (Falla por compresión). Los puntos de la curva ubicados por debajo de dicha línea, tendrán una excentricidad e>eb y presentarán una falla dominada por la fluencia del acero previo a la falla por aplastamiento del hormigón (Falla por Tensión).

Dado que se conoce la curva asociada a las resistencias nominales sólo resta minorarlas de forma adecuada mediante los factores φ definidos por el código los cuales varían dependiendo del tipo de falla.

En el caso de columnas rectangulares con armadura simétrica, confinadas por estribos con [ ]2

y cmkg4200f /≤ , el código establece en su punto 9.3.2 lo siguiente:

• Falla por Tensión ( )t0050 ε<. 9.0=φ

• Falla Combinada ( )00500020 t .. << ε t·83.0067.1 εφ −=

• Falla por Compresión ( )0020t .<ε 65.0=φ



Hormigón Armado

Alternativamente también se permite (ACI Apéndice B) determinar φ a partir del valor de , siempre y cuando se cumpla con:

nP

• Armadura longitudinal simétrica

• Confinadas por estribos

• [ ]2y cmkg4200f /≤

• 70h

dd .'≥

−

Y estableciendo como límite superior 0n P800P ·.max = . En tal caso, si se define

90fA10P cg .'··.* = , entonces:

• Falla por Tensión ( )*PPn < 900.=φ

• Falla Combinada ( )bn PPP <<* ( )nb

PPPP

650900900 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= ** ·...φ

• Falla por Compresión ( )nb PP < 650.=φ

Finalmente el diagrama de interacción reducido adoptará la siguiente forma:

P

( )bb PM ;

be

Falla por Compresión

(e1<eb)

Falla por Tensión (eb<e2)

0M

90.=φ

)( nPφφ =

650.=φ

0P

0n P80P ·.·· max φφ =

M



Hormigón Armado

• Ejemplo Verificar si la columna indicada en la figura es capaz de resistir las siguientes condiciones de carga:

Mu [Kg-m] Pu [Kg] Combo 1 14.3 50.3 Combo 2 10.6 25.1 Combo 3 5.6 114.6

40 cm

40 cm

Hormigón: H-25

Acero: A63-42H

Recubrimiento 2.5 cm

Armadura longitudinal: 188φ

Armadura transversal: 208E @φ

Desarrollo:

1. Datos: Hormigón: fc’ = 200 kg/cm2

Acero: fy’ = 4200 kg/cm2

Es = 2.1x106 kg/cm2

Geometría h = 40 cm

d = 37.5 cm

d’ = 2.5 cm

b = 40 cm

Armadura por cara 183φ

As = 7.64 cm2

As’ = 7.64 cm2



Hormigón Armado

2. Diagrama de Interacción: Para dibujar el diagrama de interacción de esta columna es necesario obtener a lo menos seis de sus puntos.

a) Falla balanceada ( )bb PM ; b) Falla por flexión pura ( )0M0 ; c) Falla por compresión pura ( )0P0; d) Falla por tracción pura ( )0T0; e) Falla a compresión ( )11 PM ; f) Falla a tensión ( )22 PM ;

a) Falla balanceada ( )bb PM ; : Para el caso de falla balanceada se sabe que:

0030u .=ε 2

ys cmkg4200ff /== Entonces

cm52253710x12

420000300030d

Ef

dc6

s

yu

u

yu

ub ..·

...·· =

+=

+=

+=

ε

εεε

ε

Además:

00270522

525220030c

dcdcc b

bus

b

s

b

u ..

...'

''

'=

−=

−=→

−= εε

εε

y6

sss f56000027010x12Ef >=⋅== ..'·' ε

Por lo tanto se puede asegurar que el acero en compresión alcanzó la fluencia, en tal caso:

ysysb1cb fAfAbcf850P ·'···'··. −+= β Kg1300504200647420064740522850200850Pb =⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅= .....



Hormigón Armado

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysys

1b1cb ··'·'·

····'··.

ββ

( ) ( ) mKg824804205374200647522042006472

5228502040522850200850Mb

·..·..·.

.·....

=−⋅+−⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅⋅=

De esta forma la falla balanceada queda definida por:

mT824Mb ·.= T130Pb = cm0819eb .=

b) Falla por flexión pura ( )0M0 ; : Para el caso de falla por flexión pura, la falla es dominada por tensión. Se sabe entonces que:

0030u .=ε 2

ys cmkg4200ff /==

c52c6300

c52c003010x12

cdcEEf 6

ussss....'·'·' −

⋅=−

⋅⋅=−

== εε

Además por definición:

0fAfAbcf850P ysss1cn =−+= ·''···'··. β

Luego, es posible despejar el valor de c:

0fAfAbcf850 ysss1c =−+ ·''···'··. β

04200647c

52c630064740c850200850 =⋅−−

⋅+⋅⋅⋅⋅ ..·...

032088c

52c48132c5780 =−−

⋅+⋅.

( ) 0c3208852c48132c5780 2 =−−⋅+⋅ ·.

0120330c16044c5780 2 =−−⋅ ·

cm1576c .=



Hormigón Armado

2s cmKg93741

c52c6300f /..' =

−⋅=

Reemplazando c y fs’ en la expresión de : nM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysss

11cn ··''·'·

····'··.

ββ

( ) ( 2053742006475220937416472

157685020401576850200850Mn

−⋅⋅+−⋅⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅=

.....

.....

)

mKg616804MM 0n ·.==

De esta forma la falla por flexión pura queda definida por:

mT816M0 ·.= T0Pn =

∞=e

c) Falla por compresión pura ( )0P0; : Para el caso de falla por compresión pura la resistencia corresponde al caso de columnas sometidas a compresión uniaxial sobre su eje, esto es

( ) yststgc0 fAAAf850P ·'··. +−=

( ) Kg3540504200362036204040200850P0 =⋅+−⋅⋅⋅= ... De esta forma la falla por compresión pura queda definida por:

mT0Mn ·= T354P0 =

0e =

d) Falla por tracción pura ( )0T0; : Para el caso de falla por tracción pura la resistencia corresponde al caso de columnas sometidas a tensión axial. En este caso quien resiste la tracción es el acero de refuerzo longitudinal, esto es

yst0 fAT ·−=

Kg8551242003620T0 −=⋅−= .



Hormigón Armado

De esta forma la falla por compresión pura queda definida por:

mT0Mn ·= T585T0 .−=

0e =

e) Falla a compresión ( )11 PM ; : En este caso se analizará lo que ocurre para una compresión , tal que 1P 01b PPP << . Para la columna que se está analizando

T354PT130 1 << Por ejemplo escogeremos T200P1 =

En este caso se sabe que el acero a compresión está fluyendo, pues para la condición balanceada ya había alcanzado la fluencia ( )ys ff =' . Sin embargo, el acero a tracción

por definición no debería fluir aún ( )ys ff < .

cc5376300

cc537003010x12

ccdEEf 6

ussss−

⋅=−

⋅⋅=−

==....·· εε

Si la resistencia a compresión debe cumplir con:

200000fAfAbcf850P ssys1c1 =−+= ·'···'··. β

Luego, es posible despejar el valor de c:

200000fAfAbcf850 ssys1c =−+ ·'···'··. β

200000c

c5376300647420064740c850200850 =−

⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅.....

200000c

c5374813232088c5780 =−

⋅−+⋅.

( ) c200000c53748132c32088c5780 2 ⋅=−⋅−⋅+⋅ .

01804950c119780c5780 2 =−⋅−⋅

cm84730c .=



Hormigón Armado

2s cmKg761117

cc5376300f /..

=−

⋅=

Reemplazando c y fs en la expresión de : nM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ssys

11c1 ··'·'·

····'··.

ββ

( ) ( 20537761117647522042006472

84730850204084730850200850M1

−⋅⋅+−⋅⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅=

.....

.....

)

mKg19394M1 ·=

De esta forma la falla por compresión queda definida por:

mT419M1 ·.= T200P1 = cm709e1 .=

Es posible obtener un mayor numero de puntos utilizando la misma metodología, lo que redundará en un diagrama de interacción que represente con mayor exactitud el comportamiento de la columna en el tramo de falla por compresión

f) Falla a tensión ( )22 PM ; : En este caso se analizará lo que ocurre para una compresión , tal que 2P b2 PP0 << . Para la columna que se está analizando

T130P0 2 << Por ejemplo escogeremos T70P2 = . En este caso se sabe, por definición, que el acero a tracción debe fluir ( )ys ff = , pero no es posible asegurar que el acero a compresión está fluyendo. De forma preliminar, se puede suponer que el acero en compresión fluye ( )ys ff =' y luego verificar esta hipótesis

Si la resistencia a compresión debe cumplir con:

70000fAfAbcf850P ysys1c2 =−+= ·'···'··. β



Hormigón Armado

Es posible despejar el valor de c:

70000fAfAbcf850 ysys1c =−+ ·'···'··. β

700004200647420064740c850200850 =⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅ ....

70000c5780 =⋅

cm1112c .=

yussss f49991112

5211126300c

dcEEf >=−

⋅=−

==.

..'·'·' εε

Verificándose la hipótesis sobre la fluencia del refuerzo en compresión. Reemplazando c en la expresión de : nM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysys

11c2 ··'·'·

····'··.

ββ

( ) ( 205374200647522042006472

111285020401112850200850M2

−⋅⋅+−⋅⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅=

....

.....

)

mKg21627M2 ·=

De esta forma la falla por tensión queda definida por:

mT621M2 ·.= T70P2 = cm8630e2 .=

Es posible obtener un mayor numero de puntos utilizando la misma metodología, lo que redundará en un diagrama de interacción que represente con mayor exactitud el comportamiento de la columna en el tramo de falla por tensión.

-128-


Hormigón Armado

Resumiendo los puntos obtenidos son:

Tipo de Falla Mn

[T·m] Pn

[T] e

[cm]

Tracción pura 0.0 -85.5 0.00

Flexión Pura 16.8 0.0 ∞

Tensión 21.6 70.0 30.86

Balanceada 24.8 130.0 19.08

Compresión 19.4 200.0 9.70

Compresión Pura 0.0 354.0 0.00

Dibujando el diagrama de interacción:

Diagrama de Interacción

0; -85.5

16.8; 0

21.6; 70

24.8; 130

19.4; 200

0; 354

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30

Mn [T·m]

P n

[T]

Mn;Pn

Desde el punto de vista del diseño, este diagrama representa la resistencia nominal de la columna. Esta debe ser minorada por los factores de reducción de la resistencia dados por el código ACI 318/2002 y además cumplir con las condiciones de máxima resistencia a la compresión, vale decir, dado que la armadura longitudinal es simétrica, la columna se encuentra confinada por estribos, [ ]2

y cmkg4200f /≤ y

7087540

52537h

dd ....'≥=

−=

−, entonces:

• Para la falla por compresión ( )nb PP < usar 650.=φ



Hormigón Armado

• Para la falla por tensión ( )bn PP < pero T63590fA10P cg

n ..'··.

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛> usar

( )nb

PPPP

650900900 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= ** ·...φ

• Para la falla por tensión, cuando T6.359.0'f·A·1.0P cg

n =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛< usar 90.0=φ

Además se debe establecer como límite superior . T184354·80.0·65.0P·80.0P 0maxn === φφ

Tipo de Falla Mn

[T·m] Pn

[T] φ nMφ

[T·m] nPφ

[T]

Tracción pura 0.0 -85.5 0.90 0.0 -77.0

Flexión Pura 16.8 0.0 0.90 15.1 0.0

Tensión 21.6 70.0 0.81 17.5 56.7

Balanceada 24.8 130.0 0.65 16.12 84.5

Compresión 19.4 200.0 0.65 12.61 130

Compresión Pura 0.0 354.0 0.65 0.0 230.1

Por lo tanto el diagrama de interacción reducida queda de la siguiente forma

Diagrama de Interacción Reducido

Combo 1Combo2

Combo 3

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30

Mn [T·m]

P n

[T]

D. InteracciónD. Inteacción ReducidoLímite SuperiorMu-Pu

Es posible observar que todas las combinaciones de carga última están dentro de la “zona de seguridad”, por lo que se puede asegurar que la columna es capaz de resistir estas cargas.



Hormigón Armado

• Diagrama de interacción Con refuerzo distribuido Para el caso de excentricidades pequeñas y con el fin de proporcionar un adecuado confinamiento al hormigón del núcleo, es práctica frecuente distribuir la armadura longitudinal en todo el perímetro de la columna.

En estos casos el procedimiento para calcular el diagrama de interacción es muy similar. Sólo se debe tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones entre barras que en este caso se ubicaran a diferentes distancias del eje neutro, por lo tanto, su deformación unitaria variará y por consiguiente también sus tensiones, es más, en las barras más cercanas al eje neutro en muchos casos estas no alcanzarán la tensión de fluencia.

• Detallamiento de armaduras Armadura longitudinal: Las disposiciones establecidas por el código para las armaduras longitudinales de columnas son muy similares a las establecidas para barras en compresión de vigas (ACI 12.16). Esto es:

• La cuantía de armadura longitudinal ρ , debe cumplir con 060010 g .. ≤≤ ρ (ACI 21.4). • Los traslapes se permiten solo dentro de la mitad central de la columna. • Longitud de traslape (en unidades de MPa):

mm300d·f·07.0 bytraslape ≥=l Para hormigón H-25 y mayores mm300d·f·09.0 bytraslape ≥=l Para hormigón H-20 y menores

• Cuando se tralapan barras de diferente diámetro, la longitud de traslape debe ser mayor

que la longitud de desarrollo de la barra de mayor diámetro o la longitud de traslape de la barra de menor diámetro

Pero también se establecen algunos requerimientos especiales (ACI 12.17):

• Cuando la columna se encuentra traccionada y la carga axial genera tensiones sobre las barras , los traslapes de tracción deben ser clase B ( ), si más de la mitad de las barras se traslapan en cualquier sección, en caso contrario pueden ser clase A ( )

ys f50f ·.≤ dtraslape 31 ll ·.=

dtraslape 01 ll ·.=

• Cuando la columna se encuentra traccionada y la carga axial genera tensiones sobre las barras , los traslapes de tracción deben ser clase B ( ). ys f50f ·.≥ dtraslape 31 ll ·.=



Hormigón Armado

Armadura transversal: El diseño de columnas para resistir los esfuerzos de corte (tensiones diagonales) tiene la misma metodología que el diseño al corte de vigas bajas. Es decir, la resistencia nominal al corte es provista por el hormigón (considerando el efecto de la carga axial) y el acero de refuerzo (estribos o zunchos).

( )scu VVV +≤ ·φ

sdfA

VV yvcu

⋅⋅+≤ ·· φφ

Como ya se sabe las fórmulas empíricas de diseño son las siguientes:

Columna en compresión:

dbf30dbM

dV120

71f

71V c

m

uwcc ··'.··

····'· ⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝


Dónde 8

dh4NMM uum)(· −

−=


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A14

N1db

6f

V·

··'

En unidades de MPa

Columna en tracción:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

g

ucc A

N301db

6f

V ·.··'

En unidades de MPa

Donde , para cargas de tracción. 0Nu <


0Vc =

-132-


Hormigón Armado

Además se exige que las armaduras transversales cumplan con 21.4.4 y 21.4.5. para el caso sísmico, esto es:



Hormigón Armado



Hormigón Armado

31.2 Flexión biaxial El método descrito anteriormente es adecuado para el análisis y diseño de columnas rectangulares que presentan compresión y flexión en torno a solo uno de sus ejes principales, sin embargo, existe un buen numero de columnas que presentan flexión en ambos ejes simultáneamente, esto es, la carga de compresión presenta un excentricidad en dirección x e y según se observa en la figura. El caso (a) mostrado en la figura corresponde a un columna sometida a flexocompresión en torno a su eje Y-Y, y su comportamiento queda representado en el grafico (d) por la curva Mny v/s Pn (a la derecha), para las diferentes excentricidades ex. El caso (b) mostrado en la figura corresponde a un columna sometida a flexocompresión en torno a su eje X-X, y su comportamiento queda representado en el grafico (d) por la curva Mnx v/s Pn(a la izquierda), para las diferentes excentricidades ey. El caso (c) correspondería a una combinación de ambas situaciones y debería quedar representado por una curva definida entre ambos planos., esta tendría asociada una excentricidad ex y ey, donde el ángulo λ la desviación de la excentricidad respecto al eje Y queda claramente representado en el diagrama de interacción:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nx

ny

y

x

MM

Arctgee

Arctgλ

Ahora bien, esta carga de compresión aplicada con excentricidades ex y ey, deberán ser resistidas por la sección de la columna, originándose sobre ella una cabeza de compresión, representada por la sección achurada de la figura (c). Esta sección achurada esta limitada por los bordes de la sección y un eje neutro ubicado a una profundidad c, con un ángulo θ de desviación respecto al eje Y-Y, esta cabeza de compresión debería satisfacer las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos simultáneamente. El problema radica en que el ángulo θ , no tiene por que ser perpendicular a λ , agregando una nueva variable a nuestras expresiones para Pn y Mn. Entonces si deseáramos hacer extensiva la metodología aplicada para una columna sometida a flexocompresión simple, ya no bastaría hacer un “barrido” para diferentes valores de la profundidad del eje neutro c, sino que para cada uno de esos c, se debería hacer un segundo “barrido” para diferentes valores de “θ ”, a fin de obtener una nube de puntos, que definirán una superficie tridimensional de falla. Evidentemente este método resulta excesivamente complejo, más aún si no se dispone de herramientas computacionales. Es por ello que diferentes investigadores han propuestos modelos alternativos aproximados que permiten una verificación de la resistencia biaxial de una columna de manera menos compleja.



Hormigón Armado

• Método de la superposición Una primera tentación para un ingeniero de poca experiencia sería analizar cada dirección por separado. Esto es definir una armadura en función de la carga Pu aplicada con una única excentricidad ex y luego repetir el proceso aplicando la carga con una excentricidad ey y finalmente sumar las armaduras requeridas en ambas direcciones. Pero resultados experimentales han demostrado que esta metodología puede redundar en resistencia bastante menores que las supuestas, lo que conduciría en errores por el lado de la INSEGURIDAD. Esto hace que no sea recomendable la aplicación de este método. No obstante esto, existen códigos de diseño que permiten el uso de esté método pero con modificaciones y restricciones (Ver código Venezolano. Ver investigaciones de F. Morán).

• Método del contorno de carga Otro investigador que ha hecho grandes aportes en esta línea es Boris Bresler, el ha propuesto un método, conocido como contorno de carga, que busca establecer una ecuación que defina la curva Mnx – Mny para un nivel de carga de compresión determinado (Ver figura pagina anterior. Plano con Pn constante). La forma general de estas curvas puede aproximarse mediante la ecuación

1MM

MM

21

0ny

ny

0nx

nx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

Donde

1α , 2α : parámetros que depende de las dimensiones de la columna, materiales cuantía y disposición de las barras de refuerzo

ynnx ePM ·=

xnny ePM ·=

nx0nx MM = : para flexión solo en dirección x, esto es 0e0M xny =→=

ny0ny MM = : para flexión solo en dirección y, esto es 0e0M ynx =→=

Para efectos prácticos Bresler recomienda utilizar 55115121 .~.== αα , para columnas rectangulares, siendo los valores más bajos los más conservadores. Entonces en si se tiene una columna sometida a flexión biaxial se debería cumplir que:

1MM

MM

0ny

uy

0nx

ux ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

φφ



Hormigón Armado

Donde: 551151 .~.=α

yuux ePM ·=

xuuy ePM ·=

0nxMφ = resistencia a flexocompresión cuando . 0e0M xny =→=

0nyMφ = resistencia a flexocompresión cuando 0e0M ynx =→=

• Método de la carga inversa Otro método bastante simple desarrollado por Bresler corresponde el método conocido como “Método de la carga inversa”. Este método se basa en la construcción de un gráfico para cada columna, en que se represente la resistencia a compresión de la columna Pn en función de las diferentes excentricidades, esto

es n

nyx P

Me = y n

nxy P

Me = , definiéndose de esta forma una superficie de falla para la

columna, tal como se muestra en la figura (a). Ahora bien, también es posible dibujar una

superficie equivalente a partir de nP

1 versus n

nyx P

Me = y n

nxy P

Me = , tal como se indica

en la figura (b). Cualquier punto ubicado por sobre esta curva cóncava, representará una compresión mediante

uP1 y estará en la zona de seguridad. Por lo tanto, si se logra definir un

plano por sobre esta superficie cóncava, se obtiene una superficie de falla aproximada, que define una zona de seguridad más conservadora y por lo tanto, cualquier punto ubicado por sobre este plano, también estará por sobre la superficie de falla real.



Hormigón Armado

Esta superficie de falla aproximada puede definirse entonces mediante la ecuación:

00ny0nxaproxn P1

P1

P1

P1

−+=

Por lo tanto, para asegurar la resistencia de la columna bajo flexión biaxial, se debe cumplir:

00ny0nxaproxnu P1

P1

P1

P1

P1

φφφφ−+=≥

Y siempre se deberá cumplir 0aproxn0 P10PP80 ··.··.· φφφ ≥≥ . donde

y

0nx0nx e

MP

φφ = = resistencia a flexocompresión cuando 0e0M xny =→= .

x

0ny0ny e

MP

φφ = = resistencia a flexocompresión cuando 0e0M ynx =→= .

0Pφ = resistencia a compresión axial ( )0ee yx ==



Hormigón Armado

• Ejemplo: Verificar la siguiente columna rectangular a flexocompresión biaxial por el método de Contorno de Carga y Carga Inversa.

40 cm

X

Y P=40 Tex = 50 cm

ey = 20 cm 20 cm

2 φ 32 2 φ 32

Desarrollo:

1. Datos: Hormigón: fc’ = 250 kg/cm2

Acero: fy’ = 4200 kg/cm2

Es = 2.1x106 kg/cm2

Geometría h = 40 cm

b = 20 cm

Armadura por cara 322φ As = 16.09 cm2

As’ = 16.09 cm2

2. Método del contorno de carga: Considerando la compresión última a la que esta sometida la columna y sus excentricidades es posible calcular los momentos y : uxM uyM

T40Pu =

Tm82040ePM yuux =⋅=⋅= .

Tm205040ePM xuuy =⋅=⋅= .



Hormigón Armado

• Determinación de Mnx0 En primer término se determinará la falla balanceada a fin de definir el modo de falla de la columna y los factores de minoración φ adecuados:

Y

X

40 cm

ey 20 cm

P=40 T2 φ 32 2 φ 32

Para el caso de falla balanceada se sabe que:

0030u .=ε

2ys cmkg4200ff /==

Entonces

cm51051710x12

420000300030d

Ef

dc6

s

yu

u

yu

ub ..·

...·· =

+=

+=

+=

ε

εεε

ε


00230510

525100030c

dc

b

bus .

....

'' =

−⋅=

−= εε

y6

sss f48300023010x12Ef >=⋅== ..'·' ε

Se puede asegurar entonces que el acero en compresión alcanzó la fluencia, luego:

ysysb1cb fAfAbcf850P ·'···'··. −+= β Kg7586240510850250850Pb =⋅⋅⋅⋅= ...



Hormigón Armado

Por otro lado el límite inferior definido por:

Kg20000fA10P cg == '··.· *φ .

Entonces dado que (si consideramos el caso más desfavorable

T349PPPT20 bu .·· * =<<= φφ).650=φ , se debe calcular el factor de minoración φ mediante la ecuación:

( )nb

PPPP

650900900 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= ** ·...φ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= φφ 40

9020

8759020

250900 .·..

..

Despejando: 760.=φ

Entonces para nuestra carga última, por equilibrio de fuerzas, suponiendo : ys ff ='

nu PP ⋅= φ

( )ysys1cu fAfAbcf850P ·'···'··. −+⋅= βφ

( )40c85025085076040000 ··.··.. ⋅=

cm287c .=

Por lo tanto

0020287

522870030c

dcus .

....'' =

−=

−= εε

y6

sss f4166002010x12Ef ≈=⋅== ..'·' ε

Lo que satisface la hipótesis inicial.



Hormigón Armado

Finalmente la resistencia a flexión sería:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysys

11c0nx ··'·'·

····'··.

ββ

( ) ( 10517420009165210420009162

2878501040287850250850M 0nx

−⋅⋅+−⋅⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅=

....

.....

)

Tm76913M 0nx .=

De tal forma que: Tm461076913760M 0nx ... =⋅=⋅φ

• Determinación de Mny0 En primer término se determinará la falla balanceada a fin de definir el modo de falla de la columna y los factores de minoración φ adecuados:

Y

40 cm

X P=40 T

ex 20 cm

2 φ 32 2 φ 32

Para el caso de falla balanceada se sabe que:

0030u .=ε 2

ys cmkg4200ff /== Entonces

cm52253710x12

420000300030d

Ef

dc6

s

yu

u

yu

ub ..·

...·· =

+=

+=

+=

ε

εεε

ε



Hormigón Armado


00270522

525220030c

dc

b

bus .

....

'' =

−⋅=

−= εε

y6

sss f56000027010x12Ef >=⋅== ..'·' ε

Se puede asegurar entonces que el acero en compresión alcanzó la fluencia, luego:

ysysb1cb fAfAbcf850P ·'···'··. −+= β Kg8128120522850250850Pb =⋅⋅⋅⋅= ...

Por otro lado el límite inferior definido por:

Kg20000fA10P cg == '··.· *φ .

Entonces dado que (si consideramos el caso más desfavorable

T852PPPT20 bu .·· * =<<= φφ).650=φ , se debe calcular el factor de minoración φ mediante la ecuación:

( )nb

PPPP

650900900 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= ** ·...φ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= φφ 40

9020

3819020

250900 .·..

..

Despejando: 780.=φ

Entonces para nuestra carga última, por equilibrio de fuerzas, suponiendo : ys ff ='

nu PP ⋅= φ

( )ysys1cu fAfAbcf850P ·'···'··. −+⋅= βφ

( )20c85025085078040000 ··.··.. ⋅=

cm2014c .=



Hormigón Armado

Por lo tanto

00250214

522140030c

dcus .

....'' =

−=

−= εε

y6

sss f51900025010x12Ef >=⋅== ..'·' ε

Lo que satisface la hipótesis inicial.

Finalmente la resistencia a flexión sería:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2hdfAd

2hfA

2c

2hbcf850M ysys

11c0ny ··'·'·

····'··.

ββ

( ) ( 20537420009165220420009162

2148502020214850250850M 0ny

−⋅⋅+−⋅⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅=

....

.....

)

Tm81630M 0ny .=

De tal forma que: Tm0362481630780M 0ny ... =⋅=⋅φ

• Aplicación del método: Finalmente corresponde evaluar la fórmula establecida por el método de contorno de carga:

1MM

MM

0ny

uy

0nx

ux ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

φφ

con

Tm8Mux =

Tm20Muy =

Tm4610M 0nx .=⋅φ

Tm0424M 0nx .=⋅φ

551151 .~.=α



Hormigón Armado

Siendo conservador:

15441809073700424

204610

8 151151

>=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ...

..

..

Siendo poco conservador:

14111752066000424

204610

8 551551

>=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ...

..

..

• Conclusión:

De acuerdo al Método de contorno de carga la sección no resiste la flexocompresión biaxial.

3. Método de la carga inversa: A partir de los datos calculados anteriormente es muy sencillo aplicar el método de la carga inversa:

T352204610

eM

Py

0nx0nx .

..

==⋅

=⋅φ

φ

T148500424

eM

Px

0ny0ny .

.

.==

⋅=⋅

φφ

( )( )yststgc0 fAAAf850P ⋅+−⋅⋅⋅=⋅ '.φφ

( )( ) T9193420009162091622040250850650P0 ..... =⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅φ

Aplicando el método, la sección resiste la flexocompresión, si se cumple

aproxnu P1

P1

φ≥

Entonces:

034709193

1148

1352

1P1

P1

P1

P1

00ny0nxaproxn

....

=−+=−+=φφφφ



Hormigón Armado

0250401

P1

u

.==

Luego:

aproxnu P1034700250

P1

φ=<= ..

Por lo tanto, de acuerdo al Método de la carga inversa la sección no resiste la flexocompresión biaxial.



Hormigón Armado

32 Columnas Esbeltas En los últimos años ha proliferado el uso de columnas esbeltas en diferentes estructuras, esto se explica por la aparición y mayor utilización de materiales de alta resistencia, que permite diseños más osados y esbeltos. El diseño de este tipo de elementos estructurales esta regulado por los capítulos 10.11., 10.12. y 10.13 del código ACI318.

Como se mencionó anteriormente, las resistencia de las columnas cortas queda determinada por la resistencia de los materiales utilizados y la geometría de las secciones, mientras que en los elementos esbeltos la resistencia se ve fuertemente reducida por efecto de las posibles deflexiones laterales (pandeo) o momentos de segundo orden (efecto P-Delta).

Las columnas se clasifican como cortas o esbeltas en función de su factor de esbeltez λ , frente a una esbeltez límite definida en función de sus condiciones de apoyo. Si limλλ ≤ la columnas se considera corta, en cambio si Si limλλ > la columnas se considera esbelta.

La esbeltez se define mediante la ecuación:

rLK·

=λ

En que:

Ar Ι

= : radio de giro

K : Factor de Longitud efectiva

L : Luz Libre de la columna

En la práctica en ligar de considerarse reducciones de resistencia, lo que se utiliza son factores que amplifican el momento último. Opcionalmente, dado al rápido desarrollo de los métodos computacionales se permite el cálculo directo de los efectos de segundo orden sobre los elementos.



Hormigón Armado

32.1 Columnas con carga axial concéntrica (Pandeo)

En el siglo XVIII Leonhart Euler logró determinar la carga de compresión máxima que es capaz de resistir una columna antes de presentar problemas de inestabilidad por compresión (pandeo).

Esta carga crítica de pandeo puede ser evaluada mediante la ecuación:

( )2t

2

cLKE

P·

·· Ι=

π

Dónde: : Módulo de elasticidad tangente. Si el material se encuentra trabajando en su rango elástico, corresponde al módulo de Young; en cambio si el material ha superado su limite elástico, corresponde a la tangente de la curva

tE

tE

tEε−f en el punto.

Ι : Momento de inercia de la sección.

( LK· ): Longitud efectiva del elemento

Euler logró determinar que una columna rotulada en ambos extremo e imposibilita de desplazarse lateralmente en sus extremos, sometida a la acción de una carga de compresión igual a la carga crítica de pandeo , se deflecta adoptando la forma de media curva sinusoide, donde los puntos extremos coinciden con los puntos de inflexión de dicha curva. A la longitud de esta columna, Euler la llama longitud efectiva y el asigna el valor K=1, por lo tanto

cP

LKL = .

cP

cP

KL = L

Se puede observar que para una sección determinada el valor de , disminuye rápidamente a mediad que KL aumenta, luego una columna será más propensa al pandeo

en la medida que su esbeltez

cP

rKL

=λ sea mayor.

Entonces la resistencia de una columna esbelta sometida a carga axial quedará determinada, por un lado, por su carga crítica de pandeo la que a su vez depende de la esbeltez, y en segundo lugar por la resistencia al aplastamiento de la sección , la que depende de la



Hormigón Armado

resistencia del hormigón y el acero. El límite que se alcance primero determinara el tipo de falla que se observe:

Pfalla

Pandeo

λlim

Aplastamiento Pc

Pn

λ

Euler también quiso hacer extensivo este análisis a otro tipo de columnas, cuyas condiciones de apoyo sean diferentes. Al estudiar este fenómeno, se dio cuenta que la deformada de las columnas que han superado la carga crítica de pandeo, siempre adopta la forma de un segmento de sinusoide, luego el caso para el cual el realizó el análisis podría estar contenido o contener cualquiera de las otras situaciones. Por ejemplo, si se considera una columna doblemente el potrada (el caso más restringido para una columna), y se dibuja su deformada es posible observar que en el tramo central de longitud L/2 de la columna deformada esta contenido completamente el caso original. Luego este caso podría contener 2 veces el sistema original.

cP

cP

KL = L/2Puntos de

Inflexión

L/4

L/4

Por lo tanto si: 21K

2LLK =→=·

Entonces la ecuación ( )2

t2

cLKE

P·

·· Ι=

π sigue siendo válida pero considerando 2

1K =

Otro caso a considerar correspondería a la situación en que además se permitiera que uno de los extremos de la columna pueda desplazarse lateralmente. Bajo esta condición es posible identificar dos casos extremos.



Hormigón Armado

El primero, corresponde a una columna que tiene restringido el giro en ambos extremos, pero uno de ellos se desplaza. En tal caso:

1K2LK

2L

=→=·

El segundo caso, corresponde a una columna que tiene doblemente rotulada y en que además uno de sus extremos puede desplazarse. En tal caso, la columna solo gira sin curvarse luego :

∞=→∞= KKL

Además, esta situación corresponde a un caso extremo, pues la columna bajo dichas condiciones de apoyo no es estable.

cP

cP

KL/2 = L/2

L/

cP

cP

KL = ∞

Puntos de

Inflexión

Entonces es posible afirmar que:

Si una columna esta restringida a desplazarse lateralmente esta (Columna Arriostradas), se

tiene que: 1K21

<<

Si una columna NO esta restringida a desplazarse lateralmente esta (Columna No Arriostradas), se tiene que: ∞<< K1

Dado que rara vez veremos columnas de hormigón armado perfectamente empotradas o rotuladas, el valor preciso de K se deberá determinar para cada caso y dependerá del grado de



Hormigón Armado

restricción al giro que exista en los extremos de una columna, que dependerá de la rigidez de los elementos que lleguen al nudo, y del grado de restricción al desplazamiento lateral de la columna que dependerá de la conformación estructural del resto de la estructura.

32.2 Columnas con carga axial y flexión (P-Delta) S sus extremos de magnitud

, la distribución de momento flector en toda su longitud será constante y de magnitud

i a esta condición se le agrega una carga axial. La fuerza de compresión estaría actuando en rma excéntrica al eje del elemento debido a la deflexión existente, lo que generaría un

i un elemento tipo columna estuviese sometido solo a momento en e

eMxM =)( . Este momento provocaría un deflexión e lo largo de todo el elemento la que resentada mediante una función )(xy 0 , tal como se indica en la figura.

M

0

puede ser rep

Sfomomento )(·)( xyPxM 0= , que a su vez aumentaría la deflexión y en consecuencia incrementaría aún más el efecto de flexión y deformación de la carga axial sobre el elemento. generándose entonces un modificación en la distribución de momento de la columna.

eM

eM

Columna sólo bajo el efecto de Momento

e0 MM =

0y

cPP <

eM

eM

Columna bajo el efecto de

Mom ión

0M0y

yyP ·

cPP <

ento y Compres



Hormigón Armado

Algo muy similar ocurre con una columna sometida a carla lateral y compresión simultáneamente.

0M

0y

HF

cPP <

0M

0yy

yP ·

cPP <

HF

Columna sólo bajo el efecto de Carga lateral

Columna bajo el efecto de

Carga lateral y Compresión

Se puede demostrar que la deflexión generada en ambos casos es posible calcularla a partir de la deformación lateral generada bajo la situación sin carga axial y es igual a: 0y

c

0

PP11yy

−= ·

Por lo tanto si la máxima deflexión ( )∆ coincide con el punto de máximo momento, entonces:

c

000

PP11PMPMM

−∆+=∆+= ···max

Es posible demostrar que la ecuación anterior también es posible escribirla de la forma:

c

c0

PP1

PP1

MM−

+=

ψ·max

donde el factor ψ depende del tipo de carga y por lo general 1P

Pc

<<ψ , luego es posible

decir que:



Hormigón Armado

43421

MomentodeiónAmplificacdeFactor

c

0

PP11MM

−= ·max

Dado que depende de cP λ , se tiene que el momento también depende de la esbeltez λ .

Mo

P·∆ Mo

M

λ

Ahora bien, el efecto aditivo de el momento , con 0M ∆·P , no siempre es perfecto, pues como es de suponer no siempre el momento máximo coincide con el , por lo tanto la

expresión

Max0M MaxP ∆·

c

0

PP11MM

−= ·max , no es siempre válida. Esto se entien mejor atraves de la

siguiente figura.

eM

eM

cPP <

cPP <

)(xM 0 ∆·P

+ =

∆+ ·PM 0



Hormigón Armado

Para rectificar esta situación se propone la incorporación de un factor , al Factor de amplificación de momento, de tal forma que:

mC

c

m0

PP1

CMM

−= ·max

Donde: 2

1m M

M4060C .. += 1C40 m ≤≤.

1M : Menor momento en el extremo

2M : Mayor momento en el extremo

1MM0

2

1 << : Si se genera curvatura simple

0MM1

2

1 <<− : Si se genera curvatura doble

Esta modificación solo es aplicable a columnas arriostradas lateralmente, pues es posible demostrar que para columnas no arriostradas el efecto de ∆·P , casi siempre es perfectamente aditivo a , por lo tanto, siempre. 0M 1Cm =

eM

eM

cPP <

cPP <

)(xM 0 ∆·P

+ =

∆+ ·PM 0



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32.3 Clasificación de Columnas

32.3.1 Cortas o Esbeltas Para simplificar el análisis de las columnas el código ACI establece límites de esbeltez, bajo los cuales es posible prescindir de este tipo de análisis y considerar las columnas como cortas o robustas. Esto es si limλλ < , la columna se considera como columna corta.

• Para marcos arriostrados contra el desplazamiento lateral:

21

MM1234 −=limλ

Dónde:

1M : Menor momento registrado en uno de los extremos de la columna

2M : Mayor momento registrado en uno de los extremos de la columna

⎩⎨⎧

→→

=doblecurvaturaNegativosimplecurvaturaPositivo

21

MM ( )

21

MM

21 <−

• Para marcos no arriostrados contra el desplazamiento lateral:

22=limλ

Recordar que rLK·

=λ . En columnas rectangulares por lo general h30r ·.= y en columnas

circulares por lo general D250r ·.=

32.3.2 Arriostradas o no Arriostradas A partir de lo expuesto anteriormente resulta evidente la necesidad de establecer algún criterio que diferencia las columnas arriostradas de aquellas que no lo son. El código propone suponer como arriostrado a los elementos de un piso en que los elementos que restringen el desplazamiento lateral (muros de corte) tienen una rigidez suficiente de tal forma que limiten los desplazamientos laterales por debajo del límite en que las columnas pierden resistencia en forma sustancial. El primer criterio propone calcular las variación en los momentos por efecto del análisis de segundo orden respecto a un análisis tradicional, si la variación es menos al 5% se posible diseñar las columnas como cortas.



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El segundo criterio propone la utilización de un índice de estabilidad de cada nivel, que se calcula de la siguiente forma:

c

0

u

u

LVP

Q ∆= ∑ ·

Donde:

∑ uP : Carga última vertical total sobre el nivel (caso más desfavorable).

uV : Corte último total sobre el nivel ( )0Vu ≠

0∆ : Desplazamiento lateral relativo del nivel debido solo a los efectos de primer orden (drift)

cL : Longitud de la columna medida des de los centro de los nudos. Si , los elementos pueden considerarse arriostrados. 050Q .< Ahora bien, para este análisis se exige que se consideren los efectos de las cargas axiales, las secciones fisuradas y la duración de las cargas. Todo lo cual se incorpora al análisis mediante la modificación de las propiedades geométricas ( Ι ) de las secciones, a fin de considerara el grado de fisuración. Esto se hace de la siguiente manera

Vigas : g350 Ι=Ι ·.

Columnas : g700 Ι=Ι ·.

Muros no fisurados : g700 Ι=Ι ·.

Muros fisurados : g350 Ι=Ι ·.

Losas y placas planas : g250 Ι=Ι ·. Además, si existen cargas laterales sostenidas en el tiempo o para el caso de verificación de estabilidad, los momento de inercia ya calculados deben dividirse por ( d1 )β+ , en que dβ corresponde a la relación entre la carga lateral sostenida mayorada y la carga lateral mayorada total, aplicada en cada nivel.



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32.4 Factores de Amplificación para Columnas Esbeltas Como ya se mencionó anteriormente el comportamiento de una columna esbelta depende en gran medida de los efectos de segundo orden y en especial de los efectos asociados a las deformaciones laterales que provocan que las cargas axiales acaben siendo aplicadas con cierta excentricidad respecto al eje de la columna. Pues bien considerando esto, se podría decir que por efecto de estos fenómenos la excentricidad de la carga axial no es constante y en consecuencia, a intentar representarla en un diagrama de interacción esta no corresponde a la recta radial que originalmente la representaba, sino que a una curva de pendiente decreciente, pues su excentricidad va aumentando a medida que el momento flector aumenta y en consecuencia aumenta la deformación lateral, tal como se indica en la figura.

M

P

(Mn;Pn)esbelta

e=vare=cte

(Mn;Pn)corta

32.4.1 Columnas Esbeltas Arriostradas (ACI 10.12.) Para el caso de columnas arriostradas el momento último debe amplificarse aplicando las siguientes ecuaciones:

unsc MM ⋅= δ Dónde:

c

u

mns

P750P1

C

·.−

=δ : Factor de amplificación de momento por esbeltez

2

1m M

M4060C ·.. += 01C40 m .. ≤≤

1M : Menor momento registrado en uno de los extremos de la columna

2M : Mayor momento registrado en uno de los extremos de la columna



Hormigón Armado

⎩⎨⎧

→→

=doblecurvaturaNegativosimplecurvaturaPositivo

21

MM ( )

21

MM

21 <−

A fin de considerar los efectos de pandeo que se presentan, aún cuando no exista flexión, se exige que donde 15 y h están en mm. En el caso de que ,

se debe usar , o bien con

( h03015PM u2 .·min += ) 22 MM >min

1Cm = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2

211 M

MMM minmin ·

El término , corresponde a la carga crítica de pandea minorada por un factor 0.75. cP750 ·.

( )22

c LKEP

·· Ιπ

=

En esta última expresión se debe considerar el efecto del agrietamiento, fluencia lenta y no linealidad del hormigón, con este fin se proponen las siguientes modificaciones a la ecuación tradicional:

d

sc

1EE20

Eβ+

+= seg ΙΙ

Ι·.

En que:

cE : Módulo de elasticidad del hormigón

sE : Módulo de elasticidad del acero de refuerzo

gΙ : Momento de inercia del área bruta de hormigón

seΙ : Momento de inercia del acero de refuerzo respecto a eje centroidal.

dβ : Razón entre la carga axial permanente y la carga axial total (creep). Además, en la ecuación para la carga crítica de pandeo aparece el factor K, que por lo general se calcula a partir de los Ábacos de Jackson & Moreland, mediante el siguiente procedimiento.

1) Calcular el grado de restricción en el extremo de la columna debido a las columnas y vigas que llegan a nudo A, mediante la ecuación:

( )( )∑

∑=Ψ

vigas

columnasA EI

EI

l

l

2) Calcular el grado de restricción en el otro extremo de la columna (B) debido a las

columnas y vigas que llegan a nudo, mediante la ecuación: ( )

( )∑∑

=Ψ

vigas

columnasB EI

EI

l

l



Hormigón Armado

3) Finalmente se traza una recta en el Ábaco que una AΨ con , y en el punto en que corte el eje K se obtendrá el valor de factor que se está buscando. Notar que para marcos arriostrados

BΨ

1K50 ≤≤. .

n forma alternativa se permite calcular K mediante las expresiones de Cranston, donde este Efactor corresponde al menor valor evaluado a partir de:

( ) 105070K BA ≤Ψ+Ψ+= ·.. K 1050850 ≤Ψ+= min·..



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32.4.2 Columnas Esbeltas No Arriostradas (ACI 10.13.) Cómo ya se sabe en el caso de las columnas no arriostradas el termino K varía entre 1 e ∞ , mientras que en una columna arriostrada dicho valor se mueve entre 0.5 y 1.0, por lo tanto una columna de igual que no se encuentre arriostrada lateralmente fallará por pandeo a una carga axial mucho menor que una columna de igual sección a la cual se le haya restringido su desplazamiento lateral. En este caso el cálculo de K es muy similar al anterior salvo que se debe utilizar un segundo ábaco en que ∞≤≤ K1

n forma alternativa se permite calcular K mediante las expresiones de Furlong: E

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥ΨΨ+

<ΨΨ+Ψ−

=2si190

2si120

20K

AVAV

AVAVAV

·.

·

Donde 2

BAAV

Ψ+Ψ=Ψ



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Sin embargo en este caso se debe diferenciar entre las cargas que general desplazamiento lateral y aquellas que no. Calcular los momentos flectores que general y amplificar solo aquellos momentos asociados a los desplazamientos laterales, esto es:

1ss1ns1 MMM ⋅+= δ

2ss2ns2 MMM ⋅+= δ

alvo en el caso que: S

gc

u

AfP

35r

·'

>l

n tal caso se debe amplificar el momento total, asociado a cualquier tipo de carga, es decir: E

( )1s1nssc MMM +⋅= δ

l factor de amplificación es posible calcular lo de tres formas:

1)

E

01Q1

1s .>

−=δ

51s .>

, donde Q corresponde al índice de estabilidad. Sin embargo, si

δ , es mejor utilizar el método 2).

2) 01

P750P

1

1

c

us .

·.

>−

=

∑∑

δ

3) La tercera opción es realizar un análisis elástico de segundo orden mediante algún

demás de estas recomendaciones y requerimientos existen otros contenidos en el capítulo

método adecuado (software), en especial si existen desplazamientos laterales asociados a efectos torsionales del edificio.

A10.13. sobre los cuales no se hará referencia en este curso, pero se deberán tener presenten al momento de diseñar.



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Nilson, Arthur “Diseño de estructuras de concreto” Cap. 8 y 9 ICH “Código de Diseño de Hormigón Armado” Cap. 10.8. a 10.13. Park, R & Pauly, “Estructuras de concreto reforzado” Cap. 5



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INDICE

Capítulo 1 – Introducción ........................................................................................................... 1 1 Preámbulo............................................................................................................................. 1 2 Requerimientos y Fundamentos del Diseño ..................................................................... 2

2.1 Requerimiento de Seguridad: ......................................................................................... 2 2.2 Requerimiento de Servicio:............................................................................................. 4 2.3 Fundamentos de Diseño:................................................................................................ 4

2.3.1 Factores de cargas y combinaciones ...................................................................... 5 2.3.2 Factores de reducciones de resistencia .................................................................. 6

3 Materiales.............................................................................................................................. 8 3.1 Hormigón ........................................................................................................................ 8

3.1.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Hormigón: ........................................................... 8 3.1.2 Resistencia: ............................................................................................................. 9 3.1.3 Módulo de Elasticidad............................................................................................ 12 3.1.4 Coeficiente de Poisson .......................................................................................... 12 3.1.5 Confinamiento:....................................................................................................... 12 3.1.6 Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas ............................................ 15 3.1.7 Hormigones en Chile ............................................................................................. 17

3.2 Acero............................................................................................................................. 24 3.2.1 Curva Esfuerzo-Deformación del Acero: ............................................................... 24 3.2.2 Resistencia: ........................................................................................................... 25 3.2.3 Módulo de Elasticidad............................................................................................ 25 3.2.4 Influencia de la velocidad de carga y cargas cíclicas ............................................ 25 3.2.5 Aceros en Chile ..................................................................................................... 26

4 Lecturas Recomendadas................................................................................................... 32 Capítulo 2 – Carga Axial ........................................................................................................... 33 5 Elementos Sometidos a Compresión Pura...................................................................... 33

5.1 Comportamiento Elástico.............................................................................................. 33 5.2 Comportamiento Inelástico ........................................................................................... 34

6 Elementos Sometidos a Tracción Pura............................................................................ 35 7 Lecturas Recomendadas................................................................................................... 37



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Capítulo 3 – Flexión .................................................................................................................. 38 8 Preámbulo e Hipótesis de Diseño .................................................................................... 38 9 Vigas Rectangulares Simplemente Armadas .................................................................. 39

a. Comportamiento ........................................................................................................... 39 b. Tipos de Falla: .............................................................................................................. 46 c. Diseño........................................................................................................................... 49

10 Vigas Rectangulares Doblemente Armadas ................................................................ 56

a. Acero a tracción y compresión en fluencia ( )yss fff == ' ............................................ 57

b. Acero a tracción en fluencia, acero en compresión por debajo de la fluencia

( )ysys ffff <= '; ................................................................................................................. 58

c. Acero a tracción por debajo de la fluencia, acero en compresión en fluencia

( )ysys ffff =< '; ................................................................................................................. 60

11 Vigas T............................................................................................................................. 61 12 Referencias y Recomendaciones del Código ACI 318-02. ......................................... 65

12.1 Límites de deformaciones ......................................................................................... 65 12.2 Prescripciones de Diseño Según ACI 318-02 ........................................................... 67

13 Lecturas Recomendadas ............................................................................................... 69 Capítulo 4 – Longitud de Desarrollo, Empalmes y Anclajes................................................. 70 14 Preámbulo ....................................................................................................................... 70 15 Esfuerzos de Adherencia............................................................................................... 71 16 Longitud de desarrollo................................................................................................... 73 17 Ganchos .......................................................................................................................... 75 18 Traslapes......................................................................................................................... 77 19 Recomendaciones especiales según ACI 318 – 2002................................................. 79 20 Lecturas Recomendadas ............................................................................................... 86



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Capítulo 5 – Corte...................................................................................................................... 87 21 Preámbulo ....................................................................................................................... 87 22 Vigas sin refuerzo transversal ...................................................................................... 90

22.1 Efecto de la carga axial ............................................................................................. 93 23 Vigas con refuerzo al corte............................................................................................ 96 24 Disposiciones de diseño para refuerzo al corte.......................................................... 98 25 Consideraciones especiales para vigas altas ........................................................... 101 26 Modelo Puntal-Tensor.................................................................................................. 103 27 Detallamiento de Armaduras....................................................................................... 104 28 Lecturas Recomendadas ............................................................................................. 109 Capítulo 6 – Flexocompresión ............................................................................................... 110 29 Preámbulo ..................................................................................................................... 110 30 Columnas cortas bajo cargas centradas en su eje ................................................... 111

30.1 Armadura de Refuerzo ............................................................................................ 113 31 Columnas cortas bajo cargas excéntricas................................................................. 115

31.1 Flexión uniaxial........................................................................................................ 115 • Falla balanceada......................................................................................................... 118

• Falla por tensión ......................................................................................................... 119

• Falla por compresión .................................................................................................. 119

• Diagrama de interacción ............................................................................................. 120

• Ejemplo ....................................................................................................................... 122

• Diagrama de interacción Con refuerzo distribuido...................................................... 131

• Detallamiento de armaduras....................................................................................... 131 31.2 Flexión biaxial.......................................................................................................... 137

• Método de la superposición ........................................................................................ 138

• Método del contorno de carga .................................................................................... 138

• Método de la carga inversa......................................................................................... 139

• Ejemplo: ...................................................................................................................... 141



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32 Columnas Esbeltas ...................................................................................................... 149 32.1 Columnas con carga axial concéntrica (Pandeo).................................................... 150 32.2 Columnas con carga axial y flexión (P-Delta) ......................................................... 153 32.3 Clasificación de Columnas ...................................................................................... 157

32.3.1 Cortas o Esbeltas ................................................................................................ 157 32.3.2 Arriostradas o no Arriostradas ............................................................................. 157

32.4 Factores de Amplificación para Columnas Esbeltas ............................................... 159 32.4.1 Columnas Esbeltas Arriostradas (ACI 10.12.) ..................................................... 159 32.4.2 Columnas Esbeltas No Arriostradas (ACI 10.13.) ............................................... 162

33 Lecturas Recomendadas ............................................................................................. 164



hormigón armado i resumen nilson

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