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HOMOTECIA Nº 10 – AÑO 16 Lunes, 1º de Octubre de 2018 1

Afectividad por el aprendizaje de la matemática. Este es un tema sumamente interesante, y últimamente muy utilizado para realizar investigaciones, escribir artículos científicos o realizar ponencias en eventos académicos. El tratamiento que daremos al mismo en esta editorial será desde nuestro particular punto de vista.

La afectividad por el aprendizaje de la matemática no se centra solamente en si “me gusta o no me gusta”. Hay una cultura formada alrededor de la matemática como asignatura que no solamente se vive en el ambiente educativo sino también en el comunitario y en el familiar, con profundas y significativas repercusiones en la sociedad. Y no es una cultura de instante sino que es un continuo histórico muy ancestral.

La matemática en Venezuela es un determinante social: tradicionalmente se ha dado que todo ciudadano debe tener cierto dominio de la misma porque la sociedad crea oportunidades a las personas según un proceso que establece jerarquías basado en el dominio de la matemática. Es decir, todo ciudadano puede alcanzar el éxito en la satisfacción de sus aspiraciones pero es el dominio del conocimiento matemático lo que facilita este logro. Y esta es una huella perenne, instalada e incrustada en el intelecto ciudadano, creando un obstáculo epistemológico que llega a causar hasta una enraizada inercia paradigmática sobre su preferencia o no por la matemática, que va más allá de lo afectivo.

Por otro lado, no es totalmente cierto que la matemática sea la asignatura con el más alto porcentaje de aplazados a nivel nacional. Estadísticas detallan que hay un número significativo de zonas del país donde los más altos índices de reprobados lo tienen las asignaturas de formación social, lo que evidencia las causas de muchas de las actitudes y conductas de los discentes en los institutos educativos. Tampoco es tan importante indagar que siente o no el que hace matemática, es decir el matemático puro o de oficio, porque prácticamente se encuentra alejado del medio educativo. Lo que debe preocupar es el que todo docente de matemática le dé más importancia al hecho educativo que al hecho matemático. En otras palabras, lo que más le debe interesar al investigador educativo es cómo realiza el docente la transposición didáctica del conocimiento matemático, porque este sí es un elemento afectivo en educación matemática.

Este argumento lo traemos a colación porque hay investigaciones que han comprobado en primer lugar, que un docente de matemática puede ser excelente desde el punto de vista de cualquier evaluación que se le haga pero eso no garantiza el éxito de sus discípulos en esta asignatura. En segundo lugar, un docente de matemática puede ser del agrado de sus estudiantes, ser digno de su aprecio, y aunque la interrelación docente-alumno lleve a que en un entorno donde se respete la condición humana de uno y otro, se produzca el establecimiento de nexos de amistad del docente con sus estudiantes, aún así los discentes fracasan en el aprendizaje de la matemática.

Reflexiones "El que no aplique nuevos remedios debe esperar nuevos males, porque el tiempo es el máximo innovador".

FRANCIS BACÓN (22 de enero de 1561 - 9 de abril de 1626) Filósofo, político, abogado y escritor inglés


JEAN GASTON DARBOUX

(1842 - 1917)

Nació el 14 de Agosto de 1842 en Nimes, Gard, Languedoc, y murió el 23 de Febrero de 1917 en París; ambas localidades en Francia. Hizo contribuciones importantes al análisis y a la geometría diferencial; la integral de Darboux es nombrada así en homenaje a él.

Gaston Darboux asistió al Lycée en Nimes y luego al de Montpellier. En 1861 ingresó en la École Polytechnique y en la École Normale Supérieure. Mientras era estudiante su gran talento para las matemáticas fue evidente para quienes lo rodeaban. Mientras estuvo en la École Normale Supérieure y aún siendo estudiante, publicó su primer libro sobre superficies ortogonales.

Darboux había estudiado la obra de Lamé, Dupin y Bonnet sobre sistemas ortogonales de superficies. Darboux generalizó los resultados de Kummer proponiendo un sistema definido por una ecuación simple con muchas propiedades interesantes. Él anunció sus resultados a la Académie des Sciences el 1º de agosto de 1864, y el mismo día, Moutard anunció que también había descubierto el mismo sistema. Estos resultados fueron incluidos en la tesis doctoral de Darboux Sur les surfaces orthogonales (Sobre superficies ortogonales) con la cual obtuvo su doctorado en 1866.

Darboux obtuvo un cargo en el Collège de France para el periodo académico 1866-1867, luego enseñó en el Lycée Louis le Grand (donde fue educado Galois) entre 1867 y 1872. En 1872 fue nombrado a la École Normale Supérieure, donde enseñó hasta 1881. De 1873 a 1878 fue suplente de Liouville en la Cátedra de Mecánica Racional en la Sorbona. Luego, en 1878 se convirtió en el suplente de Chasles en la Cátedra de Geometría Superior, también en la Sorbona. Dos años más tarde Chasles murió y Darboux lo sucedió en la Cátedra de Geometría Superior, permaneciendo en este cargo hasta su muerte. Fue Decano de la Facultad de Ciencias, desde 1889 a 1903.

Darboux hizo contribuciones importantes al análisis y a la geometría diferencial. D. J. Struik escribe en la referencia [1]:

... él siguió el espíritu de Gaspard Monge, y el espíritu de Darboux se puede detectar en la obra de Élie Cartan.

Nuevamente escribe Struik [1]:

Dependiendo de los resultados clásicos de Monge, Gauss y Dupin, Darboux había totalmente utilizado, a su propia manera creativa, los resultados de sus colegas Bertrand, Bonnet, Ribaucour y otros.

Ahora también se le conoce por la integral que lleva su nombre, la integral de Darboux. Esta integral fue introducida en un libro sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden que él escribió en 1870.

En 1875 trabajó la integral de Riemann desde su propio punto de vista, definiendo sumas superiores e inferiores y definiendo una función como integrable si la diferencia entre las sumas superiores e inferiores tiende a cero cuando el tamaño de la malla disminuye.

En 1873 Darboux escribió un trabajo sobre cicloides y entre 1887 y 1896 editó cuatro volúmenes sobre geometría infinitesimal los cuales incluían la mayor parte de su anterior trabajo titulado Leçons sur la théorie général des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal (Lecciones sobre la teoría general de superficies y las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal). Incluido en el volumen cuatro de este trabajo está una discusión sobre una superficie que rueda sobre otra superficie. En particular estudió la configuración geométrica de puntos y líneas que se fijan en la superficie rodante. Eisenhart dice de esta obra en la referencia [7]:

Sus pruebas geométricas de los teoremas balanceo con superficies rodantes... son tan puros como simples y bellas.

Darboux también estudió el problema de encontrar la ruta más corta entre dos puntos sobre una superficie. Trabajo en este tema casi a la vez que lo hicieron Zermelo y Kneser.

El éxito de Darboux en investigación es discutido por Eisenhart en la referencia [7]:

La capacidad de Darboux se basó en una rara combinación de imaginación geométrica y poder analítico. Él no simpatizaba con aquellos que utilizaban el razonamiento geométrico sólo para atacar problemas geométricos, ni con aquellos que sienten hay una cierta virtud en adherirse estrictamente a los procesos analíticos. ... brillantes son sus reducciones de diversos problemas geométricos a una base analítica común, y su solución y desarrollo desde un punto de vista común.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Sin embargo Darboux también fue reconocido como un maestro excepcional, escritor y administrador. Eisenhart escribe [7]:

Sus escritos poseen no sólo contenido sino finales singulares y refinado estilo. En la presentación de resultados la forma de exposición es estudiada cuidadosamente. La variedad de potencialidades de Darboux, combinadas con su personalidad hacen de él un gran maestro, por lo que siempre estuvo rodeado de estudiantes habilidosos. Al igual que Monge no estaba contento con los descubrimientos, pero sentía que era igualmente importante hacer discípulos.

Darboux es conocido por una amplia gama de logros matemáticos similares a los descritos anteriormente. Struik escribe en [1]:

Darboux también hizo investigaciones en teoría de la función, álgebra, cinemática y dinámica. Su apreciación de la historia de la ciencia se muestra en numerosas direcciones, muchas elogiadas antes que lo hiciera la Academia. También editó "Oeuvres" de Joseph Fourier (1888-1890).

Por supuesto Darboux recibió muchos honores por su trabajo. Lebon en la referencia [3] enumera más de 100 sociedades científicas que eligieron a Darboux como miembro. Fue elegido a la Real Sociedad de Londres en 1902, ganando la Medalla Sylvester de dicha Sociedad en 1916. En 1884 fue elegido a la Académie des Sciences, convirtiéndose en su Secretario en 1900.

Referencias.-

1. D J Struik, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830901073.html

2. Biography in Encyclopaedia Britannica.

http://www.britannica.com/eb/article-9028755/Jean-Gaston-Darboux

Libros: 3. Lebon, Gaston Darboux (Paris, 1910, 1913). and the Historian's Craft : The Kenneth O. May Lectures (Springer-Verlag, 2005). Artículos:

4. D S Alexander, Gaston Darboux and the history of complex dynamics, Historia Mathematica 22 (2) (1995), 179-185.

5. S S Chern, Surface theory with Darboux and Bianchi, Miscellanea mathematica (Berlin, 1991), 59-69.

6. J C Darboux, Proc. London Math, Soc. 16 (1917), 44-69.

7. L P Eisenhart, Darboux's contribution to geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 24 (1917/18), 227-237.

8. H Gispert, Sur les fondements de l'analyse en France (à partir de lettres inédites de G Darboux et de l'étude des différentes éditions du

Cours d'analyse de C Jordan), Archive for History of Exact Science 28 (1) (1983), 37-106.

9. H Gispert, La correspondance de G Darboux avec J Houël: chronique d'un rédacteur (déc. 1869-nov. 1871), Cahiers du séminaire d'histoire

des mathématiques 8, Inst. Henri Poincaré (Paris, 1987), 67-202.

10. H Gispert, Principes de l'analyse chez Darboux et Houël (1870-1880): textes et contextes, Rev. Histoire Sci. 43 (2-3) (1990), 181-220.

11. D Hilbert, Gaston Darboux, Acta Mathematica 42 (1919), 269-273.

12. J F Labrador, Juan Gaston Darboux (Spanish), Gaceta Mat. (1) 5 (1952), 3-5.

13. G Parasad, Some great mathematicians of the nineteenth century II (Benares, 1934), 144-182.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O'Connor y E. F. Robertson sobre “JEAN GASTON DARBOUX” (Noviembre 1997). FUENTE: MacTutor History of Mathematics. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Darboux.html].

JEAN GASTON DARBOUX

Imágenes obtenidas de:


Aportes al conocimiento

EElleemmeennttooss BBáássiiccooss ddeell CCáállccuulloo IInntteeggrraall ((44))

ÍNDICE

Integral Indefinida. Las Técnicas de Integración.

Resolución de integrales por Cambio de Variable. Descripción del proceso de aplicación de la técnica. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

INTEGRAL INDEFINIDA.

LAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.

A partir del siglo XVIII aumenta considerablemente el número de aplicaciones del cálculo a diversos campos del conocimiento humano. Su

desarrollo y uso ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna. Es la base de muchos campos científicos,

especialmente la física. De hecho, desarrollos modernos como las técnicas de construcción, de aviación, etc., hacen uso del cálculo.

Muchas fórmulas algebraicas se usan en la actualidad en balística, calefacción, refrigeración, etc. Este éxito del cálculo se ha extendido

hacia otros temas de la matemática (ecuaciones diferenciales, cálculo de vectores, cálculo de variaciones, análisis complejo y topología

diferencial, entre otros).

Una aplicación bien conocida del cálculo es cuando se utiliza para obtener áreas de regiones y de volúmenes de sólidos, considerándose

que el interés de los matemáticos por estos temas en el pasado, fue lo que dio origen al cálculo integral.

Plantear problemas sobre el cálculo de áreas de regiones planas y de volúmenes de sólidos se remonta a la antigüedad griega, donde

básicamente se utilizaban dos tipos de procesos: heurísticos o atómicos, y de exhausción o agotamiento.

Estos prolegómenos del cálculo integral son sumamente importantes como apoyo al rigor que valida el edificio de conocimientos

matemáticos, pero aún así, fue necesario desarrollar un conjunto de reglas y estrategias que dieran una flexibilidad al cálculo integral, para

hacer más útil y muy efectiva su aplicación.

De esto surge la integración indefinida de la cual se inició su estudio en el artículo incluido en el número anterior de la revista, y también

surgieron las técnicas de integración, de las cuales algunas de ellas, las más utilizadas, serán presentadas en esta y en las siguientes

ediciones.

Iniciaremos en primer lugar con:

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE.

Esta técnica permite resolver integrales que muestran de forma evidente, no ser de resolución inmediata. Mediante un Cambio de Variable

se modifica el elemento de integración de la integral original, obteniéndose una nueva integral de inmediata resolución.

El procedimiento del Cambio de Variable se fundamenta en la Regla de la Derivada de la Función Compuesta, conocida también como

Regla de la Cadena. Si la función está expresada en base a x, entonces se tiene:

Función Compuesta: ( ) [ ])()()( xgFxgFxH == o

Regla de la Derivada de la Función Compuesta (Regla de la cadena):

[ ] [ ] )()()()()()( xgxgfxgxgFxhxH ′⋅=′⋅′==′

Regla de la técnica de integración por Cambio de Variable:

[ ] uxgahaciendoCuFduufdxxgxgfdxxh =+==′⋅= ∫ ∫∫ )(,)()()()()(

Descripción del proceso de aplicación de la técnica.-

Considerando a x como la variable utilizada, la estrategia a seguir para realizar la integración por Cambio de Variable es la siguiente:

a) Se escoge una sustitución u g x= ( ) , la que corresponde con la parte interna de la función compuesta.

b) Se obtiene du g x dx= ′( ) . c) Se rescribe la integral en términos de u como variable.

d) Se evalúa la integral resultante en términos de la variable u .

e) Se devuelve el cambio para obtener la primitiva en función de x.


A continuación, se presenta la realización de ejercicios aplicando el procedimiento de Integración por Cambio de Variable.

Ejercicios resueltos.-

1.- Obtener: dxx

x∫ −

+1

12

.

Solución:

Como en el integrando el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el denominador, se inicia la

resolución de la integral dividiendo ambos polinomios.

)(

(*)1

21

21

1

1

1

2

I

x

dxdxxdxdx

xxdx

x

xI ∫∫∫∫∫ =

−++=

−++=

−+=

Cambio de variable en I1: dxduxu =⇒−= 1

Volviendo a la integral:

CxLnxx

CuLnxx

Cu

dux

x +−++=+++=+++= ∫ 122

22

22

(*)222

2.- Determine: dxx

x∫ +

+12

32 .

Solución:

Siendo el grado del polinomio en el numerador del integrando igual al grado del polinomio en el denominador, se inicia la resolución de la

integral dividiendo ambos polinomios.

)(

(*)12

212

21

12

32

1I

x

dxdxdx

xdx

x

xI =

++=

++=

++= ∫∫∫∫

Cambio de variable en I1:

2212

dudxdxduxu =⇒=⇒+=


CxLnxCuLnxCu

duxC

ux

du

+++=++=++=++= ∫∫ 122(*) 2

3.- Evaluar 7 15

7 10

x

xdx

++

⋅∫

Solución:

Resolviendo la integral: Los grados de los polinomios son iguales pero en vez de la división de polinomios, también puede utilizarse la

modificación del numerador aplicando propiedades de la adición.

)(

(*)107

5107

5

107

51

107

5

107

107

107

5107

107

157

1I

Cx

dxx

x

dxdxdx

xdx

xx

xdx

x

xdx

x

xI =+

++=

++=

++=

++

++

=+

++=

++

= ∫∫∫∫∫∫∫

Cambio de Variable para I1: dxdu

dxduxu =⇒=⇒+=7

7107

Volviendo a la integral para aplicar el cambio:

( ) ( ) CxLnxCxLnxCxLnxCuLnxCu

dux +++=+++=+++=++=++= ∫ 7 5

75

75

75 107107107(*) 7

5


4.- Calcule: ∫ +++

dwww

w

63

443

2.

Solución:

Resolviendo la integral:

Cambio de Variable en I: dwwdu

dwwwduwwu )1(3

)1(33363 2223 +=⇒+=+=⇒++=

Aplicando el cambio:

( ) ( ) CwwLnCwwLnCwwLnCuLn

u

du

uww

dwwdw

ww

wdw

ww

wI

du

+++=+++=+++=+=

===++

+=++

+⋅=++

+= ∫ ∫∫∫∫

3 433

433

33

2

3

2

3

2

6363633

4

3

4

3

44

63

)1(4

63

)1(4

63

44

5.- Calcule la siguiente integral: ∫ ++−

dzzz

z

544

522

.

Solución:


)()(

(*)4)12(

64)12(

)12(

4)12(

612

4)12(

52

51)144(

52

5)1144(

52

544

52

21

222

2222

r)denominadoelencuadradosdo(completan

II

z

dz

z

dzzdz

z

z

dzz

zdz

zz

zdz

zz

zdz

zz

zI

∫ ∫∫

∫∫∫∫

=++

−++

+=

++−+=

=++

−=+−++

−=+−++

−=++

−=

Cambio de Variable en I1: dzzdu

dzzduzu )12(4

)12(44)12( 2 +=⇒+=⇒++=

Cambio de Variable en I2: dzdv

dzdvzv =⇒=⇒+=2

212


[ ] Cz

ArcTgzLnCz

ArcTgzLn

Cz

ArcTgzLnCv

ArcTguLnv

dv

u

du

vu

dvdu

+

+−++=+

+−++=

=+

+−++=+⋅−=+

−=+

−= ∫∫∫∫

2

12

2

34)12(

2

12

2

34)12(

2

12

2

34)12(

4

1

22

13

4

1

23

4

1

26(*)

4 24

12

2

222224

6.- Obtenga: ⋅+∫ 14 2x

dx

Solución:


(*)1)2(14 22 ∫∫ =

+=

+=

x

dx

x

dxI

Cambio de Variable en I: dxdu

dxduxu =⇒=⇒=2

22


( ) CxArcTgCuArcTgu

du

u

du

+=+=+

=+

= ∫∫ 22

1

2

1

12

1

1(*)

222


7. - Hallar x

x xdx

3

4 2−∫ .

Solución:


)(

(*)1)1(

1

222

3

24

3

I

x

xdxdx

xx

xdx

xx

xI =

−=

−=

−= ∫∫ ∫

Cambio de variable para I1: xdxdu

xdxduxu =⇒=⇒−=2

212


CxLnCLnuu

du

u

du

+−=+=== ∫∫ )1(2

1

2

1

2

1(*) 22

8.- Compruebe que ( ) CxArcTgdxx

x +=+∫

48

3

4

1

1.

Comprobando:


( ) (*)11 24

3

8

3

=+

=+

= ∫∫ dxx

xdx

x

xI

Cambio de variable (c. v.) en I: dxxdu

dxxduxu 334

44 =⇒=⇒=

Volviendo a (*):

( ) ( ) L.Q.Q.C.CxArcTgCuArcTgu

du

u

du

+=+=+

=+

= ∫∫4

224

4

1

4

1

14

1

1(*)

9. - Calcular 8

2

2

3 3

x

xdx

( ).

+∫

Solución:

Resolviendo la integral: Se aplica la definición de inverso numérico.

)(

(*))2(8)2(

8

1

332

33

2

I

dxxxdxx

xI ∫ ∫ =+=

+= −

Cambio de variable para I1: dxxdu

dxxduxu 223

332 =⇒=⇒+=

Volviendo a la integral: La integral se arregla para aplicar el cambio.

∫∫ +=+

−=+−=+−=+−

⋅=⋅=+= −−

−− Cx

Cu

CuCudu

udxxx232

22

3233

)2(3

4

3

4

3

4

23

8

38)()2(8(*)

10.- Verifique que: Cxdxx ++=+∫5150 )12(

102

1)12( .

Verificando:

Cambio de Variable en I: dxdu

dxduxu =⇒=⇒+=2

212


CxCuCuduudu

udxxI ++⋅=+=+⋅==⋅=+= ∫∫∫515151505050 )12(

102

1

102

1

51

1

2

1

2

1

2)12(

L. Q. Q. V.


11.- Calcular: dxxxx

xxxx∫ +−⋅+

++++)22()4(

1626222

234.

Solución:

Resolviendo la integral. Se escribe el integrando como el producto de dos fracciones, donde el denominador para cada una de estas es uno

de los dos factores presentes en el denominador original. El polinomio en el numerador original será el numerador en la fracción con

denominador igual al factor de potencia 2; esta potencia se desarrolla como producto notable y se realiza la división de polinomios entre

ambos. Para la otra fracción el numerador es 1. Luego se sigue con las operaciones elementales matemáticas que se ameriten y se aplican

las correspondientes propiedades de las integrales indefinidas.

( )

( )

( ))()(

(*)42216822

16822

1

22168

221

22168

221

22

1

168

1626

22

1

4

1626

)22()4(

1626

21

222242

242224

2

224

23

224

234

222

234

222

234

II

x

xdx

xx

dx

xx

xdx

xx

dx

dxxx

x

xxxx

dx

xx

xxx

xx

dx

xx

xxxdx

xxxx

xxxx

dxxxx

xxxxdx

xxx

xxxxI

=+

++−

=++

++−

=

=

+++

+−=

+−⋅

+++−⋅+=

=+−

⋅

+++−+=

+−⋅

++++++=

=

+−⋅

+++++=

+−⋅+++++=

∫∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Resultan dos integrales que, para facilitar las operaciones, se resuelven por separado.

Resolviendo a I1:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )cuadradosocompletand

CxArcTgx

dx

x

dx

xx

dx

xx

dx

xx

dxI 1222221 1

11111122222+−=

−+=

+−=

++−=

+−=

+−= ∫∫ ∫∫∫

Resolviendo a I2:

( ) ( )xdx

duxdxduxuIvc

Cx

Cu

duuux

xdxI

du

=⇒=⇒+=

++

−=+−===+

= ∫∫∫−

224:)(..

42

1

2

1

4

22

2222

21

22

222

Volviendo a (*), se obtiene la solución final:

( ) ( ) Cx

xArcTgCx

CxArcTgI ++

−−=

+

+−++−==

42

1)1(

42

1)1((*)

2221

12. - Hallar 2 12x x dx+∫ .

Solución:

Resolviendo la integral. Acomodando el integrando.

)(

(*))1(212

1

22 21

I

dxxxdxxxI ∫∫ =+=+=

Cambio de variable para I1 : xdxduxu 212 =⇒+=


CxCuCu

duu ++=+=+== ∫323

23

2

3

2

1

)1(3

2

3

2(*)


13. - Determinar ( ) .8 3 65 −∫ x dx

Solución:

Resolviendo la integral.

)(

(*))38()38(

1

5

6

5 6

I

dxxdxxI ∫ ∫ =−=−=

Cambio de variable para I1 : dxdu

dxduxu =−⇒−=⇒−=3

338


CxxCuuCuCu

duudu

u +−⋅−−=+⋅−=+⋅−=+⋅−=−=−⋅= ∫ ∫ 52525 11

511

5

11

5

6

5

6

38)38(33

5

33

5

11

5

3

1

3

1

3

1)

3((*)

14. - Determinar .1 dxbxax nn

∫ +⋅−

Solución:

Resolviendo la integral: Se transforma la raíz en potencia de exponente fraccionario.

)(

(*))(

1

11 21

I

dxbxaxdxbxaxI nnnn

∫∫ =+=+⋅= −−

Cambio de variable para I1:

dxxnb

dudxnbxdubxau nnn 11 −− =⇒=⇒+=

Volviendo a la integral: Se arregla la integral para aplicar el cambio.

Cbxanb

bxaCuu

nbCu

nbC

u

nbduu

nbnb

duudxxdxbxa n

nnn ++⋅+=+⋅=+⋅=+⋅==⋅=⋅+= ∫ ∫∫−

3

)(2

3

2

3

211)()((*) 3

23

123

21

21

21

15.- Obtenga: ⋅−∫ dx

x

x241

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de Variable en I: xdxdu

xdxduxu =−⇒−=⇒−=8

841 2

Luego:

CxCuCu

duudu

uxdxxdxx

xI +−−=+−=+⋅−=−=

−⋅=⋅−=−

= ∫∫∫∫−−− 2

21

2

241

4

1

8

2

8

1

8

1

8)41(

41

21

21

21

21

16.- Obtenga la integral: ∫ +−

dtt

t3 92

14.

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de variable en I:

22

992

dudt

uttu =⇒

−=⇒+=


( ) ( )

( ) ( ) CttCuu

Cu

uCuuCuuu

CuuCuuduuduuduuduu

duuuduuuduu

udtttdtt

tI

+−⋅+=+−⋅⋅=

=+

−⋅=+

−⋅=+−=

=+−=+⋅−=−=−=

=

−=−=⋅

−

−⋅⋅=−⋅+=+−=

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫−−

−−−−

177249220

1)28512(

20

1

20

28512

4

57

5

3

4

57

5

34

57

5

3

2

3

2

19

5

3

2

1919

2

12

2

1

1922

1192

2

1

21

2

94)14(92

92

14

3 23 2

3 23 23 23 2

3 23 5

3

32

35

31

32

31

32

31

32

31

31

31


17.- Calcular ( )⋅

⋅∫ dxxLn

xLn

4

2

Solución:

Cambio de variable en I: ( )x

dx

x

dxduxLnu ==⇒=

2

22


( ) ( ) ( ) CxLnCu

duux

dxxLn

Lndx

xLn

xLnI +=+⋅==⋅=

⋅= ∫∫∫ 2

693

250

21386

1000

386,1

12

4

1

4

2 22

18.- Comprobar si ( )( ) ( ) ( ) 04244

2>+⋅−=

⋅∫ xconCxLnLnLnxLndxxxLn

xLn .

Comprobando:

Resolviendo la integral. En I se realiza el siguiente cambio de variable: ( )x

dx

x

dxduxLnu ==⇒=

4

44

Además:

( ) ( ) ( )( )

( ) 22

24)2(

22224

LnuxLn

LnxLnxLn

xLnLnxLnxLn

−=−=

+=⋅=

Luego:

( )( ) ( ) ( ) CxLnLnLnxLnCuLnLnu

u

duLndudu

u

Lndu

u

Lnudx

xxLn

xLnI +⋅−=+⋅−=⋅−=

−=−=⋅

= ∫ ∫∫ ∫∫ 424222

12

4

2

L. Q. Q. C.

19. - Comprobar que ( ) ( )

.Lnx dx

x

LnxC

2 3

3∫ = +

Comprobando:


Cambio de variable para I: x

dxduLnxu =⇒=

Luego:

CLnx

Cu

duux

dxLnxI +=+=== ∫∫ 3

)(

3

)( 332

2

L. Q. Q. C

20.- Determine: ∫ +⋅ 4)2(5

3

Lnqq

dq .

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de Variable en I:

q

dqduLnqu =⇒+= 2

CLnq

Cu

Cuduuq

dqLnq

Lnqq

dqI +

+−=+−=+⋅−==⋅+=

+⋅= −−−

∫∫∫ 33344

4 )2(5

1

5

1

3

1

5

3

5

3)2(

5

3

)2(5

3

21.-Verificar si:

( ) ( ) ( ) Cz

zLnzLnzz

dz ++

++−=+⋅

∫ 16

11

6

1

16

626

Verificando:


( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*)1

6

6

1

1

6

6

1

1

6

6

1

11

1

1

6

6

1

1

1

11

11

1

1

1

1

26

5

6

5

26

5

6

6

6

6

26

5

6

66

26

5

6

26

6

26

6

26

66

26

∫ ∫∫∫ ∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

=+

−+

−=+

−+⋅

−+⋅

+=

=+

−+⋅

−+=+

−+⋅

=

=+⋅

−+⋅

+=+⋅

−+=+⋅

z

dzz

z

dzz

z

dz

z

dzz

zz

dzz

zz

dzz

z

dzz

zz

dzzz

z

dzz

zz

dz

zz

dzz

zz

dzz

zz

dzzz

zz

dz


Cambio de variable: dzzduzu 56 61 =⇒+=

Volviendo a (*):

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cz

zLnzLnzz

dzC

zzLnzLn

Cu

zLnzLnCduuuLnzLnCu

du

u

duzLnI

++

++−=+⋅

⇒++

++−=

=+⋅++−=+−−=+−−==

∫

∫∫∫−

16

11

6

1

116

11

6

1

1

6

11

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1(*)

6

6

266

6

62

2

22.- Compruebe si

( )CxxLn

xxLnx

dx +++=++⋅+

∫2

22

1211

.

Comprobando:


( ) ( )(*)

1111 2222

=++⋅+

=++⋅+

= ∫∫xxLnx

dx

xxLnx

dxI

Cambio de variable:

( ) 2222

2

2

2

2

2

22

1111

1

1

1

1

1

11

1x

dxdu

x

dxdx

xxx

xxdx

xx

x

xx

dxxx

x

x

duxxLnu+

=⇒+

=++⋅+

++=++

+

++

=+++

+=⇒++=

Volviendo a (*):

( ) ( )

.221

21

2222

12221

11

1

11(*)

L.Q.Q.CCxxLnCuCuduuduu

x

dx

xxLnxxLnx

dxI

+++=+=+===

=+

⋅++

=++⋅+

==

∫∫

∫∫

−

23.- Comprobar: ( ) .213

2

1CtLntLndt

tLnt

tLn+−⋅+=

+⋅∫

Comprobando:

Resolviendo la integral. Cambio de variable en I:

1

1

−=⇓

=⇒+=

utLn

t

dtdutLnu


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) .213

2

3

4

3

21

23

2

3

2121

3

2121

3

21

12113

2121

3

22

3

2

11

11

2

233

21

23

21

21

21

21

21 2

123

L.Q.Q.CCtLntLnCtLntLn

CtLntLnCtLntLnCtLntLn

CtLntLntLnCtLntLnCuu

Cuu

duuduuduuuduuuduu

u

t

dt

tLn

tLndt

tLnt

tLnI

+−⋅+⋅=+

−⋅+=

=+

−+⋅+=+

−+⋅⋅+=+

−+⋅+=

=+

+−+⋅+=++−+=+−=

=+−=−=

−=⋅−=−=⋅+

=+⋅

= ∫∫∫∫∫∫∫−−−


Otra manera de resolver este ejercicio es haciendo el siguiente cambio de variable en I: t

dtdutLnu =⇒=

Aplicando el cambio en la integral:

(*)111

=+

=⋅+

=+⋅

= ∫∫∫ duu

u

t

dt

tLn

tLndt

tLnt

tLnI

Nuevo cambio de variable:

uwwu

wdwduwu

+=∧−=

⇓

=⇒=+

11

21

2

2

Volviendo a (*) para aplicar el nuevo cambio:

( )∫∫∫∫ =+−=−=⋅−=⋅−=+

== Cwwdwwwdww

wwdw

w

wdu

u

uI 2

3

212

122

1

1(*) 32

2

2

2

Devolviendo los cambios:

( ) ( ) [ ]

[ ] [ ] CtLntLnCuu

CuuCuuu

Cuu

+−⋅+=+−⋅+=

=+−+⋅+=++⋅−+⋅+⋅

=++−+=

213

221

3

2

3113

2

3

16112121

3

22

3

Igual resultado.

También se puede aplicar un tercer cambio de variable:

duedteteeutLntLnu uuutLn 11111 −−− =⇒=⇒=⇒−=⇒+=

Aplicando el cambio en la integral:

( )

( )

( ) ( ) CtLntLnCtLntLn

CuuCuuuCuuCuu

duuduu

duuuduuuduu

udue

ue

udt

tLnt

tLnI u

u

+−⋅+=+−+⋅+=

=+−⋅=+−=+−=+−=−=

=

−=⋅−=−=⋅⋅−=

+⋅=

∫∫

∫∫∫∫∫

−

−−−−

213

2311

3

2

33

22

3

22

3

2

111

1

3

21

23

21

23

21

21

21

21

21

11

Igual resultado.

24.- Obtenga ⋅+

++∫ dx

e

eex

xx

8

32

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de variable en I: t

dtdxLntxet x =⇒=⇒=

Ce

eLneLneC

t

tLntLnt

Ct

tLntLntC

t

dttLnt

Ct

dttLnt

tt

dt

t

dtdtdt

ttt

dttttt

t

tt

ttdt

tt

tttdt

tt

tt

t

dt

t

ttdx

e

eeI

x

xxx

x

xx

++

++−=++

++−=

=+++−+=++−=+

−+++−=

=+−+

++−=+

++

−=

++

+−=

=

++

+−

++=

++−+=

+++=⋅

+++=

+++=

∫

∫∫∫ ∫∫

∫∫∫∫∫

88

387

88

387

4)4(

4)4(

8

387

4)4(387

16)4(387

83

87

8

3

8

71

8

3

8

7

8

8

8

378

8

3

8

3

8

3

22

222

222

2

2

2

2

222

cuadrados)do(completan


25.- Determine: ⋅−∫ dx

x

e x 3

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de Variable en I:

dxxdudxxduxuxu 21

21

21

22

1;

−− =⇒==⇒=

( ) ( ) ( ) CxeCueduduedueduedxxedxx

eI xuuuux

x

+−=+−=−=−=⋅−=⋅−=−= ∫∫∫∫∫∫−

626262322333

21

26.- Obtenga: dme

em

m

∫ +16

32

.

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de Variable en I: dmedueu mm =⇒=

( ) Ce

ArcTgCu

ArcTgu

du

e

dmedm

e

eI

m

m

m

m

m

+=+⋅=+

=+

=+

= ∫∫∫ 44

3

44

13

43

43

16

322222

27.- Determinar: ∫ + 32we

dw .

Solución:


(*)31)3(3 2

2

22

2

2=

+=

+=

+= ∫∫∫ −

−

−

−

w

w

ww

w

w e

dwe

ee

dwe

e

dwI

Cambio de Variable en I: dwedu

dwedueu www 222

6631 −−− =−⇒−=⇒+=

Volviendo a (*):

( )[ ] CweLnCweLnCeLneLn

Ce

eLnC

eLnCeLnCuLn

u

du

uI

wwww

w

w

w

wdu

+++−=+⋅++−=+−+−=

=+

+−=+

+−=++−=+−=−=−

== −∫ ∫

312

61

612

6122

61

2

2

61

2612

61

61

616

)3(2)3()3(

33131(*)

28. - Verificar que ∫ +=⋅ .3

3

3 2 Ce

dxxex

x

Verificando:

Cambio de variable para I: dxxdu

dxxduxu 223

33 =⇒=⇒=


333

1

3

3

3 2V. Q. Q. L.C

eC

edue

duedxxeI

xuuux +=+==⋅=⋅= ∫∫ ∫

29.- Verifique: ( ) CxeLndxe

e x

x

x

+−+=+−

∫2

11

1.

Verificando:


)()(

(*)111

1

21 II

dxe

dxdx

e

edx

e

eI

xx

x

x

x

=+

−+

=+−= ∫∫∫

HOMOTECIA Nº 10 – AÑO 16 Lunes, 1º de Octubre de 2018 14 Resolviendo a I1:

dxedueuIenvc xx =⇒+= 1:.. 1

Luego:

( ) 111 11

CeLnCuLnu

dudx

e

eI x

x

x

++=+==+

= ∫∫

Resolviendo a I2:

( ) (*)1112 =

+=

+⋅=

+= ∫∫∫ −

−

−

−

x

x

xx

x

x e

dxedx

ee

dxedx

e

dxI

dxedudxedueuIenvc xxx −−− =−⇒−=⇒+=1:.. 2

Luego:

( ) ( ) 222 1 CeLnCuLnu

du

u

duI x ++−=+−=−=−= −

∫∫

Entonces:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CxeLnCxeLnCeLneLneLnCe

eLneLn

Ce

LneLnCCeLneLnCeLnCeLnI

xxxxx

x

xx

x

xxxxx

+−+=+−+=+−+++=+

+++=

=+

+++=+++++=++−−++= −−

2

2121

112111

1

1111111

L.Q.Q.V.

30.- Comprobar que ( ) ( ) CeLne

e

dxe xx

x

x

+++−=+∫ 1

2

1

1

23

.

Comprobando:

Resolviendo en la integral.

( )(*)

111

223

∫∫∫ =+

⋅=+⋅=

+=

x

xx

x

xx

x

x

e

dxee

e

dxee

e

dxeI

Cambio de variable en I:

dxedu

ueeu

x

xx

=⇓

−=⇒+= 11

Volviendo a (*):

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .12

1

1

12

121

2

1

122

11

2

4121

2

32

12

4421122

2

21112

2

1

22

21

212)1(

(*)

23

22

222

222

222

CQ.Q.L.CeLne

e

dxe

CeLne

CeLne

CeLne

CeLnee

CeLnee

CeLneee

CeLneee

CeLnee

CuLnuu

u

duduududu

uu

u

duuu

u

duuI

xx

x

x

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

+++−=+

⇒

+++−=+−++−=

=+++−−=+++−+−=+++−−=

=+++−−++=+++−−++=++++−+=

=++−=+−=

+−=+−=−==

∫

∫∫∫∫∫∫


31. - Verificar que [ ] ⋅++=+

∫ CxSecxTgdxxCos

xSen)3()3(

3

1

)3(

)3(12

Verificando:


Cambio de variable para I: dxdu

dxduxu =⇒=⇒=3

33

Luego:

( )

)(

(*)3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

11

3

1

)3(

)3(1

1

2

22

2222

I

CduSenuCosuTguuCos

duSenuuduSec

uCos

duSenu

uCos

dudu

uCos

Senudx

xCos

xSenI ∫∫∫∫ ∫∫∫ =+⋅⋅+=⋅+=⋅+=+=+= −

Cambio de variable para I1: duSenudvduSenudvvCosu ⋅=−⇒⋅−=⇒=


( )

[ ] CxSecxTgCxSecxTgCxCos

xTg

CCosu

xTgCv

xTgCvxTgCdvvxTgCdvvxTg

++=++=++=

=++=++=++=+−=+−⋅+= −−−∫∫

)3()3(3

1)3(

3

1)3(

3

1

)3(3

1)3(

3

13

1)3(

3

1

3

1)3(

3

1

3

1)3(

3

1

3

1)3(

3

1

3

1)3(

3

1(*) 122

L. Q. Q. V.

32. - Comprobar que ⋅+−=∫ Cx

Senx

Sendxx

Cos33

33

33

Comprobando:

Resolviendo la integral. Cambio de variable I: ux

dudx

du dx= ⇒ = ⇒ =3 3

3

De esta manera se tiene:

( )

)(

(*).33.33

13.333

1

22

2233

I

CduCosuuSenuSenduCosuuSenCosudu

duCosuuSenduCosuuCosduuCosdxx

CosI

=+⋅−=⋅−=

=⋅⋅−=⋅=⋅==

∫∫∫

∫∫∫∫

Cambio de variable I1: duCosudvSenuv ⋅=⇒=

Luego, volviendo a (*):

Cx

Senx

SenCuSenx

SenCvx

SenCdvvSenu +−=+−=+−−=+−= ∫ 333

33

3333(*) 3332

L. Q. Q. C.

33. - Comprobar que Cosx

Senxdx

SenxC2

1= − +∫ .

Comprobando:


)(

(*)1

1

2

22

I

CosxdxxSenCosxdxxSen

dxxSen

CosxI =⋅=⋅== ∫∫ ∫

−

Cambio de variable I1: CosxdxduSenxu =⇒=


CSenx

Cu

Cu

duu +−=+−=+−

==−

−∫

11

1(*)

12

L. Q. Q. C


34. - Obtener .6

2

θθ

θd

Tg

Sec∫ +

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de variable para I: θθθ dSecduTgu ⋅=⇒+= 26

CTgLnCLnuu

dud

Tg

SecI ++=+==

+= ∫∫ )6(

6

2

θθθ

θ

35. - Calcular ∫ .)2(2 dxxSen

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de variable para I: dxdu

dxduxu =⇒=⇒=2

22

CxSenxCxSenxCuSenuuduSendxxSenI +−=+−⋅=+−=== ∫ ∫ )4(4

1)4(

4

12

2

1)2(

4

1

2

1)2( 22

36.- Verifique si CzTg

ArcTgzTg

dzzSeczTg+

−=

++

∫3

1

3

3

8

)2(3

2

.

Verificando:

Resolviendo la integral. Se procede con el siguiente cambio de variable: dzzSecduzTgu 2=⇒=

Aplicando el cambio y factorizando el denominador:

( ) ( )( )( ) ( ) (*)

313124224242

2

8

2

8

)2(2222233

2

=+−

=++−

=+−

=+−

=+−+

+=+

+=+

+= ∫∫∫∫∫∫∫ u

du

uu

du

uu

du

uu

du

uuu

duu

u

duu

zTg

dzzSeczTgI

Resolviendo a I por Cambio de variable: dudaua =⇒−= 1

Aplicando el cambio en I:

( ) ( ) CzTg

ArcTgCu

ArcTgCa

ArcTga

da

u

duI +

−=+

−=+

=+

=+−

= ∫∫ 3

1

3

3

3

1

3

3

33

1

331 222

L. Q. Q. V.

37. - Evaluar .1 2

dxx

ArcSenx∫

−

Solución:

Resolviendo la integral. Acomodando el integrando.

)(

(*)11

1

22

Ix

dxArcSenxdx

x

ArcSenxI =

−⋅=

−= ∫∫

Cambio de variable para I1: 21 x

dxduArcSenxu

−=⇒=


CArcSenxCuCu

duuduu +=+=+=== ∫∫33

23

2

3

2

1

)(3

2

3

2(*)

38. - Determinar .1

22

dxx

ArcSenxx∫ −

−

Solución:


)()(

(*)11

2

1

2

21

222

II

dxx

ArcSenx

x

xdxdx

x

ArcSenxxI =

−−

−=

−−= ∫∫∫


Cambio de variable para I1 : xdxduxdxduxu 221 2 =−⇒−=⇒−=

Cambio de variable para I 2 : 21 x

dxdvArcSenxv

−=⇒=


CArcSenxxCvuCvu

dvvduudvv

u

dudvv

u

du +−−−=+−−=+−−=−−=−−=−−= ∫∫∫∫∫∫−

323

23

2

3

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

3

212

3

22(*)

39.- Encontrar: dzzSenz )37( 54 −∫ .

Solución:

Resolviendo la integral. Cambio de Variable en I: dzzdu

dzzduzu 445

353537 =⇒=⇒−=

Luego:

CzCosCuCosduuSendu

uSendzzzSendzzSenzI +−−=+−==⋅=⋅−=−= ∫∫∫∫ )37(35

1

35

1

35

1

35)37()37( 54554

40. - Determinar .1

1)1(2

2

dxx

xxLneArcTgx

∫ ++++

Solución:


)()()(

(*)11

)1(

11

1)1(

321

22

2

2

2

IIIx

dx

x

dxxxLn

x

dxedx

x

xxLneI

ArcTgxArcTgx

=+

++++

+=

++++= ∫ ∫ ∫∫

Cambio de variable para I1 : 21 x

dxduArcTgxu

+=⇒=

Cambio de variable para I 2 : 22

2

121

2)1(

x

xdxdv

x

xdxdvxLnv

+=⇒

+=⇒+=

I 3 : Es una fórmula fundamental (de resolución inmediata).

Volviendo a la integral para aplicar los cambios:

[ ]CArcTgx

xLneCArcTgx

ve

CArcTgxv

eCArcTgxvdveeCArcTgxdv

vdue

Arctgxu

uuuu

+++

+=+++=

=++⋅+=+++=+=++⋅+= ∫∫∫

4

)1(

4

22

1

2

1

2(*)

222

2

41.- Hallar: ( )∫ +− dyCose yy9

31 2 .

Solución:


( ))()(

(*)22

21

931

931

II

dyCosdyedyCoseI yyyy =+=+= ∫ ∫∫−−

Cambio de Variable en I1: dydu

dyduyu =−⇒−=⇒−=3

331

Cambio de Variable en I2: dydvdy

dvv y =⇒=⇒= 999


CSeneCSenvedvCosvduedvCosvdu

e yyuuu ++−=++−=+−=⋅+

−⋅= −∫∫∫∫ 9

31 183

118

3

118

3

192

3(*)


42.- Obtenga la integral: θθθ dTgSec∫ ⋅ 4 34 55 .

Solución:

Cambio de Variable en I: θθθθθ dSecdu

dSecduTgu 55

555 22 =⇒=⇒=


CTgTgCuuCuuduuduudu

uu

dSecTgTgdSecTgTgdTgSecSecdTgSecI

++=++=+⋅+⋅=+=⋅+=

=+=⋅⋅+=⋅⋅=⋅=

∫∫∫

∫∫∫∫

4 74 154 74 154

7

4

15

4

3

4

11

4

3

4

11

24

3

4

1124

324

3224 34

535

45

75

4

35

4

75

4

7

4

5

1

15

4

5

1

5

1

5

1

5)(

5)55(55)15(55555

θθ

θθθθθθθθθθθθθθθ

43.- Evalúe: dxxLnCosx

xLnSen∫ )2(

)2( .

Solución:


Cambio de Variable en I: dxx

xLnSendudx

x

xLnSendx

xxLnSenduxLnCosu

)2()2(

2

2)2()2( =−⇒−=⋅−=⇒=

Luego:

CxLnCosCuCuduuduudxx

xLnSenxLnCosdx

xLnCosx

xLnSenI +−=+−=+−=−=−⋅=⋅== ∫ ∫∫∫

−−−)2(222)(

)2()2(

)2(

)2(21

21

21

21

44. - Verificar que [ ].

2

)()( 2

CTgxLn

CosxSenx

dxTgxLn+=

⋅∫

Verificando:

Cambio de variable en I:

CosxSenx

dxdu

CosxSenx

dx

xCosSenx

dxCosxdx

Tgx

dxxSec

Tgx

TgxdduTgxLnu

CosxSenx

xCos

⋅=⇒

⋅=

⋅⋅====⇒=

2

122)(

)(

Entonces:

[ ] V.

Q. Q

. L

.C

TgxLnC

uudu

CosxSenx

dxTgxLnI +=+==

⋅= ∫∫ 2

)(

2

)( 22

45.- Determine que: CxTgxSecLndxxSec ++=∫ .

Determinando:

Aunque la integral es una fórmula fundamental que aparece en las tablas presentadas en el artículo de la edición anterior, obviemos esa

condición y resolvámosla. La posible respuesta es un logaritmo neperiano y según las tablas mencionadas se corresponde con

CuLnu

du +=∫ .

Se entiende entonces que para que la integral conduzca a la respuesta propuesta, el argumento del logaritmo debe aparecer en el

denominador y el diferencial de este argumento en el numerador.

Siendo así, se modifica el integrando de la integral original multiplicando y dividiendo por lo que debe ser el argumento del logaritmo de la

respuesta:

( ) ( )∫ ∫∫ =

+⋅+=

+⋅+=

++⋅= (*)

22

xTgxSec

dxTgxxSecxSecdx

xTgxSec

TgxxSecxSecdx

xTgxSec

xTgxSecxSecI

( ) ( )dxxTgxSecxSecdudxxSecxTgxSecduxTgxSecuvc ⋅+=⇒+⋅=⇒+= 22:..

Volviendo a (*):

CxTgxSecLnCuLnu

du ++=+== ∫(*)

D Q. Q. L. .


46.- Comprobar si CSec

dCosec

Sec +=∫ 4

45 θθθ

θ.

Comprobando:

Resolviendo la integral. Como el resultado está conformado por la secante, se debe arreglar la integral de tal manera que el cambio de

variable se haga con respecto a ésta. Por lo tanto, la integral se modifica para que en ella se tenga el diferencial de la secante. Así que:

(*)344455

=⋅⋅=⋅=⋅=⋅=⋅== ∫∫∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θθ

dTgSecSecdTgSecdCos

SenSecdSenSecSecdSenSecd

Cosec

SecI

θθθθ dTgSecduSecuIvc ⋅=⇒=:en..


( ) CSec

Cu

duuSecdSecI +=+==== ∫∫ 44(*)

4433 θθθ

L. Q. Q. C.

47.- Verifique que CedxCos

exSen xSecxSec

+=⋅

∫ 2.

Verificando:

Resolviendo la integral. La respuesta presenta a Sec x. Entonces, se propone el cambio: xSecu = .

Este cambio obliga a que en la integral debe aparecer el diferencial de la secante: dxxTgxSecdu ⋅= . Entonces hay que rescribir la integral

para que esto suceda.

( ) CeCeduexSecdedxxSecxTge

dxxCosxCos

xSenedx

xCosxCos

xSenedx

xCos

xSenedx

xCos

exSenI

xSecuuxSecxSec

xSecxSecxSecxSec

+=+===⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

∫∫∫

∫∫∫∫1

22

L. Q. Q. V.

48.- Comprobar si: .3

3

3

3

1262C

xSenArcTg

xSenxSen

dxxCos +

−⋅=+−∫

Comprobando:

Resolviendo la Integral. Se realiza un cambio de variable y se completa cuadrados en el denominador.

Cambio de variable: dudxxCosuxSen =⇒=

Luego:

( )( )*

33396126126 2222 ∫∫∫∫ =+−

=++−

=+−

=+−

=u

du

uu

du

uu

du

xSenxSen

dxxCosI

Otro cambio de variable: dvduvu =⇒=− 3

Volviendo a (*):

( ) CxSen

ArcTgCu

ArcTgCv

ArcTgv

dv

v

dvI +

−⋅=+

−⋅=+

=

+=

+== ∫∫ 3

3

3

3

3

3

3

3

33

1

33(*)

222


49.- Compruebe: .3

112

3

32

12

)11(

1)1(

21 2

2C

xArcTg

xx

xLndx

xx

x +

++⋅−+++

−+=+−+

++∫

Comprobando:

Resolviendo la integral. Cambio de variable en I: ududxux 21 2 =⇒=+


( ) ( )

( )[ ]

( ) =+

+⋅−++−−=

=+

+⋅−++−−=

=+++

−++++−−=

=+++

−++

+−−=

=+++++−−+=+

+++−−=

=+++

+−−+=+++⋅−

−⋅+−−=

=++⋅−

−−−

=

=++⋅−

−+++⋅−

++=

=++⋅−−+++=

++⋅−−+++=

=++⋅−

+=−

+=⋅−

+=

=⋅−+=⋅

−+=

+−+++=

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Cu

ArcTguuLnuLn

Cu

ArcTguuLnduLn

Cu

dudu

uu

uuduLn

Cuu

du

uu

duuuLn

Cduuu

uxLnCdu

uu

uuLn

Cduuu

uxLnCdu

uuu

uuuLn

duuuu

u

u

du

duuuu

udu

uuu

uu

duuuu

uuudu

uuu

uuu

duuuu

udu

u

uudu

uu

u

uduuu

uudu

uu

udx

xx

xI

3

121)1(

1)1(

1

)1()1(

11

)12()1(

1

112)11(

1

22)1(

1

12112

)1()1(

)1()1(212

)1()1(

12

12

)1()1(

12

)1()1(

12

)1()1(

)1()1(2

)1()1(

112

)1()1(

22

1

22

)1(

22

222

)(

2

1)1(

21

33222

23

21

3222

2

232

21

2

22

222

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

233

4222

2

2

cuadradosoCompletand

( )

Cx

ArcTgxx

xLn

Cx

ArcTgxxLnxLn

+

++⋅−+++

−+=

=+

++⋅−

++++−−+=

3

112

12

)11(

3

112111)11(

332

2

33222

L. Q. Q. C.

50.- Verificar: ( )C

uArcTguuLnudu

uu

u +

+⋅−++−=

++−

∫ 7

32

7

943

2

5

43

1 2

2

2

Verificando:

Resolviendo la integral. Desarrollando producto notable en el numerador y realizando división de polinomios.

( )

)(

(*)43

343

543

351

43

12

43

1

1

2222

2

2

2

I

uu

du

uu

udududu

uu

udu

uu

uudu

uu

uI =

++−

++−=

+++−=

+++−=

++−= ∫∫ ∫∫∫∫


+=++=

32

432

uda

uua

HOMOTECIA Nº 10 – AÑO 16 Lunes, 1º de Octubre de 2018 21 Luego, volviendo a (*):

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ))(

(**)732

18432

5

4

7

4

322

943

2

5

2

7

2

322

9

2

5

2

7

2

32

9

2

5

432

9

43

32

2

5

433

432

15

43

32

2

5

433

43

332

2

5(*)

2

22

2

22

222

2222

22222

I

Cu

duuuLnu

Cu

duuuLnuC

u

duaLnu

C

u

du

a

dauC

uu

du

uu

duuu

uu

du

uu

du

uu

duuu

uu

du

uu

duuuI

=+++

+++−=

=+

+++++−=+

+

++−=

=+

+

+

+−=+++

+++

+−=

=++

−++

+++

+−=++

−++

−+−==

∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫


=⇒=

+=

22

32

dbdududb

ub

Volviendo a (**):

( ) ( )C

uArcTguuLnuC

bArcTguuLnu

Cb

dbuuLnuC

b

db

uuLnuI

+

+⋅−++−=+

⋅+++−=

=++

+++−=++

+++−== ∫∫

7

32

7

943

2

5

77

943

2

5

7943

2

5

7

218432

5(**)

22

22

2

22

2

51.- Compruebe si: .82

5

15

1

453

1C

xTgLndx

xCos

+

+=

−∫

ππ

Comprobando:

Resolviendo la integral. Se aplica el siguiente Cambio de Variable:

55

45

dudxdxduxu =⇒=⇒−= π


( )

( )

Cx

TgLnCx

TgLn

Cx

TgLnCu

TgLnCu

TgLn

C

uCos

uCosLnC

uSen

uSenLnC

uSen

uSenLn

CuCos

uSenLnC

uCos

uSenLnC

uCos

uSen

uCosLn

CuTguSecLnduuSecuCos

dudu

uCosI

+

+=+

−+=

=+

−+=+

+=+

+=

=+

++

+−=+

−+=+

−+=

=++=++=++=

=++===⋅

= ∫∫∫

82

5

15

1

82

5

415

1

24

5

415

1

2415

1

22

15

1

21

21

15

1

1

1

15

1

1

1

15

1

1

15

11

15

11

15

1

15

1

15

1

15

1

53

1

2

2

2

2

πππ

πππ

π

π

π

L. Q. Q. C.

Se aplica la identidad sobre ángulos que

difieren en π2 : ( )xCosxSen +=− 2

π

Luego se aplica la identidad:

xCos

xCosxTg

+−

=1

1

2


52.- Compruebe: Cx

xArcTgxdx

x

x +

−++−−=

−+

∫ 3

369

3

3 2

Comprobando:

Resolviendo la integral: Al presentar el integrando la raíz de un cociente, se puede convertir en el cociente de raíces de índice iguales, en

este caso, con radicandos conjugados entre sí. Se inicia la resolución de la integral multiplicando numerador y denominador por la raíz

conjugada del denominador.

( ) ( )( ) ( )

( )

)()(

(*)99

3

9

3

3

3

33

33

3

3

3

3

21

22222

2

IIx

dxx

x

dxdx

x

xdx

x

xdx

xx

xxdx

x

xdx

x

xI =

−+

−=

−

+=−

+=

+⋅−+⋅+

=−+=

−+= ∫∫∫∫∫∫∫

Resolviendo a I1: Es de resolución inmediata porque se le puede aplicar la fórmula elemental:

.0;22

≠+=−∫ aC

a

uArcSen

ua

du

Luego:

( ) 13221 39

39

3CArcSen

x

dx

x

dxI x +⋅=

−=

−= ∫∫ .

Resolviendo a I2:

Cambio de variable en I2: 2

29 2 duxdxxdxduxu −=⇒−=⇒−=


22

22

21

2

22 9

2

1

2

1

9

21

21

CxCuCu

duuux

dxxI

du

+−−=+−=+⋅−=−=−

=−

= ∫ ∫∫−

.

Volviendo a (*):

( ) ( ) .3993(*) 322

321 CArcSenxxArcSenIII xx +⋅+−−=−−⋅=+==

Aunque el resultado obtenido es correcto, no es el propuesto. La diferencia está en el ( )33 xArcSen⋅ , que proviene de la resolución de I1.

Volviendo a la resolución de I1, se debe considerar que para obtener la Arco tangente, esta integral debió ser de forma similar a:

∫

−++

−+

=21

3

3

3

3

x

xa

x

xd

I

Retomando nuevamente la resolución de I1, buscando transformar el radicando en una expresión similar a la considerada.

( )

( ) ( ) =

−

+⋅−−⋅

=

−

−⋅

+⋅−−

=

=

+⋅−−=

−−⋅

−⋅+=

=−⋅+

=−

=

∫∫

∫∫

∫∫

dx

x

xx

x

dx

x

xxx

x

dxxx

xdx

x

x

xx

xx

dx

x

dxI

36

33

36

3

36

36

33

3

3

33

33

3

3

33

13

333

9

3

2

21

Se factoriza el denominador de la fracción en el integrando.

Se multiplica el numerador y el denominador por .3 x− Se realiza

la simplificación procedente.

Se multiplica y se divide el integrando por

x−3

6 .

Se realiza la simplificación procedente.


( ) ( )=

−

−−

+

=

−

−⋅++⋅−−⋅+

−⋅

= ∫∫ dx

x

x

x

x

dx

x

xx

xx

xx

x

3

63

3

3

6

3

3

633

33

33

36

3

22

La fracción en el numerador del integrando, se multiplica y se

divide por

xx −⋅+ 33

1 .

Se realiza la simplificación procedente.

( )( )

( )

( )

( ) ( )

=

−

−+

−

=

−

−+

+⋅−+⋅

=

=

−

−

+⋅−

=

−

−⋅−−

+⋅−

=

∫∫

∫∫

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

xx

x

dx

x

x

xx

dx

x

xx

x

xx

3

63

3

3

6

3

3

63

3

33

36

3

3

63

133

6

3

3

633

3

33

6

3

22

2

2

2

2

Nuevamente se vuelve a multiplicar y a dividir la fracción

en el numerador del integrando pero esta vez por

( )23

1

x−Se realiza la simplificación procedente.

El numerador de la fracción en el integrando es una

fracción entre dos fracciones. Entonces, a cada uno de los

numeradores de estas dos fracciones se les multiplica por

x+3 . Se realiza la simplificación procedente. También se

aplica la propiedad de la radicación “cociente de raíces de

igual índice”.

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )**

3

31

33

3

18

3

31

3

3

3

6

3

3

31

3

3

3

6

3

3

3

3

33

3

3

6

3

3

333

3

3

6

3

2

2

2

2

222

=

−++

−⋅−+

=

−++

−+

−

=

=

−++

−+

−

=

−++

−−

−+

−

=

−++−

−+

−

=

∫∫

∫∫∫

dx

x

x

xx

x

dx

dx

x

x

x

x

x

dx

x

xx

x

x

dx

x

x

x

xx

x

x

dx

x

xxx

x

x

En la fracción que conforma el denominador del

integrando se aplica el artificio matemático

( ) ( )xx ++−= 336 para poder separarla en dos

fracciones con igual denominador. Se realiza la

simplificación procedente.

En la fracción que conforma el numerador de la

fracción del integrando, se aplica la división de

números racionales. En el denominador de la fracción

del integrando se aplica el siguiente artificio

matemático 2

3

3

3

3

−+=

−+

x

x

x

x .

HOMOTECIA Nº 10 – AÑO 16 Lunes, 1º de Octubre de 2018 24 Cambio de variable:

( ) ( ) ( ) ( )

−⋅−+

=⇒

−⋅−+

=−⋅

−+⋅

=−

++−⋅

−+=

−+=

−+=

−

2222

33

333

3

3

3

33

32

6

3

33

3

3

2

1

3

3

3

3

21

21

xx

x

dxdudx

xx

xdx

xx

xdx

x

xx

x

xdu

x

x

x

xu

Volviendo a (**) para aplicar el cambio:

∫ ∫ +=+

=+

== 1223

1 61

61

18(**) CuArcTgu

du

uI

du

Devolviendo el cambio:

11 3

36 C

x

xArcTgI +

−+=

Luego, volviendo a (*):

Cx

xArcTgxI +

−+⋅+−−==

3

369(*) 2

L. Q. Q. C.

53.- Compruebe si: ( )[ ] .1121

2CxxLnxxdx

x

x +++−+⋅⋅=+∫

Comprobando:


(*)1

2

1

2 =+

=+

= ∫∫ dxx

xdx

x

xI

Se propone el siguiente cambio:

1

211 22

+=

⇓

=⇒−=⇒+=

xu

ududxuxxu

Volviendo a (*) para aplicar el cambio:

( )(**)1222

122

12(*) 2

2

2

2

=−=−⋅=−

== ∫∫∫ duuuduu

uudu

u

uI

En (**) se aplica la fórmula elemental:

CauuLnaauuduau +−+−−=−∫222

2122

2122

Luego:

CuuLnuuCuuLnuuduuI +

−+−−⋅=+

−+⋅−−⋅⋅=−== ∫ 11212

11

2

122122(**) 22222

Devolviendo el cambio inicial:

( ) ( ) [ ]

[ ] ( )[ ] CxxLnxxCxxLnxx

CxxLnxxCxxLnxxI

+++−+⋅⋅=+++−⋅+⋅=

=+−+++−−+⋅+⋅=+

−+++−−+⋅+⋅==

112112

11111121111112(**)22

L.Q.Q.C.


Ejercicios propuestos.-

I. – Comprobar que:

) ( ) ( )) ( )

)

)( )

( )

) ( )

) ( ) CeLndxe

e

CSenxLndxSenx

Cosx

CxArcTgx

dx

Cxx

xdx

Cxdxx

Cxdxxx

xx

x

++=+

++=+

+−=−+

+−−=−

+−−=⋅−

+−=−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

52

1

56

3535

35

111

4

33

3

7535

4752

23231

22

2

2

2

2

4 54

112661

102

) ( ) Cabxb

dxabx ++=⋅+∫3

3

27

)

) ( ))

)

) ( ) Cydyyy

CyyLndyyy

y

Cxxdxxx

x

Cydyyy

Cbtabbta

dt

++=⋅+

++=++

++=+

+

++=+

+−−=−

∫

∫

∫

∫

∫

3434

22

2

2

32612

16

1112

42

1

4

211

323

3210

32329

28

∫

∫

∫

+−=

++=+⋅

++=+

CxCosxdxSen

Cxdxxx

Cxxdxx

2

3332

5242

2)15

)7(9

27)14

)43(30

1)43()13

CeLndxe

e

Ceeedxee

CLn

dx

Cedxex

Cedxe

xx

x

xxxxx

xx

xx

xx

++=+

+−−=+

+⋅

−=

+−=

+=

∫

∫

∫

∫

∫

−−−

−−

)34(4

1

34)20

2)()19

33

2

3

1)18

36

1)17

4

1)16

4412

2122

993

44

44

CxLnxdxx

x+++−=∫

+

−234

1123

23

31)21

CbxaLnb

a

b

xdx

bxa

x++−=∫

+2)22

CxLnxx

dxx

x+−++=∫

−

+12

21

1)23

22

Cax

baxLnabxadx

ax

ba +

−−−⋅+=∫

−+

2

2

2

2)24

( ) [ ] CxArcTgxLndx

x

xArcTgx+−+=

+

−∫ 3)2(

3

12418

1

241

)2()25

Ca

axArcTg

aaxx

dx +

−⋅=−⋅∫

22

22

1)26

∫ ++++=+

++ CxLnxxdxx

xx 12

2

1

222)27

[ ] CxLnLnxLnxLnx

dxxLn

Ct

tLntLndt

t

t

+−=⋅

++

−−−=

−

−

∫

∫

)4(693,0)4()4(

)2()29

23

23

12

65223

3

1

223

52)28

.5

3

5

7

346

7)30

2C

mArcTgdm

mm+

+=++∫

.4

3

4

7

256

7)32

.)31

2

2

Cx

ArcTgdxxx

CaLn

adt

tCos

a tTgtTg

+

−=+−

+=

∫

∫

CxCosdxxSenxCos

CosxSenx+=

−

⋅∫ 2

2

1)33

22

( ) CxLnArcTgxdxx

xx x ++−+=+

+−∫ 4

4

65)34 2

25

22

2

( ) ( ) CxLnxxx

dxx

x +−+++=−

+−∫

82233

517235

52)35

Cx

ArcSenx

x

dx +=−∫ 7

35

557)36

2

( )

( ) CxArcTgdxx

x

CxxxLndxxxx

xx

CeLndxe

e

Cxxdxxx

x

x

x

+=+

++++=+++

++

++=+

+−−−=−

∫

∫

∫

∫

441

8

3

2331

23

2

331

3

3

2212142

1)40

866866

24)39

77

)38

41)41(4)37

( ) ( ) Cxxdxxx +−⋅−⋅−=−⋅∫3 3233 432 2727

14

127)41

( )Cxdx

x++⋅=

+∫ 3

3 212

2

3

12

1)42

Cxdxx

x +−⋅−=−∫

3 2

3 24

4

3

4)43

( )( )

( ) Cn

axdx

ax

xn

n +−⋅

−=−

−

∫ 12)44

122

22


II. - Calcular:

)

)

)) =+

=⋅−

=+

=−

∫

∫

∫

∫

dxx

dxee

dxe

e

dxxx

xx

x

x

11

3

3

3

42

)3(4

)1(3

72

41

) =−∫ dxxx 15

) =−∫ 25

6x

dx

) =+∫ 41

7x

xdx

) =∫ dxex x328

=+++

++

=+⋅

∫

∫

dxxxx

xx

dxLnxx

866

24)10

)89(

1)9

23

2

∫

∫=+

=+

dxx

dxx

73)12

73)11

=−∫ dxx3 101)13

=+

=+

∫

∫dxxx

dxx

34)15

)52()14

2

4

=−⋅∫ dxxx 3 283)16

=+∫ dxxx 52)7()17

=+∫ dxxx 443 )32()18

∫

∫=+++

=+++

dxxxx

xxx

3 2

2

162)32()20

82)1()19

=−∫ dx

x

x29

)21

=+∫ dx

x 3)17(

3)22

∫

∫

=+++

+

=+

dxxxx

x

dxx

x

4126

)2()24

32)23

23

2

2

=+++

+∫ dx

xxx

x

4126

)2()25

23

2

=++

+∫ dx

x

x

4)1(7

1)26

2

=⋅+∫ dxxx 33 438)27

=+⋅++∫ dxxxx )12()199()28 5 22

=∫+ dxe xex

)29

∫ =+ dxxx 2)32()30

=⋅

=⋅

=⋅

∫

∫

∫

+ dxee

x

dx

xdx

xee

x

x

xxe

)33

2)32

2)312

∫

∫

=+

=++

− dxe

dxee

e

x

xx

x

1

1)35

12

9)34

2

=

=

∫

∫

dxxxLn

dxxLnx

2

3)37

5)36

=

=

∫

∫

dxxxLn

dxxLnx

2

3)37

5)36

=∫ dxxxLn5

1)38

=+

==+

∫

∫

dxxx

dx

xuhagadxx

x

)1()40

)(1

)39 48

3

∫

∫

∫

∫

∫

=+

=+

=−+

=

=+ −

−

1)45

8)44

5

1)43

)42

1

6)41

2

3

4

3

4

5

y

dyy

dzz

z

dtt

t

Lnpp

dpr

drr

∫ =− 9

)462re

dr

=+∫ dzzz

43

5

2)47

2

=+∫ dv

v

v1)48

=+∫ dtt1)49

=++∫ −

−−

dye

eey

yy 12)50

2

=++

+∫ dz

zz

z3 3

2

16

2)51

=++

+∫ du

uu

uu4 23

2

16

168)52

=+⋅∫ )1(

)53ww

dw

∫

∫

=+

=+

− xx

t

t

ee

dxe

dte

)55

5)54

2

=+∫ )1(

4)56

vv

dv

=+∫ dyyy 743 )21()57

=

=−−−

∫

∫

+dw

e

w

dzzzz

w2213

4)59

73)32()58 3 2

∫ =−++ 32)1(

)602 yyy

dy

=⋅

=++

∫

∫

)9(3)62

9124

13)61

2

ααα

Ln

dss

ds

=∫ dxe xLn )34()63

=+++

=

∫

∫

dwww

w

drr

23

2

)(1

13)65

5)64


AAnnááll iissiiss ddee llooss eerr rr oorr eess ccoommeettiiddooss ppoorr llooss eessttuuddiiaanntteess eenn llaa rr eessoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess ccuuaaddrr áátt iiccaass.. Por: Romstine Cescutti1

1 Ministerio del Poder Popular Para la Educación, Valencia. Venezuela [email protected]

RESUMEN

En la actualidad, el estudio de los errores en la resolución de problemas en el proceso de enseñanza – aprendizaje de los objetos matemáticos es fundamental en el análisis de los factores que inciden en el rendimiento de los estudiantes. Por lo que, la presente investigación, tiene como finalidad analizar los errores cometidos en la resolución de ecuaciones cuadráticas en los estudiantes del tercer año de educación básica en el nivel de liceo. Este estudio es de enfoque cualitativo de tipo descriptivo. La recolección de información se llevó a cabo por medio de la aplicación de dos instrumentos; el primero, cuestionario de respuestas de tipo abiertas que consto de cinco (5) ítems y, el segundo, la utilización de matrices de análisis para el análisis y síntesis de la información. Como resultado se obtuvo, que los errores que ocurren con mayor incidencia en los estudiantes son: (a) los errores debidos a un aprendizaje deficiente de destrezas y conceptos previos (EAPD) y (b) los errores debidos a asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento (EAIRP). Asimismo, se detectó una serie de aspectos tales como: dominio insuficiente de tópicos matemáticos, uso inadecuado de algoritmos, procedimientos y representaciones simbólicas.

Palabras clave: Educación Matemática, Obstáculo, Análisis de Errores, Ecuación Cuadrática.

ABSTRACT

Currently, the error study in the problems to be solved in the teaching-learning process of mathematical objects is fundamental in the factor analysis that affects the student performance. Therefore, the present research has its aim in analyzing the errors made in the second-level equation resolves by third grade students from secondary school. This study has a qualitative approach of the descriptive type. The collection of information was taken through the application of two instruments; the first one, an open ended response questionnaire with five (5) items and, the second one, the use of analysis matrices to the information analyses and synthesis. As a result of this, the errors mainly made by the students were: a) the errors from a deficient learning of previous knowledge and skills, and b) the errors from wrong and rigid associations of thought. Likewise, it detected a set of aspects such as: insufficient dominion of mathematical topics, algorithm inadequate use, symbolic representation and procedures.

Keywords: Math Education, Obstacle, Error Analysis, Second-level Equation.

1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día, el estudio del proceso de enseñanza y aprendizaje de los objetos matemáticos es fundamental en el análisis de los factores que inciden en el rendimiento de los estudiantes y en logro o en el fracaso de los objetivos propuestos durante un periodo o año escolar. Por lo que, los errores cometidos por los estudiantes vienen a ser el indicativo de que algo está ocurriendo, ya sea a nivel cognitivo, didáctico o epistemológico. Para muchos docentes la existencia de errores sólo significa la falta específica de algún tipo de conocimientos o el manejo equivocado de un método usado para la resolución de problemas.

Sin embargo, los errores que manifiesta el estudiante en sus producciones pueden esconder una realidad totalmente diferente, estos posiblemente indican la existencia de una patología subyacente originados por la formación inadecuada de esquemas cognitivos durante la enseñanza y aprendizaje de algún concepto matemático; razón por la cual, estos errores se presentan de manera recurrente y no son productos del azar, sino que se activan como un marco conceptual válido para la persona en la que se suscita. Debido a su característica de conocimiento adquirido previamente este se rehúsa a ser modificado o eliminado impidiendo la correcta formación de conceptos que hagan uso de estos. De tal forma, que el error viene a ser el indicativo de la existencia, en el aparato cognitivo del sujeto, de algún tipo de conflicto.

Ahora bien, el estudio de errores es un campo de análisis muy amplio, son muchas las investigaciones realizadas alrededor de estos, entre los cuales se pueden mencionar los trabajos de Radatz (1979); Brousseau (1983); Rico (1995); Gómez (1995); KilpatricK, Gómez y Rico (1998); Font y Pochulu (2008), Chavarría (2014), entre otros. Donde en función de la perspectiva de los análisis empleados en sus investigaciones llegan a la conclusión de que los errores, en la mayoría de los casos, son debidos a la presencia de obstáculos o dificultades constituidos durante la etapa de formación de algún concepto matemático o a la no adecuada transposición didáctica efectuada desde el saber enseñar al saber escolar.

Por tal motivo, la importancia de este tipo de análisis (en cualquier etapa de la educación formal) es fundamental en la labor del docente de matemática, pues ayuda al diseño de una instrucción eficaz que posibilite un mejor grado de comprensión en el individuo, por medio de la detección de obstáculos didácticos y epistemológicos, modelos implícitos y dificultades cognitivas individuales subyacentes en los esquemas instalados y consolidados durante el hecho educativo. De igual manera, se debe señalar que en todo proceso de enseñanza y aprendizaje no se pueden desligar entre sí lo pedagógico, lo didáctico y lo concerniente al saber, debido a que estas juegan un papel importante a la hora de fomentar en el estudiante la correcta relación con el objeto matemático.

Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, la presente investigación tiene como objetivo analizar los errores cometidos en la resolución de ecuaciones cuadráticas en los estudiantes del tercer año de educación básica en el nivel de liceo.


1.1. Antecedentes de la investigación:

En la actualidad la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos matemáticos, así como también el desarrollo de la didáctica de la matemática como disciplina científica ha ocasionado la aparición de diversas investigaciones de gran relevancia en el estudio de los errores. Para este trabajo, debido a sus aportes se consideraron las investigaciones educativas siguientes:

Abrate, Font y Pochulu (2008), los cuales efectuaron un trabajo donde se examinan algunos de los modelos y métodos de resolución de ecuaciones que utilizan los estudiantes y los textos escolares de matemática con la finalidad de analizar las implicancias didácticas que tienen los mismos, en cuanto a obstáculos y dificultades que se originan en el proceso de aprendizaje. Como resultado de la misma, se obtuvo que los estudiantes emplean la transposición de términos como método de resolución de ecuaciones apoyado en metáforas operacionales, lo cual no resulta ser lo más apropiado sino se hace un uso correcto de dicho método, ya que pueden originar conceptos erróneos en los estudiantes.

Por su parte, López y Sosa (2008) tienen como propósito identificar cuáles son los factores que influyen en las dificultades de aprendizaje y de igual manera en los errores cometidos por estudiantes de etapa media y superior del sistema educativo al momento de manejar el concepto función. Logrando, reportar una serie de factores de características diversas (cognitivas, epistemológicas y didácticas) que repercuten en el aprendizaje del concepto de función en el ámbito escolar, así como una descripción detallada de los errores cometidos por los estudiantes.

Asimismo, Chavarría (2014) realizó una investigación que tuvo como finalidad analizar las dificultades de estudiantes de octavo año, al aprender el tópico de resolución de problemas algebraicos mediante la aplicación de ecuaciones lineales con una incógnita. Obteniéndose, una serie de resultados que destacan las principales causas de las dificultades de los estudiantes al aprender a resolver problemas algebraicos; entre estas se encontraron aspectos afectivos, deficiencia en conocimientos previos, poca comprensión relacional, fatiga, distracción, deficiencias en la lectura y manejo inadecuado de la terminología.

Ahora bien, en Olmedo, Galíndez, Peralta y Di Bárbaro (2015), su estudio tiene por objeto categorizar los errores que cometen los estudiantes de primer año del profesorado en matemática de la FACEN en sus producciones escritas en la asignatura de algebra; así como también, deducir las concepciones inadecuadas relacionadas a los errores en función a la complejidad de los objetos matemáticos y a los procesos de: pensamiento, enseñanza y aprendizaje. De este proceso investigativo, se concluyó que los errores cometidos por los estudiantes se producen por la aplicación de procedimientos imperfectos provocados por concepciones inadecuadas y a la interpretación errónea de las expresiones algebraicas.

1.1.1 Fundamentos teóricos:

a. Obstáculo y Tipología de los obstáculos:

Para Brousseau (1983), la definición de obstáculo la concibe a partir del análisis de las causas que provocan la aparición de los errores en los estudiantes en la resolución de una determinada situación y la explica como aquella concepción que ha sido, en principio, eficiente para resolver algún tipo de problema pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se opone a ser modificado o a ser rechazado en la estructura cognitiva del individuo, por lo que se manifiesta como una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de errores específicos que no son producto de la ignorancia ni la incertidumbre, sino por el efecto de esa concepción que se ha construido de manera inadecuada, trayendo como consecuencia que los errores tiendan a ser constantes y resistentes.

Tipología de Obstáculos:

Según su naturaleza, de acuerdo a Brousseau (1983), se considera cuatro tipos de obstáculos, estos son: (a) los obstáculos epistemológicos; (b) los obstáculos didácticos; (c) los obstáculos psicológicos; y (d) los obstáculos ontogenéticos. Estos obstáculos presentan una serie de aspectos que son importantes señalar y que todo docente debería al menos conocer con la finalidad de no propiciar la aparición de los mismos.

En este orden de ideas, siguiendo al autor ya mencionado, los obstáculos epistemológicos están relacionados a la constitución del conocimiento, su existencia es independiente de las elecciones didácticas que haga el profesor y son inevitables. Por su parte, los obstáculos didácticos se vinculan a los procesos de transposición didáctica que se hacen desde el saber–sabio al saber–enseñado, el causante de que ocurran es el profesor debido a las elecciones didácticas que emplea. Mientras, que los obstáculos psicológicos son aquellos producidos por alguna experiencia anterior que afectó negativamente al estudiante provocando en él malestar e incluso bloqueos al encontrarse con una situación que sea similar a la situación que la originó, por lo que le resulta muy difícil resolver la nueva situación. Y por último, los obstáculos ontogenéticos se deben a una disfunción entre el saber enseñado con respecto al desarrollo psicogenético del estudiante. Esta disfunción puede producirse tanto por exceso como por defecto.

Una vez expuesto lo anterior, se puede observar que un obstáculo está constituido como un conocimiento válido para la persona en el que se suscita, en donde intervienen objetos, relaciones, métodos, concepciones coherentes pero no correctas en el contexto al que se aplica, que produce ramificaciones inesperadas en relación con otros conceptos. Por tal motivo, dicho conocimiento se resiste a ser rechazado, por lo que busca adaptarse y modificarse, trayendo como consecuencia que se manifieste aun así se tenga conciencia cognitivamente de ese esquema inadecuado o defectuoso. Por lo que, el docente debe en su práctica pedagógica y didáctica ser capaz de detectar a tiempo este tipo de patología, para así elaborar una serie de situaciones que hagan inoperante ese conocimiento defectuoso.

HOMOTECIA Nº 10 – AÑO 16 Lunes, 1º de Octubre de 2018 29 b. Teoría de los Errores en Matemática:

En el campo de la educación y la didáctica de la matemática se toman en cuenta tanto los errores como los obstáculos, estos actualmente son considerados como el producto resultado de procesos complejos de la enseñanza y el aprendizaje, en donde intervienen una serie de factores externos e internos durante la construcción y reconstrucción de nociones, concepciones, percepciones analíticas o espaciales, actitudes y emociones subjetivas que ocurren en torno a la aprehensión de un determinado concepto en el estudiante como consecuencia de la interacción constante con situaciones problema.

Desde este punto de vista, los errores podrían catalogarse como procesos intermedios de generación de conocimiento originados a través del ensayo de un método de resolución y de la interacción dialéctica que ocurre en la estructura cognitiva del estudiante en donde relaciona conocimientos anteriores con los nuevos para así modificar, completar o rechazar concepciones, edificando nuevas estructuras o esquemas de pensamiento avanzados, que de no ser construidas de manera correcta pueden constituirse en obstáculos.

En cuanto a lo referente al estudio de los errores en la resolución de problemas matemáticos, estos presentan una serie de características, que según Mulhern (1989; citado por Rico, 1995) son:

• Se producen de manera abierta y franca. • Son persistentes y no se superan fácilmente. • Pueden ser sistemáticos o por azar: los sistemáticos ocurren con mayor frecuencia y se manifiestan en los procesos

mentales que conllevan a una comprensión equivocada; mientras que los cometidos por azar son esporádicos. • Se dan en el estudiante en la mayoría de los casos de manera implícita sin el conocimiento del mismo de que se ha

incurrido en el error, debido al no dominio del significado de los símbolos y conceptos que se emplean en la resolución de determinada tarea.

No obstante, Davis (1984; citado por KilpatricK, Gómez y Rico, 1998), producto de sus investigaciones al respecto, construye una teoría de esquemas personales que se manifiestan de forma similar en diferentes individuos que tengan en común las mismas experiencias. Esta teoría, tiene su fundamento en los principios y reglas que regulan el procesamiento de información, y su finalidad es la de identificar y explicar algunos de los errores que cometen frecuentemente los estudiantes durante el proceso de aprendizaje de la matemática.

Según el autor señalado en el párrafo anterior, estos esquemas tienen unas características definidas, los cuales se mencionan a continuación:

• Estos se consideran como esquemas que se organizan en datos de entrada. • Los errores que se manifiestan pueden usarse en la identificación de cada estructura de representación, lo cual es muy útil,

pues informa parte el modo cognitivo de trabajo del sujeto. • Las estructuras de representación poseen un origen legítimo, es decir, se fundamentan en un aprendizaje inicialmente

correcto. • Para que una estructura de representación funcione adecuadamente necesita una determinada información inicial, esta debe

ser proporcionada en su totalidad de lo contrario no funcionará. • Los esquemas son persistentes, razón por la cual se les reconoce como entidades internas de procesamiento de la

información, que pueden vincularse con ciertos comportamientos externos observables. • La creación y el modo de actuar de los esquemas están determinados por ciertas reglas que las rigen. La primera, la

sobregeneralización inicial; la segunda, la no discriminación; y la tercera, que expresa que el procesamiento tiende a producirse según el esquema adjudicado y en el caso de que se presenten conflictos estos se adaptan o se modifican para seguir funcionando.

• Los esquemas pueden ser recuperados en la memoria a través de términos claves que los activen. • En la resolución correcta de algún tipo de tarea matemática, la información que requiere el estudiante para lograrlo la

encuentra en gran medida en los esquemas que emplea.

Asimismo, los errores pueden ser objeto de la clasificación Radatz (1979) presenta una categorización de los mismos, esta es la siguiente:

• Errores debido a dificultades del lenguaje: Hace referencia aquellos errores que surgen en la resolución de problemas verbales cuando se efectúa la traducción desde un esquema semántico en el lenguaje natural a un esquema más formal en el lenguaje matemático, aquí interviene la interpretación de conceptos, símbolos y vocabulario propios de la matemática.

• Errores debidos a dificultades para obtener información espacial: Errores que se manifiestan por las dificultades en el procesamiento de la información a través de imágenes espaciales y visuales en la realización de tareas matemáticas.

• Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos: Abarca todos los errores ligados a deficiencias de conocimientos de contenidos, ya sea por la ignorancia o el uso inadecuado de algoritmos, hechos básicos, procedimientos en la aplicación de técnicas, manejo de símbolos y conceptos.

• Errores debidos a asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento: Estos se manifiestan en la resolución de problemas y son producto del desarrollo de operaciones cognitivas basados en la experiencia obtenida sobre problemas similares, por lo que tienden a utilizar los mismos procedimientos en la resolución de problemas diferentes como si se trataran de los mismos, obviando el análisis de nueva información.

• Errores debidos a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes: Se producen por empleo exitoso de reglas o estrategias similares en áreas de contenido distintas.


2. METODOLOGÍA

La presente investigación está enmarcada en un enfoque cualitativo en el sentido de Hernández, Fernández y Baptista (2008), en donde expresan que es aquella donde se “utiliza la recolección de datos sin mediación numérica para descubrir o afinar preguntas de investigación en el proceso de interpretación” (p.8). Por lo tanto, las metodologías de naturaleza cualitativa siguen un método inductivo para la generación de hipótesis y de conocimientos válidos, por medio de la reconstrucción de la realidad a través de la interpretación de la experiencia. Una vez descrita la naturaleza del trabajo, se debe aclarar el tipo de investigación, en este caso el tipo de investigación acogido es del tipo descriptivo y de diseño transeccional contemporáneo univariable documental.

Para efectos de este trabajo la población estudiada son treinta y seis (36) estudiantes: los estudiantes del tercer año de educación básica en el nivel de liceo de la Unidad Educativa “El Siervo de Dios”. Asimismo, se escogió una muestra de doce (12) estudiantes de la misma institución y cursantes del año ya mencionado, con edades comprendidas entre catorce (13) y dieciséis (16) años. Cabe señalar, que la muestra, en el proceso cualitativo, se tratan de muestras no probabilísticas; el tipo de muestra empleada es la de muestras homogéneas, que es un tipo de muestra cualitativa en la que “las unidades a seleccionar poseen un mismo perfil o características, o bien, comparten rasgos similares. Su propósito es centrarse en el tema a investigar o resaltar situaciones, procesos o episodios en un grupo social” (Hernández y otros, Ob. Cit., p. 567).

Por su parte, la recolección de información se llevó a cabo por medio de la aplicación de dos instrumentos; el primero, cuestionario de respuestas de tipo abiertas que constó de 5 ítems y, el segundo, la utilización de matrices de análisis para el procesamiento y síntesis de la información. Para su análisis se empleó el método de la técnica del análisis de contenido el cual se entiende como “técnica para estudiar la comunicación de una manera objetiva, sistemática y que cuantifica los contenidos en categorías” (Hernández y otros, Ob. Cit., p.356).

Ya explicado lo anterior, es notorio señalar que los estudiantes ya poseían conocimiento sobre el contenido de ecuaciones cuadráticas, puesto que se había realizado la clase y la transposición didáctica del mismo con anterioridad, así como también, la resolución de ejercicios prácticos en el aula. La aplicación del cuestionario se realizó de manera individual a los estudiantes, estos debieron contestar por escrito en las hojas que se les suministraron. Además se les pidió antes de comenzar que dejaran constancia escrita de todos los procedimientos y cálculos que efectuaran durante el desarrollo de la actividad; el lapso de duración para la resolución del cuestionario fue de noventa (90) minutos.

3. RESULTADOS

Una vez recolectados los datos por medio del cuestionario, se inicia el proceso de fragmentación de la información, para así disponer y organizar los mismos, con la finalidad de construir un análisis interpretativo de la información recibida. El procesamiento de la información recolectada se efectuó por medio de la técnica del análisis de contenido haciendo uso de matrices de análisis, la información recolectada se agrupó en categorías que se iban modificando en la medida que surgían otras observaciones en cuanto a los errores cometidos por los estudiantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas. Para la categorización del tipo de error, se empleó la clasificación propuesta Radatz (1979), para ello se codificó cada categoría de la siguiente manera:

• Errores debido a dificultades del lenguaje: EDL. • Errores debidos a dificultades para obtener información espacial: EDIE. • Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos: EAPD. • Errores debidos a asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento: EAIRP. • Errores debidos a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes: EAREI.

De igual manera, se realizó una breve descripción del error cometido por el estudiante en cada ítem, lo cual hizo posible su codificación, facilitando el proceso de análisis e interpretación de los registros obtenidos. Sin embargo, también se dio el caso en donde el estudiante no respondió al ítem, por consiguiente sólo se dejo la casilla en blanco, aunque no haya habido una respuesta o el desarrollo de un algoritmo de resolución de una ecuación cuadrática, esto no significa que no se esté en presencia de un conflicto, pues la no respuesta indica la no capacidad o el no funcionamiento de su esquema cognitivo para hacer frente a esa situación. Ahora bien, como resultado de este proceso, se identificaron una serie de errores dispuestos y descritos en la matriz de análisis que se presenta a continuación.


MATRIZ DE ANÁLISIS. ERRORES COMETIDOS POR LOS ESTUDIANTES DE TERCER AÑO EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sujeto Ítems Errores Cometidos Descripción Código 1

1 y 2 Error al efectuar la potenciación con números enteros.

�−5�� le resultó como -25 �−8�� le resultó como -64.

EAIRP.

1 Error al realizar el cálculo de la raíz cuadrada. En sus cálculos obtuvo √−17 y escribió como resultado 5,74.

EAPD.

1 Error en notación. Cambio un signo �+� por el �=�. EAPD. 3 Error al multiplicar signos. −�10� le resultó 10. EAPD.

2

1,2 y

4

Error al efectuar la potenciación con números enteros.

Escribió −5� y como resultado -25. Escribió −8� y como resultado -64. Escribió −1� y como resultado -1. No utilizó paréntesis: � �.

EAIRP.

4 Error al identificar los coeficientes en la ecuación cuadrática � − 1 = 0.

No completó la ecuación con el término 0x y tomó b como -1.

EAPD.

5 ------------ No la realizó. -------- 3

1 y 2

Error al identificar los coeficientes en las ecuaciones cuadráticas: � − 5 − 2 = 0 y 4 � − 8 + 1 = 0

El coeficiente de -5x lo tomó como 5 y el coeficiente de -8x lo escribió como 8.

EAPD.

4 Error al multiplicar números enteros. La operación −4�1��−1� le resultó -4.

EAPD.

4

1, 2 y 5

Error al multiplicar signos.

−�−5� le resultó -5. La operación −4�4��1� le resultó 16.

La operación −4�� 2� le

resultó 4.

EAPD.

2, 3

Error al realizar operaciones algebraicas que involucren adición o sustracción de números enteros.

Efectuó operaciones como: -4+8,94=12,94; -4-8,94=-4,94; -10-11,83=21,83.

EAPD.

5

2 Error al efectuar la potenciación con números enteros.

�−8�� lo resolvió como -64 EAIRP.

3 y 5


Efectuó operaciones como: -10+11,83=-1,83; y -10-11,83=21,83.

EAPD. EAIRP.

3

Error debido al empleo incorrecto de la

expresión = ��±��

No colocó el denominador 2a al momento de resolver el ejercicio.

EAPD.

4

Error al identificar los coeficientes en la ecuación cuadrática � − 1 = 0.


EAPD.

6

1 Error al identificar los coeficientes en la ecuación � − 5 − 2 = 0.

El coeficiente de -5x lo tomó como 5.

EAPD.

1 y 3 Error al realizar operaciones algebraicas que involucren adición o sustracción de números enteros.

Efectuó operaciones como: -5-4,12=10,72; -10+11,83=-1,83.

EAPD.

2 Error al multiplicar signos. −�−8� le resultó -8 EAPD. 2,3 y

4 Error al multiplicar números enteros.

2�4� le resultó 6. 2�−5� le resultó -20. −4�1��−1� le resultó -4

EAIRP.

5 ----------- No la realizó. --------

7

1, 2 y

5


�−5�� le resultó como -25. �−8�� le resultó como -64. �−2�� le resultó como -4

EAIRP.

1


La operación -25+8 escribió como resultado -33.

EAPD. EAIRP.

1 Error al realizar el cálculo de la raíz cuadrada. En sus cálculos obtuvo √−33 y escribió como resultado -33.

EAPD.

2 Error al multiplicar números enteros. La operación 2�−5� le resultó como 10.

EAIRP.

Fuente: Elaboración propia.


MATRIZ DE ANÁLISIS. ERRORES COMETIDOS POR LOS ESTUDIANTES DE TERCER AÑO EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Sujeto Ítems Errores Cometidos Descripción Código 8

1

Error al realizar operaciones algebraicas que involucren adición o sustracción de números enteros

La operación 25-8 escribió como resultado 33.

EAPD. EAIRP.

2 Error al multiplicar signos. −�−8� el resultado lo escribió como -8.

EAPD.

2



Al momento de utilizarla no sustituyó el valor de � en el denominado de la expresión señalada sólo escribió el 2.

EAPD.

3 Error debido al empleo incorrecto de la


No elevó al cuadrado � en �� de la expresión menciona.

EAPD.

4 y 5 ----------- No las realizó. ---------- 9



No escribió el signo (-) en –b sólo coloco b

EAPD.

1 Error al identificar los coeficientes en la ecuación � − 5 − 2 = 0.

El coeficiente de -5x lo tomó como 5.

EAIRP.

1

Error al realizar el cálculo de la raíz cuadrada.

Una vez obtenido el valor numérico de la raíz cuadrada mantuvo el símbolo del radical.

EAPD.

2 Error al efectuar la potenciación con números enteros.

�−8�� lo resolvió como -64 EAIRP.

2 Error al multiplicar números enteros. 2�4� le resultó 6 EAPD. 3 Error debido al empleo incorrecto de la


No colocó el denominador 2a y no elevó al cuadrado el término b en la expresión, escribió √� − 4��

EAPD.


No completo la ecuación con el término 0x.

EAPD.

10

1,2 y 3



Utilizó = ��±��

EAPD.

1 y 2 Error al efectuar la potenciación con números enteros.

�−5�� le resultó como -25 �−8�� le resultó como -64

EAIRP.

2 Error al multiplicar números enteros. 2�4� el resultado lo escribió como 2

EAPD.



Utilizó = ��±��

EAPD.

11

1, 2 y

3


�−5�� el resultado lo escribió como -10 �−8�� el resultado lo escribió como -16

EAIRP.



EAPD.

5 Error al identificar los coeficientes en la

ecuación cuadrática �� − 2 + 2 = 0

Al identificar los valores de a, b y c tomó el valor de a como 2.

EAPD.

12

1, 2, 3 y 5

Error al identificar los coeficientes en las ecuaciones cuadráticas: � − 5 − 2 = 0 , 4 � − 8 + 1 = 0 y −5 � + 10 + 2 = 0

y �� − 2 + 2 = 0

En � − 5 − 2 = 0 identificó b como 5 y c como 2. En 4 � − 8 + 1 = 0 identificó b como 8. En −5 � + 10 + 2 = 0 identificó a como 5.

En �� − 2 + 2 = 0 identificó a como 2

y b como 2.

EAPD.

4 ----------- No la realizó. ----------

Fuente: Elaboración propia.


Descripción y análisis de los errores obtenidos:

Una vez procesada y sintetizada la información recolectada de los estudiantes de tercer año de educación básica en el nivel de liceo se pudo constatar la manifestación de errores en la resolución de ecuaciones cuadráticas en sentido establecido por Radatz (1979). Los errores que ocurrieron con mayor reiteración en las producciones de los estudiantes fueron de dos tipos: (1) Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos (EAPD); y (2) errores debidos a asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento (EAIRP).

La presencia de estos errores indica distintos aspectos que subyacen en el proceso de enseñanza y aprendizaje, entre estas se pudieron detectar: dominio insuficiente de tópicos matemáticos, uso inadecuado de algoritmos, procedimientos y representaciones simbólicas, empleo de operaciones cognitivas fundamentadas en aprendizajes previos y esquemas conceptuales construidos incorrectamente. Los cuales se encuentran relacionados al concepto de potenciación, a las operaciones algebraicas de: adición, sustracción y multiplicación de números enteros, al empleo incorrecto de la

expresión algebraica = ��±�� para la resolución de las ecuaciones cuadráticas, al uso inadecuado de símbolos, así

como también, la carencia de un pensamiento reflexivo que le permita verificar y contrastar los resultados que va obteniendo durante el proceso de resolución de la tarea matemática.

Todo lo expuesto anteriormente, conduce a suponer la existencia de algún tipo de obstáculo de orden epistemológico surgido durante la construcción de conocimientos de objetos matemáticos como el concepto de adición, sustracción y multiplicación en el conjunto de los números enteros, de igual manera ocurre con el concepto de potenciación al ser aplicado dentro de dicho conjunto. Asimismo, se presupone la presencia de obstáculos didácticos originados durante la transposición didáctica realizada por el docente (proceso en el que se busca trasladar los conocimientos científicos a conocimientos escolares), estos indicios pueden ser factores para futuras investigaciones donde se profundice al respecto.

CONCLUSIONES El análisis de los errores en la educación matemática es fundamental para la comprensión de la forma en que son

construidos y como operan los esquemas cognitivos de los estudiantes en relación a un objeto matemático. Por medio del presente estudio se logró identificar los errores que ocurren mayormente cuando se resuelven ecuaciones cuadráticas, estos son: los errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos (EAPD) y los errores debidos a asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento (EAIRP). Por otro lado, dichos errores proporcionan información relevante en cuanto al tipo de deficiencias que se suscitan en el aparato cognitivo del individuo, tales como: dominio insuficiente de tópicos matemáticos, uso inadecuado de algoritmos, procedimientos y representaciones simbólicas, empleo de operaciones cognitivas fundamentadas en aprendizajes previos y esquemas conceptuales construidos incorrectamente.

Por tal motivo, el docente en su práctica matemática en los inicios de la educación escolar debe considerar el lenguaje semiótico, el cual debe adaptarse a las capacidades y comprensión de los estudiantes; así como también la secuencia de las unidades de aprendizaje que debe estar adaptada a la lógica interna de las matemáticas; propiciando en el educando la capacidad de formular conjeturas, invención y resolución de problemas, dejando a un lado el método algorítmico del pensamiento, es decir, descartar el énfasis de la búsqueda mecánica de respuestas por la construcción consciente de su aprendizaje.

Asimismo, la actividad que se espera del maestro no es trivial, implica el análisis de las actividades de estudio en su sistema de prácticas y de las correctas elecciones didácticas que emplee para la adaptación y transformación del saber, es decir, la forma con que él reconstruye y recontextualiza el “saber-sabio” o “saber-científico” para lograr un aprendizaje significativo en los sujetos, y así prever lo que hará el estudiante, las posibles dificultades y las maneras de intervenir para orientar la reflexión y obtener conclusiones.

REFERENCIAS Abrate, R., Font, V., y Pochulu, M. (2008). Obstáculos y Dificultades que ocasionan algunos modelos y métodos de resolución de

ecuaciones. II REPEM – Memorias.Santa Rosa, La Pampa, Argentina. Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologique et les problemes en Mathématiques. Recherches en didactique des

Mathématiques, 4(2), pp. 167-198. Chavarría, G. (2014). Dificultades en el aprendizaje de problemas que se modelan con ecuaciones lineales: El caso de estudiantes de

octavo nivel de un colegio de Heredia. Uniciencia. ISSN Electrónico: 2215-3470; Vol. 28, No. 2, p. 15 – 44. Hernández S., R; Fernández, C. y Baptista, P. (2008). Metodología de la Investigación. México. Editorial: Mc Graw – Hill. KilpatricK, J., Gómez, P. y Rico, L. (1998). Educación Matemática. Errores y dificultades de los estudiantes Resolución de problemas

Evaluación Historia. Universidad de los Andes. Editorial: una empresa docente®. López, J., y Sosa, L. (2008).Dificultades conceptuales y procedimentales en el aprendizaje de funciones en estudiantes de

bachillerato. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21; p. 308 – 318. Olmedo, N., Galíndez, M., Peralta, J., y Di Bárbaro, M. (2015). Errores y concepciones de los alumnos en álgebra. XIV Conferencia

Interamericana de Educación Matemática CIAEM-IACME, Chiapas, México; p.1 – 13 Rico, L. (1995). Errores y dificultados en el aprendizaje de las Matemáticas. Cap. 3. P. 69 – 108 en Kilpatrik, J.; Gomez, P., y Rico,

L. Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México. Radatz, H. (1979). Error analysis in the mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 9, p.163 – 172.


CONTEXTO ACADÉMICO: EENNSSEEÑÑAANNZZAA DDEE LLAA MM AATTEEMM ÁÁTTII CCAA

“ Una visión holística desde el paradigma de la complejidad”.

ENSAYO “ EDUCACIÓN POR Y PARA LA VIDA”

Por: JULI RIVERO – C. I. Nº: 8.278.101 > Abril 2016 Cel.: 0414-1458661 E-mail: [email protected]

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA – FACE - UC

Basado en la ponencia: “Didáctica Diferenciada y Evaluación Diferenciada: Educar por y para la vida”. (FACE-UC, 13-02-2016).

PONENTE: Magister María Laura Ascanio Rojas.

La Educación a lo largo de la historia ha exigido una transformación profunda y trascendental en el rol del docente. En plena sociedad del conocimiento, estamos conectados y en red, esto propone nuevos retos al maestro que debe ser consciente de las nuevas habilidades que implica su ejercicio docente. La tarea principal del docente es educar a sus estudiantes y su gestión debe estar centrada en el desafío que conlleva la mediación entre el conocimiento y cada aprendiz.

Considerando lo anterior, es de suma importancia que el maestro se preocupe por su formación para lograr un buen desempeño profesional, el fundamentar su conocimiento lo conllevará a la aplicación de habilidades, destrezas, métodos educativos y pedagógicos, cuyo beneficio será el desarrollo cognitivo de sus estudiantes.

Por tanto, el maestro debe concebir la clase mas allá de los métodos tradicionales incorporando el uso de las tecnologías de información y comunicación, así como también, en el lugar donde investiga, experimenta, modela, se comparten ideas, se toman decisiones para la solución de problemas y se reflexiona sobre lo que es necesario y pertinente aprender. Está claro pues, que en entornos cambiantes las habilidades de aprendizaje y la innovación son cada vez más necesarias para los estudiantes y trabajadores que se preparan para los nuevos entornos laborales de trabajo en el siglo XXI.

Tras este análisis, considero que las competencias del docente del siglo XXI deben estar centradas en la creatividad y la innovación para ser abiertos y receptivos a perspectivas nuevas y diversas, incorporando en los grupos de trabajo aportaciones y comentarios que promuevan el debate y las nuevas ideas, viendo el fracaso como una oportunidad para aprender.

Así mismo debe ser competente en el pensamiento crítico y resolución de problemas en diferentes contextos para analizar y evaluar de forma efectiva las evidencias, argumentos, demandas y creencias, analizar y evaluar los principales puntos de vista alternativos, para luego sintetizar y hacer conexiones entre la información y los argumentos e interpretar la información y extraer conclusiones basadas en el mejor análisis que aclaren varios puntos de vista y llevar a mejores soluciones.

También es importante que alcance competencias en el acceso y gestión eficaz de la información de manera eficiente, para evaluar la información de una amplia variedad de fuentes críticas y competentes con precisión y creatividad para el asunto o problema que lo ocupa, teniendo plena comprensión de las cuestiones éticas y legales en torno a la adquisición, acceso y uso de las tecnologías y la información como una herramienta para investigar, organizar, evaluar y comunicar información. Un docente está en un lugar privilegiado donde se redefine y se reinventa constantemente con el fin de seguir aprendiendo.

Por otra parte, hablar de competencias del docentes para un mejor desempeño profesional es resaltar la educación como derecho humano que nos acoge a todos no siendo esta un privilegio, por ello, la UNESCO define la educación inclusiva en su documento conceptual así: ¨ La inclusión se ve como el proceso de identificar y responder a la diversidad de las necesidades de todos los estudiantes a través de la mayor participación en el aprendizaje, las culturas y las comunidades, y reduciendo la exclusión en la educación. Involucra cambios y modificaciones en contenidos, aproximaciones, estructuras y estrategias, con una visión común que incluye a todos los niño/as del rango de edad apropiado y la convicción de que es la responsabilidad del sistema regular, educar a todos los niños y niñas.

La educación inclusiva se basa en el principio de que cada niño y niña tiene características, intereses, capacidades y necesidades de aprendizaje distintos y deben ser los sistemas educativos los que están diseñados, y los programas educativos puestos en marcha, teniendo en cuenta la amplia diversidad de dichas características y necesidades. Se ocupa de aportar respuestas pertinentes a toda la gama de necesidades educativas en contextos pedagógicos escolares y extraescolares. También tiene que ver con remover todas las barreras para el aprendizaje, y facilitar la participación de todos los estudiantes vulnerables a la exclusión y la marginalización.


La educación inclusiva significa que todos los niños, niñas y jóvenes, con y sin discapacidad o dificultades, aprenden juntos en las diversas instituciones educativas regulares (preescolar, primaria, secundaria y universidades) con un área de soportes apropiada.

El docente no debe sentir el deber de enseñar porque lo obliga el derecho de sus estudiantes, ya que, la educación va mas allá que la mera transmisión de conocimientos adquiridos y que esto solo repercuta en un buen cumplimiento de funciones profesionales; el mirarse en sus estudiantes y determinar sus necesidades particulares, lo invitará a formarse continuamente y el solo alcance de sus competencias lo conllevará a ser un educador exitoso.

REFERENCIAS

• Alcalde, I. (2015). Visualización de la información de los datos al conocimiento. Recuperado el 20 de febrero de 2016 de http://www.ignasialcalde.es/docentes-del-siglo-xxi-retos-y-habilidades-clave/

• Ascanio R., M. L. (2016). Educar Para y Por la Vida. Conferencia, 13-02-2016. Enseñanza de la Matemática II. Universidad de Carabobo.

• UNESCO. (2008). La Educación Inclusiva: El Camino Hacia el Futuro. Recuperado el 20 de febrero de 2016 de http://www.ibe.unesco.org/fileadmin/user_upload/Policy_Dialogue/48th_ICE/CONFINTED_48_Inf_2__Spanish.pdf

DATOS DE LA AUTORA :

JULI JOSEFINA RIVERO MOY. Licenciada en Educación - Mención Matemática (Universidad de Carabobo). Cursante de la Maestría en Educación Matemática (Universidad de Carabobo- Facultad de Ciencias de la Educación). Se desempeña laboralmente en la U. E. “José Antonio Maitín”, donde ha ejercido como Profesora Titular en Matemática y Física (desde el 16/09/2002 hasta la actualidad), Coordinadora de Control de Estudios (Año escolar 2011-2012 y actualmente), Coordinadora de Evaluación (Año escolar 2012-2013). También se ha desempeñado como Profesora Contratada en Geometría Analítica del Básico y Física del Curso Introductorio, 2º Semestre 2004 en el Instituto Universitario de Tecnología Puerto Cabello; y como Profesora de Práctica Docente de Geometría, Semestre Único 1997 en la Universidad de Carabobo.


Évariste Galois, el adolescente que revolucionó las matemáticas Por: Javier Yanes (@yanes68) para Ventana al Conocimiento

Enviado por José Agustín González “Pepe”, vía Facebook.

RETRATO DE ÉVARISTE GALOIS, CON APROXIMADAMENTE 15 AÑOS DE EDAD

AUTOR: DESCONOCIDO

Siempre que hablamos de una aportación esencial en cualquier campo, la calificamos de “revolucionaria”. Tal vez abusamos tanto de este término que llega a perder parte de su significado. Pero en la Francia de comienzos del siglo XIX, ser un revolucionario tenía un carácter más literal, y por tanto más arriesgado. Évariste Galois (25 de octubre de 1811 – 31 de mayo de 1832) lo fue en dos campos, la política y las matemáticas, y desde muy joven; tal vez demasiado para disfrutar de una larga vida. Falleció trágicamente a los 20 años, aunque no por la política ni las matemáticas, sino por el motivo que forja la leyenda de todo genio romántico.

La política le venía de familia. Su padre, el republicano Nicolas-Gabriel Galois, fue alcalde de la localidad de Bourg-la-Reine, cercana a París. Su madre, Adélaïde-Marie Demante, de amplia cultura clásica, se ocupó de educar a Évariste en casa durante su primera infancia. Cuando a los 12 años el niño comenzó a asistir al colegio, su carácter revolucionario afloró en una Francia de grandes tensiones políticas, regida por una monarquía constitucional de la que muchos recelaban.

En el colegio, Galois se enamoró de las matemáticas, ajenas a su tradición familiar. Su nivel era muy superior al de sus compañeros: devoró los Elementos de geometría de Legendre como si fuera una novela, y pronto dejó de lado los libros de texto para dedicarse a estudiar los trabajos originales de Lagrange. Su gran ambición le llevó en 1828 a intentar un ingreso prematuro en la École Polytechnique. Reprobó en el intento pese a su inteligencia; aún no contaba con la formación necesaria.

Para Galois, la École Polytechnique no era sólo la mejor institución de matemáticas del país. La escuela era sede de un activo movimiento republicano que tendría un papel destacado en el derrocamiento en 1830 del rey Carlos X, el último Borbón de Francia. Cuando Galois reprobó el intento de ingresar por segunda vez –según cuenta la leyenda, tras arrojar un borrador a un examinador incompetente–, tuvo que conformarse con la más modesta École Normale. Mientras la revolución prendía en las calles, Galois y el resto de alumnos de esta escuela quedaron encerrados bajo llave, y su queja posterior en una carta a la prensa motivó su expulsión.

Mientras, su carrera en matemáticas avanzaba a trompicones. Aunque publicó varios trabajos en vida, su mayor aportación se quedó bloqueada a las puertas de la Academia Francesa, primero por Cauchy y después por Fourier, cuya muerte resultó en la pérdida del manuscrito de Galois. Aquel trabajo resolvía un problema centenario, la demostración de las condiciones necesarias y suficientes para resolver ecuaciones polinómicas por raíces. Y sin embargo, su principal logro no vería la luz hasta después de su muerte.

Pero el de Galois no fue un caso de simple infortunio: su fervor político le convirtió en un imán para los problemas. Tras su expulsión del colegio se alistó en la unidad de artillería de la Guardia Nacional, una milicia republicana hostil al nuevo rey, Luis Felipe I de Orléans. Durante una celebración en abril de 1831, Galois brindó por el monarca con una daga sobre su copa, un atrevimiento que le llevaría a prisión. Fue liberado en junio, pero al mes siguiente volvería a enredarse con la justicia cuando el Día de la Bastilla, 14 de julio, fue detenido armado hasta los dientes y vistiendo el uniforme de su ilegalizada milicia.


Fue durante este segundo confinamiento, que se prolongaría hasta abril de 1832, cuando recibió una nueva carta de la Academia. En esta ocasión era Poisson quien rechazaba su trabajo. Afectado por este bloqueo y por el suicidio de su padre, Galois se emborrachó, intentó suicidarse y llegó a vaticinar su propia muerte, según transcribiría su compañero de cautiverio, el científico y republicano François-Vincent Raspail: “Y te digo, moriré en un duelo a causa de alguna coquette de bas étage [mujerzuela]. ¿Por qué? Porque me invitará a vengar su honor que otro ha comprometido” .

¿Qué motivó este vaticinio? Aquí es donde cae un velo de confusión y rumores. Lo único seguro es que al alba del 30 de mayo de 1832 Galois recibió un disparo en el abdomen durante un duelo; que quedó abandonado durante horas hasta que fue hallado por un campesino, y que fue trasladado al Hospital Cochin, donde moriría al día siguiente. El resto es terreno de especulación.

DUELO A PISTOLAS EN EL SIGLO XIX. AUTOR: BAUCE ET ROUGET

Algunos biógrafos sugieren que fue asesinado por causas políticas, pero ciertos documentos apuntan a un conflicto por una mujer: Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija del médico de la pensión donde vivió sus últimos días. La identidad de su asesino también es un misterio; Alejandro Dumas culpó al presunto prometido de la mujer y camarada de Galois, Pescheux d’Herbinville. Lo cierto es que la noche antes de su muerte, Galois escribió: “Perdonad a aquellos que me matan, pues son de buena fe”.

Aquella última noche ha alimentado la leyenda del genio romántico, dibujando a un Galois que reescribió toda su álgebra unas horas antes de acudir a su cita con la muerte. Lo cual no es cierto, pero sí lo es que reunió sus trabajos y escribió varias cartas de despedida. “No tengo tiempo”, anotó en un manuscrito. El 31 de mayo expiraba en brazos de su hermano: “¡No llores, Alfred! Necesito todo mi valor para morir a los veinte años”. Galois fue enterrado en una fosa común del Cementerio de Montparnasse. Hoy sus restos se han perdido, pero no su legado. Antes de morir escribió: “Por favor recordadme, ya que el destino no me dio vida suficiente para ser recordado por mi país”. Tal vez esta afirmación fue el penúltimo de sus grandes errores.


LLooss sseeccrreettooss mmaatteemmááttiiccooss ddee EEsscchheerr Por: Beatriz Guillén - @BeaGTorres

FUENTE: OpenMind

Un joven, dentro de una galería de arte, observa un cuadro del puerto de Malta. Entre los edificios pintados del malecón aparece la galería en la que está el joven, con el propio joven mirando, de nuevo, un cuadro de ese mismo puerto mediterráneo. En el que, una vez más, aparecen los edificios de Malta con la galería y el joven. Esta composición infinita, llamada Galería de grabados, es del dibujante holandés M. C. Escher (1898-1972). Escher distorsiona también esta repetición sin fin, que rota y se tuerce, adquiriendo formas imposibles.

GALERÍA DE GRABADOS DE M.C. ESCHER. CRÉDITO IMAGEN: THE ESCHER FOUNDATION COLLECTION

El impacto de la obra sería perfecto, sino fuera porque justo en el centro de la imagen, entre las construcciones mediterráneas y las ventanas de la galería, hay una mancha circular blanca.

Un vacío, sobre el que Escher estampó su firma. La litografía estaba terminada. Era el año 1956. Tuvieron que pasar casi cincuenta años, hasta que un matemático de la Universidad de Leiden en Holanda consiguiera completar la obra.

La primera vez que el profesor Hendrik Lenstra se encontró con la litografía de Escher estaba en un vuelo de San Francisco a Amsterdam. La reproducía la revista del avión. Lenstra aprovechó el viaje para tratar de encontrar la solución al centro del puzle. “Me preguntaba qué pasaría si continuaban las líneas hacia dentro. ¿Había algún problema matemático que no se podía resolver?”, explicó el profesor en una entrevista a The New York Times. “Suelo preguntarme qué estructuras hay detrás de las imágenes. ¿Cómo podría yo, un matemático, hacer un cuadro como este?”. La respuesta a estas preguntas no llegó en las horas de vuelo, así que Lenstra decidió embarcarse en una investigación de dos años en la que para desentrañar el círculo vacío de Galería de grabados debía descifrar también al propio Escher.

SIN CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS FORMALES.

ESCHER REFLEJADO EN SU “MANO CON ESFERA REFLECTANTE”. CRÉDITO IMAGEN: M.C. ESCHER.

Maurits Cornelis Escher nunca fue un estudiante sobresaliente y sus conocimientos matemáticos formales se reducían a los que tenía de la educación superior. Comenzó a estudiar arquitectura, pero lo abandonó para centrarse en su carrera de artista gráfico. A pesar de esta carencia teórica, las matemáticas y la geometría son un elemento clave de su trabajo. El holandés estaba tan interesado en conceptos como la teselación y la división regular del plano —que descubrió en la Alhambra de Granada en 1936 donde pasó días copiando cuidadosamente los diseños geométricos que decoraban el palacio— que los convirtió en un elemento central de su obra. Decenas de sus grabados están rellenos de repeticiones de figuras animadas cuyos espacios crean nuevas formas.

Más adelante, Escher se preguntó si sería posible ir un paso más allá y recubrir el plano con figuras que, manteniendo su forma y engarzadas unas a otras, fueran cambiando de manera regular de tamaño. La solución de cómo llevar a cabo estas construcciones la encontró en el artículo matemático de H.S.M. Coxeter Crystal Symmetry and Its Generalizations” A partir de estas investigaciones científicas —de las que el propio artista reconocía no terminar de entender todos los conceptos—, Escher desarrolló un conocimiento de las matemáticas en gran medida visual e intuitivo.


En la siguiente fase, sus composiciones empezaron a explorar errores de perspectiva en estructuras que, a primera vista, parecían plausibles, pero que estudiadas más de cerca resultaban imposibles de crear. En 1954, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Amsterdam, se expusieron unos grabados suyos. Desde entonces, el diálogo que mantuvo con matemáticos y cristalógrafos fue una fuente de inspiración para sus construcciones imposibles, sus ilusiones ópticas y sus representaciones del infinito.

LA UNIÓN DE ARTE Y MATEMÁTICAS.

Esta intersección entre matemáticas y artes cristaliza en Galería de grabados. En la litografía, Escher desafía las leyes de la perspectiva al crear una repetición infinita y distorsionada para la que no tenía ni los medios ni los cálculos para completarla. Para descifrarla, el profesor Lenstra identificó lo que llamó el efecto Droste —en homenaje a una famosa imagen publicitaria del chocolate holandés—: si la galería donde está el joven vuelve a reproducirse en el interior del cuadro, debería ocurrir lo mismo tras el borrón blanco. Tras una conversación con el amigo del artista y autor del libro El espejo mágico de M.C. Escher, Hans de Rijk, descubrió que Escher trataba de hacer una expansión circular continua en forma de anillo cerrado, sin principio ni fin. Así, en la distorsión de Escher, el tamaño de los cuadrados de la trama crecían según se movían desde el centro hacia afuera y decrecía en sentido inverso. Un bucle similar al que ocurre al quitar el tapón de un lavabo lleno de agua. Esa era la estructura detrás de la imagen.

Para encontrar los valores exactos que Escher había utilizado en la distorsión de su litografía, el equipo de Lenstra estuvo meses probando —hasta acertar— y combinando rotaciones, funciones exponenciales y logarítmicas, junto a reducciones de tamaño o escala. Una vez con la fórmula exacta, los pasos para rellenar el vacío fueron sencillos gracias a la tecnología actual: planchar el dibujo de Escher para llevarlo a una cuadrícula plana, rellenar el agujero en el modelo plano para completar la escena y, por último, devolver su forma original haciendo actuar sobre ella las transformaciones que ya habían identificado. Dos años después, Lenstra y su equipo resolvían uno de los grandes misterios de uno de los artistas más enigmáticos. Sin embargo, la respuesta siempre había estado ahí: Escher era un genio, dentro de un genio, dentro de un genio…


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Oskar Fischinger nació el 22 de junio de 1900 y falleció el 31 de enero de 1967. Era alemán; fue pintor, animador y realizador de cine. Sus obras se caracterizan por ser abstractas, y en ellas combinó la geometría con la música.

En la Alemania de Adolfo Hitler, se consideró a su arte “degenerado”, y se exilió a los Estados Unidos; llegó a Hollywood en febrero de 1936.

Sin embargo, su arte, surrealista e hipnótico, tampoco tuvo buena acogida en EE UU, a pesar de que llegó a diseñar incluso una escena para la película de Walt Disney, “Fantasía” , que finalmente no se incluyó en la película al ser eliminó del montaje final.

Todo intento de Fischinger de rodar en Estados Unidos fue dificultoso. Compuso un Poema óptico para la Rapsodia húngara No. 2, de Franz Liszt (MGM), pero no recibió ganancia alguna.

Cansado de que su obra audiovisual, que combina espirales, esferas y otras formas geométricas que evolucionan en la pantalla a la par que la música, no tuviera éxito, frustró sus intenciones de ser animador (a pesar de que hizo más de 50 cortos), y así Fischinger acabó refugiado en los óleos, utilizando también motivos geométricos.

ALGUNAS PINTURAS DE FISCHINGER:


OOttttoo SStteerrnn Nació el 17 de febrero de 1888 en Zory, Polonia; y murió el 17 de agosto de 1969 en Berkeley, California; en EE. UU.

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PPoorr ssuuss eessttuuddiiooss ssoobbrree llaass rraaddiiaacciioonneess mmoolleeccuullaarreess,, llaass pprrooppiieeddaaddeess mmaaggnnééttiiccaass ddee llooss ááttoommooss yy llaa mmaatteerr iiaall iizzaacciióónn ddee llooss ffoottoonneess..

El premio no fue concedido en 1940, 1941 y 1942.

Fuente: Buscabiografias.com - Wikipedia.

OTTO STERN (1888-1969)

Otto Stern nació en Sorau, Alta Silesia, Alemania, el 17 de febrero de 1888. En 1892 se trasladó con sus padres a Breslau, donde asistió a la escuela secundaria. Comenzó a estudiar química física en 1906, recibiendo su grado de doctor en la Universidad de Breslau en 1912. En el mismo año se unió a Einstein en la Universidad de Praga y más tarde lo siguió a la Universidad de Zúrich, donde se convirtió en Docente Particular (Privatdocent) de Química Física en la Escuela Politécnica Federal en 1913.

En 1914 se trasladó a la Universidad de Frankfurt am Main como Docente Particular de Física Teórica, donde permaneció hasta 1921, a excepción de un período en el cual prestó el servicio militar. De 1921 a 1922 fue Profesor Asociado de Física Teórica en la Universidad de Rostock, convirtiéndose, en 1923, en Profesor de Química Física y Director del Laboratorio de la Universidad de Hamburgo, donde permaneció hasta 1933. En ese año se trasladó a los Estados Unidos, siendo nombrado Profesor de Investigación de Física en el Instituto Carnegie de Tecnología, Pittsburgh, donde permaneció hasta 1945, donde llegó a ser profesor emérito.

Su primer trabajo fue en el campo de la física teórica, específicamente en termodinámica estadística y teoría cuántica, sobre la que publicó trabajos importantes. Después de 1919, su atención se dirigió más a la física experimental. Su desarrollo y la aplicación del método de haces moleculares demostraron ser una herramienta poderosa para la investigación de las propiedades de las moléculas, átomos y núcleos atómicos. Una de las primeras aplicaciones de esta fue la verificación experimental de la Ley de Maxwell de la distribución de velocidades de los gases. Colaboró con Gerlach para trabajar en la deflexión de los átomos por la acción de los campos magnéticos en su momento magnético, luego pasó a medir los momentos magnéticos de las partículas subatómicas, como el protón. Su trabajo en la producción de la interferencia de los rayos de hidrógeno y helio fue una demostración sorprendente de la naturaleza ondulatoria de los átomos y las moléculas.

Otto Stern obtuvo un Doctorado en Derecho en la Universidad de California, Berkeley, 1930. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias (EE.UU.), de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia, y de la Sociedad Filosófica. Fue Miembro Extranjero de la Real Academia Danesa de Ciencias. Murió el 17 de agosto de 1969 en Berkeley, California; en EE. UU.

OOTTTTOO SSTTEERRNN



SSuubbrraammaanniiaann CChhaannddrraasseekkhhaarr El físico indio que ‘creó’ un agujero negro

Sacudió las bases de la astrofísica en 1935.

Cuando aún era un estudiante de doctorado recién llegado de

la India, escandalizó a los grandes astrónomos británicos con

su teoría del colapso de estrellas. Tuvo que emigrar de nuevo.

El tiempo le dio la razón... y un premio Nobel.

Por Ramamurti Shankar Para Ventana al Conocimiento

24 marzo 2014

SUBRAHMANYAN CHANDRASEKHAR, EN SUS PRIMEROS TIEMPOS EN LA UNIVERSIDAD DE CHICAGO. CRÉDITO IMAGEN: STEPHEN LEWELLYN.

Gracias a la universalidad de las leyes y los fenómenos naturales cualquier científico de las ciencias “duras” -las naturales y las físicas-, esté donde esté, puede coincidir al deducir las mismas leyes y los mismos fenómenos que otro investigador de su rama, aunque se encuentre en el lugar contrario del globo terráqueo. Sin embargo, a veces puede ocurrir que la autoridad académica y los prejuicios enturbien las cosas temporalmente.

Un ejemplo bien conocido es el del astrofísico Subramanian Chandrasekhar (1910-1995). Nacido en Lahore (India), era hijo de un oficial del gobierno indio y de una mujer de un alto nivel intelectual, que apostaron siempre por una educación exquisita para sus diez hijos. En 1930 obtuvo la titulación en física y justo un mes después de graduarse consiguió una beca para hacer el doctorado en Cambridge. Hasta ahí todo fue rodado, pero cuando comenzó su investigación, la cosa cambió.

Siendo aún un joven estudiante de doctorado en Cambridge, Subramanian Chandrasekhar dedujo que ciertos tipos de estrellas llamadas enanas blancas no podían superar unas 1,44 masas solares (el límite de Chandrasekhar). En caso contrario, se colapsarían debido a la atracción de la gravedad. El concepto del colapso de una estrella que superase el límite de Chandrasekhar fue un precursor del concepto de los agujeros negros.

Cuando presentó sus resultados en 1935 ante la Royal Society, sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944), el más célebre astrónomo británico, los objetó violentamente, alegando que Chandrasekhar había hecho un uso erróneo de la mecánica cuántica y que el comportamiento que proponía para una estrella era sencillamente absurdo.

Muchos físicos sabían que el argumento de Eddington era incorrecto, pero no salieron en defensa de Chandrasekhar (unos porque lo consideraron una obviedad, y otros por temor a contradecir a Eddington).

Chandrasekhar abandonó Inglaterra (que le cerró todas las puertas a raíz del incidente) y se trasladó a Estados Unidos, donde llegó a ser uno de los astrofísicos más respetados e influyentes del mundo. Sus hallazgos fueron aceptados universalmente, y recibió el premio Nobel en 1983, más de cincuenta años después de su genial descubrimiento.

Al final el tiempo dio la razón y su legado científico no solo se reconoció con el Nobel, sino que además la NASA lanzó un telescopio espacial que lleva su nombre: el Observatorio de rayos-X Chandra. Fue lanzado el 23 de julio de 1999, pocos años después de su muerte. Parece hecho a propósito, pero además, casualmente Chandra significa “luna” en sánscrito.

Murió en 1995.


Los verdaderos alquimistas Por: FRANCISCO DOMÉNECH - @fucolin - para Ventana al conocimiento.

RUTHERFORD Y SODDY, DESCUBRIERON QUE LA RADIACTIVIDAD PRODUCÍA UNA TRANSMUTACIÓN COMO LA SOÑADA POR LOS ALQUIMISTAS.

Elaborado por Materia para

—Rutherford, ¡esto es transmutación! —Por Dios, Soddy, no le llames transmutación. Nos cortarán la cabeza por alquimistas.

Así reaccionaron el físico neozelandés Ernest Rutherford y su discípulo inglés Frederick Soddy ante el sorprendente resultado de una serie de cuidadosos experimentos que realizaron en 1901 en la Universidad McGill de Montreal (Canadá). Llevaban tiempo intentando entender el fenómeno de la radiactividad, descubierto por Becquerel y descrito por Marie y Pierre Curie. Y por fin habían conseguido demostrar que en los materiales radiactivos los átomos se desintegran, de modo que los átomos de un elemento radiactivo se transforman en otro elemento.

Así que la transmutación, que habían buscado durante tantos siglos los alquimistas, ocurría de manera espontánea y natural. La idea era tan rompedora que Rutherford y Soddy evitaron añadirle prejuicios y hablaron de transformación en lugar de transmutación cuando en 1902 publicaron “La causa y naturaleza de la radiactividad”, que condensaba sus experimentos en la teoría de la desintegración atómica. Con ella rompieron el dogma científico de que el átomo era indivisible (que es lo que significa átomo en griego).

Ernest Rutherford (1871–1937) identificó los tres tipos principales de radiactividad: rayos alfa, rayos beta y rayos gamma. Y siguió estudiando la transmutación. Vio cómo aparecían átomos estables de plomo en medio de un mineral radiactivo de uranio. No había manera de saber cuándo se iba a transformar un átomo en concreto, pero Rutherford se fijó en que cualquier muestra (más grande o más pequeña) de un mismo elemento radiactivo tardaba exactamente el mismo tiempo en quedar reducida a la mitad. Ese tiempo, llamado semivida, convertía a los elementos radiactivos en perfectos cronómetros.

Conociendo esa velocidad constante con la que el uranio se transforma en plomo y midiendo la cantidad de plomo que había en una roca de pechblenda (mineral de uranio), Rutherford y su colega Boltwood calcularon en 1907 que alguna de aquellas piedras tenía al menos 1.000 millones de años: ¡Era muchísimo más vieja de lo que entonces se pensaba que era la Tierra!

ERNEST RUTHERFORD EN SU LABORATORIO EN MCGILL UNIVERSITY (1905).

CRÉDITO FOTO: WELLCOME IMAGES.

Además de entender a fondo la radiactividad, Rutherford le dio su primera utilidad práctica (mucho antes que las aplicaciones médicas, bélicas o energéticas): calcular la edad de la Tierra. Por todo ello recibió el premio Nobel de Química en 1908. Aunque bien podría haber recibido dos Nobel más por sus siguientes descubrimientos:

HOMOTECIA Nº 3 – Año 17 Viernes, 1º de Marzo de 2019 44

• Rutherford usó la radiactividad para explorar el interior de los átomos. Junto con su alumno Geiger, disparó rayos alfa contra una finísima lámina de oro y observó atónito cómo alguna de esas partículas alfa rebotaban hacia atrás. Recuperado del impacto, en 1911 dedujo que aquello solo era posible si los átomos tenían un minúsculo núcleo, con carga positiva, que concentraba casi toda su masa. Había nacido el modelo atómico de Rutherford, perfeccionado luego por su alumno Bohr: esa imagen tan familiar del átomo, con los electrones girando alrededor de ese núcleo.

• En su laboratorio él siguió bombardeando átomos con rayos alfa, hasta que en 1919 consiguió transformar átomos de nitrógeno en oxígeno: se convirtió así en “el primer alquimista con éxito de la historia”. Aquella transmutación de nitrógeno en oxígeno fue la primera reacción nuclear artificial; y, entre sus restos, Rutherford encontró el protón, una nueva partícula subatómica con carga positiva.

Mientras tanto, Frederick Soddy (1877–1956) había seguido estudiando la desintegración natural de los elementos radiactivos y descubrió en 1913, al mismo tiempo que Kazimierz Fajans, las reglas de la transmutación: cuando un átomo emite espontáneamente una partícula alfa, retrocede dos casillas en la tabla periódica (ej: el uranio–238 se transforma en torio); cuando un átomo emite una partícula beta, avanza una casilla (ej: el carbono–14 se transforma en nitrógeno).

Siguiendo esas reglas, conocidas como la ley de Fajans-Soddy, se producen las cadenas de desintegración naturales, como la que empieza en el radiactivo uranio–238 y termina en el estable plomo, pasando por productos intermedios como el radio o el uranio-234. Y estudiando paso a paso esas cadenas, Soddy descubrió por el camino los isótopos: distintas versiones de un mismo elemento, con átomos que pesan diferente pero que tienen las mismas propiedades químicas.

FREDERICK SODDY EN SU LABORATORIO EN LA UNIVERSIDAD DE GLASGOW.

CRÉDITOS FOTO: WELLCOME IMAGES

El Nobel de Química de 1921 reconoció los descubrimientos de Soddy, en los que el escritor H.G. Wells se había inspirado para escribir su novela de ciencia-ficción “La liberación mundial” (1914). Ese libro, que Wells dedicó a Soddy, anticipaba el peligro de las armas nucleares, casi 20 años antes de que Leó Szilárd concibiera la idea de reacción en cadena.

A Soddy le preocupaba mucho el uso que se hacía de los descubrimientos científicos y eso le llevó a escribir en 1926 una crítica radical de la economía occidental, analizándola mediante leyes físicas de la termodinámica. Según Soddy, el sistema confunde la riqueza con la deuda, y también fue pionero criticando el crecimiento económico basado en el uso de combustibles fósiles para obtener energía. Sus propuestas para una reforma del sistema monetario, que hoy son prácticas comunes, fueron entonces despreciadas e ignoradas por excéntricas… como si Soddy fuera un alquimista económico en busca de una piedra filosofal para transformar la deuda en riqueza.


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ARTTURI ILMARI VIRTANEN (1895-1973)

Bioquímico. Terminados sus estudios escolares, Virtanen estudió química, biología y física en la Universidad de Helsinki, obteniendo su Master en Ciencias en 1916. Posteriormente estudió Química Física en Zurich, Bacteriología y Enzimología en Estocolmo. Desde 1916 trabajó también en laboratorios de la industria lechera finlandesa, que luego a partir de 1921 dirigió, y diez años más tarde fue también Director y Profesor del Instituto de Investigaciones Bioquímicas de Helsinki. Fue también Profesor del Politécnico y de la Universidad de Helsinki.

Estudió los procesos fermentativos y comprobó que éstos se detenían cuando el ácido láctico producido en el transcurso de la reacción alcanzaba una determinada concentración. También comprobó que las primeras etapas de la descomposición de los azúcares era similar en las distintos procesos fermentativos. Y estableció por primera vez todos los pasos de una fermentación bacteriana, proporcionando buena información sobre las enzimas necesarias para dicho proceso.

Virtanen realizó también una importante labor en la bioquímica de las bacterias y la fijación del nitrógeno. Llevó a cabo investigaciones en el campo de la química agrícola y en la química de alimentos. Así, probó la importancia de un pigmento rojo para la fijación de nitrógeno en los nódulos de las raíces de leguminosas, determinó la formación de vitaminas y estudió la utilización del nitrógeno por parte de las plantas, encaminada a la síntesis de otros compuestos orgánicos, como los aminoácidos.

Una de sus aportaciones más especiales fue el desarrollo, en 1943, de un método para la conservación de plantas forrajeras (método llamado AIV por sus iniciales) que le valió el Premio Nobel de Química en 1945. Con este método consiguió cosechas de pastos frescos de alto contenido en proteínas, y leche del mismo contenido en vitaminas que cuando la vaca se alimenta de los pastos veraniegos; en general, sus investigaciones aportaron importantes mejoras en la calidad de los productos lácteos.

La comprobación de que la concentración de ácido láctico era un factor limitante para el desarrollo de la fermentación le llevó a determinar el método AIV, que básicamente consiste en la adición artificial de ácidos al forraje, concretamente los ácidos sulfúrico y clorhídrico diluidos, hasta alcanzar un pH inferior a 4. El forraje así tratado se conserva en perfecto estado durante el invierno para su utilización como alimento del ganado y no causa ningún efecto nocivo en los animales que se alimentan de él.

Entre sus obras cabe destacar Cattle fodder and human nutrition (Forraje para el ganado y nutrición humana) y AVI-system as the basis of catle feeding (El sistema AVI como base para la alimentación del ganado).

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Calendario Gregoriano cumple 436 años: ¿CUÁNTOS DÍAS LE QUITARON AL MES DE OCTUBRE?

FOTO: REFERENCIAL

ARTÍCULO ORIGINAL DE: ELISA ROJAS - 04/10/2017 FUENTE: Información de Telesur

TOMADO DE: Noticias24 carabobo.com

Hace 436 años se implantó el Calendario Gregoriano, lo cual representó una reorganización del calendario juliano que se utilizaba en gran parte de Europa. La iniciativa del papa Gregorio XIII, hizo desaparecer 10 días al mes de octubre, lo que dio como resultado que en un salto se pasó del 4 de octubre al 15 de octubre de 1582.

El calendario anterior, había sido creado por el mandatario romano Julio César, 46 años antes del nacimiento de Jesucristo, pero tenía un pequeño problema: estaba desfasado respecto a las estaciones.

Se mantenía de ese modo, pues fue la forma que encontró Julio César para que las estaciones cayeran siempre en los mismos meses, aunque los cálculos no fueron del todo correctos.

A pesar de incluir el día bisiesto cada cuatro años, creían que un año solar duraba 365,25 días, cuando en realidad la cifra correcta es 365,242189. Son 11 minutos que podrían parecer insignificantes, pero año a año se iban acumulando.

En este sentido, Gregorio tuvo conocimiento de que con el paso del tiempo, fechas emblemáticas para el catolicismo como la Semana Santa cada vez se celebraban un poco más tarde cada año.

De seguir postergándose este error, la Pascua se conmemoraría en verano en el hemisferio norte. El papa, que fue asesorado por una comisión que lideraban el astrónomo jesuita Christopher Clavius y el físico Aloyisius Lilius, por lo cual tomó la decisión de reorganizar el calendario.

Para este reajuste era necesario eliminar los días del 4 al 15 de octubre de 1582, lo cual fue oficializado. Italia, España, Francia y Portugal fueron los primeros en implementar el nuevo sistema en el almanaque.

OTRO DATO CURIOSO:

Es importante señalar, que los países donde se implementaban las religiones protestantes, anglicanos y ortodoxos tardaron en ver las ventajas del Calendario Gregoriano. No eran partidarios de seguir los pasos de los católicos, pero terminaron aceptándolo finalmente.

Con el reajuste del calendario surgió uno de los hechos históricos más emblemáticos como la celebración del Día internacional del Libro, que conmemora la muerte de William Shakespeare y Miguel de Cervantes en 1616, por el supuesto fallecimiento de ambos el mismo día, sin embargo esto no fue así debido a que Inglaterra no adoptó el calendario gregoriano hasta 1752.

Por consiguiente, para los ingleses, Shakespeare murió el 23 de abril, pero para los países católicos ocurrió el 3 de mayo.


VVeenneezzuueellaa,, ppeerrssoonnaajjeess,, aannééccddoottaass ee hhiissttoorriiaa..

AArr íísstt iiddeess RRoojj aass Ilustre naturalista, médico, historiador y periodista venezolano

ARÍSTIDES ROJAS (1826-1894)

Nació en Caracas el 5 de noviembre de 1826, ilustre escritor e historiador, reconocido como un hombre público y honesto. Cultivó las letras y estudió con amor al pasado venezolano, desarrollando una obra civilizadora de divulgar cultura y sembrar inquietudes.

Hijo de inmigrantes dominicanos, su padre José María Rojas Ramos y su madre Dolores Espaillat, quienes vinieron a Venezuela, huyendo de las conmociones que agitaban a su país.

Su padre llega a Venezuela en 1821 y procedió a nacionalizarse, participando en la vida pública nacional, llegando a ser Senador de la República en 1822.

Realizó sus estudios primarios en el colegio Independencia, y a los 18 años de edad comenzó a cursar filosofía en la Universidad de Caracas (la hoy Universidad Central de Venezuela). En 1846 inició la carrera de medicina, graduándose en 1852, a los 26 años de edad e iniciándose como médico rural en Escuque y Betijoque (Edo. Trujillo).

Después, durante varios años a partir de 1857, viaja por los Estados Unidos y Europa, específicamente Francia, profundizando sus conocimientos en ciencias naturales y médicas, interesándose mucho en la obra de Alexander von Humboldt. La Guerra Federal le impidió regresar a Venezuela, por lo que decidió radicarse en Puerto Rico, donde sus servicios como médico, eran muy apreciados. Aprovechó también su tiempo en este país para estudiar y dedicarse a la escritura. Pero aun siendo graduado como doctor en Medicina, esta profesión la ejerció por poco tiempo ya que estaba más interesado en dedicarse con mucho ahínco a la investigación científica y a las letras.

En 1864 vuelve a Venezuela y trabaja sin descanso. Escribe en los periódicos, hace ensayos, críticas y estudios históricos. En este mismo año aprovecha para fundar la Editorial Rojas Hermanos, cuyos locales fueron el lugar de reunión de la intelectualidad caraqueña.

En 1876 publica su primer libro llamado "Un Libro en Prosa"; en ese entonces tiene 50 años de edad.

Entre sus trabajos se cuentan “Estudios Indígenas”, “Contribución a la historia antigua de Venezuela”, “Orígenes de la Revolución Venezolana”, “Estudios Históricos” y “Orígenes venezolanos”. En su obra “Humboldtianas”, Rojas estudia los caracteres de Colón, Bolívar y Humboldt.

Tanto en Venezuela como en el extranjero, Arístides Rojas recibió numerosos honores y distinciones por su dedicación a investigar el pasado venezolano, divulgar cultura y sembrar inquietud por el conocimiento en la generación de intelectuales que continuó su obra.

Su reconocida labor le valió en diversas oportunidades recibir distinciones honoríficas de Organizaciones Científicas y Académicas de otros países, a saber:

Fue miembro fundador de la Sociedad de las Ciencias Físicas y Naturales, en 1867; Miembro de la Academia de Bellas Letras de Santiago de Chile, de la Academia de las Ciencias Físicas y Naturales de Cuba, de la Sociedad zoológica de Francia. Una de sus monografías fue publicada en los Anales de la Academia de ciencias del Instituto de Francia.

A los 68 años de edad, expiró en Caracas el 4 de marzo de 1894. Sus restos reposan en el Panteón Nacional desde el 21 de septiembre de 1983.



LLáásszzllóó FFiilleepp Imágenes obtenidas de:

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El padre de László Filep fue Ministro Calvinista en la comunidad donde se ubica la aldea de Csaszlo en la región Northern Great Plain (Gran Llanura del Norte) al este de Hungría cerca de la frontera con Rumania. La escuela primaria de Csaszlo tenía un solo salón de clase al que asistían para educarse todos los alumnos inscritos, aun de diferentes edades, y Filep estudió en esta escuela hasta que alcanzó la edad para asistir a la escuela secundaria. Asistió a la Escuela Secundaria de Gramática en Mátészalka, una de las principales ciudades en el Condado de Szabolcs-Szatmar-Bereg donde vivía.

Filep se graduó en la Escuela Secundaria de Mátészalka y entró al Kossuth Lajos Tudományegyetem, o Universidad de Kossuth Lajos en Debrecen. La Universidad fue fundada en 1912, pero había sido la sede de un colegio protestante en 1550. Fue nombrado después Lajos Kossuth, líder del gobierno revolucionario, quien declaró la independencia de Hungría de los Habsburgo en Debrecen en 1849. Filep egresó de la Universidad de Kossuth en 1964, calificando como profesor de matemáticas y física para secundaria y luego desempeñándose como tal.

En 1973 Filep fue nombrado profesor en la Universidad de Nyíregyháza. Trabajó para el grado de doctor presentando la tesis Life and work of Gyula Farkas (Vida y obra de Gyula Farkas) (1847-1930) en la Universidad Kossuth de Debrecen en 1978. Este título corresponde a versión abreviada en inglés que él publicó como libro en 1983. G. H. Moore escribe en un informe que este trabajo de Filep:

... contiene una biografía del matemático y físico teórico húngaro Gyula Farkas, junto con una bibliografía de sus publicaciones. Hay una cierta discusión del teorema Farkas (utilizado en programación lineal) y, en general, de la investigación de Farkas sobre inecuaciones lineales. Sus contribuciones a la física fueron referidas a equilibrio mecánico, termodinámica y electrodinámica.

En la introducción de una versión en húngaro del trabajo publicado en 1981, Filep escribe:

Hace cincuenta años, el 26 de diciembre de 1930, el destacado matemático y físico húngaro Gyula Farkas murió. Fue Miembro de la Academia Húngara de Ciencias y Miembro Honorario del Instituto de Física y Matemática Eötvös Loránd. Después de su muerte él y sus logros en su mayor parte cayeron en el olvido. Sin embargo, en la actualidad se está prestando renovada atención a sus resultados sobre teoría de la optimización y la mecánica.

Pero esto no fue la primera publicación de Filep, había publicado varios artículos en la prestigiosa popular revista científica húngara, Termeszet Vilaga (El mundo de la naturaleza). El primero de estos artículos fue Farkas Gyula (1847-1930) publicado en 1976, fue seguido por A matematika nagy nöalakjai (1977) y Helyunk a tudomany vilagaban (1979). Publicó muchos artículos sobre la historia de matemáticos como Lajos David (1881-1962), historian of Hungarian mathematics (1981), Great female figures of Hungarian mathematics in 19th-20th centuries (Grandes figuras femeninas de las matemáticas húngaras en los siglos XIX y XX) (1983), The development, and the developing of, the concept of a fraction (Desarrollo y desenvolvimiento del concepto de fracción) (2001), The genesis of Eudoxus's infinity lemma and proportion theory (Génesis del lema de infinidad de Eudoxo y teoría de la proporción) (2001), From Fejer's disciples to Erdős's epsilons - change over from analysis to combinatorics in Hungarian mathematics (Desde los discípulos de Fejer a los epsilons de Erdős – cambio del análisis a la combinatoria en la matemáticas húngaras) (2002) y Irrationality and approximation of √2 and √3 in Greek mathematics (La irracionalidad y la aproximación de √2 y √3 en las matemáticas griegas) (2004). También publicó biografías de muchos matemáticos incluyendo las de Janos Bolyai, John C. Harsanyi, John von Neumann y Paul Erdős.

Se puede detallar un poco más a los tres de los artículos publicados por Filep sobre la historia de matemáticos, citando su propio resumen de estos documentos. Publicó Pal Gyula-Julius Pal (1881-1946), the Hungarian-Danish mathematician (Pal Gyula-Julio Pal, 1881-1946, el matemático Húngaro-Danés) en 2000, escribiendo en el Resumen:


Julius Pal (Pál Gyula en húngaro) fue un destacado matemático de la primera mitad del siglo XX. La primera parte de su vida está conectada a Hungría, la segunda a Dinamarca. Como consecuencia de este hecho y de la historia turbulenta, muy poca información exacta sobre su vida y obra ha sobrevivido. Comenzamos nuestro común trabajo de investigación sobre Pal hace algunos años, y ahora somos capaces de dar un resumen de su trayectoria de vida y conocer algunos de sus trabajos científicos. Para el estudio de su vida principalmente nos basamos en fuentes primarias del estado como de archivos primarios tanto de Hungría como de Dinamarca.

Él resumió su trabajo de 2003 Proportion theory in Greek mathematics (Teoría de la proporción en las matemáticas griegas) como sigue:

Los conceptos de relación, relación de igualdad y proporción desempeñaron un papel importante en las matemáticas griegas antiguas. El libro V de los “Elementos” de Euclides contiene una teoría de la proporción de magnitudes (geométricas) basado en la definición de relación de igualdad de Eudoxo (definición V.5). En este trabajo estudiamos la teoría pre-Eudoxiana de la proporción y la génesis de la definición de Eudoxo.

Finalmente el Resumen de Filep de su trabajo A new approach for explaining Rhind's Recto (Un nuevo enfoque para explicar el Recto de Rhind - y su utilidad en la enseñanza) se lee lo que sigue:

El Recto es una tabla en el Papiro Matemático de Rhind (PMR) del antiguo Egipto que contiene la descomposición de la fracción unidad en fracciones 2/n (3 ≤ n ≤ 101, n impar). A la pregunta cómo (y por qué) las descomposiciones se realizaron, no existe ninguna respuesta generalmente aceptada. El hecho de que en algunas otras fuentes de las matemáticas egipcias existen descomposiciones diferentes del Recto, hace el problema más difícil. Los investigadores normalmente intentan encontrar la respuesta en algunas fórmulas por las cuales las entradas a la tabla fueron calculadas [véase p. ej. 1, 42]. Estamos convencidos de que la respuesta correcta no están ocultas en las fórmulas, sino en los conceptos de fracción y división característicos de las matemáticas egipcias. Para estudiarlos es importante no sólo desde el punto de vista histórico sino también desde lo metodológico: cómo desarrollar el concepto de fracción y cómo hacer más fácil la división.

No se debe considerar que el único interés de investigación de Filep fue la historia de las matemáticas; él también publicó una larga serie de trabajos sobre grupos borrosos, algunos escritos en colaboración con Gyula Iulius Maurer, comenzando en 1987.

Cambios en el sistema húngaro de doctorados en la década de 1990 significó que Filep estimó el doctorado obtenido en 1978 no era ahora satisfactorio para el cargo académico que desempeñaba, por lo que él presentó una tesis para obtener un doctorado en la Universidad de Debrecen en 1995. Este le fue otorgado por su tesis Life and Work of Gyula Farkas (Vida y obra de Gyula Farkas ) escrito bajo la tutoría de Barna Szénássy y Lajos Tamássy. Se debe señalar que entre sus dos doctorados la Universidad Kossuth Lajos Debrecen se unió con la Universidad Médica de Debrecen y una Universidad Técnica de Debrecen para convertirse en la Universidad de Debrecen.

Los autores de este artículo en inglés, J. J. O’Connor y E. F. Robertson, conocieron a László Filep en 2004 cuando asistieron a una conferencia sobre la historia de las matemáticas en Miskolc, Hungría. Philip Davis quien también asistió a esta conferencia en Miskolc, había asistido a una conferencia en Viena en días previos. Filep trajo a Davis desde Viena a Miskolc para que él pudiera asistir a ambas conferencias. Poco después de la conferencia de Miskolc, Filep se desplomó y murió durante una conferencia que estaba dando en el Sapientia Colegio de Teología de las Órdenes Religiosas en Budapest. Poco antes de su muerte había recibido el Premio Beke Mano de la Asociación Matemática Janos Bolyai.

Referencia.-

• In Memoriam - Filep Laszlo: 1941-2004, Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyhaziensis 21 (2005), 1-4.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “László Filep” (Diciembre 2008). Fuente: MacTutor History of Mathematics [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Filep.html].

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