holser.pdf

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL Facultad Regional Crdoba Departamento de Ingeniera Civil Ctedra: Dinmica Estructural

Mgter. Ing. Mario Alberto NIETO Ing. Gonzalo Martn AIASSA 1

El siguiente trabajo es una TRANSCRIPCIN parcial de las publicaciones citadas, para ser utilizadas como GUA DE ESTUDIO

de los estudiantes de la ctedra de Dinmica Estructural de la carrera de Ingeniera Civil.

UNIDAD 3: SISTEMA DE MLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

NDICE

Sistema de mltiples grados de libertad. _________________________________3 Sistema de mltiples grados de libertad. _________________________________3 1. Condicin de equilibrio dinmico. _________________________________3 1.1. Ecuaciones de movimiento ______________________________________3 2. Anlisis de vibraciones libres.____________________________________5 2.1. Modos naturales de vibracin. ___________________________________5 3. Anlisis de vibraciones forzadas. _________________________________8 3.1. Solucin mediante transformada de Laplace.________________________8 3.2. Mtodo de Newmark. _________________________________________14 3.3. Mtodo de Holzer.____________________________________________15 4. Anlisis de la respuesta dinmica. _______________________________16 4.1. Ecuaciones de equilibrio dinmico de las edificaciones _______________16 4.2. Desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento._________________17 4.3. Mtodo directo de integracin paso a paso. [6] -pag36_______________19 4.4. Mtodo directo paso a paso de superposicin modal _________________19 4.5. Solucin del problema de valores caractersticos (eigenvalores) de las

ecuaciones de equilibrio dinmico;_______________________________19 4.5.1. Superposicin modal. _________________________________________23 4.5.2. Superposicin modal espectral. _________________________________24 5. Programacin en computadoras. ________________________________26 Bibliografa________________________________________________________26

TABLA DE GRFICOS

Figura 01 Modelo ssmico de edificio de cortante y equilibrio de fuerzas _________4 Figura 02 Sistema no amortiguado ______________________________________6 Figura 03 Modos normales del sistema ___________________________________8 Figura 04 Sistema tratado en el ejemplo del mtodo de Newmark ____________14 Tabla 01 Mtodo de Newmark_________________________________________15 Tabla 02 Mtodo de Holzer ___________________________________________16 Figura 05 Frame used in example of vibration analysis _____________________22



Figura 06 Vibration properties for the frame______________________________23 Figura 07 Representing deflections as sum modal components _______________24



SISTEMA DE MLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD.

1. CONDICIN DE EQUILIBRIO DINMICO.

En la Unidad 2 (Sistemas dinmicos de un grado de libertad) vimos como un sistema amortiguado de un grado de libertad, estaba regido por la ecuacin de equilibrio dinmico. Ahora debemos extender esto mismo a sistemas de varios grados de libertad, para lo cual seguiremos el mismo tipo de planteamiento utilizando masas concentradas y resortes, para luego entrar dentro del problema de la idealizacin dinmica de sistemas estructurales complejos, como puede ser un edificio de varios pisos [10] pag 323.

En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas estn concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son slo las laterales [2] pag 108.

The equation of motion of the system of a general beam-type structure can be formulated by expressing the equilibrium of the effective forces associated with each of its degrees of freedom. In general four types of forces will be involved at any point: the externally applied load ip (t) and the forces resulting from the motion, that it, inertia Iif , damping Dif ; and elastic Sif . Thus for each of the several degrees of freedom the dynamic equilibrium may be expressed as;

I1 D1 S1 1

I2 D2 S2 2

I3 D3 S3 3

f f f p (t)f f f p (t)f f f p (t)..................................

+ + =

+ + =

+ + =

or when the force vectors are represented in matrix form,

I D Sf f f p(t)+ + =

which is the MDOF equivalent of the SDOF equation. [7] pag 171.

1.1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Las expresiones matemticas que gobiernan la respuesta dinmica de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones se obtienen aplicando cualquiera de los principios de la mecnica clsica, como, por ejemplo, el principio DAlembert, el de los trabajos virtuales, o el de Hamilton. En el caso de los edificios, los modelos dinmicos ms usuales son el de edificio de cortante y el de prtico tridimensional. [4] pag 30.

El modelo ms sencillo con varios grados de libertad que se puede utilizar para describir el comportamiento dinmico de una estructura es el de edificio de cortante. Dicho modelo se representa esquemticamente en la figura 01. Est basado en la hiptesis de que el edificio es simtrico, los forjado son infinitamente rgidos, los pilares no sufren deformacin por axil y, en consecuencia, los nicos movimientos de los nudos son los horizontales. [4] pag 30

El modelo de la figura 01 est sometido a una aceleracin horizontal ( t )a de origen ssmico. Las ecuaciones del movimiento pueden deducirse estableciendo el equilibrio dinmico de cada masa, de acuerdo con el principio de dAlembert. Aislando la masa rm e introduciendo todas las fuerzas correspondientes, incluidas las de inercia, se obtiene el esquema de la figura 01. Expresando el equilibrio



dinmico de la masa rm en un sistema de referencia no inercial, con el origen en la posicin inicial del edificio, se obtiene;

ir er arF (t) F (t) F (t) 0 (r 0,1,2,....n) = =

Figura 01 Modelo ssmico de edificio de cortante y equilibrio de fuerzas

En donde ir er arF (t),F (t),F (t) son las fuerzas de inercia, elsticas y de amortiguamiento, respectivamente, correspondiente al grado de libertad r . El modelo dinmico completo est en equilibrio si lo estn todas y cada una de sus masas. Escribiendo una ecuacin de equilibrio para cada una de las masas, se obtiene un sistema de ecuaciones de equilibrio que se escribe en la siguiente forma matricial;

ir er arF (t) F (t) F (t) 0 = (1)

Los vectores delas fuerzas elsticas, eF (t) de inercia, iF (t) y amortiguamiento aF (t) , se definen mediante las siguientes expresiones;

eF (t) KX(t)=

{ }iF (t) M X(t) 1 a(t) = + (2) aF (t) CX(t)=

Donde X es el vector de desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante, K es la matriz de rigidez. La matriz de masa M es diagonal para modelos de cortante y la matriz de amortiguamiento C se considera, en una primera aproximacin, proporcional a la de masa, a la de rigidez, o una combinacin lineal de las dos. Reemplazando las ecuaciones (2) en (1), se obtienen las ecuaciones de movimiento de modelo; [4] pag 32.

{ }MX(t) CX(t) KX(t) M 1 a(t)+ + = (3)

a(t)

kn

cn

mn

kr

cr-

mr-

k2c2

m2

k1

c1

m1

Fir(t) Fer(t) Far(t)



2. ANLISIS DE VIBRACIONES LIBRES.

Vale la pena aclarar que el manejo del amortiguamiento en sistemas de varios grados de libertad es mucho ms complejo que las simplificaciones introducidas en los sistemas de un grado de libertad y por esta razn la presentacin que sigue se har para sistemas no amortiguados y la introduccin del amortiguamiento se realizar posteriormente, una vez se haya definido la solucin de la respuesta de los sistemas de varios grados de libertad. [10] pag 323

Las vibraciones libres amortiguadas en el modelo dinmico se expresan como; [4] -pag 34

MX(t) CX(t) KX(t) 0+ + = (4)

En lugar de resolver la ecuacin (3), conviene primero considerar el caso ms simple en el que no existen amortiguadores y no existe movimiento el terreno, con lo cual dicha ecuacin se convierte en; [2] -pag 109

MX(t) KX(t) 0+ = (5)

The problem of vibration analysis consists of determining the conditions under which the equilibrium condition expressed by equation (5) will be satisfied. By analogy with the behavior of SDOF systems, it will be assumed that the free-vibration motion is simple harmonic, which may be expressed for a MDOF system as;

( )0x A sen t= + (6) In this expressions x represents the shape of the system (which does not change whit time; only the amplitude varies) and 0 is a phase angle. When the second time derivate of equation (6) is taken, the accelerations in free vibration are;

( )2 20x Asen t x= + = (7) Substituting Eqs (7) and (6) into Eq. (5) gives;

( ) ( )2 0 0M A sen t K A sen t 0 + + + = which (since the sine term is arbitrary and may be omitted) may be written; [7] -pag 201

2(K M)A 0 = (8)

La ecuacin (8) corresponde a un sistema de ecuaciones lineales homogneo. Para que existan valores de A distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule, esto es;[2] -pag 110

2K M 0 = (9)

2.1. MODOS NATURALES DE VIBRACIN.

Matemticamente, la expresin (9) constituye un problema de valores caractersticos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuacin algebraica de grado n cuya incgnita es 2 , siendo n el nmero de grados de libertad cuya solucin conduce a n valores de 2 , es decir, a n frecuencias naturales de vibracin , que corresponden a otros tantos perodos de naturales 2 . Para estructuras estables los valores de 2 son reales y positivos, y sus races cuadradas son las



frecuencias naturales. Remplazando cada valor de frecuencia j en (8) podemos

obtener vectores jA diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibracin. No resultan soluciones nicas para cada modo sino solamente valores relativos entre las ija , es decir, que no estn definidas las amplitudes de las vibraciones, sino las relaciones entre todas ellas. [2] -pag110. (consultar ejemplo prctico [2] -pag111)

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introduccin simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. [14] -pag 132.

Un sistema con dos grados de libertad tendr dos frecuencias naturales. Cuando la vibracin libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relacin definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuracin correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrn entonces dos modos normales de vibracin, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibracin libre iniciada bajo cualquier condicin ser en general la superposicin de los dos modos normales de vibracin. Sin embargo, la vibracin armnica forzada ocurrir a la frecuencia de excitacin y la amplitud de las dos coordenadas tender a un mximo, a las dos frecuencias naturales [14] -pag 132.

Consideremos el sistema no amortiguado de la figura 02. Usando coordenadas x1 y x2, medidas desde una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son

( )( )

1 1 2 1

1 1 2 2

mx k x x kx

2mx k x x kx

=

=

(10)

Figura 02 Sistema no amortiguado

Definimos ahora un modo normal de oscilacin como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armnico de la misma frecuencia, pasando simultneamente por la posicin de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir;

i t1 1

i t2 2

x A e

x A e

=

=

K K K

X1 X2

m 2m

m 2m K X1 K (X1-X2) K X 2



Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos

( )( )2

1 2

21 2

2k m A kA 0

kA 2k 2 m A 0

=

+ =

que se satisfacen para cualquier valor 1A y 2A si el determinante siguiente, es cero;

( )( )

2

2

2k m k0

k 2k 2 m

=

Haciendo 2 = , el determinante de arriba conduce a la ecuacin caracterstica. 2

2 k 3 k3 0m 2 m

+ =

Las races de esta ecuacin son

1

2

3 1 k k3 0.6342 2 m m3 1 k k3 2.3662 2 m m

= =

= + =

y las frecuencias naturales del sistema son

12

1 1

12

2 2

k0.634mk2.366m

= =

= =

La sustitucin de estas frecuencias naturales en la ec. (10) nos permite hallar la razn de las amplitudes.

Para; 21k0.634m

= , obtenemos

(1)1

22 1

A k 1 0.731A 2 0.6342k m

= = =

que es la razn de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal.

Anlogamente, usando 22k2.366m

= obtenemos

(2)1

22 2

A k 1 2.73A 2 2.3662k m

= = =

para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. Podemos presentar los dos modos normales grficamente como en la figura 03. En el primer modo



normal, las dos masas se mueven en fase; en el segundo modo normal las masas se mueven en oposicin o, fuera de fase. [14] -pag132

Figura 03 Modos normales del sistema

3. ANLISIS DE VIBRACIONES FORZADAS.

Vibraciones forzadas armnicas. La solucin de esta ecuacin diferencial no homognea se divide en dos partes: una solucin homognea y una solucin particular. La solucin homognea corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales. La solucin particular depende de la fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la respuesta correspondiente a la solucin homognea desaparece pasado algn tiempo pues el amortiguamiento la disminuye; por lo tanto, slo la solucin particular es de inters cuando ha transcurrido algn tiempo despus de iniciado el movimiento. [10] -pag27.

Vibraciones transitorias. La determinacin de la respuesta de un sistema que se ve afectado por una excitacin que no es ni peridica ni armnica presenta un grado de complejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemtico de su solucin es relativamente sencillo. En muchos casos prcticos donde se tienen excitaciones que no se prestan a una descripcin matemtica hay necesidad de recurrir a mtodos numricos para obtener la solucin. [10] -pag32.

Excitacin en la base. El caso en el cual la excitacin del sistema proviene de un movimiento en su base es muy importante en la Dinmica Estructural, pues la excitacin ssmica induce este tipo de respuesta. [10] -pag35.

Ver Ecuaciones de Equilibrio Dinmico en Sistemas de Varios Grados de Libertad. [10] -Pag323.

3.1. SOLUCIN MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Definicin de la Transformada de Laplace [14] -pag446. Si t

f( )es una funcin

conocida de t , para valores de t 0> , su transformada de Laplace sf( ) se define como:

st(t ) (t)

0f (s) e f dt f

= = LLLL (a)

en donde s es compleja. La integral existe para la parte real de 0s > siempre que tf( ) sea una funcin absolutamente integrable de t en el intervalo de 0 a .

Ejemplo 1: Sea tf( ) constante para t > 0 , su L.T.

stst

00

ce cc c e dts s

= = =LLLL

0.731 1.0

-2.73

1.0



Ejemplo 2: Sea (t) tf = su L.T. es encontrado integrando por partes, haciendo

u t du dt= =

stst edv e dt v

s

= =

stst

200

te 1 1t e dts s s

= + =LLLL

Transformada de Laplace de derivadas. Si f (t) f (s)=LLLL existe, siendo (t)f continua, entonces (t)f tiende a (0)f cuando t 0 y la L.T. de su derivada (t ) (t)f d f dt = es igual a:

st st st0 00

f (t) e f (t) dt e f (t) s e f (t)dt

f (0) sf (s)

= = +

= +

LLLL

Anlogamente, L.T. de la derivada segunda ser;

2(t) (s) (0) (0)f s f sf f= LLLL

Transformacin de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Consideremos la ecuacin

mx cx kx F(t)+ + =

Su L.T. es;

2 (s) - (0) - (0) (s) - (0) ( ) ( )m[s x sx x ] c[sx x ] k x s F s+ + =

Que puede ordenarse como

2 2( ) ( ) (0) (0)

(s)F s ms c x m xx

ms cs k ms cs k+ +

= ++ + + +

La ecuacin de arriba es llamada la ecuacin subsidiaria de la ecuacin diferencial. La respuesta se encuentra a partir de la transformacin inversa; el primer trmino representa la respuesta forzada y el segundo las respuesta debida a las condiciones iniciales.

Para el caso ms general, la ecuacin subsidiaria puede escribirse en la forma

( )(s)

( )

A sxB s

= [14] pag448

En donde (s)A y (s)B son polinomios, (s)B en general de mayor orden que (s)A .

Referencia bibliogrfica extra: [15] -pag295, [11]

Metodologa para el clculo dinmico de estructuras

Resumen

La metodologa desarrollada, utilizando la Transformada de Laplace y como herramienta de clculo MATLAB, permite encontrar las amplitudes de oscilacin de



los distintos niveles en estructuras con mltiples grados de libertad, teniendo en cuenta su amortiguamiento estructural, cuando es solicitada sinusoidalmente desde su fundacin.

Metodologa

Se debe tener en cuenta que, para que esta transformada sea aplicable, el sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:

Las variables y sus derivadas e integrales de los diversos rdenes deben tener exponentes unitarios.

Los trminos no deben presentar operaciones entre variables.

Los coeficientes de las variables deben ser constantes.

En un sistema de 1 grado de libertad, si se desea conocer la respuesta referida a la excitacin, es conveniente tratar directamente la funcin transferencia 1 0X X , siendo 1X y 0X las transformadas de los desplazamientos del primer nivel y de la fundacin respectivamente, resultando:

12

0

X cs kX ms cs k

+=

+ +

Por una propiedad de la transformada el reemplazo de s por j en la igualdad anterior muestra, en forma de nmero complejo, la ley de variacin de 1 0x x en funcin de la frecuencia de excitacin , siendo 1x y 0x las amplitudes de los desplazamientos en el nivel 1 y en la fundacin respectivamente, quedando:

12

0

x cj kx m cj k

+=

+ +

Ordenando y racionalizando se llega a una expresin del tipo:

1

0

x a jbx

= +

Como en rigor interesa la relacin de amplitudes en trminos absolutos conviene calcular los mdulos, con lo que:

2 21

0

x a bx

= +

Con el objeto de sistematizar la metodologa se adopta un sistema de 3 grados de libertad. Al igual que para el caso de 1 grado de libertad, la estructura es solicitada desde la fundacin con un movimiento sinusoidal simulando una accin del tipo ssmica de direccin horizontal. Si bien se utiliza un modelo fsico matemtico de desplazamiento vertical, se debe tener en cuenta que para el caso de estructuras civiles los desplazamientos dominantes son los del tipo horizontal.

La figura 1 muestra la similitud entre la estructura real y el modelo fsico-matemtico equivalente.

Para evitar confusiones con los signos de las fuerzas que se originan en cada uno de los componentes, conviene bloquear todos los niveles liberando de a uno el nivel



en estudio y los adyacentes para conformar la ecuacin diferencial que modeliza la dinmica de ese nivel.

Nivel Liberacin del nivel i Liberacin del nivel i+1 Liberacin del nivel i-1

1 ( ) ( )1 1 1 2 1 1 2 1m x c c x k k x+ + + + 2 2 2 2c x k x 1 0 1 0c x k x 0 = 2 ( ) ( )2 2 2 3 2 2 3 2m x c c x k k x+ + + + 3 3 3 3c x k x 2 1 2 1 0c x k x = 3 ( ) ( )3 3 3 3 3 3m x x c x k+ + 0 3 2 3 2c x k x 0 =

Reordenando obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones acopladas en el cual se observa explicitada en el segundo miembro de la primera ecuacin la solicitacin procedente de la fundacin.

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 0 1 0

2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 2 1 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 2 3 2

m x (c c )x (k k )x c x k x c x k xm x (c c )x (k k )x c x k x c x k x 0m x c x k x c x k x 0

+ + + + = +

+ + + + = + + =

Aplicando la transformada de Laplace y escribiendo en forma matricial resulta:

Queda as determinando un sistema de 3 ecuaciones diferenciales simultneas con 3 incgnitas que son las transformadas de los desplazamientos absolutos de cada uno de los niveles.

Al resolver el sistema los desplazamientos ix obtenidos sern valores complejos y referidos a un sistema absoluto de coordenadas. Para conocer los desplazamientos relativos ser necesario operar por diferencias entre los desplaza_ mientos ix de los distintos niveles. La Figura 2 muestra un diagrama vectorial donde pueden apreciarse las respuestas en amplitud y fase; como 0x es la excitacin y tiene una amplitud conocida se toma como referencia y se la asume como un valor real.

El clculo del desplazamiento relativo entre niveles - Figura 3 - es muy importante desde el punto de vista de las solicitaciones estructurales ya que permite obtener, por ejemplo, los momentos flectores y los esfuerzos de corte.

Resolucin del sistema de ecuaciones ejemplo.

Determinar la respuesta en el dominio de la frecuencia de una estructura de hormign reforzado de 5 m de longitud en cada direccin y 3 m de altura entre cada nivel, losas macizas de 12 cm de espesor, vigas perimetrales de 20 cm de ancho por 50 cm de altura y 4 columnas de 20 cm por 20 cm de lado, excitada por un movimiento sinusoidal horizontal en la fundacin de 5 mm de amplitud.

La masa de cada nivel se determin siguiendo los lineamientos del reglamento INPRES CIRSOC para las construcciones sismorresistentes. La rigidez de entrepiso se calcul aplicando el mtodo de Wilbur. Para calcular la constante de amortiguamiento c se adopt como relacin de amortiguamiento el 5% del

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )2 2 2 2 2 01 1 112

2 2 2 2 3 2 3 3 3 22

33 3 3 3

1 1

3

m s c c s k k c s k 0 c s k XX

c s k m s c c s k k c s k X 0X 00 c s k m s c s k

+ + + + + +

+ + + + + + =

+ + +



amortiguamiento crtico, valor empleado para estructuras de hormign reforzado con armadura, mediante la relacin c 2 k m= . %--------------------------------------------

clear all; s='(j*w)';

k3 = 6130268.2; k2 = 5869819.5; k1 = 6436539.3; % Rigidez en N/m

m3 = 23400; m2 = 23400; m1 = 23400; % Masa en kg

Pzita = .05; % Relacin de amortiguamiento

%--------------------------------------------

c3= Pzita *2*(m3*k3)^.5; c2= Pzita *2*(m2*k2)^.5; c1=. Pzita *2*(m1*k1)^.5;

x0=.005; % Desplazamiento inicial en metros

p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]');




dp0=expand(determ(p0));dp1=expand(determ(p1));dp2=expand(determ(p2));dp3=expand(determ(p3));

dp0=subs(dp0,s,'s');dp1=subs(dp1,s,'s');dp2=subs(dp2,s,'s');dp3=subs(dp3,s,'s');

%--------------------------------------------

hilf=0;

for f=0:.01:8

w=2*pi*f; hilf=hilf+1; x(hilf)=f;

x1=eval(dp1)/eval(dp0)*x0; x2=eval(dp2)/eval(dp0)*x0; x3=eval(dp3)/eval(dp0)*x0;

d1a(hilf)=abs(x1); d1r(hilf)=abs(x1-x0);



a1a(hilf)=abs(-x1*w^2); a1r(hilf)=abs(-x1*w^2);

a2a(hilf)=abs(-x2*w^2); a2r(hilf)=abs(-x2*w^2+x1*w^2);

a3a(hilf)=abs(-x3*w^2); a3r(hilf)=abs(-x3*w^2+x2*w^2);

end

%--------------------------------------------

figure(1)

subplot(1,2,1),plot(x,d1a*1000,'r-',x,d2a*1000,'b-',x,d3a*1000,'g-')

xlabel('Frecuencia [Hz]')

ylabel('Desplazamiento [mm]')

TITLE('DESPLAZAMIENTOS ABSOLUTOS')

LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0)

subplot(1,2,2),plot(x,d1r*1000,'r-',x,d2r*1000,'b-',x,d3r*1000,'g-')




TITLE('DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS')

LEGEND ('Nivel 1-0','Nivel 2-1','Nivel 3-2',0)

axis auto

figure(2)

subplot(1,2,1),plot(x,a1a,'r-',x,a2a,'b-',x,a3a,'g-')


ylabel('Aceleracin [m/s]')

TITLE('ACELERACIONES ABSOLUTAS')

LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0)

subplot(1,2,2),plot(x,a1r,'r-',x,a2r,'b-',x,a3r,'g-')


TITLE('ACELERACIONES RELATIVAS')

LEGEND ('Nivel 0-1','Nivel 1-2','Nivel 2-3',0)

axis('auto')

Los siguientes grficos muestran las aceleraciones absolutas y los desplazamientos relativos y del ejemplo analizado.

Conclusin

Durante la marcha del estudio se ha indagado en profundidad en la teora de la Dinmica de los Sistemas con grados de libertad mltiples modelizados con parmetros concentrados pero, en contraste con los desarrollos encontrados en la bibliografa consultada, aqu se ha tenido en cuenta el amortiguamiento estructural. Como resultado de este anlisis se ha logrado desarrollar un mtodo de clculo que, utilizando la Transformada de Laplace y Matlab como herramientas, permite evaluar la respuesta de los n grados de libertad de una estructura cuando

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

8

Frecuencia [Hz]

ACELERACIONES ABSOLUTAS

Nivel 1Nivel 2Nivel 3

0 2 4 6 80

10

20

30

40

50

60

Frecuencia [Hz]

DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS

Nivel 1-0 Nivel 2-1 Nivel 3-2

Ace

lera

ciones

m/s

2

Vel

oci

dad

es m

/s



se la solicita con cargas alternativas sinusoidales por la fundacin, por sus niveles o por ambas simultneamente. Bibliografa [11]

3.2. MTODO DE NEWMARK.

Figura 04 Sistema tratado en el ejemplo del mtodo de Newmark

Este mtodo[2] pag113, propuesto por su autor en 1943, esta basado en el proceso de iteracin de Stodola - Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962). En la forma en que a continuacin se describe, el mtodo es aplicable al clculo del modo fundamental de vibracin de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. En estas estructuras la masa de los pisos intermedios est ligada slo a la de los pisos superior en inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondiente (la figura .... muestra una estructura de este tipo). En su forma ms general el mtodo se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre las diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971).

Los pasos en que consiste el mtodo se han aplicado en la Tabla 01 a la estructura de la Figura 04 y son los siguientes:

a) Supngase una formas 'X ' para el modo. Esta es la que aparece en el rengln 1 de la tabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer valores iguales al nmero de orden del piso (de abajo hacia arriba).

b) Obtngase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la configuracin supuesta. Estas fuerzas seran 2M X ; como se desconoce

2' ' , se calculan los productos 2M X = F , que forman el segundo rengln de la tabla.

c) A partir de las fuerzas de inercia calclense las fuerzas cortantes en los entrepisos, tambin divididas entre 2' ' ; esto es, se calcula 2V como se anota en el tercer rengln de la tabla

d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre las rigideces de entrepiso, obtnganse las deformaciones de entrepiso tambin divididas entre 2' ' . Esto se presenta en el rengln cuarto de la tabla como 2V

w3=200

k3=80

w2=400

k2=200

w1=400

k1=200

ki= rigidez del entrepiso i, en ton/cm

wi= Peso del i, en ton



e) Acumulando deformaciones de entrepiso determnese una nueva configuracin de los desplazamientos de las masas 2Y (quinto rengln de la tabla).

Para calcular la frecuencia se pueden promediar los valores del ltimo ciclo o, mejor an, determinarla con el coeficiente de Schwartz (que es una forma del cociente de Rayleigh), como sigue:

( )( )( )

2 2i i i2

22i i i

F Y =

F Y

Mtodo de Newmark

200.000 200.000 80.000

K: Tn / cm

M: Tn s / cm 0.408 0.408 0.204

1 X 1.000 2.000 3.000 2 F / w 0.408 0.816 0.612 3 V / w 1.836 1.428 0.612 4 DY / w 0.00918 0.00714 0.00765 5 Y / w 0.00918 0.01632 0.02397

6 w 109 123 125

............. .......... .......... .......... .......... ........ ...........

1 X 1.000 1.750 2.550 2 F / w 0.408 0.714 0.520 3 V / w 1.642 1.234 0.520 4 DY / w 0.00821 0.00617 0.0065 5 Y / w 0.00821 0.01438 0.02088

6 w 121.8 121.7 122.1

Tabla 01 Mtodo de Newmark

3.3. MTODO DE HOLZER.

Para calcular lo modos superiores al primero[2] pag115, podemos emplear el procedimiento debido a Holzer (Crandall y Strang 1957). Este mtodo es solo aplicable a estructuras sencillas acopladas. Los pasos a dar son:

a) Supngase arbitrariamente un valor de 2' ' mayor que el modo fundamental previamente obtenido por cualquier mtodo.

b) Supngase la amplitud del movimiento 1'X ' de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta es tambin igual al desplazamiento 1'X ' del primer piso.

c) Calclese la fuerza cortante en el primer resorte, 1 1 1V = K V , donde 1'K ' es la rigidez de entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa,

21 1 1F = M X .

d) Por el equilibrio determnese la fuerza cortante en el segundo resorte

2 1 1F V - X=



e) Obtngase la deformacin de este ltimo, 2 2 2X F K= f) Calclese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa,

2 1 2X -X -X= , y la fuerza de inercia en la misma, 22 2 2F = M X g) Reptanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa.

h) Continese el proceso hasta llegar a la ltima masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del ltimo resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibracin. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo.

K: Tn / cm

200.000 200.000 80.000

2 Supuesto

M: Tn s / cm 0.408 0.408 0.204 X 1.000 0.980 -1.570 Dx 1.000 -0.020 -2.55 V 200.000 -4.000 -204

500

F 204.0 200.0 -160 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ X 1.000 0.851 -1.964 Dx 1.000 -0.149 -2.815 V 200.000 -29.70 -225.2

563

F 229.7 195.5 -225.6 Tabla 02 Mtodo de Holzer

( ) ( )2

2

500*30 + 600*44 74 = 560200*1+ 28.5*0.140 + 225.0*2.810 = 500* = 563.0

228.5*1+195.5*0.886 + 223.0*1.950200*1+ 29.7*0.149 + 225.2*2.815 = 563* = 562.5

229.7*1+195.5*0.851+ 225.6*1.964

interpolacin lineal

4. ANLISIS DE LA RESPUESTA DINMICA.

De acuerdo con las NTC (Normas Tcnicas Complementarias Mxico) para diseo por sismo, toda estructura puede analizarse mediante un mtodo dinmico. Se aceptan como mtodos de anlisis dinmico:[6] -pag34.

a) El modal (modal espectral)

b) El paso a paso de respuestas a sismos especficos

4.1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO DE LAS EDIFICACIONES

( ) ( ) ( ) ( )2

t t t t2d dM u C u Ku F

dtdt+ + = (4.1) [6] -pag35

M Matriz de masa=

C Matriz de amortiguamientos=



K Matriz de rigideces=

( )tu Vector de desplazamientos=

( )td u Vector de velocidadesdt

=

( )2

t2d u Vector de aceleracionesdt

=

4.2. DESACOPLAMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.

La transformacin que permite desacoplar las ecuaciones de equilibrio dinmico se puede expresar como. [6] -pag39

u R y= (4.18)

Donde

y vector del nuevo sistema coordenado=

1 2 nR r r r =

u Matriz mod al=

nr n - simo eigenvector=

De acuerdo con la transformacin de coordenadas anterior 4.18 las expresiones de los vectores de velocidad y de aceleracin resultan ser:

( ) ( )

( ) ( )

t t

2 2

t t2 2

d du R ydt dtd du R ydt dt

=

=

(4.20)

De acuerdo con las ecuaciones 4.18 y 4.20 las ecuaciones de equilibrio dinmico 4.1 en el sistema de referencia transformado se expresa como:

( ) ( ) ( ) ( )2

t t t t2d dMR y CR y KRy F

dtdt+ + = (4.21)

Al premultiplicar la ecuacin 4.21 por la transpuesta de la matriz modal se obtiene la siguiente expresin.

( ) ( ) ( ) ( )2

t t t tt t t t2

d dR M R y R C R y R K Ry R Fdtdt

+ + = (4.21)

Al definir los siguientes conceptos

tM R M R Matriz de masa transformada = =

tC R C R Matriz de amortiguamientos transformada = =

tK R K R Matriz de rigideces transformada = =



( ) ( )t

t tF R F Vector de c arg as transformado

= =

De acuerdo con las expresiones de ortogonalidad de los eigenvectores respecto a las matrices de masas y de rigideces, la matriz de masa transformada sea una matriz diagonal, las ecuaciones de equilibrio dinmico transformadas se pueden escribir como

( ) ( ) ( ) ( )2

t t t t2d dM y C y K y F

dtdt + + =

Que resulta ser un sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado, cuya ecuacin i-sima se puede escribir como:

( ) ( ) ( ) ( )2

i i i i i i it t t t2d dm y c y k y f

dtdt + + = (4.25)

La ecuacin 4.25 representa la ecuacin de equilibrio dinmico de un sistema de un grado de libertad. Por lo anterior se puede decir que un sistema de N grados de libertad se transforma en N sistemas de un grado de libertad. Los coeficientes de las ecuaciones de un grado de libertad resultan ser:

( )N 2ii k kk 1

m m r=

=

i i ic 2=

2i i ik m =

( ) ( ) ( )N

ik k 2 2

k 1i g i gt tN 2 22i

k kk 1

m Id df - u -c udt dtm r

=

=

= =

Donde:

km masa asociada al grado de libertad k - simo=

( )ikr componente k - simo del i - simo eigenvector mod o= i frecuencia natural de vibracin del i - simo mod o =

i fraccin del amortiguamiento crtico del i - simo mod o =

( )

Nk

k ik 1

i N 2ik k

k 1

m rc coeficiente de participacin del i - simo mod o

m r

=

=

= =



4.3. MTODO DIRECTO DE INTEGRACIN PASO A PASO. [6] -pag36

Los mtodos que actualmente se utilizan para integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinmico de las edificaciones se agrupan en:

a) Mtodos directos

b) Mtodos de superposicin modal.

4.4. MTODO DIRECTO PASO A PASO DE SUPERPOSICIN MODAL

Otra forma de integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinmico de las estructuras es mediante la solucin del problema de eigenvalores, segn se indica a continuacin. [6] -pag38

4.5. SOLUCIN DEL PROBLEMA DE VALORES CARACTERSTICOS (EIGENVALORES) DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO;

Este caso corresponde a un problema de vibraciones libres no amortiguadas, cuyas ecuaciones resultan ser: [6] -pag38

( ) ( )2

t t2dM u Ku 0dt

+ =

En las vibraciones libres el movimiento armnico, es decir

( ) ( )2

2t t2

d u - udt

=

y las ecuaciones de vibracin libre resultan ser

2K u M u=

que es el clsico problema de eigenvalores comnmente expresado como:

A x B x= Definicin; sea A una matriz de n n. Se dice que un nmero es un valor propio de A si existe un vector solucin K, no cero, del sistema lineal [15] -pagAP-16.

AK = K El vector solucin K es un vector propio que corresponde al valor propio . El trmino hbrido eigenvalor se usa como traduccin de la palabra alemana eigenwert que significa valor propio. A los valores propios y vectores propios se les llama tambin valores caractersticos y vectores caractersticos, respectivamente.

Ejemplo; Vector propio de una matriz

Compruebe que

1K 1

1

=

es un vector propio de la matriz

0 1 3A 2 3 3

2 1 1

=



Solucin; al multiplicar AK;

0 1 3 1 2 1AK 2 3 3 1 2 ( 2) 1 ( 2)K

2 1 1 1 2 1

= = = =

De acuerdo con la definicin y lo que acabamos de decir, = -2 es un valor propio de A. [15] -pagAP-16

Ejemplo; Valores propios y vectores propios

Determine los valores y vectores propios de

1 2 1A 6 1 0

1 2 1

=

Solucin; para desarrollar el determinante y formar la ecuacin caracterstica usamos los cofactores del segundo rengln;

( ) 3 21 2 1

det A I 6 1 0 12 01 2 1

= = + =

Puesto que ( )( )3 2 12 4 3 0 + = + = , los valores propios son 0, 41 2 = = y 3 3 = . Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces

( )A I 0 , lo cual corresponde a los tres valores propios distintos. Para 1 0 =

( )1

136 6

13 13

1 01 2 11 2 1 0 1 2 1 0 0 0A 0I 0 6 1 0 0 0 13 6 0 0 1 0 0 1 0

1 2 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

=

Entonces, 1 31k k

13= y 2 3

6k k13

= . Si 3k 13= , obtenemos el vector propio (*)

1

1K 6

13

=

Para 2 4 =

( )5 2 1 0 1 2 3 0 1 2 -3 0 1 0 1 0

A 4I 0 6 3 0 0 6 3 0 0 0 9 18 0 0 1 2 01 2 3 0 5 2 1 0 0 8 16 0 0 0 0 0

+ =

Entonces, 1 3k k= y 2 3k 2k= . Si 3k 1= , se obtiene el segundo vector propio



2

1K 2

1

=

Para 3 3 =

La eliminacin de Gauss-Jordan da;

( ) 321 0 12 2 1 0 0

A 3I 0 6 4 0 0 0 1 01 2 4 0 00 0 0

=

Entonces, 1 3k k= y 2 33k k2

= . Si 3k 2= , conduce al tercer vector propio

3

2K 3

2 =

(*) Naturalmente, k3 pudo ser cualquier nmero distinto de cero; en otras palabras, un mltiplo constante distinto de cero de un vector propio tambin es un vector propio.

Cuando una matriz A de n n tiene n valores propios distintos, 1 2 n, ,..., se demuestra que se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes(*) K1, K2,....., Kn; sin embargo, cuando la ecuacin caracterstica tiene races repetidas, quiz no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes.

(*) La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones. [15] -pagAP-17

Example; The analysis of vibration frequencies by the solution of the determinantal equation (9) will be demonstrated with reference to the structure of fig. 05. The stiffness matrix for this frame can be determined by applying a unit displacement to each story in succession and evaluating the resulting story forces. Because the girders are assumed to be rigid, the story forces can easily be determined here by merely adding the sides way stiffnesses of the appropriate stories. [7] -pag202



Figura 05 Frame used in example of vibration analysis

The mass and stiffness matrices for this frame thus are

2 1.0 0 0kip.secm 1 0 1.5 0in

0 0 2.0

=

1 1 0kipsk 600 1 3 2in

0 2 5

=

from which

21 B 1 0

kipsk m 600 1 3 1.5B 2in

0 2 5 2B

=

(a)

Where

2B

600

The frequencies of the frame are given by the condition that 0= where is the determinant of the square matrix in eq (a). Evaluating this determinant, simplifying, and equating to zero leads to the cubic equation;

3 2B 5.5B 7.5B 2 0 + =

The three roots of this equation may be solved directly or obtained by trial and error; their values are 1 2 3B 0.3515 , B 1.6066 , B 3.5420 = = = . Hence the frequencies are;

21 122 22

33

210.88 14.522963.96 31.048

2,125.20 46.100

= =

radsec

m = 1.0

m = 1.5

m = 2.0

k = 600

k = 1200

k = 1800



The analysis of vibration mode shapes will be demonstrated by applying it to the structure of fig.05.

The mode shapes can be found by introducing the values of nB , inverting, and multiplying as indicated. The calculations for the three mode shapes of this system follow;

Mode 1: 10.6485

B 0.350.3018

=

Mode 2: 20.6066

B 1.610.6790

=

Mode 3: 32.5405

B 3.542.4382

=

Of course, the displacement of mass a in each mode has been assumed to be unity. The three mode shapes for this structure are sketched in fig.06. [7] -pag 207.

Figura 06 Vibration properties for the frame

Referencia Bibliogrfica extra [14] -pag183.

4.5.1. SUPERPOSICIN MODAL.

Consider, for example, the cantilever column shown in fig. 07, for which the deflected shape is expressed in terms of translational displacements at three levels. Any displacement vector v (static or dynamic) for this structure can be developed by superposing suitable amplitudes of the normal modes as shown. For any modal component nv , the displacement are given by the product of the mode-shape vector n and the modal amplitude nY ; thus[7] pag220

n n nv Y=

1.000

0.648

0.301

MODE 1 W1= 14.522

1.000

-0.6066

-0.6790

MODE 2

= 31.048

-2.5405

1.000

2.438

MODE 3 W2= 31.048 W3= 46.100



The total displacement vector v is then obtained by summing the modal vectors as expressed by

Figura 07 Representing deflections as sum modal components

N

1 1 2 2 N N n nn 1

v Y Y Y Y=

= + + + =

or, in matrix notation,

v Y= In this equation, it is apparent that the NxN mode-shape matrix serves to transform the generalized coordinate vector Y to the geometric coordinate vector v . The generalized component in vector Y are called the normal coordinate of the structure.

T T T Tn n 1 1 n 2 2 n N NY Y Y = + + + mv m m m

Because of the orthogonality property with respect to mass, .for., all terms on the right hand side of this equation vanish, except for the term containing.., leaving

T Tn n n nY = mv m

From which

Tn

n Tn n

Y n 1, 2,......, N= = mvm

(12-6)

If vector v is time depend, the coordinate will also be time dependent; in this case, taking the time derivative of Eq. 12-6 yields

El llamado anlisis modal aprovecha las propiedades de los modos de vibrar para reducir el problema de resolver un sistema acoplado de n ecuaciones diferenciales al de n ecuaciones diferenciales desacopladas. [2] -pag121.

4.5.2. SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL.

Mtodo de la respuesta espectral [6] -pag43

Este mtodo corresponde al denominado anlisis de las NTC para el diseo por sismo. Su secuencia se resume a continuacin.

+ +=

v1

v2

v3

v= Y

v11

v21

v31

v1= Y1

v12

v22

v32

v2= Y2

v13

v23

v33

v3= Y3



a) Desacoplamiento de las ecuaciones de equilibrio dinmico

b) Obtencin de la respuesta espectral de cada una de las ecuaciones de equilibrio desacopladas.

De acuerdo con el RCDF87 se calcula mediante la siguiente expresin

i imax i 2

i

Ay c=

maxy respuesta espectral de desplazamientos transformados del mod o i-esimo =

i Frecuencia natural de vibracin del mod o i - simo =

i

ii

A Ordenada del espectro de aceleraciones de diseo2asociada al prodo natural de vibracin T

=

=

ic coeficiente de participacin del mod o i - simo=

c) Cuantificacin de los vectores de desplazamientos mximo de la estructura para cada modo.

i ii maxmax

u r y=

ir Eigenvector asociado al mod o i - simo=

d) Obtencin de la respuesta total de la estructura

a. Mtodo de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS)

N2i

i1S S=

b. Mtodo de la combinacin cuadrtica completa (CQC)

N N

i ij ji=1 j=1

S S p S=

( )( ) ( )

8 i j i j i i j j i jij 2 2 2 2

i j i j i j ji j i

p- 4 4

+ =

+ + +

( )i Valores del amortiguamiento crtico del mod o i - simo

que se supone cons tan te para todos los mod os =

i, j Frecuencia natural de vibracion del mod o i - simo =

Referencia bibliogrfica extra: [7] pag 211, 221 y 222, [10] pag 396



5. PROGRAMACIN EN COMPUTADORAS.

BIBLIOGRAFA

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