hojas de trabajo
TRANSCRIPT
Bloque 51
El concepto de aproximación en el contexto de la potenciación y radicación
1 Este manuscrito es un extracto del libro Del Sentido Numérico al Pensamiento
Prealgebraico, de T. Cedillo y V. Cruz (en proceso de edición)
Bloque 5
El concepto de aproximación en el contexto de la potenciación y radicación
El bloque aborda el estudio de las operaciones de potenciación y radicación para introducir el concepto de aproximación. El cálculo de potencias y raíces cuyo resultado no es un número decimal periódico o un número con una cantidad definida de dígitos decimales, requiere aplicar estrategias de aproximación. En este bloque se induce la generación de estrategias no convencionales, en particular, la de ensayo y refinación.
Además de abordar los conceptos de potenciación y radicación y las relaciones entre ellos, el recorrido de las tareas propuestas favorece el desarrollo del sentido numérico, específicamente en lo referente a la aplicación de las propiedades de las operaciones de números decimales y las características de su estructura numérica. Por ejemplo, formular respuestas a preguntas como las siguientes: ¿entre cualesquiera dos números decimales hay otro número decimal? ¿Cómo podemos encontrar ese número? ¿Cuántos números decimales hay entre cualesquiera dos números decimales?
En las hojas de trabajo la calculadora está presente como la herramienta en la que recae todo el trabajo operativo para dar la oportunidad a quien la usa de centrar su atención en la exploración de los resultados que despliega; el manejo técnico de la máquina es muy “amigable” y favorece desarrollar estrategias para obtener la mejor aproximación con un margen de error determinado.
Las actividades del bloque se abordan aspectos acordes con las competencias matemáticas sugeridas en los Programas y Guías de la Educación Básica.
HOJA DE TRABAJO 41
Exponentes fraccionarios
1. Una estudiante dice que entre 4.378 y 4.379 no hay ningún
número decimal. ¿Lo que dice es correcto? ________________
Si estás de acuerdo con ella explica por qué. ____________
______________________________________________
______________________________________________
Si no estás de acuerdo con ella da un ejemplo que justifique
tu respuesta. __________________________________
2. Un estudiante dice que 42 = 16 y 43 = 64. ¿Es cierto lo que dice
ese alumno? ________ ¿Por qué? ______________________
________________________________________________
3. ¿Hay alguna potencia de 4, de manera que 4x sea aproximadamente 29? ________
Explora posibilidades con tu calculadora y encuentra cuál es esa potencia
_____________________ Compara tu respuesta con las de tus compañeros(as), la
mejor respuesta es la que muestre una mejor aproximación.
4. ¿Cuál es la mejor aproximación con tres cifras decimales para el valor de x, de manera
que 4x se aproxime a 29? _______________________ ¿Por qué puedes asegurar que
la aproximación que encontraste es la mejor? _______________________________
________________________________________________________________
5. ¿Cuál es el valor con cuatro cifras decimales para k, de manera que el valor de 6k sea
la mejor aproximación para 5000? ___________ ¿Por qué puedes asegurar que la
aproximación que encontraste es la mejor? ________________________________
________________________________________________________________
6. ¿Cuál es el valor con cinco cifras decimales para x, de manera que 5x sea la mejor
aproximación para 32? _______________________________________________
7. En cada uno de los siguientes casos, encuentra la mejor aproximación con tres cifras
decimales para el valor de x (el símbolo “ ” se lee “es aproximadamente”…).
a) 1357 x x ____________
b) 1009 x x _____________
c) 12010 x x _____________
d) 7810 x x __________
HOJA DE TRABAJO 42
Exponentes negativos
1. Haz la operación 5–1 en la calculadora. Un estudiante dice que
5-1 = 0.2, y una de sus compañeras dice que 5
115 . ¿Cuál de
los dos está en lo correcto? ______ ¿Por qué?
_____________________________________________
_____________________________________________
2. Otro estudiante dice que 10–3 = 0.001. ¿Es correcto ese
resultado? ______ ¿Por qué?
_____________________________________________
_____________________________________________
3. ¿A qué potencia debe elevarse 10 para obtener como resultado 0.000001?
________________________________________________________________
4. ¿A qué potencia puedes elevar 10 para obtener una buena aproximación al valor 0.5?
________________________________________________________________
5. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro cifras decimales para y, de manera que
?38.010 y _______________________________________________________
6. ¿Cuál es la mejor aproximación con tres cifras decimales para r, de manera que
?200010 r _____________________________________________________________
7. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro cifras decimales para x, de manera que
?0258.010 x ____________________________________________________________
8. Una estudiante dice que 2
1
25 = 2525 50 . . ¿Es correcto lo que afirma esa alumna?
____________ ¿Cómo puedes verificar si lo que dice esa alumna es correcto o no?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
9. Encuentra el valor de x de manera que .6464 3x x=
10. Encuentra el valor de x de manera que 5 .3232 x x =
HOJA DE TRABAJO 43
¡Se descompuso la tecla de la raíz cuadrada!
1. Supongamos que la tecla de la raíz cuadrada
se descompuso. ¿Qué podrías hacer con la
calculadora, sin usar la tecla de la raíz
cuadrada, para contestar las siguientes
preguntas?
a) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 25? _____________________________
_________________________________________________________________
b) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 81? _____________________________
c) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 53? _________
d) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 75? _________
e) ¿Puedes encontrar una aproximación para la raíz cuadrada de 133 con una cifra decimal?
¿Cuál es? __________________________________________________________
f) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación para la raíz cuadrada de 133 con tres cifras
decimales? ¿Cuál es? __________________________________________________
g) ¿Puedes encontrar la mejor aproximación con cuatro cifras decimales para la raíz
cuadrada de 133? ¿Cuál es? _______________________________
2. Podemos tener una aproximación a un número “por abajo” o “por
arriba”. Por ejemplo, 6.7 es una aproximación “por abajo” para el
número 7, y 7.1 es una aproximación “por arriba”. Observa que 7.1 es
una mejor aproximación que 6.7, porque 7.1 7 = 0.1, mientras que 7
6.7 = 0.3. es decir, 7.1 está “más cerca” de 7 que 6.7. A las diferencias
0.1 y 0.3 se les llama “error absoluto” en la aproximación.
3. ¿Puedes encontrar una mejor aproximación “por arriba” para 7?
________________ ¿Cuál es? ________________________________________
4. Sin usar la tecla de la raíz cuadrada encuentra la mejor aproximación “por abajo”, con un
una cifra decimal, para la raíz cuadrada de 72. ¿Cuál es esa aproximación?
___________________ Explica qué es lo que te permite afirmar que la aproximación que
encontraste es la mejor aproximación “por abajo” con una cifra decimal para la raíz
cuadrada de 72._______________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
HOJA DE TRABAJO 44
Aproximación “por abajo” y “por arriba”
1. Encuentra la mejor aproximación “por
abajo” para cada una de las siguientes
raíces cuadradas. Tu aproximación debe
tener dos cifras decimales. Para hacer
esto no debes usar la tecla de la raíz
cuadrada.
a) 37 b) 97 c) 108
d) 90 e) 134 f) 130
g) 452 h) 725 i) 927
2. Encuentra la mejor aproximación “por
arriba” para cada una de las siguientes
raíces cuadradas. Tu aproximación debe
tener tres cifras decimales, recuerda
que no debes usar la tecla de la raíz
cuadrada.
a) 48 b) 227 c) 326
d) 405 e) 618 f) 853
g) 958 h) 1104 i) 1005
3. Encuentra la mejor aproximación “por arriba” y
la mejor aproximación “por abajo”, con tres
cifras decimales, para 2 .
_____________ < 2 <___________
Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. Identifica los contenidos matemáticos explícitos e implícitos en las actividades de
este bloque y haz una lista de ellos. Compara tu lista con la de tus compañeros y en su caso realiza los ajustes pertinentes en tu trabajo.
2. Elabora un mapa conceptual con los contenidos matemáticos que identificaste.
3. Revisa los Programas y Guías de la Educación Básica e identifica en ellos los contenidos matemáticos que están relacionados con los de este bloque. Haz una tabla al respecto.
4. Consulta los Programas y Guías de la Educación Básica para identificar las competencias matemáticas que se sugiere que desarrollen los alumnos e identifica cuáles y de qué manera son abordadas en las actividades de este bloque.
5. Organiza con tus compañeros una sesión para discurrir acerca del rol de la calculadora en las hojas de trabajo de este bloque.
6. Haz una investigación en las fuentes matemáticas que consideres pertinentes
acerca de procedimientos formales para resolver ecuaciones como 1357 x.
Prepara una presentación al respecto y preséntala a tus compañeros. 7. Haz una indagación sobre los métodos convenciones para encontrar la raíz
cuadrada de un número y prepara una presentación para exponer tus resultados a tus compañeros.