Aplicaciones Lineales – 1 Hoja 9

E.1 Sea f un endomorfismo de R2 tal que f(1, 0) = (5, 2) y f(0, 1) = (1,−3). Hallar la imagenpor f del vector (3, 2) y la imagen inversa por f del vector (0, 3).

E.2 Sea A : R3 → R3 dada por A(x, y, z) = (x + z, x, y + z). Encontrar la matriz asociada aA con respecto a la base canonica de R3. Hallar la imagen mediante A de los siguientes subespaciosvectoriales:

1. V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}.

2. V2 = L((2, 2, 0)).

E.3 Se consideran los espacios M2(R), matrices cuadradas de orden dos, y P2R, polinomios de

grado menor o igual que dos y sea T :M2(R)→ P2R la aplicacion lineal definida por:

T

(a bc d

)= (a+ b)x2 − (c+ d)x+ (b− c)

Se pide:

1. Matriz de T respecto de las bases canonicas de ambos espacios.

2. Dadas las bases deM2(R) y P2R,

B1 ={(−1 00 0

),

(−1 −10 0

),

(−1 −11 0

),

(−1 −11 1

)}B2 = {1, 1 + x, 1 + x+ x2}

respectivamente, hallar la matriz de T respecto de las bases B1 y B2.

3. Encontrar todas las matrices A ∈M2(R) tales que T (A) = x2 + x+ 2.