Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Lista de Ejercicios 1marzo 24, 2015

1. Considerar la función f : [0 , 1]× [0 , 1] → R denida como:

f(x, y) =

1− x− y si x+ y < 1

0 en los otros puntos

Pruebe justicadamente que f es integrable.

2. Sea f(x, y) =x− y

(x+ y)3. Muestre que

1∫0

1∫0

f(x, y) dx dy 6=1∫

0

1∫0

f(x, y) dy dx

Argumente por que este ejemplo no contradice el Teorema de Fubini.

3. Use integrales dobles para calcular el volumen bajo la supercie z = − ln(x2 + y2) y sobre el disco

x2 + y2 ≤ 1 .

Resp: π

4. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la supercie z2 = 1−y2 .

Resp:4

3

5. Calcule

(a)

1∫0

1∫y

ex2dx dy (b)

1∫0

π/2∫arc sen(y)

√1 + cos2(x) cos(x) dx dy

6. Un sólido está limitado por la supercie z = x2 − y2 , el plano xy y los planos x = 1 y x = 3 .Calcule su volumen usando integrales dobles.

Resp.80

3.

7. Considerar la región D , encerrada por la curva x2 + y2 = x+ y y la recta y = −x .

Calcular ∫∫D

(x+ y) dA

Resp:π

4.

MAT024 1

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8. Calcular

∫∫D

e−√

x2

4+ y2

9 dA

Donde

D =

(x, y) :

x2

4+y2

9≤ 1

Resp: 12π

(1− 2

e

)9. Use integrales dobles para calcular el volumen bajo la supercie z = − ln(x2 + y2) y sobre el disco

x2 + y2 ≤ 1 .

Resp: π

10. Sea R la región del plano acotada por las curvas y = x3 , y = −x3 e y = 8 . Calcular:∫∫R

x2 sen(y2) dA

Resp:1

3− 1

3cos(64)

11. Calcular2∫

0

dx

√2x−x2∫0

dy

a∫0

z√x2 + y2 dz

Resp:8a2

9

12. Considerar la región R encerrada por la curva (x2 + y2)2 = 2xy2 . Calcule el volumen del sólido

de revolución que se genera al rotar R en torno del eje y .

Resp: ....

13. Calcular

3∫0

4∫0

y2

+1∫y2

(2x− y

2+z

3

)dx dy dz

Usando la transformación u =2x− y

2; v =

y

2; w =

z

3

MAT024 2

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Resp: 12

14. Calcular ∫∫∫R

(x+ y + z)(x+ y − z)(x− y − z) dV

Resp:1

180

15. Considerar la región R encerrada por las supercies z = 0 ; y + z = 3 ; x2 + y2 = 2x y

x2 + y2 = 4x . Calcular ∫∫∫R

z dV

Resp: ...

16. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie√x+√y+√z = 1 y los planos coordenados

17. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie

(x2

+y

4+z

6

)4=

xyz

48

18. Sea a > 0 . Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie

x2/3 + y2/3 + z2/3 = a2/3

19. Calcular ∫∫∫G

x2 dV

Donde G es la región encerrada por el elipsoise 9x2 + 4y2 + z2 = 36 .

Resp: ...

MAT024 3

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20. Calcular :

∫∫∫R3

√x2 + y2 + z2 e−(x2+y2+z2)

Resp: 2π

21. Sea Ω la región que se encuentra en el primer octante, limitada por los paraboloides: z = x2 + y2 ,

z = 2(x2 + y2) ; los cílindros hiperbólicos: xy = 1 , xy = 4 y por los planos: y = x e l y = 5x .Calcular ∫∫∫

Ω

xyz dV

Resp: ....

22. Calcular ∫∫∫D

(x2 + y2 + z2) dx dy dz

D es la región encerrada por las supercies 2z = x2 + y2 y x2 + y2 + z2 = 3 .

Resp:81π

6(2√

2− 1)

23. Calcular ∫∫∫R

√x2 + y2 + z2 dV

donde R es el interior de la esfera x2 + y2 + z2 = x

24. Considerar la región R ⊂ R3 determinada por las ecuaciones:

1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ |x|

Graque la región R y calcule ∫ ∫ ∫R

z√x2 + y2

dV

25. Calcular el volumen del sólido encerrado por la supercie

(x2 + y2 + z2)2 = 2z(x2 + y2)

MAT024 4

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26. Encuentre la masa fuera del cono 3x2 + 3y2 = z2 , sobre el plano z = 0 y dentro de la esfera

x2 + y2 + z2 = 4x cuya densidad es δ(x, y, z) = z .

Resp:63π

16

27. Calcule la masa de una lámina delgada de densidad ρ(x , y) = 2 y de forma(x2

+y

3

)= x2 + y2

ubicada en el 1er cuadrante.

Resp:1

6+

13π

144

28. Considerar la región R encerrada por la curva (x2 + y2)2 = 2xy2 . Calcule el volumen del sólido

de revolución que se genera al rotar R en torno del eje y .

Resp: ....

MAT024 5