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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Lista de Ejercicios 1marzo 24, 2015
1. Considerar la función f : [0 , 1]× [0 , 1] → R denida como:
f(x, y) =
1− x− y si x+ y < 1
0 en los otros puntos
Pruebe justicadamente que f es integrable.
2. Sea f(x, y) =x− y
(x+ y)3. Muestre que
1∫0
1∫0
f(x, y) dx dy 6=1∫
0
1∫0
f(x, y) dy dx
Argumente por que este ejemplo no contradice el Teorema de Fubini.
3. Use integrales dobles para calcular el volumen bajo la supercie z = − ln(x2 + y2) y sobre el disco
x2 + y2 ≤ 1 .
Resp: π
4. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la supercie z2 = 1−y2 .
Resp:4
3
5. Calcule
(a)
1∫0
1∫y
ex2dx dy (b)
1∫0
π/2∫arc sen(y)
√1 + cos2(x) cos(x) dx dy
6. Un sólido está limitado por la supercie z = x2 − y2 , el plano xy y los planos x = 1 y x = 3 .Calcule su volumen usando integrales dobles.
Resp.80
3.
7. Considerar la región D , encerrada por la curva x2 + y2 = x+ y y la recta y = −x .
Calcular ∫∫D
(x+ y) dA
Resp:π
4.
MAT024 1
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8. Calcular
∫∫D
e−√
x2
4+ y2
9 dA
Donde
D =
(x, y) :
x2
4+y2
9≤ 1
Resp: 12π
(1− 2
e
)9. Use integrales dobles para calcular el volumen bajo la supercie z = − ln(x2 + y2) y sobre el disco
x2 + y2 ≤ 1 .
Resp: π
10. Sea R la región del plano acotada por las curvas y = x3 , y = −x3 e y = 8 . Calcular:∫∫R
x2 sen(y2) dA
Resp:1
3− 1
3cos(64)
11. Calcular2∫
0
dx
√2x−x2∫0
dy
a∫0
z√x2 + y2 dz
Resp:8a2
9
12. Considerar la región R encerrada por la curva (x2 + y2)2 = 2xy2 . Calcule el volumen del sólido
de revolución que se genera al rotar R en torno del eje y .
Resp: ....
13. Calcular
3∫0
4∫0
y2
+1∫y2
(2x− y
2+z
3
)dx dy dz
Usando la transformación u =2x− y
2; v =
y
2; w =
z
3
MAT024 2
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Resp: 12
14. Calcular ∫∫∫R
(x+ y + z)(x+ y − z)(x− y − z) dV
Resp:1
180
15. Considerar la región R encerrada por las supercies z = 0 ; y + z = 3 ; x2 + y2 = 2x y
x2 + y2 = 4x . Calcular ∫∫∫R
z dV
Resp: ...
16. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie√x+√y+√z = 1 y los planos coordenados
17. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie
(x2
+y
4+z
6
)4=
xyz
48
18. Sea a > 0 . Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie
x2/3 + y2/3 + z2/3 = a2/3
19. Calcular ∫∫∫G
x2 dV
Donde G es la región encerrada por el elipsoise 9x2 + 4y2 + z2 = 36 .
Resp: ...
MAT024 3
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20. Calcular :
∫∫∫R3
√x2 + y2 + z2 e−(x2+y2+z2)
Resp: 2π
21. Sea Ω la región que se encuentra en el primer octante, limitada por los paraboloides: z = x2 + y2 ,
z = 2(x2 + y2) ; los cílindros hiperbólicos: xy = 1 , xy = 4 y por los planos: y = x e l y = 5x .Calcular ∫∫∫
Ω
xyz dV
Resp: ....
22. Calcular ∫∫∫D
(x2 + y2 + z2) dx dy dz
D es la región encerrada por las supercies 2z = x2 + y2 y x2 + y2 + z2 = 3 .
Resp:81π
6(2√
2− 1)
23. Calcular ∫∫∫R
√x2 + y2 + z2 dV
donde R es el interior de la esfera x2 + y2 + z2 = x
24. Considerar la región R ⊂ R3 determinada por las ecuaciones:
1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ |x|
Graque la región R y calcule ∫ ∫ ∫R
z√x2 + y2
dV
25. Calcular el volumen del sólido encerrado por la supercie
(x2 + y2 + z2)2 = 2z(x2 + y2)
MAT024 4
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26. Encuentre la masa fuera del cono 3x2 + 3y2 = z2 , sobre el plano z = 0 y dentro de la esfera
x2 + y2 + z2 = 4x cuya densidad es δ(x, y, z) = z .
Resp:63π
16
27. Calcule la masa de una lámina delgada de densidad ρ(x , y) = 2 y de forma(x2
+y
3
)= x2 + y2
ubicada en el 1er cuadrante.
Resp:1
6+
13π
144
28. Considerar la región R encerrada por la curva (x2 + y2)2 = 2xy2 . Calcule el volumen del sólido
de revolución que se genera al rotar R en torno del eje y .
Resp: ....
MAT024 5