Dto. de Matemtica. UP*Historia del desarrollo y evolucin de la llamada "Matemtica Moderna". Lic. Patricia B. Gonzlez y Lic. Mariana Baquero

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Dto. de Matemtica. UP*Resumen Primera parte: los progresos que el hombre realiz en la elaboracin de la matemtica desde la aparicin de las primeras tablillas con escritura cuneiforme de los sumerios que datan aproximadamente del ao 3000 A.C., hasta llegar a la construccin de la rigurosa ciencia del Siglo XIX Segunda parte: introduccin del desarrollo axiomtico propio del Siglo XX cuando se declar la importancia de ensear la llamada "Matemtica Moderna" en las aulas de los jvenes. Tercera parte: la controversia que se gener entre la "Matemtica Tradicional" y la "Matemtica Moderna" y el cuestionamiento internacional que gener la pregunta: cmo debe ensearse la matemtica a los jvenes?.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:La Edad del Empirismo.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:Del Empirismo a la Abstraccin. La Geometra de Tales de Mileto (624 AC - 547 AC) formul una concepcin atmica del espacio basada en relaciones, en proporciones, en desplazamientos y en semejanzas. Hipcrates (460 AC - 350 AC) descubri que las reas de figuras geomtricas en forma de medialuna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos tringulos. Este descubrimiento est relacionado con el problema de la cuadratura del crculo. A propsito de las diagonales del cuadrado surgi el escndalo de los irracionales. Si el cuadrado tiene un lado uno, entonces su diagonal tiene una longitud x tal que x2=2, y este nmero no exista en la aritmtica griega .La geometra del espacio y la teora elemental de reas y volmenes est contenida en los "Elementos" de Euclides (365 AC. - 300 AC)

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:La Matemtica del Medioevo. Omar Khayyam generaliz los mtodos indios de extraccin de races cuadradas y cbicas para calcular races cuartas, quintas y de sexto grado. Leonardo de Pisa, ms conocido como Fibonacci (1170 - 1241) escribi el libro Liber Abacci, en donde present la idea de que la aritmtica y la geometra estn conectadas y una se apoya en la otra.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:El Renacimiento. Frmula algebraica para la resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemtico italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna. Galileo Galilei (1564 - 1642) fue un importante fsico y astrnomo italiano que junto con el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571 - 1630) comenzaron la revolucin cientfica que culmin con la obra del fsico ingls Isaac Newton.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:El nacimiento de las nuevas ramas. El acontecimiento matemtico ms importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton del clculo diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Isaac Newton (1642 - 1727) se bas en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, as como en los estudios de otros matemticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte:El nacimiento de las nuevas ramas.Unos ocho aos ms tarde, el alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)descubri tambin el clculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notacin de Leibniz es el que se usa hoy en el clculo.

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Dto. de Matemtica. UP*1 parte: El Rigor del Siglo XIX. Augustn Lowis Cauchy (1789 - 1857) fue el primero en imponer el rigor en la teora de las funciones numricas, para las que invent la nocin de lmite que la ciencia moderna conserva y que quita todo misterio al infinito en los casos considerados.El matemtico alemn Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916) encontr una definicin adecuada para los nmeros reales, a partir de los nmeros racionales, que todava se ensea en la actualidad; los matemticos alemanes Georg Cantor (1845 - 1918) y Karl T. W. Weierstrass (1815-1897) tambin dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), escribi su disertacin doctoral a la edad de 20 aos. En ella dio la primera demostracin rigurosa del teorema fundamental del lgebra, tambin dio una explicacin adecuada de nmero complejo.

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Dto. de Matemtica. UP*2 parte: La lgica del Siglo XX. A fines del siglo XIX y en el siglo XX se forjaron poco a poco los instrumentos indispensables de la "Matemtica Moderna" gracias a la teora de conjuntos (Cantor) y al mtodo axiomtico (Hilbert). George Cantor (1845 -1918) David Hilbert (1862 1943)Se incorpor en el siglo XX el "razonamiento por induccin completa" que considera la prolongacin de una sucesin infinita. Este razonamiento se utiliza cuando los conjuntos infinitos estn bien ordenados.Ernst Zermelo (1871 - 1953) proclam que en todo conjunto existe el buen orden, an cuando ste no se pueda describir.

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Dto. de Matemtica. UP*2 parte: La "Matemtica Moderna" de los "Elementos de Matemtica". El grupo Bourbaki propone despus de la guerra de 1914 18 tomar las Matemticas en su punto de partida: la lgica formal y la teora de conjuntos y obtener a partir de all la estructura axiomtica y sistemtica.

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Dto. de Matemtica. UP*2 parte: El anlisis del trmino: "Matemtica Moderna". La llamada Nueva Matemtica es en principio la misma matemtica de siempre con importantes adquisiciones nuevas: el lenguaje en que est escrita, el mtodo con el que trabaja y las estructuras abstractas entre las cuales se mueve.

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Dto. de Matemtica. UP*3 parte: La "Matemtica tradicional" y la "Matemtica Moderna". La polmica desatada desde 1959 gir en torno de dos deformaciones pedaggicas: el practicismo y el teoricismo. Los "practicistas" desdeaban toda elaboracin terica elevada y toda enseanza sistemtica basada en un ordenamiento subyacente bien meditado. Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del tringulo, los detalles de la construccin de la trigonometra y de la geometra del espacio.

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Dto. de Matemtica. UP*3 parte:ICME.

AoSitioICME-11969Lyon, FranceICME-21972Exeter, UKICME-31976Karlsruhe (Germany)ICME-41980Berkeley, USAICME-51984Adelaide, AustraliaICME-61988Budapest, HungaryICME-71992Quebec, CanadaICME-81996Seville, SpainICME-92000Tokyo, JapanICME-102004Copenhagen,Dinam.

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Dto. de Matemtica. UP*3 parte:El Congreso Internacional de Enseanza de la Matemtica de 1980. 1. Que la resolucin de problemas sea el foco de la matemtica escolar. Pero considerando un tipo de problemas especial: aquellos que generan teora, que ofrecen resistencia al alumno y que fomentan su creatividad y su espritu crtico.2. Que la destreza bsica en matemtica comprenda la facilidad en el clculo.3. Que los programas de matemtica aprovechen la potencia de las calculadoras y de las computadoras en todos los niveles.4. Que se apliquen normas rigurosas de efectividad y eficiencia en la enseanza de la matemtica.

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*Hacia 1960 los procesos de revisin de los fundamentos de la matemtica condujeron a la creacin de una nueva Matemtica llamada Moderna, calificativo seguramente poco apropiado. La introduccin de un lenguaje simblico especial y de un nuevo vocabulario, ms la idea de la axiomatizacin fue lo que la caracteriz a la llamada Matemtica Moderna que tiene el mismo contenido que la "Matemtica tradicional" slo que est explicada en un lenguaje vertebrado lgicamente y reordenado de un modo diferente. Pero el verdadero cambio en esta ciencia se dio en el modo de ensearla, a partir de lo cual se presentaron dos posturas opuestas: el "practicismo" y el "teoricismo". En el III Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME) realizado en la ciudad de Berkeley en 1980 se discuti estas posturas antagnicas y se elaboraron importantes recomendaciones acerca de la buena enseanza de la Matemtica.

*1 parte: Breve resea de la historia de la Matemtica desde el comienzo de la civilizacin hasta el advenimiento de la Matemtica Moderna. Escrituras babilnica, egipcia, griega hiertica, griega tica, romana.Los primeros documentos escritos por el hombre fueron registros contables, ya que escribir significaba contabilizar. Los arquelogos consideran que la escritura en principio surgi debido a la necesidad que el hombre tena de registrar los objetos que posea, para luego redistribuirlo e intercambiarlos entre los miembros de la sociedad a la cual perteneca. Se considera que los primeros documentos escritos contenan smbolos que actualmente llamamos nmeros. Los mismos pertenecen a la ciudad de Uruk, en la actual Repblica de Irak. Se estima que hacia el 3300 a.C. Uruk era la ciudad ms importante y ms grande del mundo con una poblacin de 40.000 habitantes. Su clase dirigente haba decidido construir caminos, viviendas y edificios pblicos para satisfacer las necesidades de la poblacin. Pero para que este proyecto pudiera llevarse a cabo, los funcionarios decidieron cobrar impuestos. El impuesto consista en que cada agricultor deba entregar parte de sus cosechas para alimentar a los obreros de la construccin. Para eso necesitaban registrar la cantidad de granos que cada agricultor entregaba como pago de impuestos y para poder contar, los sumerios inventaron smbolos utilizados para efectuar los clculos y emplearon, adems, el Mtodo Aditivo, que consista en utilizar un smbolo tantas veces segn las unidades que haba. *1 parte: Breve resea de la historia de la Matemtica desde el comienzo de la civilizacin hasta el advenimiento de la Matemtica Moderna. Los sumerios ya en el ao 3500 a.C. haban inventado las operaciones bsicas de suma, resta, multiplicacin y divisin. Para tener una idea de la importancia de este hallazgo hay que tener en cuenta que se sabe con certeza que en el ao 4000 a.C. el hombre an viva en las cavernas, que recin en el ao 3000 a.C. se desarrolla Egipto la nocin de nmero y que en el ao 1800 a.C. China e India descubren dicho concepto. Llegaron a resolver problemas que mostraban el manejo del teorema de Pitgoras y hasta la resolucin de ecuaciones de segundo grado. Pero sus conocimientos, como lo muestran los problemas que abordaron, eran netamente empricos. Se debe a los griegos el salto de lo experimental a lo deductivo, a lo "racional".Se sabe que los griegos descuidaron la direccin utilitaria y emprica de los nmeros, despreciando incluso los sistemas de numeracin ya existentes como el babilnico y el egipcio y hasta las observaciones astronmicas de los navegantes, pero fundaron la ciencia racional. Los griegos se ocuparon de la matemtica pensada sta como ciencia y propiciaron un desarrollo sin precedentes especialmente en el rea de la geometra. El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge, como lo muestran los trabajos de Arqumedes y de su contemporneo Apolonio. Arqumedes de Siracusa (287AC - 212AC) determin reas y volmenes por un verdadero mtodo de integracin por medio de sumas, que prcticamente son las sumas de Riemann, distingui las sumas demasiado pequeas y las demasiado grandes y se fren ante el infinito. Apolonio de Perga (250 AC - 190 AC aprox.) escribi un tratado de 8 tomos sobre las cnicas y estableci sus nombres: elipse, parbola e hiprbola. Este tratado sirvi de base para el estudio de la geometra de estas curvas hasta los tiempos de Ren Descartes en el Siglo XVII. Despus de Euclides, Arqumedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningn gemetra de la misma talla.En el siglo III d. C., Diofanto de Alejandra encontr las soluciones enteras para problemas que generan ecuaciones con varias incgnitas.

*Mientras el espritu de la matemtica languideca en Occidente, los rabes se ocuparon de rescatar del olvido no slo la matemtica griega, sino la desarrollada en China, India y la Mesopotamia. En esta poca Bagdad se convirti en una nueva Alejandra. La matemtica rabe puede clasificarse de manera natural en cuatro ramas: una aritmtica proveniente de la India, basada en el principio posicional; un lgebra de origen griego y babilnico, pero que adopta una forma nueva y sistemtica; una trigonometra griega a la que los rabes amplan y dan forma y una geometra, tambin de origen griego, a la que enriquecen con diversas generalizaciones y estudios crticos. Mientras el espritu de la matemtica languideca en Occidente, los rabes se ocuparon de rescatar del olvido no slo la matemtica griega, sino la desarrollada en China, India y la Mesopotamia. En esta poca Bagdad se convirti en una nueva Alejandra. La matemtica rabe puede clasificarse de manera natural en cuatro ramas: una aritmtica proveniente de la India, basada en el principio posicional; un lgebra de origen griego y babilnico, pero que adopta una forma nueva y sistemtica; una trigonometra griega a la que los rabes amplan y dan forma y una geometra, tambin de origen griego, a la que enriquecen con diversas generalizaciones y estudios crticos.Pero hacia el siglo XI la cultura rabe, que desde el siglo VIII haba sido libre y fecunda, empez a mostrar signos de decadencia, mientras que al mismo tiempo fue asomando un despertar en el mundo.Liber Abacci Este libro se ocup ms de los nmeros que de la geometra. En primer lugar describi las nueve formas hindes junto con el cero que llaman zephirum, de esta palabra y de sus variantes derivaron las palabras cifra y cero. *1 parte: Breve resea de la historia de la Matemtica desde el comienzo de la civilizacin hasta el advenimiento de la Matemtica Moderna. Dos acontecimientos culturales del Siglo XV tuvieron amplia repercusin en el desarrollo de la Matemtica: la invencin de la imprenta con tipos mviles que facilit extraordinariamente la transmisin y la difusin de escritos cientficos y el "renacimiento de los clsicos" que puso al alcance de los estudiosos los grandes monumentos cientficos de la antigedad. As con el advenimiento del mundo moderno en los Siglos XV y XVI, se rescat la ciencia antigua: las corrientes venidas de Bizancio, de los rabes y por stos, de la India, las investigaciones lgicas y una filosofa renovada.No fue sino hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemtico de trascendencia en Occidente: era una frmula algebraica para la resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemtico italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna". Este hallazgo llev a los matemticos a interesarse por los nmeros complejos y estimul la bsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta bsqueda la que a su vez gener los primeros trabajos sobre la teora de grupos de finales del siglo XVIII y la teora de ecuaciones del matemtico francs variste Galois de principios del XIX.Tambin durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemticos y algebraicos. El matemtico francs Franois Vite llev a cabo importantes estudios sobre la resolucin de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemticos del siglo posterior, entre ellos se destacan Pierre de Fermat de Francia e Isaac Newton de Inglaterra.Los grandes viajes impusieron la relatividad de la vertical y del campo magntico. Las teoras de Coprnico y Galileo anunciaron la relatividad del movimiento. Galileo Galilei (1564 - 1642) fue un importante fsico y astrnomo italiano que junto con el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571 - 1630) comenzaron la revolucin cientfica que culmin con la obra del fsico ingls Isaac Newton.

*1 parte: Breve resea de la historia de la Matemtica desde el comienzo de la civilizacin hasta el advenimiento de la Matemtica Moderna. El siglo XVII fue de una fecundidad maravillosa para la ciencia, en l tuvieron lugar los ms importantes avances en las matemticas desde la era de Arqumedes y Apolonio, se produjeron entonces el nacimiento de varias nuevas ramas de la matemtica . *La ciencia de la teora de nmeros, que haba permanecido aletargada desde la poca medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basndose en los estudios de la antigedad clsica. La obra "Las aritmticas" de Diofanto ayud a Pierre de Fermat (1601 - 1665) a realizar importantes descubrimientos en la teora de nmeros. Su conjetura ms destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuacin an+bn=cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como ltimo teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el lgebra y la teora de nmeros.

Otro avance importante en las matemticas del siglo XVII fue la aparicin de la teora de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal (1623 - 1662) y Fermat (1601 - 1665) sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llev al cientfico holands Christiaan Huygens (1629 - 1695) a escribir un pequeo folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el "Ars coniectandi" (1713) del matemtico suizo Jacques Bernoulli (1654 - 1705). Tanto Jacques Bernoulli como el francs Abraham De Moivre (1667 -1754), en su "Doctrina del azar" de 1718, utilizaron el recin descubierto clculo para avanzar rpidamente en su teora que para entonces tena grandes aplicaciones en pujantes compaas de seguros. *1 parte: Breve resea de la historia de la Matemtica desde el comienzo de la civilizacin hasta el advenimiento de la Matemtica Moderna. El siglo XIX merece ser llamado la Edad de Oro de la Matemtica. En l la matemtica proclama su autonoma, dejando de ser una disciplina auxiliar de las ciencias naturales para convertirse en una ciencia independiente, con objetos y mtodos propios. Se puede admirar este siglo como un perodo de descubrimientos sin par hasta entonces, ya sea en geometra, anlisis o lgebra. En extensin, imaginacin, rigor, abstraccin y generalidad ninguno de los perodos anteriores puede compararse con l.

Adems Gauss fue uno de los descubridores de las geometras no euclideas como l mismo bautiz al ser una geometra que naci de la negacin del 5to. Postulado de Euclides despus del fracaso de varios intentos de demostracin. En esta geometra se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a sta. Aunque descubierta primero por Gauss, ste tuvo miedo de la controversia que su publicacin pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemtico ruso Nikoli Ivnovich Lobachevski y por el hngaro Jnos Bolyai. Las geometras no eucldeas fueron estudiadas en su forma ms general por Riemann, con su descubrimiento de las mltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado tambin aplicaciones en fsica.

*2 parte: El advenimiento de la Matemtica Moderna. Tal vez la conocida frase "ensear matemtica moderna en las escuelas" tan nombrada desde la dcada del '70 del siglo XX no haya sido del todo feliz; lo que se quiso decir con esta expresin fue que convena ensear la matemtica aprovechando los progresos ltimos producidos en esta disciplina, en tanto y en cuanto esto fuera posible desde el punto de vista pedaggico. Los matemticos modernos utilizan estos conceptos tericos y otros como los axiomas de eleccin, los conjuntos parcialmente ordenados, etc. Esta situacin recuerda la que haban vivido Eudoxio, Zenn y Arqumedes, hecho que haba provocado la obra de Euclides. En estos aos y en forma anloga se produce la obra de Bourbaki.

*2 parte: El advenimiento de la Matemtica Moderna. Nicols Bourbaki no es un matemtico. Es el nombre de un grupo de estudiosos de esta disciplina (entre otros: H. Cartan, C. Chevalley, Delsarte, Dieudonn y Weil ). Su obra est dedicada a personas con una slida formacin matemtica y surge de las notas histricas de un trabajo anterior del equipo francs: Elemnts de Mathmatique pero no se trata de un estudio enfocado a relatar toda la Historia de la Matemtica, como un trabajo de reconstruccin cronolgica del desarrollo de esta ciencia. Ms bien, el libro aborda determinadas ramas de la Matemtica, que estn expuestas con profundidad.

Las matemticas clsicas estaban formadas por un conjunto de captulos heterogneos: lgebra, teora de los nmeros, anlisis, geometra, clculo de probabilidades, etc., referido cada uno a un dominio delimitado y a objetos o "entes" definidos por sus propiedades intrnsecas. El hecho de que la estructura de grupo haya podido aplicarse a los elementos ms diversos y no slo a las operaciones algebraicas, llev entonces a los Bourbaki a generalizar la investigacin de la estructura. Son tres las estructuras generales: algebraicas, de orden y topolgicas. Si bien ninguna de estas estructuras puede reducirse a las otras (son irreductibles entre s) ellas pueden combinarse entre s o bien, consideradas individualmente, pueden diferenciarse generando otras estructuras. *2 parte: El advenimiento de la Matemtica Moderna. Como toda ciencia, la matemtica evoluciona y progresa a lo largo de la historia. La llamada "matemtica moderna" de los aos '60 del siglo XX parece haber provocado una ruptura con la llamada "matemtica tradicional". Sin embargo se puede asegurar que la denominacin de Matemtica Moderna" no fue apropiada ya que la misma data de la introduccin de la terminologa simblica de Peano (1858 - 1932) y de la sistemtica introduccin de la teora de conjuntos de Cantor. Adems se vio que una sustanciosa parte del lgebra moderna tuvo sus fundamentos en los escritos de Galois, de modo que no se trataba de una matemtica excesivamente moderna en el sentido de nueva sino que lo que se actualiz desde los '60 fue su introduccin en la enseanza elemental.

*3 parte: Repercusin de la introduccin de la Nueva Matemtica en la enseanza Para comprender como fue que se impuso la "matemtica moderna" hay que remontarse a fines del ao 1959. En noviembre de 1959, la Organizacin Europea para la Cooperacin y el Desarrollo Econmico (OCDE) reuni en Francia a los ms distinguidos matemticos de dieciocho pases europeos, que discutan sobre la reforma de las matemticas a nivel secundario. En el transcurso del seminario, el famoso matemtico francs Jean Dieudonn lanz el grito de "Abajo Euclides!" y propuso ofrecer a los estudiantes una enseanza basada en el carcter deductivo de la matemtica que partiera de unos axiomas bsicos. Sin embargo este tipo de enseanza no fue llevada a la prctica con pocos problemas. Los "practicistas" desdeaban toda elaboracin terica elevada y toda enseanza sistemtica basada en un ordenamiento subyacente bien meditado. Se abalanzaban sobre las mentes juveniles con un aquelarre de cuentas de almacn, pagars, pintura de edificios, trenes que van y vienen, ejercicios de produccin fabril y sobre alambrados de campos. Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del tringulo, los detalles de la construccin de la trigonometra y de la geometra del espacio. Insistan en las definiciones conjuntistas de los nmeros enteros, racionales y reales; en la formalizacin prematura (muchas veces infecunda) de las estructuras algebraicas; en la subordinacin de las intuiciones geomtricas a su axiomatizacin y en la introduccin de los conceptos fundamentales del anlisis matemtico sin la apoyatura de la "intuicin infinitesimal".Unos y otros tuvieron problemas en las aulas.

*3 parte: Repercusin de la introduccin de la Nueva Matemtica en la enseanza El "International Congress on Mathematical Education" (ICME) se lleva a cabo cada cuatro aos desde 1969 bajo el auspicio del ICMI (Incoming Calls Management Institute). La tabla siguiente muestra los ya realizados o programados ...A raz del fracaso del movimiento conocido como la "matemtica moderna" debido a que los alumnos no aprendan bien los conceptos y seguan sin dominar las rutinas bsicas del clculo, se produjeron nuevos movimientos renovadores, entre ellos los conocidos como retorno a lo bsico. El mismo supuso retomar la prctica de los algoritmos y los aprendizajes de los procedimientos bsicos de clculo. Pero despus de un tiempo, se hizo evidente que no era una solucin razonable a la hora de la enseanza de la matemtica. Los alumnos aprendan de memoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta se comenz a cuestionar Qu es lo bsico?. Esta pregunta, se discuti en el IV Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME), desarrollado en Berkeley en 1980, donde se pens que la resolucin de problemas poda ser la respuesta a la pregunta y el foco de atencin. *3 parte: Repercusin de la introduccin de la Nueva Matemtica en la enseanza 1. Que se evale el xito del aprendizaje de los programas de matemtica.2. Que se redacte un currculum flexible para la enseanza de la matemtica de manera que pueda adaptarse a las diversas necesidades de la poblacin estudiantil.3. La profesionalizacin de los maestros y profesores de matemtica.4. El apoyo pblico a la buena enseanza de la matemtica comunicando a todos los estamentos de la sociedad la importancia que la misma para el buen desempeo de cada individuo y de la sociedad a la que pertenece.