UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULEINSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICASÁREA DE MATEMÁTICA

UNA FORMACIÓN INTEGRADA DE ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA EN INGENIERÍA: EL CASO DE LAS CUÁDRICAS.

Dr. Carlos Caamaño Espinoza

1. INTRODUCCIÓN.

En esta conferencia deseo compartir con Uds. el análisis de algunos resultadosque obtuve en la investigación que realicé para mi tesis doctoral, presentada enmarzo de 2001 en la Universidad de Barcelona (España). Este trabajo estuvobasado en la línea de la contextualización, la justificación institucional y lasignificatividad de los aprendizajes matemáticos requeridos en ingeniería, a partirde un análisis histórico-epistemológico del contenido matemático, en el marco deuna formación integrada de álgebra y geometría que privilegia los aspectos devisualización. En particular, he señalado, entre otros aspectos, las característicasclaves de un proceso de estudio sobre cuádricas, en el marco de la institución“Escuela de Ingeniería” con estudiantes chilenos de primer año de universidad.

2. BASES PARA LA FORMACIÓN DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA.

Las bases del conocimiento que consideré en este estudio, para reconocer lascaracterísticas que enmarcaron tanto la planificación como la implementación dela propuesta, se centró en los siguientes ejes vertebradores: 1) la objetivación delcontenido; 2) la construcción, reconstrucción y situación del conocimientomatemático; 3) los elementos curriculares; y 4) los elementos semióticos.

Ante todo, quiero aclarar que nuestro posicionamiento investigativo se basó en elparadigma crítico de análisis de un objeto de estudio matemático en el aula(Skovmovse, 1993). En consecuencia, pensamos que era bueno que se produjeraun cambio educativo, para lo cual imaginamos un proceso de estudio, a partir dereconocer una situación llamada “corriente” (un diseño institucional concretocontextualizado existente que no deseamos) (Skovmovse y Borba, 1998). Esdecir, describir esta situación institucional y reconocer algunas característicasteóricas que pudieran justificar la situación “imaginada”.

A continuación, explicaré con algún detalle el significado de cada uno de los ejesvertebradores mencionados anteriormente y su relación con nuestro trabajo:

2.1. Objetivación del contenido.

Para objetivar el contenido, lo principal es el tratamiento histórico-epistemológico,en nuestro caso, del objeto matemático cuádricas. Además, el valor que le dimosal contenido matemático ha tenido en cuenta nuestra concepción de la geometría,

la explicitación de habilidades y procesos relevantes que debían ser aprendidos,los tipos principales de problemas abordados y las estrategias generales, que acontinuación describiremos.

a) La Geometría como método para visualizar conceptos y procesosmatemáticos.

Es sabido que uno de los procesos que han caracterizado al conocimientogeométrico es el de la visualización. Este proceso se entiende como el de dar“forma” mental o física a determinados conceptos y procedimientos matemáticos,no necesariamente “figurados”. Esto es, el asociar una imagen figurada de unconcepto o procedimiento, por ejemplo, el visualizar el procedimiento dediagonalización de la matriz principal asociada a una cuádrica, con la rotación delos ejes coordenados que permite obtener la ecuación canónica correspondiente.Por lo tanto, consideramos aquí a la geometría como un método que permitevisualizar no sólo formas y figuras, sino también, y lo que es aún más relevante enla enseñanza universitaria, como un método para visualizar conceptos y procesossistemáticos.

Por ejemplo, en el tratamiento de las cónicas, consideramos particularmente elanálisis del trabajo geométrico de Menecmo, pasando por la construcción,manipulación y visualización de estas curvas mediante sombras, líquidos yrepresentaciones computacionales, para llegar a la generalización de Apolonio. Enel caso de las cuádricas, comenzamos con la visualización de aquellas que seobtienen por rotación, a partir de las cónicas, usando las representacionesfigurales computacionales, para llegar a la generalización de cada una de ellas.

Esto nos permitió que los estudiantes pudieran descubrir en forma natural uno delos principales elementos comunes de cónicas y cuádricas, que es el hecho de serconsideradas como casos particulares de una variedad cuadrática y que susecuaciones pudieran ser escritas en forma matricial, utilizando las respectivasmatrices asociadas a ellas, para la realización de un posterior trabajo algebraicopara la justificación de ciertos tipos de transformaciones.

b) Habilidades y procesos relevantes.

Las habilidades y procesos relevantes que tuvimos en cuenta para un estudioadecuado del objeto matemático cuádricas y sus correspondientes etapas delaprendizaje son las siguientes (Alsina, Fortuny y Pérez, 1997): organizar(visualización); abstraer (estructuración); comunicar (traducción); y organizar(determinación y clasificación), que se corresponden con las siguientes:• La visualización, que hemos explicado anteriormente.• La estructuración. Corresponde al paso siguiente de la visualización y consiste

en poder reconocer y reconstruir el objeto visualizado, a partir de los elementosbásicos que lo constituyen.

• La traducción. Consiste básicamente en lograr reconocer un objeto, sólo apartir de una descripción literaria del mismo y, recíprocamente, partiendo de laobservación del objeto, hacer dicha descripción.

• La determinación. Corresponde al reconocimiento de la existencia de un objetoa partir de una descripción de sus relaciones métricas.

• La clasificación. Es la etapa del aprendizaje que permite reconocer las clasesde objetos equivalentes según diferentes criterios de clasificación.

c) Una clasificación de los problemas.

Los problemas que planteamos en las distintas actividades desarrolladas en launidad, corresponden a la siguiente clasificación: de reestructuración, dereconocimiento, problemas algorítmicos y de aplicación, que corresponden a losproblemas de “enunciado cerrado”. Además están aquellos conocidos como de“enunciado abierto”, entre los que se encuentran los problemas-tema.

d) Estrategias de resolución de problemas geométricos.

De entre las estrategias técnicas o métodos propios de la Geometría (Alsina,Fortuny y Pérez, 1997), utilizados para resolver los problemas, en nuestro estudioconsideramos las siguientes: 1) del tanteo; 2) de suponer el problema resuelto; 3)de reducción al absurdo; 4) de considerar casos más simples; 5) de meditar sobredibujos, figuras y diagramas; 6) de experimentar con modelos en 3D; 7) deconsiderar en 3D un problema en 2D; 8) de los lugares geométricos.; 9) de lastransformaciones; y 10) de combinar estrategias.

2.2. La construcción, reconstrucción y situación del conocimientomatemático.

¿Es posible que un estudiante universitario, basado en la información que recibe yconsiderando sus experiencias personales, construya sus propios conocimientossobre cuádricas? ¿Cómo potenciar y asegurar aprendizajes matemáticossignificativos en los estudiantes de primer año de universidad? ¿Cómo buscar yseleccionar información pertinente para generar relaciones específicas entre elÁlgebra y la Geometría? ¿A qué tipo de construcción nos estamos refiriendo?.

Como sabemos, bajo la perspectiva constructivista, todo conocimiento matemáticoes construido y reconstruido por una persona cuando interacciona con un medio ytrata de comprenderlo junto con otras personas. Así, el aprendizaje matemático seproduce por la reconstrucción y cambio de representaciones e imágenes. Almismo tiempo, el significado es construido individualmente por un sujeto, cuandoactúa sobre un objeto y discute con otros sobre su percepción y representación.Por lo tanto, esta construcción del significado implica un cambio, que equivale apasar de un estado de nivel inicial a otro estado cognoscitivo diferente. Aunqueaceptemos que los nuevos conocimientos alcanzados forman una nueva redsistemática de relaciones conceptuales y procedimientos, el análisis de dichasredes conceptuales no era un objetivo de este estudio.

En nuestra posición, consideramos que las cuádricas se podían interpretar comoconocimiento situado en la medida que permitían visualizar contenidosalgebraicos, pero también en el reconocimiento del valor de interpretación defenómenos reales de gran importancia para la ingeniería, teniendo presente loscuatro niveles siguientes de las categorías de objetivos de visualización del objetoen la perspectiva de Zimmermann (1991):

a) Básicos: hacen referencia a entender el álgebra y la geometría como lenguajesalternativos para expresar las ideas matemáticas; entender la matemáticaimplícita en una gráfica; extraer imformación de un diagrama así como utilizarlas gráficas para representar información matemática.

b) Funcionales: contemplan la capacidad para entender qué conceptos estánrepresentados en un diagrama, usar estos para realizar demostraciones y pararesolver problemas.

c) Generales: se refieren a aquellos aspectos de la visualización que tienenamplia aplicación en distintas áreas de la matemática, incluyendo la habilidadpara realizar estimaciones y aproximaciones en un contexto geométrico,reconocer y aplicar simetrías, periodicidad, similitud, entender y reconocerpatrones, entender transformaciones geométricas, conseguir un ampliorepertorio de imágenes visuales.

d) Relacionados específicamente con el cálculo: incluyen la habilidad de entenderconceptos como el de diferenciación, visualizar elementos infinitesimales enfiguras geométricas y visualizar superficies y figuras de tres dimensiones.

Nosotros demostramos, por ejemplo, que una de las mayores dificultades quepresenta el alumnado de ingeniería para lograr los aprendizajes matemáticosrequeridos se refiere a: la interpretación de los conceptos como objetos y no comoinstrumentos para la resolución de problemas; la “manipulación” de conceptosabstractos; y la falta de comprensión de ciertos conceptos. Por esta razónplanteamos la necesidad de definir y desarrollar en el aula una “matemática para larespectiva especialidad”. Creemos que ésta debe estar focalizada en lasignificatividad de los aprendizajes, donde la “visualización” se constituya en unelemento básico, a partir del cual el alumnado pueda alcanzar los más altosniveles del conocimiento matemático en juego.

2.2.1. Institucionalización.

Para hacer un trabajo significativo en Álgebra Lineal, coincidimos con los trabajosde Robert y Robinet (1989) y Dorier (1996), con relación a las numerosasdificultades que presenta el alumnado, entre las que destacamos las siguientes:

• Insuficiente conocimiento y control del lenguaje de la Teoría de Conjuntos.• Gran número de conceptos interpretados como objetos y nunca como

instrumentos para la resolución de problemas. El único caso conocido es laresolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se conjetura que esto se hadebido a una educación fundamentalmente axiomática y no basada en lasaplicaciones.

• Manipulación de conceptos abstractos, cuando la intuición y la verificaciónpragmática no son posibles.

• Falta de comprensión del concepto de espacio vectorial y definiciones formales.• Insuficiente manejo del cálculo.

Otros investigadores que se han destacado en esta misma línea, como son Hillel ySierpinska (1996), focalizan el origen de las dificultades sobre la base de laexistencia de tres niveles de lenguaje: abstracto, algebraico y geométrico. Elproblema está en que dichos lenguajes coexisten y a menudo son intercambiablespero no son equivalentes. Estas y otras dificultades, pensamos que sedesprenden ante todo de unos programas de estudio de la asignatura de ÁlgebraLineal que no han tenido modificaciones importantes en los últimos años.

Como comentarios de las observaciones realizadas sobre dichos programas, lostemas globales en los que se centran, presentan mayoritariamente el ÁlgebraLineal simplemente como estructura, lo que no los diferencia significativamente delos programas que tiene esta asignatura en las distintas carreras universitarias,utilizando incluso, en la mayoría de los casos, la misma bibliografía.

Estos temas son básicamente los siguientes:• Matrices, sistemas de ecuaciones y determinantes.• Espacios vectoriales. Bases. Cambios de coordenadas.• Transformaciones lineales.• Valores y vectores propios. Diagonalización.

A partir de la observación del tratamiento del contenido matemático en ÁlgebraLineal, podemos deducir que esta asignatura tiene en general un enfoquetradicionalista, que privilegia el desarrollo del pensamiento algorítmico-estructuraly que no considera explícitamente el uso de la representación gráfica de algunosconceptos que la requieren, así como su necesaria interpretación geométrica. Almismo tiempo no se aprecia una orientación clara de las aplicaciones de ciertoscontenidos a problemas del ámbito de la especialidad.

Por otra parte, de un análisis más detallado de dichos programas, desde el puntode vista de la Didáctica de la Matemática, se pueden establecer una serie dedeficiencias para el logro de los objetivos de aprendizaje matemático, enparticular, de estudiantes de ingeniería. Entre ellas destacamos las siguientes:

a) Se tiende fundamentalmente a la abstracción, con ausencia casi absoluta deuna visión intuitiva y de consideraciones básicas de visualización, sólo al verlos vectores en R2 y R3 se dibujan figuras, ángulos, etc., para después pasar asimples representaciones simbólicas.

b) Existe una desconexión temática, aunque aparentemente hay relación lógicaentre los contenidos;

c) Se mezclan contenidos de análisis funcional y no se observan elementosconstructivos;

d) Lo analítico se reduce a lo vectorial;

e) En algún caso hay elementos de geometría diferencial sin juntificaciónaparente;

f) No se aprecia una secuencia bien organizada de forma que se produzcaalguna integración del álgebra con la geometría;

g) Los tipos de problemas se reducen a: cálculo de matrices asociadas atransformaciones lineales; cálculo de matrices de cambio de base; cálculo devalores propios y espacios propios asociados; cálculo de las matrices quepermiten la diagonalización y algoritmos de diagonalización y simetrización; y

h) En los instrumentos de evaluación se miden fundamentalmente procesosalgebraicos (Informe del “Cuarto Seminario-Taller de Enseñanza de laMatemática en la Educación Universitaria”, 1997).

2.2.2. Contextualización.

Los contextos y la vida cotidiana deben desempeñar un papel fundamental encada una de las fases del aprendizaje y la enseñanza de la matemática. Existeconsenso hoy día, que en que la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, encualquier nivel del sistema educativo debe ser contextual, es decir, debe partir decontextos que revistan interés y que tengan pertinencia con el mundo real. Enparticular, planteamos que en la enseñanza superior, la matemática para nomatemáticos (por ejemplo, en ingeniería) debe basarse en la introducción delobjeto matemático aplicado, pero sin “desperfilar” la propia matemática comodisciplina científica.

Nosotros hemos verificado con estudiantes de Ingeniería en Construcción queesta introducción del objeto matemático aplicado, como lo señala Alsina (1998), ensu estilo tan particular, que “mira el contenido matemático como un matescopio”permite:• Combinar el conocimiento matemático con el sentido común.• Facilitar una aproximación a la educación matemática realista.• Desarrollar intuición como instrumento.• Incrementar la ingenuidad matemática y la creatividad.• Enriquecer los recursos para la resolución de problemas.• Promover el uso de herramientas tecnológicas.• Facilitar el ver las aplicaciones matemáticas.• Desarrollar un análisis crítico de la información.• Apreciar la potencia del modelaje.• Desarrollar la curiosidad matemática en descubrimientos.• Provocar una aproximación investigativa en la enseñanza y aprendizaje de la

matemática.• Promover el interés emocional en el aprendizaje de las matemáticas.

Por otra parte, tal como lo señala Matos (1998), reconocemos que el gran valor dela actividad que tiende a la aplicación está en reconocer que una conducta quetiende al modelaje de los estudiantes está fundamentalmente ligada al instante enque éste tiene lugar.

2.2.3. Integración – visualización.

Vinner (1989), demostró que los estudiantes universitarios tienen un pensamientoanalítico más que visual y que esto no garantiza necesariamente mejoresresultados. Plantea además la conveniencia de “promover con mayor profundidadla articulación de representaciones en apoyo a la resolución de problemas”.

Entre otras investigaciones realizadas en este mismo ámbito de la educaciónsuperior, nos interesa mencionar en primer lugar los trabajos de Selden (1989),Mason y Selden (1994), en los que señalan que este mismo tipo de estudiantes,después de realizar un curso de cálculo y siendo considerados como buenosalumnos, no están en condiciones de resolver problemas no-rutinarios. Dichosproblemas se relacionaban con la visualización matemática y con una adecuadacomplementariedad de varios sistemas de representación focalizados en sucontexto. Plantean además que esto se debería a que los métodos tradicionalesde enseñanza no logran que los estudiantes desarrollen la creatividad en laaplicación de los contenidos estudiados.

Posteriormente Hitt (1998), confirma que el fracaso de este tipo de estudiante sedebe, en general, a la no existencia de la integración necesaria entrerepresentaciones, impidiéndole que pueda desarrollar los algoritmos algebraicosrequeridos en función del objetivo final perseguido.

Nosotros hemos demostrado que la manipulación de objetos, la visualización deciertas imágenes y la construcción de determinadas formas se constituyen, no sóloen una valiosa herramienta de diagnóstico de las ideas y de los conocimientosprevios que los estudiantes universitarios tienen ante una determinada tarea, sinotambién en la construcción, reconstrucción y situación del conocimientomatemático. Esto último es bastante discutido y resistido por un importante sectordel profesorado de matemáticas de la enseñanza universitaria, que caracterizan,en particular, a la manipulación como una actividad “demasiado infantil”, quedesperfila negativamente el nivel de los aprendizajes matemáticos; cuestión en laque estaríamos de acuerdo sólo si la actividad finalizara en la fase manipulativa,ya que muy poca matemática podríamos construir en ese caso, dejando de ladolas definiciones, las deducciones, las abstracciones y la resolución de problemascon sus respectivas aplicaciones al desarrollo de la sociedad.

Es así como nuestro trabajo con las cuádricas permitió que los estudiantes lasvieran como modelo matemático aplicado, estableciendo relaciones dematematización significativas, tanto horizontal como vertical, según lo señaladopor De Lange (1987). Desde el punto de vista vertical, logramos por ejemplo quelos estudiantes incorporaran las reflexiones no sólo representacionales y analíticasclásicas sobre las cónicas sino el valor e importancia de las transformacioneslineales y matrices en el proceso de clasificación. De esta forma comprendieron ladimensión práctica del Álgebra Lineal, sin olvidar el tema de la forma, asociadousualmente sólo al dibujo.

2.3. Elementos curriculares.

A veces se plantea la necesidad de que la enseñanza de la matemática “seaesencialmente práctica”, aunque deba ceñirse a una "operatoria excesiva de lacual sería muy difícil encontrar problemas realmente prácticos (es decir, de la vidadiaria) en que se aplicarán". Por otra parte, en el extremo opuesto, "se lucha poruna matemática llena de relaciones lógicas y demostraciones desmenuzadashasta tal grado, que no sólo es dudoso que formen en la habilidad deductiva, sinoque lo más probable es que aplasten de entrada toda iniciativa original e ingeniosaque se aparte del esquema deductivo impuesto por el maestro" (Santaló 1994). Sinembargo, hay un cierto consenso entre los especialistas en que debe existir unaadecuada coordinación entre el valor informativo y el valor formativo de losaprendizajes matemáticos, lo que lamentablemente no siempre está presente enlos programas de asignaturas de matemáticas de las diferentes carrerasuniversitarias.

De acuerdo a lo anterior, la enseñanza de la matemática se debe planificar demanera que se den las condiciones para que el alumno pueda desarrollar suconocimiento a través de niveles de abstracción progresivamente más altos.Específicamente, se debe integrar la enseñanza verticalmente, proveyendooportunidades para la introducción de modelos, notaciones, esquemasconceptuales y otros elementos que propicien la transición del alumno a nivelesmás altos de conocimiento.

A continuación, plantearemos los principios en los que nos guiamos para planificarel desarrollo del contenido y las bases en que centramos nuestro criterio para laselección de contenidos y actividades de una unidad sobre cuádricas, de acuerdoa los requerimientos de una carrera de ingeniería en construcción.

2.3.1. Principios.

Para planificar el desarrollo del contenido, consideramos los siguientes principios(siguiendo a Dubinsky 1996):

• Enseñanza investigativa: se centró en las producciones que permitieranreconocer cómo estaban pensando los estudiantes y el esfuerzo realizado paradar sentido a una situación matemática.

• Enseñanza cíclica: el trabajo en clases estuvo relacionado con las actividades yla discusión de problemas y sus soluciones. Las actividades fueron diseñadasde tal manera que, como resultado de su realización, o aun de intentos porrealizarlas, el estudiante hiciera abstracciones reflexivas mediante las cuales seefectuaban las construcciones mentales de acciones, procesos y objetosapropiados.

• Aprendizaje cooperativo: se privilegió la creación de un ambiente de interacciónsocial que condujera al desarrollo conceptual, considerando métodosalternativos de resolución de los problemas planteados, manteniendo laconciencia de las estructuras que estaban construyendo.

2.3.2. Niveles de razonamiento (conocimiento matemático). ModeloPedagógico de los Van Hiele.

En el desarrollo de las actividades de la propuesta didáctica (en la que se hizo unbreve tratamiento de las cónicas para llegar a las cuádricas regladas,relacionándolas con los temas que hemos mencionado anteriormente), se incluyóuna mención del nivel o de los niveles de razonamiento de los Van Hiele en el quetrabajaron los estudiantes.

Se realizó una adscripción de las actividades a los 5 “niveles de razonamiento”,que permitieron a los estudiantes progresar en su capacidad de razonamientomatemático, desde que iniciaron su aprendizaje hasta que llegaron a su máximogrado de desarrollo intelectual en este campo. El nivel más elemental fue el “dereconocimiento”, como un paso muy rápido, tal como está planteado para laeducación universitaria y que es propio de los estudiantes que se enfrentan porprimera vez a un concepto geométrico nuevo; seguido por el “de análisis”, dondese presentó por primera vez un tipo de razonamiento que podría llamarse“matemático”; continuando con el “de clasificación”, donde los estudiantespudieron entender que unas propiedades podían deducirse de otras y adquirieronla habilidad de conectar lógicamente diversas propiedades de la misma o dediferentes figuras; para terminar con el de “deducción formal”, donde losestudiantes lograban la plena capacidad de razonamiento lógico matemático yestaban capacitados para analizar el grado de rigor de varios sistemas deductivosy tener una visión globalizadora del área de estudio. Las “fases de aprendizaje”que consideramos son las siguientes: información, orientación dirigida,explicitación, orientación libre e integración.

En resumen, verificamos que:

♦ Se puede encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamientode los estudiantes de Matemáticas.

♦ Un estudiante puede comprender más fácilmente aquellas partes de laMatemática que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel derazonamiento.

♦ Si una relación matemática no puede ser expresada en el nivel derazonamiento adecuado de los estudiantes, porque éstos no están encondiciones de lograrlo, es necesario esperar a que alcancen dicho nivel parapresentársela.

♦ No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma.Pero sí se le puede ayudar, mediante una enseñanza adecuada de lasMatemáticas, a que llegue lo antes posible a razonar de esa forma.

2.3.3. Bases para la selección de contenidos y actividades.

En la elaboración de las actividades, tuvimos en cuenta también las posibilidadesy los elementos facilitadores del pensamiento basado en imágenes en laresolución de problemas (Presmeg, 1999), que detallamos a continuación.

a) Las posibilidades del pensamiento basado en imágenes:- Las imágenes intensas de cualquier tipo, tienen ventajas nemotécnicas.- Las imágenes concretas son efectivas en alternancia con modos no

visuales tales como el análisis lógico o uso fácil no visual de fórmulas.- La imaginación dinámica es potencialmente efectiva.- La imaginación que está al servicio de una función abstracta es

potencialmente efectiva.

b) Aspectos que pueden facilitar el pensamiento visual:- Un ambiente de clase controlado, pero que es relajado y sin

apresuramientos.- El uso de dibujos por el profesor: aparecen diagramas que no son

indispensables.- Uso de imaginería del profesor: el profesor muestra mediante gestos o de

otra forma que está usando una imagen.- Uso de la imaginería de los alumnos: el profesor les pide a los alumnos que

se hagan una imagen o que piensen en figuras en movimiento.- Uso de un componente móvil: se usa el brazo, dedo o el cuerpo en

movimiento de los alumnos; el uso de modelos manipulativos y concretos.- Uso del color (con el Maple).- Enseñanza sin barreras metodológicas: el profesor apela a la intuición de

los alumnos; usa métodos de búsqueda de patrones; retrasa el uso delsimbolismo; usa deliberadamente conflictos cognitivos; muestra y aceptamétodos alternativos.

Por otra parte, los peligros potenciales (Presmeg, 1999) que tratamos de evitar enel desarrollo del proceso fueron los siguientes:- Lo concreto de una única imagen puede ir asociada a detalles irrelevantes o

puede introducir detalles falsos.- Una imagen estándar de una figura puede inducir un pensamiento poco flexible

que impida reconocer un concepto en un diagrama no estándar.- Una imagen incontrolable puede ser persistente y de esa manera impedir la

apertura de caminos más provechosos.- Especialmente si es vaga, la imaginería que no está asociada a un proceso de

pensamiento analítico riguroso puede ser de poca ayuda.

2.4. Elementos semiótico-comunicativos.

Para la elaboración de las actividades que permitieron reconocer el objetomatemático, partimos de las siguientes bases aceptadas actualmente:

• La matemática es una actividad humana implicada en la solución de ciertaclase de situaciones problemáticas de la cual emergen y evolucionanprogresivamente los objetos matemáticos. De acuerdo con las teoríasconstructivistas, los actos de las personas son la fuente genética de lasconceptualizaciones matemáticas.

• Los problemas matemáticos y sus soluciones son compartidos en institucioneso colectivos implicados en su estudio. Por tanto, los objetos matemáticos sonentidades culturales socialmente compartidas.

• Las matemáticas son un lenguaje simbólico en el que las situaciones-problemay sus soluciones se expresan. Los sistemas simbólicos matemáticos tienentanto una función comunicativa como instrumental.

• Las matemáticas constituyen un sistema conceptual lógicamente organizado.Una vez que un objeto matemático ha sido aceptado como parte de dichosistema puede ser considerado como una realidad textual y un componente dela estructura global. Puede ser concebido y tratado como una totalidad paracrear nuevos objetos matemáticos, ampliando el rango de herramientasmatemáticas, y al mismo tiempo, introduciendo nuevas restricciones en ellenguaje y el trabajo matemático.

2.4.1. La necesidad de multiplicidad de representaciones.

Hablar de visualización y elementos visuales no es una invención reciente que seincorpora al proceso de enseñanza, para mejorar los aprendizajes matemáticos.En particular, el uso de diagramas siempre ha estado presente en el desarrollo dela geometría y también se han ido incorporando en otras ramas de la matemática.Tal como lo señalan Zimmermann y Cunnigham (1991, p 2), “los diagramas sontan antiguos como la matemática misma”.

Desde fines de la década de los 80’ se ha ido fortaleciendo una línea de trabajofocalizada en la comprensión de los fenómenos relacionados con el aprendizajematemático, el papel de la representaciones de los objetos matemáticos en juegoy el desarrollo de una matemática en contexto para la enseñanza, que apoye laadquisición de conocimientos matemáticos específicos. Se ha establecido quepara diferenciar un objeto matemático de su representación es necesario que elestudiante represente ese objeto matemático, al menos en dos diferentesrepresentaciones (Duval, 1993, 1995). Al mismo tiempo, se ha señalado lanecesidad de tener en cuenta los problemas que se pueden generar por el uso demalas representaciones de dichos objetos matemáticos, otorgándole una mayorimportancia a la elaboración de imágenes mentales adecuadas para este tipo deaprendizaje, en todos los niveles del sistema educativo.

Además, estamos de acuerdo en la importancia de considerar en cualquieraprendizaje matemático los siguientes elementos:

• La construcción de modelos y de materiales manipulativos juega un papelfundamental y debe estar siempre presente en la enseñanza de la geometría alo largo de toda la escolaridad y no sólo en los primeros años; de esta formaserá posible ir construyendo una “memoria” de imágenes que constituirán unsoporte de experiencias de visualización progresivamente más complejas.

• No sólo las palabras y los números garantizan el rigor matemático deconceptos y propiedades. La visualización también debe estar presente, de talforma que junto a estos elementos se constituya en uno de los objetivos yprácticas de la enseñanza de la geometría, especialmente en nuestra sociedadactual donde predominan los elementos visuales y la importancia de “aprendera ver” se adquiere a partir de la experiencia que es seguida de la reflexión.

• A lo largo de los siglos, el arte siempre se ha relacionado y ha estado presentejunto al desarrollo de la matemática. Por lo tanto, la enseñanza de la geometríay de la matemática en general, debe considerar los elementos visuales no sólocomo un aspecto lateral y de ilustración, como ocurre actualmente, sino comoun elemento didáctico que puede darle mayor sentido al aprendizaje.

Por otra parte, en la construcción de la matemática como ciencia deductiva, desdesus inicios en la época de oro de los griegos (s. III a. C.), ha predominado latendencia anti-ilustrativa, en la que se evita tener presente todo tipo deconsideraciones visuales, constituyéndose de esta forma en un proceso deformalización de los objetos matemáticos que ha ido prescindiendo tanto de lasideas intuitivas como de las representaciones figurales. Esto último ha significadouna pérdida progresiva del contexto específico del que nacen dichos conceptos(Hitt, 1998).

Distinguiremos aquí las imágenes mentales de los conceptos, asumiendo que: laimagen mental es una representación mental del objeto, mientras que losconceptos y las proposiciones son representaciones mentales que nos permitenreferirnos al objeto (Font, 1999). Por lo tanto se trata de dos tipos derepresentaciones diferentes, lingüística y figurativa, respectivamente, pero que almismo tiempo son complementarias. Veamos un ejemplo que nos interesa es elcaso de las cuádricas: cuando a un estudiante se le menciona una cuádricadeterminada, puede elaborar en forma inmediata una representación mental de lamisma, es decir, genera una representación lingüística; pero si tiene la posibilidadde verla, ya sea en la realidad o en una imagen, genera representacioneslingüísticas y figurativas y por lo tanto, está en condiciones de referirse a ella.

En resumen, podríamos decir que el proceso de visualización que consideramosconsta de los siguientes elementos:• Permite el reconocimiento del paso de una representación a la formación de la

imagen.• Se centra en el análisis que hace el sujeto sobre las relaciones entre las

representaciones y entre las representaciones y el concepto en juego(Presmeg, 1986).

• Utiliza el análisis de estas relaciones para establecer soluciones adeterminados problemas.

• Permite el reconocimiento de un nivel de abstracción respecto de laconstrucción del contenido (Kruteskii, 1976).

• Se distingue de la habilidad de interpretar información figural (Bishop, 1979).• Se corresponde con un cierto nivel de razonamiento.

• Desarrolla la habilidad para generar imágenes análogas a otras que puedenser construidas para resolver un problema.

Por otra parte, tenemos que la visualización matemática que utiliza un sistema designos, requiere de la habilidad para convertir un problema de un sistemasemiótico de representación a otro. La comprensión del papel de los sistemassemióticos de representación nos ayuda a entender cómo los estudiantesconstruyen conceptos matemáticos. Las consideraciones visuales son, bajo estossupuestos, importantes en la resolución de problemas. Los elementos de lavisualización son representaciones y relaciones entre las representaciones con elconcepto.

A modo de conclusión de este apartado, diremos en primer lugar que, laobjetivación del contenido está centrada fundamentalmente en el tratamientohistórico-epistemológico del objeto matemático cuádricas, teniendo en cuentaademás los siguientes elementos: la geometría se constituye en un método claveque permite visualizar conceptos y procesos matemáticos; las habilidades y losprocesos son relevantes para el logro de los aprendizajes matemáticos requeridos;los problemas que serán considerados en las actividades corresponden a unaconocida clasificación de ellos que se ha tenido en cuenta; y las estrategias quepodrán ser utilizadas en la resolución de dichos problemas, también correspondena una clasificación usual de ellas.

En la enseñanza de la matemática en la universidad y en particular, en el caso dela asignatura de Álgebra Lineal, se ha utilizado, en la mayoría de los casos hastaahora, el esquema algorítmico-algebraico, que privilegia el trabajo relacionado conlos procesos algebraicos por sobre aquel que se apoya en los procesos visuales.Es decir, generalmente, los profesores de matemáticas de este nivel de laenseñanza, promueven el pensamiento algorítmico por sobre el visual, lo queconcuerda con los resultados obtenidos por Eisemberg y Dreyfus (1989).

Partiendo de lo que sabemos acerca de las dificultades que tiene el alumnado decarreras no matemáticas, para lograr los aprendizajes matemáticos requeridos yconsiderando la necesidad de superar el enfoque simplemente formal,predominante actualmente en el trabajo matemático del aula de ingeniería y queademás, en muchos casos está descontextualizado y no tiene relación alguna conel ámbito de la especialidad, que le otorga un verdadero significado a dichosaprendizajes, proponemos ver el Álgebra Lineal no sólo como estructuramatemática (como se muestra habitualmente en la realidad corriente), sino desdela perspectiva más amplia de la representación y estructura.

También, centramos el tema de la construcción, reconstrucción y situación delconocimiento matemático, utilizando algunos elementos básicos delconstructivismo y, fundamentalmente, las categorías de objetivos de visualizacióndel objeto matemático de Zimmermann. Además, el análisis de los programas dela asignatura de Álgebra Lineal de diversas universidades chilenas, justifica la

decisión institucional con respecto al contenido, fundamentando sucontextualización y la necesidad de considerar un aprendizaje integrado.

3. LAS CUÁDRICAS: BREVE COMENTARIO SOBRE ALGUNOS ASPECTOSDE SU DESARROLLO HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO.

En nuestro trabajo hemos verificado los planteamientos de diversos autores delibros de texto, con relación a la conveniencia didáctica de ubicar el conocimientomatemático en la historia y de relacionar su permanentemente desarrollo con elavance científico y tecnológico a través de los tiempos. Por lo tanto, noscentraremos ahora en algunos comentarios sobre las cónicas y cuádricas en lahistoria y sus campos de problemas; para continuar con una caracterización de lascuádricas a partir de las cónicas y también como modelo; para terminar con el usode los medio computacionales y unas breves conclusiones, considerándolas comosistema integrado de elementos.

3.1. Las cónicas y cuádricas en la historia. Campos de problemas.

Ahora, partiendo del origen de las cónicas y su relación con el problema delmétodo matemático en de la antigüedad, nos centraremos en la obra matemáticade Apolonio y la relacionaremos con los problemas de Euclides y Arquímedes conlas cónicas. Posteriormente, veremos los problemas de construcciones en elperíodo del renacimiento, que junto al problema de la analiticidad en las cuádricasy al análisis de los problemas de generalización, nos permitirán realizar unadescripción de las cuádricas a partir de las cónicas, para terminar con un enfoquede las cuádricas como elementos generalizados en el álgebra.

3.1.1. Las cónicas y el problema del método en la antigüedad.

Como sabemos, el período de la historia de la matemática antigua de mayorproductividad y en el que se aprecia el cambio más significativo, tanto en la formacomo en el contenido de esta disciplina, conocido como la “Edad de Oro” de lamatemática griega (s. III a. C.), fue dominado por los tres grandes genios de laépoca: Euclides, Arquímedes y Apolonio. Sin embargo, después de esteimportante desarrollo, el pensamiento matemático pasa por un largo período deestancamiento, lo que ocurre con toda seguridad como producto de la decadenciadel Imperio Romano y es así como el proceso de formación de teoríasmatemáticas fue desarrollándose posteriormente con más lentitud, hasta que seinterrumpió. Lo único rescatable, es la aparición de algunas nuevas técnicas, quehan sido consideradas como el origen de la trigonometría.

Entre las obras de los sabios de la época antigua, destaca en primer lugar laTeoría de las Secciones Cónicas de Apolonio (262-190, a.C.), considerada comouno de los hitos más importantes de la matemática griega. Esta afirmación, en laque los especialistas están de acuerdo, se basa tanto en el alto nivel de desarrolloteórico del tema, como en la forma en que éste es tratado. Sin embargo, este tema

comenzó a ser estudiado mucho antes de que Apolonio le diera la forma en que laconocemos hoy.

Aunque no existe consenso sobre el origen de las cónicas, ellas aparecen en lamatemática griega como instrumentos auxiliares para tratar los problemas que nose podían resolver con el álgebra geométrica. Se atribuye su descubrimiento aMenecmo (siglo IV a.C.), discípulo de Eudoxo (famoso matemático y astrónomo,que a su vez fue discípulo de Platón), cuando intenta resolver uno de los tresproblemas clásicos de la época, conocido como “el problema de la duplicación delcubo” o “problema de Delos” y que consiste en: “dada la arista de un cubo,construir, usando únicamente regla y compás, la arista de otro cubo que tengavolumen doble que el del primero”. Dicho problema se relaciona con una leyendatransmitida por Eratóstenes (s. III a.C.), donde se cuenta los estragos producidospor una peste que asoló Atenas en el año 429 a.C., que probablemente habríacausado la muerte de Pericles. Según esta leyenda, para evitar la plaga, losatenienses debían duplicar el volumen del altar cúbico dedicado a Apolo en laciudad de Delos, sin variar su forma. Por esta razón este problema también seconoce como el problema de Delos.

Como se sabe, en aquella época se admitían sólo dos maneras para definircurvas. La primera de ellas consideraba composiciones de movimiento uniformesy la segunda se hacía utilizando intersección de superficies geométricasconocidas, tales como: planos, esferas, cilindros, conos, poliedros y otras. Losprimeros intentos que se conocen en esta segunda línea, son los de Arquitas (423-365 a.C.), mediante la intersección de un cono con un cilindro y los de Eudoxo(408?-355? a.C.), quien utilizó la intersección de un cilindro con un semi-toro(Malet, A. 1989).

Poco después de Eudoxo (no es posible entregar mayor precisión), la idea deMenecmo fue de intersectar unas curvas que él logró determinar como seccionesplanas de un sólido geométrico, para encontrar las dos medias proporcionalesentre a y b. Más precisamente, usando la sección de un cono producida alintersectarlo con un plano perpendicular a una de sus generatrices y haciendovariar el ángulo del cono, obtuvo unas curvas que con Apolonio se conocieroncomo parábolas e hipérbolas y cuyas ecuaciones escribiríamos hoy como:

ay = x2, bx = y2, xy = ab.

3.1.2. Las cónicas en la obra matemática de Apolonio.

Varios estudiosos de la historia de las matemáticas, entre ellos Boyer (1986),estiman que la vida Apolonio, de la cual no se sabe mucho, se desarrolló entre losaños 262 y 190 a.C. Nació en Perga, pero estudió y se formó como matemáticocon los sucesores de Euclides, en la Universidad de Alejandría, que en ese tiempose había constituido en el centro más importante de desarrollo de la actividadmatemática del mundo occidental.

Apolonio de Perga, fue reconocido por su extraordinaria capacidad matemática,incluso con posterioridad a su época, por lo que recibiera el apelativo de “el GranGeómetra”. Pero también escribió sobre otros temas y otras materias, alcanzandotambién una gran reputación como astrónomo. De toda su vasta produccióncientífica, sólo dos de sus obras se conservan casi completas, gracias a sustraducciones al árabe que hicieran otros matemáticos del siglo XVIII. Estas son:Secciones en una razón dada y el tratado sobre Las Cónicas, que es la másconocida y famosa, siendo considerada su obra maestra.

A pesar de que las cónicas ya habían sido estudiadas por varios matemáticos,como lo hemos señalado anteriormente, incluidos los otros dos grandes de laépoca, Arquímedes y Euclides, a los cuales nos referiremos más adelante, fueApolonio quién las generalizó, dándoles la forma sistemática con la que lasconocemos hoy, transformándolas en un modelo de rigor, de elegancia y deorganización axiomático-deductiva.

Dichas curvas: elipse, parábola e hipérbola, denominadas de esta forma porApolonio, se conocían con otros nombres, los que estaban directamenterelacionados a la forma como fueron descubiertas. Esto es, como secciones detres tipos distintos de conos circulares rectos, según si el ángulo del vértice fueseagudo, recto, u obtuso, al intersectarlos con un plano perpendicular a una de susgeneratrices y caracterizándolas solamente sobre la base de las descripcionestriviales que Menecmo hizo de ellas, de acuerdo a estos tipos de conos: seccionesde un cono agudo (u oxitoma), secciones de un cono rectángulo (u ortotoma) ysecciones de un cono obtuso (o amblitoma).

Se dice, a pesar de que no existen evidencias para afirmarlo, que esta idea deMenecmo habría sido utilizada por Euclides (300 a.C.) en su obra titulada“Cónicas”, que desgraciadamente ya no existe. Entre otros trabajos que fueronconocidos, está un tratado general sobre estas curvas escrito por Aristeo, el quetambién ha desaparecido. Dichos estudios fueron superados por las Cónicas deApolonio, el que presenta un nivel más avanzado de la teoría de las seccionescónicas, y por esta razón desplazó en forma natural a todos sus rivales en estecampo, tal como había ocurrido antes con los Elementos de Euclides, con relacióna los textos elementales de geometría que lo habían precedido.

El mérito de Apolonio es que él obtiene las cónicas de una forma más general,utilizando un cono circular recto cualquiera y no necesariamente de revolución.Variando la inclinación del plano secante, descubre una propiedad que caracterizaa cada una de estas secciones como lugares geométricos planos, utilizando porprimera vez los nombres de parábola, elipse (ellipsis) e hipérbola (hyperbola), parareferirse a ellas, aunque dichas palabras no eran nuevas, sino que fueron adaptasa partir de un uso anterior, debido quizá a los pitagóricos en la solución deecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas.

Para complementar lo anterior, en relación con los nombres adoptados porApolonio para cada una de estas curvas, nos remitiremos al comentario que

realiza Eutocius sobre su obra, al referirse, en particular, al radical hiperballo.Plantea que éste tiene el sentido de “sobrepasar y de remarcar” que la suma delángulo del cono original y del ángulo formado por el eje de la curva con lageneratriz del cono, sobrepasa dos ángulos rectos. Por lo tanto, para el radicalhiper, Apolonio adopta el significado de “llevar más lejos” y de señalar, al mismotiempo, que el diámetro de la curva se lleva al encuentro de una segundageneratriz del cono original, que se encuentra más allá del vértice del cono. Heath,por su parte, utilizando lo expresado por Eutocius, da otra explicación del nombrede hipérbola, relacionando y haciendo derivar esta palabra de la propiedadprincipal, enunciada por Apolonio. Es decir, del hecho de que el cuadrado de laordenada equivale a una cierta área que sobrepasa a otra.

3.1.3. Los problemas de Euclides y Arquímedes con las cónicas.

Cuando se habla de historia de las matemáticas y después habernos referido a laobra de Apolonio, creemos que no se puede dejar de mencionar, aunque sea enforma muy breve, la influencia en su trabajo y en particular en el tema de lascónicas, de los otros dos “grandes de la época”: Euclides y Arquímedes.

En primer lugar, tenemos que destacar el gran aporte de Euclides al desarrollo dela geometría y de su enseñanza, lo que se expresa fundamentalmente a través desu obra los Elementos (Stoixeia). Aunque no es mucho lo que se conoce de suvida, se sabe con certeza que ésta se ubica en torno al año 300 a.C., período enel que dada a conocer los Elementos, reconocida como el texto de matemáticasmás exitoso que se haya escrito hasta ahora y que ha ejercido la mayor influenciade todos los tiempos en esta disciplina. Cubría toda la matemática elemental,haciendo uso de las obras de sus predecesores. El propio Euclides nuncapretendió adjudicarse originalidad alguna, aunque es casi seguro que laordenación final de esta obra matemática, la más famosa de la historia, es de supropiedad, como también algunas de las demostraciones que en ella se entregan.

Euclides y los Elementos son considerados generalmente como sinónimos, ya queesta obra fue suficiente para inmortalizar su nombre, aunque fue el autor de másde diez tratados sobre materias muy variadas, tales como: óptica, astronomía,música y mecánica. Pero sólo cinco de sus escritos han sobrevivido hastanuestros días: los Elementos, los Datos, la División de Figuras, los Fenómenos yla Optica; entre los restantes que lamentablemente se han perdido, se sabe queescribió un tratado sobre las secciones cónicas y la obra Lugares de Superficie.Se cree que en esta última, probablemente habría tratado las superficiesconocidas en su época, entre las que deberían haber estado las cuádricas derevolución, que no fueron incluidas en los Elementos, quizás por haberloconsiderado un tema de la matemática superior. Sin embargo, en el libro XI, en elque inicia el tratamiento de los volúmenes o sólidos, entrega algunas definicionesque se relacionan, en cierta forma con este tipo de superficies, considerando que:“Los bordes de un sólido son superficies” (Definición 2). Así por ejemplo, define: laesfera por el giro de un semicírculo en torno al diámetro que lo limita; el cono, porel giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de los lados del ángulo recto,

siendo obtusángulo, rectángulo o acutángulo según que ese lado, que permanecefijo en el giro, sea menor, igual o mayor que el otro lado del ángulo recto; y, elcilindro, por el giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados.

A pesar de la importancia de toda su obra, no hay asociado a él ningún lugar denacimiento y es conocido con el nombre de Euclides de Alejandría, debido a quefue precisamente en la Universidad de Alejandría donde dedicó gran parte de suvida a enseñar matemáticas y fundando al mismo tiempo una escuela matemáticaque fuera conocida como la “Escuela Matemática de Alejandría”. Fue en esauniversidad en la que más tarde estudiaría Apolonio y se formaría comomatemático con los sucesores de Euclides.

Por otra parte, es importante señalar que la Universidad de Alejandría no era muydistinta a nuestras actuales universidades, en el sentido de que algunos de susacadémicos sobresalían en la docencia, otros en la investigación y otros por suadaptación a las tareas administrativas. Según Boyer (1986), Euclides pertenecíade manera muy definida a la primera categoría, ya que fue justamente sucapacidad pedagógica la que lo hizo famoso y por la que Ptolomeo I lo llamó comoprofesor del Museo de Alejandría, una especie de escuela o instituto del más altonivel de su tiempo.

Por su parte, Arquímedes (287 a 212 a.C.), nacido en Siracusa, también habríaestudiado en Alejandría, ya que se sabe que mantenía contacto con los discípulosde Euclides, aunque de lo que se ha escrito acerca de su vida y de su muerte, quetiene una marcada componente de leyenda, es difícil obtener informaciónabsolutamente verídica. Esto último se relaciona, por ejemplo con lo que se hacontado acerca de su participación cuando Siracusa fue asediada por losromanos; se dice que habría inventado ingeniosas máquinas de guerra, entre lasque destacaríamos los espejos parabólicos, que utilizando la concentración de losrayos solares habrían permitido incendiar desde lejos las naves enemigas, lo quesin duda posee un fundamento matemático en las propiedades del paraboloideelíptico.

Lo seguro es que Arquímedes dejó bastantes obras escritas, que incluye casitodas las partes de la matemática de su tiempo, en las que muchos de susresultados son presentados siguiendo el estilo axiomático-deductivo de losElementos de Euclides. Entre sus obras más conocidas está su libro El método,donde explica la forma como, aprovechando todos los recursos posibles, logróaproximarse a los teoremas y poder dar el necesario paso siguiente defundamentarlos y demostrarlos.

Entre otras obras escritas por Arquímedes y que también se relacionan con eltema que nos interesa, mencionaremos:

1) De la esfera y del cilindro. Consta de dos libros, que algunos consideran comoun complemento de los Elementos, de Euclides. De esta obra nos interesa

destacar en primer lugar dos importantes resultados referidos al área y alvolumen de la esfera:"Proposición 33. La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de sucírculo máximo"."Proposición 34. Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene subase igual al círculo máximo de la esfera y su altura es igual al radio de laesfera".Y en segundo lugar, la utilización del problema de encontrar dos mediasproporcionales a dos segmentos dados, que es equivalente al problema de laduplicación del cubo resuelto por Menecmo y que ya hemos comentado;

2) De los conoides y de los esferoides. En este libro estudia las superficies quepodían obtenerse por rotación de las cónicas, considerando estas últimascomo secciones rectas, de la misma forma que lo hizo Menecmo y que yahemos descrito anteriormente. Aquí, Arquímedes presenta el “conoiderectángulo”, el “conoide obtusángulo” y el “esferoide”, que hoy conocemoscomo paraboloide de revolución, hiperboloide de revolución de dos hojas yelipsoide de revolución, respectivamente. En el caso del hiperboloide considerasólo una de las hojas, ya que como hemos comentado anteriormente, eldescubrimiento de las dos ramas de la hipérbola se le atribuye a Apolonio, loque ocurre más tarde (aproximadamente unos 50 años); y

3) El arenario. Según algunos autores (Paradís, J., 1898), esta obra constituye un“auténtico monumento a la imaginación que ilumina la figura del gran genio”,donde el tema de la visualización juega un papel muy importante. Esto últimoes una característica que está presente en su obra, tal como el propioArquímedes se lo explicara a Eratóstenes en El método.

3.1.4. Los problemas de construcciones en el renacimiento.

Está claro que el desarrollo de la matemática en el período del renacimiento enEuropa, estuvo fuertemente influenciado por la matemática griega y en particular,cuando se las primeras traducciones de algunos libros de los grandes clásicos dela matemática griega: Apolonio en 1537, Arquímedes en 1544, Euclides en 1572 yDiofanto en 1575.

La influencia de este patrimonio cultural, sumada al propio desarrollo científico dela Europa occidental, permite que se destaquen varios matemáticos, tales como:Cardano, Bombelli, Vieta, Fermat y Descartes, por mencionar algunos cuyo trabajose relaciona con nuestro tema.

En esta Álgebra de Bombelli se puede apreciar además que, en aquel momento,por demostración algebraica se entendía demostración geométrica, es decir, unconjunto de razonamientos de carácter geométrico que dieran una explicaciónrazonada de tal regla, basados en la interpretación geométrica de los elementosde la ecuación, en términos de segmentos, áreas y volúmenes. Además, llama laatención que este tipo de interpretación se daba incluso cuando el problema no

tenía ninguna relación con la geometría. Por ejemplo, cuando el enunciado serefería sólo a relaciones entre números, tal como: encontrar un número cuyo cubosumado con tres veces su cuadrado sea igual a su quíntuplo más siete(Casalderrey, F. M., 2000).

Por otra parte, entre los progresos más relevantes de este período, marcado por elArs Magna de Cardano (1545) y la Géométrie de Descartes (1637) y que tendríanuna importancia decisiva en el posterior desarrollo de toda la matemática, está laformación y constitución del álgebra simbólica. La creación de este lenguajeeminentemente matemático y autosuficiente, basado en simbolismos operativossometidos a ciertas reglas sintácticas, a partir de las cuales, determinadasrelaciones simbólicas adquirían un sentido específico, permitió la resolución deproblemas, que sin su uso, habrían permanecido sin solución. Además, sin dudaque el álgebra entregó los elementos necesarios para favorecer el nacimiento delcálculo infinitesimal y la aparición de la geometría analítica.

Ahora, más directamente relacionado con nuestro tema, nos interesa mencionaren primer lugar el trabajo sobre las cónicas de Johannes Werner (1468–1528),que publicó en 1522 como el primer tratado original sobre Los elementos de lascónicas en Occidente, cuando aún no se conocía la obra de Apolonio cuyatraducción, tal como ya lo señaláramos, fue editada quince años mas tarde. Eneste trabajo Werner se preocupa fundamentalmente de la resolución del problemade la duplicación del cubo, al que también nos hemos referido anteriormente, porlo que estudia sólo la parábola y la hipérbola, destacando el particular método deconstrucción de los puntos de una parábola de parámetro p con regla y compás.

Posteriormente, la influencia más importante de la traducción de los cuatroprimeros libros de Las Cónicas de Apolonio en el desarrollo de la matemática, estárelacionada directamente con el nacimiento de la Geometría Analítica, atribuido aFermat y principalmente a Descartes, quienes conocían y admirabanprofundamente esta obra. El importante aporte de Descartes nos permite ahora nosólo visualizar la perfecta armonía entre expresiones analíticas y figurasgeométricas, sino también, poder traducir hechos geométricos en fórmulasanalíticas. Por ejemplo, usando la geometría analítica que, al parecer, Apolonio noalcanzó a visualizar de la misma forma, a partir de las ecuaciones quecaracterizan a las cónicas en términos de un parámetro k, se puede determinarfácilmente sus ecuaciones referidas a un sistema cartesiano.

Durero, en su Tratado de la medida … (1525), considera todas las cónicas enconexión con su vertiente práctica, como formas asociadas a espejos curvos, queen el caso de la parábola, enfocada hacia el sol, representa un espejo “ardiente”.

Otros autores, como Commandino, comentando ediciones antiguas de Ptolomeo yArquímedes, reconoce el interés de las cónicas desde el punto de vista de suconstrucción, en sus libros sobre la perspectiva.

La discusión de Kepler sobre las cónicas se relaciona con la óptica, cuando esteautor trata de explicar el funcionamiento de la cámara obscura y analiza losespejos “ardientes” como propiedades de la reflexión, recogiendo los resultadosde Apolonio. Sugiere la existencia de un sistema de cónicas cofocales y habla deun segundo foco de la parábola en el infinito.

No debe extrañar que en esa época, autores como Benedetti, en su Libro sobre eluso del gnomon y las sombras solares (1574), estudie los arcos de cónicasbasándose en las propiedades de dichas curvas, reinterpretando teoremas deApolonio e introduciendo algunos nuevos, al estilo de Apolonio.

Así pues, en la época del renacimiento, convive junto con las ideas cartesianas eluso de aparatos que permiten dibujar las secciones cónicas (elipsógrafo,parabológrafo, etc.). Van Schooten populariza dichos aparatos, mostrando laimportancia que existía en esa época de las relaciones entre los contenidosmatemáticos y la construcción de imágenes visuales asociadas.

No hay prácticamente progreso remarcable hasta Descartes y Fermat en que unacierta teoría algebraica se comienza a desenganchar de su jerga geométrica.Fermat sabe que una ecuación de segundo grado en el plano representa unacónica e insinúa algo semejante para las cuádricas. Con el desarrollo de laGeometría Analítica, aparecen en el siglo XVIII dos problemas centrales sobre eltema: la reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados y labúsqueda de sus ejes con relación a su forma métrica. Si bien, en el caso de lascónicas, ambos problemas son elementales, en el caso de varias variables, elprimero fue resuelto por Lagrange en 1759, a propósito de los máximos defunciones de varias variables. El segundo, no se resuelve hasta que se formula lainvarianza del rango. En cuanto a la ley de inercia no se descubre hasta 1850 porJacobi, que la demuestra con razonamientos análogos a los actuales. Gaussanticipa posiblemente este resultado con el método de los mínimos cuadrados.

El problema de la reducción de una cuádrica a sus ejes presenta ya dificultadesalgebraicas sensiblemente mayores que el problema análogo para las cónicas;Euler es el primero en abordarlo, sin llegar a probar resultados basados en losvalores propios, sin de hecho llegar a una justificación completa. El resultadocorrectamente demostrado se establece por Cauchy hacia 1800, que demuestra elteorema para las formas de un número n cualquiera de variables. Es así mismoCauchy quien demuestra que la ecuación característica que da los valores propioses invariante respecto de cualquier cambio de ejes rectangulares. Pero para n=2 on=3, el invariante ya se conocía intuitivamente como evidente debido a lainterpretación geométrica de los valores propios con la ayuda de los ejes de lacónica o cuádrica correspondiente.

Consideremos que se hablaba hasta 1930 de un polinomio homogéneo desegundo grado con relación a sus coordenadas respecto a un sistema de ejesdados. Pero parece que se habla de forma cuadrática, a partir de la idea deespacio de Hilbert en 1930.

Las investigaciones de funciones simétricas elementales y sus valores propiosasociados, parece que se presentan de forma natural (aunque con formasgeométricas sobre los diámetros conjugados) en los teoremas de Apolonio. Y enparticular, la idea de discriminante (conocido desde antiguo, para n=2), en relacióncon las soluciones de una ecuación de segundo grado, aparece por primera vezpara n=3 en los trabajos de Euler. Éste, buscando la clasificación de las cuádricas,expresa la condición para que una cuádrica no tenga punto en el infinito, aunqueno menciona el invariante frente a cambios de ejes rectangulares. Lagrangeestablece características de las formas cuadráticas con coeficientes enteros comoteoría aritmética.

Si bien los griegos tuvieron en cuenta las ideas de movimiento y simetría, en elsiglo XVII aparece el problema del cambio de ejes. Se sabe que la mecánicautilizaba tres ángulos que se requieren para n=3 y no es hasta 1770 que seplantea el problema general de las transformaciones ortogonales para un ncualquiera utilizando n(n-1)/2 ángulos como parámetros, lo que para n=3 y n=4corresponden a rotaciones de representaciones racionales, que no son otras quelas que se verán más tarde en la teoría de los cuaterniones. Por otra parte, Eulerindica como traducir analíticamente la búsqueda de la simetría de las figurasplanas y, Torricelli, Roberval y Descartes trabajan con la composición demovimientos buscando el centro instantáneo de rotación para los movimientosplanos. Este último se define de forma general por Bernulli y D’alembert en 1749.Será preciso esperar a los trabajos de Chasles en 1830 para tener una teoríacompleta de los desplazamientos finitos e infinitamente pequeños.

Finalmente, desde el punto de vista metodológico, creemos que es necesariodestacar aquí los planteamientos casi-analíticos usados por Apolonio paraconstruir la mayoría de sus demostraciones. En particular, los diámetros de lassecciones cónicas, que él llamó “rectas trazadas de forma ordenada al diámetro”,se imponen lógicamente como ejes de referencia de la respectiva cónica y lepermitieron establecer muchos resultados en función de la “distancia al vértice dela sección cónica del punto de corte de la cuerda ordenada con el diámetro” y dela “distancia de un punto al diámetro según una cuerda ordenada”. Es decir, lo quehoy se conocen como abscisa y ordenada, respectivamente, aunque está claroque Apolonio no llegó a establecer un nuevo método para la geometría sobre labase de coordenadas, como lo hicieron más tarde Fermat y Descartes.

3.1.5. Las cuádricas y el problema de la analíticidad.

En general, la teoría de curvas y superficies posee dos características que lahacen especialmente importante y atractiva: su utilidad y su belleza formal. Estose puede apreciar nítidamente en las cónicas y cuádricas. Además, a juicio dealgunos autores, dichas curvas y superficies cuadráticas necesariamente debieraninteresar a todos aquellos que se inician en el conocimiento del álgebra y lageometría (de Burgos, 1997).

Desde el punto de vista analítico, Galois había considerado ya lastransformaciones lineales en que los coeficientes toman valores en un cuerpoprimo finito. La teoría de las formas cuadráticas, desde su perspectiva moderna nose remonta más allá del siglo XVIII y se desarrolla sobre todo para responder a lasnecesidades de la aritmética, el análisis y la mecánica.

La última de las contribuciones principales de la matemática griega es la teoría delas cónicas. Notemos que los griegos, sin tener la idea de la Geometría Analítica(falta de un álgebra manipulable), utilizaban corrientemente para el estudio defiguras particulares, las “ordenadas” con relación a dos ejes, o más, en el plano.Lo que representa uno de sus descubrimientos fundamentales que difiere delmétodo de Fermat y Descartes en que los ejes se fijan independientemente de lafigura considerada. Esto se relaciona con la noción de diámetros conjugados(conocida por Arquímedes) y la propiedad que servía para definir la polar en unpunto dada por Apolonio cuando el punto es exterior a la cónica. Desde nuestropunto de vista actual se trata de dos ejemplos de ortogonalidad con relación a unaforma cuadrática distinta de la forma métrica, en el bien entendido que aunqueexista una relación entre esas nociones y la noción clásica de perpendicular no fueconcebida de esa forma en esa época.

3.1.6. Los problemas de generalización. Las cuádricas a partir de lascónicas.

Desde la matemática griega ciertas cuádricas de revolución han sido consideradascomo superficies del espacio generadas por la rotación de superficies planaslimitadas por cónicas. Como hemos comentado anteriormente, en los Elementosde Euclides ya aparecen algunas definiciones que se relacionan con este tipo desuperficies, y en su obra Lugares de Superficie, que es una de aquellas que no serecuperaron, se sabe que Euclides habría tratado las superficies conocidas en suépoca, entre las que deberían haber estado las cuádricas de revolución.

Lo que sí está claro es el estudio que hizo Arquímedes, ya que en su libro De losconoides y de los esferoides, describe algunas de estas superficies. Es así comodenomina: conoide rectángulo (paraboloide de revolución), a la supercie generadapor la rotación de una “parábola” en torno a su eje; conoide obtusángulo(hiperboloide de revolución de dos hojas, aunque sólo consideró una de ellas), aaquella que se genera a partir del giro de una rama de una “hipérbola” (que era loconocido hasta ese momento) en torno a su “eje conjugado”; y esferoide (elipsoidede revolución), a partir de una elipse, considerando los dos que se obtienen de ellasegún si el giro es alrededor de su eje mayor o del menor). Es decir, su idea de“parábola”, “hipérbola” y “elipse” (aunque, como sabemos, no con estos nombres),era la misma que se conocía de Menecmo y que ya comentamos.

3.1.7. Las cuádricas como elementos generalizados en el álgebra.

Cayley tiene la idea de reemplazar los puntos cíclicos de la geometría proyectivacomo cónicas degeneradas tangencialmente por una cónica cualquiera. Esa idea

va a desembocar en la geometría de Lobatschevsky, que va a cambiar la idea dedistancia clásica entre dos puntos. Klein, en el programa de Erlangen (1872)establece un nuevo cuadro general para los fenómenos geométricos, que es labase de las ideas principales de los cursos de Álgebra Lineal actual, a partir de lasideas de grupo de similitudes. Una consecuencia inmediata es el tratamientomoderno que pretendemos dar al estudio de las cuádricas mediante el uso de lasmatrices. Se debe a Frobenius (1878) la idea de rango de una forma bilineal y lasrelaciones entre las formas bilineales y las transformaciones lineales. Lasrepresentaciones adoptadas actualmente se basan en el estudio de determinantessimétricos que aparece en el trabajo de Pfaff, a principio del siglo XIX, quebuscaba la resolución de formas diferenciales a una forma normal.

La noción de forma bilineal simétrica asociada a una forma cuadrática (Cayley1849) es el caso más elemental del proceso de polarización, uno de losinstrumentos fundamentales de la teoría de los invariantes. Una aproximaciónaritmética se atribuye a Hermite, en 1853. Esta noción, que se conoce bajo elnombre de producto escalar, se populariza a través del cálculo vectorial, a finalesdel siglo XIX y, a partir de la teoría del espacio de Hilbert, aparece la noción deadjunto de un operador, que hacia 1925 se aplicará a la teoría cuántica.

Los trabajos de Jordan, hacia 1900, y la teoría de grupos moderna, darán unlenguaje algebraico como el que es habitual encontrar a partir de los libros deálgebra lineal que se utilizan desde mediados del siglo XX.

3.2. Las cuádricas como objeto matemático integrador.

Como conclusión de nuestro análisis, consideramos que los problemas clave,relacionados con el estudio de las cuádricas, como objeto matemático integrador,a lo largo de la historia, son los siguientes: (1) el problema de la duplicación delcubo y las aproximaciones geométricas correspondientes como intersecciones decónicas de Menecmo; (2) el problema del método constructivo y las observacionessobre cónicas y cuádricas de revolución de Arquímedes y Euclides; (3) losproblemas de clasificación y propiedades de las cónicas de Apolonio; (4) losproblemas de analicidad de Descartes y Fermat; (5) las revisiones constructivasmediante diseños de van Schooten y las utilizaciones en la mecánica de Kepler yen el arte de Durero; (6) el problema de los cambios de ejes y las reflexionessobre cuádricas en la Astronomía que dan lugar a las cónicas degeneradas deCayley y, (7) el problema de la generalización y algebrización que lleva a lanoción de forma bilineal de Frobenius y Cayley.

Un aspecto que no hemos considerado son los problemas que llevan desde lascuádricas a la geometría proyectiva. En efecto, la noción de elemento en el infinitode Desargues en el siglo XVII lleva a los trabajos de Monge y Poncelet en el sigloXVIII trabajando el principio de las relaciones contingentes y el principio decontinuidad, que dan lugar a la geometría algebraica moderna. El hecho de que enun primer curso de ingeniería consideremos que estas nociones matemáticas nodeben aparecer hace que no insistamos en esta reflexión epistemológica. Así, las

nociones de transformación puntual, dualidad y formas bilineales alternadas,consideramos que no son conceptos apropiados para una primera aproximaciónmatemática para no matemáticos.

De acuerdo a lo que hemos planteado anteriormente, resulta natural hoy día iniciarcualquier estudio sobre las cuádricas, para ser presentado y trabajado en el aulade matemáticas, incluso de nivel universitario, considerando en primer lugaraquellas que son de revolución. Y, posteriormente, a partir de éstas, lograr lasrespectivas generalizaciones, utilizando las técnicas computacionales que ahoradisponemos y el soporte algebraico y analítico necesarios, tal como loproponemos en el desarrollo de nuestra unidad.

Finalmente, cabría decir que de la misma manera que los poliedros jugaron unpapel central en el desarrollo de la perspectiva lineal, al ser estas figurasrelativamente simples, los objetos adecuados para explicar y ejemplificar lastécnicas perspectivas de representación, las cuádricas, jugaron también un papelprincipal en el desarrollo de la Geometría Descriptiva. Esta geometría, que sedistingue de la Proyectiva por su interés en el análisis gráfico, encontró en lascuádricas, y muy especialmente en las regladas, unos objetos privilegiados paraser estudiados descriptivamente. Así, en los tratados de Descriptiva desarrolladospor los seguidores de Monge (Leroy, por ejemplo), se aprecia una especialatención a las cuádricas. Dichas superficies, que siempre se consideraron deinterés constructivo en el caso reglado, deberían esperar al genial arquitectoAntonio Gaudí Cornet (1852-1926) para ser objetos arquitectónicos edificados.Gaudí usa el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico, inventandoingeniosos métodos constructivos y profundizando un estudio desde el punto devista sintético. En la Colonia Güell y en el Templo de la Sagrada Familia, destacanestas cuádricas como elementos fundamentales de creatividad. La tradicióngaudiana sería seguida después por otros muchos arquitectos, siendoespecialmente brillante el uso para cubiertas de Félix Candela.

No es pues de extrañar que las cuádricas, ligadas a la construcción, penetraran enlos programas de formación de arquitectos e ingenieros de la construcción, tanto anivel gráfico (Geometría Descriptiva) como a nivel matemático. En este últimoaspecto aparece además una necesidad de tratar las cuádricas no sólo comofiguras geométricas. Los propios procesos de cálculo, en particular, el estudio defunciones de varias variables, los polinomios de Taylor para éstas, y el estudio deextremos en superficies, hacen aparecer las cuádricas como polinomios de ordendos que aproximan localmente las superficies.

4. Aportaciones para el trabajo en el aula y perspectivas.

En relación a las aportaciones de nuestra propuesta para el aula, hemosconfirmado la potencia de la metodología de trabajo grupal en la construcción delcontenido matemático por parte de los estudiantes. En este caso particular, hapermitido poner en práctica en la sala de clase el contacto y la relación entre elelemento algebraico con el elemento geométrico necesario para que el alumnado

pudiera comprender la dimensión práctica del Álgebra Lineal, lo que se refleja enlos elementos de progreso detectados en el Test Final.

Otro elemento que normalmente no es considerado en las clase de matemáticas yque a nuestro juicio juega un papel muy importante en la respuesta de losestudiantes, tanto para su participación activa en el aula como para la realizaciónde las actividades que se le proponen, es la percepción que él tiene del nivel de“compromiso” en el desempeño del docente en el logro los aprendizajes.

Ahora, después de un año de haber concluido este trabajo, puedo observar que,mirado ya con la perspectiva temporal de haber empleado mucho tiempo en elestudio de este problema tan concreto como es el “análisis didáctico de laenseñanza de las cuádricas para ingenieros de la construcción en Chile”, quizásmi futuro reto personal sea intentar contribuir a la mejora global de la formaciónmatemática universitaria chilena. Y de esta forma, poder transmitir a muchosjóvenes profesores toda la belleza y potencia de esta “metodología didáctica” conla que desarrollamos este trabajo. El propio rigor en los procedimientos de análisisdidáctico que aquí hemos aplicado, puede servir para que muchos estudianteslogren aprendizajes de mejor calidad en la mayoría de los temas y también paraque muchos profesores replanteen, con adecuados instrumentos de control, partede sus temarios y de sus estrategias docentes.