TRABAJO PRCTICO N I

HISTORIA DE LA MATEMTICA

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACION DOCENTE N 99

ALEJANDRO KORN

AO: 2011.

PROFESOR: ALUMNOS:

VECCHIETTI JULIO.

ALMONACID, MARIA EVA. ESPINOSA, ERICA. FIGUEROA, LAURA. GREGORI, VALERIA. MARTINEZ, MARIEL. PAZ, GABRIEL. ZARATE, SEBASTIAN.

Introduccin

En el siguiente trabajo expondremos inicio y evolucin de la nocin de nmero, como ya sabemos, contar ha acompaado a la humanidad desde la prehistoria. Como todo conocimiento desarrollado por el hombre primitivo, la causa para que el ser humano emprendiera sus pasos en el contar y plasmar cantidades surgi fundamentalmente de la necesidad de adaptarse al medio ambiente, proteger sus bienes y distinguir los ciclos de la naturaleza pues ya perciban y observaban con cuidado los ritmos que sta posee y su fina relacin con las oportunidades de alimentacin y, en general, con la conservacin de la vida, entre otros. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, ente miles de algunas otras formas para ir pasando de un nmero al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representacin ms prctico. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se aade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un nmero determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser ese el nmero de dedos con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son la numeracin babilnica que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos hacindolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el clculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de smbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin, requiriendo procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Fibonacci que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que permite un sistema en el que slo diez smbolos puedan representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

En el siguiente trabajo definiremos la ubicacin temporal, el tipo de sistema, los smbolos que utilizaban las diferentes civilizaciones, de qu manera representaban el cero, y las distintas posibilidades de clculo.

Origen del Sistema de numeracinAunque se carece de informacin fidedigna acerca de la forma como el hombre primitivo empez a valerse de un sistema numrico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algn mtodo de conteo, ya fuera para saber cuntas cabezas de ganado u ovejas posea; como tambin para conocer el nmero de armas que tena, o para cuantificar la extensin de los terrenos sembrados o conquistados. "Nuestros antepasados debieron hacer un gran esfuerzo para alejarse de lo concreto y la realidad del mundo circundante, para llegar a la concepcin de la entidad numrica, al realizar esta abstraccin numrica el hombre parti de la consideracin de las entidades fsicas tangibles en su mundo." De esta manera el hombre descubri el primer sistema de matemticas aplicadas, que luego los matemticos definiran como una correspondencia biunvoca entre dos rdenes. Tambin cuando ste se dedic a la agricultura, tuvo que idear un sistema para medir el tiempo en las pocas de siembra y cosecha, finalmente en su etapa de comerciante, necesit crear un sistema para fijar el peso, volumen y el valor de sus productos para intercambiarlos con los pueblos vecinos. Al tener el hombre antiguo un sistema base de medida, se vio en la necesidad de cuantificar las medidas en su modo base de contar, esta operacin la llev a cabo, por ejemplo, utilizando un sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en papiro;otro mtodo era haciendo marcas en los troncos de los rboles o cortes sobre una vara para llevar un registro permanente de las cosas. Cada pueblo o tribu tuvo que inventar sus propias palabras y signos para representar sus operaciones de conteos realizados, con el comercio los antiguos mercaderes estaban obligados a saber una gran variedad de sistemas de medidas y numeracin, a fin de poder comerciar con los diferentes pueblos o tribus. Para llegar a la concepcin e invencin de un sistema numrico, fueron necesarios muchos miles de aos antes que el hombre concibiera la idea del nmero, "un paso fundamental en el proceso de la abstraccin matemtica fue la creacin de los smbolos matemticos, las matemticas es una de las ms hermosas creaciones de la inteligencia de la especie humana," la invencin de un sistema numrico es quiz una de las mayores invenciones del hombre antiguo. Dentro de estos sistemas se encuentran los aditivos, los hbridos y los posicionales.

Tipos de sistemas de NumeracinSISTEMAS DE NUMERACIN ADITIVOS

Este sistema acumula los smbolos de todas las cifras hasta completar el nmero deseado, una de sus caractersticas es que los smbolos se pueden colocar en cualquier posicin u orden, ya fuera de izquierda a derecha, derecha a izquierda, arriba hacia abajo, un ejemplo clsico de este sistema es el egipcio, el romano, el griego. Para ver cmo es la forma de representacin aditiva consideremos el sistema jeroglfico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un smbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y milln un jeroglfico especfico. As para escribir 754 usaban 7 jeroglficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades estn fsicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los smbolos de todas las unidades, decenas como sean necesarios hasta completar el nmero. Una de sus caractersticas es por tanto que se pueden poner los smbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposicin. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabticas de los griegos, armenios, judos y rabes. SISTEMAS DE NUMERACIN HBRIDOS. Estos sistemas combinan el principio del sistema aditivo con el multiplicativo, pero el orden en la escritura de las cifras es muy fundamental para evitar confusiones en su interpretacin, un ejemplo de este sistema es el chino clsico. En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos utilizan la combinacin del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los nmeros ms complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un smbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacin del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dndolos por supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est vaco y no se confundan el 307 con 370, 3070... Adems del chino clsico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etope y algunos del subcontinente Hind cmo el tamil, el malayalam y el cingals.

SISTEMAS DE NUMERACIN POSICIONALES: Es el mejor y ms desarrollado sistema inventado por las civilizaciones antiguas, en ellos la posicin de las cifras indica la potencia de la base que le corresponde. Solamente tres culturas lograron implementar este sistema, la babilnica, la hind y la maya, estas dos ltimas lograron innovar una nueva cifra de trabajo, el valor posicional del cero. En ellos la posicin de una cifra nos dice si son decenas, o centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Slo tres culturas adems de la Hind lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas pocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidi a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccin del mismo. Los sistemas babilnico y maya no eran prcticos para operar porque no disponan de smbolos particulares para los dgitos, usando para representarlos una acumulacin del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningn obstculo. Los mayas por su parte cometan una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrs de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los nmeros al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los hinds antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin ms que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dgitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeracin cmo rabe, las pruebas arqueolgicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el s. Los rabes transmitieron esta forma de representar los nmeros y sobre todo el clculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez ms se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar clculos difcilmente la ciencia hubiese podido avanzar. Sistemas de numeracin figurada: son los constituidos por un sistema de marcas fsicas realizadas sobre soportes u objetos. Entre estos sistemas de numeracin se encuentran las cuerdas con nudos o quipus de los incas (desarrollados en el s. xiii d.C.), de las que hablaremos ms adelante. Sistemas de numeracin hablada: son los que atribuyen un nombre a cada nmero con palabras de la lengua natural, de modo que al transcribirlas por escrito, se escribiran con todas sus letras como en: uno, dos, mil... Sistemas de numeracin escrita: son los que emplean smbolos ya existentes o inditos para representar los nmeros. Entre estos sistemas se encuentran los sistemas de numeracin de los mayas y de los aztecas que describiremos despus.

Concepto de BaseCuando los hombres empezaron a contar us los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representacin ms prctico. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se aade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un nmero determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser ese el nmero de dedos con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son las numeraciones babilnicas que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos hacindolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el clculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de smbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin, requiriendo procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empez a utilizar en Europa el sistema de numeracin actual, los abaquistas, los profesionales del clculo se opusieron con las ms peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo diablico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes; Del origen indio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que

permite un sistema en el que slo diez simbolos puedan representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Cuadro comparativoAztecas

Ubicacin temporal

La primera seal certera de los Aztecas en el Valle de Mxico fue en el ao 1256 d.C. Los aztecas llegaron a Mesoamrica y adaptaron algo de la cultura que existi, especialmente de los habitantes toltecas ya establecidos en el Valle de Mxico. Se empleaban cuatro smbolos diferentes que estaban muy influidos por el cultivo del maz, que era el principal alimento en esta civilizacin.

tipo de Sistemas

Esta numeracin se basa en el principio aditivo segn el cual el valor de una representacin se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeracin de base vigesimal (20) Los aztecas escriban usando la escritura pictrica, que contuvo unos smbolos similares a los caracteres usados por los egipcios antiguos y los chinos antiguos. Todos los smbolos eran dibujos como ideogramas. Cada objeto expres su propia naturaleza, y tambin las ideas relacionadas y subyacentes. Su sistema numrico cont de veinte en veinte. Unos nmeros bsicos tienen unos ideogramas o glifos Aztecas Sistema de numeracin Aditivo azteca En Mxico, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarroll la civilizacin azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeracin se basa en el principio aditivo segn el cual el valor de una representacin se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeracin de base vigesimal (20). Sistema de numeracin multiplicativo azteca

Se caracteriza por tener smbolos para la unidad, la base, sus potencias y todos los nmeros comprendidos entre la unidad y la base. Son de este tipo el babilnico y el maya. El sistema de numeracin azteca no tiene multiplicativo

Smbolos usados

Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeracin se basa en el principio aditivo segn el cual el valor de una representacin se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeracin de base vigesimal (20).

Base

Era una numeracin de base vigesimal (20)

Representa No tenan representacin del cero. cin del cero Posibilidad es del clculo As, por ejemplo, la cantidad 1 501 se escribe como:

g

Incas

Ubicacin temporal

El Imperio incaico fue un estado de Amrica del Sur gobernado por los incas (emperadores), que se extendi por la zona occidental (andina) del subcontinente entre los siglos XV y XVI. El imperio comenz a formarse en el ao 1438,cuando el Inca Pachacuti y su ejrcito conquistaron tierras aledaas al Cuzco, hasta el ao 1572, ao en que fueron derrotados por las tropas del Virrey Francisco de Toledo, cuando fu capturado y decapitado Tpac Amaru.

Sistema de numeracin decimal, posicional y figurada.(Utilizacin del quipu) tipo de Sistemas El quipu era un instrumento que posea cuerdas y que, mediante la realizacin de nudos de variados colores (El color era el cdigo primario que se utilizaba para identificar lo que representaba el nmero almacenado en dicha cuerda.)y tamaos, les permiti registrar la informacin numrica que iban obteniendo. A este quipu aun sin nudos se le llamaba quipu Liso. Los quipus solan tener un mnimo de tres cuerdas y un mximo de 2000.

Smbolos usados Un quipu consiste en un conjunto de cuerdas, con una disposicin particular, en las que se hacen una serie de nudos. Se empleaban distintos tipos de cuerda, cada una tena al menos dos hebras:

Cuerda principal: La ms gruesa, de la que parten directa o indirectamente todas las dems. Cuerdas colgantes: Las que penden de la principal hacia abajo. Cuerdas superiores: Las que se enlazan a la principal, dirigidas hacia arriba. Una de sus utilidades era la de agrupar cuerdas colgantes. Otra, usada con frecuencia, era representar la suma de los nmeros expresados en las cuerdas colgantes.

Cuerda colgante final: Su extremo en forma de lazo, est unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Esta cuerda no aparece en todos los quipus.

Base

Los quipus tenan un mnimo de tres cuerdas, el mximo poda llegar a 2.000. Un aspecto importante a considerar era el color de las cuerdas. El color era el cdigo primario que se "Quipu Liso". Que no utilizaba para identificar lo tiene nudos que representaba el nmero almacenado en dicha cuerda. As utilizaban el blanco, para la plata, el amarillo para el oro, el rojo para los soldados. A excepcin de la cuerda principal, en cada una de las cuerdas se representaba un nmero mediante grupos de nudos y empleando un sistema de numeracin posicional. Cada grupo de nudos corresponda a una potencia de diez y las diferentes posiciones de estos grupos indicaban a que potencia de diez corresponda dicha posicin. En cada cuerda se representaban los nmeros poniendo en lo ms alto la decena de millar, despus la unidad de millar, y as hasta llegar a la unidad en el extremo inferior de la cuerda. Cuando se lea el nmero representado en una cuerda colgante, haba que contar cuntos nudos haba que contar cuntos nudos haba en el grupo ms cercano a la cuerda principal, ese nos dara el valor del primer dgito de mayor valor del nmero. al pasar a un nuevo grupo de nudos en esa misma cuerda, iramos bajando al dgito del orden inmediatamente inferior, hasta llegar al extremo, donde se encuentran las unidades. Para distinguir al grupo de nudos correspondientes a las unidades de los dems grupos, se empleaban tres tipos (dos de ellos para las unidades):

Nudo largo con cuatro vueltas: Indicaba que el grupo de nudos corresponda al orden de las unidades y se empleaba cuando el dgito de este orden era superior a uno, En ese caso se ponan tantos nudos como indicase el dgito. Nudo flamenco o en forma de ocho: Indicaba tambin la posicin de las unidades, el dgito deba ser "1". Por lo tanto en las unidades solo apareca un nudo de este tipo. Nudo corto o sencillo: Se empleaba en las restantes posiciones, tantos como correspondiese al dgito a representar.

Para representar el "cero" en alguna posicin, no se colocaba ningn nudo. Para que la ausencia de nudos no confundiera, era fundamental que el espacio situado entre los Representa grupos de nudos fuese aproximadamente siempre el mismo. cin del cero

Posibilidad es del clculo

Mayas

La cultura Maya, por sus extraordinarios logros artsticos, matemticos y astronmicos, fue una de las ms grandiosas del continente americano. Geogrficamente, se desarroll en la pennsula de Yucatn, en territorios que hoy pertenecen a las repblicas de Mxico, Guatemala, Honduras, El Salvador y Belice.

Ubicacin temporal

Temporal o cronolgicamente, se ubica en tres periodos importantes de la arqueologa mesoamericana:

1. Periodo Preclsico (1500 a.C. - 292 d.C.)

Oleadas migratorias procedentes de Norteamrica dan origen a las colonias mayas de la costa del Golfo de Mxico y el interior de la pennsula de Yucatn. Influidos por la gran civilizacin Olmeca se erigieron varios centros administrativos teocrticos, siendo el ms importante Tikal (en Guatemala). 2. Periodo Clsico (292 d.C. - 900 d.C. ) Es el periodo de apogeo de las grandes ciudades-Estado, como Uaxacn y Tikal, en Guatemala; y Pelenque y Chinchen Itz, en Mxico. 3. Periodo Postclsico (900 d.C. - 1541 d.C.) Abarca el esplendor de la Liga de Mayapn y su decadecia, lo que dio origen a 16 pequeos seoros que se enfrentaron entre s hasta que en siglo XVI fueron sometidos por los conquistadores espaoles. tipo de Sistemas Los mayas idearon y utilizaron durante el primer milenio de nuestraera un sistema de numeracin posicional vigesimal de una gran eficacia y cuya representacin solo requera de tres smbolos: el punto, la raya yel valo. Los mayas tena tres modalidades para representar grficamente los nmeros, del 1 al 19, as como del cero: un sistema numrico de puntos y rayas: Smbolos usados

Nmeros Cefalomorfos: cuando adoptaban formas de cabezas humanas. En ambos casos las combinaciones se realizaban de 0 a 19 (sistema vigesimal) y se escriban verticalmente, con valores de posicin que aumentaban de abajo a arriba.

Numeracin antropomorfa, mediante figuras completas

Base

Los Mayas escriben los nmeros en niveles, de abajo hacia arriba y se basan en el 20.

La civilizacin maya fue la primera de Amrica en idear el cero. Este era necesario para su numeracin porque los mayas tenan un Representa sistema posicional, es decir, un sistema de numeracin en el que cin del cada smbolo tiene un valor diferente segn la posicin que ocupa. cero El smbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano

LA SUMA. Para sumar, por ejemplo, 11 + 3, se coloca el primer sumando en la primera columna y el segundo en la siguiente. En la tercera columna se indican las sumas de los puntos y las rayas 11 +3 = 14

La suma de nmeros mayores sigue la misma lgica con ciertas reglas: Se comienza a sumar del escaln de abajo hacia arriba. Cada 5 puntos se transforman en una lnea. Cada cuatro lneas, o sea una veintena, se convierten en un punto del escaln de arriba. LA RESTA Para efectuar esta operacin, en la primera columna de una cuadrcula se coloca el minuendo y en la segunda el sustraendo; se realizan los pasos contrarios a la suma, es decir, se restan puntos de los puntos y rayas de las rayas. Si, en el sistema vigesimal, se tiene menor cantidad de puntos en el minuendo que en el sustraendo, una raya se transforma en 5 puntos y si an no es suficiente un punto de la casilla superior se transforma en 4 cuatro rayas al descender a la casilla de inters. Se desea restar 5 520 de 8 642, indicados en la cuadrcula maya. Se efectuarn las operaciones nicamente en sistema vigesimal ya que se sigue la misma metodologa para los otros sistemas, con las particularidades mencionadas en cada uno. 8 - 5 = 8 642 - 5 642 520 520 203 = 8 000 202 = 400 400 x 7 = 2 800 Rest a

Posibilidad es del clculo

201 = 20

=

-

=

20 x 16 = 320

200 = 1

1x2=2

Resta 3 122

Dos multiplicaciones La primera multiplicacin es una con un multiplicador de un solo dgito, para demostrar las tcnicas necesarias para multiplicaciones con multiplicadores y multiplicandos de mltiples cifras.

Primero, se multiplican las unidades de B por A. Otra vez, el procedimiento es exactamente el que se usa con nmeros IA. Consultando la tabla de multiplicar, encontramos que

As que apuntamos el

en el lugar de las unidades de la respuesta,

y apuntamos el

a un lado para sumarlo despus con el producto

de A y los viniks de B.

Ahora, multiplicamos los viniks de B por A:

viniks.

Sumando a ste ltimo el vinik que apuntamos a un lado, tenemos viniks, de manera que la cuenta completa sera:

Una divisin Como es el caso con la multiplicacin, la divisin es por lo general un procedimiento de varios pasos en vez de una mera operacin de dividir.

Escribimos esta cuenta en una forma que nos conviene ms para resolverla:

Como es el caso tambin con nmeros IA, la divisin recurre mucho al tantear y fallar. Primero, exactamente como se lo hace con nmeros IA, no preguntamos si el divisor entra en el primer dgito del dividendo. No entra, por lo que nos apuntamos nada en el lugar de 203 del cociente. Ahora, nos preguntamos si el divisor entra en los primeros dos dgitos del dividendo (concretamente, ).

Consultando la columna

de la tabla de multiplicar, se nota que

es el producto de

y

, luego apuntamos este ltimo en el

lugar de los jboks del cociente. Paso siguiente, hacemos la multiplicacin y la resta correspondientes:

Ahora bajamos el dgito de los viniks del dividendo.

Como el divisor no entra en este dgito, apuntamos un cero en el lugar de los viniks del cociente.

Y ahora, bajamos otro dgito, el de las unidades del dividendo.

Entra el divisor en

? Por supuesto, pero cuntas veces?

Consultando la tabla de multiplicar, en la columna del divisor (

),

encontramos que

es menor que el producto del divisor con

,y

mayor que el producto del divisor con

, de manera que

escribimos este ltimo como el dgito de las unidades del cociente. Tambin, efectuamos la multiplicacin y la resta correspondientes:

Ya hemos terminado, y la cuenta completa es:

122.698 / 17 = 7.217 con residuo 9. Es de notarse que no es necesario conformarnos con una respuesta en la forma de un cociente y un residuo. En cambio, se puede obtener una respuesta con una coma decimal y cifras adicionales de la misma manera en la que se obtiene una respuesta con dgitos a la derecha de la coma decimal en el sistema de nmeros IA. Solo es necesario escribir ceros debajo del lugar de las unidades del dividendo, y bajarlos cuando sea necesario. De dicha manera, hallamos que el primer dgito abajo de la coma decimal en el cociente es Aqu tiene todos los trabajos necesarios para obtener

un cociente con tres cifras decimales, siendo

la coma decimal:

Ntese los valores de los lugares inferiores a la coma decimal. Cada uno es 1/20 del valor anterior.

Como es el caso en el sistema IA, la representacin de este nmero (7217 9/17) nunca terminar porque el denominador de la fraccin 9/17 tiene un factor que 20 (el nmero base del sistema maya) no tiene. No s si los Mayas hicieron clculos con nmeros decimales, pero su magnfica numeracin s les ofreci esa posibilidad.

Fenicios

Ubicacin temporal

A lo largo del desarrollo de esta civilizacin, las ms importantes ciudades se fueron alternando en importancia en tal medida, que los perodos histricos de su evolucin histrica corresponden a los perodos de dominacin de estas urbes, que son: Biblos, Sidn y Tiro.

a) Primer perodo histrico o de Biblos. (2600 a 1600 a. C.) En este perodo, que se inicia con el nacimiento de esta civilizacin, se destaca Biblos como la ms importante de las ciudades de Fenicia. Segn la tradicin, esta ciudad haba sido fundada por el dios El, que rode la ciudad e una gran muralla. BaalatGebal (la Dama de Biblos) era la diosa patrona de la ciudad. Estaba localizada sobre la costa, y fue un importante puerto cuya principal actividad consista en las relaciones comerciales y religiosas con el vecino Egipto. El fortalecimiento de esta relacin deriv en un sometimiento de la ciudad a los faraones del Egipto que motiv su decadencia, marcando el final de este perodo y posibilitando el advenimiento de otra ciudad portuaria vecina, a la cspide del poder. b) Segundo perodo histrico o de Sidn ( 1600 a 1200 a. C.) La ciudad de Sidn estaba localizada sobre un promontorio rocoso que daba directamente al mar, y posea un importante puerto, que adems de concentrar su actividad en el comercio martimo, tambin era el ms importante centro pesquero de Fenicia. Luego de la decadencia de Biblos, el surgimiento de esta ciudad no se vio afectado por el creciente poder de los faraones de Egipto, incluso el monarca y la administracin de esta ciudad lograron crear las condiciones para beneficiarse de esto. Este predominio de los sidonios sobre los mares, se extendi por todo el mar Negro y el mar Egeo, y se prolong durante unos cuatrocientos aos, comenzando su declinacin cuando los griegos decidieron cerrarles el paso al mar Egeo, y concluyendo definitivamente cuando los filisteos, pueblo procedente de la isla de Creta, sitiaron la ciudad y la destruyeron. c)Tercer perodo histrico o de Tiro ( 1200 a 700 a. C.) La ciudad de Tiro no se encontraba localizada en tierra firme, sino que su emplazamiento estaba centrado en dos islotes rocosos a un kilmetro de la costa. Las numerosas experiencias sufridas por otras ciudades fenicias en diversas pocas, llevaron a los constructores de esta ciudad a establecerse ms all de la costa para evitar, de esta forma, los ataques terrestres. Los habitantes de esta ciudad, se especializaron no slo en el comercio, sino en la exploracin y colonizacin, ms all de que tambin esto, en definitiva tambin tena fines comerciales. Fundaron numerosas colonias en la costas del mar Mediterrneo donde establecan factoras, de las cuales la ms importante fue Cartago (luego adquirira una importancia tan enorme, que siglos despus, se enfrent al mismsimo imperio

romano por la supremaca de las aguas del Mediterrneo). Adems, llegaron a atravesar las columnas de Melkart, ms tarde denominada por los griegos Columnas de Hrcules (actual estrecho de Gibraltar) llegando hasta las costas occidentales de frica y las islas britnicas. tipo de Sistemas Smbolos usados Posicional.

Base

Utilizacin de la base 10

Representa cin del cero Posibilidad es del clculo

Griegos

Ubicacin temporal tipo de Sistemas

El primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades.

Sistema aditivo (tico (siglo VI a.C) y Jnico (siglo V a.C))

(tico)

Smbolos usados

(Jnico) Para distinguir los smbolos que representaban un nmero de los que representaban una letra, se introdujeron otros smbolos: . (punto), (Coma) (guin) (apostrofe). Como mximo se utilizaban cuatro smbolos (con nmeros menores al 10000). Utilizaban el principio de la multiplicacin colocando encima o a la derecha el smbolo y en mayscula la M, separando por un . (Punto) al resto del nmero. Utilizaban la notacin de fracciones donde distinguan bien el numero entero de la fraccin.

Base

Utilizacin de la base 10

Representa No tenan cin del cero

Posibilidad es del clculo

Romanos

La historia de Roma abarca 1200 aos y se divide en tres periodos: Monarqua: 753-509 A.C Republica: 509-29 A.C. Ubicacin temporal Imperio: 29 A.C.- 476 D.C

-Sistemas de numeracin no posicionales tipo de Sistemas -Sistema de numeracin aditivo.

Smbolos usados

Base

Utilizacin de la base 10 o decimal. Esto se debe a que antiguamente se utilizaban los 10 dedos de la mano para contar.

Los romanos desconocan el cero, introducido posteriormente por los rabes, as que no existe ningn smbolo en el sistema de numeracin romano que represente el valor cero. Sus nmeros eran Representa letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupndolas. Para nmeros con valores iguales o superiores a cin del 4000, dibujaban una lnea horizontal sobre el nmero, para indicar cero que el valor se multiplicaba por 1000.

Posibilidad es del clculo

Suma CXVI + XXIV = ? Pas Descripcin o 1 Eliminar la notacin substractiva 2 Concatenar los trminos Ordenar los numerales de mayor a 3 menor Simplificar el resultado reduciendo 4 smbolos 5 Aadir notacin substractiva 6 Solucin Solucin: CXVI + XXIV = CXL El primer paso decodifica los datos posicionales en una notacin nica, lo que facilita la tarea aritmtica. Con ello, el segundo paso, al tener una notacin nicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenacin, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotacin substractiva. Una vez reordenados los smbolos, se agrupan los smbolos y se introduce de nuevo la notacin substractiva, aplicando las reglas de numeracin romana. Resta CXVI XXIV = ? Pas Descripcin o 1 Eliminar la notacin substractiva Eliminar los numerales comunes entre los 2 trminos Expandir los numerales del primer trmino 3 hasta que aparezcan elementos del segundo. Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo 4 trmino quede vaco 5 Aadir notacin substractiva 6 Solucin Solucin: CXVI XXIV = XCII Ejemplo IV IIII CXVI XXIIII CV XIII CV XIII LLIIIII XIII LXXXXXIIIII XIII LXXXXXIIIII XIII LXXXXII LXXXXII XCII XCII Ejemplo IV IIII CXVI + XXIIII CXVIXXIIII CXVIXXIIII CXXXVIIIII IIIII V; VV X; CXXXVIIIII CXXXX XXXX XL CXL

Hindes

Ubicacin temporal

Del 200 a.C hasta el 600 d.C

tipo Sistemas

El sistema hind no consiste ms que en una nueva combinacin de tres principios bsicos. todos ellos con un origen mucho ms de antiguo: 1) una base decimal ; 2) una notacin posicional y 3) una forma cifrada para cada uno de los diez numerales bsicos Los hindes dominaron por completo el arte de contar, en su poema pico del Mahabarata se cita la no despreciable cifra de 24 x 1040 que representa el nmero de divinidades existentes.17 Los hindes desarrollaron por el ao 570 a.C. un prctico sistema de notacin numrico al utilizar el principio posicional de las cifras en sus operaciones matemticas. La importancia de este mtodo incide en que la posicin del dgito o cifra numrica es significativa. Mediante este sistema es posible escribir cualquier nmero usando tan solo diez (10) dgitos, o sea que es un sistema de numeracin de base diez o decimal. Los hindes eran hbiles matemticos, estos resolvieron un gran problema al inventar el smbolo del cero (0) denominndolo sunya, las cifras utilizadas por los hindes se convirtieron en las cifras que se utilizan actualmente

Smbolos usados

Base

El sistema estaba construido sobre la base decimal, donde los 9 primeros nmeros simples tenan un nombre particular

Representa "Cero se deca en la India .'sunya", que significaba vaco. cin del cero Recibe el nombre de multiplicacin en celosa o en celdillas Posibilidad es del clculo 328 x 427 328 x 427 = 140. 056

rabes

Ubicacin temporal

Los rabes, que en esos momentos vivan un momento de expansin, no slo territorial sino intelectual, en poco tiempo logran descifrar ms conocimientos de esta materia. La historia de las matemticas en los pueblos rabes comienza a partir del siglo VIII. Fue en Espaa donde los rabes desarrollaron su labor matemtica, en las escuelas de Crdoba, Sevilla y Granada.

Tipo de Es un sistema posicional Sistemas

Smbolos usados Base 10 Utiliza este smbolo Representado por un punto. Los rabes llamaron al cero sifr, que Representa significa "vaco". En el libro "Liberabaci" que introdujo la numeracin cin del indoarbiga en Europa el matemtico Leonardo da Pisa (tambin cero conocido como Fibonacci) lo tradujo como zephirum que tambin significaba "viento". De este sifr rabe han derivado dos palabras importantes para las matemticas: "cero" y "cifra". Los avances obtenidos en esta poca, enmarcan al concepto del lmite, la introduccin de los nmeros racionales e irracionales, especialmente los reales positivos, y el desarrollo en la trigonometra, en donde se construyeron tablas trigonomtricas de alta exactitud. La Geometra Tambin los rabes tuvieron grandes avances en la Geometra,

algunos de ellos en el clculo de medidas de segmentos de figuras, principalmente de polgonos regulares, sin embargo, mas me llama la atencin su desarrollo en el clculo de figuras circulares (y que los rabes reflejaban sobre todo en su arquitectura compuesta de muchas secciones curvas y esfricas). Uno de los ejemplos ms interesantes sobre la Geometra arabica es la estupenda aproximacin de la razn entre la medida de una Circunferencia y su dimetro () obtenida calculando el promedio entre los permetros de un polgono inscrito y de otro circunscrito a una circunferencia, ambos de 228 lados, esta aproximacin (con un error en el decimo sptimo decimal) no sera superada hasta un siglo y medio ms tarde. Otro de los problemas geomtricos que causaron sed de estudio en los rabes fue tratar de explicar, a partir de principios ms evidentes, la teora de la paralelas enunciada por Euclides, gracias a ello lograron descubrimientos quiz tan importantes como la misma teora, como lo fue la deduccin de la suma de los ngulos interiores de los cuadrilteros y de los tringulos y el desarrollo de mtodos demostrativos (como la reduccin al absurdo) para intentar probar dicho postulado.

Posibilidad es del clculo

Trigonometra Los rabes pudieron perfeccionar aun ms la Trigonometra, desarrollando tablas trigonomtricas e introduciendo los conceptos de tangente, cotangente, secante y cosecante que contribuan en gran medida a los clculos astronmicos (pues reemplazaban cualquier divisin de senos y cosenos por productos)

Clculos Integrales Los cienticos rabes, tambin desarrollaron mtodos innitesimales para encontrar reas, al igual que Arqumides, ThabitibnQurra, matemtico rabe encuentra lo actualmente equivalente al clculo integral de funciones como con un mtodo distinto al del siracusano. Qurra recurre a dividir lo que se conocera actualmente como segmento de integracin en partes desiguales, estando estas en progresin aritmtica.

Algebra El Algebra tiene, formalmente, su origen en los tiempos de AlKhwarizmi, y debe su nombre a una parte del ttulo de una de sus obras, Al-jebr. En su libro, Al-Khwarizmi plantea bsicamente el desarrollo de seis tipos de ecuaciones que enuncia verbalmente, estas son:

Y plantea que para poder resolver cualquier otra ecuacin, esta primero se debe someter a un par de procesos para convertirla en uno de estos seis tipos. El primer proceso u operacin es el Al-jebr que signicacompletacion o restablecimiento y que consiste en sumar o restar a ambos lados de una ecuacin un numero conveniente (lo que actualmente conocemos como reduccin de trminos semejantes) y el segundo proceso u operacin se enuncia por el nombre de Al-muqabala que signica compensacin o reduccin y consiste en reducir trminos iguales que estn contenidos en ambos miembros de una ecuacin (actualmente denominado como simplicacion)

Otro matemtico rabe, Al-Karkhi, tambin tuvo grandes aportes al desarrollo de ecuaciones de segundo grado, pero sus mayores resultados se reeren al intento de resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado basndose en intersecciones de secciones cnicas (como se dira actualmente). Tambin los rabes consideraron problemas de la Teora de Nmeros, y en particular el intento de la demostracin de irresolubilidad de uno de los casos particulares del famoso teorema de Fermat hecho a destacar. por parte de matemtico Al-Khujandi, es un

Chinos

Ubicacin temporal tipo de Sistemas

La forma clsica de escritura de los nmeros en China se empez a usar desde el 1500 a.C. aproximadamente

El sistema de numeracin china se caracterizaba por ser hbrido, puesto que empleaban tanto la multiplicacin como la adicin, por lo que cada cifra es acompaada por otra que la multiplica y la suma de dichas multiplicaciones da la cifra total.

Smbolos usados Base La numeracin china estaba basada en el sistema decimal, donde utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para representar cantidades. Posean 9 smbolos distintos para los primeros 9 nmeros pero ningn smbolo para representar el cero.

No es necesario un smbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero an as a veces se supriman los Representa correspondientes a las potencias de 10. No es necesario un smbolo cin del para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero cero aun as a veces se supriman los correspondientes a las potencias de 10. El sistema de numeracin chino permiti hacer clculos, tan rpido como el baco, que consista en una serie de barras, de color rojo para los positivos y negro para los negativos. As mismo, hacan uso de los cuadrados mgicos, llamados as porque se formaban por varios nmeros, y que sumados por filas dan siempre el mismo resultado. Los cuadrados mgicos eran conocidos en china 45 siglos antes del nacimiento de Mahoma, tambin eran usados como amuletos.

Posibilidad es del clculo

MARCO HISTRICO:LOS FENICIOS: La cultura fenicia es sin duda una de las civilizaciones antiguas que, aunque no dej firmes huellas fsicas de su existencia, a diferencia de otras; dej un importante legado cultural a las civilizaciones posteriores a ella. Desde los principios comerciales hasta el alfabeto, fueron los legados ms importantes que dejaron los fenicios. Aunque tuvieron conciencia de su nacionalidad ni nunca fueron un imperio como tal, ejercieron una poderosa influencia sobre toda la costa del mar mediterrneo, que incluso los llev a sitios tan remotos como las islas britnicas y todo el continente africano. Fenicia nunca fue un Estado unificado en la acepcin moderna del trmino, era ms bien un conjunto de ciudades ms o menos importantes cuyos habitantes vivan del comercio martimo y de las industrias relacionadas con este, es decir, astilleros, factoras de artculos manufacturados, aprovechando las materias primas que los barcos suministraban. LOS GRIEGOS: El mundo griego, cuyo centro estaba situado en el mar Egeo y el mar jnico, comprenda numerosas poblaciones diseminadas por las costas del mar Negro, as como colonias distribuidas por el mar Mediterrneo. Estas colonias jnicas estaban conectadas por barcos con las otras civilizaciones egipcias y babilnicas recibiendo directamente conocimientos matemticos y astronmicos. La influencia egipcia e incluso babilnica en el origen de las matemticas griegas, al mismo tiempo que tomaron prestados ciertos conocimientos astronmicos y matemticos, transformaron a esta herencia cultural en una ciencia deductiva en la que las nociones de demostracin, teorema, definicin ya xiomas sustituyeron al carcter emprico y particular de las matemticas prehelnicas. Uno de los siete sabios, as lo llamaban, thales de Mileto aprovecho los conocimientos adquiridos por las anteriores civilizaciones y proporciono los rudimientos para una nueva geometra. Con los pitagricos, la geometra se convirti en una ciencia con identidad propia, constituida con principios y definiciones sobre los que iniciaron la construccin de un sistema lgico. Los pitagricos inventaron: *la teora del nmero *el mtodo de aplicacin de las reas *una teora de las proporciones aplicable a las magnitudes conmensurables, *tres de los cinco slidos regulares. Descubrieron la existencia de magnitudes inconmensurables e instituyeron la msica como ciencia matemtica. Despus de Pitgoras los

trabajos matemticos, se orientaron a la construccin de los elementos de Euclides. Las cuadraturas de Hipcrates ponen en manifiesto el alto nivel matemtico alcanzado por los griegos en esta poca.

LOS HINDUES: En la India se consolidaron varios cientos de culturas diversas cuyo rasgo comn era una mentalidad colectiva en la que la religin es parte inseparable de la vida. La unificacin cultural se inici a la llegada de Alejandro Magno (326 a.C.) y se plasm polticamente en los grandes imperios Maurya y Gupta. La expansin cultural hacia el nordeste (Tibet) y hacia el este (Birmania, Laos, ) se produjo como consecuencia de las invasiones budistas. La India vio florecer grandes sabios e inventores. En los "Sutras" (comentarios brahmanicos) aparecen las primeras nociones de astronoma (fases lunares) y matemticas (teorema de Pitgoras). La gran aportacin hind a la ciencia es la numeracin decimal mediante la introduccin del nmero cero, "Cero se deca en la India .'sunya", que significaba vaco. Prestigiosos matemticos como Laplace y Danzin advierten el valor a la sencillez de la idea de un sistema decimal posicional que, segn ellos, debemos a la India. Para hacer tomar conciencia al mundo de tan ingenioso mtodo Laplace aseguraba que lo apreciaramos mejor si tuvisemos presente que no se les ocurri a los hombres ms eminentes que nos dio la antigedad: Arqumedes y Apolonio. LOS AZTECAS: En Mxico, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarroll la civilizacin azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeracin se basa en el principio aditivo segn el cual el valor de una representacin se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeracin de base vigesimal. LOS INCAS: En el campo de la matemtica los incaicos destacaron principalmente por su capacidad de clculo en el mbito econmico. Los quipus y yupanas fueron seal de la importancia que tuvo la matemtica en la administracin incaica. Esto dot a los incas de una aritmtica sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin.

Por otra parte, la construccin de caminos, canales y monumentos, as como el trazado de ciudades y fortalezas, exigi el desarrollo de una geometra prctica, que fue indispensable para la medicin de longitudes y superficies, adems del diseo arquitectnico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medicin de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. LOS MAYAS: Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cmo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aqu parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos smbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segn el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. Los mayas se localizaron en la pennsula de Yucatn y sus alrededores, as de cmo parte de Guatemala y Belice. LOS INCAS: Los incas eran originalmente una pequea y belicosa tribu que habitaba la regin al sur de las tierras altas de la cordillera central en Per. En torno a 1100 d. C. comenzaban a desplazarse hacia el valle de Cuzco, donde durante casi 300 aos llevaron a cabo incursiones, y all donde fue posible, impusieron tributos sobre pueblos vecinos. Hasta mediados del siglo XV, los Incas no llevaron a cabo ninguna gran expansin o consolidacin poltica. Su avance territorial ms importante antes de esa fecha consisti en una penetracin de 32 Km. Al sur de Cuzco. En el campo de la matemtica los incaicos destacaron principalmente por su capacidad de clculo en el mbito econmico. Los quipus y yupanas fueron seal de la importancia que tuvo la matemtica en la administracin incaica. Esto dot a los incas de una aritmtica sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin. LOS ROMANOS: Los Romanos adoptaron gran parte de las unidades literales griegas, a las que les incorporaron algunas propias como la libra y extendieron su uso por todos sus dominios conquistados. Utilizaron signos simples combinados con algunas letras, para construir un sistema que era mucho ms fcil de manejar. El sistema literal de numeracin romano no utiliza el principio del valor relativo, el valor de los smbolos siempre es el mismo sin que influya el lugar que ocupan.

Los smbolos literales que empleaban en su sistema numrico estaban compuestos por siete letras, (I V X - L C D M), para las tres primeras cifras eran rayas verticales que asemejaban un dedo (dgitus.), para el cinco usaban la V; que parece haber sido en un comienzo el dibujo de una mano, para el diez dos de los smbolos de la cifra cinco con uno de ellos invertido y con el tiempo se transform en el smbolo de X, y as sucesivamente. La numeracin literal romana tena unos recursos de representacin o reglas, nunca usaban ms de tres rayas o signos juntos, el cuatro lo significaban restando de una cifra mayor como el cinco la unidad, para obtener el nueve le restaban la unidad de diez. Adems utilizaban una rayita colocada encima de una letra para indicar tantos millares como unidades tenga ese smbolo, dos rayitas encima de cualquier smbolo indican tantos millones como unidades tenga el smbolo. LOS ARABES: El sistema de numeracin arbigo se considera uno de los avances ms significativos de las matemticas. La mayora de los historiadores coinciden en afirmar que tuvo su origen en la India (los rabes se refieren a este sistema de numeracin como Nmeros Indios, , arqam hindiyyah), y se expandi por el mundo islmico y de ah, va al-Andalus, al resto de Europa. Se especula que el origen del sistema posicional base 10 utilizado en la India tuviera sus orgenes en China. El sistema chino Hua Ma (ver Numeracin china) es tambin posicional y de base 10 y pudo haber servido de inspiracin para el sistema que surgi en la India. Esta hiptesis cobra fuerza por el hecho de que entre los siglos V y VIII (periodo durante el cual se desarroll el sistema numrico indio) coincidi con una gran afluencia de peregrinos budistas entre China y la India. Lo que es cierto es que en la poca de Bhaskara I (Siglo VII) en la India se utilizaba un sistema numeral posicional base 10 con 9 glifos, y se conoca el concepto del cero, representado por un punto. Este sistema de numeracin lleg a Oriente Medio hacia el ao 670. Matemticos musulmanes del actual Irak, como al-Jwarizmi, ya estaban familiarizados con la numeracin babilnica, que utilizaba el cero entre dgitos distintos de cero (aunque no tras dgitos distintos de cero), as que el nuevo sistema no tuvo un buen recibimiento. En el siglo X los matemticos rabes incluyeron en su sistema de numeracin las fracciones. al-Jwarizmi escribi el libro "Acerca de los clculos con los nmeros de la India" cerca de el ao 825 y Al-Kindi escribi "El uso de los nmeros de la India" en cuatro volmenes. Su trabajo fue muy importante en la difusin del sistema de la India en el Oriente Medio y en el occidente.1 Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran el el Codex Virgilianus del ao 976.2 A partir de 980 Gerberto de Aurillac (ms tarde papa con el nombre de Silvestre II, hizo uso de su oficio papal para difundir el conocimiento del sistema en Europa. Silvestre II estudi en Barcelona durante su juventud. Fibonacci, un

matemtico italiano que haba estudiado en Bejaia (en la actual Argelia), contribuy a la difusin por Europa del sistema arbigo con su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Entre los primeros pases se hallaba Gran Bretaa, tenindose escritos como una en lino de la iglesia de Braye de 1448 en Berkshire y una en Escocia de 1470 en la tumba de Eral de Huntly, en.3 En Europa central, el rey de Hungra Ladislao el Pstumo, comenz a utilizar los nmeros arbigos, tenindose registro de un documento real de 1456. LOS CHINOS: Puesto que la civilizacin china es muy antigua, hay que remontarse mucho tiempo atrs para poder establecer cuando surgieron las matemticas. Es muy difcil responder a esta cuestin y no puede hacerse con precisin, y por ello es por lo que en China han surgido diversas leyendas que hacen alusin a este tema. El Libro sobre los ancestros es un antiguo libro sobre la prehistoria china que se encuentra perdido, pero que conocemos por referencias que hacen de el en otros escritos. En este libro aparece la leyenda del emperador Amarillo, al cual se le atribuye haber reinado durante los aos 2698 - 2598 a.C. Este emperador encargo a varios de sus sbditos que cada uno realizara una tarea diferente: observar el Sol, la Luna, las estrellas, jar la escala musical, establecer mtodos para determinar el tiempo y la disposicin de las estaciones, y a uno de ellos le encargo crear la aritmtica. Esta leyenda se extendi ampliamente por China, en la antigedad, y se encuentra en varios textos antiguos. Atribuirle la creacin de la nocin de nmero a una sola persona es inverosmil, puesto que solo es posible que este concepto se haya ido formando a lo largo de la historia, gradualmente, segn las necesidades de la actividad humana. Existen tambin leyendas que hablan de la utilizacin de quipus durante la prehistoria. Estas leyendas dicen que los hombres prehistricos usaban varios tipos de nudos para recordar diferentes asuntos y que luego fueron sustituidos por la escritura. No es descabellado pensar que las tribus chinas de la Edad de Piedra usaran este mtodo para registrar nmeros, ya que el sistema de nudos aparece explicado en escritos antiguos.

En Sntesis:Los pueblos mesopotmicos de los sumerios a los babilnicos, alcanzaron un notable nivel de conocimiento destacndose la trigonometraesfrica que les serva de apoyo para sus observaciones del firmamento que se basaba su filosofaastrolgica, mientras el trminogeometra procede etimolgicamente de la expresin griega medida de tierras. Estas dos culturas brillaron con especial intensidad en el mundo antiguo como cultivadoras del saber matemtico. A l contribuyeron otras importantes civilizaciones como las establecidas en el Asia medio oriental, la cuenca del Nilo y ms alejada de los focos occidentales, China y el subcontinente Indio. Aislada de todo contacto

intercontinental, algunas culturas precolombinas de AmricaMayas, Aztecas e Incas) desarrollaron notables avances matemticos en los que soportaron sus observaciones astronmicas y la elaboracin de los calendarios lunares y solares.

Educacin intercultural denominadaETNOMATEMATICAS El reconocimiento de la diversidad cultural, de tradiciones, lengua y conocimientos ancestrales son el eje primordial de este trabajo de investigacin, que trata de tomar forma bajo los principios de la educacin intercultural. Adems se fundamenta en un campo de trabajo denominado ETNOMATEMATICAS, que como cuerpo terico reciente, reconoce que las culturas aborgenes, tribus y grupos indgenas, entre otras sociedades, poseen conocimientos matemticos, cientficos y tcnicos suficientemente validos que deben ser reconocidos, y que pueden ser implementados en la escuela. Es as que plantearemos la investigacin interdisciplinar donde la etnografa, las matemticas (etnomatemticas), la didctica de las matemticas y la educacin intercultural se interrelacionan entre s para generar una propuesta en educacin matemtica donde converjan conocimientos y saberes referidos a cmo la cultura Inga mide el espacio y el tiempo.

Presentaremos los sistemas de numeracin: Inga Mapuche Onas

INGAOrigen Los ingas descienden de los Incas del Per, de una raza denominada MITIMAK (en lengua quechua Mitikuy: irse, Maray: pelear), es decir aquellos que por familias enteras se trasladaban a otros lugares en busca de otros territorios para el Inca. Los Ingas viven en la regin sur-occidental de Colombia, especficamente en el Valle de Sibundoy, que ocupa el noroccidente del departamento de Putumayo. Los montes que rodean este Valle hacen parte de la Cordillera de los Andes, destacndose los cerros de Bordoncillo, Patascoy, Cascabel y la Cordillera de Portachuelo. El clima de este Valle es fro: 2.200 metros sobre el nivel del mar a una temperatura de 16 grados centgrados. Las familias son de numerosa conformacin; se encuentran matrimonios hasta

con doce hijos. Los padres y abuelos, an hoy, siguen siendo la base primordial para la existencia del pueblo lnga como grupo cultural. A sus enseanzas, mediante la tradicin oral, se tiene el hecho de mantener todava vivas sus races provenientes de los lncas del Tawantisuyu (cultura de los cuatro lugares del sol). Es notable el respeto que se mantiene entre los que conformamos el pueblo Inga. ETNOMATEMATICAS Aunque su aparicin es muy reciente, las Etnomatemticas se consolidan como un campo de investigacin que no solo necesita teorizarse e investigar en educacin matemtica, sino como una alternativa de los pueblos indgenas que buscan el reconocimiento, recuperacin y desarrollo de sus conocimientos y saberes. (Oliveras, 1996) El prefijo 'etno' se refiere a grupos culturales identificados, tales como sociedades nacionales de tribus, grupos de trabajo, nios de una cierta edad y clase, clases profesionales, etc. e incluye sus ideologas, sus prcticas diarias y su forma especfica de razonar e inferir. 'Matema' significa explicar, entender y manejar realidades especficas por medio de calcular, contar, medir, clasificar, ordenar, inferir y modelar patrones que nacen del medio ambiente. El sufijo 'tics' significa arte o tcnica. (Boletn ISGEM, 1986). ETNOMATEMTICAS Y LA MEDIDA EN LOS INGAS Su estudio comienza por la convergencia en la significacin entre distintos diccionarios del termino yupai como numerar, contar, enumerar, que se puede contar, contabilizar, incluso hasta semejarlo al termino quipu. Establece tres particularidades validas hasta ese momento en cuanto a la numeracin oral del inga del Valle de Sibundoy: 1. El vocabulario de los nmeros no ha sido analizado hasta ahora como compuesto, ni referido a partes del cuerpo, ni a otros dominios de la experiencia. 2. Los trminos bsicos para los nmeros son exclusivamente referidas a cantidades. 3. El sistema numrico inga es decimal, por lo tanto, las cantidades mayores a diez, a cien y a mil son construidas a partir de dichas cantidades. Desde apreciaciones de Cauty, la numeracin oral inga se dejara analizar como un sistema muy regular de tipo aritmtico. Estableceremos una descripcin mas detallada de lo expuesto en el trabajo de Chasoy este trabajo enfocndolo mucho mas hacia la matemtica sin descuidar el carcter lingstico all presentado pues es un sistema de numeracin oral.

Es importante anotar que no existe dentro del estudio una denominacin lingstica que implique la existencia del cero como parte del sistema de numeracin. El anlisis de aqu en adelante que se le har al sistema es una representacin polinmica, que encaja con las formas lingsticas establecidas.

Aunque no se ve tan claramente en la conformacin de los nmeros de 10 al 19, en la conformacin de los dems unidades de segundo orden se puede percibir con mucha ms facilidad las veces que antecede las unidades de segundo orden por ejemplo: se dice Iskay chunga para decir dos unidades de orden dos. Esta regla se pierde en la conformacin de lo numerales 1019 ya que no se dice Sug chunga para decir una unidad de orden dos.

Para la construccin de las unidades de tercer orden se utiliza Patsa (100). La expresin polinmica a utilizar sera:

Para los nmeros de 100 a 109 es de notar que lingsticamente las unidades de segundo orden no se manifiestan. Adems al igual que en caso de conformacin de los nmeros 10-19, una vez cien es patsa y no antecede sug,es decir no se dice sug patsa como si sucede en las construcciones de las dems unidades de tercer orden, por ejemplo 234, seria Iskay patsa (dos veces cien) kimsa chunga (tres veces diez) chusku(cuatro).

Para las unidades de cuarto orden se presentan las mismas regularidades antes vistas donde el trmino utilizado es Uaranga (1000) la expresin polinmica para las unidades de cuarto orden correspondera:

Las conformaciones de los dems rdenes pueden ser construidas por las cantidades anteriores, ya que para las unidades de quinto orden no existe un trmino lingstico preciso para designarlo. Para diez unidades de mil chunga Uaranga, (10.000) la expresin polinmica (ver cuadro 5.1) estara dada por:

Para las unidades de sexto orden, tambin se hace una combinacin cien unidades de mil, Patsa Uaranga (100.000) la expresin polinmica (ver cuadro 5.2) dada es:

Se puede construir unidades ms grandes bajo este mismo procedimiento pero lingsticamente seria tedioso, adems de no conocerse y utilizarse un nmero mayor a 999.999 dentro de la cultura.

Chasoy en su trabajo manifiesta la ausencia de prcticas gestuales y uso de partes del cuerpo asociadas al hecho de contar, pero aclara que existen importantes prcticas de aprendizaje, nemotecnia y apoyo al clculo. Se usan nudos cuerdas de colores, semillas y tablas de conteo. Estas cuerdas pueden ser de colores son amarillo, rojo, blanco o negro, colores de la cultura inga. Cada cuerda tiene igual nmero de nudos en la disposicin (2 + 3 + 5) los cuales se cuentan de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda ()

Otro medio utilizado para operaciones son tablas que permiten suma y restar; stas estn organizadas de la misma manera que las cuerdas (2+3+5). Una caracterstica de esa tabla es la existencia de una casilla inferior en la cual se pueden introducir cantidades para efectuar operaciones de manera ms gil y sencilla:

No es claro en el texto el uso de las tablas ni lo nudos a la hora de hacer operaciones, aunque manifiesta que segn textos del imperio incaico de la colonia se puede proceder de la misma manera. El trabajo comunitario era solicitado en el cabildo en las asambleas. El interesado solicitaba, con permiso de los mayores, la ayuda para arreglar su terreno bajo varias formas de trabajo como el divichido, la minga, la Chichaminga, etc., y se estableca una especie de trato verbal. Las formas de trabajo comunitario estaban determinadas por las condiciones de lo que poda ofrecer la familia que solicitaba ayuda. Se puede, entonces, hablar de ellos de la siguiente manera: Divichido: consista en prestar la mano con el fin de devolver, es decir, se trabaja arreglando cierta cantidad de tierra para la siembra y esa misma cantidad hay que devolver en trabajo a quien ayud. Se caracteriza adems por que se trabaja en cuadrilla de 50 o 60 personas y se comienza a las 5 5:30 madrugada y se sigue trabajando el resto de da, hasta las cuatro aproximadamente, segn los tratos que se hallan echo. Minga: Es donde el trabajo se paga con carne. Se mataba una res, se prepara y se brinda como remuneracin al trabajo realizado. En el trato,

socialmente establecido, se hacia trabajar 18 chaclas. Se comenzaba a trabajar a las 9 o 10 a.m. Chichaminga: es el trabajo comunitario donde se remunera con comida: carne, mote (maz y frjol) y chicha. Socialmente establecido, el trabajo a 12 chaclas y paga con cinco pedazos de carne y plato de mote y chicha. Iamtaminga: los registros que se tienen son informales en cuanto a la Iamtaminga, pero hace referencia al pago del trabajo con madera. No se encuentra especificaciones por la cantidad de madera u horario de trabajo como los otros. Aswaminga: al igual que la anterior en cuanto a pocos registros encontrados sobre su existencia, se dice que la remuneracin por el trabajo era nicamente con chicha. Existen otras apreciaciones sobre el trabajo comunitario como en los ingas8, donde manifiestan que son tres las formas de trabajo comunitario: mingas, donde se intercambia trabajo por chicha y comida; los divichidos, donde se intercambia fuerza de trabajo; y conchavos, donde se pacta precio por el trabajo. Idea De Medida Para los terrenos a trabajar es Importante la manifestacin de una figura quien se encargara de este tipo de mediciones. Esta persona denominada tupudor era quien media, reparta el terreno para cada trabajador, y adems llevaba las cuentas de deudas en los divichidos. Del instrumento utilizado para medir tupo (vara de bamb con ciertas caractersticas especiales), se derivan tupudor (quien mide, otros lo llaman caporal) y especialmente el verbo medir tupuy. El tupo, instrumento para medir los terrenos, era en bamb y deba cumplir ciertas caractersticas, puesto que se relacionaba con otras medidas como la cuarta y la brazada, es decir, este instrumento de dos brazadas y dos cuartas (aproximadamente 3 mts) deba tener entre nudo y nudo una cuarta de distancia del tupudor. Las magnitudes utilizadas en la agrimensura inga hacen referencia a la longitud y rea. En la magnitud longitud la unidad de medida y el patrn de medicin son utilizados nicamente como apoyo para medir reas de terrenos, pues como se ver en los dems apartados se habla de porciones de tierra (uachos) en funcin del largo y no del ancho.

Constitucin De La Unidad Unidad de longitud: la chacla como unidad para medir terrenos El tupo es el instrumento para medir la longitud (el largo) de los terrenos. La unidad de medida (y medida del instrumento) se denomina chacla. El patrn de medicin esta dado por la figura de tupudor, por la necesidad que alguien mida y lleve las cuentas en trminos de igualdad para todos. El tupo mide una chacla y esta es equivalente a dos brazadas y dos cuartas. En algunos relatos se adicionan tres dedos, pero eso varia segn el tupudor y sus

medidas de brazos y manos. La equivalencia actual con el metro esta establecida: una chacla tiene de dos y medio a tres metros aprox.

De la triangulacin de la informacin con el diario de campo podemos aseverar que existen otras unidades de medicin antropomorfas que se relacionan con la chacla como suglla (dedo), el geme (medida desde el ndice al pulgar cuando estn extendidos), la cuarta (mano extendida) y la brazada (brazos extendidos). Las unidades y formas de medicin y su numeracin son: Suglla: un dedo. Iskay suglla: dos dedos. Kimsa suglla: tres dedos Chusku suglla: cuatro dedos Cuarta: una cuarta Iskay cuarta: dos cuartas. Kimsa cuarta: tres cuartas Chusku cuarta: cuatro cuartas Geme: un geme. Iskay geme: dos gemes. Kimsa geme: tres gemes Chusku geme: cuatro gemes Brazada: una brazada Iskay brazada: dos brazadas Kimsa cuarta: tres brazadas Chusku cuarta: cuatro brazadas Unidad de rea: El uacho Los terrenos eran divididos en secciones rectangulares denominados uachos. Estos son una porcin de tierra que tiene una medida fija (ancho) y una variable (largo). Esta variabilidad depende del trabajo realizado.

Un uacho tiene una chacla de ancho por n-chaclas trabajadas de largo.

ORIENTACIN TEMPORAL DIARIA. Procesos Y Conceptos La orientacin en el tiempo diario era regida por el astro sol y la relacin de este con el cuerpo humano. Esta se manifestaba fsicamente por la sombra proyectada en el suelo, y que por clculo aproximado y proporcional al cuerpo de cada individuo se poda establecer qu lapso del da se encontraba. La Idea De Magnitud E Idea De Medida Ellos denominan puncha al da, y tuta a la noche. Manejan lapsos de tiempo dividiendo al da total (dia-noche) en dos (puncha: dia, luz y tuta: noche, oscuridad); luego en cuartos (pakari: amanecer, Chaugpuncha: medio da; Conachise: por la tarde y Chaugpetuta: media noche); despus una divisin en octavos un poco mas precisa, donde aparecen las mitades de los cuartos en que fue divido el da. La influencia de la luna era tan determinante en la vida agraria de los Inganos. A partir de las dos lunas, Atun killa y wawa (Uchulla) killa, se realizaban unas cuentas en donde segn el numero de luna se poda sembrar, regar, podar, etc. Estas cuentas es un sistema de regularidades abstradas del ciclo natural lunar donde que asemeja la gestacin, el nacimiento, desarrollo, plenitud y maduracin, fuerza, y poco a poco, una manera de decaimiento de la vida hasta la muerte. Estos ciclos son propios de toda especie viviente medidas por fractales de mayor o menor grado. Es por esto que el hombre, con poder armonizador o desarmonizador, dependiendo de su tacto con el mundo natural logra embellecerlo o degradarlo. Y que para embellecerlo y aprovecharlo sin dao alguno, manteniendo un equilibrio, debe abstraer y conocer del lenguaje natural inmersos en los ciclos. La idea de magnitud en las lunaciones, nace como una forma de controlar el ciclo regular lunar, en poder identificar el estado del ciclo para estar armonizado y obtener beneficios de las plantas, buenas cosechas y buenos frutos. En la idea de medida, la medida de esta magnitud, se toma como instrumento a la madre luna y se identifica su estado por una estimacin perceptual al mirar la cantidad de regin lunar iluminada, es as que se llega a orientarse dentro del ciclo. Se muestra un registro sobre la identificacin del estado lunar. Junto con la informacin registrada en el diario de campo elaboramos el siguiente cuadro explicativo del proceso lunar, en cada estado del ciclo. Denominamos primer proceso lunar del ciclo a los estados desde luna nueva a luna llena, y segundo proceso lunar del ciclo a los estados de luna llena a luna nueva.

MAPUCHESSistema de Numeracin Mapuche

El pueblo mapuche desarroll una cultura de rica tradicin oral, por lo que su sistema de numeracin se representa mediante palabras. El nombre del idioma mapuche es el mapudungun el cual proviene de la palabra "mapu" que significa "tierra" y "dungun" que significa "habla", lo cual quie decir habla o lengua de la tierra. Las palabras que utilizaban para expresar sus nmeros son: 1 kie 2 epu 3 kula 4 meli 5 kech u 6 kayu 7 regle 8 pura 9 aylla 10 mari 100 pataka 1000 warangka

Los principios que utilizaron los mapuches fueron:

a) Aditivo: un nmero ubicado a la derecha de 10, 100 o 1.000 suma a estos su val Por ejemplo mari regle es 10 + 7 = 17.

b) Multiplicativo: un nmero ubicado a la izquierda de 10, 100 o 1.000 multiplica a c) Por ejemplo kula warangka es 3 * 1.000 = 3.000. La forma de contar en el lenguaje mapuche o mapuzungn es completamente decimal, y las variaciones, de acuerdo a la regin geogrfica, que se presentan son sumamente limitadas pero no deja de haber en ellas ciertos puntos de importancia, algunas de las cuales son: 1 quie, quimi, qui, kie 2 epu, ep 3 cla, quil-la, quilla, cl, quila, kla 4 meli, mel-li 5 quechu, quech, kecho 6 cayu, kay, cay, kayo 7 relghe, ielghe, relghi, regl, regle 8 pura, purra, pungra, pur, purr 9 aylla, ay-ll, aill, ailla 10 mari, marri, mary, mar 20 epu mari, marri marri, epu marri, ep mar, epumari 100 pataca, qui pataca, patac, pataka 1 000 haranca, marri pataca, guaranda, huaranc, waranka 1 001 huarancaquie (1 000+1) 1 010 huarancamari (1 000+10) 1 100 huarancapataca (1 000+100) 1 101 huarancapatacaquie (1 000+100+1) 1 500 huarancaquechupataca (1 000+5+100) 2 000 epuhuaranca (2+1 000) 3 000 clahuaranca (3+1 000) 20 000 epumarihuaranca (2+10+1 000) 100 000 patacahuaranca (100+1 000) 200 000 epupatacahuaranca (2+100+1 000) Es importante mencionar que los mapuches aun no han adoptado un alfabeto unificado o estandarizado de su idioma, de tal forma que los trabajos de investigaciones sobre la escritura y gramtica mapuche estn hechos sobre la base de diversos alfabetos. Ahora veamos como se arman gramaticalmente los nmeros mapuches, que primariamente podemos agruparlos de la siguiente forma: o o o o (Unidades simbolizadas por letra U): 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 (Decena simbolizadas por la letra D): 10 (Centena simbolizadas por la letra C): 100 (Unidades de Mil simbolizadas por la letra M): 1000

Los nmeros se forman por combinacin de los mismos en forma ms o menos compleja adoptando en lo sucesivo sta frmula inicial: U*M+U*C+U*D+U

Por lo que algunos ejemplos son los siguientes: U Meli cuatro D+U mari meli diez mas cuatro = catorce U*D+U meli mari meli cuatro por diez mas cuatro = cuarenta y cuatro U*C meli pataca cuatro por cien = cuatrocientos U*C+U*D meli pataca meli mari cuatro cien cuatro diez = cuatrocientos cuarenta U*M+U*C+U*D+U meli huaranca meli pataca meli mari meli cuatro mil cuatro cien cuatro diez cuatro = cuatro mil cuatrocientos cuarenta y cuatro. La desintegracin de estos modelos da la pauta del consecutivo empleo de sumas y multiplicaciones para la obtencin del nmero buscado: U*M+U*C+U*D+U meli huaranca meli pataca meli mari meli cuatro por mil mas cuatro por cien mas cuatro por diez mas cuatro = cuatro mil cuatrocientos cuarenta y cuatro. Por lo que si ahora hacemos la operacin inversa para reconocer un nmero escrito en mapuche, podramos utilizar el algoritmo anterior: o aylla huaranca kla (nueve por mil mas tres = nueve mil tres) o epu pataca quie (dos por cien mas uno = doscientos uno) o quechu haranca aylla pataca pura mari meli (cinco por mil mas nueve por cien mas ocho por diez mas cuatro = cinco mil novecientos ochenta y cuatro) En las construcciones orales binarias de los nmeros, por ejemplo diez o cien, el adosado del uno es optativo y se componen de la siguiente manera: o quie mari o mari (uno por diez o diez) o quie pataca o pataca (uno por cien o cien) o kla pataca mari kie o kla patcka kie mari kie (tres por cien mas diez mas uno o tres por cien mas uno por diez mas uno) De acuerdo a algunos informes este sistema tiene como lmite el nmero 9999 (nueve mil novecientos noventa y nueve o aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla) ya que aylla es el mayor de todos los de la serie U

(unidades) y huaranca es el ultimo trmino reconocido en la lengua mapuche (Salas, 1980). Ms adelante el mismo autor expresa que: en un experimento solicit a M.P.L.C., mapuche, que tratara de continuar contando ms 24 all de lmite 9999. La respuesta fue para diez mil fue mari haranca y para cien mil fue pataka haranca. Las dos respuestas son enigmticas, ya que dejan lugar a dos interpretaciones: a. Representan un esfuerzo por expandir internamente el sistema mapuche; o b. Son traduccin directa del castellano diez mil y cien mil respectivamente (Salas, 1980) Como justificara anteriormente las pautas culturales ancestrales y/o futuras del pueblo mapuche no han requerido un mayor desarrollo del sistema de numeracin. Las posibilidades de expansin, desde el punto de vista gramatical, las formas mnimas (por ejemplo kie, mari, etc.) y fusionadas (por ejemplo mari epu, kie huaranca, etc.) de este sistema, funcionan como adjetivos numerales cardinales junto a sustantivos concretos (materiales o ideales) no-masivos; por ejemplo: o kla pun' umapui (tres noches alojo all) o epu pataca che mlefui ngillatun meo(doscientas personas hubo en el nguillatn) En consecuencia en el pueblo mapuche este sistema est al servicio de la necesidad prctica de contar, y dadas las condiciones socioculturales pasadas y presentes de este grupo, es suficiente para tal necesidad. No obstante, el sistema en s est abierto en lo que respecta a la posibilidad de expansin. Esto es, si se presenta la necesidad de llegar contando a cantidades mayores, el sistema puede ser expandido por medio de la incorporacin de nuevos miembros a mari, pataca / huaranca. Sean aadidos por ejemplo X y Y: mari diez pataca diez mari (cien) huaranca diez pataca (mil) X diez huaranca (diez mil) Y diez X (cien mil) que al ser insertados en la formula ya conocida la dejan as: U*Y+U*X+U*M+U*C+U*D+U y permiten llegar hasta la cantidad de novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve; aylla * Y nueve por cien mil (novecientos mil) aylla * X nueve, por diez mil (noventa mil) aylla * huaranca nueve por mil (nueve mil) Los nuevos miembros aadidos X, Y permitiran la expansin del sistema, de manera que ste est potencialmente abierto.

Volviendo a la interpretacin a) mari huaranca y pataca huaranca se consideran nuevos trminos y no combinaciones / aadidos a mari D diez pataca C diez mari (cien) huaranca H diez pataca (mil) mari-huaranca X diez huaranca (diez mil) pataca-huaraca Y diez mari-huaranca (cien mil) Con su insercin en la frmula expandida U*Y+U*X+U*M+U*C+U*D+U se puede generar: aylla pataca-huaranca aylla mari-huaranca aylla huaranca aylla .pataca aylla mari aylla (novecientos noventa mil novecientos nueve) "abrevindola": aylla pataca aylla wari aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla forma abreviada la cual slo es explicable en trminos de la pauta mapuche la fraccin siguiente: aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla (nueve por mil + nueve por cien + nueve por diez + nueve = nueve mil novecientos noventa y nueve) sta fraccin es precisamente el limite del sistema original, de acuerdo a la frmula no expandida inicial: U*M+U*C+U*D+U E1 residuo no explicado es la fraccin inicial (precisamente el aadido artificial a la pauta original): aylla pataca aylla mari . . . nueve por cien + nueve por diez = novecientos noventa Para este residuo hay que buscar una explicacin en el bilingismo, ya que un mapuche altamente aculturado, que se desenvuelve hoy la mayor parte de su vida en una sociedad hispnica urbana. Por su competencia en castellano se maneja con el sistema hispnico de numeracin, el que adems ha estudiado desde el punto de vista 25 matemtico. Al parecer en esta numeracin se transfiri parcialmente al enunciado mapuche la estructura castellana, traduciendo literalmente "palabra a palabra" la porcin no especificada en la pauta mapuche original: Castellano novecientos noventa Mapuche aylla pataca aylla mari en vez de: aylla pataca-huaranca aylla mari-huaranca nueve por cien mil + nueve por diez mil = novecientos mil + noventa mil espectable a partir de la pauta mapuche original. El resultado es una construccin hbrida: o Porcin traducida del castellano: aylla pataca aylla mari (novecientos noventa) y o Fraccin estructurada segn la pauta original mapuche: aylla huaranca nueve por mil (nueve mil) aylla pataca nueve por cien (novecientos) en la cual son visibles ambas estructuras. centena de mil - decena de mil unidad por mil + unidad por cien + unidad por diez + unidad

Parece que hay buenas razones socio-culturales, psicolgicas, y lingsticas, que favorecen la opci6n por superar el lmite de la pauta mapuche original mediante la utilizacin de hibridos con la pauta castellana, antes que explotar las posibilidades internas de expansin. Por ser de base decimal el sistema mapuche original contiene posibilidades de expansin que en principio son idnticas a las posibilidades de expansin del sistema castellano, con lo cual es expectable que en algn punto se produzca el re-encuentro de ambas pautas. Esto, y el bilingismo masivo mapuche-castellano hace ms viable la adopcin de la pauta hispnica, la que por lo dems coincide con la pauta original mapuche en tener trminos diferentes para las primeras tres agrupaciones: castellano / mapuche: diez / mari; cien / pataca; mil / huaranca y tiene su trmino siguiente en milln, obteniendo los dos intervalos intermedios, exigidos por la pauta decimal, por combinacin de diez y cien con mi1: diez mil, cien mil, milln, etc., lo que ofrece un cmodo modelo para la transferencia bilinge al mapuche con por ejemplo: diez de mil (mari huaranca). Es previsible que la palabra castellana milln fuera eventualmente usada para proseguir la numeracin en mapuche, y ella producira un reencuentro con la pauta original mapuche. Determinados lenguajes poseen exclusivamente ordinales para un restringido conjunto de nmeros. En espaol y en mapuche, aunque existen ordinales para valores superiores a 20, ellos son raramente usados. Aparte de esto, se pueden reconstruir los nmeros ordinales para los mapuches, agregando al nmero el sufijo lelu, as por ejemplo: 1: quielelu 2: epulelu 10 : marilelu 11 : mariquielelu 20 : epumarilelu 26: ep mari caylelu 100 : patacalelu 101 : patacaquielelu 1000 : huarancalelu Tambin, es muy usual la utilizacin de expresiones del tipo dos veces o ms, que se construye, para algunos autores, utilizando el vocablo que pertenece al nmero ms el sufijo machi, as por ejemplo: 2 veces: epmachi 13 veces: mari culmachi Aunque para otros autores no es tan regular sino que se construye sobre varis acepciones: 1 vez: quiechi - quiemeli 2 veces: epuechi epumeli epumita epurta 4 veces: melichi melimita 7 veces: relguechi Si bien no los podemos catalogar como numerales, por otro lado tambin son de uso frecuente las expresiones que involucran numerales como: el doble, que se forma con el numeral pertinente ms el sufijo venten, en consecuencia: Doble: epventen Triple: culaventen Cudruplo: meliventen Quntuplo: quechuventen Cntuplo: patacaventen

Y las clsicas expresiones de la mitad, que tiene infinidad de sinnimos: anca, capar, lau, lla, rangui, etc., que si bien no son numerales pueden considerrselos desde nuestro exclusivo punto de vista. De acuerdo a lo conversado con el Lonco Casimiro Huenelaf, sus ancestros no utilizaban la aritmtica conocida hoy por nosotros, ya que reunan piedras de tamao reducido y comenzaban a contar asignando a cada cantidad un nombre, con la construccin lingstica como se ha explicado precedentemente, por lo que carecan de operaciones tales como sumar, restar, multiplicar o dividir. Cuando deseaban saber que cantidad de animales tenan entre dos rebaos, por ejemplo 35 (cla mari quechu) animales y 12 (mariep) animales en cada rebao, 26 simplemente contaban hasta 35 (cla mari quechu ) en el primero y seguan la numeracin con el otro o sea 36 (cla mari cayu), 37 (cla mari relghe) hasta 47 (meli mari relghe) que era el total de ambos, contaban noms nos dice Olegario Sayhueque. Es ms, en algunas ocasiones no utilizan el nmero exacto para decir cuantos animales tienen solo utilizan expresiones como: ep relghe mari (casi setenta) mrn (un par) rume ep mari (a lo menos veinte) aldn (muchos) quielque huelique (algunos)

LOS ONASEl pueblo ona (shelknam y haush o mnekenkn) mantiene el sistema quinario para la determinacin de la numeracin, que segn observaciones descriptas por J.M.Beauvoir el conteo es con los cinco dedos de la mano izquierda realizados por un dedo de la otra mano. En lengua ona los primeros cinco nmeros eran: 1: ss, ssen, shosh 2: ski, ske, shoki 3: sauki, suke, shaken 4: koni-ski, konisoke, konishohki, kauch, kauken 5: kismarey, kesmarai, kishmarey Las palabras kauch y kauken que designan al nmero cuatro slo las utilizan para armar la palabra que designe a otro nmero. No est del todo claro si fue desarrollo propio posterior o por el contacto con los conquistadores, pero la numeracin superior es una construccin a partir de estas palabras, pero lo que se puede percibir es que no poseen nombres privativos para designar a los nmeros seis, ocho, nueve, diez, once y doce. Por ejemplo para decir: 6: shosh-kishmarey (1 + 5 = 6) 7: chenin o karreik wiwai shuke (una mano y dos de la otra mano) 8: sauki-kishmarey (3 + 5 = 8), karreik wiwai shnken (una mano y tres de la otra mano) 9: kauch-kishmarey (4 + 5 = 9) 10: koni tchen win (ambas manos) 20: shoke choon ketchen win (las manos de dos hombres)

Para el resto de los nmeros suelen utilizar la palabra key que aparentemente significa multiplicado por para obtener otros nmeros u otra forma de nombrarlos: 6: shoki-key-sauken (3 x 2 = 6 2 + 2 + 2 = 6), koni shken (2 x 3 = 3 + 3 = 6) 8: koni-key-kauken ( 4 x 2 = 8 2 + 2 + 2 + 2 = 8) 10: shoki-key-kishmarey (5 x 2 = 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 10) 12: sauken-kei-kishmarey (3 x 4 = 12 4 + 4 + 4 = 12) Despus de lo cual utilizan la palabra kar que significa mucho para designar a numerales mayores. Asimismo poseen ordinales para valores hasta a 5, si bien ellos muy raramente los usan. Aparte de esto, se pueden reconstruir estos nmeros, agregando al nombre del nmero el sufijo pen, as por ejemplo: 1: kochpen 2: sexpen 3: apekpen 4: yatkpen 5: isowpen 6: keukropen Como se ve son muy limitados, segn nuestro parecer, pero ellos no necesitan trabajar con nmeros mas grandes, y para terminar utilizan la palabra: ouwen: ltimo. Los onas, se orientan por las fases de la Luna ya que carecen del concepto de semana, mes o ao. Y observando la posicin nocturna de la Luna estipulaban la hora. Tenan bien determinadas las estaciones jerarquizadas como principales de seis lunas aproximadamente (verano e invierno) y secundarias (otoo y primavera), se dan cuenta de las diferencias en base a la posicin de ciertos astros, ansan el regreso de la estrella Betelgeuse (Kwnyip) ya que representa el aumento en la duracin de los das. Por ejemplo adems utilizan la palabra Maikomk para expresar ms tarde.

Juego que involucra juegos de contar.Para los nios onas el juego de pelota era su principal diversin, dicha pelota que era del tamao de un puo, estaba constituida con manojos de hierbas, plumas y pelos, amarrados con tientos El equipo de jugadores estaba integrado por siete u ocho participantes. La pelota se lanzaba hacia los compaeros, dispuestos en derredor, y si aquella caa de las manos ocasionaba el entusiasmo de los jugadores. Se anotaban un tanto al que arrojaba la pelota cada vez que la pelota se lecaa al otro jugador. Ganaba quien anotaba primero 3 tantos.

Anexos:

Representacin grfica de los nmeros de las diferentes civilizaciones.

ConclusinAl finalizar el presente trabajo, la evolucin de los diferentes sistemas, queda reflejado que todos ellos o gran parte, fueron utilizados por las civilizaciones, como necesidad para el progreso de los mismos, tanto en aspectos geogrficos como en los descubrimientos de la poca. Se destaca que los sabios Griegos estn sumamente relacionados con los Egipcios y los Babilnicos, gracias a los viajes realizados. Los mayas, aztecas e incas, sin tener relacin con otras culturas, pudieron destacarse con un sistema de numeracin amplio, la utilizacin del cero, y beneficiarse con el mismo en el uso diario. Podemos concluir que el trabajo nos sirvi para relacionar sus caractersticas y comprender el origen de nuestro sistema de numeracin decimal actual, el cual mantiene caractersticas del sistema fenicio entre otros. Lo que destacamos es que la comunidad educativa debe dar su mayor esfuerzo, un compromiso efectivo hacia una mejor comprensin de la clase y esto incluye adems de conocer el contexto del que viene cada estudiante, conocer sus inters individuales, expectativas, formacin previa, aspectos significativos para el, entre otros. De esta manera seguramente se tendr una mejor visin, lectura e interpretacin de la

clase que permitirn un mejor manejo de esta y enriquecer los procesos de enseanza aprendizaje. El aporte de la educacin para la diversidad, est precisamente direccionado a reconocer las diferencias de los activos de la clase, explorar y compartir sus experiencias sobre una temtica determinada que pueden conectarse a esta, hacia la construccin de conocimiento. Sin embargo la educacin actual desconoce la diversidad de culturas minoritarias, imponindose como una educacin de la cultura mayoritaria (llamada occidental) para todos. Llegamos a evidenciar la pertinencia de este trabajo para la educacin matemtica, en la medida que permite que se empiece a gestar una idea, una propuesta hacia la perdida de la ignorancia y el encuentro acadmico entre culturas, con lo que se espera hacer un aporte, a nuestra educacin para la diversidad.

Bibliografa

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Francisco Lus Flores Gil

Pluriculturalidad y aprendizaje de la matemtica en Amrica Latina Alfonso E. Lizarzaburu,Gustavo Zapata Soto Las Matematicas Chinas Mara Nieves Algarra Lopez Cruz Enrique Borges Hernandez Isabel Garca Dorta Veronica Hernandez Negrn Begona Hernandez Perez 16 de octubre de 2004 La Matemtica de los Aborgenes Patagnicos Luis Alberto Belloli Comarca Andina del Paralelo 42 Argentina Las Ciencias Exactas en el Mundo Arabehttp://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada https://sites.google.com/site/sistemasdenumeracion/Home/sistema-denumeracion-mapuche

Luis Fernando Magaa, Las matematicas y los mayas , editorial ciencias 19,1990 Caldern, Hecto