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LA HIPÉRBOLA
Definición
Es el lugar geométrico de un punto (P) que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2) llamados focos, es siempre igual a una constante positiva (2a).
Gráficamente:
Elementos:
LD y L’D : Eje directrizLF : Eje focalLN : Eje normalLA y L’A : Asíntotas
C : CentroV1 y V2 : VérticesF1 y F2 : Focos
: Lado recto: Diámetro: Cuerda focal
: Eje conjugado
: Segmento focal
RELACIONES FUNDAMENTALES
1. De la siguiente hipérbola:
Se tiene que:
Longitud del eje transverso = V1V2 = 2a
Longitud del eje conjugado = B1B2 = 2b
Longitud del segmento focal = F1F2 = 2c
2. La relación entre: “a”, “b” y “c” es:
Para demostrarlo se sigue el mismo procedimiento que se hizo en la elipse.
3. EXCENTRICIDAD: (e).
Se define así:
Como:
Luego:
La excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad.
4. De la siguiente hipérbola:
La longitud del lado recto es:
Para demostrarla se sigue el mismo procedimiento que se hizo en la elipse.
5. Se tiene la siguiente hipérbola
La distancia entre las rectas directrices es:
Como: también puede ser:
Para demostrarlo se sigue el mismo procedimiento que se hizo en la elipse.
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Se clasifica en:
1. Eje Focal Paralelo al Eje “X”
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica
Es una hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X su ecuación es:
Gráficamente:
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B. Forma Ordinaria
Gráficamente:
Es una hipérbola con centro en (h;k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, su ecuación es:
C. Forma General
Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
Eliminando los denominadores y ordenando términos, obtendremos:
b2x2 – a2y2 – 2b2hx + 2a2ky + b2h2
- a2k2 – a2b2 = 0Hacemos:
A = b2, C = -a2, D = -2b2hE = 2a2k, F = b2h2 – a2k2 – a2b2
Nótese que: A > 0 y C < 0
Remplazando:
Donde:
A y C tienen signos diferentes
Además: D, E, F R
A esta ecuación se le conoce como forma general.
Para obtener la ecuación de una hipérbola en su forma ordinaria simplemente se completa cuadrados a la forma general.
2. Eje Focal Paralelo al Eje “Y”
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica:
Gráficamente:
Es una hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje Y su ecuación es:
Donde se puede cumplir que:
a > b ó a = b ó a < b
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:
Centro : C = (0;0)Focos : F = (0; c)Vértices : V = (0; a)
B. Forma Ordinaria
Gráficamente:
Es una hipérbola con centro en (h;k), y cuyo eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es:
Donde se puede cumplir que:
a > b ó a = b ó a < b
Las ecuaciones de sus directrices son:
Además:Centro : C = (h;k)Focos : F = (h;k |c|)Vértices : V = (h;k |a|)
C. Forma General
Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
Eliminando los denominadores y ordenando términos, obtenemos:
-a2x2 + b2y2 + 2a2hx – 2b2ky+ b2k2 – a2h2 – a2b2 = 0
Hacemos:
A = - a2, C = b2, D = 2a2h,E = 2b2k, F = b2k2 – a2h2 – a2b2
Nótese que: A < 0 y C > 0
Reemplazando obtenemos:
Donde:
A y C tienen signos diferentes
Además: D, E, F R
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NOTA:
Se observa que la ecuación de una hipérbola en su forma general con eje focal paralelo al eje X y eje focal paralelo al eje Y son coincidentes en su escritura.
Si nos dan como dato la ecuación de una hipérbola en su forma general y queremos averiguar si su eje focal es paralelo al eje X ó Y, tenemos que completar cuadrados y llegar a las formas ordinarias ya estudiadas.
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR
Se llama así cuando la longitud del eje transverso es igual a la longitud del eje conjugado.
EJEMPLO DEDUCTIVO
Se tiene la ecuación canónica de una hipérbola:
(x2 / a2) – (y2 / b2) = 1
Para que esta hipérbola sea equilátera o rectangular se debe cumplir que:
a = b
Reemplazando queda:
(x2 / a2) – (y2 / a2) = 1
Reduciendo:
Gráficamente:
OBSERVACIÓN
Del gráfico anterior, a las asíntotas le hacemos rotar 45° de tal manera que coincidan con los ejes coordenados quedando el gráfico así:
Cuya ecuación es:
HIPÉRBOLAS CONJUGADAS
Dos hipérbolas son conjugadas cuando la longitud del eje transverso de una es idéntica a la longitud del eje conjugado del otro.
Dos hipérbolas conjugadas tienen el mismo centro y las mimas asíntotas.
EJEMPLO DEDUCTIVO
Las hipérbolas:
Son conjugadas
Gráficamente:
NOTA:
Para obtener la hipérbola conjugada de una hipérbola dada, se cambia el signo del primer miembro de su ecuación ordinaria:
Ejemplo:Dada la hipérbola
Su conjugada será:
ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA
Para obtener las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola, se procede de la siguiente manera:
1. Se expresa la ecuación de la hipérbola en la forma ordinaria.
2. Se iguala a cero el primer miembro de la ecuación.
3. Luego se expresa en factores, cada factor igualado a cero, representa a una asíntota.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje Y, si la distancia entre sus directrices es 4 y su excentricidad es 4/3.
a) 63x2 – 81y2 = 448b) 63y2 – 9x2 = 297c) y2 – 9x2 = 448d) x2 – 63y2 = 63e) N.A.
2. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje X, si la distancia de uno de sus focos (0;6), a cualquiera de sus asíntotas es .
a) 5y2 – 4x2 = 20b) 5y2 – 4x2 = 10c) 5y2 – 4x2 = 80d) 4y2 – 5x2 = 40
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e) N.A.
3. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas,
y cuyos focos son
.
a) 4y2 – 25x2 = 200b) 4y2 – 5x2 = 20c) 4x2 – 5y2 = 10d) x2 – 4y2 = 5e) N.A.
4. Hallar la longitud de cada lado recto de una hipérbola sabiendo que la distancia de uno de sus focos
a una de sus
asíntotas es .
a) 3 b) 2c) 1 d) 4e) 5
5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje focal es el eje Y. Sabiendo que pasa por el punto P = (2; -2) y que una de sus asíntotas es
. Hallar su ecuación.
a) 4y2 – x2 = 0b) 4y2 – x2 = 1c) 4y2 – x2 = 2d) 4y2 – x2 = 6e) 4y2 – x2 = 12
6. Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, focos sobre el eje Y, LR = 16/3 y la pendiente de una de sus asíntotas es ¾.
a) x2 – 4y2 = 4b) 16y2 - 9x2 = 36c) 16y2 – 4x2 = 64
d) y2 – x2 =0e) N.A.
7. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, una de cuyas asíntotas es la recta;
y pasa por el punto P = (-1;2)
a) 9y2 – 4x2 = 36b) y2 – x2 = 1c) x2 – y2 = 36d) 9y2 – 20x2 = 16e) y2 – 20x2 = 20
8. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse,
25x2 + 9y2 = 225Hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad e = 2.
a) 3y2 – x2 =1b) 3y2 – x2 = 12c) 3y2 – x2 = 3d) 3y2 – x2 = 9e) N.A.
9. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse 9x2 + 5y2 = 180, y las directrices pasan por los focos de la elipse.
a) y2 – 2x2 = 24b) y2 – 2x2 = 12c) y2 – 2x2 = 6d) y2 – 2x2 = 3e) y2 – 2x2 = 1
10. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en (0;0), directrices las rectas x = + 3, y asíntotas, 3y = + 4x.
a) 16x2 – 9y2 = 400b) 16x2 – 9y2 = 200
c) 16x2 – 9y2 = 100d) 16x2 – 9y2 = 50e) 16x2 – 9y2 = 25
11. Hallar el área de la región triangular formado por las asíntotas de la hipérbola x2 – 4y2 = 16, y la rectaL: 3x – 2y + 12 = 0
a) 6 b) 7c) 8 d) 9e) 10
12. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1=(2;0) y F2=(2;-6), y pasa por
Rpta. 5(y+3)2 – 4(x-2)2 =20
13. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en la recta y = 4, y son simétricas respecto del punto C=(3;4), sabiendo además que la distancia entre los focos es 10 y que el eje conjugado mide 8.
Rpta. 16(x – 3)2 – 9(y – 4)2 = 144
14. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas directrices son: x = 2 y x = 6, y uno de sus focos es F = (12;0).
a) 3(x – 4)2 – y2 = 24b) 3(x – 4)2 – y2 = 48c) 3(x – 4)2 – y2 = 12
d)e) N.A.
15. Las asíntotas de una hipérbola son: L1: 3x -4y-5 = 0 y L2: 3x +4y +11 = 0, y un foco es el punto F = (3;-2). Hallar su excentricidad.
a) 3/5 b) 5/4c) 6/3 d) 1,9e) N.A.
16. La distancia de un foco de una hipérbola a una de sus asíntotas es igual a:
a) b b) ac) ba d) b+1e) b+c
17. Siendo la ecuación de una hipérbola: xy = 20. Determine la distancia entre los focos.
a) b)
c) d)
e)
18. Las asíntotas de una hipérbola son las rectas:
x + 2y = 4x – 2y = 0
y un foco es el punto (2;5). Hallar la distancia entre sus directrices.
a) 8/6 b) 8/5c) 8/3 d) 8/7e) 8/9
19. Dada la ecuación
Hallar el área del triángulo formado por las asíntotas y una de las directrices.
a) 40/13 b) 40/29c) 29/40 d) 5e) 3
20. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (0;4) es 4/3 de su distancia a la recta 4y = 9. Halle la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto.
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21. El centro C, un foco F y un punto P de una de las asíntotas de la hipérbola;
Son los vértices de un triángulo recto en P. Hallar su área.
a) b)
c) d)e) N.A.
22. Si el área de la región sombreada es igual a 8/3 unidades cuadradas y la curva es una rama de una hipérbola. Hallar la ecuación de la hipérbola.
a) xy = 1 b) xy = 2c) xy = 3 d) xy = 4e) N.A.
23. Los vértices de una hipérbola son (3,3) y (-3,-3). Hallar las ecuaciones de las directrices sí la excentricidad e=3.
a) x+y = -1 b) x+y = 2c) x+y = -3 d) x+y = 4e) x+y = 3
24. Siendo la ecuación de una hipérbola: 2xy + 1 = 0, determinar la longitud de su eje transverso.
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
25. Hallar la ecuación de la elipse cuyas directrices pasan por los focos de la hipérbola:
y cuyos vértices coinciden con los vértices de la hipérbola.
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
26. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de las abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además que: 2a = 10 y 2b=8.
a)
b)
c)
d)
e)
27. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas. Si la distancia entre los focos 2c = 6, y
la excentricidad
a)
b)
c)
d)
e)
28. Dada la hipérbola 16x2 – 9y2 = 144. Hallar la excentricidad.
a) 3/4 b) 3/5c) 4/5 d) 5/3e) 5/4
29. Calcular el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola.
y la recta 9x + 2y – 24 = 0
a) 6u2 b) 8u2
c) 10u2 d) 12u2
e) 24u2
30. Se da el punto en la hipérbola;
Hallar las ecuaciones de las rectas, en las cuales están los radios focales del punto M.
a)
b)
c)
d)
e)
31. La excentricidad de una hipérbola es e = 2, el radio focal de su punto M trazado desde uno de los focos es igual a 16. Calcular la distancia del punto M a la directriz, unilateral a este foco.
a) 6 b) 8c) 10 d) 12e) 16
32. Determinar la excentricidad de una hipérbola equilátera.
a) b) 1
c) d)
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e)
33. Determinar la excentricidad de la hipérbola, si el segmento comprendido entre sus vértices se ve desde los focos de la hipérbola conjugada bajo el ángulo de 60°
a) b)
c) d)
e) 3
34. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse.
Hallar la ecuación de la hipérbola, si su excentricidad es e = 2.
a)
b)
c)
d)
e)
35. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse;
y las directrices pasan por los focos de está elipse.
a)
b)
c)
d)
e)
36. En una hipérbola cuya ecuación es;
16x2 – 9y2 – 64x – 54y – 161 = 0.
Hallar las coordenadas de su centro.
a) (2;-1) b) (1;-3)c) (2;-3) d) (3;-4)e) (3;-6)
37. Hallar la ecuación de la hipérbola si
se conoce su excentricidad ,
el foco F = (5;0) y la ecuación de la directriz correspondiente;
5x – 16 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
38. Hallar la ecuación de la hipérbola, si
se conoce su excentricidad
el foco F = (0;13) y la ecuación de la directriz correspondiente;
13y – 144 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
39. El punto A = (-3;-5) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es F=(-2;-3) y la directriz correspondiente se da mediante la ecuación x+1=0.
a) x2 + y2 + x - y + 30 = 0b) x2 - 3y2 - 4x – 5y - 46 = 0c) x2 - 4y2 - 6x – 24y - 47 = 0d) x2 + y2 - x + y + 1 = 0e) x2 + 8y2 + 8x + 36y + 81 = 0
40. –Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce su excentricidad , el foco F = (2;-3) y la ecuación de la directriz correspondiente;
3x – y + 3 =
a) 7x2 - 6xy - y2 + 26x - 18y - 17 = 0b) 8x2 – 7xy + y2 + 36x - 20y - 16 = 0c) x2 + xy - y2 + x - y + 10 = 0d) x2 + 4y2 + 6x - 24y - 47 = 0e) 7x2 + 6xy + y2 - 26x + 18y + 17= 0
41. Desde el punto P = (1;-5) se han trazado Tangentes a la hipérbola,
Calcular la distancia del punto P a la cuerda de la hipérbola que uno los punto de contacto.
a) b)
c) d)
e)
42. Hallar la ecuación de la hipérbola que es Tangente a las dos rectas,5x – 6y – 16 = 0; 13x – 10y – 48 = 0Si sus ejes coinciden con los ejes coordenados.
a)
b)
c)
d)
e)
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43. La recta 2x – y – 4 = 0, es Tangente a una hipérbola cuyos focos están en los puntos F1 = (-3;0) y F2 = (3;0). Hallar la ecuación de está hipérbola.
a)
b)
c)
d)
e)
44. Los focos de una hipérbola son (+10;0) y las ecuaciones de sus asíntotas son y = + 2x. Encontrar su ecuación.
a) x2 – y2 = 60b) x2 – y2 = 40c) 2x2 – 3y2 = 50d) x2 – y2 = 10e) 4x2 – y2 = 80
45. Encontrar las ecuaciones de las rectas Tangentes a la hipérbola,
y que son paralelas a la recta,
2y – 4x + 1 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
46. Los focos de la elipse:
Son los vértices de una hipérbola y a su vez los focos de esta última coinciden con los vértices de la elipse. Determinar la ecuación de la hipérbola.
a)
b)
c)
d)
e)
47. Hallar los punto de intersección de la recta 4x – 3y – 16 = 0 y la hipérbola.
a) (5/4;1)b) (1;3/4)c) (3/5;2)d) (25/4;3)e) (25/3;1)
48. Hallar las ecuaciones de las Tangentes a la hipérbola x2 – y2 = 16, trazadas desde el punto (-1;-7).
a) x + y – 1 = 0 x + y + 4 = 0b) 3x + 5y – 12 = 0 3x + 4y + 16 = 0c) 5x - 3y – 16 = 0 13x + 5y + 48 = 0d) 4x - 5y + 16 = 0 12x - 5y + 49 = 0e) x + y – 3 = 0 x + y + 2 = 0
49. Determinar la ecuación de la hipérbola equilátera que tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus focos en
a) x2 – y2 – 1 = 0b) x2 – y2 + 1 = 0c) x2 + y2 – 1 = 0d) x2 – y2 – 4 = 0e) x2 – y2 – 9 = 0
50. Calcular el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola
, y
la recta x – y = 0.
a) 20u2 b) 21u2
c) 22u2 d) 23u2
e) 24u2
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