hidraulica´ ingenier´ıa en acuicultura. · y una componente tangencial tt h n m2 i. omar...

HIDRAULICAIngenierıa en Acuicultura.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 1

Contenidos

Definicion de FluidoPresion de un FluidoVariacion de la presion con la profundidadLey de PascalFuerzas debidas a fluidos estaticos


Definicion de Fluido

Fluido: es un estado de la materia que no puede soportartraccion, solo soporta compresion y que en reposo no soportatension tangencial.



Fluido: es un estado de la materia que no puede soportartraccion, solo soporta compresion y que en reposo no soportatension tangencial.

Tension: es la fuerza interna por unidad de area que ejerceuna porcion de materia sobre otra segun la direccion externa ala superficie.

La tension t[

Nm2

]tiene una

componente normal tn[

Nm2

]y una

componente tangencial tt[

Nm2

].



La tension normal tn en un fluido en reposo se distribuye encada punto en igual intensidad en todas direcciones y sentidosy se denomina presion p[Pa].

La tension tangencial en un fluidoen reposo es igual a cero tt = 0.



La tension normal tn en un fluido en reposo se distribuye encada punto en igual intensidad en todas direcciones y sentidosy se denomina presion p[Pa].

La tension tangencial en un fluidoen reposo es igual a cero tt = 0.

La presion es una funcion escalar,porque no depende de la

orientacion del elemento planoconsiderado en cada punto.



Definicion de fluido:

~t = −pn[Pa].

El signo menos indica que se trata de una compresion.p indica que es independiente de la orientacion delelemento plano.n es la normal exterior al elemento de area.1[Pa] = 1

[Nm2

], en honor a Blaise Pascal (1623-1662)

cientıfico frances.Los fluidos pueden ser lıquidos o gases.


propiedades de un fluido

Densidad: es la cantidad de masa por unidad de volumen deuna sustancia, se denota por la letra griega ρ.

ρ =mV

[kgm3

]m: masa [kg],V: volumen [m3].


propiedades de un fluido

Densidad: es la cantidad de masa por unidad de volumen deuna sustancia, se denota por la letra griega ρ.

ρ =mV

[kgm3

]m: masa [kg],V: volumen [m3].

Peso especıfico: es el peso por unidad de volumen de unasustancia, se denota por la letra griega γ.

γ = ρg[

Nm3

]g: aceleracion de gravedad = 9,8[m/s2].



Gravedad especıfica o densidad relativa: se define como larazon de la densidad respecto a la densidad del agua a 4◦C, lacual es de 1000[kg/m3].

s =ρ

ρagua=

γ

γagua



Viscosidad dinamica: Es una medida de la resistencia de unfluido al movimiento. La viscosidad determina la velocidad dedeformacion del fluido que se produce cuando se le aplica unesfuerzo cortante dado.



Viscosidad dinamica: Es una medida de la resistencia de unfluido al movimiento. La viscosidad determina la velocidad dedeformacion del fluido que se produce cuando se le aplica unesfuerzo cortante dado.

τ = µ∆v∆y

[Nm2

]

El esfuerzo de corte aplicado τ es proporcional al gradiente dela velocidad para los fluidos comunes, llamados newtonianos.La constante de proporcionalidad es el coeficiente deviscosidad µ.

µ: viscosidad dinamica[

N·sm2

]= [Pa · s] =

[kg

m·s

]Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 12


Viscosidad cinematica: La viscosidad cinematica ν se definecomo

ν =µ

ρ

[m2

s

]



Viscosidad cinematica: La viscosidad cinematica ν se definecomo

ν =µ

ρ

[m2

s

]

Tension superficial: es una propiedad que resulta de lasfuerzas de atraccion entre las moleculas, se manifiesta solo enlos lıquidos en una interfaz, por lo regular lıquido-gas.

Las fuerzas entre las moleculas en un lıquido son iguales entodas las direcciones y por ello, no se ejerce ninguna fuerzaneta sobre las moleculas. En una interfaz, en cambio lasmoleculas ejercen una fuerza que tiene una resultante en lacapa de la interfaz.



La tension superficial σ tiene unidades de fuerza por unidad delongitud σ

[Nm

],

σ =FL

La longitud L[m] que se utiliza es la del contacto entre el fluidoy un solido, o la circunferencia en el caso de una burbuja.



La tension superficial σ tiene unidades de fuerza por unidad delongitud σ

[Nm

],

σ =FL

La longitud L[m] que se utiliza es la del contacto entre el fluidoy un solido, o la circunferencia en el caso de una burbuja.

Por ejemplo para una gota:

Cortamos la gota por la mitad yconsideramos un diagrama decuerpo libre



Por ejemplo para una gota:

La presion es perpendicular a lasuperficie. La fuerza πR2p esequilibrada por la fuerza debida ala tension superficial.

tenemos,σ2πR = pπR2

luego, la presion es

p =2σR



Por ejemplo para una burbuja:

Ahora, para una burbuja, queposee una superficie interior yexterior se tiene que

2× 2πRσ = pπR2

⇒ p =4σR

Por lo tanto, vemos que la presion interna en una burbuja esdos veces mayor que en una gota del mismo tamano.

El valor de σ en la interfaz aire-agua es σ = 0.073[

Nm

]a una

temperatura de 20◦C.



Capilaridad: Es la elevacion o descenso de un lıquido en untubo capilar producido por la tension superficial.

El lıquido forma un angulo de contacto θcon el tubo de vidrio. Este angulo es ceropara el agua y la mayor parte de loslıquidos. Este angulo puede ser mayor que90◦, caso del mercurio.



Si h es la elevacion capilar, d es eldiametro, ρ es la densidad y σ es la tensionsuperficial, h se puede determinarigualando la componente vertical de lafuerza de tension superficial y el peso de lacolumna de lıquido.

πdσcosθ = mg

dado que

m = ρπd2

4h

tenemosh =

4σcosθγd



Presion de vapor:

Cuando una cantidad pequena de lıquidose coloca en un recipiente cerrado, ciertafraccion del lıquido se vaporiza.



Presion de vapor:


La vaporizacion cesa cuando se alcanza unequilibrio entre los estados lıquido ygaseoso de la sustancia contenida en elrecipiente. La presion causada por lasmoleculas que estan en el estado gaseosoes la presion de vapor.



Presion de vapor:


La vaporizacion cesa cuando se alcanza unequilibrio entre los estados lıquido ygaseoso de la sustancia contenida en elrecipiente. La presion causada por lasmoleculas que estan en el estado gaseosoes la presion de vapor.

La presion de vapor depende de la presion y de la temperatura.Por ejemplo, la presion de vapor del agua en condicionesestandar (15◦C, 101.3kPa) es de 1.70kPa absoluta.



Leyes de los gases ideales: la ecuacion de estado para losgases ideales es:

PV = nRT

P: es la presion en [Pa]V: es el volumen en [m3]T: la temperatura en [K]n: numero de molesR: constante universal de los gases = 8.31 J

mol·K .



Leyes de los gases ideales: la ecuacion de estado para losgases ideales es:

PV = nRT

P: es la presion en [Pa]V: es el volumen en [m3]T: la temperatura en [K]n: numero de molesR: constante universal de los gases = 8.31 J

mol·K .

Si la presion esta en (atm.) y el volumen en litros (L), laconstante R = 0.0821 L·atm

mol·K .

La mayor parte de los gases reales se acercan a esta constan-te dentro de dos cifras significativas, en condiciones de presiony temperatura suficientemente alejadas del punto delicuefaccion.



Leyes de los gases ideales en condiciones isotermicas:Para condiciones isotermicas, es decir, a temperaturaconstante, la ley de los gases ideales es:

PV = nRT ⇒ nRT = cte

luego,P1V1 = P2V2



Condiciones adiabaticas e isentropicas: En termodinamicase designa como proceso adiabatico a aquel en el cual el siste-ma no intercambia calor con su entorno. Un proceso adiabaticoque es ademas reversible se conoce como proceso isentropico.

Si no hay intercambio de calor entre el gas y su recipiente quelo contiene, se tiene

P1V k1 = P2V k

2

donde, k es el exponente adiabatico igual a k =CpCv

, y

Cp

[J

mol·◦C

]es el calor especıfico molar a presion constante,

Cv

[J

mol·◦C

]es el calor especıfico molar a volumen constante.

Para el aire el exponente adiabatico es k = 1.4.



Modulo de elasticidad volumetrica:

La compresibilidad de un lıquido se expresa mediante elmodulo de elasticidad volumetrica. Si la presion de un volumende lıquido se incrementa en dp, el volumen cambiara en −dV yel cambio de volumen por unidad de volumen sera −dV

V , a larazon

E =dp(−dV

V

)se le llama modulo de elasticidad volumetrica y tiene unidadesde presion E [Pa].


Presion de un Fluido

Considere un fluido confinado, como se muestraen la figura. Si la fuerza ejercida por el fluido es∆F sobre un elemento de superficie de area ∆A,entonces la presion en ese punto es:

p = lim∆A→0

∆F∆A

=dFdA

.



Considere un fluido confinado, como se muestraen la figura. Si la fuerza ejercida por el fluido es∆F sobre un elemento de superficie de area ∆A,entonces la presion en ese punto es:

p = lim∆A→0

∆F∆A

=dFdA

.

En general, la presion total o absoluta se puede expresarcomo:

pabs = pman + patm.

donde:pabs: es la presion absoluta.pman: es la presion manometrica.patm: es la presion atmosferica.



La presion manometrica (Pman): es la presion medida en unmanometro, la cual puede ser positiva o negativa dependiendosi es mayor o menor que la presion atmosferica.




La presion atmosferica (Patm):varıa con la ubicacion ycondiciones climaticas. El rango de variacion normal de lapresion atmosferica cerca de la superficie de la Tierra es de95[kPa](abs) a 105[kPa](abs). A nivel del mar, la presionatmosferica estandar es de 101.3[kPa](abs) o 14.69[psia].




La presion atmosferica (Patm):varıa con la ubicacion ycondiciones climaticas. El rango de variacion normal de lapresion atmosferica cerca de la superficie de la Tierra es de95[kPa](abs) a 105[kPa](abs). A nivel del mar, la presionatmosferica estandar es de 101.3[kPa](abs) o 14.69[psia].

La presion barometrica es un indicador de lavariacion continua de la presion atmosferica, semide con el barometro, inventado por EvangelistaTorricelli (1608-1647).


Variacion de la presion con la profundidad

Consideramos un fluido en reposo ydefinimos un nivel de referencia.El nivel de referencia puede ser cualquiera,simplifica el analisis considerarlo como elpunto mas bajo de interes.



Consideramos un fluido en reposo ydefinimos un nivel de referencia.El nivel de referencia puede ser cualquiera,simplifica el analisis considerarlo como elpunto mas bajo de interes.La elevacion es la distancia vertical entre elnivel de referencia y el punto de interesdenotado como z. Un cambio de elevacionentre dos puntos se llama h. La elevacionsiempre se mide en forma positiva endireccion hacia arriba.



Consideramos un fluido en reposo ydefinimos un nivel de referencia.El nivel de referencia puede ser cualquiera,simplifica el analisis considerarlo como elpunto mas bajo de interes.La elevacion es la distancia vertical entre elnivel de referencia y el punto de interesdenotado como z. Un cambio de elevacionentre dos puntos se llama h. La elevacionsiempre se mide en forma positiva endireccion hacia arriba.

Como el fluido esta en reposo, esta en equilibrio, por cuanto lasuma de fuerzas en el eje z debe ser cero,∑

Fz = pdA− (p +dpdz

dz)dA− dW = 0,



simplificando la ecuacion anterior, tenemos

−dpdz

dzdA− dW = 0,

dondedW = gdm = gρdV = ρgdAdz,



simplificando la ecuacion anterior, tenemos

−dpdz

dzdA− dW = 0,

dondedW = gdm = gρdV = ρgdAdz,

con lo cual−dp

dzdzdA− ρgdAdz = 0,

y finalmente

−dpdz

= ρg, o biendpdz

= −γ.

Por lo tanto, un aumento en la elevacion (dz positivo)corresponde a una disminucion en la presion (dp negativo).



De manera que tenemos,

dp = −γdz,

Si consideramos que el peso especıfico del lıquido no cambiacon la profundidad tenemos,∫ p2

p1

dp = −γ∫ z2

z1

dz.



De manera que tenemos,

dp = −γdz,

Si consideramos que el peso especıfico del lıquido no cambiacon la profundidad tenemos,∫ p2

p1

dp = −γ∫ z2

z1

dz.

Luego,p2 − p1 = −γ(z2 − z1),

por conveniencia definimos h = z1 − z2 con locual

∆p = γh.

La presion solo depende de la profundidad h yno de la forma del contenedor del fluido.


Ejemplo

La figura ilustra un tanque de aceite con un ladoabierto a la atmosfera y otro sellado en que hayaire sobre aceite. El aceite tiene una densidadespecıfica de 0.90. Calcule la presionmanometrica en los puntos A,B,C,D,E ,F y lapresion del aire en el lado derecho del tanque.


Ejemplo

La figura ilustra un tanque de aceite con un ladoabierto a la atmosfera y otro sellado en que hayaire sobre aceite. El aceite tiene una densidadespecıfica de 0.90. Calcule la presionmanometrica en los puntos A,B,C,D,E ,F y lapresion del aire en el lado derecho del tanque.

pA = patm ⇒ pA(man) = 0.

pB = patm + ρaceiteghB

⇒ pB(man) = pB − patm = ρaceiteghB.

= 900[

kgm3

]9.8[m

s3

]3[m]

= 26.5[kPa].


Ejemplo

pC = patm + ρaceiteghC

⇒ pC(man) = pC − patm = ρaceiteghC = 52.9[kPa].

Los puntos B y D estan a la misma altura, por lo tanto,pD = pB, luego

pD(man) = pB(man) = 26.5[kPa].

Los puntos E y A estan a la misma altura, por lo tanto, pA = pE ,luego

pA(man) = pE (man) = 0.


Ejemplo

Finalmente, para el punto F tenemos

pE = pF + ρaceiteghE .

Luego,

pF = pE − ρaceiteghE ⇒ pF − pE = −ρaceiteghE ,

⇒ pF − patm = −ρaceiteghE ,

⇒ pF (man) = −ρaceiteghE ,

⇒ pF (man) = −900[

kgm3

]9.8[m

s3

]1.5[m],

⇒ pF (man) = −13.2[kPa].

Por lo tanto, el punto F esta en depresion, es decir, la presiondel punto F es menor que la presion atmosferica.


Barometro de mercurio

El barometro se utiliza para medir la presionatmosferica. Consiste en un tubo largocerrado en uno de sus extremos, el cual sellena con mercurio y despues se voltea sobreuna vasija con mercurio. En este caso,

P0 = Patm,

P0 = P1 + ρgh,



El barometro se utiliza para medir la presionatmosferica. Consiste en un tubo largocerrado en uno de sus extremos, el cual sellena con mercurio y despues se voltea sobreuna vasija con mercurio. En este caso,

P0 = Patm,

P0 = P1 + ρgh,

dado que la presion P1 = 0 tenemos,

Patm = ρgh,

Donde, como el fluido es mercurio debemos utilizar la densidaddel mercurio. Por lo tanto, en este caso ρ = ρHg .



Se define una atmosfera de presion como la presionequivalente a una columna de mercurio que tiene una altura deh = 0.76[m], a 0◦C, con g = 9.80665[m/s2]. A esta tempera-tura, la densidad del mercurio es 13595[kg/m3],



Se define una atmosfera de presion como la presionequivalente a una columna de mercurio que tiene una altura deh = 0.76[m], a 0◦C, con g = 9.80665[m/s2]. A esta tempera-tura, la densidad del mercurio es 13595[kg/m3], por lo tanto

Patm = ρHggh = 13595kgm3 9.80665

ms2 0.76m,

= 1.013× 105[Pa] = 101.3[kPa].

Luego, una columna de 760[mm] de mercurio son equivalentesa una atmosfera de presion.



Se define una atmosfera de presion como la presionequivalente a una columna de mercurio que tiene una altura deh = 0.76[m], a 0◦C, con g = 9.80665[m/s2]. A esta tempera-tura, la densidad del mercurio es 13595[kg/m3], por lo tanto

Patm = ρHggh = 13595kgm3 9.80665

ms2 0.76m,

= 1.013× 105[Pa] = 101.3[kPa].

Luego, una columna de 760[mm] de mercurio son equivalentesa una atmosfera de presion.

Si utilizamos agua, con ρagua = 1000[kg/m3], la columna deagua equivalente a una atmosfera tendra una altura igual ahagua = 10.3[m].


Ley de Pascal

La presion es la misma en todos los puntosque se encuentran a la misma profundidad,esto no depende de la forma del recipiente.


Ley de Pascal


Debido al hecho de que la presion en un fluido solo dependede la profundidad,

∆p = γ∆h,

cualquier aumento de la presion en la superficie se debetransmitir a cualquier punto del fluido.


Ley de Pascal


Debido al hecho de que la presion en un fluido solo dependede la profundidad,

∆p = γ∆h,

cualquier aumento de la presion en la superficie se debetransmitir a cualquier punto del fluido.

Esto lo observo por primera vez el cientifico frances BlaisePascal, lo cual se conoce como la ley de Pascal.


Ley de pascal

Ley de Pascal: Un cambio en la presion aplicada a un fluidoencerrado se transmite integramente a cualquier punto delfluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.


Prensa Hidraulica

Una importante aplicacion de la ley de Pascal es la prensahidraulica.


Prensa Hidraulica

Una importante aplicacion de la ley de Pascal es la prensahidraulica.

El aumento de presion en el circuito hidraulico es

p =F1

A1.


Prensa Hidraulica

Como el aumento de la presion es la misma en todo el circuito,tenemos

p =F1

A1=

F2

A2,


Prensa Hidraulica


p =F1

A1=

F2

A2,

con lo cual

F2 = F1

(A2

A1

), donde A2 > A1,

luego, la fuerza F2 aumenta en un factor A2/A1.


Prensa Hidraulica


p =F1

A1=

F2

A2,

con lo cual

F2 = F1

(A2

A1

), donde A2 > A1,

luego, la fuerza F2 aumenta en un factor A2/A1. Ademas, eneste proceso se conserva la energıa, ya que

W (F1) = F1∆x1 = pA1∆x1 = pV1,

W (F2) = F2∆x2 = pA2∆x2 = pV2,


Prensa Hidraulica

Ahora, como el volumen que baja en el punto 1 es V1 es igualal volumen V2 que sube en el punto 2, es decir V1 = V2,entonces, se cumple que

W (F1) = W (F2).


Prensa Hidraulica

Ahora, como el volumen que baja en el punto 1 es V1 es igualal volumen V2 que sube en el punto 2, es decir V1 = V2,entonces, se cumple que

W (F1) = W (F2).

Ejercicio: Una rampa para subir automoviles utiliza airecomprimido que ejerce una fuerza sobre un pequeno piston deradio 5[cm]. La presion se transmite a un segundo piston deradio 15[cm]. ¿Que fuerza debera ejercer el aire comprimidopara levantar un automovil con un peso de 13300[N]?. ¿Quepresion de aire producira esta fuerza?.


Prensa Hidraulica

La fuerza necesaria es:

F1 = F2A1

A2= F2

πr21

πr22

= F2

(r1

r2

)2

,

= F2

(0.050.15

)2

= F2

(13

)2 F2

9,

= 1480[N].

y la presion es

p =F1

A1=

13300Nπ(0.15m)2 = 188000[Pa] = 188[kPa].


Fuerzas debidas a fluidos estaticos

La presion que actua sobre la pared aumenta con la profun-didad segun la relacion

P = ρgh



La presion que actua sobre la pared aumenta con la profun-didad segun la relacion

P = ρgh

Por lo tanto, tenemos una distribucion de presion sobre lapared, como aparece en la siguiente figura,



La presion promedio se determina de la siguiente forma,

P =

∫Pdh∫dh

=

∫ρghdh

h=ρg h2

2h

=ρgh2.

Luego, la presion promedio P esta aplicada a una profundidadh/2, tal como aparece en la siguiente figura.



La fuerza resultante debido al fluido sobre la pared sedetermina como

FR = PA,

donde, A es el area de la pared, que se determina con la alturah por el ancho a de la pared.



La fuerza resultante debido al fluido sobre la pared sedetermina como

FR = PA,

donde, A es el area de la pared, que se determina con la alturah por el ancho a de la pared. Con lo cual, tenemos

FR = Pah.



Sin embargo, la fuerza resultante esta aplicada en un punto amayor profundidad que h/2. A este punto se le llama centro depresion hcp y se determina como:

hcpFT =

∫hpdA,

=

∫hρghadh = aρg

∫h2dh =

13

aρgh3,



Sin embargo, la fuerza resultante esta aplicada en un punto amayor profundidad que h/2. A este punto se le llama centro depresion hcp y se determina como:

hcpFT =

∫hpdA,

=

∫hρghadh = aρg

∫h2dh =

13

aρgh3,

como la fuerza FT = pah = ρgh2 ah = aρgh2

2 luego,

hcpFT =13

aρgh3 =aρgh2

22h3, ⇒ hcp =

2h3.

La fuerza resultante esta aplicada en un punto a hcp = 2h3

medida desde la superficie hacia abajo, llamado centro depresion hcp.



Tambien se puede determinar el centro de presion a lo largodel ancho de la pared, la cual llamamos acp.

acpFR =

∫aphda,

= ph∫

ada = ph12

a2 = phaa2

= FRa2.

Luego

acp =a2.



Centro de presion: El centro de presion esun punto sobre el area donde se suponeque actua la fuerza resultante, en forma talque tiene el mismo efecto que la fuerzadistribuida en toda el area debido a lapresion del fluido.



Centro de presion: El centro de presion esun punto sobre el area donde se suponeque actua la fuerza resultante, en forma talque tiene el mismo efecto que la fuerzadistribuida en toda el area debido a lapresion del fluido.

La fuerza resultante FR produce unmomento con respecto al centroide.


Centroide

El centroide de una figura geometrica es el centro de simetrıade la figura. El centroide de un cuerpo coincide con su centrode gravedad si el cuerpo tiene densidad constante.

Centroides para superficies

x =1A

∫xdA y =

1A

∫ydA z = 0.

Centroides para volumenes

x =1V

∫xdV y =

1V

∫ydV z =

1V

∫zdV .


Ejemplo de Centroides


Momento de inercia

Momento de inercia del area de interes con respecto a supropio eje centroidal es

Icx =

∫y2dA Icy =

∫x2dA Icz =

∫r2dA.

Por ejemplo, el momento de inercia para el rectangulo en tornoal eje x es:

Icx =

∫y2dA

=

∫y2dxdy =

∫dx∫

y2dy = (x)

∣∣∣∣B/2

−B/2(13

y3)

∣∣∣∣H/2

−H/2

=BH3

12.


Ejercicio

Una represa contiene agua hasta una alturaH = 30[m] y un ancho total de a = 100[m].Determine la presion media p, la fuerzaresultante sobre la represa FR y laubicacion del centro de presion hcp.


Ejercicio

Una represa contiene agua hasta una alturaH = 30[m] y un ancho total de a = 100[m].Determine la presion media p, la fuerzaresultante sobre la represa FR y laubicacion del centro de presion hcp.

p =12ρgH = 147000[Pa],

FR = paH = 147000 ∗ 100 ∗ 30 = 44,1 · 108[N],

hcp = 20[m] medida desde la superficie del agua.


Ejercicio

La figura muestra una presa de 30.5[m] de ancho que contieneagua dulce con una altura de 8[m], la cortina de la presa estainclinada con un angulo de θ = 60◦. Calcule la magnitud de lafuerza resultante sobre la presa, ası como la localizacion delcentro de presion.


Ejercicio

La fuerza resultante es:

FR = pA donde p =ρgH

2y A = aL

donde

L =h

sinθ= 9.24[m]

A = aL = 30.5[m] · 9.24[m] = 281.7[m2]

p =ρgH

2=

12

1000kgm3 · 9.8

ms2 · 8m = 39200[Pa]

FR = pA = 39200[Pa] · 281.7[m2] = 11,04 · 106[N]

Notar que la fuerza resultante FR es equivalente aFR = 1130ton..


Ejercicio

El centro de presion esta a 2H3 de profundidad, es decir

hcp =2H3

= 5,3[m],

de profundidad medida desde la superficie. Ahora, este puntomedido sobre la presa esta a:

Lcp =H

3sin60◦= 3,1[m],

medido desde el fondo de la presa.



Definimos los centroides para superficiescomo:

x =1A

∫xdA y =

1A

∫ydA,

donde x e y corresponden a la posicion del centroide conrespecto a los ejes coordenados x e y . La superficie puedetener cualquier forma.



Definimos los centroides para superficiescomo:

x =1A

∫xdA y =

1A

∫ydA,

donde x e y corresponden a la posicion del centroide conrespecto a los ejes coordenados x e y . La superficie puedetener cualquier forma. Por ejemplo, si la superficie es un circulode radio R.

x =1A

∫xdA =

1A

∫rcosθrdθdr ,

=1A

∫ R

0r2dr

∫ 2π

0cosθdθ = 0.

Luego, x = 0 e y = 0 el centroide esta en el centro del circulo.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 81

Teorema de Steiner para segundos momentos de superficie

Una vez determinado el segundo momento de una superficierespecto a un eje dado, se podra obtener el correspondiente aun eje paralelo a este aplicando el teorema de Steiner.



Una vez determinado el segundo momento de una superficierespecto a un eje dado, se podra obtener el correspondiente aun eje paralelo a este aplicando el teorema de Steiner.

Por ejemplo, si conocemos el momento Ix con respecto al eje xy deseamos determinar el momento Ix ′ con respecto al eje x ′,se cumple que Ix ′ = Ix + d2A,

lo cual se conoce como Teorema de Steiner.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 83


Por ejemplo, si determinamos elmomento de inercia de la figuracon respecto al eje x, tenemos:

Ix =ah3

12



Por ejemplo, si determinamos elmomento de inercia de la figuracon respecto al eje x, tenemos:

Ix =ah3

12

Si deseamos determinar el momento de inercia con respecto aleje x’, tenemos que aplicar:

Ix ′ = Ix + d2A,

donde, en este caso d = h2 −

h3 = h

6 y A = ah, luego

Ix ′ =ah3

12+

(h6

)2

ah =ah3

9, el cual es mayor que Ix .


Fuerza sobre areas planas sumergidas

Ahora, determinamos la fuerza sobre una areaplana sumergida en un lıquido. Para ello hacemosun corte del objeto en estudio y determinamos lafuerza total FT sobre un area en particular.



Ahora, determinamos la fuerza sobre una areaplana sumergida en un lıquido. Para ello hacemosun corte del objeto en estudio y determinamos lafuerza total FT sobre un area en particular.



Calculamos la fuerza resultante debido a la distribucion depresiones

dF = pdA = ρghdA donde h = y sin θ,



Calculamos la fuerza resultante debido a la distribucion depresiones

dF = pdA = ρghdA donde h = y sin θ,

dado que la densidad es constante y el angulo θ tambien esconstante, tenemos

FR = ρg sin θ∫

ydA.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 89


Al usar como punto de referencia el punto S de la figura, eltermino ∫

ydA = yA,

donde el centroide de superficie y lo hemos llamado Lc , verfigura.



Al usar como punto de referencia el punto S de la figura, eltermino ∫

ydA = yA,

donde el centroide de superficie y lo hemos llamado Lc , verfigura. Luego,

FR = ρg sin θLcA donde Lc sin θ = hc .

Finalmente, tenemos

FR = ρghcA.

Esta fuerza es perpendicular a la superficie y debemosdeterminar el punto de aplicacion.



El centro de presion Lcp se determina en terminos del momentode la fuerza con respecto del eje S que es perpendicular alplano de la figura. El momento de la fuerza dF es

dM = ydF , donde dF = ρgy sin θdA,



El centro de presion Lcp se determina en terminos del momentode la fuerza con respecto del eje S que es perpendicular alplano de la figura. El momento de la fuerza dF es

dM = ydF , donde dF = ρgy sin θdA,

luego

dM = ρgy2 sin θdA, ⇒ M = ρg sin θ∫

y2dA,

como, el momento de inercia con respecto al punto es S esIs =

∫y2dA, tenemos

M = ρgIs sin θ,



Por otro lado tenemos que el momento M de la fuerza es iguala M = LcpFR, luego

LcpFR = ρgIs sin θ, donde FR = ρghcA.

Por lo tanto,

Lcp =Is

LcA.



Por otro lado tenemos que el momento M de la fuerza es iguala M = LcpFR, luego

LcpFR = ρgIs sin θ, donde FR = ρghcA.

Por lo tanto,

Lcp =Is

LcA.

Del teorema de Steiner de los ejes paralelos tenemos

Is = Ic + L2cA donde Ic es el momento de inercia con

respecto al centroide.

luego,

Lcp − Lc =Ic

LcAdonde hcp − hc = (Lcp − Lc) sin θ.


Fuerza sobre una superficie curva sumergida



Donde F1 es la fuerza media sobre la superficie plana enambos lados del fluido. En este caso,

F1 = pA = ρgh2

A,




F1 = pA = ρgh2

A,

y el punto de aplicacion de esta fuerza esta a 2h3 medida desde

el nivel del fluido hacia abajo. Por simetrıa, en ambos ladosesta aplicada la misma fuerza F1 y sobre la misma lınea deaccion.




F1 = pA = ρgh2

A,

y el punto de aplicacion de esta fuerza esta a 2h3 medida desde

el nivel del fluido hacia abajo. Por simetrıa, en ambos ladosesta aplicada la misma fuerza F1 y sobre la misma lınea deaccion.Ahora, analizamos la parte inferior del estanque. La fuerza dellado plano F2 es la fuerza media de la parte inferior delestanque.

F2 = p2A2 = ρg(h+s2

)sa donde a: es el ancho del estanque,



La ubicacion del punto de aplicacion de la fuerza F2 es elcentro de presion del area proyectada, donde se cumple que

hcp − hc =Ic

hcA,




hcp − hc =Ic

hcA,

donde el area proyectada es A = sa, con inercia con respectoal centroide de

Ic =as3

12luego,

hcp − hc =s2

12hc,




hcp − hc =Ic

hcA,

donde el area proyectada es A = sa, con inercia con respectoal centroide de

Ic =as3

12luego,

hcp − hc =s2

12hc,

La fuerza horizontal FH en la parte curva es igual a la fuerza F2aplicada sobre el mismo lınea de accion.



La fuerza vertical FV es igual al peso del fluido en el estanque,

FV = W = mg,

luego,

FV = ρVg = ρg(hsa +π

4s2a),



La fuerza vertical FV es igual al peso del fluido en el estanque,

FV = W = mg,

luego,FV = ρVg = ρg(hsa +

π

4s2a),

La fuerza resultante FR sobre la superficie curva es

FR =√

F 2H + F 2

V

y forma un angulo φ con respecto a la horizontal de

φ = tan−1(

FV

FH

).


Principio de Arquımedes

El principio de Arquımedes senala que:Cualquier cuerpo total o parcialementesumergido en un fluido es empujado haciaarriba por una fuerza que es igual al peso delfluido desplazado por el cuerpo.



El principio de Arquımedes senala que:Cualquier cuerpo total o parcialementesumergido en un fluido es empujado haciaarriba por una fuerza que es igual al peso delfluido desplazado por el cuerpo.

Consideramos una porcion de un fluido en equilibrio, deldiagrama de fuerzas de la figura determinamos la diferencia defuerzas debido a las presiones

PA− P0A = (P − P0)A = ρg(h + d − d)A = ρghA = ρgV = Mg,

luego, la fuerza de empuje actua hacia arriba y esE = PA− P0A = Mg que se equilibra con el peso W = Mg queapunta hacia abajo.



Si ahora consideramos que introducimos unobjeto en el fluido, la fuerza de empuje seraigual al peso del fluido desplazado

E = ρfluidoVdesplazadog



Si ahora consideramos que introducimos unobjeto en el fluido, la fuerza de empuje seraigual al peso del fluido desplazado

E = ρfluidoVdesplazadog

Si esta fuerza de empuje es mayor que el pesodel objeto, igual a

W = Mg = ρobjetoVobjetog

el objeto flota. Si es menor se hunde y si esigual se mantiene en equilibrio en el fluido.


Flotabilidad

Un cuerpo en un fluido, ya sea que flote o este sumergido,experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido quedesplaza. La fuerza de Flotacion es:

Fb = γf Vd

donde, Fb : es la fuerza de flotacion,γf : peso especıfico del fluido,Vd : volumen desplazado del fluido.


Flotabilidad

Un cuerpo en un fluido, ya sea que flote o este sumergido,experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido quedesplaza. La fuerza de Flotacion es:

Fb = γf Vd

donde, Fb : es la fuerza de flotacion,γf : peso especıfico del fluido,Vd : volumen desplazado del fluido.

Esta fuerza de flotacion actua en direccion vertical hacia arriba,aplicada a traves del centroide del volumen desplazado.Si el peso de un objeto es:

mayor que Fb el cuerpo se hunde.menor que Fb el cuerpo flota.igual a Fb el objeto permanece en una posicion dada, setiene flotabilidad neutral.


Ejemplo

Un cubo con aristas que miden 0,5[m] esta hecho de bronce ytiene un peso especıfico de 86,9 kN

m3 . Determine la magnitud ydireccion de la fuerza que se requiere para mantener al cubocompletamente sumergido: (a) en agua y (b) en mercurio. Lagravedad especıfica del mercurio es 13,54.


Ejemplo

Un cubo con aristas que miden 0,5[m] esta hecho de bronce ytiene un peso especıfico de 86,9 kN

m3 . Determine la magnitud ydireccion de la fuerza que se requiere para mantener al cubocompletamente sumergido: (a) en agua y (b) en mercurio. Lagravedad especıfica del mercurio es 13,54.

(a) F = 9650[N] hacia arriba,(b) F = 5710[N] hacia abajo.


Estabilidad de cuerpos sumergidos por completoUn cuerpo en un fluido se considera estable si regresa a suposicion original despues de haberse dado un giro pequenosobre su eje horizontal.

La condicion de estabilidad para los cuerpos sumergidos porcompleto en un fluido es que su centro de gravedad este pordebajo de su centro de flobabilidad.


Estabilidad de cuerpos sumergidos por completo

El centro de flobabilidad (cb) de un cuerpo se encuentra en elcentroide del volumen desplazado de fluido, y es a traves dedicho punto que la fuerza de flotacion actua en direccionvertical.

El peso del cuerpo actua verticalmente hacia abajo a traves delcentro de gravedad (cg).


Estabilidad de cuerpos flotantes

La condicion para la estabilidad de los cuerpos flotantes esdiferente de aquella para los cuerpos sumergidos por completo.Para ello definimos un nuevo termino: el metacentro (mc).



La condicion para la estabilidad de los cuerpos flotantes esdiferente de aquella para los cuerpos sumergidos por completo.Para ello definimos un nuevo termino: el metacentro (mc).

El metacentro (mc) se define como la interseccion del ejevertical de un cuerpo cuando esta en su posicion de equilibrio,con una lınea vertical que pasa a traves de la posicion nuevadel centro de flotacion cuando el cuerpo gira levemente.



Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedadesta por debajo del metacentro.

La distancia al metacentro a partir del centro de flotacion esconocida como: altura metacentrica (MB) y es una medida dela estabilidad del cuerpo, se determina como:

MB =I

Vd,



Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedadesta por debajo del metacentro.

La distancia al metacentro a partir del centro de flotacion esconocida como: altura metacentrica (MB) y es una medida dela estabilidad del cuerpo, se determina como:

MB =I

Vd,

donde, Vd es el volumen desplazado de fluido e I es elmomento de inercia mınimo de una seccion horizontal delcuerpo tomada en la superficie del fluido.

Si la distancia MB situa al metacentro arriba del centro degravedad, el cuerpo es estable.


EjemploLa figura ilustra el casco de una barcaza que cuando estacargada por completo pesa 150 [kN]. El centro de gravedad dela barcaza junto a su carga esta a 0,8[m] desde la parte inferiorde la barcaza. Determine si el bote es estable en agua dulce.


Ejemplo

La fuerza de flotacion es:

Fb = ρVdg

donde, ρ = 1000[kg/m3] es la densidad del agua y el volumendesplazado es Vd = (6 · 2,4 · h)[m3], donde h es la altura delnivel del agua medida desde la parte inferior de la barcaza,medida en metros.

Dado que la barcaza debe estar en equilibrio, podemosdeterminar h ya que,

Fb −W = 0, ⇒ Fb = W ⇒ ρVdg = 150000[N],

luego, h = 1,06[m] dado que esta altura h es menor que laaltura total de la barcaza de 1,4[m], entonces la barcaza flota.


Ejemplo

El centro de flotacion se encuentra en el centroide del volumendesplazado y dado la simetrıa de la figura se encuentra enh/2 = 0.53[m].

La distancia al metacentro se obtiene de

MB =I

Vd,

donde, I es el momento de inercia con respecto al eje x-x, elcual es I = 1

12LB3. En este caso, I = 6.91[m4] y Vd = 15.3[m3],con lo cual

MB = 0.45[m],


Ejemplo

Luego, la barcaza es estable dado que el metacentro (mc) estapor sobre el centro de gravedad (cg).


hidraulica´ ingenier´ıa en acuicultura. · y una componente tangencial tt h n m2 i. omar...

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