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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I

APNDICE

HERRAMIENTAS MATEMTICAS PARA EN ANLISIS

MICROECONMICO.1

En general, los economistas usan, al igual que todos los

profesionales, herramientas de trabajo comunes a su ciencia. Y

normalmente, las ciencias operan usando como herramientas los modelos.

Un modelo es un marco analtico para entender algn fenmeno que lo

simplifica, con el objeto primordial de entender el fenmeno en sus partes

esenciales, de manera de tal de describirlo y poder predecir sobre el mismo.

Muchas veces (quizs Ud. crea demasiadas), los economistas utilizan

los modelos matemticos para explicar los fenmenos econmicos. Esto no

tiene ningn afn de complejizar excesivamente un asunto, sino todo lo

contrario: Especificando un par de ecuaciones de comportamiento, haciendo

los supuestos necesarios sobre las variables, y usando el razonamiento

matemtico y lgico, podemos llegar a conclusiones generales sobre

fenmenos econmicos importantes debidamente tipificados.

Este Apndice de Herramientas matemticas usadas en el anlisis

econmico pretende sintetizar el conjunto de conocimientos matemticos

que el estudiante del curso Microeconoma I debe manejar para trabajar con

los modelos estudiados en el curso. (Modelo de la eleccin del consumidor,

modelo de eleccin de los insumos, la produccin, modelos de equilibrio

parcial, modelos de monopolio, etc).

1El Siguiente apndice es un resumen de muchos de los conceptos explicados (Nicholson, 2002),

captulo 2: las matemticas de la optimizacin. Tambin se usan definiciones y explicaciones deconceptos extrados de (Alpha Chiang, 2006). as como algunas explicaciones e interpretaciones de(Frank Ayres, 1991). En los casos en que las definiciones sean extradas textuales; se citar a los autorescorrespondientes, en caso de no hacerlo, corresponde a una interpretacin de los docentes a cargo deeste trabajo, y cualquier error, u omisin ser atribuible a los mismos y no representa las intenciones deUniversidad de las Amricas.


I. Desde la variable econmica al modelo econmico.

Una variablees algo cuya magnitud puede cambiar, es decir algo que

puede tomar valores diferentes (Alpha Chiang, 2006). Las variables de Uso

comn en este curso sern:

Usualmente, representaremos estas variables con letras, o smbolos; por

ejemplo:

=

=

=

) : = {,, ({.

los precios de los bienes,

las cantidades producidas por empresas,

las cantidades demandadas por

consumidores,

el ingreso obtenido por los consumidores,

el beneficio o ganancias- obtenidas por los

productores, sus costos,

y un gran etc.


Lo que se lee como que La utilidad que estamos analizando es la obtenida

por el i-simo consumidor quin es este consumidor?, uno de todos los

consumidores de este mercado que pueden ser el consumidor 1 ( ),

consumidor 2 (), el consumidor i (), hasta el n-simo (el ltimo)

consumidor ().

Un Modelo econmico, normalmente2es unconjunto de ecuaciones que

representan una explicacin de un fenmeno econmico, ests ecuaciones

estn compuestas por Variables y parmetros. Durante este curso usaremos

muchos modelos matemticos que representaran fenmenos econmicos,

los modelos matemticos pueden ser Uni-ecuacionales (si tienen slo una

ecuacin que describe el modelo), o multi-ecuacionales (si tienen un

conjunto de ecuaciones que describen el modelo). Las ecuaciones a su vez

tienen variables, hablemos un poco ms de ellas.

Existen, a nivel general dos tipos de variables:

Variables Endgenas: que son aquellas variables que el modelo

intenta explicar y /o predecir y

Variables Exgenas, que son variables que usamos para introducir

en el modelo con el objetivo de explicar a las variables endgenas.

Lo anteriormente dicho podemos esquematizarlo a travs del siguiente

diagrama de sistema de entrada y salida:

2Existen modelos econmicos que no usan ecuaciones, sino diagramas, o simplemente palabras. Un

ejemplo de este tipo de modelos es el modelo de flujo circular de macroeconoma (Vase tambin(Mankiw, 2009), captulo 2: pensar como un economista)


Donde observamos que como inputs tomamos un conjunto de variables

exgenas, tales como los precios y los ingresos; y las relacionamos

(generalmente en ecuaciones -procesadores- como la funcin de utilidad,

la funcin de gasto) con variables endgenas como las demandas, y la

utilidad obtenida del consumo, con el objetivo de predecirlos valores de

salida u outputs que ests variables endgenas tomarn.

Aplicacin Econmica: La restriccin presupuestaria.

En los modelos econmicos intervienen muchas ecuaciones; como

por ejemplo en la Teora del consumidor, la siguiente ecuacin, conocida

como restriccin de presupuesto; que nos dice en palabras que lo que una

persona gasta en dos bienes cualesquiera, debe ser igual a lo que esa

persona gana. Por eso es una restriccin, porque estamos restringiendo los

valores de demanda de los bienes(valorando su cantidad en trminos

monetarios, lo que significa multiplicndola por su precio). Por ejemplo:


Y tenemos que cada smbolo utilizado representa:

Entonces la parte a la izquierda del igual en la ecuacin me dice

que de ese lado estaremos explicando el gasto. Es decir la cantidad

demandada de cada bien al precio del mismo (el gasto en el bien).

Entonces, la suma del gasto es todos los bienes (en este caso simplificamos

a slo 2 bienes) debe ser igual al ingreso (que es lo nico que hay en la

parte derecha de la ecuacin). Adems de las variables cantidad de cada

bien, precios e ingreso, en esta ecuacin aparecen dos nmeros que

conocemos como parmetros o constantes.

Diremos que:

Un parmetro o constante, es una magnitud que no cambia, y por

lo tanto es lo contrario la anttesis- de una variable. Adems,

normalmente los parmetros le dan un cierto comportamiento o

forma a cada una de las funciones con las que trabajaremos.

En el ejemplo anterior, de la restriccin presupuestaria, los

parmetros son 2, y 8, e indican que el precio de ser siempre

4 veces el precio de .


II. Repaso sobre Funciones

Qu es una funcin?

Una funcin es la herramienta matemtica que se usa para entablar una

relacin entre dos o quizs ms- variables. Como hemos dicho, las

variables se denotan con letras y subndices, y generalmente una funcin se

denota con:

Lo cual nos dice que la letra Y es funcin de la letra X. Y se lee como que Y

es funcin de X. Es decir, las funciones se denotan diciendo que una

variable es funcin de otra a travs de un smbolo = sumado a una letra

(generalmente la letra ) que indica la forma funcional que relaciona o

mapea a estas variables. En la terminologa de funciones se indica que el

conjunto de valores que puede tomar la variable se llama dominio de la

funcin. Mientras que la cantidad de valores que puede tomar la variable

se llama recorrido de la funcin. Por otro lado cada relacin especfica entre

un (pre-imagen) y su respectivo (imagen) es un punto, o par ordenado

que pertenece a la funcin, o al conjunto de valores definidos por la funcin.

Ejemplo: Si sabemos que la nota que se saca una persona es una variable

continua (es decir que toma infinitos valores entre 1 y 7 recorrido-), y que

est relacionada con las horas de estudio que esta persona dedica, que

tambin es una variable continua (toma infinitos valores entre 0 horas y 84

horas como mximo dominio-) Lo podemos hacer mediante una funcin,

que nos diga que la Nota del i-simo alumno, es funcin de las horas

de estudio de ese i-simo alumno, matemtica o formalmente:

= ()

= ()


Recordemos que la letra nos dice que hay una relacin entre las

variables, pero no especifica cul relacin, sino que lo deja abierto a miles

de posibilidades, es decir a todas las posibilidades. La forma que toma cada

una de stas relaciones, ser siempre un tipo distinto de funcin

matemtica. Normalmente, se usan distintas relaciones funcionales, muchas

veces entre las mismas variables, con el objetivo de representar que esas

variables se estn relacionando de una forma en particular y precisa. Esto

nos llevar a estudiar las distintas funciones matemticas conocidas, y

observar que aplicaciones tienen en la economa.

III. Tipos de Funciones

Funcin Constante.

La funcin cuya imagen es siempre es siempre el mismo elemento

o tiene el mismo valor numrico, se conoce como funcin constante; y por

ejemplo tenemos la funcin

() = 7

Que se puede expresar de forma alternativa como , o .

Aplicacin Econmica: Costos Marginales Constantes.

Una aplicacin econmica que usaremos a menudo de las funciones

constantes son las funciones de costos marginales constantes. Recuerde

de su curso de introduccin a la Economa, que el costo marginal para

determinada empresa es el incremento en los costos totales, derivados

de un aumento marginal o unitario- en la cantidad producida, o


Si consideramos una gran empresa de comida rpida, que vende

sus productos (hamburguesas, papas fritas y bebidas) a lo largo del

mundo entero, y en cantidades gigantescas, tranquilamente podemos

suponer que dada su organizacin y tecnologa; producir una

hamburguesa en el mercado interior de Santiago le supone un costo

constante de 1, 6 dlares. O sea un dlar y 60 centavos.

Si quisiramos representar esto matemticamente cmo lo

haramos?

La respuesta es usando una funcin que muestre que el costo

marginal de producir una hamburguesa en Santiago es 1.6 us$.

Para esto, usamos la notacin anterior del costo marginal, pero ya que

sabemos que son hamburguesas, reemplazamos la notacin , e

igualamos esta expresin del costo marginal al valor constante 1.6 us$

= 1= 1.6

Grficamente, las funciones constantes como sta, producen una

recta horizontal

Funcin Lineal, o Ecuacin de la Recta.

Normalmente, usamos la ecuacin de la recta cuando queremos

una funcin que describa que la relacin de cambio entre las variables es


siempre la misma. Dicho de otra forma cada vez que la variable

independiente aumente en una determinada cantidad, podemos predecir

sin ningn problema, el valor que tendr .

Donde

Se conoce con este nombre, ya que como muestra la figura anterior (en

varias ocasiones) la grfica que esta relacin indica es una lnea recta.

La siguiente

ecuacin

Se conoce como

Ecuacin de la

Recta


El primer componente es el Intercepto o coeficiente de posicin que nos

muestra grficamente dnde la recta intercepta al eje de las abscisas, su

interpretacin prctica, usada en economa a menudo, es que nos dice

cunto vale la variable dependiente, si la variable independiente es cero.

Para explicar su otro nombre (coeficiente de posicin)vase en la figura

siguiente, para un intercepto , la recta tendr unaposicin en el plano,

pero si el intercepto llegase a ser , la posicin de la misma recta (o

sea con la misma pendiente, lo que las hara paralelas) en el plano sera

ms alta. Por lo tanto este trmino constante le da su posicin en el plano a

cualquier recta. Grficamente

La pendiente: Un asunto ms tcnico, pero de suma importancia.

La inclinacin de una rectase mide por un nmero llamado

pendiente de la recta, representado en la funcin de ecuacin de la recta

anteriormente mostrada por la letra .En la figura anterior, las dos rectas

tenan la misma pendiente, por eso son paralelas. Veamos cmo se calcula

la pendiente.

Sea una recta y ()) dos puntos

cualesquiera en ella. La pendiente de la recta y que se

define como

es un cociente entre el cambio que sufre la variable

dependiente, dividido en el cambio que sufre la variable independiente.

Este cociente, la pendiente, tambin se conoce como razn media de

cambio, y que se puede representar anlogamente como .

Veamos lo anteriormente dicho en la grfica del primer cuadrante


Recta

En este caso es positivo puesto que cuando aument

tambin lo hizo y un nmero positivo dividido en otro positivo darn sin

lugar a dudas un nmero positivo. En estos casos, al ser la pendiente

positiva, decimos que existe una relacin directa entre las variables, o

sea a medida que va aumentando en los nmero reales (nos movemos

hacia el este.), tambin lo hace (nos movemos hacia el norte).

Entonces de forma general el valor de , la pendiente, nos dice cunto

aumenta (caso m>0), o disminuye (caso ) la variable dependiente

cuando la variable aumenta en una unidad.


Aplicacin Econmica de contenidos: Rectas dedemanda y oferta.

En este modelo intentamos representar dos fuerzas que mueven a

la economa. La primera es la fuerza que mueve a las personas a comprar

determinados productos sobre los que tienen preferencias (Demanda) y la

otra es la fuerza que mueve a los productores de cada uno de esos

determinados productos a venderlos en un determinado mercado al precio

aceptado y conocido por todos (Oferta).

De esta forma, estas fuerzas pueden ser cuantificadas como las

unidades de productos comprados/vendidos por cada integrante del

mercado. Esto sera la demanda individual; pero podramos sumar las

cantidades compradas por todos los consumidores de este mercado a cada

uno de los distintos precios posibles existentes, y considerar esto como la

demanda del mercado. Por otro lado, se pueden sumar las distintas

cantidades vendidas por cada productor individual a cada uno de los precios

antes mencionados y considerar esto como la oferta del mercado.

Tenemos la siguiente tabla, que resume la informacin respecto de

la oferta y demanda en un mercado de helados de agua:

PRECIO DEMANDA OFERTA0 20 05 16 010 12 415 8 820 4 1025 2 1230 0 14

Lo que haremos ser usar una funcin, para representar como

depende la cantidad demandada/ofertada del precio al que se vende

Usaremos los conocimientos aprendidos hasta ahora sobre las

funciones, los parmetros, las variables y las rectas, para estudiar un

modelo analtico que seguramente Ud. ya debe haber conocido, que es

el modelo de Oferta y Demanda.


esa cantidad demandada/ofertada. Estas funciones se conocen como

Funciones de oferta y demanda.

Formalmente:

Funcin de demanda: ()

Funcin de oferta inversa: ()

Suponemos que existe una relacin Lineal entre las cantidades

(demandadas y ofertadas)y el precio. Pero invertimos la relacin para poder

expresar las cantidades en el eje de las abscisas, y el precio en el eje de las

ordenadas. De esta forma, aplicando a la forma funcional la frmula

general de la ecuacin de la recta:

; Donde

= +

( )

) )

El problema: Queremos encontrar la forma de representar

las funciones de oferta y demanda en el primer cuadrante

del plano cartesiano (slo puede haber precios y cantidades

positivas). Por lo cual, debemos construir dos funciones

lineales (rectas) que nos digan que la cantidad

demandada/ofertada de un bien, depende

(linealmente) del precio del bien en cuestin.


Usamos el hecho de que conociendo dos puntos cualquiera de la recta

podemos conocer su pendiente; y que una vez conocida esta, mediante

lgebra podemos obtener el valor del intercepto.

La frmula para la pendiente es:

=

;

Tanto para la cantidad ofrecida, como para la demandada, por eso los supra

ndices "d"y subndices "o" .

Y encontramos n reemplazando o evaluando cualquier punto de los

conocidos sobre la funcin lineal, con pendiente conocida.

Eligiendo para la demanda dos pares ordenados

(10; 12), (25; 2)

Y para la oferta

(10; 4), (25; 12)

Obtenemos las pendientes, para la demanda:

=

=

Y para la oferta:

=

=

Ahora que conocemos la pendiente, y el intercepto para cada curva, las

expresamos como lo hemos hecho usualmente, pero debemos invertirlas

porque necesitamos saber cmo depende la cantidad demandada del

precio, ese era el problema inicial:


Una vez encontradas las funciones de oferta y demanda podemos

igualarlas, para as encontrar lo que en la teora econmica se conoce como

el equilibrio parcial del mercado, y que consiste en un par

ordenado que satisfaga la condicin de equilibrio, o vaciado del

mercado. Pero eso es objeto del curso de la lnea de economa anterior a

ste.3

Funcin Cuadrtica.

Anteriormente, hemos usado los conocimientos aprendidos sobre la

ecuacin de la recta para mostrar una aplicacin concreta al campo de la

Economa a travs de las funciones de oferta y demanda; no obstante, las

relaciones lineales rara vez se dan en la realidad, y a pesar de que

normalmente usaremos funciones lineales, en algunos casosestrictamente

necesarios tendremos que utilizar otras formas funcionales adecuadas para

cada problema, una de stas ser la funcin cuadrtica. Sobre la que nos

detendremos un poco.

3Si quiere ver una referencia ms detallada y explicativa sobre este tema, vase (Mankiw, 2009),

captulo 4: El funcionamiento de los mercados: las fuerzas de la oferta y la demanda.

= ,

=

=

.+

.


Las funciones cuadrticas, al igual que la funcin lineal

anteriormente estudiada, son casos particulares de otra funcin general,

que es la funcin polinomial, incluso la funcin constante tambin lo es.

La funcin polinomial general de una variable , es la funcin que

relaciona la variable con la variable de la siguiente manera

Donde si nos fijamos, el primer ndice de cada constante coincide con el

exponente de la variable y esto no es coincidencia, puesto que el objetivo

es diferenciar cada parmetro, mediante la identificacin de la potencia de

a la que acompaa. Ntese que el primer parmetro es el que acompaa

a la variable con exponente0, pero recuerde que:

Para todo , siempre se cumple que = 1,y adems: X

Para cada funcin polinomial, decimos que el exponente ms

grande que la funcin tiene nos determina el grado de la funcin. Para la

funcin polinomial general anteriormente descrita, el grado de sta es .

Para la funcin , el grado es 1. Si observamos bien, esta es la

funcin lineal, debido a que cualquier nmero elevado a 1 es el propio

nmero, sera el intercepto, sera la pendiente.

La funcin cuadrtica es aquella donde el mayor exponente al

que est elevada la variable independiente es 2, es decir

Al igualar esta funcin a cero, obtenemos la ecuacin cuadrtica, que es

aquella ecuacin que nos servir para obtener los ceros o races soluciones

de la ecuacin.

= 0

Es necesario, antes de proseguir, hacer un pequeo cambio de

notacin, llamaremos a cada parmetro, con una letra distinta, para

incluirlos en una frmula, recordemos que esto no cambia en nada ni la

ecuacin, ni el problema que estamos intentando resolver solamente es un

cambio de etiqueta en la ecuacin, pura cosmtica.

Entonces, en la frmula

= 0 , ordenaremos los

elementos desde el que tenga mayor potencia, al que tenga menor, de la


siguiente forma

ax + ax

+ a = 0

Y luego cambiamos las etiquetas de las constantes por las letras

del abecedario en el orden de la mayor, a la menor potencia, por tanto la

ecuacin cuadrtica queda representada por

La ventaja de la expresin , es que al igualarla a cero,

existe el mtodo algebraico conocido como la frmula cuadrtica que nos

da las soluciones o races del problema

:

Dnde la parte + del signo produce , y el del signo produce

.

Ntese que:

Si

Es decir, si el discriminante es cero, los dos valores soluciones sern

los mismos.

Si

.

Es decir, si el discriminante es negativo, los valores solucin no

existirn en los reales.

Si

.

Es decir, si el discriminante es positivo, los dos valores soluciones

diferirn. Y este es el caso que normalmente nos interesar en economa.

/


Aplicacin Econmica: Equilibrio de mercado parcial: unmodelo no lineal4.

Supngase que la demanda clsica de forma lineal en el modelo de

equilibrio del mercado parcial (anteriormente analizado como modelo de

oferta-demanda), por una funcin de demanda cuadrtica, mientras que

seguimos considerando una funcin de oferta lineal. Tambin, utilcense

coeficientes numricos en vez de parmetros. Entonces tenemos un

modelo representado por las siguientes ecuaciones:

Como se mencion anteriormente, este sistema de ecuaciones se

puede resolver para encontrar el Equilibrio Parcial del Mercado.

`Para esto utilizamos las ecuaciones antes mostradas, y resolvemos el

sistema.

Cmo procedemos?

La primera ecuacin nos dice que demanda y oferta deben

ser iguales.

La segunda y tercera ecuacin ; . Describen

la relacin entre demanda y precio, y la oferta y el precio,

respectivamente

Por lo tanto podemos igualar la segunda y tercera

ecuaciones, lo que significa que estamos haciendo uso de la

primera.

=

Y es una ecuacin cuadrtica, por lo que podemos usar la

frmula cuadrtica para resolver para .

Podemos ver que: . Por lo tanto usando la frmula

cuadrtica:

4Este ejemplo ha sido extrado en su totalidad de el pargrafo 3.3 del captulo 3 de (Alpha Chiang, 2006)


=

=

= 1, 5 , pero ya que no existen precios

negativos, el valor admitido es es el precio de equilibrio. Lo que nos

indica a su vez que la cantidad de equilibrio = 3.

IV. Concepto de derivada y su aplicacin econmica.

Incremento

El incremento de una variable es el cambio en cuando crece

o decrece desde un valor hasta otro valor en su dominio (todos

los posibles valores que puede llegar a toma la variable . De ah que

, y podemos escribir .

Por otro lado, si la variable es funcin de la varaible ) ).

Cuando la variable experimenta un incremento a partir de (esto

significa que cambia desde a ), este cambio, conllevar que

la funcin tambin cambie, en el siguiente incremento ) ) )

a partir de ).

Estamos entonces en condiciones de definir el cociente razn

media de cambio, que anteriormente habamos conocido como la pendiente

de una funcin

=

; no obstante, la razn media de cambio,

nos entrega la variacin de frente a las varaiciones de en trminos

unitarios. Y si por ejemplo,

;y me interesara saber, no

solamente cunto cambia el consumo de las familias chilenas por ao, sino

tambin por mes, o por minutos, etc. A veces, los economistas, necesitan

analizar incluso hasta el ltimo peso gastado, o incrementado.

La escuela marginalista de la economa, es una escuela que ha

incorporado en el campo analtico de la economa moderna el concepto de

pensar en trminos marginales, debido al supuesto de que las personas

racionales, piensan y toman sus decisiones en trminos marginales.5 Por lo

tanto, muchas veces, se hace necesario, introducir en el anlisis

herramientas que reflejen esta minuciosidad a la hora de trabajar con los

5(Mankiw, 2009) Captulo 1.


datos econmicos. Este espacio terico lo viene a llenar el concepto de

derivada. Esto debido a que; si manipulamos esta razn de cambio

,Pero

la consideramos no cuando los cambios de la variable son unitarios, sino

cuando son muy pequeos, lo ms pequeos que pudisemos llegar a

imaginar. De esta manera la frmula para la derivada en un punto .

lim

=

())

; Que quiere decir que analizamos el cociente

de la razn media de cambio de respecto de , pero cuando este ltimo

vara en una variacin tan pequea, que sta tiende a cero(la variacin ms

pequea que podramos imaginar). Llamamos a esta variacin

infinitesimal (infinitamente decimal, infinitamente pequea).

Este es el objetivo, analizar una razn instantnea de cambio.Y

esto lo haremos a travs de la funcin derivada.

Esta funcin (que en breve mostraremos cmo se obtiene), lo que

hace es aproximar una recta tangente que une las dos coordenadas que

estamos intentando analizar, coordenadas que nos hablan de una razn de

cambio6. Dicho de otra forma, la derivada nos entrega la pendiente que

tiene la recta tangente al punto que estamos analizando, y por tanto

la pendiente de nuestra funcin en algn punto en particular,

especficamente, en el punto que evaluemos la funcin, por ejemplo

.

Geomtricamente.

6Ntese que sta razn de cambio es instantnea, es decir, los dos puntos que analizamos son tan

prximos, que no podramos distinguirlos al ojo humano, ni dibujarlos en Word; pero el dibujo quemostraremos a continuacin, debe interpretarse como una imagen tomada con un telescopio.


A pesar de que las reglas y procedimientos para obtener una

funcin derivada de otra funcin, son bastante complejos, y podran dar

para todo un curso de clculo diferencial e integral, en este caso haremos

un breve y simple descripcin de las principales reglas de derivacin que

usaremos en este curso. Siempre hay que tener una sola cosa clara en

nuestros ejercicios: cuando sacamos una derivada, estamos analizando

cmo cambia la funcin, o el valor que toma la imagen , cuando la

preimagen cambia en una variacin muy pequea, es decir estamos

obteniendo la pendiente de la funcin en ese punto.

Reglas de derivacin.

A continuacin, presentaremos las frmulas ms usadas para la

derivacin en Microeconoma, con una breve explicacin, para luego hacer

un par de ejemplos, puramente matemticos. Y luego, como es costumbre,

pasar a la aplicacin econmica.

El proceso mediante el cul calculamos la derivada de una funcin

se llama derivacin. Las que se mencionan a continuacin son las frmulas

elementales. Para poder enunciarlas, debemos hacer las siguientes

suposiciones: () () , es decir Son funciones


diferenciables7 de y , son constantes, o parmetros que pueden llegar

a intervenir en stas funciones.

Las Reglas:

Esta primera regla nos dice que si estamos derivando cualquier

funcin de , como , y en algunas de ella aparece una constante ,

la derivada de esta constante ser 0. Esto se aplica al ejemplo de la funcin

constante que vimos anteriormente:

Ejemplo

Si

= 0

La regla n 2 nos dice que si estamos derivando una funcin

con respecto a la variable ; la derivada de la variable elevada a la

potencia 1, ser siempre el nmero 1.

Ejemplo

(0) + (1) + (0)

En este caso, mezclamos la regla 1 y la regla2. Por la regla 1, la

derivada de 9 es 0, y puesto que = 1, su derivada tambin es 0.. Por otro

7Una funcin es diferenciable cuando podemos calcular su derivada. Este supuesto es casi obvio, pero

existen ciertas funciones que no lo cumple, y estamos diciendo que no son, ni representanninguna de esas funciones.

1.

( ) = 0.

2.

() = 1.


lado, la derivada con respecto a la propia . Al sumarlas, tenemos que

finalmente

.

Esta regla nos dice que la derivada de una suma de funciones de la

variable , es la suma de las derivadas individuales de cada funcin.

En el ejemplo anterior se uso esta regla. Como se ve, muchas

veces las reglas de derivadas no son excluyentes, sino que se aplican a la

par con otras reglas.

Esta regla, conocida como la derivada de una constante, nos dice

que si una funcin de se est multiplicando por alguna constante , esta

constante se mantiene inalterada en la derivada.

Ejemplo

= 0 + 2

= 2.

La quinta regla, conocida como regla del producto. Nos dice que si

tenemos, dos funciones cualesquiera de . La derivada del producto de

stas funciones ser la suma entre la primera funcin no derivada

multiplicado por la derivada de la otra funcin

ms la derivada de la

otra funcin

por la segunda funcin sin derivar .

3.

+) + ) =

() +

() +

( ).

4.

( ( =

.()

5.

() =

() +

.()


Esta regla es slo una extensin de la anterior.

Esta regla nos dice que si cualquiera de nuestras funciones ,)

est multiplicada por la constante

, la derivada de esta expresin ser

la constante por la derivada de la funcin.

Esta regla, conocida como regla del cociente, tiene una

construccin bastante parecida a la regla del producto, excepto que

como es una divisin, los trminos se restan y se dividen por

denominador al cuadrado.

Esta regla conocida como regla del exponente, nos dice que si

queremos la derivada de la variable elevada a cualquier exponente ,

debemos multiplicar la variable por este exponente m, y restarle uno al

nuevo exponente de la variable.

Ejemplo

Vemos que aqu, primero utilizamos la regla de la constante, y el 2

se mantiene en la derivada, luego el exponente de en la funcin (4)

baja multiplicando ( ), y la variable queda elevada al exponente

menos uno (4 1 = 3).

6.

() =

() +

() +

.()

7.

=

,() 0.

8.

=

()

()

, 0.

9.

) ) = .


La ltima regla aqu descrita es una extensin de la regla del

exponente antes mostrada, y nos dice que si ahora tenemos una

funcin,, de la variable , que tambin est elevada a un exponente .

En este caso, el exponente tambin baja a multiplicar a la funcin tal

cual, quedando la funcin elevada a una potencia menor. Finalmente

debemos multiplicar esto por la derivada de la funcin .

Ejemplo

= 4( ( .

Aplicacin econmica: Utilidad marginal yProductividad marginal.

I. Si tenemos la siguiente funcin de utilidad , que nos representa las

preferencias de un individuo sobre dos bienes, :

Y suponemos adems, que el consumo del bien es constante e igual a 4.

Obtenga la derivada de

e interprtela.

Solucin

En primer lugar, reemplazamos el consumo de la variable , que se

ha mantenido constante en 4. Y la funcin se transforma en

10.

) ) =

.()


Observamos que para calcular la derivada, deberemos aplicar tanto la regla

2 como la regla 9:

=

4 +

II. Suponga que la curva de demanda inversa de un monopolio es

. Adems, por el curso de introduccin a la economa

sabemos que los Ingresos totales para cualquier empresa

representativa (incluso un monopolio) ser .

Obtenga la funcin de ingreso marginal de este monopolio.

Recordemos que si los ingresos totales estn definidos como

, y segn la curva de demanda inversa del mercado tenemos la

siguiente expresin para , entonces los ingresos totales sern

re/definidos como :

( )

Y por nuestro curso de introduccin a la economa, sabemos que

los ingresos marginales son cunto aumentan (o varan) los ingresos totales

cuando la cantidad vendida del bien , aumenta en una unidad. Podemos

aproximar este cambio mediante la derivada

, pero debemos aplicar

la regla del producto, puesto que tenemos dos funciones de , el precio, y

la constante

= ( )(1) + ()(2)

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