herramientas digitales de auto-aprendizaje para...
TRANSCRIPT
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de innovacion didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Bloque: Geometrıa
Tema: Geometrıa en el espacio
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Indice
Planos
Ecuaciones
Rectas
Ecuaciones
Paralelismo y angulos
Distancias y areas
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Puntos y vectores en el espacio
En el espacio R3, conviene distinguir entre punto y vector :
Puntos y vectores
Si consideramos R3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..
Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna denumeros reales, que se llaman sus coordenadas.
Notacion
Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).Analogamente, la notacion v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1, 0).
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P
por un vector v:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:
(1, 2, 10) .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P
por un vector v:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:
(1, 2, 10) .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Geometria de rectas y planos enel espacio
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Planos en el espacio
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Planos en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:
X = P + λe+ µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:
P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Planos en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:
X = P + λe+ µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:
P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Dado que ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), el plano definido por estostres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .
La direccion de este plano P +Q+R es el espacio vectorial
〈 ~PQ, ~PR〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones parametricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2
z = p3 + λ e3 + µ v3
λ, µ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:
x = 1− λ− µy = λ
z = µ
.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones parametricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2
z = p3 + λ e3 + µ v3
λ, µ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:
x = 1− λ− µy = λ
z = µ
.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion general
Todo plano admite una ecuacion del tipo:
ax+ by + cz = d
para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:
〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣ b c−a 0
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ a cb 0
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a bb −a
∣∣∣∣)〉 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion general
Todo plano admite una ecuacion del tipo:
ax+ by + cz = d
para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:
〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣ b c−a 0
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ a cb 0
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a bb −a
∣∣∣∣)〉 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion del plano P +Q+Res el espacio vectorial
〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
Para calcular la direccion ortogonal, puede establecerse un sistema deecuaciones, o bien (por estar en dimension 3), utilizar el producto vectorial:
~PQ× ~PR =
∣∣∣∣∣∣x y z−1 1 0−1 0 1
∣∣∣∣∣∣ = x+ y + z
de modo que la direccion ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuaciongeneral es de la forma x+ y + z = d.Como el punto P (1, 0, 0) esta en el plano, su ecuacion general ha de ser
x+ y + z = 1 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .
Observacion
Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .
Observacion
Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
La ecuacion del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) yR(0, 0, 2) tiene como ecuacion:
0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 12 0 0 10 2 0 10 0 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣x y z2 0 00 2 0
∣∣∣∣∣∣− 2
∣∣∣∣∣∣x y 12 0 10 2 1
∣∣∣∣∣∣= 4z − 2(4− 2x− 2y) = 4(x+ y + z − 2) .
Es decir, la ecuacion de tal plano es:
x+ y + z = 2 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Rectas en el espacio
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Rectas en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Rectas en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones parametricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
z = p3 + λ v3
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:x = 1 + λ
y = λ
z = λ
.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones parametricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
z = p3 + λ v3
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:x = 1 + λ
y = λ
z = λ
.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:
x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
=z − p3q3 − p3
.
Ejemplo
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x− 1
2− 1=
y
1− 0=
z
1− 0,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
r ≡
{x − 2y = 1
y − z = 0.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:
x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
=z − p3q3 − p3
.
Ejemplo
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x− 1
2− 1=
y
1− 0=
z
1− 0,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
r ≡
{x − 2y = 1
y − z = 0.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion general
Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡
{ax + by + cz = d
a′x+ b′y + c′z = d′
siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion general
Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡
{ax + by + cz = d
a′x+ b′y + c′z = d′
siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelismo y angulos
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelismo de rectas y planos
Definicion
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.
Condicion de paralelismo
Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelismo de rectas y planos
Definicion
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.
Condicion de paralelismo
Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelismo de rectas y planos
Ejemplo
Los planos paralelos al plano 2x− y + z = 1 son los que vienen dados porecuaciones del tipo:
2x− y + z = d
siendo d ∈ R una constante cualquiera.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Angulos entre rectas y planos
Definicion
Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.
Definicion
Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Angulos entre rectas y planos
Definicion
Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.
Definicion
Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Angulos
Ejemplo
El angulo que forman los planos π ≡ x+ y + z = 1 y el planoπ′ ≡ 2x− y − z = −3 es el angulo que forman sus vectores normales,(1, 1, 1) y (2,−1,−1).Es decir,
∠(π, π′) =π
2.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Distancias y areas
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Distancia de un punto a plano
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:
dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√
a2 + b2 + c2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:
dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√
22 + 22 + 22=
16
2√3=
8√3.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Distancia de un punto a plano
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:
dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√
a2 + b2 + c2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:
dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√
22 + 22 + 22=
16
2√3=
8√3.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Distancia de un punto a una recta
Calculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖
donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =
‖(1, 1, 1)‖√2
=
√3
2.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Distancia de un punto a una recta
Calculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖
donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =
‖(1, 1, 1)‖√2
=
√3
2.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelogramos
Definicion
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Area de un paralelogramo
El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:
Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Paralelogramos
Definicion
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Area de un paralelogramo
El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:
Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Area de un paralelogramos
Ejemplo
Sea el paralelogramo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).
Los lados vienen determinados por los vectores ~PQ = (1, 1, 0) y~PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0,−3), de modo que el area
que encierra el paralelogramo es:
Area del paralelogramo = ‖(0, 0,−3)‖ = 3 .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Triangulos
Definicion
Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:
Area de un triangulo
El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR
Area del triangulo =1
2‖ ~PQ× ~PR‖ .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Triangulos
Definicion
Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:
Area de un triangulo
El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR
Area del triangulo =1
2‖ ~PQ× ~PR‖ .
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Area de un triangulo
Ejemplo
Sea el triangulo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).
El producto vectorial de los lados ~PQ = (1, 1, 0) y ~PR = (3, 0, 0) es(0, 0,−3), de modo que el area que encierra el triangulo es:
Area del triangulo =1
2‖(0, 0,−3)‖ = 3
2.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
La esfera
Definicion
Dados un punto C y un numero positivo r, la esfera de centro C y radio r esel lugar geometrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C esigual a r.Si C(c1, c2, c3), la condicion anterior se expresa en coordenadas:
(x− c1)2 + (y − c2)2 + (z − c3)2 = r2 .