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Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Integral deRiemann.
Tecnicas deintegracion
HEDIMA
Introduccion
Primitiva deuna funcion
Integralesinmediatas
Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
Bloque:Analisis
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Tema:Integral deRiemann.
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Primitiva deuna funcion
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Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
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Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Bloque: Analisis Matematico
Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion
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I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Indice
Introduccion
Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Integrales inmediatas
Metodos de integracion
Metodo de integracion por partes
Integracion de funciones racionales
Integracion de funciones trigonometricas
Integracion de funciones irracionales
Bibliografıa
Bloque:Analisis
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Tema:Integral deRiemann.
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Introduccion
Primitiva deuna funcion
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Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
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Funcionesirracionales
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II. Por partes
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.
Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.
Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.
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Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Definicion
Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.
Ejemplo
Si f(x) = 2x, entonces
F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).
Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).
Se deduce facilmente que
Observacion
Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Definicion
Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y
se denota por
∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es
una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.
Propiedades (de la integral indefinida)
Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que
1 Si k ∈ R, entonces
∫k f(x)dx = k
∫f(x)dx.
2
∫(f(x)± g(x)) dx =
∫f(x)dx±
∫g(x)dx.
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Funcionesirracionales
Integrales inmediatas
Definicion
Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.
En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.
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Algunas integrales inmediatas
∫k dx = kx ∀k ∈ R
(n 6= −1)∫xn dx = xn+1
n+1
∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1
n+1∫1xdx = ln |x|
∫ f ′(x)f(x)
dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex
∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫
ax dx = ax
ln a
∫af(x)f ′(x) dx = af(x)
ln a∫sen(x) dx = − cos(x)
∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫
cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫
1sen2(x)
dx = − cotg(x)∫ f ′(x)
sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))∫
1cos2(x)
dx = tg(x)∫ f ′(x)
cos2(f(x))dx = tg(f(x))∫
11+x2
dx = arctg(x)∫ f ′(x)
1+(f(x))2dx = arctg f(x)∫
1√1−x2
dx = arcsen(x)∫ f ′(x)√
1−(f(x))2dx = arcsen f(x)
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Funcionesirracionales
Metodos de integracion
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Funcionesirracionales
Integracion por sustitucion ocambio de variable
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Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable
Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que
sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.
Teorema
Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).
Podremos calcular
∫f(x)dx ası:∫
f(x)dx =
∫f(φ(t))φ′(t)dt
Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la
igualdad anterior.
Ejemplo
∫cos(2x)dx =
{t = 2x;x = t/2
dt = 2dx
}=
∫cos(t)
dt
2=
1
2sen(t)+C =
1
2sen(2x)+C
∫ecosxsen(x) dx =
{t = cosxdt = −sen(x) dx
}= −
∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C
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Integracion por partes
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Metodos de integracion: integracion por partes
Integracion por partes
Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que
(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)
se deduce que
u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)
y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x)dx
Ejemplo
∫xn lnx dx =
{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1
xdx
dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1
n+1
}=
=xn+1
n+ 1lnx−
∫xn
n+ 1dx =
xn+1
n+ 1
(lnx−
1
n+ 1
)+ C.
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Metodos de integracion: integracion por partes
Ejemplo
∫arctg(x)dx =
{u = arctg(x)⇒ du = dx
1+x2
dv = dx⇒ v = x
}=
= x arctg(x)−∫
x
1 + x2dx = x arctg(x)−
1
2ln |x2 + 1|+ C.
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Integracion de funciones racionales
Integracion de funciones racionales
Son integrales de la forma∫f(x)dx =
∫p(x)
q(x)dx,
donde p(x) y q(x) son polinomios.
Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.
En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:
f(x) =p(x)
q(x)= c(x) +
r(x)
q(x),
donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.
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Ejemplo
Calculemos∫
x2
x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,
por tanto:∫x2
x− 1dx =
∫ [(x+ 1) +
1
x− 1
]dx =∫
(x+ 1) dx+
∫1
x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)
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Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:
q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)
Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:
p(x)
q(x)=
A1
a0(x− x1)+
A2
x− x2+ . . .+
Anx− xn
, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.
A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)
q(x)dx =
∫A1
a0(x− x1)dx+
∫A2
x− x2dx+ . . .+
∫An
x− xndx =
=A1
a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.
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Ejemplo
Calcula∫
2x−3x2−3x+2
dx
Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que
2x− 3
x2 − 3x+ 2=
A1
x− 1+
A2
x− 2⇒ 2x− 3
x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)
(x− 2)(x− 1))
2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{
2 = A1 +A2
−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1
Por tanto
∫2x− 3
x2 − 3x+ 2dx =
∫1
x− 1dx +
∫1
x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C
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Ejemplo
Calcula∫
2x−3x2−3x+2
dx
Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que
2x− 3
x2 − 3x+ 2=
A1
x− 1+
A2
x− 2⇒ 2x− 3
x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)
(x− 2)(x− 1))
2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{
2 = A1 +A2
−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1
Por tanto
∫2x− 3
x2 − 3x+ 2dx =
∫1
x− 1dx +
∫1
x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo∫2x− 3
2x3 − x2 − xdx =
{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)
}=
=
∫ (A
x+
B
x− 1+
C
2x+ 1
)=
= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8
3ln |2x+ 1|+ C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−32x3−x2−x = A
x+ Bx−1
+ C2x+1
=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)=
=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
2x3−x2−x ,
para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A
⇒
A = 3B = −1
3C = −16
3
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Ejemplo∫2x− 3
2x3 − x2 − xdx =
{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)
}=
=
∫ (A
x+
B
x− 1+
C
2x+ 1
)=
= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8
3ln |2x+ 1|+ C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−32x3−x2−x = A
x+ Bx−1
+ C2x+1
=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)=
=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
2x3−x2−x ,
para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A
⇒
A = 3B = −1
3C = −16
3
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Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:
q(x) = a0(x− x0)k
Descomposicion en fracciones simples:
p(x)
q(x)=
A1
a0(x− x0)+
A2
(x− x0)2+
A3
(x− x0)3+ . . .+
Ak(x− x0)k
.
Integracion de los sumandos obtenidos:∫p(x)
q(x)dx =∫
A1
a0(x− x0)dx+
∫A2
(x− x0)2dx+
∫A3
(x− x0)3dx+ . . .+
∫Ak
(x− x0)kdx
=A1
a0ln |x−x0|+A2
(x− x0)−1
−1 +A3(x− x0)−2
−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1
−k + 1+C.
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Ejemplo
Calcula∫
3x+5x3−x2−x+1
dx
Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:
3x+5x3−x2−x+1
= A1x+1
+ A2(x−1)
+ A3(x−1)2
⇒
3x+5x3−x2−x+1
=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)
(x+1)(x−1)2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:
3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)
de donde0 = A1 +A2
3 = −2A1 +A3
5 = A1 −A2 +A3
⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4
Por tanto∫3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1dx =
∫1/2
x+ 1dx +
∫ −1/2(x− 1)
dx +
∫3
(x− 1)2dx =
1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| −4
(x− 1)
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo
Calcula∫
3x+5x3−x2−x+1
dx
Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:
3x+5x3−x2−x+1
= A1x+1
+ A2(x−1)
+ A3(x−1)2
⇒
3x+5x3−x2−x+1
=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)
(x+1)(x−1)2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:
3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)
de donde0 = A1 +A2
3 = −2A1 +A3
5 = A1 −A2 +A3
⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4
Por tanto∫3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1dx =
∫1/2
x+ 1dx +
∫ −1/2(x− 1)
dx +
∫3
(x− 1)2dx =
1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| −4
(x− 1)
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Ejemplo
∫2x− 3
x3 − 3x2 + 3x− 1dx =
{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3
}=
=
∫ (A
x− 1+
B
(x− 1)2+
C
(x− 1)3
)dx =
=
∫ (0
x− 1+
2
(x− 1)2+
−1(x− 1)3
)dx = −2
1
(x− 1)+
1/2
(x− 1)2+ C
donde :
2x−3x3−3x2+3x−1
= Ax−1
+ B(x−1)2
+ C(x−1)3
=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)
(x−1)3
lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.
Observacion
Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.
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Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.
q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]
con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:
∫p(x)
q(x)dx =
∫ (A1
1
x− x1+ · · ·+ Aα1
1
(x− x1)α1+ . . .
· · ·+A1p
x− xp+ · · ·+ A
αpp
(x− xp)αp+
+M1x+N1
[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk
[(x− bk)2 + c2k]
)dx
siendo Mj , Nj ∈ R
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Matematico
Tema:Integral deRiemann.
Tecnicas deintegracion
HEDIMA
Introduccion
Primitiva deuna funcion
Integralesinmediatas
Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Integracion de funciones racionales
Ejemplo∫1
x3+1dx
Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:
1x3+1
= A1x+1
+ A2x+A3x2−x+1
=A1(x
2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)
(x+1)(x2−x+1)⇒
⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
0 = A1 +A2
0 = −A1 +A2 +A3
1 = A1 +A3
⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3
Por tanto ∫1
x3+1dx =
∫ 1/3x+1
dx+∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1|+
∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−4
x2−x+1dx =
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo∫1
x3+1dx
Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:
1x3+1
= A1x+1
+ A2x+A3x2−x+1
=A1(x
2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)
(x+1)(x2−x+1)⇒
⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
0 = A1 +A2
0 = −A1 +A2 +A3
1 = A1 +A3
⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3
Por tanto ∫1
x3+1dx =
∫ 1/3x+1
dx+∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1|+
∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−4
x2−x+1dx =
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Funcionesirracionales
Integracion de funciones racionales
Ejemplo (continuacion)∫
1x3+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−1+1−4x2−x+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−1
x2−x+1+ 1/6
∫3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫3
(x−1/2)2+3/4dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫4(
2x−1√3
)2+1
dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1
6·√3
2
∫ 4·2/√3(
2x−1√3
)2+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√
3
∫ 2/√3(
2x−1√3
)2+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|
6+ 1√
3arctg
(2x−1√
3
)
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Metodos deintegracion
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II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple
Por ejemplo,∫
2x3−2x2+16x(x2+4)2
dx
Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.
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I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Integracion de funciones
trigonometricas
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Funcionesracionales
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Funcionesirracionales
Integracion de funciones trigonometricas
Integrales racionales-trigonometricas:
∫f(sen(x), cos(x))dx
Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica
t = tan(x
2) , como sigue:
∫f(sen(x), cos(x))dx =
{t = tan(x
2) dx = 2dt
1+t2
sen(x) = 2t1+t2
cos(x) = 1−t21+t2
}=
=
∫f
(2t
1 + t2,1− t2
1 + t2
)2
1 + t2dt,
que es la integral de una funcion racional.
Ejemplo ∫dx
sen(x)dx =
{t = tan(x
2) dx = 2dt
1+t2
sen(x) = 2t1+t2
cos(x) = 1−t21+t2
}=
=
∫1
tdt = ln |t|+ C = ln
∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.
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Integracion de funciones trigonometricas
Observaciones
Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:
1
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = cos(x) .
2
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = sen(x) .
3
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = tan(x) .
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Integracion de funciones trigonometricas
Ejemplo ∫dx
sen(x)dx =
{t = cos(x) dx = −dt√
1−t2
sen(x) =√1− t2 cos(x) = t
}=
= −∫
1
1− t2 dt =1
2ln
∣∣∣∣ t− 1
t+ 1
∣∣∣∣+ C =1
2ln
∣∣∣∣cos(x)− 1
cos(x) + 1
∣∣∣∣+ C.
Ejemplo
∫cos3(x) dx =
t = sen(x) dx = dt√
1−t2
cos(x) =√1− t2 sen(x) = t
=
=
∫1− t2dt = t− t3
3+ C = sen(x)− sen3(x)
3+ C.
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Funcionesirracionales
Integracion de funciones
irracionales
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Integracion de funciones irracionales
Integrales del tipo
∫f(x,
√x2 ± a2)dx,
∫f(x,
√a2 − x2)dx
con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios
1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .
2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =
a
sen(t).
3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .
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Integracion de funciones irracionales
Ejemplo ∫ √a2 − x2dx =
{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt
}= a2
∫cos2(t)dt
que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en
a2∫cos2(t) dt =
a2
2t+
a2
4sen(2t) + C =
a2
2t+
a2
42sen(t) cos(t) + C =
a2
2t+
a2
42 sen(t)
√1− sen2(t) + C =
a2
2arc sen
x
a+x
2
√a2 − x2 + C.
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Integracion de funciones irracionales
Ejemplo
∫ √x2 + a2dx =
{x = a tan(t)dx = adt
cos2(t)
}= a2
∫1
cos3(t)dt =
=
{y = sen(t) dt = dy√
1−y2
cos(t) =√
1− y2 sen(t) = y
}= a2
∫1
(1− y2)2 dt =
= a2
4
∫ (1
(1− y)2 +1
(1− y) +1
(1 + y)2+
1
(1 + y)
)dt =
= a2
4
(2y
1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1
∣∣∣)+ C =
=
{Deshaciendo los cambios:
y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)
= x√x2−a2
}=
= x2
√x2 + a2 + a2
4ln
∣∣∣∣ x+√x2+a2x−√x2+a2
∣∣∣∣+ C
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Integracion de funciones irracionales
Ejemplo
∫ √x2 + a2dx =
{x = a tan(t)dx = adt
cos2(t)
}= a2
∫1
cos3(t)dt =
=
{y = sen(t) dt = dy√
1−y2
cos(t) =√
1− y2 sen(t) = y
}= a2
∫1
(1− y2)2 dt =
= a2
4
∫ (1
(1− y)2 +1
(1− y) +1
(1 + y)2+
1
(1 + y)
)dt =
= a2
4
(2y
1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1
∣∣∣)+ C =
=
{Deshaciendo los cambios:
y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)
= x√x2−a2
}=
= x2
√x2 + a2 + a2
4ln
∣∣∣∣ x+√x2+a2x−√x2+a2
∣∣∣∣+ C
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Integracion de funciones irracionales
Integrales del tipo
∫f
(x, n
√ax+ b
cx+ d
)dx
Se convierten en integrales racionales mediante el cambio
t = n
√ax+ b
cx+ d
Ejemplo
∫dx
1 + 3√x+ 1
dx =
Cambio:t = 3√x+ 1
dx = 3t2dt
= 3
∫t2dt
1 + t=
= 3
∫(t− 1)dt+ 3
∫dt
1 + t=
3
2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =
=3
23√x+ 1( 3
√x+ 1− 2) + 3 ln( 3
√x+ 1 + 1) + C