herramienta-sistemas-fotovoltaico
TRANSCRIPT
HERRAMIENTA DE SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE BOMBEO FOTOVOLTAICO
Escuela Universitaria Ingeniería Mecánica/ cffc-2010 3.1 Introducción En las zonas rurales desérticas, generalmente, las personas son de escasos recursos
económicos y a la vez no tienen acceso al agua para el consumo humano. En África, Oceanía
y América Latina1 existen muchas zonas con población muy dispersa y con problemas de
abastecimiento de agua tanto para el consumo humano como para el riego que permita
cultivos de subsistencia. En las regiones del norte de Chile, en el siglo pasado, se desarrolló
una potente industria del salitre, lo que llevo a desarrollar la agricultura necesaria en el
desierto para satisfacer las demandas de la población asentada en los campamentos
mineros. Esta actividad declinó completamente a partir de la crisis mundial de 19302.
Actualmente estas regiones son la principal zona minera del país gracias a la producción de
cobre, ocupando gran cantidad de mano de obra que se concentra en poblados mineros y
ciudades de 150000 a 250000 personas. La necesidad de alimentos agropecuarios para
atender a esta población hace interesante motivar e iniciar nuevamente la actividad agrícola
en zonas áridas del desierto de Chile3, como alternativa a transportar los productos desde la
zona central o sur del país.
El recurso hídrico, generalmente, no se encuentra en forma superficial (ríos, acequias,
canales), sino que debe obtenerse de pozos con una profundidad entre 20 – 100 m y con la
ayuda de sistemas de bombeo accionados por motores a combustión interna, sean estos
diesel o a gasolina. Estos sistemas tienen una baja confiabilidad, el mantenimiento es
intensivo, requieren traslado de combustible y, por tanto, conllevan elevados costos de
operación.
Los sistemas de bombeo fotovoltaico de pequeña potencia son una solución viable para estos
problemas4. La tecnología de bombeo fotovoltaico ha experimentado últimamente progresos
importantes en lo que se refiere a la calidad de los equipamientos, confiabilidad y eficiencia,
en comparación con lo sistemas de bombeo con motores de combustión interna. Estos
sistemas autónomos, tienen bajos costos de manutención y han presentado una solución
ideal para las zonas rurales alejadas de la red eléctrica.
Por otra parte, como ya hemos mencionado, la zona norte de Chile se caracteriza por poseer
un elevado potencial de radiación solar, casi uniforme durante todo el año, que, relacionado
con la escasez de agua, hace interesante el desarrollo e implementación del bombeo
fotovoltaico para riego tecnificado5 orientado al uso productivo y también para el consumo
humano.
Dada la experiencia negativa obtenida por los campesinos que utilizan grupos electrógenos o
motobombas a combustión interna para la extracción de agua, la Universidad de Tarapacá
(UTA) y la cooperación técnica alemana (GTZ) realizaron instalaciones demostrativas de
extracción de aguas subterráneas utilizando sistemas de bombeo solar fotovoltaico para el
abastecimiento de agua potable y para aplicaciones agrícolas productivas en zonas áridas6.
Estos presentan una gran ventaja: el abastecimiento de agua puede ser asegurado utilizando
un depósito, colocado a una cierta altura superior a la de los puntos de consumo, donde se
almacena el agua bombeada y, con ello, se evita la necesidad de utilizar baterías para
almacenar energía eléctrica producida.
La principal barrera a la instalación de sistemas de bombeo fotovoltaicos a gran escala en
esta región es la alta inversión inicial, por lo que la optimización del diseño se convierte en
un aspecto clave para el desarrollo de esta tecnología. Para ello, se necesita una herramienta
de simulación que permita diseñar y evaluar que el sistema de bombeo fotovoltaico se
adapta bien a las características del pozo y del emplazamiento donde se desea ubicar.
Por otro lado, la evaluación de la correcta operación de sistemas de bombeo fotovoltaico ya
instalados requiere la comprobación del servicio que entrega. Esta evaluación se realiza en
términos de m4, es decir, volumen diario de agua (m3) elevado a una cierta altura (la del
depósito en m), y exige comparar el servicio entregado con el que debería entregar, para lo
que, de nuevo, es necesario contar con una herramienta de simulación que permita conocer
el servicio que debería entregar la bomba en las condiciones reales de operación.
En este capítulo presentamos la herramienta de simulación de sistemas de bombeo
fotovoltaico que se ha desarrollado en el marco de esta tesis doctoral, para la optimización
del diseño de este tipo de instalaciones y para la evaluación de la calidad del servicio de los
sistemas ya instalados.
3.2 Herramienta de simulación de sistemas de bombeo fotovoltaico Un sistema de bombeo fotovoltaico transporta fluidos gracias a que es capaz de transformar
la energía obtenida de la radiación solar en energía eléctrica y ésta en energía mecánica que,
mediante una bomba, finalmente termina en forma de energía hidráulica.
Una de las condiciones básicas para la instalación de un sistema de bombeo fotovoltaico en
una zona en particular es conocer la radiación incidente en dicho lugar. Esto trae como
consecuencia tanto la necesidad de predecir la radiación solar que incide sobre un panel
fotovoltaico, como también modelar el comportamiento real de los diferentes componentes
del sistema de bombeo fotovoltaico bajo esas condiciones. Se pretende, por tanto,
desarrollar una herramienta de simulación que tenga como función principal modelar el
sistema de bombeo fotovoltaico, entregando así al usuario datos finales del agua bombeada
por el sistema y que le permitirán evaluar la factibilidad de dicho sistema.
La figura 3.1 describe los bloques de la herramienta de simulación de sistemas de bombeo
fotovoltaico. El primer bloque, el denominado “modelo matemático del generador”, tiene
como finalidad obtener la potencia DC entregada por el generador. Este bloque calcula a
partir de la irradiancia incidente en los paneles fotovoltaicos, la potencia DC (PDC) entregada
por los mismos. El segundo bloque, denominado “modelo del convertidor de frecuencia”,
considera las pérdidas de conversión de corriente DC a corriente AC para obtener la potencia
en los bornes de conexión con el motor eléctrico (PM). El tercer bloque, denominado “modelo
del motor eléctrico”, cuantifica las pérdidas de un motor eléctrico de inducción para obtener
la potencia mecánica en el eje de la bomba (PNe). El cuarto bloque, denominado “modelo
matemático de las bombas centrífugas de pozo profundo”, calcula la potencia útil hidráulica
(PNu).
Figura 3.1 Bloques de cálculo de la herramienta de simulación de sistemas de
bombeo fotovoltaico
La herramienta permite analizar la evolución temporal de los principales parámetros del
sistema de bombeo fotovoltaico, como son la potencia, el caudal, la eficiencia instantánea,
etc., en función de las distintas características de los emplazamientos.
3.3.- Modelo del generador fotovoltaico
Por lo general se puede determinar la energía producida por un generador fotovoltaico con
la siguiente ecuación:
∫ ⋅⋅⋅=t
GGDC dtAIGE η)( (Ec. 3.1)
donde, G(I) es la irradiancia incidente, AG es la superficie del generador y ηG es la eficiencia
energética del generador fotovoltaico.
3.3.1.- La Eficiencia del generador fotovoltaico
La potencia que puede entregar un generador fotovoltaico, PG, depende principalmente de la
iluminación eficaz que recibe, Gef(I) y, en menor medida, de la temperatura a la que operan
sus células, TC. Por otro lado, la potencia nominal de un generador fotovoltaico, PG*, se
define como la correspondiente a las condiciones estándar de medida, definida comúnmente
como G*=1000 W/m2 y TC*=25 ºC, lo anterior permite escribir:
**
****
G
Gef
GGGGGGGefGG
GPPAGPyAGP
η
ηηη
⋅
⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅= (Ec. 3.2)
En la ecuación anterior, para mayor facilidad de cálculo se puede utilizar la relación lineal
entre ηG/ηG* y TC la que se describe a continuación.
)(1*
* CCT
G
G TT −−= γη
η (Ec. 3.3)
donde γT es un valor característico técnico de los módulos fotovoltaicos; para casos donde no
se tiene los valores experimentales de este coeficiente se utiliza los valores de la tabla 3.1
Tabla 3.1 Coeficiente de variación de la potencia con la temperatura para materiales fotovoltaicos más utilizados en aplicaciones terrestres
Material
Coeficiente de variación de potencia con la
Temperatura γγγγT (1/ºC)
Silicio Cristalino -0.0045
Silicio Amorfo -0.0020
CIS -0.0036
CdTe -0.0025
La ecuación 3.3 tiene como variables la temperatura TC. Este valor puede ser estimado a
partir de la información que esté disponible. La alternativa es estimarlos a partir de la
irradiancia y temperatura ambiente, Tamb, de acuerdo a la siguiente expresión:
eftambC GCTT ⋅+= (Ec. 3.4)
donde CT es una constante y se puede obtener con la ecuación siguiente:
)/(800
20)(º2mW
CNOCTCT
−= (Ec. 3.5)
donde NOCT es un valor característico de los paneles fotovoltaicos. El valor NOCT de los
paneles fotovoltaicos que se comercializan en el mercado actual oscila entre 42 y 46 ºC, y
varía el valor de CT de 0.027 y 0.032 ºC/ (W/m2). Una buena aproximación de CT, cuando
no se conoce el valor exacto de NOCT es 0.03 ºC/ (W/m2).
Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ecuación (3.1) obtenemos la ecuación de
energía producida por un generador fotovoltaico
[ ]∫ −+⋅−⋅⋅=t
CAefTTefG
DC dtTTGCGG
PE )(1 *
*
*
γ (Ec. 3.6)
3.3.2.- Cálculo de la irradiancia efectiva sobre el generador, Gef.
La información normalmente disponible es la base de datos climáticas de distintos lugares
del mundo, en las que se encuentran en su mayoría valores medios mensuales de irradiación
global diaria incidente en una superficie horizontal, Gdm(0), temperaturas máxima, TM y
Temperatura mínimas, Tm.
Algunas de las fuentes de Información disponibles que pueden ser consultadas son: CIEMAT,
PV-GIS, NASA, H-WORD, ATLAS, METEONORM entre otras.
Presentamos a continuación la forma de estimar la irradiancia efectiva sobre el generador a
partir de datos disponibles. Seguiremos aquí el procedimiento de Lorenzo E.7
Entonces, a partir de las medias mensuales de la irradiación global diaria sobre superficies
horizontales Gdm(0) es posible desarrollar un año típico, constituido por 12 días típicos
correspondientes a los 12 meses del año.
El procedimiento a utilizar en este trabajo es el propuesto por Liu y Jordan y consiste
primero en descomponer la irradiación global en directa y difusa, Bdm(0) y Ddm(0)
respectivamente, luego se estima la radiación inclinada a partir de la radiación sobre
superficie horizontal, considerando los efectos del ángulo de inclinación y del polvo.
Para determinar la irradiancia extraatmosférica es necesario conocer la distancia entre el Sol
y la Tierra, pero se debe tener presente que la tierra gira alrededor del sol describiendo una
órbita elíptica en la que el sol ocupa uno de los focos:
−⋅+⋅=
365
93(360017.010
ndsenrr (Ec. 3.7)
donde r es la distancia entre el sol y la tierra, dn es el número de días del año, tomando
como el día uno, el primer día de enero y r0 es la distancia promedio y se denomina unidad
astronómica (r0=1,496 x108 Km).
El factor de corrección de excentricidad, ε0, que corresponde a la relación entre distancia
promedio, r0, y la distancia entre el sol y la tierra, r, se determina como.
( )
⋅⋅+==
365
360cos033.01
2
00ndrrε (Ec. 3.8)
Otra variable importante es la declinación solar, que es el ángulo formado por el plano del
ecuador con la recta que pasa por los centros del sol y la tierra. Cambia a lo largo del año y
se debe tomar el convenio de signo[l2] considerando positivo los ángulos al norte del ecuador
y negativos los ángulos al sur del ecuador. La figura 3.2 muestra la declinación para el
mediodía de un día y una latitud, φ. Para determinar la declinación solar se puede ocupar la
siguiente ecuación.
+⋅⋅=
365
)284(36045.23 0 ndsenδ (Ec. 3.9)
donde ε0 es el factor de corrección de la excentricidad y δ es el ángulo de declinación solar
que puede ser considerado constante a lo largo de un mismo día.
δ
δ
φ
δφ −
Figura 3.2 Posición relativa del Sol y de la Tierra al mediodía de un día con declinación
negativa. (Invierno en el hemisferio Norte y Verano en el hemisferio Sur)
La figura 3.3 ayuda a especificar la posición del sol por medio de dos ángulos referidos uno,
al plano horizontal y el otro a la vertical del lugar. θZS, denominado ángulo cenital es el
ángulo formado por el vector sol-tierra y la vertical del lugar;, ψS, denominado ángulo
azimutal, es el ángulo formado por el meridiano del sol y el meridiano del lugar, siendo
positivo por las mañanas y negativo por las tardes. γS, es el ángulo complementario del
cenital y se denomina elevación.
ZSθ
Sψ
Sγ
Figura 3.3 Posición del Sol relativa a un lugar de la Tierra
Las coordenadas angulares del sol en un determinado tiempo del día están dadas en las
siguientes ecuaciones referidas a una superficie horizontal.
SZS sensensen γωφδφδθ =⋅⋅+⋅= coscoscoscos (Ec 3.10)
[ ])(coscos
)(cos φ
φγ
δφγψ signo
sensensen
S
SS ⋅
⋅
−⋅= (Ec 3.11)
Si la superficie fuera ahora inclinada, como en las instalaciones reales de paneles
fotovoltaicos, tendríamos una relación de ángulos como la que muestra la figura 3.4, siendo
el ángulo β la inclinación de la superficie receptora con respecto a la horizontal, el ángulo α la
orientación azimutal de la superficie y el ángulo θS es el de incidencia de los rayos solares.
β
β
Sθ
α
Figura 3.4 Ángulos de posición de una superficie inclinada
El ángulo de incidencia (θS) viene dado por la siguiente expresión.
[ ][ ]
βωαδ
ωαβφδφωβφδ
αβφδφβφδθ
sensensen
sensensigno
sensensignosensenS
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=
cos
coscoscos)(coscoscoscos
coscos)(coscos
(Ec 3.12)
donde ω es el ángulo llamado tiempo solar verdadero y es nulo al medio día, negativo por la
mañana y positivo por la tarde, φ es la latitud del lugar y el signo(φ) tiene un valor uno (1)
en el hemisferio norte y menos uno (-1) en el hemisferio sur.
Haciendo θZS = 90º en la ecuación (3.4) se determina el ángulo de salida del sol (wS).
Considerando que al amanecer la elevación del sol es nula, se obtiene la siguiente ecuación
para el ángulo de salida del Sol.
)tantancos( φδω ⋅−−= arS (Ec. 3.13)
La longitud del día es igual a Sω2 y además se debe considerar las siguiente condiciones de
fronteras en las regiones polares: en invierno no sale el sol entonces (tanδ . tanφ) >1 y la
ecuación del ángulo de salida del sol no tiene solución y se debe hacer que ωS = 0; en
verano en estas regiones no se pone el Sol, (tanδ . tanφ) <-1, y se debe hacer que ωS = -π..
La irradiancia extraatmosférica sobre una superficie incidente horizontal se determina con la
siguiente ecuación.
ZSBB θε cos)0( 000 ⋅⋅= (Ec. 3.14)
donde B0 es la constante solar8 y tiene un valor de 1376 W/m2 cuando la distancia Sol -
Tierra es de una unidad astronómica, ε0 es el factor de corrección de la excentricidad y θZS es
el ángulo formado por la dirección del sol y la vertical.
Integrando la ecuación 3.14 a lo largo de un día obtenemos la irradiación extraatmosférica
diaria sobre una superficie incidente horizontal9
⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= SSod sensensenBB ωφδφδω
πε
πcoscos
180
24)0( 00
(Ec. 3.15)
Donde ωS es la hora de salida del sol en grados, B0 es la constante solar, cuyo valor es de
1367 Wm-2 ó 4921 kJ m-2 h-1, ε0 es el factor de corrección de excentricidad, δ es el ángulo
de declinación Solar y φ es el ángulo de la latitud del lugar.
Siguiendo la propuesta de Liu y Jordan10, la relación entre la radiación global que llega a un
punto de la tierra y la radiación extraatmosférica es una medida de la transparencia de la
atmósfera, lo que permite calcular el índice de claridad según la siguiente expresión:
horizontalféricaextraatmosRadiación
horizontalglobalRadiación
B
GK
od
dTd ==
)0(
)0( (Ec. 3.16)
Para determinar la fracción difusa de la radiación horizontal se puede utilizar la correlación
de Page11:
TdDd KF ⋅−= 13.11 (Ec. 3.17)
donde KTd es el índice de claridad diario. Esta ecuación es válida para valores diarios medios
mensuales. Para un análisis diario es recomendable utilizar la correlación propuesta por
Collares Pereira y Ralb12.
17.099.0 ≤= TdDd KparaF .
432
648.14856.21473.92272.2188.1 TdTdTdTdDd KKKKF ⋅+⋅−⋅+⋅−= (Ec. 3.18)
Vale la pena indicar que estas correlaciones son dependientes del emplazamiento. Por
ejemplo, para Madrid, Macagnan y Lorenzo13, proponen la siguiente correlación:
18.0942.0 ≤= TdDd KparaF .
79.018.0661.2896.3326.0974.032
≤<⋅+⋅−⋅+= TdTdTdTdDd KparaKKKF (Ec. 3.19)
79.0115.0 >= TdDd KparaF
Para estimar las componentes directa, B0(0) y difusa, Dd(0) de la radiación horizontal a partir
de la radiación global, se debe tomar en cuenta lo propuesto por Liu y Jordan con respecto a
la relación entre la fracción difusa de la radiación horizontal, )0(/)0( ddDd GDF = y que las
mediciones de radiación se llevan a cabo en superficies horizontales y libre de obstáculos 14.
[ ]Dddd FGB −⋅= 1)0()0( (Ec. 3.20)
Dddd FGD ⋅= )0()0( (Ec. 3.21)
Si se asume teóricamente que los perfiles de irradiancia en la tierra son similares a los
perfiles de irradiancia extraatmoférica, relacionando cosθZS, B0(0), B0d(0) y ωS se tiene la
siguiente expresión.
−⋅⋅
−⋅
=
SSS
S
d senTB
B
ωωωπ
ωωπ
cos180
coscos
)0(
)0(
0
0 (Ec. 3.22)
donde ωS está expresada en radianes y T, la duración del día, que puede ser en horas ó en
minutos.
Lo mismo se puede plantear con respecto al perfil diario entre la radiación difusa40:
)0(
)0(
)0(
)0(
0
0
dd
DB
B
D
Dr ==
En el caso de la radiación global, esta relación se puede deducir a partir de la masa de aire
que debe atravesar la radiación solar a esa hora para llegar a la superficie de la tierra:
)cos()0(
)0(
)0(
)0(22
0
0 ωbaB
B
G
Gr
dd
G +⋅=
=
donde las constantes
)047.1(5016.0409.02 +⋅−= Ssena ω (Ec. 3.23)
)047.1(4667.06609.02 +⋅−= Ssenb ω (Ec. 3.24)
Con las expresiones de Gr y Dr estamos en disposición de determinar las radiaciones difusa,
D(0), global G(0) y directa B(0) sobre un plano horizontal en una hora determinada.
Dd rDD ⋅= )0()0( (Ec. 3.25)
Gd rGG ⋅= )0()0( (Ec. 3.26)
)0()0()0( DGB −= (Ec. 3.27)
Los datos de radiación generalmente se encuentran para superficies horizontales y los
generadores fotovoltaicos se instalan inclinados entonces. Por tanto, para estimar la
irradiancia sobre superficie inclinada a partir de la horizontal se debe descomponer la
radiación global horizontal en sus componentes directa B(β,α), difusa D(β,α), y del albedo
AL(β,α).
),(),(),(),( αβαβαβαβ ALDBG ++= (Ec. 3.28)
La irradiancia directa referida a una inclinación (β) y una orientación (α) del generador
fotovoltaico, se puede estimar con la ecuación siguiente, que se deduce a partir de
consideraciones geométricas.
ZS
SBB
θ
θαβ
cos
)cos,0max()0(),(
⋅= (Ec. 3.29)
donde θS es el ángulo de incidencia de los rayos del sol sobre la superficie receptora y puede
calcularse con la ecuación 3.12
La estimación de la componente difusa requiere aplicar modelos teóricos. Algunos
subestiman sistemáticamente la irradiancia difusa sobre superficies inclinadas y otros la
sobrestiman 15, obteniéndose los mejores resultados con los modelos llamados anisotrópicos
de Hay y Davis 16, que propusieron considerar la irradiancia difusa como resultado de dos
componentes: una isotrópica, DI, y la otra circunsolar, DC. Entonces la componente difusa se
puede escribir según la siguiente expresión:
),(),(),( αβαβαβ CI DDD += (Ec. 3.30)
La componente isotrópica es:
+⋅−⋅=
2
cos1)1()0(),( 1
βαβ kDD I (Ec. 3.31)
y la componente circunsolar es:
)cos,0max(cos
)0(),( 1
S
ZS
C kDD θ
θαβ ⋅
⋅= (Ec. 3.32)
donde k1 es una constante de valor:
ZSB
B
B
B
B
Bk
θεε cos
)0(
)0(
)0(
00000
1⋅⋅
=⋅
==
Para determinar la irradiancia del albedo, teniendo como referencia que la reflectividad de los
suelos es muy baja (salvo excepciones como cuando existe nieve), se suele considerar que el
suelo es horizontal, infinito e isotrópico. Con estas condiciones se obtiene la siguiente
expresión:
−⋅⋅=
2
cos1)0(),(
βραβ GAL (Ec. 3.33)
donde, ρS es la reflectividad del suelo y normalmente toma un valor ρS = 0.2
Una vez determinada la irradiancia incidente sobre el generador se considera los efectos del
ángulo de incidencia sobre los paneles en términos de la reflectancia y la transmitancia de
los vidrios que protegen los módulos fotovoltaicos. Para ello utilizamos la ecuación propuesta
por N. Martin y J.M. Ruiz Pérez 17
−−
−−−
−=
r
rr
S
SB
a
aaFT
1exp1
)1
exp()cos
exp(
1)(
θ
θ (Ec. 3.34)
Los valores de ra según el grado de suciedad son los siguientes 0.17; 0.20; 0.21; 0.27 para
limpio, bajo, medio y alto respectivamente. La ecuación FTB(θS) se aplica a las componentes
directa y circunsolar de la irradiancia, pero para las componentes isotrópica y reflejada se
utiliza las siguientes expresiones:
(Ec. 3.35)
+
−⋅−+⋅+
+
−⋅−+⋅−−=
2
21cos1
)180(
cos1
)180(1exp1)(
β
βπβπβ
β
βπβπββ
sensenc
sensenc
aFT
r
D
Y para la irradiancia del albedo
(Ec. 3.36)
−
−⋅+⋅+
−
−⋅+⋅−−=
2
21cos1
)180(
cos1
)180(1exp1)(
β
βπββ
β
βπβββ
sensenc
sensenc
aFT ALAL
r
AL
El valor de π341 =ALc y los valores de ALc2 según el grado de suciedad son los
siguientes:
-0.069; -0.054; -0.049; -0.023 para limpio, bajo, medio y alto respectivamente.
En la irradiancia efectiva se debe considerar el efecto de la suciedad sobre las componentes
directa, difusa y la del albedo en términos de reducción de la transmitividad:
⋅⋅=
)0(
)0()(),(),(
lim pio
sucioSBef
T
TFTBB θαβαβ (Ec. 3.37)
⋅⋅=
)0(
)0()(),(),(
lim pio
sucioSB
CC
efT
TFTDD θαβαβ (Ec. 3.38)
⋅⋅=
)0(
)0()(),(),(
lim pio
sucioSD
II
efT
TFTDD θαβαβ (Ec. 3.39)
⋅⋅=
)0(
)0()(),(),(
lim pio
sucioSALef
T
TFTAlAL θαβαβ (Ec. 3.40)
Los valores del término )0(lim piosucio TT según el grado de suciedad son los siguientes, 1;
0.98; 0.97; 0.92, para limpio, bajo, medio y alto respectivamente.
Entonces la irradiancia efectiva es:
),(),(),(),(),( αβαβαβαβαβ ef
C
ef
I
efefef ALDDBG +++= (Ec. 3.41)
3.3.3.- Cálculo de la temperatura de la célula fotovoltaica
La temperatura de la célula en los paneles fotovoltaicos depende de la temperatura ambiente
a partir de la expresión 3.4, de donde se deriva la necesidad de conocer cómo evoluciona la
temperatura ambiente a lo largo del tiempo de operación del sistema.
En la mayoría de las estaciones meteorológicas los datos disponibles son las temperaturas
máximas y mínimas. A continuación se presenta un modelo sencillo que utiliza la
temperatura máxima del día anterior y temperatura mínima del día siguiente, para
determinar la temperatura ambiente en cualquier momento de un día j:
Para -180º < ω ≤≤≤≤ Sω
[ ]bajTjT
jTjT amaMaMa +⋅+⋅
−−−−= ωω cos(1
2
)()1()1(),( (Ec. 3.42)
donde:
S
S
abya ωω
⋅−=+
−=
330
180
Para Sω < ω ≤≤≤≤ Sω
[ ]bajTjT
jTjT amaMama +⋅+⋅
−+= ωω cos(1
2
)()()(),( (Ec. 3.43)
donde:
abyaS
⋅−=−
= 3030
180
ω
Para 30 < ω ≤≤≤≤ 180
[ ]bajTjT
jTjT amaMaMa +⋅+⋅
+−−= ωω cos(1
2
)1()()(),( (Ec. 3.44)
donde:
)18030(330
180+⋅−=
+= abya
Sω
En las expresiones anteriores se puede ingresar los datos de temperaturas máxima y mínima
del propio día, con un error no muy significativo.
3.4.- Modelo del convertidor de frecuencia.
La potencia AC entregada por el sistema es la potencia a la salida del convertidor de
frecuencia. Los convertidores se caracterizan por tener un eficiencia entre 0.94 y 0.96 18 ,
por lo que representan una buena alternativa para ser utilizados en la transformación de
corriente continua en corriente alterna en los sistemas de bombeo fotovoltaicos.
Por lo tanto la energía alterna producida por el sistema será:
[ ]∫ ⋅⋅−+⋅−⋅⋅=t
ACDCCambefTTefG
AC dtTTGCGG
PE /
*
*
*
)(1 ηγ (Ec. 3.45)
donde ηDC/AC, representa la eficiencia del convertidor de frecuencias.
3.5.- Modelo de la bombas centrífuga 19,20.
3.5.1.- La bomba centrífuga
La bomba hidráulica es una de las máquinas más antigua que se conoce: las norias ya
existían hace 3000 años y el tornillo de Arquímedes 250 años antes de cristo. Este último
sigue utilizándose hoy con gran eficacia para bombear mezclas de líquidos y sólidos. Las
bombas se utilizan para elevar líquidos, en otras palabras, la bomba toma el agua a baja
presión y la entrega a una mayor presión manométrica.
Las bombas centrífugas de pozo profundo están sumergidas en el fluido que será impulsado.
En la figura 3.5 muestra en el recuadro a) una bomba centrifuga convencional, con sus
partes principales, y en el recuadro b) una bomba centrífuga sumergible.
Figura 3.5 a) Bomba Centrifuga normal y b) Bomba centrífuga de pozo profundo
Estas bombas forman parte de las turbomáquinas, que constan de una rueda con álabes
llamado rodete o impulsor, que gira libremente alrededor de su eje cuando pasa un fluido
por el interior. La forma de los álabes es tal que cada dos consecutivos forman un conducto
que obliga al flujo a variar de cantidad de movimiento. En el rodete tiene lugar una
transformación de energía mecánica en energía de flujo (cinética). De acuerdo a la dirección
de flujo a la salida del rodete pueden subdividirse los siguientes grupos:
• Bombas Centrífugas, salida del flujo perpendicular al eje.
• Bombas Helicocentrifugas flujo mixto.
• Bombas de Hélice, salida del flujo paralelo al eje.
Aquí nos centraremos en las bombas centrífugas, que adicionan energía al fluido
acelerándolo a través de un impulsor o rodete giratorio.
Motor
Eléctrico
Bomba
a) b)
3.5.2- Triángulo de Velocidades
La figura 3.6 (b) muestra la configuración básica del triángulo de velocidades de entrada y
de salida del fluido en una bomba centrífuga de flujo radial.
En el comportamiento del fluido por los canales del rodete, se deben distinguir el movimiento absoluto del relativo.
• El movimiento absoluto es el de las partículas de líquido que nota un observador situado fuera del rodete.
• El movimiento relativo es aquel que ve un observador situado dentro del giro del
rodete. Los símbolos y nomenclatura que se utilizan en turbomáquinas son los siguientes:
→
c = Velocidad absoluta (del flujo). Es aquel vector que se traza como la resultante de la
sumatoria de la velocidad relativa y la velocidad tangencial en la figura 3.5, donde
los subíndices 1 y 2 corresponden a los triángulos de velocidades de entrada y salida
respectivamente.
→
w = Velocidad relativa (del flujo). Es aquel vector que se traza paralelo a la superficie del
álabe en la figura 3.5 (b), donde los subíndices 1 y 2 corresponden a los triángulos
de velocidades de entrada y salida respectivamente.
→
u = Velocidad tangencial del rodete en la figura 3.5, donde los subíndices 1 y 2
corresponden a los triángulos de velocidades de entrada y salida respectivamente.
α B = Ángulo que forma la velocidad absoluta →
c con la velocidad tangencial →
u , donde los
subíndices 1 y 2 corresponden al triangulo de velocidades de entrada y salida
respectivamente
β = Ángulo que forma la velocidad relativa →
w con )(→
− u , donde los subíndices 1 y 2
corresponden a los triángulos de velocidades de entrada y salida respectivamente.
'β = Ángulo de diseño del álabe.
La bomba inicia su trabajo cuando el caudal llega al rodete o impulsor a través de un
conducto perpendicular a él. Entra con una velocidad absoluta cm1, que puede tener
componentes axiales ca1 y componentes radiales cr1. Obsérvese que como existe rotación del
flujo, también hay una componente tangencial cu1, y que a la salida del rodete sólo existen
componentes radial cr2 y tangencial cu2 por ser una bomba centrífuga. A la resultante de las
componentes ca y cr se le llama velocidad meridiana cm y de la figura 3.7 se tiene:
222
ram ccc += (Ec. 3.46)
Cuando no hay componente axial cm = cr; y si no hay componente radial cm = ca. El flujo de
agua, a su paso por el rodete, gana energía tanto de presión como de velocidad. Al salir del
impulsor y descargar en la cámara espiral (voluta), con presión p2 y una velocidad c2 , esta
velocidad se ha de transformar también en presión a lo largo de la voluta y del difusor, y si
es elevada, puesto que los canales son divergentes, esta transformación origina pérdidas.
Entonces conviene que la energía recibida por el flujo en el rodete sea fundamentalmente de
presión, o lo que es lo mismo que la velocidad c2 sea pequeña.
De acuerdo a la figura 3.6, podemos escribir las siguientes ecuaciones:
111
→→→
+= wuc (Ec. 3.47)
→→→
+= 222 wuc (Ec. 3.48)
Cuando el rodete gira a la velocidad angular (ω), sus álabes tienen en los puntos de entrada
y salida una velocidad tangencial, 222111 rwuyrwu ⋅=⋅= respectivamente, donde r1 y
r2 son los radios del rodete. Además la velocidad angular se determina de la siguiente forma
60/2 nw ⋅⋅= π , donde n es el número de revoluciones por minuto.
El caudal (Qr) que atraviesa el rodete pude calcularse a la entrada o salida del mismo. En
ambos casos se obtiene del producto del área de la corona de paso (S) por la velocidad
meridiana (cm) correspondiente, generalizando:
mr cSQ ⋅= (Ec. 3.49)
Si se calcula el caudal con respecto a la salida, siendo D2 el diámetro de la corona a la salida,
k un coeficiente reductor que tiene en cuenta el espesor del álabe y b2 es la altura de la
corona a la salida, la expresión anterior se puede escribir de la siguiente forma:
222 mr cbDkQ ⋅⋅⋅⋅= π (Ec. 3.50)
Figura 3.6 Triángulo de velocidades de una bomba centrifuga subíndice 1 y 2 indica entrada
y salida del agua respectivamente.
3.5.3.- Ecuación de Euler. Curva teórica Altura-Caudal
La ecuación de Euler que vamos a utilizar, a pesar de sus simplificaciones, sigue siendo una
buena herramienta para estimar el diseño y/o predecir el comportamiento de una bomba
centrífuga. Conviene además señalar que esta ecuación no depende de la trayectoria del
fluido dentro del rodete, sino que sólo depende de las condiciones de entrada y salida.
Aplicando la ecuación de Euler al rodete de una bomba centrífuga con número infinito de
álabes y de espesor inmaterial, permite calcular la altura teórica de bombeo (Ht∞) si
conocemos las velocidades absolutas (c1 , c2), las velocidades tangenciales (u1 , u2) y los
ángulos (α1 , α2) que forman estas velocidades. Los subíndice 1, 2 indican la entrada y salida
del agua del impulsor o rodete. La ecuación de Euler queda entonces de la siguiente forma:
111222, coscos αα ⋅⋅−⋅⋅=⋅ ∞ cucuHg t (Ec. 3.51)
donde g es la aceleración de gravedad , Ht,∞ es la altura teórica; u1 y u2 son las velocidades
tangenciales; c1 y c2 son las velocidades absoluta; α1 y α2 son los ángulos que forman los
vectores de velocidad absoluta y tangencial.
La curva característica de la bomba centrífuga es la curva H=H(Q), que relaciona un régimen
de giro constante, la altura (H) y el caudal (Q). Para este análisis teórico no se considerarán
las pérdida internas llamadas así a las pérdidas volumétrica y hidráulicas, las cuales se
explicarán más adelante.
Al no considerar el rozamiento entonces H = Ht, donde Ht es la altura sin considerar las
pérdidas por rozamientos, además se supone que hay infinitos álabes de espesor inmaterial
(β2=β2’ y H=Ht∞), y que no existe pre-rotación en la entrada del rodete (α1=90º), la ecuación
de Euler queda de la siguiente forma:
g
cuHH u
t22
,
⋅== ∞ (Ec. 3.52)
Del triángulo de velocidades a la salida del rodete y aplicando relaciones trigonométricas
básicas, se obtiene la velocidad absoluta a la salida del rodete, siendo c2u la componente de
la velocidad absoluta, cr2 la componente radial y β2 el ángulo que forman la velocidad relativa
y tangencial:
2222 cot βgcuc ru ⋅−= (Ec. 3.53)
El caudal que atraviesa el rodete puede valorarse a la entrada o a la salida, donde S1, S2 es
la sección de la corona y cm1, cm2 es la velocidad meridiana de la entrada y salida
respectivamente. Utilizando la ecuación 3.49,
2211 mmr cScSQ ⋅=⋅= (Ec. 3.54)
En la salida, donde D2 es el diámetro exterior del impulsor, y b2 es la altura de la corona en
la salida:
22222 mmr cbDkcSQ ⋅⋅⋅⋅=⋅= π (Ec. 3.55)
Obsérvese que:
a.- En las bombas centrífugas, cm2=cr2
b.- En las bombas axiales, cm2=ca2
c.- k es el coeficiente reductor que tiene en cuenta el espesor de álabe (k≈0.95).
Por lo tanto, analizando el triángulo de velocidades a la salida de la bomba centrífuga:
22
2bDk
Qc rr
⋅⋅⋅=
π (Ec. 3.56)
Luego:
2
22
22 cot βπ
gbDk
Quc r
u ⋅⋅⋅⋅
−= (Ec. 3.57)
La curva teórica tiene la siguiente expresión considerando Qr=Q, que β=β’ de la geometría y
un régimen de giro 222 rwu ⋅= y r2=D2/2 y la velocidad angular se puede determinar con
60/2 nw ⋅⋅= π , donde n es el número de revoluciones por minuto del impulsor:
QbDkg
gu
g
uHH t ⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅−== ∞
22
'
22
2
2
,
cot
π
β (Ec. 3.58)
En la estimación del cálculo de un sistema de bombeo fotovoltaico se considera variable la
frecuencia o el número de revoluciones de la bomba; entonces la ecuación anterior se
puede escribir de la siguiente forma:
Qbkg
gn
g
nDHH t ⋅
⋅⋅
⋅−
⋅⋅== ∞
2
'
2
22
2
2
,
cot βπ (Ec. 3.59)
Se puede observar que la ecuación anterior es una familia de rectas:
QnancHH t ⋅⋅+⋅== ∞∞∞
2 (Ec. 3.60)
donde las constantes c∞ y a son:
g
Dc
2
2
2 ⋅=∞
π (Ec. 3.61)
2
'
2cot
bkg
ga
⋅⋅−=∞
β (Ec. 3.62)
En la figura 3.7 se muestran los resultados de la ecuación (3.58), variando el ángulo (β2) y
manteniendo constante el número de revoluciones. Si β2> 90º es un impulsor con álabes
curvado hacia delante, β2= 90º es un impulsor radial y β2< 90º impulsor con álabes curvado
hacia atrás. Lo más habitual es que, de estos tres casos, las bombas centrífugas utilicen un
impulsor curvado hacia atrás porque origina menor velocidad absoluta a la salida del
impulsor.
g
u
⋅2
2
2
)(sin, rozamientoHH t =∞
Q
0
2 90>β
0
2 90=β
0
2 90<β
Figura 3.7 Curva teórica H-Q de una bomba centrífuga
Si analizamos ahora el caso en el que el número de álabes (Z) es finito, y β2=β’2, esto se
traduce en un valor menor de cu2 y consecuentemente en una menor altura Ht (Ht,z < Ht,∞).
∞⋅= ,, tzt HH µ (Ec. 3.63)
El coeficiente µ es una relación empírica, cuya expresión más utilizada es la de Pfleiderer 21,
−⋅
+⋅+
=
2
2
1
'
2
1
)1(2,11
1
D
DZ
senβµ
`
(Ec. 3.64)
La diferencia entre la alturas Ht,∞ y Ht,z, no es una pérdida, ya que todavía no se han
considerado rozamientos y choques, sino que se trata de consideraciones diferentes. La
expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera, donde c’ y a’ son constantes que
considera el coeficiente de Pfleiderer.
QnancH zt ⋅⋅+⋅= '2'
, (Ec. 3.65)
La figura 3.8 muestra la diferencia de los modelos teóricos de la altura de euler tomando en
consideración un número infinito (Ht,∞) y finito (Ht,z)de álabes.
)(sin rozamientoHH t =
Q
∞,tH
ztH ,
∞⋅= ,, tzt HH µ
Figura 3.8 Resultados de la ecuación de Euler con β2 < 90º para número de álabes
infinitos, (Ht∞), y finitos, (Htz).
3.5.4.- Curva característica real H-Q
La altura H0 que entrega la bomba (ver figura 3.9), con un determinado régimen de giro, a
válvula cerrada (Q=0) y para z1 álabes es teóricamente:
⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅−= Q
bDkg
gu
g
uH
22
'
22
2
20
cot
π
βµ (Ec. 3.66)
Si la válvula está cerrada, circula el caudal de agua por el rodete que corresponde a las
pérdidas volumétricas interiores (Qr=Q+q) y la altura H0 es la mayor que da la bomba.
Aparte de las pérdidas volumétricas, q, existe además un reflujo tanto en el tubo de acceso
como en el impulsor (ver figura 3.9), por lo que aún será mayor el caudal Qr que circula por
este. Estas pérdidas provocan un valor H0 real menor que el teórico. Cuando existe
circulación de caudal a través de la bomba (Q>0), la curva real H=H(Q) está afectada,
además, por pérdidas hidráulicas por rozamiento y por choques. Éstas responden a las
siguientes expresiones:
Figura 3.9 pérdidas Volumétricas
a) Las pérdidas por rozamientos, donde Kr es el coeficiente de pérdida por rozamiento y
Q es el caudal que entrega la bomba, son:
2QKH rr ⋅= (Ec. 3.67)
b) Las pérdidas por choque que se producen a la entrada y a la salida del impulsor
cuando la bomba trabaja en condiciones fuera de diseño, donde Kc es el coeficiente
de pérdida por choque, Q es el caudal que entrega la bomba y Q* es el caudal de
diseño, son:
2*)( QQKH cc −⋅= (Ec. 3.68)
En consecuencia,
crztB HHHH −−= , (Ec. 3.69)
En la figura 3.10 se puede ver que las pérdidas por rozamiento aumentan con el caudal y las
pérdidas por choque varían cuando el caudal es diferente al caudal de diseño y son nulas
cuando el caudal es igual al caudal de diseño (Q*= Q). Reemplazando las variables en la
ecuación (3.69) la altura de la bomba es:
2*2'2 )()´( QQKQKQnancH crB −⋅−⋅−⋅⋅+⋅=
22 QaQnbncH BB ⋅+⋅⋅+⋅= (Ec. 3.70)
Se observa que la curva característica real es una función parabólica, en lugar de una
función lineal, lo que se ajusta bastante con las experimentales.
En general, se determina la curva real en forma experimental en un banco de ensayos, se
toma sobre ella una serie de puntos, y se ajusta una función mediante métodos numéricos.
Esta curva resultante es la que el fabricante de la bomba suministra al usuario.
Generalizando esta expresión, el modelo matemático del comportamiento de la bomba
centrífuga es:
2QacH B ⋅+⋅= (Ec. 3.71)
Figura 3.10 Comparación de las curvas H-Q ideales y real de la bomba centrifuga
3.5.5.- Potencias y rendimiento de una bomba centrífuga
La potencia útil, PF, aportada por la bomba al líquido, se puede determinar por:
HQgPF ⋅⋅⋅= ρ (Ec. 3.72)
El caudal (Q) que pasa por la bomba se mide con un medidor de caudal, la altura (H) con
manómetros colocados en la entrada y salida de la bomba, y el peso especifico, ρg, se
)(sin ro zam ien toHH t =
Q*
QQ =
0'
2 90>β
0'
2 90<β
0'
2 90=β
g
u
⋅2
2
2
g
u
⋅⋅2
2
2µ
0H
rH
cH
∞,tH
ztH ,
)(QfH =
determina de las propiedades físicas del agua. Por lo tanto la altura se puede obtener de la
siguiente ecuación:
g
PPH Es
⋅
−=
ρ
)( (Ec. 3.73)
donde:
PE, PS = Presiones manométricas a la entrada y salida de la bomba
ρ = Densidad del agua o líquido.
g = Aceleración de gravedad.
La potencia en el eje es el producto del torque, T, generado por el motor eléctrico y la
velocidad angular, ω, del eje, se calcula por la siguiente expresión:
ω⋅= TPe (Ec. 3.74)
El rendimiento global de la bomba se obtiene mediante el cociente de la potencia útil y la
potencia en el eje de la bomba:
e
FB
P
P=η (Ec. 3.75)
En general, la curva del rendimiento η=η(Q) puede ajustarse, con una expresión del tipo:
2QeQdB ⋅+⋅=η (Ec. 3.76)
donde d y e son constantes.
En la figura 3.11 se muestra la potencia P ganada por el flujo teniendo la válvula cerrada (Q
= 0), por lo que el rendimiento ηB es nulo; en cambio, la potencia en el eje de la bomba Pe
tiene lógicamente un valor: el correspondiente a las pérdidas interiores y exteriores. Se
observa también que el punto de operación donde mejor trabaja la bomba es con su
potencia nominal, la correspondiente al caudal (Q*) de diseño.
Q*Q
)(QHH =
máxη
)(Qηη =)(QPP ee =
)(QPP =
0
H
Figura 3.11. Curvas características de una bomba centrifuga
3.5.6.- Funcionamiento de una bomba a velocidad variable. Leyes de semejanza
Lo más común en una bomba es que sea comercializada con el motor eléctrico incorporado
y, en consecuencia, para una velocidad de giro prevista. Resulta interesante analizar cómo
varían sus características si hiciéramos funcionar a otras velocidades. Esto es de especial
interés, por ejemplo:
a. Cuando la bomba es arrastrada por un motor de combustión interna y su velocidad
puede cambiarse según necesidad.
b. Cuando el caudal de la instalación es variable, por ejemplo en el suministro de agua a
una pequeña población y además queremos mantener las presiones dentro de unos
limites, puede resultar interesante colocarle al motor eléctrico, un convertidor de
frecuencia con objeto de buscar en todo momento el punto de funcionamiento más
conveniente.
c. Cuando la fuente de energía de funcionamiento de la bomba es variable a través del
día, como es el caso de los sistemas del bombeo fotovoltaico.
A partir de las leyes de semejanza entre bombas se puede plantear como varían las
características de una bomba al cambiar la frecuencia o velocidad de giro. Lo detallamos a
continuación:
- Relación de alturas
2
2
⋅=
m
p
m
p
n
n
H
Hλ (Ec. 3.77)
donde Hp , Hm; np, nm es la altura de elevación y el número de revoluciones del prototipo y
del modelo respectivamente; y lamda (λ) es la relación de escala entre el prototipo y el
modelo.
- Relación de caudales
m
p
m
p
n
n
Q
Q⋅= 3λ (Ec. 3.78)
donde Qp, Qm es el caudal del prototipo y del modelo respectivamente.
- Relación de potencias
3
5
⋅=
m
p
em
ep
n
n
P
Pλ (Ec.3.79)
donde Pep, Pem es la potencia del prototipo y el modelo respectivamente.
Si ahora sustituimos λ=1, estaríamos comparando la bomba consigo misma y, además
trabajando con el mismo fluido. Por lo tanto, las ecuaciones que permiten relacionar
distintas condiciones de operación de la máquina son las siguientes:
32
;;
=
==
T
N
T
N
T
N
T
N
T
N
T
N
n
n
P
P
n
n
H
H
n
n
Q
Q (Ec. 3.80)
donde QN y QT es el caudal; nN y nT es el número de revoluciones; HN y HT es la altura
manométrica; PN y PT es la potencia y los subíndices N y T indican las condiciones de
operación nominal y de trabajo respectivamente.
Las tres han de cumplirse simultáneamente y sólo serán válidas para comparar situaciones
análogas, o de igual rendimiento.
De las ecuaciones anteriores, eliminando nN/nT entre las dos primeras, obtenemos la relación
entre H y Q para situaciones de igual rendimiento a diferentes frecuencias; este sería el lugar
geométrico de los puntos que tienen el mismo rendimiento (curva de isorrendimiento),
2
=
T
N
T
N
Q
Q
H
H; ⇒⋅= siQ
Q
HH N
T
T
N
2
2 ⇒= entonces
Q
HK
T
T
T 2 2
NTN QKH = (Ec. 3.81)
En General, 2QKH ⋅= , que representa la familia de curvas de isorrendimientos de la bomba
centrifuga (figura 3.12), son parábolas que pasan por el origen. Cada valor de K da lugar a
una curva de isorrendimiento diferente, donde K es una constante que relaciona la altura
manométrica y el cuadrado del caudal. En la práctica, las leyes de semejanza no se cumplen
para pequeños caudales en las proximidades del origen a causa de la desigual intervención
de las pérdidas. Es por ello que las curvas de isorrendimiento deben obtenerse, en esta
región, mediante ensayos; son más bien elipses y desde luego no pasan por el origen como
se pueden ver en la figura 3.13.
2
2 QKH ⋅=
2ηη =
1ηη =
2
1 QKH ⋅=
H
Figura 3.12 Curvas de isorrendimientos.
Figura 3.13 Curvas experimentales de altura-caudal, y potencia caudal de una bomba
centrífuga.
REFERENCIAS:
1 J. A. Guerra, “Análisis de los parámetros técnicos en la aplicación de los sistemas de
información geográfica a la integración regional de las energías renovables en la producción
descentralizada de electricidad”, Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid, 2000. 2 S. González, “Cruzando los Mallkus. Las migraciones bolivianas pendulares durante la gran
crisis salitreras”, Revista Historia social y de las mentalidades USCH. Vol. 2, 155-191, 2006. 3 R. Sapiain, R. Schmidt, A. Torres, “Aplicaciones de bombeo solar fotovoltaico a
comunidades campesinas en regiones áridas del Norte de Chil”e, Workshop Cyted, Madrid
España, 2001. 4 R. Schmidt, A. Anthrakidis, A. Torres, E. Torres, “Desarrollo de un sistema de riego por
goteo de baja presión utilizando Bombas Solares Fotovoltaicas”, Seminario Nacional y
Congreso Internacional de energías Renovables” 13, 14, 15, Noviembre, Antofagasta, Chile,
1996. 5 R. Sapiain, R Schmidt, C. Flores y A. Torres, “Riego tecnificado a muy baja presión por
medio de bombas fotovoltaicas y estanques de acumulación”,, Información Tecnológica Vol
11 Nº6, 11-18 , 2000. 6R. Sapiain, R Schmidt, C. Flores y A. Torres, “Evaluación Técnica de sistemas de Bombeo
Fotovoltaico”, Información Tecnológica Vol 11 Nº6 , 19–26, 2000. 7 E. Lorenzo, Radiación Solar y Dispositivos Fotovoltaicos, Volumen II, PROGENSA, Sevilla,
2006. 8 Ll. Mora, “Características de la radiación Solar”, Fundamentos, Dimensionado y Aplicaciones
de la Energía Solar Fotovoltaica, Serie de ponencias, Ciemat, Tema 13, pág. 13-11, 2000. 9 M. Iqbal, An Introducción to Solar Radiación, Academia Press, 1983. 10 B. Y. H. Liu y R. C. Jourdan, “The interrelation ship and characteristics distributions of
direct, diffuse and solar radiation”, Solar Energy, Vol. 4, 1-19, 1960. 11 P. Page, “The Estimation of Monthly Mean Values of Daily Total Short – Wave Radiation of
Vertical and Inclined Surfaces from Sunshine Records for Latitudes 40 º N – 40º S”, S. Proc.
Of the UN Conference on New Sources for Energy Vol. 4, pág. 378-390, 1961, Citado en: E.
Lorenzo, “Radiación Solar y Dispositivos Fotovoltaicos”, Volumen II, PROGENSA, Sevilla,
2006, pág. 118. 12 M. Collares Pereira y A. Ralb, “The average distribution of solar radiation correlations
between diffuse and hemispherical and between daily and hourly insolations values, Solar
Energy Vol 22, pág. 155-164, 1979. 13 M. Macagnan, E. Lorenzo y C. Jiménez, “Solar Radiation in Madrid”, Solar Energy, Vol 16,
pág. 1-14, 1994.
14 E. Lorenzo, “Radiación Solar y Dispositivos Fotovoltaicos”, Volumen II, PROGENSA, Sevilla,
2006, Pág. 117.
15 E. Lorenzo, “Radiación Solar y Dispositivos Fotovoltaicos”, Volumen II, PROGENSA, Sevilla,
2006, pág. 130. 16J. Hay, D. McKay, “ Estimating Solar Irradiance on Inclined Surfarce: A Review and
Assessment of Methodologies”, International Journal of Solar Energy, Vol., 3, pág. 203-240,
1985 17N. Martin y J.M. Ruiz, “Calculation of the PV modules angular losses under field conditions
by means of an analytical model”, Solar Energy Materials and Solar Cells”, Vol. 70, pág. 25 -
38, 2001. 18 M. Alonso, E. Lorenzo and F. Chenlo, ”PV Water Pumping Systems Base don Standard
Frequency Converts” Progress in Photovoltaic’s, Vol. 11, 179-191, 2003. 19J. Agüeras, Mecánica de los Fluidos incompresibles y Turbmáquinas Hidráulica, Ciencias 3,
SL. 2002. 20R. Mott, Mecánica de los Fluidos Aplicadas, Prentice-Hall, Hispanoamericana S.A.. 1996. 21 C. Pfleiderer, Bombas Centrífugas y Turbocompresores, LABOR S.A. pág. 139 – 144, 1964.