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ENGRANAJES PARALELOSDE DENTADO OBLICUO (HELICOIDALES)

1. INTRODUCCIÓN

Como ya se sabe, en los engranajes rectos cada diente empieza a engranarbruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo, con lo cual loserrores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en pequeñoschoques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. En lasdentaduras helicoidales, por el contrario, el engrane de dos dientes empieza y terminagradualmente, lo cual se traduce en una marcha notablemente más suave y silenciosa.

Las dentaduras helicoidales pueden considerarse como un límite de lasdentaduras escalonadas, que describiremos a continuación.

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Una rueda escalonada está formada por dos o más ruedas dentadas unidas entresí, tal como se muestra en la figura. Cada rueda está desfasada respecto a la ruedaadyacente una cantidad igual al paso circular dividido por el número de ruedas. Cuandouna pareja de ruedas cilíndrico-rectas convencionales está en funcionamiento, elcontacto se produce sobre todo el ancho de la cara, lo que da lugar a enormes esfuerzosde impacto y ruido excesivo al operar a altas velocidades. En las ruedas escalonadas elcontacto se produce primero en una porción del ancho total, después en la siguienteporción o escalón, etc.; como consecuencia, el diente entra en contacto con un impactomenor, por lo que este tipo de engranajes tienen un funcionamiento más suave ysilencioso que los rectos.

Si el número de escalones se hiciera infinito, el resultado que se obtendría es loque conocemos como rueda helicoidal, en la que cualquier sección plana perpendicularal eje es idéntica al plano frontal, pero desfasándose de un modo progresivo respecto aél; así que, a efectos de engrane, dos ruedas helicoidales se comportan exactamenteigual que dos ruedas rectas cuyo perfil fuera el perfil frontal.Así pues, en los engranajes helicoidales los dientes están cortados de modo que formanuna hélice alrededor de su eje de giro, como puede observarse en la figura

El perfil de los dientes está descrito por una curva evolvente helicoidal, tal comola que describiría una tira de papel con el extremo cortado oblícuamente, al enrollarsesobre un cilindro recto. Observe el lector que si la tira de papel fuese rectangular, aldesenrollarse esta del cilindro generaría la superficie de un diente recto, puesto que cadapunto del borde describiría una curva de evolvente. Por el contrario, si se corta elextremo de modo que quede inclinado,al enrollarlo alrededor del cilindro, el extremomayor describe una hélice. Al desenrollar la tira, cada punto del borde citado generatambién una curva de evolvente, pero por partir de una hélice la superficie resultanterecibe el nombre de helicoide de evolvente.

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Cuando un engranaje helicoidal comienza a engranar, el contacto tiene lugarsolamente en el punto del diente que más avanzado se encuentra, siguiendo la hélice, yextendiéndose gradualmente sobre una línea diagonal (no paralela al eje) que sigue eldiente al girar el engrane

El hecho de que el contacto y la aplicación de la carga se produzcan de formagradual, reduce el ruido y las cargas dinámicas, así que los engranajes helicoidalespueden operar a más altas velocidades y transmitir más carga que los engranajes rectosde tamaño similar.

Debido a la forma del diente, los engranajes helicoidales inducen cargas axialesy radiales en los apoyos, mientras que en los engranajes rectos no existían reaccionesaxiales en los soportes. Cuando las cargas axiales se vuelven altas, o resultaninapropiadas por otras razones, resulta conveniente recurrir a engranajes helicoidalesdobles. Un engranaje helicoidal doble es equivalente a dos engranajes helicoidalessimples con hélices encontradas, montados lado a lado en el mismo eje. Estosengranajes desarrollan cargas de empuje axial opuestas que se anulan entre sí.

Un criterio general para determinar cuándo usar ruedas rectas y cuandohelicoidales es la siguiente:

• Engranajes rectos: se emplean en transmisiones con velocidades bajas y ensituaciones en las que el ruido no constituye un problema serio.

• Engranajes helicoidales: cuando se trabaja en altas velocidades, transmisiónde enormes potencias, y cuando el trabajo silencioso es de importancia. Seconsideran altas velocidades cuando la velocidad tangencial supera los 25m/s,o cuando el piñón gira a más de 3600r.p.m.

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2. TERMINOLOGÍA

En un dentado helicoidal distinguiremos:• Los elementos "circunferenciales o aparentes" (afectados del subíndice t), que

son los considerados dentro de todo plano perpendicular al eje de la rueda.• Los elementos "normales o reales" (afectados del subíndice n), considerados

dentro de un plano normal a la hélice.En la siguiente figura se muestra el desarrollo del cilindro primitivo

correspondiente a un engranaje helicoidal, así como el perfil de los dientes sobre losplanos normal y transversal en una cremallera. En dicha figura se han indicado algunosde los parámetros geométricos más importantes, y la utilizaremos para deducir lasrelaciones geométricas existentes entre ellos.

• Ángulo de inclinación de la hélice primitiva, β: es el ángulo que forma latangente a la hélice trazada sobre el cilindro primitivo con el eje de la rueda.Si cortamos la superficie lateral del cilindro por una generatriz y ladesarrollamos sobre un plano, la hélice queda representada por una recta queforma un ángulo β con la generatriz.

• Ángulo de inclinación de la hélice-base, βb: es el ángulo de inclinación de lahélice trazada sobre el cilindro básico.

• Paso circular frontal (también llamado circunferencial o transversal), pt: esla distancia entre puntos homólogos de dos dientes consecutivos, medidossobre un plano perpendicular al eje de giro de la rueda.

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pr

zt =2π

• Paso circular normal, pn: este paso se mide sobre un plano perpendicular a lahélice. Se cumple que:

p pn t= ⋅ cos β

• Paso axial, pz: es la distancia entre puntos homólogos de dos dientesconsecutivos, medida sobre un plano paralelo al eje de giro.

• Ángulo de presión frontal o transversal, αt: es el ángulo de presión medidosobre una sección frontal.

• Ángulo de presión normal, αn: es el ángulo de presión medido sobre unasección normal al eje de la rueda.

• Módulo frontal o transversal, mt:

mp

tt=

π• Módulo normal, mn:

mp

nn=

πComo:

p pn t= ⋅ cos β

se cumple que:m mn t= ⋅ cos β

3. ALGUNAS RELACIONES ANGULARES DE INTERÉS

Si llamamos h a la altura del diente, de la última figura se deduce que:

tg' '

tgα

αnn

NNh

hNN

= ⇒ =

Y que:

tg' '

tgα

αtt

AAh

hAA

= ⇒ =

Igualando ambas expresiones se obtiene:

NN AA NNAA

nnaan t

n

t

'tg

'tg

tgtg

''

''

cosα α

αα

β= ⇒ = = =

Así pues:tgtg

cosαα

βn

t

=

Esta es la primera de las relaciones angulares que estábamos buscando.Para obtener la segunda relación tendremos en cuenta que la intersección del

helicoide con un cilindro coaxial al básico de radio genérico rx da lugar a una hélice de

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igual paso que la del cilindro base (ya que cuando una hélice ha dado una vuelta la otratambién la ha dado), pero de distinto ángulo de inclinación, βx.

Si desarrollamos ambos cilindros en un plano y tomamos un ancho de ruedaigual al paso axial se obtiene la siguiente figura.

De esta figura se deduce que:

tgtg

βπ π

βbb

zz

b

b

rp

pr

= ⇒ =2 2

Análogamente:

pr

zx

x

=2π

βtg

Igualando ambas expresiones2 2π

βπβ

ββ

r r rr

x

x

b

b

b

x

b

xtg tgtgtg

= ⇒ =

Particularizando para el cilindro primitivotgtg

ββ

b brr

=

Y como se cumple quer rb t= cosα

queda:tgtg

cos tgtg

cosββ

α ββ

αb t bt

rr

= ⇒ =

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4. NÚMERO DE DIENTES "IMAGINARIOS" DE UNDENTADO HELICOIDAL

Si nos colocamos sobre un plano normal a la hélice primitiva, el cilindroprimitivo de radio r queda seccionado según una elipse de semieje menor OC y semiejemayor OM (ver figura). A continuación, sustituiremos la elipse, en el entorno del puntoprimitivo, por una circunferencia de radio igual al de curvatura de la elipse, que endicha zona es el correspondiente al extremo del eje menor de la elipse.

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Dada una elipse de semiejes mayor y menor de longitudes a y b,respectivamente, puede demostrarse que el radio de curvatura en la extremidad del ejemenor vale:

rabn

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=

Como en nuestro caso el semieje mayor es

a = OM r cos= β

y el menor vale

b OC r= =el radio de curvatura de la elipse en el punto P tiene por expresión:

( )r

r cosr

rcosn

a2= =

β

β

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Teniendo en cuenta que dentro del plano de la sección el módulo es igual almódulo normal, mn=mtcosβ , y el ángulo de presión es el ángulo de presión normal, αn,podemos estudiar el dentado helicoidal dentro del plano normal como si tuviésemos undentado recto de las características siguientes:

• Módulo: mn

• Ángulo de presión: αn

• Radio primitivo: r/cos2βY el número de dientes "imaginario" correspondiente a este dentado será:

m2rz

z2rm

2r cosm cos

2rm cosn

n

nn

n

n

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t t3= ⇒ = = =

ββ β

Como el número real de dientes se mide en sección frontal, es claro que

z2rmt

=

Y sustituyendo en la igualdad anterior se llega a la siguiente expresión para elnúmero "imaginario" de dientes en un dentado helicoidal:

zz

cosn 3=

β

Este número equivalente de dientes de una rueda helicoidal respecto a una dedentado recto se utiliza para determinar el número límite de dientes y losdesplazamientos en la talla, pero no tiene ninguna otra utilidad.

El número límite de dientes de una rueda helicoidal se calcula haciendo z=zl enla anterior expresión.

zz

cosz z cos 14 cosnl

l3 l nl

3 3= ⇒ = = ⋅β

β β

Como en el caso de los engranajes cilíndrico-rectos, el factor de desplazamientopara talla en V viene dado por la expresión:

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xz z

z17 z

17l n

l

n=−

=−

No obstante, en la práctica se trabaja con

17cosz14

17z14

x3

n β−=

−=

5. COEFICIENTE DE ENGRANE O GRADO DERECUBRIMIENTO

En la figura, E1E2 es el segmento de engrane que, como sabemos, tiene unalongitud igual al arco de conducción de los perfiles transversales medido encircunferencia básica.

El coeficiente de engrane de los perfiles transversales podrá obtenerse comocociente entre el arco de conducción y el paso, medidos ambos en circunferencia básica.

επ αα =

⋅ ⋅E E

m cos1 2

t t

En la figura, la recta E1F1 representa la línea de contacto entre los flancos de unapareja de dientes en la que los perfiles transversales anteriores están terminando deengranar. Sin embargo, al punto de engrane de los perfiles transversales posteriores, queen el instante de la figura se encuentra en F1, le queda todavía por recorrer el segmentoF1F2.

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Al arco que la rueda debe girar para que el perfil transversal posterior acabe deengranar se le denomina "salto". Por las propiedades de la evolvente de círculo, elsegmento F1F2 tiene una longitud igual al salto medido en circunferencia básica, sb.

Llamando "b" al ancho de la rueda (véase en la figura), el salto medido encircunferencia básica puede expresarse de la manera siguiente:

s F F b tgb 1 2 b= = ⋅ β

Se llama recubrimiento del salto, εβ, al cociente entre el salto y el paso.Midiendo ambos en circunferencia básica, el recubrimiento del salto puede calcularsepor la expresión siguiente:

εβ

π αβ =⋅

⋅ ⋅b tg

m cosb

t t

Teniendo en cuenta que el arco de conducción total del dentado helicoidal esigual al arco de conducción del perfil transversal más el salto, el coeficiente de engranedel engranaje helicoidal, εγ, resultará ser igual al recubrimiento del perfil, εα, más elrecubrimiento del salto, εβ.

ε ε εγ α β= +

En la figura anterior, En1En2 representa el segmento de engrane en la secciónnormal. El coeficiente de engrane de los perfiles normales podrá obtenerse comocociente entre la longitud del segmento de engrane En1En2 y el paso normal medido encircunferencia básica:

επ ααn =

⋅ ⋅E E

m cos1n 2n

n n

De la figura puede obtenerse que

E EE Ecosn1 n2

1 2

b

=β

Sustituyendo esta ecuación en la anterior, se obtiene la siguiente expresión parael coeficiente de engrane de los perfiles normales:

επ α βαn

E=

⋅ ⋅ ⋅E

m cos cos1

n n b

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He aquí el significado práctico de la relación total de contacto; si su valor es, porejemplo, 5.4 (valor comprendido entre 5 y 6), esto significa que en ciertos instanteshabrá 5 pares de dientes en contacto simultáneamente, y en otros instantes habrá 6.

Como el dentado helicoidal tiene mayor coeficiente de engrane que el recto(pues al coeficiente de engrane de los perfiles transversales se le suma el recubrimientodel salto), las ruedas helicoidales tienen más dientes en contacto que las ruedas rectasequivalentes, por lo que este tipo de ruedas se utilizan con preferencia cuando lascuestiones de silencio sean primordiales.

Indiquemos, para finalizar, que para utilizar el dentado helicoidal con ciertoperfil es necesario que la relación de recubrimiento sea por lo menos igual a uno; esdecir:

ε β ≥ 1

6. NORMALIZACIÓN

En el dentado oblicuo el perfil normalizado es el perfil normal. En consecuencia,las dimensiones del dentado son las siguientes:

DIMENSIONES DEL PERFIL DE REFERENCIA

DENTADO NORMALIZADO DENTADO DESPLAZADO

Ángulo de presión normal de ref. αn = α =20º αn = α =20º

Altura de cabeza ha = mn ha = mn (1+x )

Altura de pie hf = 1.25 mn hf = mn (1.25 - x )

Altura de cabeza de la herram. ha0 = 1.25 mn ha0 = 1.25 mn