hay hombres que luchan un día y son buenos. hay otros que ... · poliedros) en dos y tres...

Hay hombres que luchan un día y son buenos. Hay otros que luchan un año y son mejores.

Hay quienes luchan muchos años y son muy buenos. Pero hay los que luchan toda la vida.

Esos son los imprescindibles.

Mario Benedetti

A mi padre

i

AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOOSS Quiero agradecerle muy especialmente al profesor Eugenio Oñate la oportunidad que me brindó de colaborar en el proyecto Cutter, así como todo el apoyo y la confianza que de él he recibido. Al grupo de investigadores de CIMNE por su ayuda y dedicación: Jerzy Rojek, Francisco Zarate, Joan Miquel Canet y Eva Balsa. A Carlos Recarey un millón de gracias por toda su ayuda. A los compañeros de CIMNE (José Antonio Arráez, Jose Manuel González, Roberto, Martín, Gerardo) por las horas y los cafés de media tarde. A mi padre, a mi madre y a mis hermanos por todo su amor. A mis compañeras de estudios: Diana, Esther, Leire, Mercè, Montse G., Montse S. y Sonia por estar ahí, por su amistad, su mejor regalo. A Delfina Muñoz por su genialidad y por su sonrisa. A Jordi por llenar mi vida.

Aplicación de los elementos discretos a la simulación del problema de desgaste

1

CCaappííttuulloo 11:: IInnttrroodduucccciióónn Desde tiempos inmemoriales el hombre ha actuado sobre su entorno, transformándolo y adaptándolo a sus necesidades y gustos. Para ello, en muchas circunstancias, debe incluso modelar el terreno que le sustenta. En este sentido, el gran avance de la técnica ha permitido desarrollar maquinaria adecuada a este fin. A continuación, se muestra un modelo del terreno y el útil que consigue simular el proceso de excavación. El modelo numérico adoptado se basa en el método de los elementos discretos. El método de los elementos discretos es una técnica numérica que permite la modelización de sólidos como una colección de partículas o elementos de distintas formas (discos, polígonos, esferas, poliedros) en dos y tres dimensiones. Los objetivos de esta tesina son:

Hallar una metodología clara y sencilla para la caracterización de los parámetros micro de cualquier tipo de material dados sus parámetros macro

Realizar una primera tentativa al problema del desgaste demostrando que se tiene una herramienta eficaz para su estudio

Para llegar a conseguir dichos objetivos se han estudiado las incursiones que habían hecho autores anteriores en este tema. El desarrollo del método de los elementos discretos en geotecnia fue originado por el estudio de la mecánica de materiales granulares (Cundall and Strack, 1979; Cundall et al., 1982). En las últimas dos décadas, el método de los elementos discretos se ha aplicado en muchas disciplinas y a diferentes escalas, desde la simulación de avalanchas (Makse et al., 1996) a la identación y problemas de corte en dinámica molecular (Hoover et al., 1990; Shimada et al.,1998). La formulación del método de los elementos discretos asumiendo las principales aportaciones de Cundall (1979, 1988) ha sido desarrollada por Jerzy Rojek et al. (2001) y implementada en el código dinámico explícito de elementos finitos Simpact ([1] y [2]). No existe una teoría completa para predecir las propiedades macroscópicas a partir de los parámetros micro y viceversa. Por tanto, el estudio de la relación entre los parámetros micro y las propiedades del material se convierte en una prioridad de esta tesina. Una vez alcanzado este objetivo, se estudiará el problema del desgaste del modo más genérico posible. Debe destacarse que los resultados obtenidos son nada más que una tentativa dada la amplia complejidad del problema que se trata.

Introducción

2

Se presenta un modelo numérico del útil y del terreno (suelo o roca) capaz de simular el proceso de excavación. El principal fenómeno físico considerado es la interacción del útil con el terreno que lleva al colapso del material excavado y al desgaste del útil (cambio de geometría). El útil de excavación está discretizado en partículas de menor tamaño a las que constituyen la roca o suelo modelado. De tal modo que el cambio de geometría del útil no conlleve a la creación de irregularidades indeseadas para el estudio del problema que nos ocupa. La parte interna del diente que no va a ser desgastada puede modelarse mediante elementos finitos. Todo el diente podría modelarse mediante elementos finitos rígidos si no se desea estudiar el problema de desgaste, ya que de este modo la geometría del diente no se modifica. Se asume que el útil no se deforma (es rígido). Por tanto, no es necesario que el algoritmo de búsqueda de los contactos considere las esferas que constituyen el útil y no forman parte del contorno. Sí se analizará la interacción (el contacto) entre las partículas que conforman el útil y el material modelado. Las principales novedades de esta tesis que le dan a su vez un elevado valor científico y práctico son:

La formulación termo-mecánica del método de los elementos discretos La metodología presentada para determinar los parámetros micro que

caracterizan los materiales en el MED La modelización del problema de desgaste


3

CCaappííttuulloo 22:: EExxppeerriieenncciiaass aanntteerriioorreess 1 Introducción La finalidad de este apartado es realizar una descripción más o menos extensa de las principales aportaciones realizadas principalmente por Cundall ([2] y [3]) en lo que se refiere al método de los elementos discretos. El método de los elementos discretos es un método numérico capaz de describir el comportamiento mecánico de conjuntos de discos y esferas. El método se basa en el uso de un esquema de integración explícito en el tiempo. La interacción entre partículas se estudia en cada contacto y el movimiento de las partículas se modela partícula a partícula. Un medio granular está compuesto por un conjunto de partículas. El desplazamiento de una de ellas es independiente del de las demás y sólo interactúan las unas con las otras en los puntos de contacto. El carácter discreto del conjunto implica que bajo carga y descarga su comportamiento sea muy complejo. La interpretación de ensayos de laboratorio de medios granulares, como las arenas, resulta extremadamente dificultosa debido a que no se pueden medir tensiones en el interior de la probeta y estas deben estimarse a partir de las condiciones en los contornos. La incertidumbre en las tensiones en el seno de un medio granular como la arena ha conllevado el desarrollado de modelos del mismo geométricamente más sencillos que una arena. Dichos modelos consisten en conjuntos de discos o esferas y pueden ser analíticos, físicos o numéricos. Un modelo analítico para un conjunto de esferas de tamaño uniforme en una probeta cúbica fue propuesto por Deresiewicz (1958). Los resultados predecían un comportamiento no lineal y con histéresis de la ley de tensión-deformación. El estado último de rotura también se hallaba recogido en la formulación. Este procedimiento analítico está restringido a una probeta cúbica de esferas de radio uniforme y con una secuencia limitada de carga. Un método de ensayo que hacía posible la determinación directa de las fuerzas en los contactos entre partículas fue propuesta por Dantu (1957) y Wakabayashi (1957). Estos investigadores propusieron el uso de material fotosensible para los discos. Un análisis de la distribución de fuerzas en un test como el mencionado fue descrito por De Josselin de Jong y Verruijt (1969). A pesar de que el ensayo de conjuntos de discos fotosensibles es bastante general y permite hallar de forma precisa las fuerzas de contacto y los desplazamientos y rotaciones de cada uno de los discos, el análisis consume

Experiencias anteriores

4

mucho tiempo. Drescher y De Josselin de Jong (1971) llevaron a cabo una serie de tests con la finalidad de verificar el modelo de libres rotaciones y doble deslizamiento de De Josselin de Jong. La información extraída de estos tests fue suficiente para confirmar los rasgos principales del modelo continuo. Seguramente el modo más eficaz de modelar un medio granular es mediante técnicas numéricas. El análisis numérico es más flexible que el analítico y tiene como ventaja sobre el análisis experimental o físico el hecho de que se pueden obtener resultados a lo largo de toda la simulación. La flexibilidad de la modelación numérica se extiende a las configuraciones de carga, tamaños de partículas, tamaño de las distribuciones y propiedades físicas de las partículas. Serrano y Rodríguez-Ortiz (1973) y Rodríguez-Ortiz (1974) desarrollaron un modelo numérico para conjuntos de discos y esferas. Las fuerzas de contacto y los desplazamientos son calculados para la condición de equilibrio asumiendo que los incrementos en las fuerzas de contacto están determinados por los desplazamientos incrementales de los centros de las partículas. El tipo de contacto Herziano fue usado para las fuerzas de contacto normales, los efectos de las fuerzas tangenciales se consideraron de acuerdo a la teoría de Mindlin y Deresiewicz (1953) y Nayak (1972), y los cambios de forma se consideraron negligibles. Una gran desventaja del método usado para solucionar las ecuaciones es que el cálculo consume mucho tiempo ya que la matriz que representa las rigideces de los contactos debe reformularse cada vez que un contacto se rompe o hay uno nuevo. El método de los elementos distintos o discretos puede utilizarse con partículas de cualquier forma y fue desarrollado por Cundall (1971 y 1974) para el análisis de problemas de mecánica de rocas. El contacto entre partículas se considera un problema transitorio con estados de equilibrio en los cuales siempre se cumple el balance de fuerzas internas. Se ha usado un esquema de integración explícita debido a su eficiencia. Con la intención de mostrar que el modelo de los elementos discretos describía de forma realista el comportamiento de un conjunto de discos, Cundall reprodujo numéricamente un test de un conjunto de discos descrito por De Josselin de Jong y Verruijt (1969). La comparación entre los resultados numéricos y los resultados obtenidos en el ensayo fotoelástico indica que el modelo numérico puede ser utilizado para sustituir ensayos fotoelásticos. Los elementos discretos avanzaron hasta el punto en que la compleja interacción mecánica de un medio discontinuo pudo ser modelado en tres dimensiones. Fue muy importante la formulación de un método de detección de los contactos entre partículas rápido y robusto en tres dimensiones. A continuación, se describe una técnica para detectar contactos entre bloques de forma arbitraria y representar las características geométricas y físicas del contacto. El método utiliza una estructura de datos que permite realizar los cálculos rápidamente en un ordenador personal para conjuntos de centenares de partículas.


5

El método de los elementos discretos permite simular la respuesta mecánica de sistemas formados por bloques discretos o partículas. La forma de las partículas es arbitraria y cualquier partícula puede interactuar con otra cualquiera, sin existir limitaciones en sus desplazamientos y rotaciones. Dada esta generalidad, fue necesario desarrollar un método de identificación de pares de partículas en contacto y de representación de las propiedades geométricas y físicas de estas. Se describirá a continuación un método que cumple los objetivos mencionados de forma rápida para un sistema tridimensional formado por varios bloques. En general, los bloques pueden ser cóncavos o convexos. Es importante tener una estructura de datos que permita acceder rápidamente a los que son más relevantes cuando es necesario. En particular, debido a la naturaleza explícita de los cálculos mecánicos que suelen comprender centenares de pasos dentro de un solo ciclo principal. 2 Método de los elementos discretos para conjuntos granulares 2.1 El método de los elementos discretos En el método de los elementos discretos, el equilibrio de las fuerzas de contacto y los desplazamientos de un conjunto de discos tensionado se encuentra a través de una serie de cálculos siguiendo los movimientos de las partículas individualmente. Dichos movimientos son el resultado de la propagación a través del medio de las perturbaciones originadas en los contornos. La velocidad de propagación es una función de las propiedades físicas del medio discreto. En la descripción del comportamiento dinámico numéricamente, se toman pasos de tiempo a lo largo de los cuales las velocidades y aceleraciones se asumen constantes. El método de los elementos distintos se basa en que el paso de tiempo escogido es lo suficientemente pequeño para que en un solo paso de tiempo las perturbaciones no se puedan propagar más lejos que de un disco a sus vecinos. Por tanto, en todos los pasos de tiempo las fuerzas en un disco se determinan exclusivamente por su interacción con los discos en contacto con él. Es este punto clave el que hace posible seguir la interacción no lineal de un gran número de discos sin requerir excesiva memoria o la necesidad de un procedimiento iterativo. Debe subrayarse que en el análisis desarrollado no se considera el agua intersticial. 2.2 El ciclo de cálculo Los cálculos que se realizan en el método de los elementos discretos alternan la aplicación de la segunda ley de Newton en los discos y una ley fuerza-desplazamiento en los contactos. La segunda ley de Newton proporciona el movimiento de una partícula resultante de las fuerzas que actúan sobre ella. La


6

ley de fuerza-desplazamiento en los contactos permite hallar las fuerzas de contacto a partir de los desplazamientos. Las deformaciones de las partículas son pequeñas en comparación con la deformación del conjunto de partículas. La deformación última es debida principalmente al movimiento de las partículas como sólidos rígidos. Por lo tanto, una modelación precisa de la deformación de las partículas no es necesaria para obtener una buena aproximación del comportamiento mecánico. Se permite a las partículas que se superpongan las unas con las otras. Dicha superposición substituye la deformación de las partículas. La magnitud de la penetración entre esferas es directamente proporcional a la fuerza de contacto. Debe destacarse que dicha penetración es pequeña en comparación con el tamaño de las partículas.

2.2.1 La ley fuerza-desplazamiento La ley fuerza-desplazamiento se va a representar para el caso de dos discos en contacto x e y. Las coordenadas de los centros de los discos se representan como xi=(x1,x2) y yi=(y1,y2) donde los índices 1 y 2 se refieren a los ejes coordenados en un sistema de coordenadas cartesianas global. Las componentes de los vectores de velocidad de los discos x e y son )x,x( 21i

&&& =x ,

)y,y( 21i&&& =y y las velocidades angulares son )x(θ& y )y(θ& (positivas en el sentido

antihorario). R(x) y R(y) y m(x) y m(y) son los radios y las masas de los discos x e y respectivamente. Los puntos P(x) y P(y) se definen como los puntos de intersección de la línea que conecta los centros de los discos con sus respectivos contornos. Dos discos se consideran en contacto si la distancia D entre sus centros es menor de la suma de sus radios (D<[R(x)+R(y)]). Si dicha condición es conocida, el desplazamiento relativo en el punto de contacto se determina mediante la integración de la velocidad relativa. La velocidad relativa en el contacto se define como la velocidad del punto P(x) respecto al punto P(y). El vector unitario ei=(cosα,sinα) lleva la dirección de la recta que une los centros de los discos y

apunta de x hacia y (D

iii

xye −= ), y el vector unitario ti se obtiene girando 90º

el vector ei en sentido horario. La velocidad relativa del punto P(x) respecto al punto P(y) ahora se puede representar como iX& por:

i)y()y()x()x(iii RR() t)yxX ⋅⋅+⋅−−= θθ &&&&& ( (1)


7

La componente normal (n& ) y la tangencial (s& ) de las velocidades relativas son las proyecciones de iX& en ei y ti respectivamente:

iii

ii)y()y()x()x(iiiii

)

RR()

eyx

et)eyxeXn

⋅−=

=⋅⋅⋅+⋅−⋅−=⋅=&&

&&&&&&

(

( θθ; (2)

)tyx

tt)tyxtXs

)y()y()x()x(iii

ii)y()y()x()x(iiiii

RR()

RR()

⋅+⋅−⋅−=

=⋅⋅⋅+⋅−⋅−=⋅=

θθ

θθ&&&&

&&&&&&

(

(; (3)

La integración de las componentes de la velocidad relativa respecto al tiempo proporciona las componentes ∆n y ∆s del vector incremento de desplazamiento relativo:

{ } t)t iii ∆⋅⋅−=∆⋅=∆ eyxnn &&& ( ; (4)

{ } tRR()t )y()y()x()x(iii ∆⋅⋅+⋅−⋅−=∆⋅=∆ )tyxss θθ &&&&& ( ; (5)

Las componentes del vector incremento de desplazamiento relativo a través de la ley fuerza-desplazamiento proporcionan los incrementos de fuerza de contacto normal ∆Fn y tangencial ∆Fs:

{ } t)kk iiinnn ∆⋅⋅−⋅=∆⋅=∆ eyxnF &&( ; (6)

{ } tRR()kk )y()y()x()x(iiisss ∆⋅⋅+⋅−⋅−⋅=∆⋅=∆ )tyxsF θθ &&&&( ; (7)

en donde kn y ks representan la rigidez normal y tangencial respectivamente. Finalmente, en cada paso de tiempo las fuerzas ∆Fn y ∆Fs se añaden a la suma de todos los incrementos de fuerza, Fn y Fs, determinados en pasos de tiempo anteriores:

( ) ( ) n1NnNn FFF ∆+= − ; (8)

( ) ( ) s1NsNs FFF ∆+= − ; (9)

en donde los subíndices N y N-1 se refieren a los tiempo tN y tN-1 tales que

ttt 1NN ∆=− − . Los vectores Fn y Fs se toman positivos cuando siguen las direcciones opuestas a ei y ti. Se incorpora la ley de fricción de Coulomb como se describe a continuación. La magnitud de la fuerza tangencial Fs hallada a partir de la ecuación (9) se compara con el máximo valor posible (Fs)max definido como:

( ) ctanFF unmaxs +⋅= φ ; (10)


8

en donde φu es el menor de los ángulos de fricción de las dos partículas en contacto y c es la menor de sus cohesiones. Si el valor absoluto de (Fs)N hallado a partir de la ecuación (9) es mayor que (Fs)max, entonces (Fs)N es igual a (Fs)max, conservando el signo obtenido de la ecuación (9). Una vez se han determinado las fuerzas normales y tangenciales para cada uno de los contactos entre partículas, por ejemplo para el disco x, se descomponen en las direcciones 1 y 2. La suma de todas las fuerzas de contacto actuantes en una partícula proporciona las fuerzas resultantes ( )∑ 1xF y ( )∑ 2xF . El momento

resultante actuando en el disco x, ( )∑ xM , se toma positivo cuando actúa en

sentido contrario a las agujas del reloj y se halla como ( ) ∑∑ ⋅= )x(sx RFM (el

sumatorio se refiere a todos los contactos del disco x). A partir de las fuerzas y momentos resultantes actuando en el disco x y aplicando la segunda ley de Newton se hallan las nuevas aceleraciones lineal ix&&

y angular )x(θ&& .

2.2.2 Movimiento El modo de obtención de las velocidades lineal y angular que se utilizan en la ley fuerza-desplazamiento (ecuaciones (6) y (7)) se describe a continuación. La fuerza y el momento calculados para el instante tN se asumen actuando sobre el disco x durante el intervalo ∆t que va desde tN-1/2 a tN+1/2. La segunda ley de Newton aplicada al disco x:

∑=⋅

i)x(i)x(m Fx&& ; (11)

∑=⋅ )x(i)x(I Mθ&& ; (12)

en donde I(x) representa el momento de inercia del disco x. Tomando ix&& y iθ&& constantes a lo largo del intervalo ∆t, se pueden deducir de las ecuaciones (11) y (12) las siguientes expresiones para las velocidades aplicando diferencias centradas:

( ) ( ) tm

N)x(

)x(

21

Ni21

Nii ∆⋅

+= ∑−+

Fxx && ; (13)

( ) ( ) tI

N)x(

)x(

21

N)x(21

N)x( ∆⋅

+= ∑−+

Mθθ && ; (14)


9

Se aplican estas ecuaciones a todos y cada uno de los discos. Estos nuevos valores para las velocidades se usan en la ley fuerza-desplazamiento y se repite el ciclo para un nuevo incremento de tiempo. Mediante los nuevos valores de las velocidades se actualizan las posiciones y rotaciones de los discos integrando numéricamente mediante diferencias centradas las velocidades:

( ) ( ) ( ) t

21

NiNi1Ni ∆⋅+= ++ xxx & ; (15)

( ) ( ) ( ) t21

N)x(N)x(1N)x( ∆⋅+=++

θθθ & ; (16)

2.2.3 Amortiguamiento Existe un amortiguamiento friccional cuando una esfera desliza sobre la otra al haber superado la fuerza tangencial de contacto el valor de (Fs)max. Existe la posibilidad de aplicar dos tipos de amortiguamiento más: uno en el contacto y otro global del sistema. El amortiguamiento en el contacto actúa sobre las velocidades. El amortiguamiento viscoso en la dirección tangencial no se aplica cuando hay deslizamiento. En este caso, actúa únicamente el amortiguamiento friccional. Si se considera amortiguamiento en el contacto, se deben incluir las fuerzas de amortiguamiento en las ecuaciones (13) y (14), que resultarán:

( ) ( ) tm

N)x(

)x()x(

21

Ni21

Niii ∆⋅

++= ∑−+

DFxx && ; (17)

( ) ( ) tI

N)x(

)x(

21

N)x(21

N)x( ∆⋅

+= ∑−+

Mθθ && ; (18)

en donde ∑ i)x(D representa la suma de las componentes de las fuerzas de

amortiguamiento del contacto y donde ∑ )x(M ahora incluye la contribución de

dichas fuerzas. Las componentes globales i)x(D se hallan a partir de las

componentes normal Dn y tangencial Ds, que se obtienen a partir de las siguientes ecuaciones:

( ) [ ] i

21

NiinnNn cc eyxnD ⋅−⋅=⋅= −&&& ; (19)

( )

⋅+⋅−⋅−⋅=⋅=−−

21

N)y()y()x()x(i

21

NiissNs RR()cc )tyxsD θθ &&&&& ( ; (20)


10

Existe un pequeño error de medio paso de tiempo en el cálculo de las fuerzas de amortiguamiento Dn y Ds (se parte de los valores de las velocidades lineales

y angulares en el instante correspondiente al paso de tiempo

−

21

N ), pero su

efecto es negligible. Los coeficientes de amortiguamiento cn y cs se han tomado proporcionales a las rigideces de los contactos kn y ks con coeficiente de proporcionalidad β:

nn kc ⋅= β ; (21)

ss kc ⋅= β ; (22)

El amortiguamiento global actúa sobre los valores absolutos de las velocidades lineal y angular de los discos y se introduce en el cálculo del movimiento. Si se incluye el amortiguamiento global además del amortiguamiento del contacto, las ecuaciones del movimiento (11) y (12) se transforman en:

( ) ii)x(i)x(i)x( Cm xDFx &&& ⋅−+=⋅ ∑ ; (23)

i*

)x(i)x( CI θθ &&& ⋅−=⋅ ∑M ; (24)

en donde C y C* son los coeficientes de amortiguamiento global del sistema. Se usa un esquema de diferencias centradas para integrar las ecuaciones (23) y (24) y las velocidades se promedian entre los instantes medios de dos intervalos consecutivos.

( ) ( ) ( )

+⋅= +−

21

Ni21

NiNi 21 xxx &&& ; (25)

( ) ( ) ( )

+⋅=

+−21

N)x(21

N)x(N)x( 21

θθθ &&& ; (26)

Escribiendo ( )Nix&& como ( ) ( ) 1

21

Ni21

Ni t−+− ∆⋅

− xx && y ( )

N)x(θ&& como

( ) ( ) 1

21

N)x(21

N)x( t −+−

∆⋅

− θθ && y usando las ecuaciones (23) y (24), podemos

rescribir las ecuaciones (17) y (18) como:

( ) ( ) ( )

∆⋅+

∆

⋅++

∆⋅−⋅= ∑−+ 2

tmC1

mt

2t

mC1

)x()x(Ni)x(i)x(

)x(21

Ni21

Ni DFxx && ; (27)


11

( ) ( ) ( )

∆⋅+

∆

⋅+

∆⋅−⋅= ∑−+ 2

tIC

1I

t2t

IC

1)x(

*

)x(N)x(

)x(

*

21

N)x(21

N)x( Mθθ && ; (28)

Se pueden tomar los coeficientes de amortiguamiento global proporcionales a la masa y el momento de inercia respectivamente:

)x(

*)x( IC ,mC ⋅=⋅= αα ; (29)

Usando estas igualdades se pueden simplificar las ecuaciones (27) y (28):

( ) ( ) ( )

∆

⋅+

∆

⋅++

∆

⋅−⋅= ∑−+ 2t

1m

t2t

1)x(

Ni)x(i)x(21

Ni21

Ni αα DFxx && ; (30)

( ) ( ) ( )

∆

⋅+

∆

⋅+

∆

⋅−⋅= ∑−+ 2t

1I

t2t

1)x(

N)x(21

N)x(21

N)x( αα Mθθ && ; (31)

Las ecuaciones de fuerza-desplazamiento y movimiento describen completamente el modelo utilizado para un medio granular. La energía se disipa por medio de la fricción y los amortiguamientos (de contacto y global). El uso del amortiguamiento, aparte de la fricción en el contacto, es necesario para que el conjunto de elementos estudiado alcance el equilibrio bajo cualquier condición. Se puede usar una ley de fuerza-desplazamiento no lineal, como en el caso de contacto Herziano. El esquema numérico será estable si el intervalo de tiempo elegido ∆t es menor al tiempo crítico. El tiempo crítico se estima como el del sistema de un solo grado de libertad de una masa m conectada al suelo mediante un muelle de rigidez k, para el cual el tiempo crítico se iguala a km2 ⋅ . 2.3 Parámetros de entrada (input) Los parámetros de entrada que deben especificarse para utilizar el código implementado por Cundall [2] se dividen en dos grupos:

datos geométricos propiedades físicas

Los datos geométricos describen las posiciones y orientaciones de los elementos discretos, en referencia al sistema de coordenadas global. Se define un contorno a partir de un punto fijo P con coordenadas )x,x( 2)w(1)w(i)w( =x y

un vector unitario )sin,(cosi αα=e tal que el contorno es un segmento de la recta que pasa por P y tiene la dirección ei. Multiplicadores de ei, h(1) y h(2),


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definen los puntos finales del contorno A y B con coordenadas i)1(i)w(i)A( hx ex ⋅+= y i)2(i)w(i)B( hx ex ⋅+= respectivamente.

En los contornos se imponen condiciones de deformación. Se especifica la velocidad a la que se mueven los contornos, no las fuerzas aplicadas en los mismos. El movimiento de los contornos se define mediante la velocidad de desplazamiento del punto P, )x,x( 2)w(1)w(i)w(

&&& =x , y la velocidad angular del

contorno alrededor de P, α& . Un disco viene definido mediante la posición de su centro y el radio. Las propiedades físicas se asignan a un grupo. Los dos grupos más usuales son: el conjunto de elementos discretos y los contornos. A cada disco se le asocia el grupo al que pertenece. Éste, a su tiempo, tiene asociado un conjunto de propiedades físicas: radio, densidad, cohesión, coeficiente de fricción entre partículas utanφ y rigideces normal y tangencial. Otros parámetros, como el amortiguamiento global y de contacto y el paso de tiempo ∆t (como fracción del tiempo crítico), se aplican al conjunto de elementos y contornos que constituyen el problema de estudio. 2.4 Unidades Los valores de las propiedades en el estudio de Cundall se tomaron de tal modo que el solape entre discos fuera pequeño en relación al tamaño de las partículas, que el proceso numérico fuera estable y que los resultados numéricos calculados estuvieran dentro de un rango que se pudiera tratar con precisión. No se hizo ningún intento de relacionar las unidades usadas en el código con unidades con sentido físico. Cundall procuró únicamente fijar el valor de dos parámetros con un cierto sentido físico. El ángulo de fricción entre partículas, uφ , y la relación entre la rigidez normal y tangencial, ks/kn. De acuerdo a los resultados analíticos obtenidos por Mindlin (1949): el cociente ks/kn para cuerpos elásticos en

contacto con áreas elípticas de contacto debe situarse dentro del rango

1,32 1.

En base a estos resultados se restringió el valor de ks/kn a dicho rango. 1 Este rango se aplica si la fuerza de contacto tangencial sigue la dirección del eje menor de la elipse de contacto.


13

3 Esquema para detectar y representar contactos en un sistema compuesto por varios bloques poliédricos desarrollado por Cundall

3.1 La estructura de datos

3.1.1 Información general Todos los datos están contenidos en un vector principal. Estos pueden ser tanto reales como enteros y estar mezclados del modo que convenga. Cada entidad física (ya sea un bloque, una cara o un contacto) se representa por un elemento de datos, que es un grupo contiguo de dos o más palabras. Los elementos de datos se relacionan dinámicamente desde el grupo principal, como sea requerido, y se ligan con la estructura de datos mediante punteros. Los tipos de listas enlazadas y de elementos de datos se describirán más adelante. Los datos que dejan de ser necesarios se agrupan en una pila. Primero se chequea dicha pila si se necesitan nuevos elementos de datos. No es necesaria una rutina de destrucción de elementos porque los nuevos elementos necesarios sustituyen el espacio de memoria ocupado por los elementos colocados en la pila. Debe destacarse que las listas enlazadas necesitan muy poco tiempo de computación para gestionarse. Sólo se deben cambiar dos o tres enteros para eliminar o añadir un elemento a una lista enlazada. Cada elemento tiene una dirección en el vector principal: una dirección es el índice en el vector principal de la primera palabra del elemento de datos. Por ejemplo, los elementos no están referenciados mediante números secuenciales o mediante números proporcionados por el usuario, sino por direcciones en el vector principal. Normalmente los usuarios no necesitan conocer las direcciones porque los bloques, contactos, etc., se identifican mediante sus coordenadas. La estructura de datos se ha diseñado en base al principio de reducir el tiempo de computación a pesar de aumentar el uso de memoria para almacenar los datos y sus punteros. La integración explícita en el tiempo combina bien con un procesamiento en paralelo, ya que conceptualmente los cálculos se hacen en paralelo para cada paso de tiempo. Esto deja de ser así para métodos de integración implícita en los que cada elemento interactúa con el resto en cada paso de tiempo. Se pueden modelar dos tipos de poliedros con el código implementado:

Bloques rígidos con seis grados de libertad (tres translacionales y tres rotacionales)

Bloques deformables, que son divididos internamente en tetraedros con tres grados de libertad translacionales en cada vértice (nodo).


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Los bloques rígidos tienen caras planas formando polígonos de cualquier número de caras. El la Figura. 2.1 se ilustra la estructura de datos para un bloque rígido. A su vez, cada elemento se relaciona con la estructura principal mediante punteros. Los bloques acceden mediante un puntero global a una lista arbitraria de todos los bloques. El elemento de datos de cada bloque contiene un puntero que lo relaciona con una lista de sus vértices y caras. Cada elemento de cara contiene un puntero que lo relaciona con una lista circular que contiene las direcciones de los vértices que forman la cara de forma ordenada. Por tanto, hay dos modos de acceder a los datos de un vértice: primero, los vértices pueden buscarse directamente en la lista de vértices (por ejemplo, para actualizar su velocidad y coordenadas durante el movimiento del bloque); segundo, se pueden acceder a los vértices que pertenecen a cada cara (esto es útil en la detección de contactos).

Figura. 2.1 Estructura de datos para un bloque rígido

La estructura de datos de bloques deformables es similar a la de bloques rígidos, pero cada cara poligonal se discretiza en subcaras triangulares, en concordancia con la discretización tetraédrica interior. Los bloques pueden ser cóncavos, huecos y estar conectados múltiplemente. Sin embargo, existen tantas ventajas en la utilización de bloques convexos que el programa descompone los bloques cóncavos en varios convexos: uno se denomina como bloque maestro y el resto como bloques esclavos de este. En toda la lógica descrita los bloques maestro y esclavo se tratan igual, pero con las ventajas de tratar bloques convexos. Sin embargo, durante los cálculos mecánicos el bloque maestro y sus esclavos se tratan como uno solo. En consecuencia, se determina un centro de gravedad, una masa, etc comunes.


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Seguidamente, se tratará la necesidad de la convexidad para justificar una serie de procedimientos.

3.1.2 Representación de los contactos A cada par de bloques rígidos convexos en contacto o separados por una pequeña distancia se les asigna un elemento de datos. Este elemento corresponde al contacto físico entre los dos bloques y contiene información relevante como el valor del coeficiente de fricción, la fuerza tangencial, etc. Si cualquiera de los dos bloques se considera deformable (discretizado internamente), el elemento que define el contacto contiene punteros que lo relacionan con una serie de subcontactos para cada uno de los nodos en contacto del bloque o bloques deformables.

Figura. 2.2 (a) Principales componentes del elemento de datos de los contactos; (b) Enlaces

locales y globales para un conjunto de cuatro bloques

Cada contacto se relaciona con todos los otros contactos, así como se relaciona con el par de bloques que constituyen el contacto. La forma de la estructura de datos de los contactos para un conjunto de cuatro bloques se muestra en la Figura. 2.2. Se puede acceder a cada uno de los contactos mediante varios caminos, en función de la necesidad. Durante el ciclo principal de cálculo se debe acceder uno a uno a todos los contactos cuando se actualizan las fuerzas de contacto. Esto se realiza mediante la lista enlazada que viene relacionada


16

con el puntero global. Una vez se accede a un contacto, se hallan los bloques que lo constituyen mediante los punteros del contacto que se refieren a estos. Durante la detección de los contactos y reasignación, es conveniente saber que contactos existen todavía para un bloque dado. 3.2 Identificación de vecinos Antes de nada se deben identificar los pares de bloques en contacto. Sería prohibitivo, desde el punto de vista del tiempo de computación, chequear todos los pares posibles, ya que dicho tiempo crece cuadráticamente con el número de bloques. En dos dimensiones, es posible crear una estructura de datos canónica que represente los huecos entre bloques automáticamente. Es, por tanto, simple recorrer todos los huecos locales que rodeen un bloque con la finalidad de hallar una lista de todos los posibles contactos. Este esquema tiene un tiempo de búsqueda que aumenta linealmente con el número de bloques pero, dicha estructura no es exportable a las tres dimensiones. Un método menos elegante, pero más robusto, es el que se ha adoptado aquí para la identificación de vecinos y se describirá a continuación.

3.2.1 Mapeo de celdas y búsqueda

Figura. 2.3 Ejemplo de mapeo de bloques en 2D

El espacio que contiene el conjunto de bloques se divide en celdas cúbicas. Cada bloque se representa en la celda o celdas que su espacio envolvente


17

ocupa. El espacio envolvente de un bloque se define como el menor cubo que lo contiene. Cada celda almacena, en forma de listas enlazadas, las direcciones de todos los bloques que se representan en ella. En la Figura.2.3 se representa el mapeo lógico para un espacio bidimensional (debido a la dificultad que conlleva expresar el contacto en tres dimensiones). Una vez todos los bloques están representados en las celdas, es más fácil identificar los bloques vecinos: las celdas en las que está contenido su espacio envolvente tienen una referencia de todos los bloques que están cerca. Normalmente, este espacio de búsqueda se incrementa en todas las direcciones por una tolerancia, de tal modo que se hallan todos los bloques situados a menos de dicha distancia. Debe destacarse que el tiempo necesario para representar el bloque y buscar sus vecinos depende del tamaño y forma del bloque, pero no del número de bloques del sistema. El tiempo total de detección de vecinos depende directamente del número de bloques, considerando que el volumen de las celdas es proporcional al volumen medio de los bloques. Es difícil proporcionar una fórmula para hallar el tamaño óptimo de las celdas, debido a la variedad de formas de los bloques que pueden estar en contacto. En el límite, si se crea una única celda todos los bloques se representarán en esta y el tiempo de búsqueda será cuadrático con el número de bloques. A medida que la densidad de celdas aumenta, el número de bloques vecinos asociados a un bloque dado disminuirá. Llegado un cierto límite, el hecho de aumentar la densidad de celdas no proporciona ninguna ventaja, ya que todos los bloques serán vecinos. A su vez, al aumentar la densidad de las celdas, el tiempo asociado al mapeo y la búsqueda aumenta. El óptimo de la densidad de celdas debe estar, por tanto, en el orden de una celda por bloque, de tal modo que se minimiza el tiempo suma de búsqueda y mapeo. Conforme un bloque se van moviendo en el transcurso de la simulación, se vuelve a representar y se buscan los contactos con sus vecinos. Este proceso se activa cada vez que el movimiento acumulado del bloque uacc excede una tolerancia prefijada CTOL. La variable uacc se iguala a cero después de cada mapeo y se actualiza en cada paso de tiempo del siguiente modo:

{ } du maxu:u accacc += ; (32)

en donde du es el incremento de desplazamiento de un vértice. La función max aplicada sobre todos los incrementos de desplazamiento de los vértices del bloque devuelve el mayor de estos. La búsqueda de contactos se realiza en un volumen 2*CTOL mayor en todas las direcciones que envuelva al bloque, de este modo se permite el máximo movimiento del bloque y de cualquier vecino potencial. Si cualquier bloque intenta moverse fuera del espacio de celdas, este se aumenta en un 10% en la dirección afectada y se representan todos los bloques de nuevo. El valor de CTOL se usa también para determinar cuando un contacto se crea o se destruye. Si dos bloques estás separados una distancia menor o igual que


18

CTOL, se crea un nuevo contacto. Por el contrario, cuando dos bloques en contacto llegan a separarse una distancia mayor que CTOL, este se elimina. El modo de proceder descrito asegura que la estructura de datos para todos los contactos potenciales está bien constituida antes de que un contacto ocurra. También asegura que la búsqueda de los contactos sólo se hace para los bloques en movimiento, sin perder tiempo en aquellos que estén relativamente inactivos. 3.3 Detección de contactos

3.3.1 Requerimientos del esquema Una vez dos bloques se han reconocido como vecinos, entonces se comprueba si están o no en contacto. Si no están en contacto se calcula la máxima separación entre ellos y si esta es mayor que una tolerancia prefijada los bloques son totalmente independientes. En cambio, si la separación máxima es menor que dicha tolerancia se crea un contacto a pesar de que los bloques no lo estén físicamente y se comprueba en cada paso de tiempo durante el cálculo mecánico. Las fuerzas de contacto empezarán a actuar cuando los dos bloques entren en contacto físico. A la vez que se determina el contacto entre dos bloques se debe hallar la normal del plano de deslizamiento. Dicha normal debe tener un buen comportamiento (debe cambiar de orientación de un modo continuo) al moverse los bloques el uno respecto al otro. El procedimiento debe abarcar incluso casos extremos como el de dos bloques en contacto por las aristas. Finalmente, la clasificación del tipo de contacto debe ser rápida. Esta información es necesaria para determinar que ley física es más apropiada para el contacto estudiado. En resumen, en la detección del contacto se debe hallar, en el mínimo tiempo posible, el tipo de contacto (si lo hay), la máxima separación (si no hay contacto físico) y el vector normal al plano de deslizamiento. En primer lugar, se plantea un procedimiento directo, se dejan aflorar las dificultades que dicho planteamiento conllevaría y ,finalmente, se propone un esquema mejor.

3.3.2 Determinación directa del contacto El modo más simple de abordar el problema es verificar todas las posibilidades de interacción. En un problema en tres dimensiones existen muchas posibilidades. Por ejemplo, cada vértice de un bloque puede estar en contacto con cualquier vértice, arista o cara del otro. Si el primer bloque A tiene vA


19

vértices, eA aristas y fA caras y el segundo bloque B, a su vez, tiene vB vértices, eB aristas y fB caras, el número de combinaciones posibles son:

)fev()fev(n BBBAAA ++⋅++= (33)

En el caso de dos cubos existirán 676 modos de contacto posibles (n). En la práctica existen casos redundantes y se comprueba que sólo es necesario verificar el contacto entre vértices y caras y entre aristas y caras, el resto de tipos de contacto se pueden hallar del siguiente modo:

Existirá contacto entre dos vértices cuando para un mismo vértice se hallan tres o más contactos entre el vértice y caras distintas

Un contacto entre un vértice y una arista se detecta cuando un mismo vértice está en contacto con dos caras distintas

El contacto entre dos aristas se da si una misma arista entra en contacto con dos caras del otro bloque

El contacto entre dos caras se detecta cuando una está en contacto con tres aristas, o bien en el caso de que para una misma cara tres vértices entren en contacto con ella

A pesar de la reducción en el número de comprobaciones a realizar queda que:

ABBAABBA fefefvfvn ⋅+⋅+⋅+⋅= (1) Para el ejemplo de los dos cubos resulta un total de 240 comprobaciones. Llegados a este punto, se deben destacar varias observaciones. En primer lugar, el número de comprobaciones depende de forma cuadrática del número de vértices o caras o aristas. En segundo lugar, las comprobaciones no son simples, en la verificación del contacto entre un vértice y una cara no se debe comprobar únicamente si este queda por debajo o por encima, sino que se debe comprobar que quede dentro del perímetro de la cara Teniendo en cuenta los requerimientos ya especificados, el tipo de contacto se chequeará en el transcurso del proceso de detección de los contactos. La detección del vector normal al plano de deslizamiento es fácil para un contacto entre dos caras, pero puede llegar a ser muy complejo en el caso de dos vértices en contacto. Además, no existe garantía de que la transición de un tipo de contacto a otro sea suave. Con este tipo de esquema no resulta fácil hallar la máxima separación entre dos bloques cualesquiera que no están en contacto. Con la finalidad de paliar estas dificultades se concibió el esquema que se presenta a continuación.


20

3.3.3 La idea del plano común La dificultad del planteamiento anterior reside en la dificultad de chequear directamente un poliedro de forma arbitraria contra otro. Muchas de las dificultades planteadas podrían desaparecer si se aborda el problema en dos partes:

La determinación de un plano bisector común del espacio entre los dos bloques

Chequear el contacto de los dos bloques por separado con el plano

común La idea de plano común es análoga a la colocación de una lámina metálica suspendida libremente entre los dos bloques. Si los dos bloques se sostienen firmemente y se aproximan lentamente, la lámina cederá al movimiento de los dos bloques y quedará atrapada entre ellos. Para cualquier forma y orientación de los bloques, la lámina adquirirá una posición que definirá el plano de deslizamiento entre los dos bloques. Para llevar la analogía más allá, imagine que la lámina repele los bloques incluso antes de que entren en contacto. A medida que los bloques se aproximan, la lámina adoptará una posición media entre los dos a una distancia máxima de ambos. De este modo se puede hallar fácilmente la separación máxima entre los bloques, sumando las distancias de bloque a lámina. Si se pudiera crear un equivalente numérico del plano común, muchos puntos del problema expuesto se simplificarían enormemente. A su vez, se agilizaría el proceso tal y como se especifica a continuación:

Solamente es necesario verificar contactos entre los vértices y el plano común. Al ser los bloques convexos las caras y aristas en contacto se detectan contando el número de vértices de ambos bloques superpuestos con el plano común

El número de verificaciones a realizar depende linealmente del número

de vértices. Se chequean los vértices del bloque A y B contra el plano común, siendo el número de verificaciones a realizar:

BA vvn += (34)

En el caso de los dos cubos, resulta un total de 16 comprobaciones

No es necesario verificar si un contacto potencial se halla dentro del perímetro de la cara. Si ambos bloques tocan el plano común están en contacto

El vector normal al contacto es igual a la normal del plano común


21

Al definirse el plano normal como un elemento único, el problema de una posible evolución discontinua de la normal al contacto desaparece. La dirección de la normal puede cambiar de forma rápida, pero no discontinua

La determinación de la separación mínima entre dos bloques que no se

tocan es trivial. Será igual al mínimo de la suma de las distancias de ambos bloques al plano común

3.3.4 Algoritmo para posicionar el plano común La idea de plano común simplifica y acelera la búsqueda y tratamiento de los contactos. Se debe hallar una metodología para posicionar el plano común, tal que el coste de esta operación no sea mayor que los beneficios que éste proporciona. El algoritmo de posicionamiento del plano común está basado únicamente en cuestiones geométricas y se desarrolla paralelamente a los cálculos mecánicos. El algoritmo se podría definir como la maximización de la separación entre el plano común y el vértice más próximo. En el caso de dos bloques que se superponen se debe redefinir como la minimización del solape entre el plano común y el vértice con el solape mayor. En el caso de dos bloques que todavía no se consideran en contacto se deben definir unas condiciones iniciales. Para ello, se presupone que el plano común se hallará a medio camino entre los centroides de los dos bloques y su normal será el vector que los une:

z/2/)(

ii

iii

ZnBAC

=+=

; (35)

en donde: )( iii ABZ −= ; ii

2z ZZ ⋅= ; in es la normal del plano común; iC es el punto de referencia del plano común; iA es el vector de posición del centroide del bloque A;

iB es el vector de posición del centroide del bloque B. Se le aplica una translación y una rotación al plano común con tal de maximizar la separación (o de minimizar el solape). La función del punto de referencia, iC , es doble: ser el punto base de las rotaciones del plano común y el punto en el que se colocan las fuerzas normal y tangencial cuando los dos bloques están en contacto.


22

3.3.4.1 Translación del plano común La translación se divide en dos partes: normal y tangencial al plano común. La translación normal se encontrará chequeando el vértice más próximo de cada bloque al plano común:

{ }{ })A(

iiA

)B(iiB

maxd

mind

Vn

Vn

⋅=

⋅=; (36)

en donde: Bd es la distancia del vértice más próximo de B (la separación es

positiva); Ad es la distancia del vértice más próximo de A (la separación es

negativa); )B(

iV es el vector de posición de un vértice de B; )A(

iV es el vector de posición de un vértice de A. El cambio en iC es:

[ ] 2/)dd(: BAii inCC ⋅++= ; (37) La separación total será ( )AB dd − . Si los bloques están en contacto (la separación total es negativa), el punto de referencia iC es el punto por donde pasan las fuerzas tangencial y normal de contacto. Para bloques que no se tocan, el punto de referencia iC se traslada a medio camino entre los dos vértices más próximos al plano común de los bloques A y B:

[ ] 2/: )B()A(

imin

i

max

iVVC += ; (38)

3.3.4.2 Rotación del plano común La rotación del plano común se hace de un modo iterativo, ya que el vértice más próximo puede variar al rotar el plano. Se escogen arbitrariamente dos ejes ortogonales entre sí y al plano común, siendo ip y iq los vectores unitarios que los definen. El vector normal se perturba en las dos direcciones, en el sentido positivo y negativo, haciéndose un total de cuatro perturbaciones:

( )( )( )( ) z/k:

z/k:z/k:z/k:

ii

ii

ii

ii

i

i

i

i

qnnqnnpnnpnn

⋅−=

⋅+=⋅−=⋅+=

; (39)

en donde 22 k1z += y k es el parámetro que define el tamaño de la perturbación.


23

Cuando el contacto se crea por primera vez, el parámetro k se inicializa para kmax (que equivale a un ángulo de 5º). El siguiente proceso iterativo es el que se usa para encontrar la separación máxima ( )AB dd − :

1) k=kmax 2) Se aplican las 4 perturbaciones 3) ¿Alguna de las perturbaciones produce una separación mayor?

a) SI ⇒ se toma el in de ésta ⇒ 1) b) NO

i) Si k<kmin ⇒ STOP ii) Si k≥ kmin ⇒ 1)

El proceso iterativo se para cuando la separación disminuye para las cuatro perturbaciones. Concluyéndose con que el vector unitario final es el que implica la máxima separación. La perturbación menor, kmin, es de 0,01º. Con tal de evitar que el proceso iterativo finalice prematuramente en un punto de silla, los ejes de perturbación se rotan 45º en ciclos alternativos de la iteración. Si la separación máxima es superior a CTOL en cualquier estadio de la iteración, esta última se para y se elimina el contacto. Cuando un contacto ya existe, las cuatro perturbaciones se inicializan para k=kmin. Si la separación máxima no aumenta, no se hace nada más.

3.3.4.3 Translación del plano común durante los cálculos mecánicos Cuando existen fuerzas de contacto, la translación del plano común se realiza mediante la ecuación (37). Sin embargo, se aplican los siguientes incrementos de translación al plano común:

(1) Translación de sólido rígido Ésta es igual a la media del incremento de desplazamiento de los dos bloques en el punto de contacto:

[ ] 2/dd: )B()A(

ii iiuuCC ++= ; (40)

en donde: )A(

idu es el incremento de desplazamiento del bloque

A en el punto de contacto ( iC ); )B(

idu es el incremento de desplazamiento del bloque

B en el punto de contacto ( iC ).

(2) Rotación relativa El punto de referencia iC del plano común se asume como el punto en el que actúan las fuerzas de contacto. Si la superficie superior de un plano de contacto rota respecto a la superficie


24

inferior, la fuerza de contacto resultante se desplazará. La relación entre el movimiento del punto de referencia y la rotación de las superficies depende de la naturaleza de la superficie de contacto, y de la tensión de contacto si la rigidez normal depende de esta. Con lo cual resulta que la nueva posición del punto de referencia no depende únicamente de propiedades geométricas. En el modelo implementado la translación del punto de referencia se toma como el cambio en el ángulo relativo entre ambos bloques multiplicado por una constante especificada por el usuario KT:

[ ])A(

k)B(

kjijkTii ddneK: TTCC −⋅⋅⋅+= ; (41)

en donde: )A(

kdT y )B(kdT son los vectores de incremento de

rotación del bloque A y B respectivamente; y ijke es el tensor de permutación.

KT tiene dimensiones de longitud, pero se debe normalizar por la longitud del plano de contacto en la dirección del movimiento del punto de referencia. Para definir KT adecuadamente son necesarios más resultados de pruebas de laboratorio.

(3) Límite del movimiento del punto de referencia El punto de referencia es donde actúan las fuerzas de contacto, por tanto debe quedar dentro de la superficie de contacto de ambos bloques. Después de aplicarle las ecuaciones (40) y (41), se comprueba que el mismo esté dentro de las dos caras. Si, por cualquier motivo, el punto de referencia ha quedado fuera de una de las caras, se acerca a la misma del siguiente modo:

[ ] dnnnn: )f(

i)f(

kkiii ⋅−⋅⋅+=CC ; (42) en donde: )f(

in el vector normal a la cara; y d es la distancia normal desde la cara a iC .

Figura. 2.4 Procedimiento para llevar al punto de referencia Ci dentro de la cara


25

Cuando in es ortogonal a )f(in , iC vuelve a estar dentro de la cara.

Pero, en cualquier otro caso, el uso repetido de la fórmula (en cada ciclo de calculo) lleva a la convergencia (ver Figura. 2.4).

3.3.5 Resumen sobre el plano común El número de operaciones necesarias para establecer el plano común depende linealmente del número de vértices. Para la translación del plano común a través de la ecuación (34), el número de comprobaciones a realizar son vA+vB. Para la rotación, llegan a 4N(vA+vB) comprobaciones (debido a las 4 perturbaciones), siendo N el número de iteraciones. El número total asciende a:

)vv()1N4(n BA +⋅+= ; (43)

Si los contactos ya han sido determinados una vez, el plano común es una herramienta más potente al chequeo directo del contacto, ya que sólo se necesita una iteración de rotación normalmente. Sin embargo, para la determinación de un contacto inicial se necesitan del orden de 9 a 30 iteraciones. Para bloques de pocos vértices, el plano común necesitará llevar a cabo un mayor número de comprobaciones para determinar el contacto que el esquema directo. Pero si se tienen en cuenta las seis ventajas expuestas con anterioridad, el plano común es mejor con diferencia.

3.3.6 Tipos de contacto El tipo de contacto es importante porque determina el tipo de respuesta mecánica del contacto. Por ejemplo, en mecánica de rocas, los contactos entre caras se interpretan como juntas, en las cuales las tensiones son las variables más importantes. El tipo de contacto se clasifica en función del número de vértices de cada bloque en contacto con el plano común. En el caso de que dos caras estén en contacto es necesario definir un área de contacto, con tal de poder utilizar una ley de tensión-deformación para determinar el comportamiento mecánico de la superficie de contacto. 4 Conclusiones Cundall realizó un estudio cualitativo. Obteniéndo una correspondencia entre los gráficos de fuerzas de contacto obtenidos numéricamente y los del ensayo fotoelástico de De Josselin de Jong (1969). Pudiendo concluir que el método es una buena herramienta para modelar conjuntos granulares.


26

Cundall también describio una técnica para detectar contactos entre bloques de forma arbitraria y representar las características geométricas y físicas del contacto.


27

CCaappííttuulloo 33:: LLooss eelleemmeennttooss ddiissccrreettooss 1 Introducción Los elementos discretos suelen ser discos para el estudio de problemas bidimensionales y esferas en los tridimensionales. Su movimiento se describe mediante las leyes que rigen los problemas dinámicos de sólidos rígidos. La interacción entre los elementos se define mediante una fuerza de contacto en la dirección normal al mismo y otra en la dirección tangencial. La definición de unas leyes de contacto entre elementos que incluyen fuerzas de cohesión permite modelar la fractura y la pérdida de cohesión del material o terreno estudiado. Se asume que la deformación del material se concentra en los contactos entre esferas. Un modelo que consiste en discretizar un material en discos o esferas es natural para el caso de materiales granulares. La cohesión entre partículas permite modelar materiales como rocas y suelos, que colapsarán debido a la propagación de fisuras en el seno de los mismos. A continuación se pretende describir profundamente el modelo utilizado en el estudio e implementado en el código mediante el cual se han realizado todas las simulaciones. 2 Ecuaciones del movimiento Los movimientos de translación y rotación de los elementos discretos (esferas o discos) se rigen mediante las ecuaciones de la dinámica de sólido rígido de Newton-Euler. Para el elemento i-ésimo del conjunto dichos movimientos se describen mediante las siguientes ecuaciones:

iiim Fu =⋅ && (44)

iiiI T=⋅ ω& (45)

en donde: u es el vector de desplazamientos del centro del elemento en un

sistema de referencia fijo X; ω es la velocidad angular del elemento respecto a un sistema de

referencia móvil x con el elemento y con origen en el centro del mismo;

mi es la masa del elemento i-ésimo;

Los elementos discretos

28

I es el momento de inercia; F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el elemento; T es la resultante de los momentos actuantes en el elemento

respecto al sistema de referencia móvil x.

Figura. 3.1 Sistemas de referencia fijo y móvil, así como las resultantes de fuerzas y momentos, y vector de desplazamiento del centro del elemento

Tanto en la resultante de fuerzas como en la de momentos intervienen las fuerzas externas aplicadas y las fuerzas y momentos resultantes de la interacción con el resto de los elementos y los contornos u otro tipo de obstáculos, así como la consideración del amortiguamiento del sistema. Las ecuaciones (44) y (45) se integran usando un esquema de diferencias centradas. La integración de la ecuación del movimiento translacional para el paso de tiempo n-ésimo se puede escribir como:

;i

nin

i mFu =&& (46)

;tn

i2/1n

i2/1n

i ∆⋅+= −+ uuu &&&& (47)

;t2/1ni

ni

1ni ∆⋅+= ++ uuu & (48)

Para el caso de la ecuación del movimiento rotacional:

;i

nin

i IT

=ω& (49)

;tn

i2/1n

i2/1n

i ∆⋅+= −+ ωωω & (50)

u

y

T F

x y

x z

z

t=0

Z

Y

X

X

X0


29

Si se está estudiando un problema plano (2D) el ángulo rotado se puede obtener de un modo similar al vector de desplazamientos ui:

;t2/1n

ini

1ni ∆⋅+= ++ ωθθ (51)

Para problemas tridimensionales la matriz de rotación Λi define el cambio de coordenadas del sistema de referencia móvil en cada paso de tiempo xi respecto del sistema de referencia fijo Xi:

;ii xX += Λ (52)

La matriz de rotación se actualiza en cada paso de tiempo:

;t2/1nii ∆⋅=∆ +ωθ (53)

;cos1~sin

cos Tii2

i

ii

i

iii θθ

θ

θθ

θθ

θΛ ∆⋅∆∆

∆−+∆

∆∆

+∆=∆ 1 (54)

;n

ii1n

i ΛΛΛ ⋅∆=+ (55) en donde: T

zyx )( θθθθ ∆∆∆=∆ es un vector de incrementos angulares;

∆Λ es el incremento en la matriz de rotación; θ~

∆ es una matriz antisimétrica definida como:

.0

00

~

xy

xz

yz

∆∆−∆−∆

∆∆−=∆

θθθθ

θθθ (56)

3 Evaluación de las fuerzas de contacto Una vez detectados los contactos entre partículas se calculan las fuerzas en los mismos. Si consideramos dos partículas, la interacción entre ellas se puede representar por medio de dos fuerzas F1 y F2 actuando sobre las mismas (la numeración de dichas fuerzas es arbitraria en este caso). La tercera ley de Newton conduce a escribir:

;FF 21 −= (57)

A partir de ahora se hará referencia a F1 como F y esta se descompondrá en su componente normal y tangencial Fn y FT.

;F TnTn FnFFF +⋅=+= (58)


30

en donde: n es el vector unitario normal a la superficie de la partícula en el

punto de contacto (por tanto, para elementos esféricos o discos tiene la dirección de la recta que une las dos partículas y su sentido es hacia afuera respecto la partícula 1).

Figura. 3.2 Fuerzas de contacto, velocidad y velocidad angular de las partículas

Las fuerzas de contacto Fn y FT se obtienen a partir del modelo constitutivo formulado para el contacto entre partículas. A continuación se hace referencia al modelo constitutivo utilizado en el modelo. Se introduce un amortiguamiento en el contacto con la finalidad de disipar la energía cinética y disminuir las oscilaciones en las fuerzas de contacto. Por tanto, se puede descomponer las fuerzas de contacto normales Fn en una parte elástica Fne y una amortiguada (damping en inglés) Fnd:

;FFF ndnen += (59)

en donde la parte amortiguada es proporcional a la componente normal de la velocidad relativa vrn entre los centros de las partículas ( nuu 22 ⋅−= )(vrn

&& ):

;vcF rnnnd ⋅= (60) El valor del amortiguamiento cn se puede tomar como una fracción del amortiguamiento crítico Ccr del sistema formado por dos sólidos rígidos de masas m1 y m2 conectados mediante un muelle de rigidez kn:

;mm

kmm2C

21

n21cr +

⋅⋅⋅= (61)

En caso de que se iguale cn a cero se obtendrá un modelo no viscoso del material. Por tanto, la formulación empleada para el contacto puede representar un modelo viscoso o no viscoso.

ωi

FT vi

Fn ωi+1

FT vi+1

Fn

Fi+1

i+1

Fi

F=Fn+FT

i


31

La parte elástica Fne es igual al producto de la rigidez normal al contacto kn y la separación existente entre las partículas urn.

;ukF rnnne ⋅= (62)

En el caso de materiales sin cohesión (β=0) no podrán desarrollarse fuerzas de contacto normales de tracción. La separación entre partículas urn se calcula como la distancia entre centros d menos los radios de las mismas r1 y r2 ( )rrdu 21rn −−= ). Para materiales sin cohesión urn debe ser negativo, de tal modo que Fne sea menor o igual que cero (no pueden desarrollarse fuerzas normales de tracción en suelos no cohesivos). En suelos cohesivos (β=1) las fuerzas de contacto normales pueden ser tanto de tracción como de compresión. Ahora, la separación entre partículas se calculará como la componente normal del desplazamiento relativo entre los puntos de contacto:

;u rrn nu ⋅= (63)

);()( 1c1

n1

n2c2

n2

nr rru ⋅Λ+Χ−⋅Λ+Χ= (64)

Los puntos que se llaman de contacto coinciden en el instante en que se establece la cohesión entre partículas:

);()( 1c1

01

02c2

02

0 rr ⋅Λ+Χ=⋅Λ+Χ (65) donde: 1

n2

n1

02

0 y , , ΧΧΧΧ representan los vectores de posición de los centros de las partículas para el instante de tiempo inicial t0 (cuando se establece cohesión entre las partículas) y el de estudio tn;

1n

2n

10

20 y , , ΛΛΛΛ representan las matrices de rotación;

1c2c y rr son los vectores que unen los centros y el punto de contacto en el instante t0.

La cohesión entre partículas implica que existen también fuerzas de contacto tangenciales al mismo:

;k rTTT uF ⋅= (66)

donde: nuu ⋅−= rnrrT u ;

kT es la rigidez en el sentido tangencial al contacto.


32

Figura. 3.3 Modelo constitutivo formulado para el contacto entre partículas Los contactos entre partículas pueden romperse debido a la aplicación de cargas externas al sistema. Dichos contactos se rompen cuando se supera la resistencia tangencial o normal de los mismos (Fn>Rn o TT R>F ). En otros

modelos se produce una pérdida de cohesión parcial (0<β<1), en vez de la pérdida de cohesión total (β=0). Además, en la presente formulación, los contactos no pueden restituirse después de rotos. En un contacto la fuerza normal crecerá proporcionalmente al desplazamiento relativo normal entre elementos, con un factor de proporcionalidad kn. Dicho factor puede tomar distintos valores según la fuerza normal sea de tracción o de compresión (ver Figura.2.8). Cuando la fuerza normal de tracción alcance un valor igual a Rn el contacto romperá y dejará de existir tal fuerza.

Figura. 3.4 Fuerzas de contacto normal elástica versus desplazamiento relativo en la dirección normal y fuerza de contacto normal amortiguada versus velocidad relativa en la dirección normal, para el caso de contacto en compresión o tracción

µ

kT

kn

Modelo no viscoso

µ cn

kT

kn

Modelo viscoso

Compresión

urn

knc

Fne

vrn

cn

Fnd

Fn=Fne+Fnd

Fn<Rn ⇒ Fne=knt urn; Fnd=cn vrn Fn≥Rn ⇒ Fn=0; TF =0

Fn=Fne+Fnd

urn

knt

Fne

Rotura del contacto

vrn

cn

Fnd

Tracción

Rotura del contacto


33

En este mismo contacto habrá una fuerza tangencial que será proporcional al desplazamiento relativo tangencial entre elementos, con un factor de proporcionalidad kt. Similar al caso anterior, cuando la fuerza tangencial alcance un valor de Rt se romperá el contacto.

Figura. 3.5 Fuerza de contacto tangencial versus desplazamiento relativo en la dirección tangencial para el caso de contacto en compresión o tracción

En la Figura.6 se muestra que un contacto no estará roto siempre y cuando el punto que represente la fuerza normal y tangencial en éste se halle dentro de la zona delimitada por las líneas rojas.

Figura. 3.6 Superficie de rotura del modelo

Tracción

FT < RT FT=kT ut FT ≥ RT FT=0

kT

kT

FT

urt

Rotura del contacto

RT

RT

Rotura del contacto

Compresión

FT=µ Fn

FT=µ Fn kT

kT

TF

urt

Rotura del contacto

RT

RT

FT < RT FT=kT ut FT ≥ RT, TF =µ nF si Fne ≤ 0

Rotura del contacto

FT

RT

Rn Fn


34

En ausencia de cohesión o después de la rotura del contacto, la fuerza tangencial de contacto es la causada por el rozamiento entre partículas:

;FrT

rTTT v

vF ⋅−= (67)

donde: rTv es la componente tangencial de la velocidad relativa entre los

puntos en contacto de las partículas ( nvvv ⋅−= rrrT ). La velocidad relativa rv se obtiene de la diferencia de velocidades entre los puntos del contacto ( )()( 1c112c22r ruruv ×+−×+= ωω && ). La velocidad del punto de contacto se obtiene de la suma de la velocidad del centro de la partícula i a la que pertenece y el producto de la velocidad de rotación de la misma por la distancia entre el punto de contacto y el centro ( ciii ru ×+ ω& ). La fuerza de rozamiento se haya aplicando la ley de Coulomb:

;FF nT ⋅= µ (68)

en donde µ es el coeficiente de Coulomb.

Figura. 3.7 Fuerza de rozamiento versus velocidad relativa en la dirección tangencial; a) modelo clásico de Coulomb; b) Modelo de Coulomb regularizado

La relación entre la fuerza de rozamiento y la velocidad relativa en la dirección tangencial para el modelo clásico de Coulomb, para una fuerza normal constante, se muestra en la Figura. 3.7. Dicha relación produce oscilaciones no físicas de la fuerza de rozamiento debidas a cambios de sentido de la velocidad relativa en la dirección tangencial. Con la finalidad de prever estas oscilaciones regularizamos el modelo de Coulomb. Un posible proceso de regularización se

TF

urT

µFn

a)

TF

urT

µFne

kT

kT

b)


35

podría llevar a cabo descomponiendo la velocidad tangencial relativa en una parte reversible vrT

r y otra irreversible vrTirr:

irr

rTr

rTrT vvv += ; (69) Este proceso es equivalente a formular el contacto friccional como un problema análogo al de la elastoplasticidad. Esto puede verse claramente en la Figura.3.7 b). Dicha analogía permite calcular la fuerza de rozamiento usando el algoritmo de retorno radial análogo al empleado en elastoplasticidad. En primer lugar, se calcula una primera aproximación:

tk rTT

oldT

trialT ∆⋅⋅+= vFF (70)

En segundo lugar, se chequea la condición de deslizamiento:

ntrialT

trial F⋅−= µφ F (71)

Si φtrial es menor o igual a cero, la fuerza tangencial es igual al valor inicial de prueba (contacto fijo):

trialT

newT FF = ; (72)

en caso contrario, la fuerza tangencial es igual a (contacto deslizante):

trialT

trialT

nnewT F

FFF ⋅⋅= µ ; (73)

Con la finalidad de evitar oscilaciones en la solución se limita la fuerza de rozamiento a un valor FTs. Dicho valor FTs corresponde a la fuerza tangencial tal que reduce la velocidad tangencial ciiii ruv ×+= ω& a cero. 4 Amortiguamiento global del sistema Se puede alcanzar un estado de equilibrio casi-estático de un conjunto de elementos discretos mediante la aplicación de un amortiguamiento adecuado. Anteriormente se ha descrito el amortiguamiento en el contacto como una función de la velocidad relativa de las esferas en contacto. En ciertas ocasiones es necesario aplicar un amortiguamiento en aquellas esferas que no están en contacto con las demás para disipar su energía. Existen dos tipos de amortiguamiento: uno viscoso y el otro no viscoso. En ambos casos los términos de fuerza y momento de amortiguamiento (Fi

damp y Tidamp) se añaden a

las ecuaciones del movimiento (44) y (45):

dampiiiim FFu +=⋅ && ; (74)


36

dampiiiiI TT +=⋅ ω& ; (75)

Los términos de amortiguamiento se hallan mediante las siguientes expresiones:

1. Para amortiguamiento viscoso:

iivtdamp

i m uF &⋅⋅−= α ; (76)

iivrdamp

i I ω⋅⋅−= αT ; (77)

2. Para amortiguamiento no viscoso:

i

ii

nvtdampi F

uuF&

&⋅⋅−= α ; (78)

i

ii

nvrdampi T

ωω

⋅⋅−= αT ; (79)

en donde αvt, αvr, αnvt y αnvr son respectivamente constantes de amortiguamiento.

La fuerza y el momento de amortiguamiento viscosos son proporcionales a la velocidad lineal y a la velocidad angular. Por el contrario, la fuerza y el momento de amortiguamiento no viscoso son proporcionales a la fuerza y el momento resultantes.. 5 Estabilidad numérica El método explícito de integración en el tiempo no es incondicionalmente estable. El paso de tiempo ∆t debe ser menor al paso de tiempo crítico ∆tcr que es el doble de la inversa de la mayor frecuencia natural del sistema ωmax:

;2

tmax

cr ω=∆ (80)

En el caso de que exista amortiguamiento el paso de tiempo crítico viene dado por:

( );12

t 2

maxcr ξξ

ω−+⋅=∆ (81)

en donde ξ es una fracción del amortiguamiento crítico correspondiente a la mayor frecuencia natural del sistema ωmax.


37

Para hallar la mayor frecuencia natural del sistema se debe solucionar un problema de autovalores definido por todo el conjunto de elementos discretos conectados. En primera aproximación, el problema de autovalores puede definirse para cada elemento discreto usando la ecuación linealizada del movimiento:

;iiii 0rkrm =⋅+⋅ && (82)

en donde: ( )T

iiiiiii IIImmm=m ;

( )Tiziyixiziyixi )()()()u()u()u( θθθ=r ;

ki es la matriz de rigidez, que recoge todas las restricciones al movimiento de la partícula activadas.

El problema de autovalores resultante es:

;iijii rmrk ⋅=⋅ λ (83)

en donde los autovalores son igual al cuadrado de las frecuencias propias del sistema ( 2

jj ωλ = ,en un problema tridimensional { }6,...,2,1j ∈ ).

Para una mayor simplificación, la mayor frecuencia propia del sistema se estima como la máxima frecuencia de todos los elementos discretos considerando un único grado de libertad de translación y rotación. Las ecuaciones de translación y de rotación que gobiernan el problema son:

;0=⋅+⋅ innini ukum && (84)

;0=⋅+⋅ inini ukI θθ&& (85)

en donde se asume que el movimiento translacional es debido a la interacción entre esferas en el sentido normal al contacto (kn es la rigidez del contacto en el sentido normal), y el movimiento rotacional a la interacción en el sentido tangencial (kT es la rigidez del contacto en la dirección tangencial al mismo). Conocida kT, podemos hallar kθ como:

;rkk 2

T ⋅=θ (86) en donde r es la longitud del vector que une el centro del elemento con el punto de contacto. La frecuencia natural de las vibraciones de translación viene dada por:

;i

nn m

k=ω (87)


38

La frecuencia natural de rotación se obtiene de:

;iI

kθθω = (88)

Teniendo en cuenta la expresión (86) y considerando que los elementos son esferas de radio r:

;m2k5

i

T

⋅⋅

=θω (89)

Si kT= kn, entonces ωθ es considerablemente mayor a ωn, lo cual conlleva un menor tiempo crítico. Con tal de evitar que el paso de tiempo crítico venga fijado por las frecuencias de rotación, la inercia rotacional se escala de forma adecuada. El concepto de escalado de la inercia rotacional se usa comúnmente en elementos de placa. 6 Detección del contacto Los pares de esferas en contacto deben detectarse automáticamente durante el proceso de cálculo. Si se chequease el contacto de cada esfera contra todas las demás el tiempo de computación sería proporcional a n2, siendo n el número de elementos. Se han desarrollado varios métodos para la determinación de los contactos mucho más efectivos. Previamente a la detección del contacto se suelen ordenar los elementos espacialmente mediante un algoritmo que los agrupe. De este modo, se determinan los elementos vecinos y sólo es necesario chequear el contacto entre estos. En ausencia de cohesión, el contacto se determina cuando una esfera ha penetrado en la contigua. En el caso de esferas o cilindros simplemente se debe verificar que:

0urn ≤ (90);

en donde rnu se calcula como urn=d-r1-r2, tal como se especificó en el apartado 3.3. Si el contacto es cohesivo, la condición (90) se reemplaza por:

+≤ máx,rnrn uu (91);

en donde +

máx,rnu es la separación que debe crearse para que el contacto entre

dos esferas o discos se rompa por completo, la cual debe determinarse en base al modelo constitutivo y las propiedades del material.


39

La determinación del contacto es sencilla, simplemente hay que verificar la ecuación (90) o (91) en función de si existe o no cohesión. Por tanto, nuestro problema se reduce a la efectividad del algoritmo de agrupación de los elementos. Los algoritmos más populares para llevar a cabo esta operación se pueden agrupar en:

Subdivisión en celdas Árboles binarios Quadtree (2D) y octree (3D) Celdas centradas en el cuerpo Spatial heapsort

6.1 Subdivisión en celdas El espacio que engloba el problema de estudio se discretiza en celdas rectangulares (2D) o hexaédricas (3D) del mismo tamaño. Los elementos se asocian a las celdas en base a sus coordenadas. La eficacia del método depende del equilibrio entre el tamaño de la celda y el número de elementos por celda. La eficiencia del método depende de que los elementos estén distribuidos entre las celdas. Un método adaptativo puede ser implementado en caso de que la distribución de elementos no sea uniforme. 6.2 Árboles binarios Un método efectivo de clasificación para una distribución espacial no ordenada de los elementos se basa en las estructuras en árbol binarias. El espacio se divide en celdas rectangulares que pueden contener como máximo dos elementos. En caso de que el número de elementos en una celda sea mayor que dos esta se divide en dos. La subdivisión de las celdas se realiza alternativamente en el eje x, z e y. La representación del espacio si se ha discretizado de este modo se realiza cómodamente mediante una estructura en árbol binaria. Dicha estructura permite localizar fácilmente objetos pertenecientes a un subdominio recorriendo el árbol de arriba abajo. El coste de dicha búsqueda es del orden de ( )NlogN 2⋅Ο . 6.3 Quadtree (2D) y Octree (3D) Si se trabaja en 2 dimensiones el dominio se divide en celdas rectangulares con un máximo de cuatro elementos por celda. Si una celda contiene más de cuatro elementos esta se divide en cuatro celdas. Al discretizar el dominio así se puede representar mediante un arbol de cuatro ramas (Quadtree). Dicha estructura permite identificar fácilmente objetos pertenecientes a un subdominio recorriendo el árbol de arriba abajo. El coste de dicha búsqueda es del orden de

( )NlogN 4⋅Ο .


40

La extrapolación de este concepto a las tres dimensiones del espacio da lugar a las estructuras de ocho elementos (Octree). Ahora el dominio se subdividirá en celdas que contengan ocho elementos como máximo, si en una celda hay más de ocho elementos ésta se subdividirá en ocho celdas. Para buscar elementos pertenecientes a un subdominio se recorre el árbol de arriba abajo como en los casos anteriores y el coste de la búsqueda será del orden de ( )NlogN 8⋅Ο . 6.4 Celdas centradas en el cuerpo Este método de detección del contacto se beneficia de la suposición de que la configuración de los elementos evoluciona lentamente y que, por tanto, los nuevos contactos pueden formarse únicamente entre elementos que estén lo suficientemente cercanos en el paso de estudio. La lista de contactos potenciales para cada elemento incluye los objetos que estén contenidos en una celda que englobe el elemento de estudio. Este método combinado con el de Quadtree para 2D y el de Octree para 3D es el que se ha implementado en el algoritmo de detección del contacto utilizado. 6.5 Spatial heapsort Las bases del método Spatial heapsort es la clasificación de los elementos en base a sus coordenadas. Los elementos se almacenan en un árbol binario. La búsqueda de un elemento en este tipo de estructura es del orden de

( )NlogN 2⋅Ο . 7 Algoritmo de búsqueda del contacto En la formulación implementada la búsqueda del contacto se basa en estructuras Quadtree en 2D y Octree en 3D combinadas con la técnica de agrupación basada en las celdas centradas en el cuerpo. De este modo el coste computacional del proceso pasa a ser proporcional a n·ln(n), permitiéndose usar sistemas de mayor tamaño. La construcción de estructuras Quadtree (2D) y Octree (3D) en cada paso de tiempo sería muy caro. Para pasos de tiempo muy pequeños, la mayoría de contactos pueden ser los mismos que en los pasos anteriores. La utilización de la información sobre los pares de contactos existentes en el paso de tiempo anterior puede agilizar la búsqueda de contactos en el actual. Por este motivo el algoritmo de búsqueda consta de dos etapas: una primera consistente en una búsqueda global de pares de elementos potencialmente en contacto basada en las estructuras quadtree y octree; y una búsqueda local verificando la lista de contactos potenciales basada en el método de las celdas centradas en el cuerpo.


41

7.1 Búsqueda global Los elementos se organizan en el espacio mediante estructuras octree y quadtree. Posteriormente se crea una lista de contactos existentes y contactos potenciales. El método de las celdas centradas en el cuerpo se usa para la lista de contactos potenciales. Cada objeto se envuelve por una celda circular o esférica y todos los objetos que estén en ella o que la intersecten se incluyen en la lista de contactos potenciales. La organización del espacio por medio del método quadtree o octree y la actualización de la lista de contactos por medio de éste se realiza cada cierto número de pasos de tiempo. 7.2 Búsqueda local En cada paso de tiempo se realiza la búsqueda local. Se verifican las condiciones de contacto de los elementos de la lista de contactos potenciales y se encuentran los contactos actuales. La celda centrada en el cuerpo tiene un radio igual al de la esfera o cilindro incrementado una cantidad determinada por el usuario ctol. Dicho parámetro determina la longitud de la lista de contactos potenciales y el intervalo de tiempo entre búsquedas globales. La metodología sería la siguiente:

Se realiza una búsqueda global cuando:

{ }N,1n

D,1itol

nimax c u maxu

==

≥= (92);

en donde: D es la dimensión del problema (2 para problemas bidimensionales y 3 para los tridimensionales);

N es el número total de elementos que constituyen el problema de estudio;

u es el desplazamiento acumulado de la esfera n en la dirección i del espacio desde la realización de la última búsqueda global.

A la lista de posibles contactos de cada esfera se le añaden aquellas

esferas que estén a una separación menor de tolc22 ⋅⋅ en problemas

bidimensionales y de tolc32 ⋅⋅ en problemas tridimensionales Se quitarán de la lista de posibles contactos de una esfera o elemento

aquellas esferas que se separen hasta una distancia mayor de la mencionada


42

El algoritmo de contacto desarrollado es muy eficiente, permitiendo trabajar con grandes conjuntos de esferas. El valor de tolc debe escogerse de tal modo que se halle el equilibrio entre el aumento de tiempo al realizar un mayor número de búsquedas globales cuando este decrece y el de invertir más tiempo en la búsqueda local al aumentar la lista de contactos potenciales cuando es menor. Un valor óptimo de tolc se halla entre 0.1·r y 0.5·r (r es el radio medio de las esferas). 8 Los efectos de la temperatura en el modelo de desgaste La influencia de la temperatura en el desgaste se ha tenido en cuenta adaptando la ley de Archard que asume que el ratio de desgaste es proporcional a la presión en el contacto pn y la velocidad de deslizamiento νt:

;H

pkw tn υ⋅⋅=& (93)

donde: H es una medida de la dureza de la superficie de contacto;

k es un parámetro adimensional. Si hacemos H dependiente de la temperatura T, tendremos en cuenta su influencia en el desgaste.

)T(HH = (94)

La fricción se evalúa mediante la ley de Coulomb:

nt pp ⋅= µ (95)

Operando con las ecuaciones (35) a la (36) se obtiene:

;)t(H

Dk

)t(Hp

kw tt&

& ⋅=⋅

⋅=υ (96)

donde: D& es el ratio de disipación friccional;

µk

k = .


43

9 Ecuaciones del problema termo-mecánico A las ecuaciones del movimiento (44) y (45) descritas anteriormente se les debe añadir la ecuación de balance del calor:

);QQQ(QTcm rdcbcpgenii ++−=⋅⋅ & (97)

donde: mi es la masa de la partícula i-ésima; c es la capacidad calorífica de la partícula; Qgen es el calor generado debido a la energía disipada por la

fricción y que es absorbida en forma de calor por la partícula; Qcp es el calor transferido por conducción entre partículas; Qcb es el calor transferido por conducción al contorno; Qrd es el calor irradiado entre partículas y al entorno. El calor generado en un contacto se puede obtener de la siguiente expresión:

;FQ

~rTTgen υχ ⋅⋅= (98)

donde χ es la parte del trabajo de fricción que se transforma en calor. El resto de variables involucradas se han descrito anteriormente. Se asume que el calor disipado por fricción en un contacto es absorbido equitativamente por las dos partículas en contacto. El calor generado Qgen será

la suma del calor generado en cada uno de los contactos ( genQ~

21

) de la

partícula con sus vecinas. El calor transferido por conducción entre dos partículas se estima como el calor que se conduce en una barra de longitud d igual a la distancia entre los centros de las partículas y de sección equivalente A (función del tamaño de las partículas):

);TT(Ad

Q~

jicp −⋅⋅=κ (99)

donde: κ es la conductividad del material; ji T y T son las temperaturas de las partículas i y j en contacto.

El calor transferido por conducción Qcp tiene en cuenta la contribución de todas las partículas en contacto con la partícula i-ésima de estudio. Integrando la ecuación de balance del calor mediante un esquema explícito de Euler hacia adelante se obtiene:

[ ];)QQQ(Qcm

tTT rd

ncb

ncp

ngen

n

i

in

i1n ++−⋅

⋅∆

+=+ (100)


44

El problema térmico se soluciona para una configuración geométrica dada y el calor generado por fricción se obtiene de la solución del problema mecánico. Las temperaturas halladas para cada partícula modifican las propiedades del material que se usarán en el paso siguiente del problema mecánico. 10 El desgaste Integrando el ratio de desgaste a lo largo del tiempo se obtiene el desgaste producido.

dt ww ∫= & (101)

El desgaste se va integrando a lo largo del tiempo para cada una de las partículas que constituyen la superficie externa de la herramienta de excavación. Una vez dicho desgaste alcanza el valor del tamaño de la partícula, se considera que la partícula ya no forma parte de la herramienta. Por tanto, la geometría de la herramienta se modifica a lo largo del tiempo. Tal como pasaría en la realidad en un proceso de excavación. 11 Conclusiones Se ha presentado una formulación termo-mecánica acoplada del método de los elementos discretos. Ésta permite modelar el problema del desgaste en toda su complejidad.


45

CCaappííttuulloo 44:: EEssttuuddiioo ddee llaass pprrooppiieeddaaddeess mmaaccrroossccóóppiiccaass ddee llooss mmaatteerriiaalleess ((rrooccaass oo ssuueellooss))

1 Introducción Antes de estudiar el problema del desgaste de útiles de excavación se debe abordar un amplio y complejo problema: Cómo reproduce el modelo de elementos discretos las propiedades de rocas y suelos? Bajo la hipótesis de que un material viene definido por su módulo de Young, su resistencia última a compresión y a tracción y su módulo de Poisson. Se realizarán una serie de simulaciones con la finalidad de hallar las leyes constitutivas que caracterizan el material estudiado. Dichas leyes constitutivas son las descritas en el apartado anterior, pero para un valor dado de los parámetros microscópicos en ellas involucrados (kT, knc, knt, RN, RT). La finalidad de este apartado es el estudio de las relaciones entre los parámetros microscópicos que definen las leyes constitutivas del material y sus parámetros macroscópicos. Las simulaciones realizadas con este fin son en dos dimensiones. Se ha considerado que los resultados serían suficientemente buenos y el problema estudiado mucho menos complejo. Es necesario abordar el problema de forma escalada (de menos a más complejo), ya que este es un campo aún por descubrir. 2 Análisis del comportamiento de materiales reales Con tal de hallar cual es el rango de variación de los parámetros macroscópicos se ha estudiado qué valores toman los mismos para diversos materiales. En la tabla adjunta se pueden observar distintos parámetros utilizados frecuentemente para caracterizar rocas, suelos y metales.

Materiales

Módulo de Deformación Volumétrica

Módulo de Elasticidad

Módulo de Cortante

Coeficiente de Poisson

Aleación de Aluminio 71,28514056 71 26,61169415 0,334

Aleación de cobre al berilio 96,12403101 124 48,24902724 0,285

Laton 100,3787879 106 40,03021148 0,324

Acero al carbono 165,8653846 207 80,10835913 0,292

Fundición de Hierro Gris 57,67012687 100 41,28819158 0,211

Cobre 113,9846743 119 44,87179487 0,326

Fibra de Asbesto-Douglas 10,78431373 11 4,135338346 0,330

Vidrio 30,19607843 46,2 18,55421687 0,245

Inconel 169,8412698 214 82,94573643 0,290

Magnecium 49,77777778 44,8 16,59259259 0,350

Molideno 285,8376511 331 126,6258607 0,307

Estudio de las propiedades macroscópicas de los materiales

46

Aleación de Metal Mone 165,7407407 179 67,8030303 0,320

Aleación de Niquel Plata 118,9138577 127 48,0332829 0,322

Aleación de Acero Niquel 165,0717703 207 80,17041053 0,291

Bronce Fosforico 122,5165563 111 41,14158636 0,349

Acero Inoxidable 162,3931624 190 72,79693487 0,305

Andesita 6,8966 12,000 4,95868 0,21000

Andesita 44,4444 48,000 18,18182 0,32000

Arenisca 0,9259 2,500 1,19048 0,05000

Arenisca 84,7222 61,000 22,10145 0,38000

Basalto 13,8889 30,000 13,15789 0,14000

Basalto 50,0000 90,000 37,50000 0,20000

Caliza 1,1111 2,800 1,29630 0,08000

Caliza 114,0351 130,000 49,61832 0,31000

Creta 0,0214 0,041 0,01737 0,18000

Creta 4,9275 6,800 2,67717 0,27000

Diabasa 27,5556 62,000 27,55556 0,12500

Diabasa 61,1111 110,000 45,83333 0,20000

Dolomía 3,3333 9,600 4,70588 0,02000

Dolomía 61,1111 110,000 45,83333 0,20000

Esquisto 2,4306 7,000 3,43137 0,02000

Esquisto 44,4444 80,000 33,33333 0,20000

Fonolita 4,2735 10,000 4,50450 0,11000

Fonolita 13,8889 25,000 10,41667 0,20000

Grabo 26,6667 60,000 26,66667 0,12500

Grabo 55,5556 100,000 41,66667 0,20000

Gneiss 8,9431 22,000 10,09174 0,09000

Gneiss 84,3750 81,000 30,22388 0,34000

Granito 1,7333 3,900 1,73333 0,12500

Granito 61,8056 89,000 35,31746 0,26000

Marmol 10,2564 24,000 10,81081 0,11000

Marmol 46,1111 83,000 34,58333 0,20000

Porfido sienítico 37,9310 66,000 27,27273 0,21000

Riolita 4,1667 10,000 4,54545 0,10000

Riolita 11,1111 20,000 8,33333 0,20000

Yeso -roca- 3,2143 5,400 2,21311 0,22000

Yeso -roca- 30,7018 35,000 13,35878 0,31000

Tabla 1 Caracterización de materiales

De aquí se puede llegar a las siguientes conclusiones:

El modulo de elasticidad se mueve entre valores del orden de 207Gpa y 0.041Gpa

El módulo de Poisson en los materiales incluidos en la tabla varía entre 0.08 y 0.349. El intervalo físico de variación del módulo de Poisson es (0,1/2).


47

3 Metodología En cada simulación se fijan los parámetros microscópicos y se obtienen los parámetros macroscópicos. Para hallar los parámetros macroscópicos se realizan ensayos a tracción y a compresión. Los ensayos consisten en tomar un conjunto de esferas contenidas entre cuatro paredes y comprimirlas un poco, de tal modo que los discos estén bien conectados los unos con los otros. Tal como muestra H.Huang en su tesis [4], para que una simulación realizada con elementos discretos dé buenos resultados es importante que su tamaño sea aleatorio y que estén bien conectados los unos con los otros. En total son 2100 discos contenidos en un rectángulo de 109×109mm2. El radio de los discos se ha generado aleatoriamente, de manera que la media es 1.25mm y la desviación estándar de 0.2 (la distribución es uniforme). Una vez se ha conseguido una probeta adecuada se impone una velocidad prescrita a dos de sus paredes. Dichas paredes están en contacto con las esferas. Las paredes transmiten una fuerza de tracción o de compresión al conjunto de esferas porque en los contactos se ha fijado una rigidez normal y tangencial de valor 0.1.

Figura. 4.1 Modelo del material

Figura. 4.2 Contactos en la dirección normal entre esferas

La probeta al ser sometida a una fuerza de tracción y de compresión rompe. Se conoce en cada momento la fuerza ejercida por las paredes y su


48

desplazamiento. Con estos datos es obvio hallar las tensiones a las que es sometido el material y cuales son las deformaciones consecuencia de estas. Por tanto, conocemos el módulo de Young, el módulo de Poisson y la tensión de rotura a tracción o compresión:

.-' ;'Exx

yy

xx

xx

εε

νεσ

∆∆

=∆∆

= (102)

Dado que se trata de un problema de deformación plana, las constantes halladas a partir del ensayo de tracción o compresión se pueden relacionar con el módulo de Young E y de Poisson ν del siguiente modo:

.1

' ;1

E'E 2 ν

ννν −

=−

= (103)

Figura. 4.3 Ejemplo de las leyes de tensión vs. deformación obtenidas a) Compresión uniaxial b) Tracción uniaxial

4 Análisis de la influencia de los parámetros micro 4.1 Generación de la población de datos para realizar el análisis Para estudiar la influencia que tienen en el modelo implementado cada uno de los parámetros microscópicos sobre los parámetros macroscópicos el primer paso es crear una población lo suficientemente amplia de valores microscópicos con sus correspondientes valores macroscópicos que cubra todo el espacio ene-dimensional de valores micro. Para ello se ha considerando que las variables microscópicas tienen una distribución uniforme dentro del dominio de estudio de cada una de ellas. Mediante el método de Monte Carlo se eligen los parámetros micro que se usan en cada simulación de las n simulaciones que se realizan con la finalidad de obtener una población de n conjuntos de parámetros.

Deformación

Ten

sión

(Mpa

)

Ten

sión

(Mpa

)

Deformación

a) b)


49

4.2 Método de Monte Carlo

4.2.1 Introducción Tanto en la ingeniería como en las ciencias se utilizan modelos matemáticos que describen la relación (lineal o no) que existe entre unas variables X y unas variables de estudio Y. En muchos problemas la relación entre las variables de entrada y las de salida es muy compleja y ello implica la imposibilidad de hallar una solución exacta y la necesidad de usar métodos aproximativos. El caso de estudio que nos ocupa es uno de ellos.

4.2.2 Generación de números aleatorios con distribución uniforme La generación de números aleatorios se realiza en este caso mediante el método de la inversión. Sea una variable aleatoria continua X con distribución uniforme en el intervalo [a,b], X∼U(a,b). Su función de densidad de probabilidades es, por tanto:

bxa 1)( <<−

=ab

xfX (104)

Siendo U un número aleatorio generado dentro del intervalo (0,1) (U∼U(0,1)), entonces:

UabaUFX ⋅−+== − )()(1 (105) Se genera un conjunto de números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo [a,b] a través de la ecuación (105) y un conjunto de números aleatorios U contenidos dentro del intervalo (0,1). 5 Análisis de correlaciones Se han hallado las correlaciones de Pearson entre las variables con la finalidad de determinar cuales son las variables más influyentes y si se confirma lo que la intuición sobre la física del problema nos señala. En primer lugar se muestran aquellas variables que son menos influyentes en las variables de salida estudiadas (que son el módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson y la tensión de rotura).


50

Correlaciones

,035,555283

-,123* ,022,038 ,716283 283

,049 -,032 -,076,414 ,589 ,201283 283 283

,075 ,024 -,081 -,030,211 ,684 ,175 ,610283 283 283 283

,000 ,102 ,048 ,038 ,062,995 ,085 ,424 ,522 ,303283 283 283 283 283

-,138* ,017 ,018 ,061 ,008 ,407**,020 ,781 ,767 ,310 ,892 ,000283 283 283 283 283 283

-,043 ,099 ,054 ,042 ,061 ,992** ,424**,475 ,097 ,364 ,481 ,303 ,000 ,000283 283 283 283 283 283 283

Correlación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)N

DENSITY

COULOMB

RN

RT

DELTA

TENSILE STRENGTH

POISSON'S RATIO

YOUNG MODULUS

DENSITY COULOMB RN RT DELTATENSILE

STRENGTHPOISSON'S

RATIOYOUNG

MODULUS

La correlación es significante al nivel 0,05 (bilateral).*.

La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).**. Tabla 2 Correlaciones de Pearson de aquellas variables menos significativas

(para un ensayo a tracción)

DENSITY

COULOMB

RN

RT

DELTA

TENSILE STRENGTH

YOUNG MODULUS

POISSON'S RATIO

Figura. 4.4 Variables menos significativas

(para un ensayo a tracción) La densidad de las esferas, el coeficiente de Coulomb, la resistencia a tracción y a compresión no influyen en los parámetros estudiados. La explicación física de esto es que se está estudiando el comportamiento en la rama elástica y no se


51

considera la influencia del peso propio en el problema. La resistencia a tracción y a compresión, así como el coeficiente de Coulomb, empezarán a actuar cuando se rompa el primer contacto entre dos elementos del conjunto. En este preciso instante el material empezará a comportarse plásticamente. Una representación gráfica de las correlaciones que se muestran en la Tabla 2 se representa en la Figura. 3.4.

Correlaciones

,407**,000283

,992** ,424**,000 ,000283 283

,052 -,334** ,046,386 ,000 ,444283 283 283

,900** ,721** ,903** -,026,000 ,000 ,000 ,663283 283 283 283

,332** -,455** ,312** -,008 -,010,000 ,000 ,000 ,888 ,865283 283 283 283 283

Correlación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)N

TENSILE STRENGTH

POISSON'S RATIO

YOUNG MODULUS

KNC

KNT

KT

TENSILESTRENGTH

POISSON'SRATIO

YOUNGMODULUS KNC KNT KT

La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).**.

Tabla 3 Correlaciones de Pearson de las variables más significativas (para un ensayo a tracción)

TENSILE STRENGTH

YOUNG MODULUS

POISSON'S RATIO

KNC

KNT

KT

Figura. 4.5 Variables más significativas


52

Los parámetros microscópicos más influyentes son la rigidez normal a tracción y a compresión y la rigidez tangencial. El producto de la rigidez con el desplazamiento relativo entre dos elementos da la fuerza interna que se ejercen el uno sobre el otro en la dirección normal o tangencial. Lógicamente, sobre el coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad influirán la rigidez normal y la tangencial. Que influya más la normal de tracción o de compresión es función de si se está realizando un ensayo a tracción o a compresión. Sobre la tensión de rotura influirá más la rigidez normal de tracción en ensayos a tracción y la de compresión en ensayos a compresión. 5.1 Parámetros elásticos

5.1.1 Relaciones adimensionales La probeta virtual formada por un conjunto de discos bien conectados entre sí se caracteriza por dos grupos de parámetros a escala microscópica:

1. Los parámetros físicos y geométricos: - R, el radio medio [L] - ρ, densidad [FL-1T2] - n, porosidad

2. Los parámetros constitutivos de los contactos entre partículas:

- knc, rigidez normal a compresión [FL-2] - knt, rigidez normal a tracción [FL-2] - kt, rigidez tangencial [FL-2] - RN, resistencia normal [FL-1] - RT, resistencia tangencial [FL-1] - µ, coeficiente de fricción

Figura. 4.6 Se realizan ensayos virtuales a tracción y compresión A nivel macroscópico un material se caracteriza mediante constantes fenomenológicas, tales como el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν (ambas constantes elásticas), y la resistencia a tracción σt y a compresión σc del material. No existe ninguna teoría que permita predecir los parámetros macroscópicos (E, ν, σc, σt) a partir de los parámetros microscópicos anteriormente descritos. Por tanto, el primer paso a seguir si se quieren realizar

h h


53

simulaciones mediante el método de los elementos discretos es hallar la relación existente entre los parámetros micro y macro. Con tal de hallar esta relación se ha realizado un análisis adimensional del problema y ensayos virtuales de tracción y compresión. Al inicio de los ensayos virtuales, cuando todavía no se ha roto ninguno de los contactos entre esferas, el material se comporta elásticamente. En esta fase los parámetros micro involucrados en el problema (tal y como se ha mostrado en el análisis previo) son {knc, knt , KT, R, n, ρ, h, V}. Nótese que la porosidad n se ha tomado de forma indirecta como una medida de la distribución aleatoria de las esferas al conformar geométricamente el medio que se modela. Dado que son ocho los parámetros influyentes en el problema elástico y tres las dimensiones independientes, aplicando el teorema de Buckingham-π, cinco parámetros adimensionales gobernarán la respuesta elástica de la probeta virtual:

⋅ ρ/hkV

,hR

,n,kk

,kk

ncnc

nt

nc

T (106)

Los parámetros adimensionales hR

y ρ/hk

V

nc ⋅ pueden despreciarse. Si la

simulación consta de bastantes grados de libertad 1LR

<< y si se realiza bajo

condiciones de cargas cuasiestáticas 1/hk

V

nc

<<⋅ ρ

. Por tanto, se pueden

escribir las siguientes relaciones:

⋅= ƒ n,

kk

,kk

k'Enc

nt

nc

TEnc (107)

= ƒ n,

kk

,kk

'nc

nt

nc

Tνυ (108)

5.1.2 Relaciones entre los parámetros micro y macro obtenidas Se han realizado un total de 443 ensayos virtuales a compresión y 359 a tracción. De los cuales se ha extraído la información que se presenta a continuación.


54

Para un valor dado del coeficiente adimensional nc

nt

kk

se obtienen las siguientes

relaciones entre los parámetros macroscópicos elásticos E’ y ν’ y los coeficientes adimensionales presentados en el apartado anterior.

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00 7,00E+00 8,00E+00 9,00E+00

kt/kn

E'/k

n

knc=knt knc=knt tracción knc distinto de knt knc distinto de knt tracción

Figura. 4.7 Relación entre el módulo de Young aparente E’

y el parámetro adimensional n

T

kk

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00 7,00E+00 8,00E+00 9,00E+00

kt/kn

pois

son


Figura. 4.8 Relación entre el coeficiente de Poisson aparente ν’


T

kk


55

Haciendo una serie de transformaciones se pueden hallar las siguientes relaciones, estas tienen la peculiaridad de ser lineales en un rango de valores amplio.

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

7,00E+00

8,00E+00

9,00E+00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

(2*ν-1)^4

kt/k

n


Figura. 4.9 Relación entre el módulo de Poisson aparente ν’ y

el parámetro adimensional n

T

kk

linealizada

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

poisson

E'/k

n


Figura. 4.10 Relación entre el módulo de Young aparente E’ y el coeficiente de Poisson aparente ν’


56

Se observa que para valores del parámetro adimensional nc

T

kk para ensayos a

compresión nt

T

kk

para ensayos a tracción mayores de 3 las relaciones obtenidas

dejan de tener una tendencia clara. Este hecho coincide además con valores del coeficiente aparente de Poisson ν’ muy pequeños y valores del módulo de Young aparente E’ muy grandes. Si se eliminan estos valores singulares se cubre un rango muy amplio de materiales.

0,00E+00

1,00E-01

2,00E-01

3,00E-01

4,00E-01

5,00E-01

6,00E-01

7,00E-01

8,00E-01

9,00E-01

1,00E+00

0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00 2,50E+00 3,00E+00 3,50E+00

kt/kn

E'/k

n

Figura. 4.11 Relación entre el módulo de Young aparente E’


T

kk

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00 2,50E+00 3,00E+00 3,50E+00

kt/kn

pois

son


Figura. 4.12 Relación entre el coeficiente de Poisson aparente ν’


T

kk


57

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

3,00E+00

3,50E+00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

(2*ν-1)^4

kt/k

n


Figura. 4.13 Relación entre el módulo de Poisson aparente ν’ y

el parámetro adimensional n

T

kk

linealizada

0,00E+00

1,00E-01

2,00E-01

3,00E-01

4,00E-01

5,00E-01

6,00E-01

7,00E-01

8,00E-01

9,00E-01

1,00E+00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

poisson

E'/k

n


Figura. 4.14 Relación entre el módulo de Young aparente E’ y el coeficiente de Poisson aparente ν’


58

5.1.3 Metodología propuesta A continuación se presenta una metodología a seguir para dado un material con unos parámetros elásticos E’ y ν’ fijados obtener los parámetros micro knc, knt y kT que se deben introducir en el modelo de elementos discretos para simular dicho material.

1. Se fija el parámetro adimensional nc

nt

kk

igual a β

2. A partir de ν’ se obtiene el parámetro adimensional nc

T

kk

(Figura. 3.12)

3. A partir de ν’ y E’ se obtiene knc (Figura. 3.13) 4. A partir de ν’ y E’ se obtiene knt (Figura. 3.13)

5. Dado knc y nc

T

kk

se obtiene kT

6. Dado knc y knt se obtiene nc

nt

kk

7. Si nc

nt

kk

≠β se vuelve a 1.

8. Si nc

nt

kk

≈β ⇒ FIN

5.1.4 Problemática y soluciones propuestas Un material cualquiera tiene un comportamiento a tracción y compresión en el rango elástico de deformaciones que se caracteriza por su módulo de Young a

tracción E’T y a compresión E’C. A priori, se desconoce que relación nc

nt

kk

nos

conducirá a la solución deseada. Dado que de momento no se dispone de una base de datos de ensayos virtuales lo suficientemente extensa se ha propuesto una solución alternativa a la estrictamente analítica. Con las relaciones entre los

parámetros micro y macro obtenidas para nc

nt

kk

igual a la unidad se puede

obtener una aproximación inicial a la solución. A partir de esta aproximación inicial y utilizando un método global de optimización se pueden hallar los parámetros micro que le corresponden a los datos de partida E’ y ν’. En el cuarto apartado de este capítulo se presenta el método global de optimización que se ha utilizado y adaptado a nuestro problema en particular y las soluciones que se han obtenido mediante este.


59

5.2 Resistencia a tracción y a compresión En el momento en que rompe un primer contacto (entramos en la rama elastoplástica del material) en la simulación virtual de los ensayos a tracción y a compresión, las variables que intervienen en la respuesta del modelo pasan a ser: {knc, knt , kT, R, n, ρ, h, V, RN y RT}. Si se aplica en este caso el teorema de Buckingham-π se obtiene que deben hallarse nueve parámetros adimensionales que gobiernen la respuesta elástoplastica de medio:

ρµδ

/h·kV

,hR

,n,kk

,kk

,,R

,RR

,R

rk

ncnc

T

nc

nt

n

T

n

nc ⋅ (109)

Igual que en el apartado anterior el sistema tiene suficientes grados de libertad y el proceso de carga es cuasiestático. Para una probeta virtual específica con un radio medio y una porosidad dada, los parámetros elásticos E’ y ν’ tienen

una relación biunívoca con los parámetros adimensionales

nc

T

nc

nt

kk

,kk

. Sin

embargo, se considera despreciable la influencia de

n,kk

,kk

nc

T

nc

nt en los

parámetros de rotura. Por tanto, se pueden escribir las siguientes relaciones:

⋅⋅= ƒ µδσ ,

R,

RR

,R

Rkr

R

n

T

n

ncc

nc (110)

⋅⋅= ƒ µδσ ,

R,

RR

,R

Rkr

R

n

T

n

nct

Tt (111)

6 Estimación de parámetros 6.1 Introducción Simulated Annealing es un método global de optimización que converge a un mínimo global no restringido solucionando problemas no lineales, busca la solución que adopte el menor valor de la función objetivo, hace descensos probabilísticos en el espacio de la variable x aceptando el hecho de que dichas probabilidades están gobernadas por la temperatura y minimiza de forma explícita la función objetivo f(x). SA esta diseñado para funciones con varios óptimos y hace muy pocas presunciones a cerca de la forma de la función a optimizar. Explora la superficie de la función a profundidad, y mira de hallar el optimo de la función moviéndose en todas las direcciones. Por este motivo es un método robusto. Esta robustez se traduce en un coste mayor de tiempo de computación.


60

Este método se inspiró en el proceso de recocido (annealing) a que se someten diversas substancias. Típicamente, una substancia, como el acero o cualquier otro metal, al calentarse gana energía. Esta energía se disipa de forma gradual al enfriarse. Mientras se va enfriando las moléculas del material se reordenan en un estado de menor energía. Fluctuaciones aleatorias en la energía permiten escapar de mínimos locales de energía, hasta alcanzar el mínimo global. El proceso finalizará cuando el sistema este en equilibrio termodinámico. Si el enfriamiento es muy rápido, el sistema no podrá escapar de un mínimo local de energía (un metal enfriado rápidamente contendrá más energía). SA pretende minimizar una función multidimensional de forma análoga a la energía de un sistema. Con la finalidad de hallar dicho mínimo, SA se mueve en ambas direcciones hacia arriba y hacia abajo. Como en el caso análogo de un metal, con tal de evitar quedar atrapado en un mínimo local. 6.2 Simulated Annealing Simulated annealing es un método para solucionar problemas no lineales sin restricciones o optimización multicriterial. Un problema general no lineal sin restricciones se puede definir como:

Si para f(i) imizamin i ∈ ; (112)

en donde f(i) es la función objetivo a minimizar y S es el espacio en el que se halla la solución. A una solución iopt se le llama mínimo global cuando satisface f(iopt)≤f(i) ∀ i ∈ S. Sopt es el conjunto de todos los mínimos globales tales que fopt=f(iopt) es su valor objetivo. El entorno Si de la solución i es el conjunto de puntos j tales que j∈Si ⇔ i∈Sj. A continuación se muestra el procedimiento que emplea SA para resolver ploblemas no lineales sin restricciones:

SA fin

T; a T de atemperatur la reducimos

)i'(i, Aadprobabilid con i'aceptar ; )i'q(i, usando S a ntepertenecie i' punto un de generación

N a 1 de k

cumpla se no parada de condición la

a);temperaturpor pruebas o tiros de (número N1;0 toenfriamien de ratio y T0T iniciales astemperatur

;ii inicial punto

SA de Inicio

T

i

T

T

0

•

•

×••

•

•

•

•

•

<<=•

=•

•

endwhile

enddo

dofor

dowhile

α

α


61

q(i,i’), la probabilidad de generación, se define como iS

iiq 1)',( = ∀ i’ ∈ Si.

AT(i,i’), la probabilidad de aceptación del punto generado i’, se define a continuación:

−−=

+

TififiiAT))()'((

exp)',( ; (113)

en donde a+=a si a>0 y a+=0 en caso contrario. SA funciona del siguiente modo. Primero genera un punto de prueba i’. Si f(i’)<f(i), el punto i’ se acepta como punto inicial de la siguiente iteración. La

solución i’ es aceptada con probabilidad

−−

+

Tifif ))()'((

exp . Cuanto peor sea la

solución i’, menor será la probabilidad de que i’ sea aceptado en la siguiente iteración. El procedimiento descrito es repetido NT veces hasta que la temperatura T disminuye. Teóricamente, si la temperatura T se disminuye lo suficientemente despacio en una escala logarítmica, entonces SA convergerá asintóticamente a una solución óptima iopt ∈ Sopt. En la práctica se adopta un calendario geométrico de enfriamiento, T←α×T, con la finalidad de que SA converja a una solución i* en un intervalo de tiempo finito. SA puede modelarse mediante una cadena de Markov inhomogénea que consiste en una secuencia de cadenas de Markov homogéneas de longitud finita, cada una de ellas a una temperatura específica en un calendario de temperaturas dado. En concordancia con la probabilidad de generación q(i,i’) y la probabilidad de aceptación AT(i,i’), la probabilidad de transición de un paso de la cadena de Markov es:

∉∀

=−

∈

= ∑i

i

Si 0

ii' si ),(1

Si' si )',()·',(

)',( jiP

iiAiiq

iiP T

T

T ; (114)

la correspondiente matriz de transición es PT=[PT(i,i’)]. Se asume que, si se escoge Si adecuadamente, la cadena de Markov será irreducible, viniendo a decir que para cada par de soluciones i y j, la probabilidad de hallar j a partir de i en un número de pasos finito es positiva. Considerando la secuencia de temperaturas { },...2,1,0, =kTk , en donde Tk+1<Tk y limk→∞Tk=0, y escogiendo NT como el máximo del mínimo número de pasos requeridos para hallar un iopt desde cada j∈S. Dada la irreductibilidad de la cadena de Markov y la finitud del espacio de búsqueda S, ello conlleva la


62

existencia de NT. El teorema de convergencia asintótica de SA se escribe a continuación:

Teorema 5.2.1. La cadena de Markov modelando SA converge asintóticamente a un mínimo global Sopt si la secuencia de temperaturas satisface que:

)1(log +∆

≥k

NTe

Tk ; (115)

en donde { }iSji Sjifjf ∈−=∆ ∈ )()(max , . La demostración de este teorema se basa en la llamada ecuación de balance global:

),'()'()',()( iiPiiiPi TTTT ππ = ; (116)

en donde πT(i) es la probabilidad estacionaria del estado i a temperatura T.

A pesar de que SA funcione bien para resolver problemas no lineales sin restricciones, este no puede usarse directamente en el caso de problemas no lineales que tienen una serie de restricciones que deben ser satisfechas, además de minimizar la función objetivo. La estrategia más común utilizada en este caso es la de usar formulaciones de penalización. Para formulaciones de penalización estática, es difícil elegir una penalización γ adecuada, dado que si la penalización es demasiado grande SA tiende a hallar soluciones factibles en lugar de soluciones óptimas. En el caso de formulaciones dinámicas, los problemas sin restricciones en cada etapa de λ(k) deben ser solucionados de forma óptima con la finalidad de hallar una convergencia asintótica. Sin embargo, esta última condición es difícil de conseguir a la práctica, dando sólo una cantidad finita de tiempo a cada etapa. Si el resultado en cada etapa no es un mínimo global, entonces no podemos garantizar que el mínimo hallado al final de todo el proceso lo sea. Por lo tanto, la aplicación de SA a una formulación de penalización dinámica no conlleva una convergencia asintótica en la solución de problemas no lineales con restricciones. 6.3 SIMANN: Un algoritmo de optimización global basado en

Simulated Annealing

6.3.1 Introducción Simulated annealing es un método de optimización global que distingue entre distintos óptimos locales. Empieza desde un punto inicial (introducido por el usuario), el algoritmo avanza un paso y evalúa la función a minimizar. Todos


63

aquellos puntos que disminuyan el valor de estudio de la función serán aceptados. Un punto que haga lo contrario también será aceptado con la finalidad de escapar de mínimos locales. Si la optimización esta siendo exitosa, la longitud de los pasos disminuyen y el algoritmo se acerca al optimo global.

6.3.2 Descripción del algoritmo Al inicio, el algoritmo escoge un punto inicial al azar a una distancia no mayor de la longitud del vector vT del punto inicial escogido por el usuario. Si lo que estamos buscando es un máximo, todos los movimientos hacia arriba serán aceptados y el algoritmo seguirá desde el punto aceptado (siempre se centra el vector de avance en el punto escogido). Los movimientos hacia abajo también serán aceptados, el criterio de decisión que se utiliza es el de Metropolis. Este establece que los puntos serán aceptados cuanto mayor sea la temperatura y menor sea el desplazamiento hacia abajo. Si el punto es rechazado se escogerá otro punto. Las componentes del vector v se ajustan periódicamente si la mitad de todas las evaluaciones de la función en esta dirección han sido aceptadas. Se impone un descenso de temperatura: Ti+1=rT·Ti (i significa que es la i-ésima iteración). A medida que la temperatura disminuye, los movimientos hacia abajo se aceptan en menor número y el porcentaje de puntos no aceptados aumenta. Al igual que la longitud de cada paso disminuirá, SA se centrará en el área que más prometa para la optimización en ese momento. La temperatura inicial del sistema debe escogerse después de varios tiros, de tal modo que se asegure que la longitud del vector v es lo suficientemente grande para llegar a cubrir todo el espacio de búsqueda. Para ver la influencia de los diferentes parámetros y el modo en que influyen en la velocidad de optimización se pueden variar los valores que se recomiendan. Por ejemplo, se puede escoger un factor de reducción del vector de avance rT·de 0.95 y 0.1. El número de veces que se quiere que el algoritmo reduzca la temperatura se introduce a través de la variable Nε. Después de NS×n evaluaciones de la función se reducirá la longitud del vector de avance v y después de NT×NS×n evaluaciones de la función, la temperatura se reducirá un factor rT. Para variar el tiempo de optimización y la robustez del método se debe jugar con las variables NT y rT. Los valores iniciales escogidos de los parámetros desconocidos son irrelevantes en este método, al igual que la longitud inicial de v, ya que el método rápidamente ajusta su longitud en función de la temperatura. Cuando se halla un óptimo es aconsejable reiniciar SIMANN con diferentes semillas del generador de números aleatorios. Si se halla el mismo óptimo se puede afirmar que prácticamente se ha alcanzado el objetivo.


64

6.3.3 Parámetros del algoritmo

6.3.3.1 Parámetros de entrada Variable Tipo Descripción Valores

recomendadosN Entero Número de parámetros a

optimizar en la función objetivo

X Doble precisión

Vector de valores iniciales de los parámetros a optimizar

MAX Lógica Denota si la función se minimiza o maximiza

RT (rT) Doble precisión

Coeficiente de reducción de la temperatura

0.85

EPS Doble precisión

La tolerancia permitida

NS Entero El número de ciclos 20 NT Entero El número de iteraciones antes

de disminuir la temperatura (100,5×N)

NEPS Entero Número de valores de la función elegidos para decidir antes de terminar

4

MAXEVL Entero Número máximo de evaluaciones de la función

LB Doble precisión

Límite inferior de cada uno de los parámetros a optimizar

UB Doble precisión

Límite superior de cada uno de los parámetros a optimizar

C Doble precisión

El vector que controla el ajuste de la longitud de avance

2.0

Tabla 4 Parámetros de entrada

6.3.3.2 Parámetros de entrada/salida Variable Tipo Descripción Valores

recomendadosT Doble

precisión Temperatura

VM Doble precisión

Longitud del vector de avance

Tabla 5 Parámetros de entrada/salida


65

6.3.3.3 Parámetros de salida Variable Tipo Descripción Valores

recomendadosXOPT Doble

precisión Valores de los parámetros que optimizan la función

FOPT Doble precisión

Valor óptimo de la función

NACC Entero Número de evaluaciones de la función aceptadas

NFCNEW Entero Número de evaluaciones de la función

NOBS Entero El número de evaluaciones rechazadas porque han quedado fuera del dominio a optimizar

Tabla 6 Parámetros de salida

6.4 Resultados Se han realizado varios intentos de obtener los parámetros micro a partir del método de optimización descrito. De todos estos intentos se han finalizado dos, obteniéndose un éxito parcial ya que se obtiene una buena optimización o bien únicamente para compresión o para tracción o bien únicamente para el módulo de elasticidad. La no obtención de un éxito total es debido a que el número de evaluaciones de la función que se ha dado a la variable MAXEVAL es 100. La razón por la cual no se ha aumentado este valor es por el elevado tiempo de cálculo que esto supone.

EC objetivo EC solución ET objetivo ET solución νC objetivo νC solución νT objetivo νT solución

6,46E+09 6,31E+09 6,46E+09 4,2E+09 0,2 0,2 0,2 1,09 3,84E+09 3’84E+09 3,84E+09 3’84E+09 0,14 0,11 0,14 1’53

Tabla 7 Resultados

6.5 Conclusiones El método de optimización propuesto es capaz de dar una solución al problema planteado, pero para un tiempo de cálculo muy elevado. Este tiempo es de cómo mínimo 48 horas para 100 iteraciones, con una densidad muy ajustada para que el tiempo crítico no sea muy pequeño. Esto lleva a pensar que quizás no sea el mejor método de optimización posible para el problema estudiado. En investigaciones futuras se pueden plantear otros métodos de optimización que se adapten mejor al tipo de problema estudiado. Aunque más que el método de optimización, lo que lo hace tan lento es el tiempo crítico resultante (este es


66

función de la densidad y de la rigidez tangencial del contacto, tal y como se especifica en el apartado 5 del capítulo 3) y el tiempo de cálculo necesario para que la probeta rompa.

Aplicación de los elementos discretos a la simulación del problema de degaste

67

CCaappííttuulloo 55:: EEssttuuddiioo ddeell pprroobblleemmaa ddee ddeessggaassttee 1 Introducción A continuación se muestran los resultados obtenidos de las simulaciones del desgaste realizadas. En primer lugar se muestra la primera experiencia de desgaste realizada, en la cual se cuantifica el desgaste del útil debido a su interacción con un bloque de arenisca durante el proceso de excavación. Posteriormente se ha simulado el desgaste de un diente de ripper real. El desgaste se ha acelerado con la finalidad de que el coste de calculo sea menor. Los resultados numéricos se han comparado con resultados de campo. 2 Primera experiencia de desgaste 2.1 Metodología Previamente, fueron obtenidos los parámetros microscópicos que caracterizan el material excavado Este se puede considerar que es una arenisca, dados su módulo de elasticidad, su coeficiente de poisson, su resistencia última a tracción y a compresión. Se ha impuesto una velocidad horizontal constante al útil de excavación de unos 4m/s.

Figura. 5.1 Configuración de los elementos al final de la primera etapa

(0.5E-02 segundos desde el inicio del análisis) En primer lugar, se excava el material durante un breve lapso de tiempo (0.005 segundos). La configuración final de los elementos o esferas de esta primera etapa de desgaste se usará en etapas sucesivas como configuración inicial. De este modo no se someterá al útil a las altas fuerzas de contacto que se

Estudio del problema de desgaste

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producen inicialmente cuando rompe el material. A continuación, se retrocede el útil de excavación y se sigue excavando el material ya fracturado. Se ha seguido este procedimiento debido al alto coste computacional que supondría tener una probeta de esferas lo suficientemente grande para que el útil de excavación se desgastará de forma considerable. 2.2 Parámetros microscópicos Las partículas que forman el útil de excavación han sido generadas de forma aleatoria en un rango entre 4.0E-04 y 5.2E-04m. Se ha asumido que el acero del diente es MET 91. La dureza de este acero para temperatura ambiente hallada por Metalogenia es de HRC=54. Los parámetros constitutivos que caracterizan el contacto entre roca y útil de excavación son:

- La rigidez en la dirección normal: 20=nk GPa - El coeficiente de fricción de Coulomb: =µ 0.3 - La constante de desgaste: 5105.1/ −⋅=Hγ

Los parámetros constitutivos que caracterizan el material excavado son:

- La rigidez normal de compresión de los contactos: knc = 60Gpa - La rigidez normal de tracción de los contactos: knt = 70Gpa - La rigidez tangencial de los contactos: kt = 20Gpa - La resistencia del contacto en la dirección normal: RN = 0.1MPa - La resistencia del contacto en la dirección tangencial: RT = 1MPa - El coeficiente de fricción del contacto: µ = 0.839

La simulación se ha llevado a cabo suponiendo constante la dureza del diente. Las oscilaciones de mayor frecuencia se disipan mediante un amortiguamiento adecuado en la interfaz del contacto entre las esferas que constituyen tanto la roca como el útil de excavación (el 90% del amortiguamiento crítico). También, se aplica un amortiguamiento viscoso global al sistema, de tal modo que se consiguen disminuir los modos de vibración de menor frecuencia. 2.3 Resultados numéricos Distintos perfiles del útil de excavación durante distintas etapas del proceso de excavación se muestran en las figuras de la 5.2 a la 5.5. Durante los 0.203 segundos de excavación simulada se ha perdido el 40% de la masa del útil.


69

Figura. 5.2 Útil de excavación al inicio del análisis

Figura. 5.3 Útil de excavación transcurridos 2.3E-02 segundos

desde el inicio del análisis






70

En la figura 4.6 se representa la pérdida acumulada de masa a lo largo de la simulación. Para comparar el resultado obtenido con las curvas de pruebas de campo reales se ha escalado el tiempo de análisis con un factor de 7000 (ver Figura. 5.7). Esto es debido a que expresamente se ha acelerado el desgaste en la simulación para disminuir el coste computacional.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

TIME ANALYSIS (s)

% M

ASS

LO

SS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Figura. 5.6 Pérdida de masa versus tiempo de análisis

MR45A

Time (Sec) Vel = 2 Km/h

Mat

eria

l los

s fr

actio

n

Figura. 5.7 Comparación de la curva de pérdida de masa versus tiempo hallada mediante la

simulación con los ensayos reales


71

3 Simulación del desgaste de un diente de ripper 3.1 Parámetros microscópicos El diente de ripper esta formado por 6500 discos cuyo radio se ha generado de forma aleatoria entre 0.4 y 0.6mm. La configuración inicial del modelo se muestra en la Figura. 5.8. El resto de parámetros microscópicos que definen los materiales son los mismos que en el ejemplo anterior, el material excavado se puede considerar una arenisca y el acero del diente un MET 91.

Figura. 5.8 Configuración inicial

3.2 Resultados numéricos Se han realizado 20 pasadas del diente (se ha retrocedido el diente 20 veces y se ha iniciado el desgaste con la configuración ya rota de la roca). En la Figura. 5.10 se presenta el proceso de desgaste para distintos instantes de tiempo de la primera pasada (para otros estadios de desgaste, ver Figura. 5.13). En estas figuras se representan en azul las esferas con contactos rotos. Se observa claramente la típica superficie de rotura característica en materiales frágiles. También se muestra la distribución del desgaste en la superficie del diente para distintos instantes de tiempo de la primera pasada y pasadas sucesivas en las figuras 5.11 y 5.14. Se observa un desgaste significativo del diente. La perdida de masa acumulada con el tiempo se ha comparado con la obtenida mediante ensayos de campo reales mediante un factor de escala de 7000 (determinada en el ejemplo anterior) debido a la aceleración del proceso de desgaste en el ensayo virtual.


72

a) t = 5 s b) t = 15 s

c) t = 90 s d) t = 100 s

Figura. 5.9 Proceso de excavación en la primera pasada

a) t = 5 s b) t = 15 s

c) t = 90 s d) t = 100 s

Figura. 5.10 Proceso de excavación en la primera pasada, se pueden observar las esferas con contactos rotos en azul


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a) t = 5 s b) t = 15 s

c) t = 90 s d) t = 100 s Figura. 5.11 Proceso de excavación en la primera pasada, se puede observar la distribución del

desgaste en las esferas que conforman la superficie del diente

a) t = 550 s b) t = 600 s

c) t = 1300 s c) t = 1400 s

Figura. 5.12 Proceso de excavación, se muestran distintos estadios del proceso de desgaste: novena pasada a) y b) y dieciochoava pasada c) y d)


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a) t = 550 s b) t = 600 s

c) t = 1300 s c) t = 1400 s Figura. 5.13 Proceso de excavación, se muestran las esferas con contactos rotos, en azul, para distintos estadios del proceso de desgaste: novena pasada a) y b) y dieciochoava pasada c) y

d)

a) t = 550 s b) t = 600 s

c) t = 1300 s c) t = 1400 s

Figura. 5.14 Se puede observar la distribución del desgaste en las esferas que conforman la superficie del diente para distintos estadios del proceso de desgaste: novena pasada a) y b) y

dieciochoava pasada c) y d)


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Figura. 5.15 Comparación de la curva de pérdida de masa versus tiempo hallada mediante la simulación con los ensayos reales y representación del cambio de geometría del diente debido

al desgaste 4 Conclusiones Los resultados numéricos obtenidos se aproximan bastante bien a los resultados obtenidos mediante los ensayos de campo. El cambio de forma del perfil de ripper concuerda con el cambio de forma en un proceso real de excavación. Las curvas de pérdida de masa respecto al tiempo obtenidas para las simulaciones realizadas predicen bastante bien la pérdida de masa que habrá experimentado el diente después de un cierto periodo de excavación. De todo esto se puede concluir que:

Se tiene una buena herramienta para reproducir el proceso de excavación

Se predice el cambio de forma del útil durante el proceso de excavación Se puede estimar el tiempo aproximado de excavación que debe

transcurrir para que la pérdida de masa del útil sea una determinada

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

time (sec)

loss

wei

ght (

frac

tion

of to

tal w

eigh

t)MET 71 (Test 16)MET 91 (Test 17)DURAMET1 (Test 18)STEEL B (Test 19)

MET 71 (Test 20)STEEL D (Test 21)Simulacion

Conclusiones

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CCaappííttuulloo 66:: CCoonncclluussiioonneess Se extraen las siguientes conclusiones:

Se ha obtenido una metodología para la obtención de los parámetros micro que caracterizan a un determinado material dados sus parámetros macroscópicos

El proceso de excavación puede abordarse mediante el método de los elementos discretos

Se prevé el cambio de forma de un útil a lo largo del proceso de excavación mediante su simulación

La curva de pérdida de masa con el tiempo del útil durante el proceso de excavación obtenida mediante la simulación proporciona una buena medida de la pérdida de masa real

El problema de desgaste es un problema complejo. Los resultados que pueden obtenerse mediante ensayos de laboratorio son difíciles de correlacionar con situaciones de desgaste reales. Los ensayos de laboratorio ayudan a entender los mecanismos de desgaste, pero no sirven para una cuantificación directa de este. Por tanto, la simulación del problema de desgaste mediante el método de los elementos discretos hace de nexo de unión entre los ensayos de laboratorio y la realidad. En un futuro, las simulaciones de este tipo pueden resultar una herramienta muy útil para la planificación de obras y la optimización de los útiles de excavación.

Recomendaciones

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CCaappííttuulloo 77:: RReeccoommeennddaacciioonneess En investigaciones posteriores se deberían estudiar los siguientes temas:

La influencia de los parámetros micro RT y RN en la resistencia máxima a tracción σt y a compresión σc de una probeta

La influencia del radio medio en los parámetros macroscópicos E’, ν, σc y σt, fijados los parámetros microscópicos y su dependencia con estos (indirectamente estamos tratando la influencia de la porosidad)

Usar formulaciones del contacto con viscosidad además de rigidez en la dirección normal, de tal modo que se pueda representar de forma precisa la rama plástica del diagrama tensión-deformación

Referencias bibliográficas

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Referencias bibliográficas

[1] J. Rojeck, E. Oñate, F. Zarate, and j. Miquel. Modelling of rock, soil and granular materials using spherical elements. In 2nd European Conference on Computational Mechanics ECCM-2001, Cracow, 26-29 June, 2001

[2] SIMPACT. User Manual. A finite element code for structures under dynamic and impact loading. Report No. 236, CIMNE, Barcelona, 1997

[3] Cundall, P. A & Strack, O. D. L (1979). A discrete numerical model for granular assemblies. Géothechnique 29, No. 1, pp. 47-65,1979

[4] Cundall, P. A. Formulation of a three dimensional Distinct Element Model-Part I. A Scheme to Detect and Represent Contacts in a System Composed of Many Polyhedral Blocks. Int. J. Rock Mech., Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 25, No. 3, pp. 107-116, 1988

[5] H.Huang. Discrete element modelling of Tool-Rock Interaction. PhD thesis, University of Minnesota, 1999

[6] Tao Wang. Global optimisation for constrained nonlinear programming. PhD thesis. University of Illinois at Urbana-Champaign, 2001

[7] William L. Goffe. SIMANN: A Global Optimization Algorithm using Simulated Annealing. Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. Quaterly Journal. October 1996, Volume 1, Number 3. The MIT Press

hay hombres que luchan un día y son buenos. hay otros que ... · poliedros) en dos y tres...

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