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Claudia Ridruejo Calavia

Clara Jiménez Gestal

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

Haciendo Zoom en las Matemáticas

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones,

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Haciendo Zoom en las Matemáticas, trabajo fin de estudiosde Claudia Ridruejo Calavia, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la

Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a lostitulares del copyright.

Haciendo Zoom en las

Matematicas

Autora: Claudia Ridruejo Calavia

Tutora: Clara Jimenez Gestal

Master en Profesorado de Educacion Secundaria Obligatoria y

Bachillerato, Formacion Profesional y Ensenanza de Idiomas.

Logrono, June 2016

Indice general

1. Introduccion 5

2. Marco teorico 9

2.1. Proceso de ensenanza-aprendizaje en Matematicas. . . . . . . 9

3. Memoria de practicas 15

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Analisis del PEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1. Proyecto Educativo de don Bosco . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Estudio de los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4. Procesos de ensenanza-aprendizaje en el aula . . . . . . . . . . 23

3.5. Unidad didactica 2o ESO: Proporcionalidad y semejanza . . . 25

3.5.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5.4. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.5. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5.6. Materiales y recursos de apoyo . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 INDICE GENERAL

3.5.7. Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6. Otras actividades realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Proyecto de Innovacion: 37

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Descripcion del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.1. Actividades modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.2. Caso practico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5. Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Reflexion y conclusiones finales 65

6. Anexos 71

6.1. Anexo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2. Anexo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Capıtulo 1

Introduccion

El Master de Profesorado en Educacion Secundaria Obligatoria y Bachi-

llerato, Formacion Profesional y Ensenanza de Idiomas, de la Universidad

de La Rioja, se trata, en mi caso, de la culminacion de toda una trayectoria

de estudios orientada desde el primer momento a llegar a ser profesora de

la materia de Matematicas. Por ello, todos y cada uno de los conocimientos

que he podido aprender y las experiencias que he tenido la suerte de vivir,

me han servido para ampliar y mejorar mis cualidades como docente. Son

innumerables las habilidades que he adquirido, y en la medida de lo posible,

es lo que intentare plasmar a lo largo de mi Trabajo de Fin de Master.

Este master esta destinado a instruir futuros profesores en la ensenanza

de las materias de Educacion Secundaria correspondientes a su especialidad,

al mismo tiempo que desarrollar sus habilidades como miembros de un grupo

docente y como tutores y orientadores de sus propios alumnos. La formacion

docente no se limita solamente a la aplicacion de tecnicas y metodologıas

en el aula sino que busca ademas que los nuevos profesores sean capaces de

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

analizar, comprender y actuar ante los complejos problemas que presenta el

conjunto de una clase. Estas destrezas pretenden ser adquiridas mediante el

plan de estudios del master, que divide el conjunto de asignaturas a cursar

en un bloque generico, formado por las asignaturas comunes a todas las es-

pecialidades y un bloque especıfico, en el que se encuentran las especıficas

para la materia de Matematicas en mi caso. Procesos y contextos educativos,

Aprendizaje y desarrollo de la personalidad y Sociedad, familia y educacion

son las signaturas comunes, mientras que Aprendizaje y ensenanza de las

matematicas, Complementos para la formacion disciplinar e Innovacion do-

cente e iniciacion a la investigacion educativa son las correspondientes a la

especialidad de Matematicas.

En base a los conocimientos y habilidades adquiridas en estas asignaturas,

elaborare este trabajo de fin de master que quedara dividido en tres partes

claramente diferenciadas, aunque siempre interconectadas unas con otras.

En la primera parte, Marco Teorico, se llevara a cabo una reflexion

teorica sobre los procesos de ensenanza-aprendizaje de las Matematicas en

la Educacion Secundaria.

En la segunda parte, Memoria de Practicas, hablare de mi estancia

en el CPC Salesianos “Los Boscos”de Logrono durante los dos meses de

practicas, lo que incluye la descripcion del colegio, de los alumnos, y del

trabajo llevado a cabo en las clases.

Finalmente, en la tercera parte, Proyecto de Innovacion, explicare de

la manera mas detallada posible el proyecto de innovacion que he desarro-

llado con el fin de mejorar el aprendizaje de uno de los temas de Geometrıa

7

de 2o de la ESO. Han sido dos principalmente, los motivos que me han lle-

vado a elaborar este proyecto: la falta de motivacion y las dificultades de

aprendizaje que presenta mi clase de 2o, y el escaso estudio de la geometrıa

en la ESO que conlleva una mayor falta de comprension de estos temas. De

este modo, intentare emplear distintos aparatos electronicos en el aula, en

los que los alumnos encuentren una aplicacion de lo que estudian, a la vez

que preparare actividades basadas en el Modelo de Van Hiele de orientacion

a profesores en la elaboracion de actividades de geometrıa.

Capıtulo 2

Marco teorico

2.1. Proceso de ensenanza-aprendizaje en Ma-

tematicas.

“ No podemos ensenar nada a nadie. Tan solo podemos ayudar a

que descubran por sı mismos ”

Galileo Galilei.

La ensenanza de las Matematicas en la Educacion Secundaria viene persi-

guiendo desde hace anos un objetivo principalmente: dotar a los estudiantes

de los conocimientos y las destrezas necesarias que les permitan desenvolver-

se de manera eficaz en la vida cotidiana. Nuestro modo de vida y nuestras

necesidades diarias estan sometidas a un continuo cambio provocado, entre

otros motivos, por el incipiente desarrollo de las nuevas tecnologıas. Por ello,

el modo de actuar en el aula y las metodologıas empleadas en los procesos

de ensenanza-aprendizaje han sufrido tambien importantes modificaciones.

9

10 CAPITULO 2. MARCO TEORICO

Todo profesor de matematicas debe ser capaz de adaptar sus clases a estos

cambios asegurandose de que sus alumnos aprendan los conocimientos ma-

tematicos establecidos, a la vez que desarrollan capacidades tan importantes

como el razonamiento y la expresion matematica, la resolucion de problemas

y sus aplicaciones a la vida real, y la conexion de las matematicas con el resto

de disciplinas.

Son muchas las variables que influyen en el proceso de ensenanza-aprendizaje,

y cuya relevancia y evolucion en la historia podrıamos estudiar, sin embargo

me centrare en aquellas que considero clave para el posterior desarrollo de

mi proyecto de innovacion. Analizare el papel que desempenan profesor y

alumno en el proceso de ensenanza-aprendizaje, el empleo de las TIC en el

aula, la integracion de la evaluacion como parte del currıculum, la motivacion

y el interes de los alumnos y la diversidad del aula, pues considero que todas

ellas pueden darnos una vision global del proceso de ensenanza-aprendizaje

en las clases de matematicas actuales. Para este estudio me basare en los

contenidos desarrollados en las asignaturas de Aprendizaje y desarrollo de la

personalidad y Aprendizaje y ensenanza de las Matematicas.

El proceso de ensenanza-aprendizaje en el aula de matematicas debe lle-

varse a cabo mediante la aplicacion de diferentes metodologıas docentes con

el fin de cultivar en el alumno su capacidad de investigar y de adquirir nuevos

conocimientos [9]. A lo largo de la historia la metodologıa predominante, en

todas las clases en general, ha sido el Modelo Conductista en el que el do-

cente es el centro de la clase y se encarga de transmitir sus conocimientos a

unos alumnos que escuchan y memorizan. De esta forma, el proceso didactico

2.1. PROCESO DE ENSENANZA-APRENDIZAJE EN MATEMATICAS.11

se ha centrado en ensenar dejando el aprendizaje en un segundo plano. Sin

embargo, cada vez se da mayor importancia al proceso de aprendizaje pro-

moviendo un Modelo Constructivista. En este caso, el alumno es el centro de

atencion, y no solo se limita a adquirir nuevos conocimientos sino que debe

relacionarlos con experiencias y saberes ya adquiridos, logrando ası un apren-

dizaje significativo [6]. Centrandonos en las clases de matematicas, es en las

primeras decadas del s. XX cuando matematicos destacados como Julio Rey

Pastor 1 y Pedro Puig Adam 2 se encargan del estudio de la metodologıa de

las matematicas impartiendo cursos para la formacion de profesores en estas

nuevas ideas [3]. En 1933 colaboran en la publicacion del libro Metodologıa y

didactica de la matematica elemental en el que conciben como puntos clave

de la ensenanza de las matematicas la intuicion y la imaginacion, el despertar

inquietudes en el alumno y el valorar su creatividad como uno de los factores

mas importantes. Con estas nuevas metodologıas, el profesor pasa a tener

un papel de moderador o guıa, proporcionando informacion y facilitando el

aprendizaje de los alumnos, es decir, asegurandose de que el alumno aprenda

a aprender. Por ello, las clases magistrales deben ir acompanadas de oportu-

nidades en las que el alumno indague e investigue por sı mismo participando

activamente en la construccion de su propio conocimiento, de trabajos en

grupo que permitan la ensenanza entre companeros y de debates colectivos

1Julio Rey Pastor (Logrono 188-Buenos Aires, Argentina, 1962), Licenciado en Ciencias

Exactas en la Facultad de Ciencias aragonesa, Catedratico de Analisis Matematico de la

Universidad de Oviedo desde 1911, y de la Universidad Central desde 1913.2Pedro Puig Adam (Barcelona 1900-Madrid 1960), Catedratico de matematicas del

instituto San Isidro, Madrid, y Catedratico de Calculo de la Escuela Especial de Ingenieros

Industriales de Madrid, desde 1946.


en los que poder dar rienda suelta a su creatividad e intercambiar ideas con

el resto de la clase.

Por otro lado, el cada vez mayor desarrollo de las TIC influye decisivamen-

te en la metodologıa empleada en las clases [10]. Los dispositivos electronicos

que los alumnos utilizan diariamente, como ordenadores, telefonos moviles o

tabletas, se prestan a ser utilizados en la realizacion de ejercicios y activida-

des en el aula. El empleo de estos dispositivos puede ser de gran ayuda a la

hora de visualizar mejor las figuras en el bloque de Geometrıa, crear graficas y

tablas en Estadıstica o representar funciones. Existen sofisticados programas

de software con los que complementar las explicaciones del profesor, llevar a

cabo demostraciones en clase o dejar que el alumno explore por sı mismo los

ejercicios generando sus propias conclusiones y trabajos. Al mismo tiempo,

todas estas herramientas nos ofrecen una concepcion mas dinamica y diver-

tida de las clases de matematicas. No debemos olvidar no obstante, que el

uso de cualquier dispositivo electronico puede suponer una fuerte distraccion

para los alumnos, por lo que debe ser moderado y controlado minuciosamente

por el profesor.

Otro de los puntos de interes de la didactica de las matematicas es el

proceso de evaluacion. Con el Modelo Constructivista, la evaluacion ha pasa-

do de considerarse simplemente como una calificacion numerica que mide el

nivel academico del alumno, hasta ser entendida como parte integrante del

currıculum, que no solo se refiere al producto final, sino que controla el pro-

ceso que nos conduce hasta el con objeto de detectar mejoras en los procesos

de ensenanza-aprendizaje [8]. La nueva concepcion de la evaluacion requiere

2.1. PROCESO DE ENSENANZA-APRENDIZAJE EN MATEMATICAS.13

el papel activo del profesor que debe realizar un seguimiento de cerca del ren-

dimiento del alumno y del proceso de ensenanza-aprendizaje. El psicologo T.

Tenbrink, en su libro Evaluacion: Guıa para profesores nos dice: “ Evalua-

cion es el proceso de obtener informacion y usarla para formar juicios que a

su vez se utilizaran en la toma de decisiones ”.

Ademas de tener todo lo anterior en consideracion, conocer al grupo clase,

sus caracterısticas cognitivas, modos de aprender y sus situaciones particula-

res, es esencial para que pueda llevarse a cabo un correcto aprendizaje. Las

variables psicologicas del alumno y como estas influyen en el aprendizaje de-

ben ser uno de nuestros principales focos de atencion. El bloque de variables

psicologicas lo componen la atencion, la memoria, la motivacion y los esti-

los de aprendizaje y estilos cognitivos del alumno [5]. Dada la condicion de

adolescentes de nuestros alumnos, estos se encuentran expuestos a numerosos

cambios tanto fısicos, como cerebrales, de pensamiento y de personalidad que

afectan a su rendimiento academico provocando una baja autoestima y una

falta de motivacion hacia el estudio, que se agudiza aun mas en el caso de

las matematicas. Es por eso que en los procesos de ensenanza-aprendizaje

se presta especial atencion a la motivacion y el interes de los alumnos en el

aula, pues la motivacion es el motor que impulsa este proceso.

Desde hace anos viene definiendose el termino de motivacion, sin haber-

se llegado todavıa a un consenso sobre su significado. Gonzalez y Touron,

citados en [2], lo definen como: “proceso que explica el inicio, direccion, in-

tensidad y perseverancia de la conducta encaminada hacia el logro de una

meta, modulado por las percepciones que los sujetos tienen de sı mismos y


por las tareas a las que se tienen que enfrentar ” [2]. En el ambito de la

educacion, la motivacion se orienta hacia la participacion y la perseverancia

que muestran los alumnos al enfrentarse a las distintas tareas. Ademas la

motivacion provoca en el sujeto la elaboracion de estrategias cognitivas de

control que le ayudan a centrarse en el tema evitando cualquier distraccion.

Independientemente de que existan unos patrones cognitivos y de apren-

dizaje con ciertas semejanzas, la diversidad es una caracterıstica intrınseca

del aula y debemos procurar atender a ella en la medida de lo posible. Cada

vez mas se incide en la idea de desarrollar metodologıas y modificaciones en

los procesos de ensenanza-aprendizaje que permitan la igualdad de oportuni-

dades para todos los alumnos y eviten el fracaso escolar. Es tarea particular

de cada profesor conocer las capacidades de sus alumnos y elaborar sus pro-

pias lıneas de actuacion para atender a la diversidad del aula. Una de las

tecnicas con mayor aceptacion ha sido la diferenciacion de contenidos que

hace posible la realizacion de la misma tarea por todos los alumnos, pero con

niveles de dificultad adaptados a las capacidades de cada uno [9].

Todos estos aspectos son los que tendre en cuenta a la hora de elaborar

la metodologıa de mi proyecto de innovacion que presento al final de esta

memoria.

Capıtulo 3

Memoria de practicas

3.1. Introduccion

En esta memoria de practicas queda recogida mi experiencia como pro-

fesora en practicas de Matematicas en el CPC Salesianos “Los Boscos”de

Logrono, a cargo de la tutora Ana Inigo Espiga, profesora de Matematicas,

Quımica y Ciencias Naturales. Durante este perıodo, mi tarea fue impar-

tir las clases de matematicas de 2o y 4o de la ESO, opcion de matematicas

orientadas a las ensenanzas academicas.

Me incorpore a las clases en el momento en el que terminaba el tema

de Trigonometrıa en la clase de 4o, y comenzaba el de Geometrıa Analıtica.

Desde el primer dıa mi tutora me propuso preparar y explicar las clases, siem-

pre con su supervision y ayuda. Con una coleccion de ejercicios y problemas

que mi tutora me proporciono y la ayuda del libro de texto de los alumnos

ası como de otros libros de los que disponıa, elabore la unidad didactica que

tendrıa que llevar a cabo. Una situacion parecida se dio en la clase de 2o, la

15

16 CAPITULO 3. MEMORIA DE PRACTICAS

cual se encontraba en los ultimos dıas del tema de Proporcionalidad. Reali-

zamos el examen y su correspondiente correccion en el aula hasta empezar a

explicar el nuevo tema, Proporcionalidad y Semejanza, que tambien corrio a

mi cargo.

Considero que la decision mas acertada por mi parte fue aceptar impartir

estas clases desde el primer dıa, y agradezco a mi tutora la oportunidad que

me dio.

El perıodo de practicas ha supuesto una clara evolucion en mis cualidades

como profesora. Pase por una primera fase de adaptacion en la que trate de

conocer los grupos, su modo de trabajar y de comportarse, que se caracte-

rizo por la inseguridad en mis clases, y el miedo a equivocarme o no saber

responder a las dudas de los alumnos. Mi tutora seguıa junto a mı el hilo de

la clase, dando indicaciones y aportando comentarios que complementaban

mis explicaciones. En la segunda fase, adquirı una confianza con los alum-

nos, y una soltura en la clase, que me permitio disfrutar de cada una de

ellas. Ademas, superado el inicio del tema e interiorizados los conceptos basi-

cos, pude proponer problemas de mayor complejidad y preparar clases mas

completas sin ser tan minuciosa en las explicaciones. Tuvimos tiempo para

explicar algo mas un tema en cada uno de los cursos y realizar los correspon-

dientes examenes que preparamos entre las dos, de acuerdo a lo explicado

en clase y al nivel que los alumnos podrıan alcanzar. La correccion de los

mismos tambien la llevamos a cabo en conjunto, con su posterior correccion

para toda la clase.

Nuestras clases no siempre se basaron en explicaciones acompanadas de

3.2. ANALISIS DEL PEC 17

ejercicios sino que tenıan un caracter muy dinamico y las intervenciones de

los alumnos eran las que marcaban el ritmo de las mismas. Ademas, llevamos

a cabo otro tipo de actividades en grupo que mas adelante detallare.

Mi estancia en este instituto no solo se caracterizo por los ratos pasados

con los alumnos, de los cuales me llevo un grato recuerdo, sino tambien con

los profesores. De mi tutora puedo decir que he aprendido mucho. No solo en

el campo de las matematicas, sino en el trato con los alumnos, como llevar la

clase, que actividades preparar para motivarlos, donde suelen tener problemas

normalmente los alumnos y muchos otros trucos que me seran de gran ayuda.

Las charlas con otros profesores me ayudaron a ver las cosas desde otros

puntos de vista ademas conocer mas a los alumnos y entenderlos mejor.

Tuve la suerte de asistir a un claustro de profesores y ver como funcionaba

y la labor que desempenaban, sobretodo, los profesores tutores.

Fueron dos meses muy intensos en los que trabaje y aprendı mucho, y eso

es lo que refleje a lo largo de mi memoria de practicas.

3.2. Analisis del PEC

Salesianos “Los Boscos ”se situa en la zona centro de Logrono, entre las

calles Dr. Mugica, Benito Perez Galdos y Marıa Teresa Gil de Garate. Es un

colegio que destaca, entre otras razones, por sus orıgenes y su historia en la

ciudad de Logrono.

Comenzare dando unas breves pinceladas sobre su historia, que a mi pa-

recer, resultan interesantes para comprender el Proyecto Educativo de este


colegio. Fue Marıa Teresa Gil de Garate, religiosa destacada del Cristianismo,

cuyo nombre honra una de las calles en las que se encuentra dicho colegio,

quien junto con un grupo de colaboradores, en el ano 1945 y siguiendo el

modelo educativo de don Bosco, ponen en marcha una escuela donde impar-

tir religion y entretenimiento a los jovenes mas pobres de su entorno. Dicho

proyecto fue tomando forma hasta 1954 cuando llego a convertirse en un co-

legio ubicado en el lugar que hoy en dıa conocemos. En sus orıgenes hacıa

la funcion de internado a la vez que impartıa Formacion Profesional en las

especialidades de electricidad, carpinterıa y mecanica. Finalmente, en 1987,

dos anos despues de la muerte de Marıa Teresa, la Congregacion Salesiana se

hace cargo del colegio ampliando y mejorando la ensenanza y las instalaciones

hasta nuestros dıas.

3.2.1. Proyecto Educativo de don Bosco

Tal y como observamos en su contexto historico, este es un centro cristiano

que sigue las lıneas de actuacion que marca el Sistema Preventivo de don

Bosco. El pilar en el que se sustenta este sistema es la familia. El colegio

esta en todo momento en contacto con las familias de los alumnos para

comunicar diariamente el trabajo en clase ası como las faltas de asistencia,

notas de examenes y problemas de conducta entre otros. Por otro lado, los

profesores conocen muy bien la situacion familiar de cada uno de los alumnos,

hecho que les ayuda a comprender mejor su comportamiento y trabajo en el

aula.

Otro de los pilares fundamentales del sistema preventivo es el patio del

3.2. ANALISIS DEL PEC 19

colegio. Se instruye a los profesores en la observacion de los alumnos a la

hora del recreo, tiempo en el que actuan libremente con sus companeros.

Es debido destacar la estructura tan peculiar que este colegio presenta, con

pasillos abiertos al exterior, todos ellos mirando al patio. Esto facilita la

supervision de los alumnos durante el recreo por parte de los profesores.

El logotipo salesiano es muy representativo. En el se observan los 4 pilares

de este proyecto educativo: el colegio, la casa, el patio y la Iglesia. El dibujo

muestra un hombre en medio, don Bosco, que tiende los brazos arropando a

dos jovenes, formando ası el tejado de la casa, el colegio y la Iglesia.


Es un centro que alberga alumnos de edades muy diferentes, entre los 3 y

los 19 anos. Esto se debe a que presenta una oferta educativa muy variada,

desde Educacion Infantil y Primaria hasta Educacion Secundaria Obligato-

ria, FP basica y Ciclos Formativos de Grado Medio y de Grado Superior. La

mayorıa de los alumnos proceden del entorno cercano al colegio aunque es

debido tener en cuenta la afluencia de estudiantes de distintas localidades de

La Rioja, Alava y Navarra que cursan los ciclos de Grado Medio y Superior.

Por ello destaca por su equipamiento en cuanto a talleres, necesarios para

llevar a cabo las clases correspondientes a los Ciclos de grado medio y supe-

rior. Cuenta en concreto con un taller de tecnologıa, un taller de electricidad,

un taller de electronica, un taller de mecanica y otro de informatica.

En la actualidad el colegio tiene un total de 659 alumnos, de los cuales 177

pertenecen a la ESO. En primero, segundo y tercero de educacion secundaria

hay dos clases mientras que en cuarto curso solo hay una. Cada clase cuenta

con aproximadamente 25 alumnos.

El nivel socioeconomico de los alumnos es de caracter medio-bajo. Uno

de los principales motivos es la presencia en el centro de alumnos de naciona-

lidades muy diversas, algunos recien llegados a nuestro a paıs, y otros ya de

3.3. ESTUDIO DE LOS ALUMNOS 21

nacionalidad espanola. Esta, entre otras, es la causa por la que en el centro

hay un buen numero de psicologos y especialistas que, mediante el trabajo en

aulas externas a la clase ordinaria, se encargan de la educacion de alumnos

con problemas como la incorporacion tardıa a nuestro sistema educativo.

3.3. Estudio de los alumnos

Una de las asignaturas del master mas influyentes en nuestra formacion

como docentes ha sido Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, la cual

centra la mayor parte de su atencion en el estudio de los adolescentes. Por

ello aprendimos temas como el desarrollo de las capacidades cognitivas en

la adolescencia o sus actitudes y emociones ademas de hacer un analisis

detallado de los alumnos con necesidades educativas especiales y como actuar

con ellos en el proceso de ensenanza-aprendizaje.

Durante las practicas, tuve la suerte de impartir clase de matematicas

a los grupos de 2o y 4o B de la ESO, con alumnos totalmente distintos.

Gracias a ello pude comprobar por mı misma la manera tan diferente de

dar una clase dependiendo del alumnado al que estemos expuestos. En este

apartado analizare detenidamente las caracterısticas del grupo de 2o pues en

el basare mi unidad didactica y mi posterior proyecto de innovacion.

Se trata de una clase bastante heterogenea. Esta formada por 32 alumnos

de diversas edades, nacionalidades, culturas y niveles educativos. La mayorıa

de ellos superan los 14 anos, edad correspondiente a este curso, bien sea

porque su capacidad no les permite alcanzar los objetivos establecidos o


porque provienen de otros paıses con niveles educativos mas bajos y tienen

que incorporarse a cursos inferiores al suyo. Este grupo cuenta con un gran

numero de alumnos con dificultades cognitivas.

Entre ellos encontramos un alumno con TDH, un alumno con Necesidades

educativas especiales que sigue el curso dentro del aula ordinaria, tres alumnos

con Trastornos graves de personalidad que imparten todas las materias en

aulas externas, tres ACNES 1 que salen al aula terapeutica de apoyo, en la

que se lleva a cabo una adaptacion curricular individualizada con cada uno

de ellos, dos alumnos con problemas de adaptacion al centro y al transcurso

de las clases, dos alumnos con Desventaja Socioeducativa y tres alumnos de

incorporacion tardıa al sistema educativo.

Los alumnos que no necesitan salir a aulas externas con personal especia-

lizado se dividen en aquellos que pertenecen al programa PMAR2 y los que

siguen el curso ordinario. Estos ultimos son 9, un grupo bastante reducido,

en el que yo he impartido las clases de matematicas.

No es facil transmitir los conocimientos matematicos marcados por el

currıculo a unos alumnos con dificultades de esta ındole. En este ambiente,

las clases dejan de ser explicaciones acompanadas de ejercicios para pasar

a tener un aspecto de charlas motivadoras con actividades que, mucho mas

sencillas y esquematizadas, puedan ayudarles a avanzar. Se imparten en este

1ACNEE, Alumnos con Necesidades Educativas Especiales.2Programa de Mejora del Aprendizaje y Rendimiento, que utiliza, en 2o y 3o de la ESO,

una metodologıa especıfica a traves de la organizacion de contenidos, actividades practicas

y materias diferentes, con la finalidad de que los alumnos puedan cursar 4o ESO por la

vıa ordinaria y obtengan el Tıtulo de ESO.

3.4. PROCESOS DE ENSENANZA-APRENDIZAJE EN EL AULA 23

aula los conocimientos basicos correspondientes al currıculum teniendo en

muchas ocasiones dificultades para llegar al aprendizaje de los mismos. Es

por ello que se presta especial atencion a otros aspectos como a la lectura

correcta de los enunciados, la comprension de las preguntas, y la aplicacion

de conceptos basicos mas que tratar de plantear problemas y actividades

complejas.

En cuanto a su comportamiento en el aula, dire que salvo excepciones,

todos ellos respetan la figura del profesor. He presenciado situaciones, en

concreto con una de las alumnas, en las que contesta a la profesora o le habla

sin educacion. En esos casos el protocolo a seguir es abrir una amonestacion,

de manera que a la tercera sea expulsada a casa durante tres dıas. Aunque

entre ellos tampoco suele haber problemas, no debemos olvidar su condicion

de adolescentes que hace que en ocasiones se originen pequenas discusiones

por temas de amigos, novios . . .

3.4. Procesos de ensenanza-aprendizaje en el

aula

Si tuviese que utilizar un adjetivo que definiera las clases a las que he

asistido serıa “dinamicas”. En todo momento se busca que el alumno par-

ticipe en la clase y sea constructor de su propio conocimiento. Se anima a

que corrijan los ejercicios en la pizarra, que hagan preguntas, que propongan

problemas, etc. Aunque bien es cierto que las clases se basan principalmente

en las explicaciones del profesor, siempre que sea posible se hace protagonista


al alumno consiguiendo de esta forma mantener su atencion.

Uno de los principales puntos a tener en cuenta en los procesos de en-

senanza-aprendizaje son las caracterısticas del grupo, tanto sus capacidades

cognitivas como su situacion personal y el entorno que les rodea. Dicho esto,

cuando el profesor conoce a sus alumnos, puede entonces establecer sus lıneas

de actuacion en clase. Esto lo he visto reflejado en mi clase de 2o de la ESO,

donde encontramos alumnos con dificultades muy diversas y cuyos entornos

familiares no son los mas propicios para el estudio. Se explica minuciosa-

mente cada uno de los contenidos, acompanandolos siempre de numerosos

ejercicios que ejemplifiquen las distintas situaciones. El tiempo de clase tam-

bien se emplea en supervisar sus cuadernos de trabajo, y asegurarse de que

se copian los ejercicios y las explicaciones de clase. La mayorıa de los dıas no

se puede avanzar en los contenidos ya que no se han aprendido correctamente

los anteriores, en ese caso los tenemos que volver a repetir las veces que sea

necesario.

Es en estos casos cuando mas se necesitan actividades motivadoras que

ayuden a los alumnos a mantenerse atentos. Hay veces que, sobre todo para

aquellos alumnos que aun trabajando no consiguen alcanzar los objetivos

marcados, es preferible emplear el tiempo hablando con ellos y animandoles

a que sigan intentandolo. No podemos olvidar que el fin de todo profesor

es conseguir, de un modo u otro, que los alumnos aprendan. En muchas

ocasiones podemos tener una clase perfectamente organizada y preparada,

y al llegar al aula, darse la vuelta por completo. Pero siempre y cuando

esto haya servido para que los alumnos aprendan, sera satisfactorio para el

3.5. UNIDAD DIDACTICA 2o ESO: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA25

docente.

3.5. Unidad didactica 2o ESO: Proporciona-

lidad y semejanza

Esta unidad didactica, correspondiente al primer tema del Bloque III:

Geometrıa, se desarrollara en base a los objetivos, competencias, contenidos

y criterios de evaluacion establecidos en el Decreto 5/2011, de 28 de enero,

por el que se establece el Currıculo de la Educacion Secundaria Obligatoria

de la Comunidad Autonoma de La Rioja3 [7].

Este tema no resulta, en general, facil de comprender para los alumnos

pues es algo nuevo para ellos. Por ello, establecemos tres secciones en el tema

de manera que pasaremos a la siguiente una vez trabajada y comprendida la

anterior. La primera seccion introduce los conceptos de razon y proporcion

de segmentos. La segunda seccion profundiza en el Teorema de Pitagoras, ya

estudiado en cursos anteriores, y la division de un segmento en partes iguales

o partes proporcionales, y la tercera parte engloba los triangulos en posicion

de Tales y el Teorema de Tales, y las figuras semejantes.

Emplearemos aproximadamente 18 sesiones de una hora en el estudio

profundo de esta unidad que destacara por la realizacion de ejercicios en

clase con visiones de figuras desde distintas perspectivas a fin de que los

alumnos interioricen estas visiones.

3Aunque la Ley de Educacion en vigor es la LOMCE, los cursos de 2o y 4o de la ESO

en la Comunidad Autonoma de La Rioja siguen manteniendose con la LOE.


Proporcionalidad y semejanza

3.5.1. Objetivos

1. Comprender y diferenciar los conceptos de razon y proporcion de

segmentos.

2. Calcular la constante de proporcionalidad entre segmentos, en dis-

tintas situaciones.

3. Visualizar la formacion de segmentos al cortar rectas secantes por

un conjunto de rectas paralelas.

4. Profundizar en el Teorema de Pitagoras. Resolver problemas que

impliquen ecuaciones, fracciones y otros contenidos matematicos

ya estudiados. Relacionar los problemas con situaciones de la vida

real.

5. Estudiar el procedimiento grafico que divide un segmento en par-

tes iguales o en partes proporcionales. Relacionarlo con los repar-

tos directa e inversamente proporcionales del tema anterior.

6. Entender la definicion de triangulos en posicion de Tales y aplicar

el Teorema de Tales a distintos problemas.

7. Identificar figuras semejantes en distintos ambitos y calcular la

razon y la constante de proporcionalidad entre ellas.

8. Calcular perımetros y areas de figuras proporcionales, expresando-

los en funcion de la constante de proporcionalidad.


9. Planificar estrategias de resolucion de problemas que impliquen la

aplicacion de varias tecnicas aprendidas en este tema, o en temas

y cursos anteriores.

10. Analizar los resultados desarrollando el sentido crıtico para acep-

tar como validas las distintas soluciones.

3.5.2. Competencias

Conceptos y procedimientos:

1. Comprender las diferencias entre razon, proporcion y constante de

proporcionalidad.

2. Reconocer todos los segmentos formados al cortar rectas secantes

por un conjunto de paralelas. Comprender el proceso por el que

se llega a la igualdad de los segmentos formados.

3. Emplear el Teorema de Pitagoras en distintas situaciones de la

vida cotidiana y comprobar todas sus aplicaciones.

4. Establecer relaciones entre la division grafica de un segmento en

partes iguales o proporcionales y los conceptos de proporcionali-

dad directa e inversa vistos en la unidad anterior.

5. Identificar triangulos en posicion de Tales y saber cuando se puede

utilizar dicho teorema.


6. Reconocer y dibujar figuras semejantes a una dada, segun la cons-

tante de proporcionalidad, y calcular el area y el perımetro de las

mismas.

Actitudes:

7. Participar activamente en clase para una mejor comprension de

los ejercicios que se realizan en conjunto.

8. Utilizar el sentido crıtico y razonar adecuadamente sobre cada

resultado obtenido.

9. Utilizar debidamente los materiales requeridos en este tema: reglas

y calculadora.

10. Realizar cada problema con su correspondiente dibujo para visua-

lizarlo mejor. Tener un cuaderno limpio, ordenado y claro.

11. Trabajar cooperativamente en las actividades que se propongan

como trabajo de grupo en clase.

3.5.3. Contenidos

1. Razon de dos segmentos. Segmentos proporcionales y constante

de proporcionalidad.

2. Igualdad de segmentos determinados al cortar dos rectas secantes

por un conjunto de rectas paralelas.


3. Teorema de Pitagoras.

4. Division de un segmento en partes iguales y en partes proporcio-

nales a cantidades dadas.

5. Definicion de triangulos en posicion de Tales. Teorema de Tales.

6. Figuras semejantes. Areas y perımetros de figuras semejantes.

3.5.4. Metodologıa

La estrategia empleada para el estudio de esta unidad consiste en co-

menzar por explicar los conceptos mas sencillos, recordando a la vez las

nociones de geometrıa basica, y acompanar cada definicion con dibujos

que ayuden a visualizarla y comprenderla mejor. De este modo, se pre-

tende que los alumnos adquieran el habito de dibujar cada situacion

que se les presente e identificar en el dibujo los elementos principales.

En la siguiente fase se incorporan mas definiciones y teoremas, como

son Pitagoras y Tales. Este ultimo requiere mas tiempo y ejercicios

pues es nuevo para ellos.

Finalmente, se propondran problemas en los que haya que emplear

los dos teoremas y mas tecnicas aprendidas para su resolucion. Estos

problemas estaran, en la medida de lo posible, relacionados con sus

aplicaciones a la vida real.

Se realizaran actividades en clase para practicar los conceptos expli-

cados. Ademas, las tareas de casa se corregiran al dıa siguiente con el


proposito de que el alumno tenga una coleccion de problemas significa-

tivos de los que poder estudiar para el examen.

3.5.5. Actividades

1. Actividades de inicio del tema:

Ejercicios de caracter algorıtmico, que complementan las explica-

ciones de los conceptos iniciales. Algunos de los ejercicios seran

realizados en clase y otros se propondran como tarea para casa.

A continuacion se muestra un ejemplo de este tipo de actividades.

Actividad 1

La razon de dos segmentos AB y CD es1

2. Si AB mide 2cm,

calcula lo que mide CD. Dibuja los dos segmentos.

El resto de actividades mas representativas las encontramos en el

ANEXO I.

2. Problemas de estrategia:

Problemas de mayor dificultad que impliquen varios de los cono-

cimientos adquiridos.

A continuacion se muestra un ejemplo de este tipo de actividades.


Actividad 2

Calcula el valor de x.

El resto de actividades mas representativas las encontramos en el

ANEXO II.

3. Actividades interactivas:

Vıdeos que reflejan las aplicaciones a la vida real de las herramien-

tas geometricas aprendidas como es el Teorema de Tales para el

calculo de la altura de una piramide. Sesiones de GeoGebra para

una mejor visualizacion de la proporcionalidad de segmentos y la

division de los mismos. Juegos educativos como El puzzle de la

proporcionalidad, con el que se trabaja la proporcionalidad de fi-

guras. Actividades con objetos reales como regalices, que simulan

segmentos.

Estas actividades se explican con mas detalle en 3.6.


4. Actividades de atencion a la diversidad:

Problemas con distintas preguntas que aumentan progresivamen-

te su nivel de dificultad. De esta manera, cada alumno alcanza su

nivel particular. En algunos casos, los problemas tienen los apar-

tados separados en distintas hojas de manera que se entrega el

siguiente cuando se ha conseguido resolver el anterior. De esta

manera conseguimos no agobiar al alumno con un problema de-

masiado denso, a la vez que lo motivamos con el logro de cada

pregunta para poder conseguir la siguiente.

3.5.6. Materiales y recursos de apoyo

Los ejercicios y problemas son, generalmente, extraıdos del libro de tex-

to del alumno aunque tambien se entregaran fotocopias con problemas

mas completos extraıdos de otra fuentes. Se emplearan vıdeos, progra-

mas como GeoGebra y juegos educativos diversos como recursos que

ayuden a comprender mejor el tema.

3.5.7. Evaluacion

Criterios de evaluacion:

1. Distingue y utiliza correctamente los conceptos de razon, propor-

cion y constante de proporcionalidad.


2. Resuelve problemas de aplicacion del Teorema de Pitagoras en los

que se empleen contenidos matematicos de unidades anteriores

como ecuaciones, fracciones . . .

3. Realiza divisiones de segmentos graficamente y relaciona el proce-

dimiento con los repartos directa en inversamente proporcionales.

4. Reconoce triangulos en posicion de Tales y sabe en que situaciones

aplicar dicho Teorema.

5. Identifica figuras semejantes y obtiene su perımetro y area corres-

pondiente.

6. Resuelve problemas de la vida real y aplica correctamente los

metodos aprendidos para resolverlos.

7. Encadena razonamientos en la resolucion de problemas.

8. Analiza cada resultado obtenido y utiliza el sentido crıtico antes

de darlo como valido.

Modos de evaluacion:

Se llevara a cabo un seguimiento diario del alumno de manera que

la nota de la evaluacion no corresponda solo a la nota del examen.

El trabajo diario hace referencia a la realizacion de los ejercicios

que se proponen para casa ası como su posterior correccion en el

aula.


Se valorara positivamente la disposicion para explicar en la pizarra

los ejercicios al resto de los companeros.

Se realizara un examen al final del tema.

3.6. Otras actividades realizadas

Las explicaciones en clase y la forma en que los alumnos reaccionaban ante

ellas, nos han dado pie en muchas ocasiones a preparar distintas actividades

interactivas con las que motivar a los estudiantes.

El tema de Proporcionalidad y Semejanza, llega como algo totalmente

nuevo a unos alumnos acostumbrados hasta el momento a operar y mane-

jar expresiones algebraicas. Resultan para la mayorıa, en concreto para toda

nuestra clase, difıciles de comprender los distintos procedimientos que pre-

senta este tema. Uno de los puntos mas complicados fue transmitirles la idea

de dividir un segmento en partes proporcionales. Tras hacer varios ejercicios

y problemas con enunciados muy diversos y aplicados a la realidad (tuberıas,

hilos... ), nos dimos cuenta de que el tema no les motivaba, de modo que

decidimos probar con golosinas.

3.6. OTRAS ACTIVIDADES REALIZADAS 35

Actividad 1

Dividir un regaliz en partes proporcionales a la nota obtenida en la asig-

natura de matematicas.

Repartimos la clase en grupos de tres, dando a cada uno de los grupos

un regaliz. Sobre unos folios, y usando las reglas, deberıan dividir el regaliz

en partes proporcionales, de manera que el que mejor nota hubiera obtenido

en la evaluacion anterior tendrıa el trozo de regaliz mas grande. La actividad

resulto interesante pues tuvieron que repetirlo unas cuantas veces hasta dar

con el procedimiento correcto. Conseguimos de este modo que comprendieran

las relaciones entre la nota, y los trozos del regaliz. Ademas, complementamos

la actividad con los repartos proporcionales vistos en la unidad anterior. Fue

una clase muy divertida en la que todos terminamos comiendo los regalices

que sobraban.

En relacion con este tema de proporcionalidad, querıamos comprobar si

efectivamente nuestros alumnos habıan comprendido la idea que subyace tras

todos las formulas aprendidas y los calculos hechos en los ejercicios. Nos

dimos cuenta de que, ninguno de ellos veıa claro que una figura semejante era

aquella que aumentaba o disminuıa de tamano todos sus lados, y mantenıa sus

angulos. Es por eso que decidimos “jugar”, al puzzle de la proporcionalidad.


Actividad 2

Puzzle de Proporcionalidad

Utilizamos en esta actividad un puzzle, ya empleado por mis profesora

en otras ocasiones. Para este juego dividimos la clase en grupos de tres,

cada uno de los cuales necesitarıa regla, escuadra y cartabon. Cada grupo

tenıa un puzzle en el que estaban escritas las longitudes de los lados de las

piezas, y una tarjeta en la que se indicaba cuanto tendrıa que medir un

segmento concreto del nuevo puzzle que ellos mismos tenıan que construir.

De esta forma, calculando la razon, obtendrıan las longitudes de todas las

piezzas de su puzzle pudiendo ası dibujarlo al completo. Al principio, todos

ellos tuvieron problemas para entender la relacion entre puzzles. Tras varios

intentos fallidos comprendieron que se trataba de figuras semejantes, que

tan solo habıan aumentado o disminuido de tamano en base a una razon.

En definitiva, lo que habıamos estado trabajando los dıas anteriores con los

ejercicios del tema.

Capıtulo 4

Proyecto de Innovacion:

Haciendo Zoom en las Matematicas

4.1. Introduccion

“ Innovacion educativa significa una batalla a la realidad tal cual

es, a lo mecanico, rutinario y usual, a la fuerza de los hechos y

al peso de la inercia.”

Juan Escudero1

Las numerosas dificultades que encontre al explicar el tema de Propor-

cionalidad y Semejanza a mi clase de 2o de la ESO durante mi estancia de

practicas, ası como la falta de comprension global del mismo que vi reflejada

en los examenes, hicieron que me planteara este proyecto de innovacion. Es

cierto que en mi clase de 2o ya no podrıa comprobar si las nuevas tecnicas

1Juan Escudero, Pascual, 1988, autor sobre Innovacion Educativa citado en [12].

37

38 CAPITULO 4. PROYECTO DE INNOVACION:

surgirıan efecto, pero al menos me servirıa para futuras experiencias. A lo

largo de la presente unidad didactica, como en las demas, llevamos a cabo

numerosas explicaciones y ejercicios que ilustraban situaciones en las que se

ve aplicada la proporcionalidad en segmentos, figuras, areas, etc. Sin embar-

go, no todos los alumnos fueron capaces de entender lo que esto realmente

significaba. Dado cualquier objeto de la realidad, dibujar otro proporcional

no resultaba sencillo para la mayorıa. A pesar de ser la falta de estudio y tra-

bajo de nuestros alumnos una de las principales causas de este fracaso, no era

la unica. El estudio de la Geometrıa en la Educacion Secundaria es escaso,

limitandose en la mayorıa de los casos a un conjunto de calculos analıticos,

por lo que estos temas resultan nuevos y complicados de visualizar para ellos.

Ya que como docentes, debemos intentar hacer cuanto este en nuestra mano

para solucionar los problemas de la mejor manera posible, pense en llevar a

cabo esta forma innovadora de trabajarlo.

Aplicando todo lo aprendido en la asignatura de Innovacion docente e

iniciacion a la investigacion educativa [1], hablare de la innovacion. Para

ello necesitaremos establecer los distintos significados que se otorgan a esta

palabra, ası como las estrechas relaciones que mantiene con los conceptos de

cambio y mejora. Podemos decir que se da la innovacion en un proceso cuan-

do se introducen nuevos elementos que provocan una mejora en el mismo.

El pasar de un estado a otro mejorado, supone que se ha producido un cam-

bio. De esta forma, definimos la innovacion como el proceso de seleccionar,

organizar y utilizar de manera creativa los recursos humanos y materiales

de los que disponemos, de una forma novedosa y siempre con el objetivo de

alcanzar niveles mas altos que los que nos habıamos marcado previamente.

4.1. INTRODUCCION 39

La innovacion es un proceso que involucra diferentes hechos, personas y si-

tuaciones, y que debe perdurar en el tiempo teniendo mejoras sustanciales en

la finalidad propuesta. Las mejoras pueden abarcar distintos ambitos como:

reducir el esfuerzo que conlleva realizar determinadas actividades, adquirir

rapidez en la obtencion de resultados, dotar de mayor calidad a los mismos,

etc.

Llegados a este punto, y dado el caracter de nuestro proyecto, nos cen-

traremos en la innovacion educativa, entendida como el proceso por el que se

producen cambios en la practica profesional docente de manera particular,

sin necesidad de que estos sean relevantes para el sistema educativo en su

conjunto. Esto es realmente lo que tratare de llevar a cabo con mi proyecto

de innovacion, mejoras que de manera particular consigan un progreso en

los resultados de los alumnos de una clase. La innovacion educativa puede

realizarse desde distintos ambitos como los contenidos curriculares, el proce-

so educativo, las TIC, las modalidades alternativas para el aprendizaje y el

cambio de gobierno, direccion y gestion. En mi caso la innovacion se centra en

el proceso educativo, concretamente en el proceso de ensenanza-aprendizaje.

Esto implica la aplicacion de un proyecto basado en la coparticipacion de

alumno y profesor para la construccion del conocimiento, de aprendizajes

significativos, y aprender a aprender.

En la definicion general de innovacion se habla del cambio de un nivel a

otros mas altos. Esto nos indica que toda innovacion debe someterse a una

evaluacion que nos informe de si se han alcanzado las metas y objetivos pro-

puestos con respecto a un sistema educativo concreto, no pudiendo transferir


las mismas valoraciones a otros sistemas pues cada uno presenta sus peculia-

ridades. Finalmente realizaremos una evaluacion en el aula que nos ayude a

decidir la fiabilidad de nuestra idea innovadora.

4.2. Marco teorico

El alumno construye su propio conocimiento cuando esta interesado en

ello, es por eso que el aprendizaje resulta mas difıcil cuando se trata de

temas de geometrıa tan desconocidos para ellos [4]. Puig Adam, que escri-

bio una coleccion completa de libros de Matematicas para Bachillerato, nos

dice: “para nuestros alumnos, lo concreto empieza por el mundo observable”,

transmitiendonos ası que los objetos materiales desempenan un papel funda-

mental en el aprendizaje de las matematicas. Con estos objetos materiales

nos referimos a todos aquellos avances como los medios de comunicacion, las

nuevas tecnologıas o los juegos, que puedan ayudarnos a que nuestros alum-

nos interactuen y descubran por sı mismos hasta donde pueden llegar con el

estudio de las matematicas, en concreto con el de la geometrıa, y cultiven su

interes por ella. La geometrıa es una rama de las matematicas que requiere

visualizar e interpretar situaciones reales, con los materiales y avances de los

que disponemos, para una mejor comprension de sus contenidos.

Tanto el modo en que se ensenan las matematicas como los contenidos

de las mismas en la Educacion Secundaria han cambiado mucho en los ulti-

mos anos. Esto ha afectado sobretodo a la rama de la geometrıa que, tras

imponerse una matematica basada en la resolucion algorıtmica de proble-

mas y ejercicios, se ha visto desplazada a un segundo plano. En la parte de

4.2. MARCO TEORICO 41

Historia de las matematicas de la asignatura de Complementos para la for-

macion disciplinar, hemos podido comprobar como la geometrıa ha pasado

de ser una de las ramas mas estudiadas, a verse en la actualidad con muy

poca intensidad y con una reduccion importante de contenidos. Hoy en dıa

puede sorprendernos por ejemplo que en la antiguedad se utilizaran metodos

geometricos para la resolucion de ecuaciones. Sin embargo la geometrıa ha

sido tan relevante que una de las obras mas importantes de la historia de las

matematicas son Los Elementos de Euclides, un tratado sobre geometrıa en

el cual se establecen los famosos cinco postulados de Euclides, a partir de los

cuales se construye la compleja estructura de la geometrıa.

Los libros de matematicas actuales la han sintetizado hasta el punto de

reducirla a ciertos ejercicios mecanicos, y la mayorıa de los docentes no estan

lo suficientemente formados en la misma como para poder paliar estas caren-

cias. Sin embargo, la geometrıa es un tema de estudio muy completo y del que

podemos sacar mucho partido en las clases. En primer lugar, desarrolla una

forma de pensamiento en el alumno que le permite, partiendo de verdades

generales e intuitivas y realizando a partir de ellas cadenas de razonamien-

tos logicos, llegar a aceptar ciertas reglas como verdaderas por sı mismos.

En segundo lugar, es un tema susceptible de ser vinculado facilmente con

la realidad, pues se encuentra presente en todas las manifestaciones de la

naturaleza, del arte o en las construcciones de nuestro entorno. Ademas, la

geometrıa esta interconectada con otras ramas de las Matematicas como son

el Algebra y el Analisis, sirviendonos ası para el estudio paralelo de otros

temas.


Lo interesante de los temas de geometrıa es que el alumno visualice por

sı mismo las distintas situaciones que se presentan y establezca sus propias

conjeturas. Uno de los matematicos mas interesados en la ensenanza y el

aprendizaje de la geometrıa fue Pierre M. van Hiele (1957-1984), profesor de

matematicas de secundaria holandes, quien desarrollo, junto con su mujer

Dina van Hiele-Geldof, el Modelo de Van Hiele [13], en el que se establece

que el estudio de los problemas geometricos pasa por cinco fases:

Fase 1: Reconocimiento o visualizacion.

Fase 2: Analisis.

Fase 3: Deduccion informal u orden.

Fase 4: Deduccion.

Fase 5: Rigor.

Estas fases se refieren a los procesos de razonamiento de los estudiantes

en la resolucion de problemas geometricos. Los niveles propuestos no son

independientes, sino que para poder pasar de un nivel a otro superior, el

estudiante debe haberse asegurado de dominar el anterior correctamente. Sin

embargo, los Van Hiele advierten que el paso de un nivel a otro, no depende

solamente de las capacidades cognitivas del alumno, sino que como docentes

debemos plantear las actividades adecuadas que les impulsen a ello. Es por

esto que establecen otras cinco fases dedicadas a guiar y orientar al profesor

en la elaboracion de actividades y la organizacion de la clase, asegurandose

de que los estudiantes alcancen sus niveles correspondientes. Estas fases son

las siguientes:

4.2. MARCO TEORICO 43

Fase 1: Informacion.

El principal objetivo de esta fase es que el alumno tenga una toma de

contacto con el tema que nos disponemos estudiar. Se hace especial

incapie en atender a lo que ya sabe, y a partir de ahı, comenzar a

proporcionarle los nuevos conocimientos.

Fase 2: Orientacion dirigida.

En esta segunda fase se pretende que el alumno vaya descubriendo los

nuevos conocimientos y los relacione con los que ya conoce, mediante

la realizacion de problemas y actividades estrategicamente preparados

por el profesor para este fin. El profesor tiene un papel de orientador y

guıa en el proceso de resolucion de estos problemas.

Fase 3: Explicitacion.

Esta fase busca que los alumnos empleen el lenguaje matematico ade-

cuado para expresar las conclusiones que han obtenido a la vez que

afianzan sus conocimientos. De esta forma, mediante discusiones colec-

tivas con el profesor y con el resto de companeros, consiguen familiari-

zarse con el vocabulario tecnico correspondiente al mismo tiempo que

revisan los contenidos vistos previamente.

Fase 4: Orientacion libre.

En esta fase el profesor propondra actividades abiertas, y de mayor

complejidad, que no consistan en la aplicacion mecanica de ciertos al-

goritmos, sino que requieran la planificacion de estrategias en las que


emplear todos los contenidos ya estudiados. La ayuda del profesor en

estos casos debe ser la menor posible.

Fase 5: Integracion.

Esta ultima fase busca que el alumno obtenga una vision global de lo

estudiado, a la vez que termine de relacionarlo con los conocimientos

de los que ya disponıa, terminando ası de completar su estructura de

aprendizaje en este tema. El objetivo del profesor es en este momen-

to, revisar como se desarrollan las actividades y comprobar si se ha

producido un correcto aprendizaje.

Llegados a este punto podemos deducir que la ensenanza-aprendizaje de

la geometrıa se apoya en dos pilares principales: el empleo de materiales que

ayuden a una mejor visualizacion y comprension, y el desarrollo estrategi-

co de actividades siguiendo las fases anteriormente explicadas. El presente

proyecto de innovacion se basara en estas ideas para un mejor aprendiza-

je del tema correspondiente, Proporcionalidad y Semejanza. Por un lado,

existen numerosos aparatos electronicos que podemos utilizar de ejemplo en

nuestras clases. Proyectores, fotocopiadoras y telefonos moviles ademas de

ordenadores con el conocido Google Earth, son los elegidos en mi proyecto

de innovacion. Con ellos pretendo dinamizar las clases de matematicas, a la

vez que acercar la geometrıa a los alumnos trabajando los contenidos con

aparatos electronicos que ellos mismos utilizan en su dıa a dıa. Y por otro

lado, cada una de las actividades seran preparadas siguiendo, en la medida

de lo posible, las bases marcadas por el modelo de Van Hiele.

4.3. OBJETIVOS 45

4.3. Objetivos

Haciendo Zoom en las Matematicas busca, entre otras cosas, que

los alumnos vean la proporcionalidad con otros ojos tras comprender que

esta detras de muchas situaciones de la vida real como es, en este caso,

el zoom de ciertos aparatos electronicos. Con este proyecto de innovacion

tratare de transmitir la idea de que “crear objetos proporcionales es como

hacer un zoom en el objeto”. Para ello trabajare con fotografıas, imaginando

que las hemos hecho con un movil y queremos acercar o alejar ciertos objetos

que aparecen en ellas. Debe quedarles claro por que al hacer zoom las figuras

no se deforman, esto lo relacionare con figuras semejantes que mantienen sus

angulos aunque varıan sus lados. Presentare otros aparatos conocidos por

todos ellos que tambien emplean esta tecnica como son los proyectores o las

fotocopiadoras. Finalmente, otro de los puntos clave de este trabajo seran los

mapas que me permitiran hacer zoom en ellos variando la escala, y calculando

distancias y areas proporcionales.

En base a los objetivos definidos en 3.5, definire los objetivos generales

que pretendo alcanzar con mi proyecto:

Promover una actitud positiva de los alumnos hacia las matematicas,

y en concreto hacia la geometrıa.

Motivar a los alumnos y despertar su interes por las matematicas, con-

cretamente a aquellos que presentan un mayor rechazo, consiguiendo

ası mejores resultados.

Adecuar los contenidos vigentes en el currıculum a las necesidades e


intereses de los alumnos.

Conseguir que los alumnos valoren las matematicas como herramienta

imprescindible para desenvolverse en la vida diaria.

Fomentar el analisis matematico de experiencias ya vividas por los

alumnos, logrando ası aprendizajes significativos.

Inculcar la idea de exploracion e investigacion para la construccion de

sus propios conocimientos, aprender a aprender.

Adoptar modos de pensamiento y razonamiento matematico que les

ayuden a desarrollarse como seres humanos.

Aprender a generar hipotesis, conjeturas y demostraciones adecuadas

al nivel establecido.

Dinamizar las explicaciones en clase mediante el empleo de las TIC.

Valorar el uso de las TIC en la ensenanza y el aprendizaje de las ma-

tematicas.

Promover el trabajo colaborativo por grupos, esforzandose por el bien

del grupo y aprendiendo de los demas companeros.

En definitiva, con este proyecto intentare contribuir a una ensenanza de

calidad gracias a la motivacion de los alumnos para el aprendizaje de las ma-

tematicas, al uso de las nuevas tecnologıas en el aula y al trabajo colaborativo

y participativo de todos ellos en el transcurso de la clase.

4.4. DESCRIPCION DEL PROYECTO 47

4.4. Descripcion del proyecto

El proyecto esta disenado para alumnos de 2o de la ESO, aunque podrıa

ser perfectamente aplicable a cursos mas elevados incluyendo por ejemplo

mas contenidos sobre semejanza de triangulos y calculo de areas en 3o, o

conocimientos sobre trigonometrıa, en 4o de la ESO.

Para disenar la estructura de mi proyecto de innovacion me he basado en

[11], Trabajo de Fin de Grado de Matematicas sobre El aprendizaje basado en

problemas que yo misma lleve a cabo junto con mi tutora Pilar Benito Clavi-

jo. Esta estructura consiste en el empleo de tres tipos de sesiones: Sesiones

tipo 1, tipo 2 y tipo 3, cada una de las cuales presenta sus actividades

particulares, orientadas a alcanzar unos objetivos distintos dependiendo de

la parte de la unidad en la que nos encontremos. Las actividades correspon-

dientes a cada sesion siguen las fases que el Modelo de Van Hiele establece

para guiar a profesores en el aprendizaje de la geometrıa.

Las Sesiones tipo 1 pueden llevarse a cabo el primer dıa de la unidad

o en sucesivas explicaciones ya que consisten en presentar los contenidos del

tema estableciendo relaciones con elementos de la vida cotidiana como son

los aparatos electronicos. Las actividades modelo para este tipo de sesiones

se corresponden con la Fase 1: Informacion, y tratan de que el alumno se

familiarice con el tema y vaya relacionando los contenidos que se le presentan

con los que el ya conoce.

Las Sesiones tipo 2 se desarrollaran en puntos intermedios del tema,

una vez vistos los conceptos basicos de razon, proporcion y semejanza pues


trabajaran las fotografıas como medio para crear figuras proporcionales. En

este tipo de actividades se trabajan la Fase 2: Orientacion dirigida y la Fase

3: Explicitacion, pues las actividades propuestas son de nivel medio y buscan

que el alumno vaya descubriendo los nuevos conocimientos con la ayuda del

profesor, ademas de que aprenda a analizar los resultados y presentarlos al

resto de la clase con los tecnicismos adecuados.

Finalmente, las Sesiones tipo 3 estan destinadas al final del tema por

tratarse de actividades que, a partir de los mapas, trabajen todos los concep-

tos estudiados (escalas, proporcion entre areas, etc). Las fases correspondien-

tes a estas actividades son la Fase 4: Orientacion libre y la Fase 5: Integracion

ya que tienen mayor complejidad y requieren de la planificacion de estrategias

para ser resueltas, mas que de la aplicacion directa de algoritmos. Ademas,

son muy completas y nos ofrecen una vision global te todos los conocimientos

aprendidos.

El diseno de mi proyecto contempla la necesidad de atender a la diversi-

dad de la clase con el empleo de una metodologıa basada en la diferenciacion

de contenidos, tal y como esta explicado en 2.1. Por ello, en las Sesiones

tipo 2 y tipo 3 se desarrollaran actividades abiertas con preguntas inde-

pendientes que vayan aumentando progresivamente los niveles de dificultad.

Las actividades comenzaran con cuestiones basicas y terminaran con otras

mas complejas, de manera que cada alumno alcance su nivel particular. En

el trabajo en grupo, procuraremos guiar a los que mas lo necesiten, o formar

grupos con alumnos de niveles dispares de manera que los mas avanzados

puedas ayudar a los demas.


Ademas, otra de las caracterısticas que presenta el proyecto es que per-

mite realizar las actividades tanto de manera individual como grupal. Es

recomendable realizar al menos una de las actividades de las Sesiones tipo

2 y tipo 3 en grupo para fomentar el trabajo cooperativo y conseguir que

cada uno de ellos aporte lo mejor de sı mismo al grupo a la vez que aprenda

de los conocimientos de los demas. Las Sesiones tipo 1 son en sı mis-

mas debates colectivos, que mediante preguntas y discusiones entre todos los

companeros, ayuden a introducir los nuevos conocimientos.

El tipo de actividades que propongo es una buena forma de trabajar con

las TIC, tal y como hemos hablado en 2.1, pues emplearemos en nuestras

clases distintos aparatos electronicos, como el proyector y la fotocopiadora o

los telefonos moviles y las camaras de fotos digitales. Por otro lado, el progra-

ma informatico Google Earth nos ofrecera una forma dinamica y divertida de

estudiar las escalas y la proporcionalidad en los mapas, a la vez que mostrar

sus aplicaciones a la realidad. Podrıamos utilizar por supuesto otros progra-

mas de software como GeoGebra, con el que ayudarles a visualizar mejor las

figuras de las explicaciones y ejercicios de clase.

Finalmente este proyecto es un modo de ensenar a los alumnos a apren-

der a aprender, ya que ofrece actividades de trabajo con las matematicas en

distintos ambitos, que les guıan en la construccion de su propio conocimiento

tal y como indica el Modelo Constructivista analizado en 2.1. Al mismo tiem-

po, gracias a las actividades que se realizan, los alumnos van asentando los

conocimientos que ya tienen adquiridos logrando un aprendizaje significativo

que pueden ver aplicado a distintas situaciones de su vida cotidiana.


4.4.1. Actividades modelo

Actividad 1:

Visualizamos nuestro alrededor con ojos matematicos.

Preguntas iniciales:

1. ¿Como creeis que una fotocopiadora puede imprimir mucho mas grande,

algo que nosotros vemos en el ordenador con un tamano tan pequeno?

2. ¿Como el proyector puede presentarnos en clase imagenes o vıdeos de

tal dimension?

3. ¿Como en un movil somos capaces de acercar o alejar una foto tanto

como queramos?

Preguntas intermedias:

1. ¿Quien puede relacionar estos triangulos semejantes con el caso de un

proyector?

2. ¿Por que al hacer zoom las figuras no se deforman?

3. ¿Como son las imagenes de la foto y las imagenes de la realidad?

4. Dada la constante de proporcionalidad del ejercicio, ¿que nos estarıan

pidiendo que hiciesemos si fuese una foto del movil?


Actividad 2:

Las matematicas de las fotografıas.

En base a la fotografıa, realiza las siguientes cuestiones.

a) Identifica al menos cuatro figuras geometricas y toma las medidas de

cada una de ellas.

b) Haz zoom en la foto para ver las figuras con la mitad de tamano,

dibujando en una hoja como quedarıa el resultado.

c) Ahora haz zoom para verlas 3 veces mas grandes.

d) Explica como has llevado a cabo el proceso y que elementos matemati-

cos estudiados en este tema has utilizado. ¿Se han deformado las figu-

ras? ¿Por que? ¿Como son las figuras dibujadas?

Con esta actividad trabajamos: razon, constante de proporcionalidad, seg-

mentos proporcionales y figuras semejantes.


Actividad 3:

Triangulando fotografıas.

En esta fotografıa podemos ver las famosas Torres KIO de Madrid, cono-

cidas por ser los primeros rascacielos inclinados del mundo.

a) ¿Cuantos triangulos semejantes puedes identificar en ellas?

b) Las dos torres tienen las mismas dimensiones. Si su altura mide 115m

y su base 30m, ¿cuanto mide la parte que vuela sobre el suelo?

c) Mide con una regla las dimensiones de las torres. ¿Sabrıas decir cual es

la constante de proporcionalidad entre la realidad y la fotografıa?

Entonces, ¿como son los triangulos de la realidad y los de la fotografıa?.

Explica por que.

d) Fıjate en el primer piso. Si la parte que vuela sobre el suelo mide 15m,

¿cual es la altura del primer piso?


e) Si hacemos zoom para ver las torres seis veces mas grandes, ¿cual sera la

altura de la torre en la fotografıa? ¿y la altura del primer piso?

Con esta actividad trabajamos: criterios de semejanza, triangulos semejantes,

constante de proporcionalidad, razon, segmentos proporcionales y Teorema

de Pitagoras y Tales.


Actividad 4:

Los mapas y la clase de matematicas.

Esta es una imagen de la ciudad de Logrono tomada de Google Earth.

a) Calcula por tı mismo la escala del mapa sabiendo que la distancia entre

las dos rotondas, marcada en rojo, es 0,2 km.

b) Supongamos que hemos dado un paseo por la lınea azul, ¿cuantos

kilometros hemos recorrido?. Y si en vez de dar ese paseo, tomamos

un atajo por las lineas amarillas, ¿cuantos kilometros recorrerıamos

entonces?.

c) ¿Cuales son las dimensiones del campo de futbol Las Gaunas ?

d) ¿Cual es el area total del campo de futbol? ¿Cuantas hectareas de

cesped tiene?

Dibuja como quedarıa el campo de futbol si hiciesemos un zoom para

poder verlo 3 veces mas grande.


e) Relaciona la escala de un mapa con los conceptos de razon y constante

de proporcionalidad que has estudiado.

f) ¿Podrıas calcular el area real de la rotonda grande y de una de las

rotondas pequenas? Establece la relacion que existe entre el area del

mapa y el area real.

Con esta actividad trabajamos: escalas, Teorema de Pitagoras, constan-

te de proporcionalidad, razon, segmentos proporcionales, figuras semejantes,

areas de figuras planas y cambios de unidades.


Actividad 5:

La semejanza en los mapas.

Esta es una captura hecha con GoogleEarth sobre una ciudad cualquiera.

a) Si a una persona que circula con su coche a 50 km/h, le cuesta 18

segundos recorrer la trayectoria recta marcada en amarillo, ¿cuantos

kilometros recorre ?, ¿sabrıas calcular a que escala esta el mapa?

b) Con los datos que dispones, ¿ podrıas calcular la trayectoria marcada

en rojo?, ¿y la rosa? Explica detalladamente los pasos que has seguido.

c) Si damos una vuelta a la manzana, ¿cuantos kilometros estarıamos

recorriendo en la realidad?, ¿ y en el mapa?.

d) ¿Que superficie tienen cada una de las urbanizaciones?


e) Hagamos zoom en el mapa para ver las urbanizaciones dos veces mas

pequenas. Dibuja como quedarıan. ¿Que constante de proporcionalidad

estamos utilizando?, ¿cual serıa ahora la escala del mapa?

Con esta actividad trabajamos: escalas, Teorema de Tales y Pitagoras,

constante de proporcionalidad, figuras semejantes, areas de figuras planas y

relaciones entre espacio, velocidad y tiempo.


4.4.2. Caso practico

En este apartado simulare un caso practico en el que llevar a cabo mi

proyecto de innovacion en el aula.

Al presentar a mis alumnos de 2o de la ESO el tema de Proporcionalidad

y Semejanza, emplearıa las Sesiones tipo 1. Con ellas conseguire mostrar-

les las relaciones que presenta este tema con los aparatos electronicos que

utilizan en su dıa a dıa, como proyectores, fotocopiadoras, telefonos moviles

o camaras de fotos, ademas de servirme de motivacion y enlace para co-

menzar a explicar todos los nuevos conceptos. Tambien podrıa emplearlas

en las clases intermedias del tema, ayudando a relacionar las explicaciones

y los ejercicios que proponga con aplicaciones de la vida real. Un ejemplo

de actividad propia para estas sesiones es la Actividad 1: Visualizamos

nuestro alrededor con ojos matematicos de 4.4.1. Se trata de un

debate colectivo, en el que el profesor lanza preguntas a los estudiantes, de

manera que con las respuestas y reflexiones que se ponen comun se puedan

ir introduciendo y explicando los contenidos del tema, trabajando ası la

Fase 1: Informacion de Van Hiele.

Una vez familiarizados con el tema, y asimilados los conceptos basicos,

harıa uso de las Sesiones tipo 2 para practicar a la vez que profundizar

en los nuevos conocimientos. En estas sesiones proporcionare a los alumnos

algunas fotografıas con las que trabajar. En primer lugar, tratare de que ana-

licen las fotografıas identificando ellas las figuras geometricas sobre las que

queremos hacer zoom, despues resolveremos cuestiones como dibujar figuras

proporcionales a las anteriores o calcular razones y proporciones, haciendo


en unos casos zoom para agrandar y en otros para disminuir. Las activida-

des Actividad 2: Las matematicas de las fotografıas y Actividad

3: Triangulando fotografıas que encontramos como caso practico en

4.4.1, estan disenadas para este tipo de sesiones. En ellas se practican los

contenidos ya estudiados de razon, proporcion, Teoremas de Tales y Pitago-

ras, entre otros, mediante preguntas guiadas por el profesor, a la vez que se

reflexiona sobre los resultados obtenidos pidiendo al alumno que justifique

sus respuestas y trabajando ası la Fase 2: Orientacion dirigida y la

Fase 3: Explicitacion de Van Hiele.

Tras las definiciones y conceptos estudiados en clase, nuestros alumnos

deben saber que cualquier polıgono esta determinado por sus lados y sus

angulos y que dos polıgonos son semejantes cuando sus angulos son iguales y

sus lados homologos son proporcionales. A partir de esto, queremos que vean

que el zoom de las figuras, ası como cualquier movimiento o traslacion que

realicemos sobre ellas seguira manteniendo las figuras semejantes. De hecho,

coloquialmete podrıamos decirles que “dos figuras son semejantes cuando

tienen la misma forma pero distinto tamano”. Deben comprender el papel tan

fundamental que desempena en este caso la constante de proporcionalidad,

que nos marca como deben ser los objetos de la fotografıa con zoom. Es

importante tambien, que sepan justificar sus respuestas y entender el por

que de los distintos casos que se le presentan, razonando y utilizando el

vocabulario adecuado.

Despues de explicar el tema por completo y comprobar que mis alumnos

son capaces de manejarse con soltura, intentare que tengan una vision glo-


bal del mismo empleando Sesiones tipo 3. El objetivo es reunir todos los

contenidos estudiados y ofrecer una vision general de los mismos, con activi-

dades como la Actividad 4: Los mapas y la clase de matematicas y

la Actividad 5: La semejanza en los mapas que presentamos en 4.4.1.

Son actividades abiertas y mas complejas, que nos dan juego a incluir y tra-

bajar tecnicas y contenidos muy diversos. Se incide en este caso en la

Fase 4: Orientacion libre y la Fase 5: Integracion pues ofrecere al alumno

la menor ayuda posible, obligando ası a que reflexione en las preguntas y

averigue por sı mismo lo que se le pide y como debe llegar hasta ello.

En todas las actividades atendere a la diversidad estableciendo distintos

niveles de complejidad en las preguntas de una misma actividad. De esta

manera, propondre cuestiones basicas al inicio de la actividad de manera

que sean resueltas por la mayor parte de los alumnos, e ire aumentando la

dificultad en las preguntas finales para aquellos que puedan alcanzar un nivel

mas alto.

4.5. EVALUACION 61

4.5. Evaluacion

Dado que Haciendo Zoom en las Matematicas no ha sido lleva-

do a la practica por el momento, explicare en este apartado los principales

indicadores en los que me basarıa para evaluar su eficacia.

Tal y como hemos comentado en 2.1, la evaluacion es una variable decisiva

en el currıculum, que no solo debe atender al producto final, sino que debe

contemplar todos los pasos que nos han llevado a el obteniendo informacion

para mejorarlos. Por lo tanto, la evaluacion de mi proyecto de innovacion se

centrara tanto en comprobar si los alumnos han adquirido las habilidades y

los conocimientos que se pretenden como en identificar si la metodologıa y

las actividades propuestas eran las mas adecuadas.

Los indicadores que me ayudara a evaluar a los alumnos, basados en los

objetivos y criterios de evaluacion establecidos en 3.5, son los siguientes:

Contenidos matematicos

Valoraremos que el alumno haya aprendido a identificar figuras seme-

jantes y a calcular la escala o razon de semejanza entre ellas, ası como

la razon entre longitudes y areas. Para ello ha debido emplear conoci-

mientos matematicos ya conocidos, por lo que se comprobara tambien

la capacidad de aplicarlos e integrarlos en los nuevos aprendizajes.

Tecnicas de resolucion de problemas

Prestaremos atencion a su capacidad para comprender la matematiza-

cion de las situaciones de la realidad que se le presentan. Sera impor-


tante tambien que analicen con sentido crıtico los resultados obtenidos

y que expliquen, empleando el vocabulario matematico adecuado, los

pasos seguidos.

Motivacion y actitud ante las actividades

Se valorara la actitud positiva del alumno ante la realizacion de las

actividades que se proponen ası como su motivacion por el aprendizaje

de los nuevos conocimientos y su capacidad de mantenerse atentos en

el transcurso de la clase.

Creatividad en las actividades

Las actividades que se presentan pueden emprenderse desde distintos

puntos de vista ası que se valorara la creatividad del alumno y su

capacidad emprendedora para llevarla a cabo, de manera autonoma o

como integrante de un grupo.

Trabajo en grupo y colaborativo

La realizacion de uno mismo es muy importante, pero tambien lo es

el companerismo y la aportacion al grupo. Se tendran en cuenta las

aportaciones al grupo y el interes por la calificacion colectiva y no solo

individual.

El correcto aprendizaje de los conocimientos se evaluara mediante un

examen realizado de manera ordinaria en clase. El resto de puntuaciones se

obtendran de las actividades realizadas de manera individual o grupal, y de la

4.5. EVALUACION 63

actitud y participacion en clase. Es cierto que no todas las variables pueden

ser evaluadas de la misma forma para todos los alumnos, de modo que se

atendera a la diversidad en todas ellas, teniendo en cuenta las capacidades

cognitivas y las necesidades educativas de cada uno de ellos.

En la siguiente tabla se muestra un caso real de calificacion de la unidad

didactica en la que nos encontramos.

Porcentaje Elemento

50 % Examen

20 % Actividades individuales

20 % Actividades en grupo

10 % Actitud en las tareas

La metodologıa empleada y la actitud del profesor tambien debe ser eva-

luada de acuerdo a las siguientes variables:

Eficacia del proyecto

Cuando se confecciona el proyecto, se proponen una serie de objetivos

a cumplir en cuanto al aprendizaje del alumno y a las habilidades que

debe desarrollar. Es importante por ello que el profesor evalue si la me-

todologıa empleada ha sido una buena herramienta para la consecucion

de dichos objetivos.


Satisfaccion consigo mismo

Deberıamos plantearnos tambien si las actividades y las clases se han

desarrollado como planeabamos o si por el contrario han servido para

desviar la atencion de nuestros estudiantes.

Atencion a la diversidad

Tendremos que valorar si hemos sido capaces de atender a la diversidad

con los diferentes alumnos de la clase, tanto si las actividades eran las

adecuadas como si en las valoraciones hemos tenido en cuenta todos

los aspectos.

Capıtulo 5

Reflexion y conclusiones finales

Con esta memoria pongo fin a todo un ano de preparacion como docente

en el que, las experiencias que he vivido y los conocimientos que he apren-

dido, me han servido para aumentar aun mas mis ganas de ser profesora de

matematicas.

Como profesores de esta materia sabemos que esta asignatura desempena

un papel fundamental en la Educacion Secundaria, pues debe desarrollar en

el alumno unas capacidades basicas que le permitan desenvolverse en su vida

cotidiana. Pero tambien sabemos que nuestra asignatura es una de las que

mayor rechazo sufre por parte de los estudiantes, por ser en muchas ocasiones

difıcil de comprender para ellos. De modo que nuestra mision, no va a ser

solo que aprendan los conocimientos marcados, sino motivarles y transmitirles

una vision mas divertida y amigable de las matematicas. Hemos analizado

como han ido cambiando los procesos de ensenanza-aprendizaje a lo largo

de la historia: desde clases basadas en las explicaciones del profesor con el

Modelo Conductista hasta hacer a los alumnos constructores de su propio

65

66 CAPITULO 5. REFLEXION Y CONCLUSIONES FINALES

conocimiento con el Modelo Conductivista, el empleo de materiales y de las

TIC en la educacion, o la preocupacion por la motivacion de los estudiantes.

Estas son las ideas que debemos intentar mantener en nuestras futuras clases,

y si es posible, mejorarlas.

Las clases teoricas y las asignaturas del master te dan unos conocimientos

necesarios para desenvolverte adecuadamente en el aula. Sin embargo, todos

ellos no se ven realmente aplicados hasta que no comienzan las practicas en

el instituto. Este perıodo ha sido para mı inolvidable. He trabajado con ninos

fantasticos, cada uno con sus peculiaridades, que me han hecho aprender y

darme cuenta de lo importante que es conocer las caracterısticas de cada uno

de ellos para poder atender a la diversidad del aula. Estando en la pizarra

comprendes que, dispones de los conocimientos necesarios para poder explicar

una clase, lo difıcil es saber transmitirlos. He de decir que siempre me he

interesado por observar hasta el ultimo detalle de todos los profesores que he

tenido desde pequena, para no repetir sus errores o para seguir trabajando

en lo que hacıan bien. Es por eso que, de mi tutora Ana Inigo he aprendido

tanto, pues sus clases tan dinamicas y su carino y dedicacion a los alumnos

es algo que me gustarıa aplicar a mis futuras clases.

Aunque elaborar un proyecto de innovacion no parece sencillo al principio,

solo tienes que buscar una razon de peso para la cual desarrollarlo, y eso

te motivara para continuar haciendolo. En mi caso sabıa que mi clase de

2o de la ESO necesitaba una forma diferente de aprender en el aula, sobre

todo los temas de geometrıa, pues no encontraban motivacion en ellos. La

geometrıa ha sufrido una reduccion de contenidos muy importante en los

67

ultimos anos, llegando a reducirse a la resolucion de unos cuantos problemas

mecanicos. Sin embargo, lo interesante de la geometrıa es que el alumno

visualice las figuras y juegue con ellas obteniendo sus propias conclusiones.

Por ello pense que, utilizando aparatos electronicos en el aula y preparando

estrategicamente actividades para ellos, podrıa conseguir motivarlos en este

tema a la vez que aprendieran los contenidos marcados por el currıculum.

Ası surgio Haciendo Zoom en las Matematicas, que combina el empleo

de las TIC en el aula con el modelo teorico desarrollado por los Van Hiele

para el estudio de la geometrıa. Mediante el empleo de 3 tipos de sesiones,

con actividades individuales o grupales que les guıen en la construccion de

sus conocimientos, y los debates colectivos y reflexiones sobre ellas, busco

que los alumnos de 2o comprendan la esencia del tema de Proporcionalidad

y Semejanza y adquieran, si es posible, el gusto por la geometrıa.

Me gustarıa en el futuro poder poner en practica mi proyecto, ya que

comprobar si el trabajo que he llevado a cabo sirve para motivar y ensenar

a mis alumnos, serıa la mejor satisfaccion como profesora. La tarea que nos

espera como docentes no es facil, pues implicarse y preocuparse por el apren-

dizaje y desarrollo personal de los adolescentes requiere un gran esfuerzo por

nuestra parte. Con el estudio del Grado en Matematicas y el posterior Master

en Educacion Secundaria, hemos adquirido los suficientes conocimientos para

llevarlo a cabo, solamente nos hacen falta las ganas y la ilusion necesarias

para conseguir cada dıa el logro de nuestros estudiantes.

Bibliografıa

[1] Castellanos Fonseca, R., Innovacion docente e iniciacion a la investigacion

educativa, Innovacion educativa, Tema 1.

[2] Castro E., Castro E., Lupianez J.L., Ruiz J.F., Torralbo M.: Investigacion

en Educacion Matematica, Homenaje a Luis Rico.

[3] Espanol Gonzalez, L. (1997), Julio Rey Pastor y la ensenanza de las

matematicas, Suma, no. 24, pg.27-38.

[4] Geometrıa interactiva aplicada al estudio de los movimientos en

el plano. Guıa para profesores. Recuperado el 1 de Junio de

2016 de http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/

guia_profesor.pdf

[5] Lozano, R., Factores interpersonales e intrapersonales del proceso en-

senanza-aprendizaje, Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Temas

5 y 6.

[6] Lozano, R., La psicologıa de la educacion y del desarrollo y los modelos

de ensenanza-aprendizaje, Aprendizaje y desarrollo de la personalidad,

Tema 4.

69

70 BIBLIOGRAFIA

[7] Ministerio de Educacion, Ley Organica de Educacion, Decreto 5/2011,

de 28 de enero, por el que se establece el Currıculo de la Educacion

Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autonoma de La Rioja.

[8] Murillo Ramon, J., La Evaluacion en Matematicas, Aprendizaje y En-

senanza de las Matematicas, Evaluacion.

[9] Murillo Ramon, J., Las Matematicas en la Educacion Secundaria, Apren-

dizaje y Ensenanza de las Matematicas, Tema I.

[10] Pena Hernando, J. (2015), Uso de las TIC en la Educacion Secundaria,

Trabajo de Fin de Master.

[11] Ridruejo Calavia, C. (2015), Aprendizaje basado en problemas: Trigo-

nometrıa y Triangulos, Trabajo de Fin de Grado.

[12] Rimari Arias, W., La Innovacion Educativa, instrumento de desarrollo.

Recuperado el 1 de Junio de 2016 de http://www.uaa.mx/direcciones/

dgdp/defaa/descargas/innovacion_educativa_octubre.pdf

[13] Vargas Vargas, G. (2013), El modelo de Van Hiele y la ensenanza de la

geometrıa, Uniciencia, vol. 27, no. 1, pgs. 74-94.

Capıtulo 6

Anexos

6.1. Anexo I

Actividades de inicio de tema de la unidad didactica de Proporcionalidad

de segmentos y semejanza de 2o de la ESO.

Actividad 1

Dibuja los segmentos AB y CD de longitudes 18mm y 24mm

respectivamente. Halla su razon.

Actividad 2

Dibuja los segmentos AB y CD de longitudes 18mm y 24mm

respectivamente. Halla su razon.

Actividad 3

Si la razon entre AB y CD es 2, ¿cual es la razon entre CD y AB?.

71

72 CAPITULO 6. ANEXOS

Actividad 4

Indica si son proporcionales los siguientes segmentos.

a) AB = 18cm, CD = 30mm, EF = 30mm, GH = 5mm.

b) AB = 2,5cm, CD = 5cm, EF = 4,5cm, GH = 8cm.

Actividad 5

Halla la longitud del segmento desconocido en las siguientes proporciones

a)AB

3=

8

12

b)5

AB=

12

60

c)1

3=

15

AB

Actividad 6

Calcula la longitud de OA′, BC y OC a partir del siguiente dibujo.

Actividad 7

6.1. ANEXO I 73

Divide un segmento de 10cm en partes proporcionales a dos segmentos de

2cm y 3cm. ¿ Cuanto miden los segmentos resultantes?

Actividad 8

Indica que triangulos de la siguiente figura estan en posicion de Tales.

Actividad 9

¿ Estan los dos triangulos en posicion de Tales?

Calcula EC y CB si:

AB = 8cm, ED = 5cm, AC = 6cm y DB = 4cm.

Actividad 10


Los lados de un triangulo 4ABC miden AB = 4cm, BC = 5cm y

CA = 6cm. Halla la longitud de los lados de un triangulo semejante

4A′B′C ′ sabiendo que:

a) La razon de semejanza es r = 2,5.

b) El perımetro de 4A′B′C ′ es 30cm

6.2. ANEXO II 75

6.2. Anexo II

Problemas mas complejos de la unidad de Proporcionalidad y semejanza

de 2o de la ESO.

Actividad 1

Si la razon entre los segmentos AB y CD es a, y la razon entre los

segmentos EF y GH es b, ¿ que condicion se tiene que dar para que AB y

CD sean proporcionales a EF y GH?

Actividad 2

En la siguiente figura sabemos que OA = 4,7cm, AB = 5cm y la razonOA

OA′= 1,6. Calcula A′B′, OB y OB′.

Actividad 3

Observa la siguiente figura. ¿ Cuanto miden los segmentos AP , PQ y QB?


Actividad 4

Calcula el valor de x.

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