Capítulo 1

Hacia la Comprensión de un problema

1.1 ¿Qué es un problema?

Cuando se quiere aprender a realizar cualquier trabajo, siempre es necesario familiarizarse y ponerse de acuerdo con los términos a utilizar, con el material con el cual se tendrá que trabajar y con los instrumentos que se usarán. Esto implica que para aprender a resolver problemas, es necesario comprender y adoptar una definición de problema, su estructura (las partes que los componen), los instrumentos que nos ayudan a resolverlos, lo que significa resolver un problema, entre otros aspectos. Aunque el objetivo que se persigue acá no se teorizar sobre estos temas, se hará una breve exposición sobre ellos.

La palabra “problema” es de uso común en particular, en nuestra vida académica, hemos escuchado con demasía esta palabra y hasta hemos resuelto muchos de ellos, muy especialmente en matemática. Si bien existen muchas concepciones de lo que es un problema, al analizar detenidamente cualquier problema, nos daremos cuenta de que éste consiste en alguna o algunas exigencias (requerimientos) que deben ser satisfecha (o) apoyándose en, y tomando en cuenta, las condiciones (información, datos, hipótesis) señaladas en el enunciado, así como los conocimientos que tengamos sobre lo que trata el problema.

Algunos problemas aparecen en forma de pregunta pero, cuando se hace una pregunta, está implícita la exigencia de dar una respuesta

De acuerdo a lo anterior, en este curso, se adoptará como definición de problema lo siguiente:

Un problema es una o varias exigencias (requerimientos) la(s) cual(es) debe(n) ser satisfecha(s) apoyándose en, y tomando en cuenta, las condiciones (información, datos, hipótesis) señaladas en el planteamiento (enunciado), así como los conocimientos que tengamos sobre lo que trata el problema.

Como se señaló existen muchas concepciones sobre problemas, pero ésta es la que más se adapta al propósito que se persigue con estas notas. En tales concepciones quizás aparezcan otros elementos pero siempre habrá una exigencia que debe ser satisfecha y unas condiciones bajo las cuales deber ser satisfechas. Por ejemplo, muchos autores señalan que el concepto es relativo, depende del individuo, lo que puede ser un problema para algunos, para otros puede que no lo sea. Bajo esta concepción se plantea que la exigencia debe ser un reto para el individuo, algo novedoso, algo difícil, sin una vía inmediata para ser resuelto. Esto no contradice nuestra posición, más bien la complementa, otros incluso plantean que una vez un problema sea resuelto, deja de ser tal. (1)

1 Vea la bibliografía recomendada m, en especial: Santos, T. (1997) Principios y Métodos de la Resolución de Problemas en

el Aprendizaje de las Matemáticas 2ª edición. Grupo Editorial Iberoamericana, México.

Y ¿ Que significa RESOLVER un problema?

Quizás tengamos una respuesta inmediata a esta pregunta.

¿Cuál es la suya?

______________________________________________________________________

Pero cuando nosotros nos proponemos a resolver un problema ejecutamos una serie de acciones (Ejecutamos un proceso) que terminan cuando la exigencia queda satisfecha, pero acá no acaba la “cosa”, debemos cerciorarnos de que lo que hemos hecho está correcto, que tiene sus fundamentos teóricos y más aún, nosotros en particular, estamos interesados en lo que aprendemos y como aprendemos durante ese proceso.

En resumidas cuentas, RESOLVER un problema es la ejecución de un proceso que nos lleva a la satisfacción de la exigencia, el análisis y discusión de ese proceso

En general no existe un proceso prediseñado para la resolución de problemas, cada problema es un caso y si queremos cumplir con el objetivo de la asignatura que es aprender a través de la resolución de problemas, debemos ver, al menos en su inicio, a todo problema como una situación novedosa. Nada de estar pensando en fórmulas mágicas, en procesos prediseñados. Éstos y éstas los (las) iremos descubriendo e iremos aprendiendo con ellos y ellas, de ellos y ellas y a través de ellos y ellas. Ese debe ser nuestro norte.

Debemos considerar al proceso de resolución (búsqueda de la solución) más importante que la solución misma pues la satisfacción o no de la exigencia no es más que una consecuencia directa de la ejecución del proceso que hayamos diseñado y aplicado.

Partes de un problema:

Según nuestra definición, un problema consta de dos partes básicas: Requerimientos ( Lo que se nos pide) y Condiciones (lo que se nos dá: información, datos, hipótesis,...) .

El objeto final de la resolución de problemas es satisfacer los requerimientos pero este objetivo precisa de un proceso mediante el cual se llega a él.

Mucho se ha escrito sobre la resolución de problemas, quizá el más famoso sea George Polya, él describe una metodología para la solución de problemas y aunque alguien pueda diferir con este autor en algunos aspectos, no podrá negar que esos pasos los ejecutamos consciente o inconscientemente al resolver un problema, la diferencia quizás esté en el orden en que se efectúan las etapas o en las preguntas que él asocia a cada etapa o en la forma como lo hacemos. Otros autores que merecen ser mencionados son: Allan Schoenfeld, Jhon Mason, Zdzislaw Alexander Melzak , Jhon Dewey , Andria Troutman and Betty Kiser Lichtenberg

A continuación se presentan de manera muy escueta las metodologías de algunos autores, recordemos que nuestro objetivo no es teorizar sobre estos aspectos

La metodología de Polya, consta de las siguientes etapas:

1. Comprensión del Problema

2. Elaboración de un Plan

3. Ejecución del Plan

4. Visión retrospectiva

Allan Schoenfeld nos presenta la siguiente lista de estrategias para la solución de problemas

1. Análisis

2. Exploración

3. Verificación de la solución

Jhon Mason plantea que la resolución de problemas supone tres etapas cruciales: El abordaje, el ataque del problema y el análisis de la solución.

Melzak por su parte plantea unos principios que son útiles en la resolución de problemas, entre ellos: Principio del desvío o puenteo y el principio de alineamiento.

Jhon Dewey (modelo del pensamiento reflexivo)

1. Definición del problema

2. Consideración de las condiciones que envuelve el problema

3. Formulación de hipótesis para la posible solución del problema

4. Consideración de los posibles valores de las hipótesis para la resolución del problema

5. Decisión sobre cual es la mejor idea para la resolución del problema

Tourtman y Lichtemberg

1. Estar consciente del problema

2. determinar que es lo que se desea obtener

3. Generar información y estrategias para la solución del problema

4. decidir sobre las estrategias necesarias para la solución

5. Revisar los resultados

Quien esté interesado puede consultar la bibliografía recomendada y se dará cuenta que los autores no se contradicen, si no que plantean la resolución de problemas desde otros ángulos o con fines ligeramente distintos, que tienen muchas coincidencias y se complementan unos a otros.

Es importante destacar que la resolución de problemas es un trabajo muy especial: más precisamente, es un trabajo intelectual y en muchas ocasiones depende de cada individualidad (del resolutor).

Nosotros seguiremos básicamente la metodología de Polya, con la incorporación de algunas preguntas y la supresión de otras.

LA COMPRENSIÓN DE UN PROBLEMA

Antes de empezar a resolver un problema, es necesario estudiarlo detenidamente, comprenderlo en el sentido más amplio de la palabra. Esta comprensión puede lograrse si seguimos las siguientes estrategias, haciendo un análisis del problema, el cual pasa por lo siguiente:

1. Establecer en qué consisten los requerimientos (las preguntas o exigencias)

2. Establecer cuáles son las condiciones a partir de las cuáles hay que resolver el problema.

3. identificar los conceptos involucrados y que sean relevantes en el enunciados

4. Identificar los objetos fundamentales y relevantes en el problema

5. Determinar lo que sabemos y si es posible lo que no sabemos (Conocimientos) sobre los aspectos anteriores

Debe quedar claro que el hecho de hacer lo anterior no significa que se haya comprendido el problema pero puede ayudar al logro de este objetivo y es un paso que definitivamente hacemos aunque algunas veces de manera inconsciente o de manera muy somera.

Es claro que en esta etapa y en las que siguen juegan papel importante en primer lugar el conocimiento que tengamos del contexto en el cual está planteado el problema y en segundo lugar, la experiencia. Sin embargo, el desconocimiento de algún concepto o la poca experiencia no debe convertirse en un obstáculo para enfrentarlo, pues recordemos que nuestro objetivo es aprender mediante la resolución de problemas y debe motivarnos a investigar y aprender. Si lo sabemos “todo”, ¿qué vamos a aprender?

1.2 Las condiciones y los requerimientos de un problema

Cuando se nos plantea un problema, naturalmente, lo debemos leer con atención, esto nos permite ver si el problema está bien escrito, si no hay alguna palabra o frase desconocida o ambigua y esta lectura nos proporciona ideas generales acerca del problema. Esto debe hacerse, aunque sea de manera rápida (cosa que no se recomienda para nuestro propósito) antes de identificar las condiciones y requerimiento.

Es importante que al principio demos un voto de confianza a quien propone el problema, en el sentido de que el problema esté bien planteado. Esto no debe significar la aceptación incondicional y definitiva de que el enunciado es correcto. Nuestra mente debe estar abierta y debemos tener el mayor interés y la mejor predisposición para enfrentar el problema

Veamos un Ejemplo:

Problema 1. 1. Un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los semiejes positivos del plano cartesiano la hipotenusa queda dividida por el punto de intersección de la ésta con la circunferencia en dos segmentos de longitudes 5cm y 12cm, respectivamente. Encontrar la ecuación de la recta que contiene a la hipotenusa.

¿Cuál es el requerimiento?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuáles son las condiciones?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Es frecuente que los requerimientos de un problema se formulen a manera de pregunta pero como lo dijimos antes, toda pregunta presupone la exigencia de darle respuesta, Cualquier pregunta puede ser reemplazada por una exigencia propiamente dicha.

Como lo hemos adoptado, la formulación (Enunciado) de un problema consiste en ciertas afirmaciones y una o varias exigencias.

Comúnmente, las afirmaciones son llamadas condiciones del problema. Lo primero que se debe hacer al analizar un problema es desglosar la formulación (Enunciado) del problema en condiciones y requerimientos. Señalemos que, por lo general, en un problema puede haber, no una condición única, sino varias condiciones elementales (es decir, que no pueden ser reducidas a condiciones más simples) que pueden ser independientes o no. También puede haber más de un requerimiento. Por

ello, es útil desglosar todas las condiciones y los requerimientos del problema en condiciones y requerimientos elementales.

En el Prob. 1,1 se pueden identificar las siguientes condiciones elementales: 1._____________________________________________________________________

2..____________________________________________________________________

3..____________________________________________________________________

4._____________________________________________________________________

También el requerimiento del problema se puede desglosar en los siguientes dos requerimientos elementales:

1. ____________________________________________________________________

2. ____________________________________________________________________

No siempre es fácil desglosar la formulación del problema (2) en condiciones y requerimientos elementales. A veces es necesario volver a plantear el problema o reflexionar profundamente sobre su enunciado. Veamos el siguiente ejemplo:

Problema 1,2. ¿ Cuántas cifras contiene el número 2100 (en el sistema de numeración decimal? La formulación de este problema consiste en una sola pregunta. Pero, si leemos atentamente esta pregunta y revisando nuestros conocimientos, podemos encontrar en ella las siguientes condiciones:

1.____________________________________________________________________ 2. ___________________________________________________________________

Entonces, el requerimiento de este problema podemos redactarlos de la manera siguiente:

“encontrar____________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Es importante indicar que Frecuentemente llamamos formulación de un problema a su enunciado completo

Problema 1.3 : Resolver la ecuación ax4 — x3 — a2x — a = O.

La formulación de este problema consiste en un solo requerimiento. El cual es:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

El análisis de este requerimiento permite desglosarlo en una condición y un requerimiento propiamente dicho.

1 La condición es: _______________________________________________________

2. el requerimiento es :____________________________________________________

Por supuesto, no podemos detenernos solamente en esto y necesitamos continuar el análisis. Nos damos cuenta de que la ecuación contiene: _________________________

_____________________________________________________________________

Debemos saber que estas simbolizan: _______________________________________

Con este pequeño análisis tenemos que:

Las condiciones de este problema son las siguientes

1. a es: __________________________________________________________

2. x es ____________________________________________________________

3. _______________________________________________________________

4. ________________________________________________________________

El requerimiento de este problema puede ser formulado como sigue:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El análisis del problema puede continuar, Podríamos preguntar por ejemplo: ¿qué significa encontrar los valores de la variable x bajo las condiciones dadas? Al responder a esta pregunta, precisamos con ello el requerimiento del problema. Éste toma la siguiente forma:

Encontrar____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como vemos, el análisis de un problema y el desglosamiento de sus condiciones y requerimientos se pueden realizar con diferente grado de profundidad.

La profundidad del análisis depende fundamentalmente de nuestros conocimientos que tengamos sobre lo que trata el problema, de la experiencia que tengamos, del tipo de problema al que pertenece el problema que analizamos o de si conocemos el método general de resolución de dicho tipo de problema. Un simple análisis pudiera ser suficiente, si no, es necesario un análisis más profundo para determinar el método de resolución y quizás debamos hacer algunas investigaciones teóricas sobre los aspectos que desconocemos. En general, un análisis debe terminar cuando hayamos comprendido en detalle el problema o mejor cuando creamos haber entendido el problema

En resumen podemos aclarar que para el análisis de un problema necesitamos:

1.

2.

3.

4.

5.

CONCEPTOS INVOLUCRADOS

Problema 1.1.

1. Triángulo rectángulo

2. _______________________________________________________________

3. _______________________________________________________________

4. ________________________________________________________________

5. ________________________________________________________________

Problema 1.2.

1. _______________________________________________________________

2. _______________________________________________________________

3. _______________________________________________________________

4. _______________________________________________________________

Problema 1.3.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conocimientos sobre lo que trata el problema:

Problema 1.1

Conocimientos sobre o relacionados con triángulo rectángulos

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conocimientos sobre circunferencias inscritas en un triángulo

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conocimientos sobre tangentes a una circunferencia

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Haga lo mismo para el resto de los problemas.

Unas preguntas que pueden ayudarnos en el análisis de los requerimientos y condiciones son:

¿De qué trata el problema?, ¿cuales son las condiciones? ¿Cuales son los requerimientos? ¿Qué conceptos (importantes, fundamentales para la formulación del problema) están involucrados en el enunciado? ¿Qué objetos aparecen referidos en el enunciado? ¿Que sabemos acerca de los requerimientos, condiciones, conceptos, objetos (conocimiento que tenemos)? ¿Desconocemos algún concepto,

frase? ¿Podemos hacer un dibujo? ¿Podemos inferir (deducir, sacar) alguna conclusión inmediata? ¿Podemos reescribir el problema de otra manera pero equivalente?

Las preguntas anteriores pueden ayudar a controlar si estamos comprendiendo el problema y también a su comprensión. No basta simplemente responderlas, hay que reflexionar sobre esa respuesta y su utilidad para el problema. Por ejemplo, si desconocemos algún concepto debemos releer el problema o investigar sobre ello inmediatamente, en caso de que creamos que esto nos está impidiendo la comprensión o más tarde, si vemos que al tratar de buscar la solución, no encontramos señales de un camino o nos encontramos con algún obstáculo o dificultad.

A veces es posible hacer algunas particularizaciones sobre los objetos involucrados y ello nos puede ayudar a su comprensión. También es bueno, una vez que creamos que hemos entendido el problema, reescribirlo y contrastarlo con el enunciado original. Otra técnica que puede ayudar es realizar algún dibujo, un esquema, organizar las condiciones.

El planteamiento y la contestación de todas esas preguntas no es obligatoria en todo problema. ¡Son una guía, no un mandato! , pero nos puede ayudar mucho.

Es importante indicar que al descomponer un problema en condiciones y requerimiento, estas nos deben permitir reconstruir el enunciado original sin mirarlo.

Tarea 1.1

¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuales no lo son?:

a) 3x-4x>8

b) ¿Cuál es el valor de x que satisface x2+1/x2 =20?

c) Juan nació en El Tocuyo o tiene menos de 20 años si y solo si es larense o estudia en la universidad

d) Y2+x2=4bx

e) La pendiente de la recta que pasa por (1,2) y (3,1)

f) La parábola tiene centro en (0,0)

g) Determine el cifoño del peretalo

h) El cifoño del peretalo tiene un punto de intersección con citoclo que pasa por el punto de turgentia

i) Las carreteras venezolanas están en muy malas condiciones

j) Los habitantes de la Ciudad “El Crital” cuentan con un hospital que presta un excelente servicio y con capacidad no totalmente cubierta y sus habitantes quieren construir otro.

k) El médico del consultorio ubicado en el barrio “Los Angostinos” no asiste regularmente a las consultas y cuando lo hace solo atiende durante quince minutos

l) Vivo muy retirado de la universidad y no tengo que comer

m) Salí mal en Introducción a la computación

n) Analice de manera independiente los problemas listados a continuación, señalando, para cada uno de ellos, todas las condiciones elementales y todos los requerimientos, así cómo conceptos y objetos involucrados

a. ¿Para qué valores de x es verdadera la proposición x3-x > 6?

b. ¿Qué ocurre con la expresión x+1/x , si :

i) le damos valores a x positivos pero cercanos a cero?

ii) le asignamos a x valores positivos “muy pero muy” grandes?

c. ¿Se podría asegurar que la expresión x+1/x alcanza un valor mínimo si x es positivo?

d. ¿Cuáles de las siguientes expresiones no es cero?

e. Encuentre los valores de a,b,c para que la desigualdad ,tenga como solución al intervalo (1,0)

f. Demuestre que si x es mayor que -2 y menor que -1 , entonces x2+4x+3 es negativo

g. Pruebe que x2- 5x +8 es positivo para todo x real

h. Halle el valor mínimo que puede tomar la expresión 4x2-5x+8

i. Considere la circunferencia de radio 1 y centro en el eje x a una unidad del origen y otra circunferencia de radio variable. Sean P es el punto más alto de la

circunferencia de radio variable , Q es el punto superior de intersección de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ con el eje de las abscisas . ¿Qué le sucede a R cuando la circunferencia con centro en el origen se contrae?

j. Sean P un punto en la parábola , y el punto Q , donde la mediatriz de OP interseca al eje de las ordenadas. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿Qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela.

k. Usted es el propietario de una pequeña empresa de topografía, luchando por hacerse un nombre por sí mismo en la comunidad. Usted se enfrenta a una crisis.

En la liquidación de un patrimonio, el juez ha decretado que una el juez ha decretado que un pedazo en forma de cuña circular de la propiedad sea dividida en dos partes por una cerca recta desde la esquina de la cuña, de forma tal que si una cerca de este a oeste y otra cerca de norte a sur son construidas desde cualquier punto en ella , las regiones resultantes que comienzan en la esquina de la cuña tienen áreas iguales.Su tarea consiste en diseñar el cerco y se establece la participación para los constructores

El problema es que usted dejó su camión ventana abierta y la lluvia ha corrido la tinta en el mapa. Usted no tiene tiempo para ir al sitio y hacer mediciones, el trabajo debe hacerse de inmediato. Todo lo que puede ver en el mapa es que los dos bordes de la de la cuña son rectos y continúan en alguna dirección entre el norte y el este desde un punto Diseñe la cerca. Si haces buen trabajo esto puede convertirse en un punto de inflexión de tu carrera .

l.

m. Ana tiene dos recipientes vacíos idénticos y un vaso pequeño. Primero, Ana llena el recipiente A hasta el tope con agua del garrafón, y como tiene sed, bebe 2 vasos de agua (tomada del recipiente A). Después, llena completamente el recipiente B con agua del garrafón, pero como no le gusta que esté tan lleno, vierte un vaso de agua del recipiente B al recipiente A.

¿ Cómo se compara la cantidad de agua en el recipiente A con la cantidad de agua en el recipiente B?

n. Un tren partió del punto A al punto B a la velocidad de 72 km/h. Después de 45 minutos otro tren partió desde B hacia A a una velocidad de 75 km/h. La distancia entre A y B es igual a 348 km. ¿A qué distancia de B se encontraran los trenes?

o. Israel, David, Gonzalo, Gerardo, Iván y Mario se sentaron alrededor de una mesa circular en un restaurante. Ni Israel, ni Gerardo, ni Mario se sentaron junto a otro de ellos tres. Además, los nombres de cualesquiera dos personas que estaban sentadas

juntas empezaban con letras distintas. ¿Quién estaba sentado en la posición opuesta a Mario?

p. La arista de un cubo mide a ¿,Cuanto mide la distancia entre las aristas opuestas del cubo?

q.

r. Dado un entero positivo, n considere los números ,

encuentre una expresión para x en función de solamente de y y valga para todo n

s. Suponga que la forma proposicional es falsa y que p es falsa ¿Cuál es valor lógico de ?

t.

u. Una anciana ciega entrega a un joyero una cruz de quince perlas como la de la figura para que la repare y le advierte que no se le ocurra engañarla quitando alguna perla, ya que ella sabe que: contando desde el extremo de cualquiera de los brazos de la cruz hasta la parte inferior, hay nueve perlas. Sin embargo el joyero se las arregla para quitarle dos perlas sin que ella se de cuenta del cambio.

¿Cómo lo hizo?

Algunos conceptos útiles involucrados o referidos en los problemas discutidos

Variables y parámetros

Un parámetro, es una magnitud que en el marco del problema, se considera como constante.

Una variable es una cantidad, Valor u objeto genérico, que puede puede ser sustituido por elementos de cierto conjunto de objetos ( por ejemplo, el conjunto de los números reales). Por lo general, este conjunto esta sobreentendido de algún modo en el problema. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

Incógnita

Una ecuación es :

Triángulo rectángulo

Circunferencia inscrita en un polígono

Catetos

Sistema decimal

Dígito

.

.

.