TCNICO LABORAL EN ELECTRICIDAD ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 1 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDAD: NMEROS RACIONALES TIEMPO: 6 Horas

ACTIVIDADES: OPERACIONES BSICAS CON NMEROS FRACCIONARIOS OPERACIONES BSICAS CON NMEROS DECIMALES OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de analizar y resolver todo tipo de ejercicios con los nmeros racionales. 1. NMEROS RACIONALES El conjunto de los nmeros racionales se denota por siguiente: y se define de la manera

a Es de la forma, ; a y b Z . b = 5 1 3 7 , , 2 2 y 2 , en una recta As por ejemplo, la representacin de los nmeros 2 numrica real es:

a Recordemos adems que si, el nmero racional b se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el nmero de partes en que se divide la unidad y se llama denominador y a el nmero de partes que se toman y se llama a numerador. Y teniendo en cuenta que el nmero racional b es un cociente, entonces tenemos que: 5 = 2.5 2 , 1 = 0.5 2 , 3 = 1.5 2 7 = 3.5 2 .

y

1.1. OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOS a c ad + bc bd 1.1.1. SUMA: b + d = 3 8 15 + 56 Ej. 7 + 5 = 35 71 = 35 a c ad bc bd 1.1.2. RESTA: b - d = 9 2 27 8 Ej. 4 3 = 12 19 = 12 a c ac 1.1.3. MULTIPLICACIN: b d = b d 5 7 35 Ej. 6 9 = 54 a c ad 1.1.4. DIVISIN: b d = b c 8 6 56 Ej. 5 7 = 30 28 = 15 que es el resultado de simplificar por 2. a b ( a c) + b c = c

1.2. NMEROS MIXTOS: 3 7 31 8 = 8

Ej.

Para convertir un mixto, hay que

nmero fraccionario en un nmero hacer una divisin.

37 Ej. 8 37 5 numerador Entonces, 37 5 4 8 = 8

8 denominador 4 parte entera

1.3. OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES 1.3.1 SUMA: Se deben colocar los sumandos uno debajo del otro de tal manera que las unidades, dcimas, centsimas, etc. de uno de los sumandos queden formando columna con las del otro sumando. Ej. 25,23 +19,718 25,18 + 19,718 44,898 Entonces, 25,23 +19,718 = 44,898 1.3.2. RESTA: Se coloca el sustraendo debajo del minuendo de tal manera que las unidades queden debajo de las unidades, las dcimas debajo de las dcimas, etc. y se restan como si fueran nmeros enteros. Si el minuendo no tiene igual nmero de cifras decimales que el sustraendo, se agregan ceros al minuendo hasta igualar el nmero de cifras decimales. Ej. 5,14 3,568 5,140 3,568 1,572 1.3.3. MULTIPLICACIN: Se multiplican como si fueran nmeros enteros y luego se separan en el producto, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como haya en los dos factores. Ej. 45,3 8,29 45,3 8,29_____________

4077 906 3624_______________

375,537 Entonces, 45,3 8,29 = 375,537 1.3.4. DIVISIN: Se multiplica tanto el dividendo, como el divisor por la potencia mayor de diez, para convertir ambos decimales en nmeros enteros y se divide normalmente. Ej. 36,4 6,25 36,4 10 = 364 6,25 100 = 625 como se debe multiplicar por entonces 36,4 100 = 3640 la divisin queda: 1500 2500 0 Ejercicios 5 4 1. 9 + 6 = 2 7 2. 15 + 3 = 6 8 9 3. 14 + 21 + 6 = 14 11 4. 8 5 = 8 12 5. 22 11 = 15 2 5 6. 9 21 49 = la mayor potencia,

3640 5150

625 5,824

18 8 7. 7 27 = 42 22 8. 12 14 = 9 63 9. 8 2 = 1 4 10. 3 6 = 11. 0,63 + 9,072 = 12. 10,03 + 5,008 = 13. 8,435 3,998 = 14. 100,1 90,9098 = 15. 325,42 1,4 = 16. 23,8 3,28 = 17. 0,035 0,7 = 18. 215,88 14 =

TCNICO LABORAL EN ELECTRICIDAD ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 2 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDADES: REGLA DE TRES SIMPLE UNIDADES DE MEDIDA TIEMPO: 2 Horas TIEMPO: 4 Horas

ACTIVIDADES: OPERACIONES CON PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJES OPERACIONES CON UNIDADES DE MEDIDA OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa y realizar todo tipo de conversiones de las unidades de medida. 2.1. REGLA DE TRES SIMPLE En la vida diaria se presentan situaciones en las que se relacionan dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Estos problemas se conocen como problemas de regla de tres simple directa o inversa porque en ellos aparecen tres datos conocidos y uno que no se conoce. Este cuarto dato que debe calcularse se representa con una letra, generalmente la letra X, a la que llamamos incgnita. 2.1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Sean a, b y c nmeros cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incgnita, entonces,

I a c

II b ,o, X

I a c

II b X

si las dos magnitudes aumentan o las dos magnitudes disminuyen, entonces la regla de tres simple es directa y se relacionan en diagonales (como se muestra en la ilustracin anterior), y la incgnita se calcula: X = bc , a

donde, el nmero que est relacionado con la incgnita (X) va en el denominador y los otros dos nmeros se multiplican en el numerador.

Ej. Un tcnico recibe $ 198000 por reparar 4 computadores. Cunto ganar el tcnico si repara 6 computadores? Computadores 4 6 entonces, X = 6 198000 = 297000 4 Valor ($) 198000 X

R/. El tcnico recibe $ 297000 por reparar los 6 computadores. 2.1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Sean a, b y c nmeros cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incgnita , entonces, I a c II b ,o, X c X si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud disminuye o la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud aumenta, entonces la regla de tres simple es inversa y se relacionan en lnea (como se muestra en la ilustracin anterior), y la incgnita se calcula: I a II b

X =

ab , c

donde, el nmero que est relacionado con la incgnita (X) va en el denominador y los otros dos nmeros se multiplican en el numerador. Ej. 20 obreros tardan 6 das en realizar un trabajo. Cunto tiempo tardar 8 obreros igualmente hbiles? Obreros (das) 20 8 6 X Tiempo

entonces, X = 20 6 = 15 8

R/. 8 obreros tardan en realizar el trabajo en 15 das. Ejercicios 1. Por 5 turnos nocturnos un empleado recibi $ 112500. Cunto dinero recibir por trabajar 9 turnos nocturnos? 2. Juan dispone de dinero para comprar 4 repuestos electrnicos que cuesta $ 3600 cada uno. Pero al llegar al almacn los encuentra en promocin cada repuesto a $ 2400. Cuntos repuestos puede comprar Juan con el mismo dinero? 3. Cunto dinero recibir Ins por 15 das de trabajo si gana $ 300000 por 9 das? 4. A una velocidad promedio de 80 Km/h, Pedro gast 3horas en hacer un viaje. Cunto tiempo emplear si la velocidad es de 60 Km/h en promedio? 5. Si para empacar 360 frascos de aceite se necesitan 15 cajas de cartn. Cuntas cajas se necesitan para empacar 480 frascos iguales? 6. Por un lote avaluado en $ 2500000 se pagan $ 150000 de impuesto predial. Cul ser el impuesto que deba pagar un lote avaluado en $ 30000000 situado en el mismo sector urbano? 7. Los alumnos de un curso han recolectado dinero para realizar una excursin de 8 das y con la suma recolectada pueden viajar 20 estudiantes. Si la excursin disminuye a slo 5 das, cuntos estudiantes pueden ir con el mismo dinero?

8. Carlos demora 45 minutos para ir hasta la escuela ms cercana a la casa, viajando en la bicicleta a 28 Km/h. Cunto tiempo demorar si viaja en el bus que viaja a 60 Km/h en promedio? 9. Un camin transporta 12 toneladas de cemento en 5 viajes. Cuntos viajes deber realizar para transportar 60 toneladas? 10. Para confeccionar un vestido de 2 piezas, se necesita 2.20 metros de pao de 1.50 de ancho. Cuntos metros deber comprar si el pao que encontr solo tiene 1.10 metros de ancho?

2.1.3. PORCENTAJE El resultado de calcular un tanto por ciento de un nmero se llama porcentaje. Por ejemplo el 35 por ciento se representa de la siguiente manera: 35%. Adems se puede representar como: 35% = 35 = 0.35 100

Una forma de calcular un porcentaje es por medio de una regla de tres simple directa. Ej. Hallar el 35 % de $ 250000. Capital $ 250000 X entonces, X = 250000 35 = 87500 100 Porcentaje (%) 100 35

R/. El 35% de $ 250000 es $ 87500. Otra forma de calcular el ejemplo anterior es utilizando la equivalencia decimal del porcentaje, entonces

$ 250000 0.35 = $ 87500 Sabiendo que un tanto por ciento se puede calcular por medio de una regla de tres simple directa, entonces en un problema tambin se puede encontrar el porcentaje. Ej. En una empresa hay 880 empleados de los cuales slo 44 son mujeres.Qu tanto por ciento de los empleados representa las mujeres? Empleados 880 44 entonces, X = Porcentaje (%) 100 X 44 100 =5 880

R/. El 5 % de los empleados son mujeres. Y por ltimo se puede calcular el nmero del cual se conoce el porcentaje. Ej. Por la compra de un electrodomstico, Carmen recibi una rebaja de $ 6240 que corresponde al 12% del precio inicial del electrodomstico. Cul era el precio inicial? Capital X 6240 entonces, X = 6240 100 = 52000 12 Porcentaje (%) 100 12

R/. El precio inicial del electrodomstico era de $ 52000. Ejercicios 1. Un vendedor recibe una comisin del 5% sobre las ventas que realiza. Cunto dinero recibir despus de vender $ 8500000? 2. Qu tanto por ciento de rebaja recibi Mario si por comprar drogas facturadas en $ 14200 pag $ 13845? 3. Jorge gana mensualmente un sueldo de $ 385000. Adems recibe el 5% de su sueldo bsico como subsidio de transporte y 8% por antigedad. A cunto asciende su

sueldo mensual? 4. Suponiendo que la poblacin de Bogot es de 6000000 de habitantes aproximadamente y solo 1800000 tiene casa propia. a. Qu tanto por ciento de los habitantes tienen casa propia? b. Qu tanto por ciento no tiene casa propia? 5. En una carpintera se fabrica asientos a un costo de $ 21800. Si le gana el 30% sobre el costo al venderlos. a. Cunto gana por cada asiento? b. Cul es el precio de venta de cada asiento? 6. En la seccin A de una fbrica salieron 7 empleados de vacaciones que representan el 10% del total, y en la seccin B sali un 7% que corresponden a 14 empleados. Cuntos empleados hay en cada seccin?Cuntos empleados hay en las dos secciones?

2.2. UNIDADES DE MEDIDA Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud fsica. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrn o de una composicin de otras unidades definidas previamente. Cada unidad tiene un smbolo asociado a ella, el cual se ubica a la derecha de un factor que expresa cuntas veces dicha cantidad se encuentra representada. Es comn referirse a un mltiplo o submltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un sufijo delante del smbolo que la identifica. En esta unidad es motivo de estudio las unidades de medida de tensin, corriente y resistencia y es necesario tener en cuenta que: La tensin es la fuerza que impulsa a la corriente. La corriente es lo que se mueve o desplaza. La resistencia es lo que se opone o limita el paso de la corriente. En la siguiente tabla se resume cada magnitud con su respectivo smbolo, unidad e instrumento. Magnitud Smbolo Unidad Smbolo Instrumento Smbolo Tensin E

Voltio V Voltmetro

Corriente I Amperio A Ampermetro

Resistencia R Ohmio Ohmetro

Tabla de los mltiplos y submltiplos de las unidades. Mltiplos Submltiplos Smbolo Nombre Smbolo Nombre D Deca d deci H Hecto c centi K Kilo m mili

M Mega micro G Giga n nano T Tera p pico P Peta f femto E Exa a atto Z Zetta z zepto Y Yotta y yocto

Notemos que cada mltiplo se escribe con letra mayscula y cada submltiplo con letra minscula. En la siguiente tabla esta cada uno de los mltiplos y submltiplos con sus respectivas equivalencias.

10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1

Mltiplos Y 1024 Z 1021 E 1018 P 1015 T 1012 G 109 M 106 K 103 H 102 D 10 V, A,

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

d

cm

n p f a z y

10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Submltiplos Con los valores anteriores se puede realizar las conversiones que se requieran. Ej. Convertir 9 GV a fV. Para realizar esta conversin se puede hacer de las siguientes formas: 1 forma: Con una regla tres simple directa. 1 Paso GV 1 9 X V 109

entonces, X = 9 109 1

X = 9 109 V 2 Paso V 1 9 109 X fV 1015

entonces, X = 9 109 1015 1 X = 9 1024 fV 2 forma: Por medio de la notacin cientfica. 9 GV 109V 1015fV = 9 1024 fV 1 GV 1V Ejercicios Realizar las siguientes conversiones: 1. 15 A a TA 2. 0.42 G a z 3. 100 TV a PV 4. 18.5 aA a zA 5. 25 H a

6. 80000 pV a V 7. 62.3 YA a yA 8. 0.02 Z a z 9. 105 cV a DV 10. 10-10 EA a nA

TCNICO LABORAL EN ELECTRICIDAD ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 3 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDAD: EXPRESIONES ALGEBRAICAS TIEMPO: 8 Horas

ACTIVIDADES: OPERACIONES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCGNITAS PROBLEMAS DE APLICACIN OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de analizar y resolver ecuaciones e inecuaciones y sus problemas de aplicacin. 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS El algebra es un conjunto de procedimientos que permiten resolver problemas fciles y complicados con el menor esfuerzo y el mximo rendimiento. Con el algebra apareci la notacin literal, es decir la representacin de las magnitudes y sus clculos con letras a las que se les puede atribuir cualquier valor. 3.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA Ecuacin es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas y que slo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas. Las incgnitas se representan generalmente por las ltimas letras del alfabeto: x, y, z. As, 3X + 2 = 14 es una ecuacin, porque es una igualdad en la que hay una incgnita (X) y esta igualdad slo se verifica, o sea que slo es verdadera, para el valor X = 4. En efecto, si sustituimos la X por 4, tenemos: 3(4) + 2 = 14 12 + 2 = 14 14 = 14 Si a X le damos un valor diferente de 4, entonces la igualdad no se cumple. Para resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita, hay que seguir las siguientes reglas: 1. Se efectan las operaciones indicadas, si las hay. 2. Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los trminos

que contengan la incgnita y al otro lado de la igualdad todas las cantidades conocidas. 3. Se reducen trminos semejantes a ambos lados de la igualdad. 4. Se despeja la incgnita.

Ej. Resolver la ecuacin 9X 5 = X + 11 9X X = 11 + 5 8X = 16 X = 16 8 X= 2 Ejercicios

9X 5 = X + 9 + 2 ; ; ; ; por regla (1) por regla (2) por regla (3) por regla (4)

Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 5X = 8X 15 2. 4X + 1 = 2 3. Y 5 = 3Y 25 6X 4 =7 2 4. 9X + 2 =4 5 5. 5 X 4 3X + 6 = 3 8 6. 7 = 30 7. 9 + X 3 6 8. 15 = X 9. 14 12X + 39X 18X = 256 60X 657X 10. X (2X + 1) = 8 (3X +3) 3.2. PROBLEMAS DE APLICACIN

El enunciado de un problema puede ser traducido a un lenguaje matemtico dando en lugar a una ecuacin de primer grado con una variable. Para resolver un problema de aplicacin hay que plantearlo de la siguiente manera: 1. Nombrar con la variable (X), alguno de los elementos que intervienen en el problema o al eje de toda la condicin. 2. Hacer cumplir la condicin o condiciones de los dems elementos del problema, teniendo en cuenta a quien nombramos con la variable(X). 3. Plantear y resolver la ecuacin. Ej.1. Una camisa y un saco cuestan $60,000. El saco cuesta cuatro veces el valor de la camisa. Cunto cuesta cada artculo? X: Precio de la camisa 4X: Precio del saco X + 4X = $60,000 5X = 60,000 X = 60,000 5 X = $12,000 Como, a la camisa la nombramos X, entonces cuesta $12,000. Y el saco es 4X, entonces el saco cuesta 4($12,000) = $48,000. Comprobacin: Precio de la camisa: $12,000 Precio del saco: $48,000 $60,000 Ej.2. Carlos y Andrs tienen 180 estampillas de coleccin. Andrs tiene 20 estampillas ms que Carlos. Cuntas estampillas tienen cada uno? X: Nmero de estampillas de Carlos X + 20: Nmero de estampillas de Andrs X + X + 20 = 180 2X + 20 =180 2X = 180 20 2X = 160 X = 160 2 X = 80 Como, a Carlos lo nombramos X, entonces tiene 80 estampillas y Andrs tiene X + 20, entonces 80 + 20 = 100 estampillas. Comprobacin: Nmero de estampillas de Carlos: 80 Nmero de estampillas de Andrs: 100 180 estampillas. Ej.3. En unas elecciones participan tres candidatos. El primero obtiene 30,000 votos

ms que el segundo y 40,000 menos que el tercero; si el total de votos fue de 130,000. Cuntos votos obtuvo cada uno? X: Nmero de votos del primer candidato X 30,000: Nmero de votos del segundo candidato X + 40,000: Nmero de votos del tercer candidato X + X 30,000 + X + 40,000 = 130,000 3X + 10,000 = 130,000 3X = 130,000 10,000 3X = 120,000 X = 120,000 3 X = 40,000 Como al primer candidato lo nombramos X, entonces tiene 40,000 votos, el segundo candidato 10,000 votos y el tercero 80,000 votos. Comprobacin: Nmero de votos del primer candidato: 40,000 Nmero de votos del segundo candidato: 10,000 Nmero de votos del tercer candidato: 80,000 130,000 votos. Ejercicios Resolver los siguientes problemas: 1. La suma de las edades de dos hermanos es de 84 aos. Si el menor tiene 8 aos menos que el mayor. Cul es la edad de cada uno? 2. Pagu $87,000 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero cost $5,000 ms que el libro y $20,000 menos que el traje. Cunto pagu por cada cosa? 3. La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 156. Hallar los nmeros. 4. A tiene 14 aos menos que B y ambas edades suman 56 aos.Qu edad tiene cada uno? 5. La suma de tres nmeros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los nmeros. 6. Tres canastos contienen 575 manzanas. El primer canasto tiene 10 manzanas ms que el segundo y 15 ms que el tercero.Cuntas manzanas hay en cada canasto? 7. La suma de las edades de tres hermanos es de 45 aos, si se llevan entre s de a cinco aos. Cules son sus edades? 8. En una fbrica el nmero de hombres es el triple del nmero de mujeres. Cuntas

mujeres hay si laboran 27 hombres? 9. Un tercio de los alumnos de una clase son hombres y las mujeres son 24. Cuntos alumnos hay en la clase? 10. El ancho de un lote tiene tres metros menos que lo que tiene de largo. Calcular las dimensiones del lote si se sabe que su permetro es igual a 42 metros y tiene forma rectangular. 11. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. Cuntas habitaciones hay en cada piso? 12. Repartir 140 dlares entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C. 13. La edad de Mara es el triple de la de Rosa ms quince aos y ambas edades suman 59 aos. Hallar ambas edades. 14. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. 15. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan es el triple de la de Enrique y la de lvaro el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 aos. Qu edad tiene cada uno? 3.3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES O INCGNITAS Se llama ecuacin con dos variables o incgnitas a toda proposicin algebraica abierta que contiene dos elementos desconocidos (dos incgnitas). Ecuaciones simultneas es cuando dos o ms proposiciones son verdaderas para los mismos valores de las variables (incgnitas). Como las ecuaciones se vuelven verdaderas para los mismos valores de las variables se dice que las ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultneas. Ejemplo. 2X + 3Y = 13 4X Y = 5 Es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas y cuya solucin del sistema anterior es X = 2 y Y = 3. Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solucin y es imposible o incompatible cuando no tiene solucin. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solucin e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, existe varios mtodos: el mtodo de sustitucin, mtodo de igualacin y el mtodo de reduccin.

3.3.1. Mtodo de Sustitucin Para solucionar el sistema de ecuaciones, debemos realizar los siguientes pasos: 1. Se halla el valor de una de las variables en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye en la segunda ecuacin el valor encontrado en la primera ecuacin y se resuelve la ecuacin obtenida con esa sustitucin. 3. Se sustituye ese nuevo valor en la ecuacin y se halla el valor de la segunda variable. A continuacin se ilustrar la solucin de este mtodo. Ej. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultneas: 2X + 3Y = 13 4X Y = 5 (1) (2)

1. Se despeja a X de la ecuacin (1) 2X + 3Y = 13 2X = 13 3Y X = 13 3Y (3) 2 2. Se sustituye o se reemplaza la ecuacin (3) en la ecuacin (2) 4 13 3Y - Y = 5 2 52 12Y - Y = 5 2 52 12Y 2Y = 5 2 52 14Y = 5 2 52 14Y = 5(2) 52 14Y = 10 14Y = 10 52 14Y = 42 Y = 42 14 Y=3 (4) 3. Se sustituye o se reemplaza la ecuacin (4) en la ecuacin (1) 2X + 3(3) = 13 2X + 9 = 13 2X = 13 9 2X = 4 X=4 2 X=2 Entonces el conjunto solucin (Cs) es: Cs = (2 , 3). 3.3.2. Mtodo de Igualacin

Para solucionar el sistema de ecuaciones, debemos realizar los siguientes pasos: 1. Se despeja a una variable de la primera ecuacin. 2. Se despeja la misma variable en la segunda ecuacin. 3. Se igualan las dos ecuaciones despejadas. 4. Se calcula el valor de la incgnita que queda en la ecuacin. 5. Se calcula el valor de la otra incgnita usando cualquiera de las expresiones del paso 1 o 2.

Ej. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultneas: 2X + 3Y = 13 4X Y = 5 (1) (2)

1. Se despeja a X de la ecuacin (1) 2X + 3Y = 13 2X = 13 3Y X = 13 3Y (3) 2 2. Se despeja a X de la ecuacin (2) 4X Y = 5 4X = 5 + Y X=5+Y (4) 4 3. Se iguala la ecuacin (3) con la ecuacin (4) 13 3Y = 5 + Y 2 4 4(13 3Y) = 2(5 + Y) 52 12Y = 10 + 2Y 12Y 2Y = 10 52 14Y = 42 Y = 42 14 Y=3 (5) 4. Se sustituye o se reemplaza la ecuacin (5) en la ecuacin (3) X = 13 3(3) 2 X = 13 9 2 X=4 2 X=2 Entonces, Cs = (2 , 3). 3.3.3. Mtodo de Reduccin Para solucionar el sistema de ecuaciones, debemos realizar los siguientes pasos: 1. Se igualan los coeficientes de una de las variables de las dos ecuaciones.

2. Los signos de estos coeficientes deben ser opuestos y sino es as, entonces alguna de las dos ecuaciones se multiplica por menos uno (1). 3. Se suman las dos ecuaciones y se calcula el valor de la incgnita que queda en la ecuacin. 4. Se halla el valor de la segunda variable en la ecuacin (1) o (2). Ej. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultneas: 2X + 3Y = 13 (1) 4X Y = 5 (2) 1. Se igualan los coeficientes de la variable X en las dos ecuaciones 2X + 3Y = 13 Se multiplica por 2 4X Y = 5 Se multiplica por 1 Entonces las ecuaciones nos queda: 4X + 6Y = 26 4X Y = 5 2. Multiplicamos por (1) a la ecuacin (2) 4X Y = 5 Se multiplica por 1 Entonces, 4X + Y = 5 3. Sumamos las ecuaciones que tienen los mismos coeficientes pero con signos contrarios 4X + 6Y = 26 + 4X + Y = 5 7Y = 21 Y = 21 7 Y=3 (3) 4. Se sustituye o se reemplaza la ecuacin (3) en la ecuacin (1) 2X + 3(3) = 13 2X + 9 = 13 2X = 13 9 2X = 4 X=4 2 X=2 Entonces, Cs = (2 , 3). Ejercicios Resolver los siguientes sistemas: 1. 6X 5Y = 9 4X + 3Y = 13 R/ Cs = (1 , 3) 2. 7X 15Y = 1 X 6Y = 8 3. 5X 2Y = 13 X + 3Y = 6 R/ Cs = (2 , 1) R/ Cs = (3 , 1)

4. 18X + 5Y = 11 12X + 11Y = 31 5. 3 X + Y = 11 2 X+Y=7 2

R/ Cs = (2 , 5)

R/ Cs = (6 , 2)