Universidad Cátolica del Maule ICI-423, 2010Facultad de Ingeníeria Semana del 21-24 de Septiembre

Guía No1, Ejercicios

1. Convertir los siguientes problemas a forma estándar:

a)

8>><>>:min Z = x+ 2y + 3zs:a 2 � x+ y � 3

4 � x+ z � 5x; y; z � 0

b)

8<:min Z = x+ y + zs:a x+ 2y + 3z = 10

x � 1; y � 2; z � 1

2. Un fabricante desea producir una aleación cuya composición, por peso, es 30% demetal A y 70% de metal B: Se dispone de cinco aleaciones a los precios que se indicana continuación:

Aleación 1 2 3 4 5% A 10 25 50 75 95% B 90 75 50 25 5

Precio/lb $5 $4 $3 $2 $1.5

La aleación deseada se conseguirá combinando algunas de las otras aleaciones. Elfabricante desea hallar las cantidades de las distintas aleaciones necesarias y determinarla combinación más barata. Modele este problema como un problema de programaciónlineal (P.P.L)

3. Una re�nería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo bruto: crudo ligero, que cuesta35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares por barril. A partir del crudo,la re�nería produce gasolina y combustibles para calefacción y para turbinas en lascantidades por barril indicadas a continuación:

CombustibleGasolina Calefacción Turbinas

Crudo ligero 0.3 0.2 0.3Crudo pesado 0.3 0.4 0.2

La re�nería ha contratado una provisión de 900000 barriles de gasolina, 800000 barrilesde combustible para calefacción y 500000 barriles de combustible para turbinas. Lare�nería desea calcular las cantidades de crudo ligero y pesado que tiene que comprarpara poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. Modele este problema como unP.P.L.

4. Un pequeño negocio se especializa en producir cinco tipos de repuestos de automóvil.Se moldea cada repuesto en hierro fundido, y después se envía al taller de acabado,donde se hacen los ori�cios, se tornean las super�cies y se pulen los bordes. las horasde trabajo necesarias (por unidades) por repuesto en los dos talleres son:

Repuesto 1 2 3 4 5Fundido 2 1 3 3 1Acabado 3 2 2 1 1

1

Las ganancias por los repuestos son 30, 20, 40 , 25 y 10 dólares (por unidades),respectivamente. Las capacidades de los talleres de fundido y acabado en el messiguiente son 700 y 1000 horas/obrero, respectivamente. Formulé el P.P.L quedetermine las cantidades a fabricar de cada repuesto durante el mes a �n de máximizarela ganancia.

5. Convierta el siguiente problema a su forma estándar y resuelva:8>><>>:max Z = x+ 4y + zs:a 2x� 2y + z = 4

x� z = 1y; z � 0

6. Una gran compañia textil tiene dos plantas de producción, dos orígenes de materiasprimas y tres centros de venta. El costo de transporte entre los orígenes y las plantasy entre las plantas y los mercados es:

Planta PlantaA B

Origen 1 $1/ton $1.5/tonOrigen 2 $2/ton $1.5/ton

Mercado1 2 3

Planta A $4/ton $2/ton $1/tonPlanta B $3/ton $4/ton $2/ton

Se dispone de 10 toneladas del origen 1 y de 15 toneladas del origen 2. Los trescentros de ventas necesitan 8 toneladas, 14 toneladas y 3 toneladas. La capacidad deprocesamiento de las plantas es ilimitada.

(a) Formulé el problema de encontrar la forma de envío de los orígenes a las plantasy a los mercados que minimice el costo total de transporte.

(b) Reduzca el problema a un solo problema en forma estándar de transporte con dosorigenes y tres destinos (Ayuda: Encuentre las trayectorias de costo mínimo delos origenes a los mercados)

(c) Suponiendo que la capacidad de procesamiento de la planta A es de 8 toneladas yla planta B es de 7 toneladas. Muestre como reducir el problema a dos problemasestándar de transporte distintos

7. Analice la situación de P.P.L que tiene una o más columnas de la matriz A iguales acero. Considerando los casos donde se necesita que las variables correspondientes seanno negativas y también donde algunas sean libres.

8. Suponga que la matriz A = (a1; a2; :::; an) con ai las columnas de A, tiene rango my que para una p < m; a1; a2; :::; ap son linealmente independientes. Pruebe que sepueden añadir m � p vectores de los restantes n � p para formar un conjunto de mvectores linealmente independientes.

9. Suponga que x es una solución factible del P.P.L (7), siendo A una matriz de m � nde rango m. Pruebe que existe una solución factible y tal que Z = cTx = cTy; y conun máximo de m+ 1 componentes.

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10. Suponga que B es una matriz cuadrada no singular de m�n , y sea T la tabla simplexasociada que se va a construir, T = [I; B] ; donde I es matriz identidad de m � m.Suponga que las operaciones elementales que se realizan en T la llevan a la forma[C; I] : Pruebe que C = B�1:

11. Considere los siguientes problemas:

i)

8>><>>:max Z = �x+ ys:a x� y � 2

x+ y � 6x; y � 0

ii)

8>><>>:max Z = x+ ys:a �2x+ y � 1

x� y � 1x; y � 0

(a) Resuelva cada problema por el método simplex.

(b) Haga la representación grá�ca de cada problema en el espacio x; y e indíque elcamino de los pasos del simplex.

12. Considere el siguiente problema:8>>>><>>>>:max Z = 2x1 + 4x2 + x3 + x4s:a x1 + 3x2 + x4 � 4

2x1 + x2 � 3x2 + 4x3 + x4 � 3

xi � 0; i = 1; 2; 3; 4

(a) Resuelva el problema por el método simplex.

(b) ¿Cuánto se pueden cambiar los elementos de b =(4; 3; 3)T sin alterar la baseoptimal?

(c) ¿Cuánto se pueden cambiar los elementos de c =(2; 4; 1; 1)T sin alterar la baseoptimal?

(d) ¿Qué le sucede al costo optimal con pequeños cambios de b?

(e) ¿Qué le sucede al costo optimal con pequeños cambios de c?

13. Considere el siguiente problema:8>>>><>>>>:min Z = x1 � 3x2 � 4

10x3

s:a 3x1 � x2 + 2x3 � 7�2x1 + 4x2 � 12

�4x1 + 3x2 + 3x3 � 14xi � 0; i = 1; 2; 3

(a) Halle la solución optimal de problema.

(b) ¿Cuántas soluciones factibles básicas optimales hay?

14. El método simplex normal incorpora un vector nuevo a la base y elimina otro.Considere la posibilidad de incorporar en cada etapa dos nuevos vectores a la basey eliminar otros dos. Estudie un procedimiento que efectue y opere de esta forma.

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15. Considere los problemas:

i)

8>>>><>>>>:min Z = �3x1 + x2 + 3x3 � x4s:a x1 + 2x2 � x3 + x4 = 0

2x1 � 2x2 + 3x3 � 3x4 = 9x1 � x2 + 2x3 � x4 = 6xi � 0; i = 1; 2; 3; 4

ii)

8>><>>:min Z = x1 + 6x2 � 7x3 + x4 + 5x5s:a 5x1 � 4x2 + 13x3 � 2x4 + x5 = 20

x1 � x2 + 5x3 � x4 + x5 = 8xi � 0; i = 1; 2; 3; 4; 5

y resuelva por el método de dos fases.

16. Resolver el problema (3)

17. Pruebe que en la fase I de un P.P.L que tiene soluciones factibles, si una variablearti�cial se convierte en no básica, nunca más necesitará ser transformada de nuevoen básica. Así, cuando una variable arti�cial se convierte en no básica, su columna sepuede eliminar de tablas posteriores.

18. Resolver los problema (11), (12) y (13) por método simples revisado.

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