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INVESTIGACIÓN OPERATIVA – MANZUR & OLIVERA

GUÍA DE LECTURA Nº3 - 1 -

Guía de Lectura Nº3

Unidad 3Aplicaciones especiales de Programación Lineal. Modelos de redes. Problemas de Transportes y Asignación.

Material de lectura: Libro 1: Capitulo 7 “Problemas de Transporte y Asignación” Pág: 337: Libro: Wayne L. Winston. “Investigación de

Operaciones. Aplicación y Algoritmos.”. Grupo editorial Iberoamericana.

Libro 2: Capítulo 3 “El método Simplex” Pág 71. Libro: Hamdy A. Taha. “Investigación de Operaciones”. Séptima

edición. Editorial Pearson.

DescripciónEn esta unidad abordaremos casos especiales de programación lineal, cada uno de estos problemas pueden resolverse

mediante algoritmo simplex, pero además poseen algoritmos propios que son más efectivos que el algoritmo simplex.

Esta unidad la dividiremos en dos partes, la primera parte estudiará los “Problemas de Transportes” y la segunda parte

los “Problemas de Asignación”

Primera parteEl modelo de Transporte es una clase especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un artículo

desde sus fuentes hasta sus destinos. El objetivo es determinar el programa de transporte que minimice el costo total

del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de oferta y demanda. Existen problemas de maximización que

pueden ser considerados como problemas de Transporte. En este caso, los coeficientes están asociado a los

beneficios unitarios de la variable asociada a la combinación ( ) y el objetivo es maximizar la suma total de los aportes

individuales de las variables. Se mantienen las restricciones de oferta y demanda. Par ver la definición de un Problema

de transporte lea Capítulo 5, Epígrafe 5.1 del libro 2. Pág. 165, y en el Capítulo 7 del libro 1, lea epígrafe 7.1, desde la

Pág. 337 a 334, no es objeto de la unidad analizar el “modelado de problema de inventario como problemas de

transporte”.

Veamos ahora como obtener soluciones básicas factibles iniciales (sbf୧୬୧ୡ୧ୟ୪) para los PL de transporte, de los métodos

que existen solamente analizaremos dos:

El método de la esquina noroeste. (Libro 1 Pág. 352)

El método de los costos mínimos. (Libro 1 Pág. 355)

Una vez obtenida una ݏ por uno de los métodos anteriores, correspondería averiguar si es óptima o no, veamos

como aplicar el método simplex a este tipo de problema. Este tema lo desarrollaremos seguidamente.

Definición de circuito cerrado: Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina circuito cerrado si:

1. Dos celdas consecutivas están en la misma columna o en la misma fila.

2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila.

3. La última celda de la secuencia tiene una fila o columna común con la primera celda de la secuencia.

Las figuras siguientes muestran algunos tipos de circuitos cerrado en dos tablas de transporte:



Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un circuito cerrado, pues

no satisfacen todas las condiciones.

“El Método Simplex del Problema de Transporte”A continuación se expondrán los pasos para aplicar el método Simplex al problema de Transporte.

Paso 1: Si el problema no está balanceado, balancearlo y construir la tabla de transporte.

Paso 2: Encontrar una solución inicial factible por el método de la Esquina Noroeste o Costos Mínimos.

Verificar las െ ͳasignaciones, es decir la cantidad de variables básicas y completarlas si es necesario. Nótese que

el número de asignaciones es exactamente igual a െ ͳ.

Eventualmente, el método puede generar un número inferior de asignaciones. En dicho caso se completa las െ ͳ

asignaciones con ceros. En el caso de que falte sólo una asignación, se puede ubicar un cero en cualquier casilla no

asignada. En el caso que se requiera de dos o más ceros, la asignación no es tan arbitraria.

Paso 3: Plantear y resolver el sistema que se obtiene a través de:

Definir para cada fila de la tabla la variable conݑ (ൌ ͳ ).

Definir para cada columna de la tabla la variable ݒ con (ൌ ͳ).

Plantear para cada casilla asignada la ecuación ݑ ݒ ൌ . Donde es el costo unitario asociado a la casilla

( ǡ )

Asignar un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo ଵݑ = 0.

Paso 4: Calcular en todas las casillas o celdas sin asignación (no básicas) el valor del costo reducido ൌ െ െݑ .ݒ

Si todos los ≥ 0 se ha encontrado el óptimo. Si existe algún < 0, incorporar la variable o celda con menor

siempre.

Ahora ¿Qué valor va a tener esa nueva variable básica? y ¿cuál es la variable básica que sale?

Para ello determinemos un circuito cerrado que contenga a esa celda, luego identificamos las celdas que en el circuito

ocupan una posición impar. (Ver Ejemplo*), y de ellas elegimos la celda de menor valor, la variable básica que se

corresponde con esa celda sale de la base y el valor que ella tenía pasa a ser el valor de la variable básica que entra.

Luego ajustamos los valores restantes del circuito de manera que no se altere la oferta y la demanda de cada fila y

columna. Repita el proceso para verificar si la nueva solución es óptima.

Ejemplo*

Si tenemos el circuito (1,2)-(1,1)-(2,1)-(2,2), las celdas que ocupan una posición impar son: la (1,1) y la (2,2).



Paso 5: Si la solución no es la óptima, volver al Paso 3 y luego al paso 4.

La variable (también llamada costo reducido) representa el aporte neto unitario de la incorporación de la variable o

celda ൫൯a la base. Por lo tanto, si el problema es de maximización, la solución será óptima si todos los < 0. En

caso contrario, se ingresa a la base la variable con mayor que pueda formar un circuito cerrado.

En el caso de que al emplear uno de los métodos para obtener una solución inicial falten dos o más asignaciones para

completar las െ ͳasignaciones requeridas, los ceros deben ser ubicados de tal forma que sea suficiente dar sólo

un valor arbitrario a las variables del sistema asociado a la asignación para poder resolverlo completamente.

Ilustremos el procedimiento resolviendo la tabla planteada para el problema del primer ejemplo del capítulo 7 del libro

1.

En ese caso, mediante la Esquina Noroeste se obtuvo la siguiente solución inicial:

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta

Planta 18 6 10 9

3535

Planta 29 12 13 7

5010 20 20

Planta 314 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30A continuación podemos plantear las variables del sistema asociado:

ଵݒ ଶݒ ଷݒ ସݒ Oferta

ଵݑ8 6 10 9

3535

ଶݑ9 12 13 7

5010 20 20

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Luego, las ecuaciones se plantean en las celdas asignadas:

1. ଵݑ ଵݒ = 8

2. ଶݑ ଵݒ = 9

3. ଶݑ ଶݒ = 12

4. ଶݑ ଷݒ = 13

5. ଷݑ ଷݒ = 16

6. ଷݑ ସݒ = 5

Agregando la condición ଵݑ = 0 se obtiene de la primera ecuación ଵݒ = 8. Luego, de la segunda ecuación ଶݑ = 1. De la

tercera ecuación y de la cuarta ଶݒ = 11 y ଷݒ = 12. Reemplazando en la quinta ecuación se calcula ଷݑ = 4. Finalmente,

de la sexta se obtiene ସݒ = 1.

A continuación se calculan los en las celdas no básicas:

ଵଶ = 6 − 0 − 11 = −5

ଵଷ = 10 − 0 − 12 = −2

ଵସ = 9 − 0 − 1 = 8

ଶସ = 7 − 1 − 1 = 5

ଷଵ = 14 − 4 − 8 = 2

ଷଶ = 9 − 4 − 11 = −6



Por lo tanto, el menor corresponde a ଷଶ con valor−6. Lo que significa que por cada unidad asignada a la variable

ଷଶݔ el efecto global neto es de −6, independientemente de que el costo asociado a dicha casilla sea de 9.

Veamos si existe un circuito cerrado factible.

En este caso el circuito cerrado estaría formado por las celdas (3,2)-(3,3)-(2,3)-(2,2).


ଵݑ8 6 10 9

3535

ଶݑ9 12 13 7

5010 20 20

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

De las celdas que componen el circuito, identificamos las de posición impar (3,3) y (2,2), elegimos la de menor valor

que es (3,3), le otorgamos ese valor a la celda o variable entrante (3,2), la celda (3,3) pasa a ser no básica, y

reajustamos los valores en el circuito de manera que se respete la cantidad de oferta y de demanda en esas filas y

columnas. El proceso sería así:


ଵݑ8 6 10 9

3535

ଶݑ9 12 13 7

5010 20 − 10 20 + 10

ଷݑ14 9 16 5

40+10 10 − 10 30

Demanda 45 20 30 30

Resultando


ଵݑ8 6 10 9

3535

ଶݑ9 12 13 7

5010 10 30

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Ahora verificaremos de vuelta si la solución es la óptima:

1. ଵݑ ଵݒ = 8

2. ଶݑ ଵݒ = 9

3. ଶݑ ଶݒ = 12

4. ଶݑ ଷݒ = 13

5. ଷݑ ଶݒ = 9

6. ଷݑ ସݒ = 5

7. ଵݑ = 0

Las variables no básicas que tienen un < 0 son: ଵଶ = −5, ଶସ = −1 y ଵଷ = −2, elegimos la variable que

corresponde a la celda (1,2) para que entre a la base, por ser la más negativa.

Busquemos un circuito cerrado para esa variable. El cual sería (1,2)-(1,1)-(2,1)-(2,2).




ଵݑ8 6 10 9

3535

ଶݑ9 12 13 7

5010 10 30

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30


que es (2,2), le otorgamos ese valor a la celda o variable entrante (1,2), la celda (2,2)(2,2) pasa a ser no básica, y


columnas. El proceso sería así:


ଵݑ8 6 10 9

3535 − 10 +10

ଶݑ9 12 13 7

5010 + 10 10 − 10 30

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Resultando:


ଵݑ8 6 10 9

3525 10

ଶݑ9 12 13 7

5020 30

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Resolviendo y evaluando los para cada variable no básica, el único < 0 es ଵଷ = −2.

Busquemos un circuito cerrado para esa variable. El cual sería (1,3)-(2,3)-(2,1)-(1,1).


ଵݑ8 6 10 9

3525 10

ଶݑ9 12 13 7

5020 30

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30


que es (1,1), le otorgamos ese valor a la celda o variable entrante (1,3), la celda (1,1) pasa a ser no básica, y


columnas.

El proceso sería así:




ଵݑ8 6 10 9

3525 − 25 10 +25

ଶݑ9 12 13 7

5020 + 25 30 − 25

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Resultando:


ଵݑ8 6 10 9

350 10 25

ଶݑ9 12 13 7

5045 5

ଷݑ14 9 16 5

4010 30

Demanda 45 20 30 30

Ahora verificaremos de vuelta si la solución es la óptima:

1. ଵݑ ଶݒ = 6

2. ଵݑ ଷݒ = 10

3. ଶݑ ଵݒ = 9

4. ଶݑ ଷݒ = 13

5. ଷݑ ଶݒ = 9

6. ଷݑ ସݒ = 5

7. ଵݑ = 0

Resolviendo el sistema, se determina que todos los son positivos, por lo tanto la incorporación de cualquier variable

a la base aumentaría el valor total de la función objetivo. Como el problema es de minimización, se ha alcanzado el

óptimo. Por lo tanto, la tabla anterior es la tabla final:

La solución corresponde exactamente a la entrega con anterioridad. La solución óptima es:

1. ଵଶݔ = 10

2. ଵଷݔ = 25

3. ଶଵݔ = 45

4. ଶଷݔ = 5

5. ଷଶݔ = 10

6. ଷସݔ = 30

7. ଵଵݔ ൌ ଵସݔ ൌ ଶଶݔ ൌ ଶସݔ ൌ ଷଵݔ ൌ ଷଷݔ = 0

El valor de ൌ ൈ ͳͲ ͳͲൈ ͷʹ ͻ ൈ Ͷͷ ͳ͵ ൈ ͷ ͻ ൈ ͳͲ ͷൈ Ͳ͵ൌ ͳͲʹ Ͳ

Segunda parteUn problema de asignación es un Problema de transporte balanceado en el cual las ofertas y todas las demandas son

iguales a 1. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación ൈ mediante el Método Húngaro. La

mejor persona para el puesto es una buena descripción del modelo de asignación de trabajadores de diversos niveles de

capacitación a los puestos. Un puesto que coincide con los conocimientos de un trabajador cuesta menos que uno en el

que el trabajador no es tan hábil. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de

trabajadores a puestos.

Actividad 1: Leer el capítulo 7 epígrafe 7.5 del libro 1, en él se aborda la resolución de los problemas de asignación.

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