Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Resolucion Ejercicios Propuestos Gua 7 - MAT024

Fernando Iturbe Pemjean

1. Desarrollo

1. Sea F = ~G y para que ~n sea normal exterior tendra que ser ~n = (0, 0, 1), entonces: F ~nd =

(3, 5, 2) (0, 0, 1) = 2

dydx

Lo cual es equivalente al area del borde de la superficie S, como es una circunferencia, vienedado por piR2, en este caso R = 3, entonces:

F ~nd = 18pi

2. Para que

F ~nd sea independiente de S, se debe cumplir que la divergencia es igual a cero,es decir ~F , por lo tanto:

~F = 3ax2 3z2 + x2 + 3cz2 = 0

3ax2 + 3cz2 = x2 + 3z2

Por lo tanto: a = 13 , b = 0 y c = 1

3. Por Teorema de Gauss sabemos que: ~F ~nd =

~FdV

Entonces como es una esfera, utilizamos coordenadas cilndricas y queda: ~F ~nd =

20

2pi0

pi0

(Rcos() 2)R2sen()dddR = 64pi3

4. Es la misma que esta resuelta al principio de esta gua (aunque tiene un error de calculo al final)Calculamos la interseccion de las curvas, nos queda una elipse:

36

28x2 +

81

28(y 1

9)2 = 1

Calculamos ~F = (2yz xsen(xy), ysen(xy), 2ysen(xy) + 2), entonces el flujo viene dadopor:

(2yz xsen(xy), ysen(xy), 2ysen(xy) + 2) (0,2, 1)dxdy = 2

dxdy

Lo cual es el area, en este caso de la elipse que obtenemos de la interseccion, recordar que elarea de una elipse viene dado por abpi, entonces:

2

dxdy = 2pi

2

7

6

2

7

9=

28

27pi

(Al parecer en el desarrollo de la gua se le olvido multiplicarlo por el 2)

5. Por Teorema de Gauss sabemos que: ~F ~nd =

~FdV

1

En este caso F = 0, pero recordemos que para utilizar Gauss tenemos que tener una superficiecerrada, por lo tanto le tenemos que agregar la tapa de abajo y la superficie generada por lainterseccion del cilindro y la esfera.

~F ~nd =

~FdV

(x1)2+y2=1~F ~nd

interseccion

~F ~nd

Como debe ser el normal exterior su vector normal sera ~n = (0, 0,1), entonces (como z = 3),parametrizamos respecto a r y :

r(, r) = (r + cos(), rsen(), 3)

Con 0 r 1 y 0 pi (x1)2+y2=1

~F ~nd = 2pi0

10

(1, 3, 1 + 2rsen()) (0, 0,1)drd = pi

Ahora calculamos la de la interseccion de la esfera con el cilindro, parametrizamos el cilindrorespecto a (, z) puesto que R es fijo, R = 1.Con 3 z

4 x2 y2 3 y 0 2pi

~r(, z) = (cos() + 1, sen(), z)

Con lo cual nos queda el vector normal:

~n = (cos(), sen(), 0)

Calculamos la integral: 2pi0

22cos()+33

(1, z, 1 + 2sen()) (cos(), sen(), 0)dzd

Entonces: ~F ~nd = pi

2pi0

22cos()+33

cos() + zsen()dzd

6. Despejamos z en la ecuacion del plano:

z = b bax

Parametrizamos:

~r(r, ) = (rcos(), rsen(), b barcos())

Con lo cual nos queda el vector normal:

~n = (b

ar, 0, r)

Ahora ~F = (2,2,2), entonces: 2pi0

a0 ~F ( b

ar, 0, r)dadr = 2pia(a+ b)

2

7. Notamos que es la superficie entre un cono y una esfera, lo cual genera algo as como un barquillo.La interseccion de las superficies nos queda:

x2 + y2 = R2

La divergencia:

~F = 4x+ 6y + 2zEntonces por Teorema de Gauss:

~FdV =

(4x+ 6y + 2z)dV

Para calcularla utilizamos coordenadas esfericas, con 0 2pi, 0 pi4 y 0 R

2R(que es el radio de la esfera), entonces queda: 2pi

0

pi4

0

2R0

(4Rcos()sen() + 6Rsen()sen() + 2Rcos())R2sen()dRdd = piR4

8. Para utilizar Teorema de Gauss debemos encerrar la superficie agregando la tapa que falta(z = 2).Notamos que F = 0.

~F ~nd =

~FdV

tapaF ~nds = 0

tapa

F ~nds

Entonces tenemos que 1 x 3 y 2 y 3: 32

31

(x, y,4) (0, 0, 1)dxdy = 40

Por lo tanto: ~F ~nd = 40

9. a) Obtenemos la interseccion de ambas superficies, las cuales son un cono y una esfera corridaa en x:

(x a2

)2 + y2 =a2

4

Dejamos z en funcion de x, y y podemos parametrizar. (por completar)

b) Calculamos F = 3z2 Entonces por Teorema de Gauss: 3z2dV

tapa

F ~nd

Para la tapa z = 0, con lo cual

tapa F ~nd = 0 , luego por coordenadas cilndricascalculamos la triple integral: 1

0

2pi0

pi2

03z2dddR =

12pi

20

10.

11.

12.

3

Desarrollo