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5/10/2018 guia2respuestas-2 - slidepdf.com

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GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS

IDENTIFICAR EVENTOS INDEPENDIENTES Y UTILIZAR SUS PROPIEDADES EN LA RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS.

Obj 4 Pta 1

Se quiere surtir una panadería de 8 latas de leche de la marca A, 4 latas de jugo de la marca A, 8 latas de lechede la marca B y x latas de jugo de la marca B. ¿Cuánto debe ser el valor de x para que el tipo de producto y lamarca sean independientes cuando se selecciona un producto al azar?.Solución:

Definamos los siguientes eventosE1 : “El producto seleccionado es leche”.E2 : “El producto seleccionado es jugo”.A : “El producto seleccionado es de marca A”.B : “El producto seleccionado es de marca B”.Tenemos

P(E1) = x+20

16; P(E2) =

x

x

+

+

20

4; P(A) =

x+20

12; P(B) =

x

x

+

+

20

4;

Si los cuatro eventos son independientes entonces, por ejemplo P ( )2

EA = P(A)P(E2), es decir

4x

x20

x4

x20

12

x20

4

=⇒

++

+=

+

Luego, si x = 4 la marca del producto es independiente del tipo de producto que se surtirá. Note que si se trabaja con P( )

1EA , P ( )1EB ó P ( )

2EA en ves de P ( )

2EA , se obtiene el mismo

resultado.

Obj 4 Pta 2.

Un fabricante de lavadores realizó un análisis de un gran número de quejas realizadas por los consumidores ydeterminó que éstas entraban en 6 categorías que se muestran en la siguiente tabla con sus respectivos porcentajes

Razón de la Queja

Eléctrica Mecánica Aspecto Total

Durante el período de

garantía

18% 13% 32% 63%

Después del período de

garantía

12% 22% 3% 37%

Total 30% 35% 35% 100%

Sean A={La causa de la queja es el aspecto del producto},B={La queja se presento durante el lapso de garantía}.

Determine si los eventos A y B son independientes.Solución:

Tenemos que P(A) = 0.35, P(B) = 0.63, P(A∩B)= 0.32 y P(A).P(B) = (0.35)(0.63) = 0.2205. ComoP(A∩B)≠ P(A)P(B) entonces se tiene que los eventos A y B no son independientes.

Obj 4 Pta 3.

Se escoge al azar una carta de un mazo de barajas de póquer. Sean

A = {La carta elegida es un as}.B ={La carta elegida es de diamante}.

Determine si estos eventos son independientes.Recuerde que en un mazo de barajas de poker hay 52 cartas, 13 de las cuales son de diamante y 4 son ases.

1/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSSolución:

Tenemos que

52

1

52

13

13

1)()(,

52

1)(,

52

13)(,

13

1

52

4)( ===∩=== B P A P y B A P B P A P .

Como P(A∩B)=P(A)P(B), entonces A y B son eventos independientes.

Obj 4 Pta 4.

Se lanza un dado balanceado. SeanA ={El resultado es un número par}.B ={El resultado es un número menor o igual que 4}.

Determine si estos eventos son independientes.Solución:

Tenemos que

3

1

3

2

2

1)()(,

3

1

6

2)(,

3

2

6

4)(,

2

1

6

3)( ====∩==== B P A P y B A P B P A P .


Obj 4 Pta 5.En un Instituto de idiomas se realiza un estudio para determinar qué relación existe, entre el hecho de que elestudiante trabaje y su progreso en un curso de ingles. Se determinan el tiempo que dedican a su trabajo 100estudiantes y el nivel que cursan, obteniendo los siguientes resultados:

Nivel

Tiempo de trabajo Inicial Medio Avanzado Total

Nada 10 8 2 20Medio tiempo 15 12 9 36Tiempo completo 14 13 17 44Total 39 33 28 100

Sean MT ={El estudiante trabaja medio tiempo}.NA ={El estudiante cursa el Nivel avanzado}.

Determine si estos eventos son independientes.Solución:

Tenemos que.1008.0)28.0)(36.0()()(,09.0)(,28.0)(,36.0)( ===∩== B P A P y B A P NA P MT P Como

P(A∩B) ≠ P(A)P(B), entonces A y B no son eventos independientes

Obj 4 Pta 8.

Al disparar sobre un blanco aéreo en determinadas condiciones de tiro, se considera que un disparo es efectivocuando el proyectil explota en un punto cuya distancia al punto medio del blanco no exceda 10m en ninguna delas tres direcciones determinada por los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio con el

punto medio del blanco en el origen de dicho sistema. Supongamos que la probabilidad de una desviaciónmayor de 10m viene dada por:

P1 = 0,08 en el eje x P2 = 0,12 en el eje y P3 = 0,1 en el eje z

Si se considera la desviación en la dirección de cada eje como eventos independientes, ¿Cuál es la probabilidadde que un disparo sea efectivo?Solución:

Como las desviaciones en la dirección de cada eje se pueden considerar independientes, luego la probabilidad pedida es:

P = (1-P1).(1-P2).(1-P3) = (0,92).(0,88).(0,9) = 0,72864

2/27




Obj 4 Pta 9

Tres vecinos utilizan la misma línea de autobuses para regresar a su casa a las 18 horas al finalizar su trabajo.Debido a pequeñas demoras imprevistas en la oficina de cada uno, y a las irregularidades inevitables del

servicio, no siempre pueden escoger el mismo autobús de las 18 horas 10 minutos con probabilidad4

1, el de

las 18 horas 15 minutos con probabilidad 2

1

y el de las 18 horas 20 minutos con probabilidad 4

1

. Determinelos eventos del experimento anterior.¿Cuál es la probabilidad de que un día lleguen los tres a su casa en el mismo autobús?Solución: Definamos los siguientes eventos:Ai : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 10 min, ( i =1,2,3)Bi : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 15 min, ( i =1,2,3)Ci : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 20 min, ( i =1,2,3)E: Los tres vecinos coincidieron en un mismo autobús

En estas condiciones se verifican:E = (A1 A2 A3) U (B1 B2 B3) U (C1 C2 C3)Por la independencia de los eventos interceptados se tiene:

P(E) = 15,064

10

4

1

2

1

4

1333

==++

Lo cual quiere decir que, aproximadamente, el 15% de los días llegarán los tres vecinos a su casa en el mismoautobús.

Obj 4 Pta 10

Un disparo consiste en tres componentes independientes X, Y, Z.

El dispositivo se considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son. La probabilidad de que X seadefectuoso es 0,01, de que Y sea defectuoso es 0,02 y de que Z sea defectuoso es 0,10. Determine:

a) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso. b) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido sólo a una falla del componente Z.

Solución: Definimos a:P(X) = La probabilidad de que X no sea defectuosoP( X ) = La probabilidad de que X sea defectuosoP(Y) = La probabilidad de que Y no sea defectuosoP(Y ) = La probabilidad de que Y sea defectuosoP(Z) = La probabilidad de que Z no sea defectuosoP( Z ) = La probabilidad de que Z sea defectuoso

Donde,P( X ) = 0,01 ⇒ P(X) = 1 ─ P( X ) =0,99P(Y ) = 0,02 ⇒ P(y) = 1 ─ P(Y ) =0,98P( Z ) = 0,10 ⇒ P(X) = 1 ─ P( Z ) =0,90

El evento, Z Y X : El dispositivo esta bueno.Y su complemento Z Y X : El dispositivo esta defectuoso. Determinan las partes:

a) )().().(1)(1)( Z P Y P X P Z Y X P Z Y X P −=−=

b) )().().()( Z P Y P X P Z Y X P =

Obj 4 Pta 11

3/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSLa urna X contiene 6 bolitas blancas y 4 negras y la urna Y contiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se extraeuna bolita de cada una de las urnas. Determine entonces La probabilidad de que ambas bolitas sean del mismocolor Solución: Sean:B1: bolita blanca extraída de la urna XB2: bolita blanca extraída de la urna Y

N1: bolita negra extraída de la urna X N2: bolita negra extraída de la urna Y

Pero como:P(B2 | B1)=P(B2) y P(N2 | N1)=P(N2), resulta que:

P(B1∩ B2) = P(B1).P(B2) y P(N1∩ N2) = P(N1).P(N2)Por lo tanto:

P(mismo color) = P(ambas blancas) + P(ambas negras)Así:

P[(B1 ∩ B2) U (N2 ∩ N1)] = P(B1 ∩ B2) + P(N1 ∩ N2)= P(B1).P(B2) + P(N1).P(N2)

= 100

46

Obj 4 Pta 12

Se extraen cinco cartas de una baraja española de 52 cartas en forma sucesiva y sin restricción. Determine:a) La probabilidad de que no haya ningún as entre las cinco cartas.

b) La probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes.c) La probabilidad de que solo las tres primeras cartas sean ases.d) La probabilidad de que aparezca un as sólo en la quinta extracción.

Nota: Hay cuatro as y cuatro reyes en las barajas españolas.Solución:

a) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartasP( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas

4/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSLa probabilidad de que NO haya ningún as entre las cinco cartas es:

P( ).().().().().() 5432154321 A P A P A P A P A P A A A A A =

311875200

205476480=

b) Designemos por:P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las tres primeras cartas

P(R)= La probabilidad de obtener un reySean los eventos:R 1: La antepenúltima carta es reyR 2: La última carta es reyLa probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes es:

311875200

288

48

3.

49

4.

50

2.

51

3.

52

4)().().().().()(

2132121321=== R P R P A P A P A P R R A A A P

c) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartasP( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas

La probabilidad de que sólo las tres primeras cartas sean ases es:

311875200

54144

48

47.

49

48.

50

2.

51

3.

52

4)().().().().()( 2132121321 === A P A P A P A P A P A A A A A P

d) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartasP( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas

La probabilidad de que aparezca un as en la quinta extracción es:

48

4.

49

45.

50

46.

51

47.

52

48)().().().().()(

5432154321 == A P A P A P A P A P A A A A A P

311875200

18679680=

Obj 4 Pta 13

Suponga que A y B son sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o Bocurran es igual a 0,6, mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0,4, determinar la probabilidadde que B ocurra.Solución:

3,0)( = B P

Obj 4 Pta 13Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento. Supóngase que P(A)=0,4, mientras que P(A U B)= 0,7.Sea P(B) = p.a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyente?

b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes?Solución: a) Por ser A y B son mutuamente excluyentes p = 0,7 ─ 0,4 ⇒ p = 0,3

b)A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Por lo tanto,

)().()()()()()()()( B P A P B P A P B A P B A P B P A P B A P −+=⇒−+=

(1)

Ahora, sustituyendo en (1) se tiene:

5/27




5,06,0

3,0 p

p).4,0( p4,07,0

)B(P).A(P)B(P)A(P)BA(P

==⇒

−+=

−+=

Por lo tanto, para que A y B sean independientes la elección para p es: p = 0,5

Obj 4 Pta 14

Sean A, B eventos independientes de un espacio muestral X. Muestre que son independientes los eventos:a) A y B

b) A y B

Solución: a) [ ] [ ] )().()(.)(1)(.)|(1)().|()( B P A P B P A P B P B A P B P B A P B A P =−=−==

Obj 4 Pta 15

Si las probabilidades para que las personas que tienen 45 y 53 vivan por lo menos otros 20 años son 0,66 y0,47 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas estén vivos todavía dentro de 20 años?

¿Cuáles hipótesis hay que formular?¿Es esto razonable?Solución: Tenemos que aceptar que los eventos:E1: La primera persona viva otros 20 años yE2: La segunda persona viva otros 20 años, son independientes. Es imposible decir si esta hipótesis es o norazonable, sin embargo, si lo es que la probabilidad de que ambas personas vivan 20 años, entonces valdría:(0,66).(0,47)=0,31

Obj 4 Pta 16

Un complejo industrial está constituido por tres maquinas A, B y C, cuyas probabilidades de falla (eventos

independientes) son 0,05; 0,03 y 0,01 respectivamente. El sistema falla si una, por lo menos, de las tresmáquinas falla. Determinar la probabilidad de falla del sistemaSolución: la probabilidad de que el sistema no falle es 0,088

Obj 4 Pta 17

Las probabilidades de que tres hombres que disparan a un objetivo, den en el blanco son

3

1y

4

1 ,

6

1respectivamente

Cada uno de los hombres dispara una vez al objetivo.

a) Hallar la probabilidad de que uno de ellos acierte el blanco. b) Si solamente uno de ellos acierta el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el primer hombre?.Solución:

Sean A, B y C los eventos el 1er hombre, 2do hombre y el 3er hombre acierta el blanco respectivamente.

Sabemos P(A) =6

1; P(B) =

4

1; P(C) =

3

1. Como los tres hombres disparan independientemente entre si y

6

5)A(P = ;

4

3)B(P = y

3

2)C(P = .

Tenemos:a) Sea el evento E: uno de los hombres acierta el blanco; entonces

E = ( ( ( CBACBACBA

es decir, si solamente uno de los hombres da en el blanco es porque:i) solamente fue el primer hombre que acertó, esto es, CBA , oii) solamente fue el segundo hombre quien acertó, o

6/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSiii) solamente fue el tercer hombre quien acertó.Como i), ii) y iii) son mutuamente excluyendo, la probabilidad pedida es:

P(E) = ( ) ( ) ( )CBAP CBAPCBAP ++

=72

31

b) Debemos calcular P( A | B ), es decir: la probabilidad de acierto del primer hombre, dado que solamenteuno de los hombres dio en el blanco.

Ahora: CBAEA = es el evento de que solamente el primer hombre dio en el blanco. De acuerdo con la parte a)

( ) ( )CB AP E AP = =12

1

3

2.

4

3.

6

1 = y P(E) =72

31. En consecuencia P(A | B) =

31

6

72

3112

1

)E(P

)EA(P==

Obj 4 Pta 18Se extrae una carta al azar de un juego de 52 cartas considere los eventos:E1: La carta es un diamanteE2: La carta es un 10, J, Q, K o A.E3: La carta es un trébolE4: La carta es de corazónResponda las siguientes preguntas, justificando debidamente su respuesta.a) ¿Son independientes E1 y E2?

b) ¿Son independientes E3 y E4?c) ¿Son independientes E2 y E3? Solución:

Tenemos que:

4

1)( 1 = E P ;

13

5

52

20)( 2 == E P ;

52

1)()( 43 == E P E P

a) )().(13

5.

4

1

52

5)(

2121 E P E P E E P === Y por lo tanto los eventos son independientes.

b) los eventos NO son independientes.c) los eventos NO son independientes.

Obj 4 Pta 23

Un dado honesto se lanza dos veces. SeanA = {Se muestra en la cara superior 4,5 ò 6 en el primer lanzamiento}.B = {Se muestra en la cara superior 1,2,3 ò 4 en el segundo lanzamiento }.

Determine si estos eventos son independientes. Solución:

Como cada una de las 6 maneras en las cuales un dado cae en el primer lanzamiento puede asociarse a concada una de las 6 maneras en que cae en el segundo lanzamiento, en total hay 6.6 = 36 maneras igualmentefactibles.

Tenemos que3

1

6

4

6

3)()(,

3

1

36

12)(,

6

4

36

24)(,

6

3

36

18)( ====∩==== B P A P y B A P B P A P


7/27




IDENTIFICAR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO

DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO DISCRETO.

UTILIZAR LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON E HIPERGEOMÉTRICA EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO DE FUNCIÓN DEDISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO ABSOLUTAMENTE CONTINUO.

RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS EN LOS CUALES SE UTILICEN LA DISTRIBUCIÓN

UNIFORME Y NORMAL.

CASO DISCRETO:

Obj 5 Pta 1. El número de accidentes de trabajo en una fábrica sigue una distribución de Poisson. Se sabe que el promedio

de accidentes en dicha fábrica, mensualmente, es de 3. Calcule la probabilidad de que en un mes ocurran 6accidentes.

Solución:

Sea Y= número de accidentes de trabajo en una fábrica, Y se distribuye Poisson de parámetro 3. Luego,

05.0720

)04.0)(729(

!6

)729(

!6

3)6(

336

=====−−

eeY P .

Obj 5 Pta 2 .

El número de errores que hace una mecanógrafa tiene distribución de Poisson con media de 4 errores por página. ¿Cuál es la probabilidad de que una página escogida al azar tenga al menos 4 errores?. Solución:

Sea X = Número de errores que comete una mecanógrafa, X se distribuye Poisson de parámetro 4, por lo que setiene

( )

59.0!3

e4

!2

e4

!1

e4

!0

e41

)3X(P)2X(P)1X(P)0X(P1

)4X(P1)4X(P

43424140

=

++−=

=+=+=+=−=

<−=≥

−−−−

Obj 5 Pta 3 . Un defecto metabólico ocurre en aproximadamente una de cada 100 nacimientos. Si en un hospital nacen 4niños en un día dado, calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga el defecto.Solución:

El número de niños que tienen un defecto metabólico, X, se distribuye Binomial de parámetros p=1/100 y n=4.Entonces la probabilidad de que al menos un niño tenga un defecto metabólico es

( ) ( ) ( ) 04.096.0101111 =−==−=<−=≥ X P X P X P

Obj 5 Pta 5.

El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. Sientrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes, ¿Cuál esla probabilidad de tener que entrevistar exactamente 1 personas para encontrar al primer consumidor que

prefiere esa marca?

NOTA: Es GEOMETRICASolución:

8/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSSea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores, X el número de personas entrevistadas

para encontrar el primer consumidor y p la probabilidad de éxito, p=0.6. La probabilidad de tener queentrevistar exactamente a 5 personas para encontrar el primer consumidor que prefiera la marca A es

01536,0)4.0)(6.0()1()5( 415 ==−== − p p X P .

OBJ 5 PTA 6.

El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. Sientrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes, ¿Cuál esla probabilidad de tener que entrevistar exactamente 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiere esamarca?Solución:

Sea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores, X el número de personas entrevistadas paraencontrar a un consumidor de pasta de dientes y p la probabilidad de éxito, p = 0.6. La probabilidad de tener que entrevistar exactamente a 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiera la marca A es

0769,0)01536,0.(5)4.0)(6.0.(5)1(.5)5( 415 ===−== − p p X P .

Obj 5 Pta 6El 3% de los pinos de navidad hecho por una maquina son defectuosos y parecen al azar durante la producción.Si se empaquetan de 24 pinos por caja. ¿Cuál es la aproximación de Poisson para probabilidad de que ciertacaja contenga a lo sumo un pino defectuoso?Solución:

Sea X la variable aleatoria real de Poisson de pinos defectuoso y t el número de pinos por caja

Como100

3=λ , entonces pinos pinos

pinos

sdefectuosot 72,024.

100

3. ==λ

En consecuencia se tiene el parámetro 72,0. =t λ de Poisson para el empaque de 24 pinos por caja y lo que se

quiere es la P[X≤1], esto es:

[ ] [ ] 84,0).72,0(!

.)72,0(11 72,072,0

1

0

72,01

0

≅+====≤ −−

=

−

=∑∑ ee

n

e X P X P

n

n

n

Obj 5 Pta 7

Se sabe que para cierta clase de flores cerca del 5% de las semillas germinan. Las semillas se empaquetan y sevenden en una caja de diez con la garantía de que más de 2 germinarán. Encontrar la probabilidad de que unacaja fija arbitraria tenga la propiedad garantizada.Solución:

Sea X la variable aleatoria real del número de semillas que germinarán, su distribución es binomial y como la probabilidad de que una semilla germine es p = 0,05, entonces:

[ ] [ ] [ ]

[ ] 09,091,01)95,0).(05,0(1

10)95,0(

0

1012

05,0;10;1()05,0;10;0(1)05,0;10;(1112

910

1

0

=−≅

+

−=>

+−=−=≤−=> ∑=

X P

bbib X P X P i

Obj 5 Pta 8

Una maquina fábrica objetos con una proporción medida de defectuosos del 1%. Hallar la función de

probabilidad del número de defectuosos en una muestra al azar con reposición con 60 objetos.Solución:

9/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSComo se puede identificar la variable de interés X es el número de defectuosos en una muestra al azar con reposición de tamaño n = 60. X es una variable aleatoria discreta que tiene una distribución binomial con

parámetros n=60 y p=0,01. Así, su función de probabilidad es:

.600)99,0.()01,0.(60

)(60 ≤≤

== − x

x x X P x x

Obj 5 Pta 11Una empresa de transporte utiliza camiones en su servicio. En promedio dos camiones por día sufrenaccidentes. Cada camión accidentado requiere un día de trabajo de un mecánico. La empresa solodispone de un mecánico. ¿Cuál es la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentadoen un día dado?

Solución:

Como el número de camiones accidentados por día tiene aproximadamente una distribución de Poisson:

P(n, λ ) = λ−λe

!n

n

, λ > 0, n= 0,1,2,....

En nuestro caso se toma λ = 2 y n = 1 para calcular:

P(1, 2) =2

1

!1

2 −

e = 2.(0,1353)=0,2716La probabilidad para que el único mecánico pueda atender un camión accidentado en un día es:

P(0,2)+P(1,2) = 20

!0

2 −e + 2

1

!1

2 −e 4059,0=

Luego, la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentado en un día dado es:5941,04059,01 =−= p 1

CASO CONTINUO:

Obj 5 Pta 1. Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de roladode la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoriauniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros deespesor deberá desecharse, pues resulta inaceptable para los compradores. Calcule la fracción de las láminas deaceros producidas por estas máquinas que se desechan.Solución:

Sea la variable aleatoria Y el espesor de la lámina de acero. Para determinar la fracción de láminas de acero producidas por la máquina que tendrán que desecharse, debemos calcular la probabilidad de que Y, sea menor que 160 milímetros.

5

1

50

150-160

5050

1

160)P(Y

160

150

160

150 ====< ∫ y

dy .

Obj 5 Pta 2

Sea c una constante y consideremos la función

≤≤

= p uo t r oc u a l q u i ee n0

10)(

y s ic y y f

a) Determine el valor de c para que f sea una función de densidad. b) Calcule P(0.2< y < 0.5)

Solución:

10/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSa) Para que la función f(x) sea una función de densidad debe satisfacer que sea positiva y que

1)( =∫ +∞

∞−dx x f . Encontremos el valor de a tal que f satisface estas condiciones

2

1

2)(

1

0

21

0

c y

cdycydy y f === ∫ ∫ +∞

∞−

Luego

21211)( =⇔=⇔=∫

+∞

∞−

ccdx x f .

Además si c = 2 la función f(y) resulta positiva. Por lo tanto el valor de c para que f(y) sea una densidad es c= 2.

b) 21.0)2.0()5.0(2)()5.02.0( 22

5.0

2.0

5.0

2.0

2

5.0

2.0

=−====<< ∫ ∫ y ydydy y f y P

Obj 5 Pta 3.

Suponga que la variable aleatoria Y tiene una función de densidad

∞≤≤=

−

casootroen

y sie

y f

y

0

0

)(

/

λ

λ

.

Sea W = Y2. Obtenga la función de distribución para la variable W.Solución:

Calculemos P (W ≤ w) , Como W es positiva, entonces P (W ≤ w) = 0 si w<0. Ahora veamos cuando w es positivo

( ) ( ) ( ) ( ) .1/

0

/

0

/2 λ λ

λ

λ

ww

y

w yw

eedye

dy y f wY P wY P wW P −−

−

∞−−=−===≤=≤=≤ ∫ ∫

Por lo tanto la función de distribución de la variable w es:

( ) .

00

01

)(

/

<

≥−=≤=

−

w si

w sie

wW P wG

w λ

Obj 5 Pta 4

La cantidad X de papel que una impresora de un centro de computo universitario utiliza diariamente, tiene unadistribución exponencial de media igual a 5 cajas; es decir 5=λ . El costo diario de papel es C=3X+2. Obtengala función de distribución de del costo del papel consumido diariamente por la impresora.

Solución:Sabemos que la función de distribución de la variable X es una distribución exponencial de media 5=λ . Estoes, xe x X P x F 51)()( −−=≤= . Calculemos P (C ≤ c0)

( ) ( )

−

−−=

−

≤=≤+=≤ 3

25

0

00

0

13

223

c

ec

X P c X P cC P .

Obj 5 Pta 5. Una compañía manufacturera diseño una maquina que suministra una cantidad aleatoria entre 6.5 y 7.5 galonesde limpiador por minuto, para realizar lavado a presión . Suponga que la cantidad Y de limpiador suministrado

es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [6.5 , 7.5]. Calcular la probabilidad de quela maquina suministre mas de 7.2 galones por minuto.Solución:

Debemos calcular )2.7( >Y P , veamos

11/27




( ).3.02.75.7

5.65.7

17.2)P(Y

5.7

2.7

5.7

2.7

=−==−

=> ∫ ydy

Obj 5 Pta 6

La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas a larga distancia se vio que es un fenómeno aleatorio confunción de densidad:

0

0

;

;

0

.)(3

<

>

=−

x

xec x f

x

Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada a larga distancia dure:a) menos de 3 minutos

b) mas de 6 minutosc) Entre 3 y 6 minutos

Solución:

Hallemos c tal que: ∫ +∞

∞−

=1)( dxc f

3

11.3.3.3..3lim..3.)( 3

0

3

0

3 =⇒=⇒=+−=−==−

∞→

∞+−+∞ −+∞

∞−∫ ∫ ccccececdxecdx x f

x

x

x x

a)1

3

0

3

3

0

3 13

1)3( −

−−

−===< ∫ eedxe X P

x x

b) 226

0

36

0

3

1113

1)6(1)6( −−−

−

=+−=−=−=≤−=> ∫ eeedxe

X P X P x

x

c) 216

3

3

6

3

3

3

1)63( −−

−−

−=−==<< ∫ eeedxe X P

x x

Obj 5 Pta 7

El tiempo promedio del trabajo sin fallo de una persona es 100 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que:a) Esa persona trabaje sin fallo un número de 72 horas?

b) Trabaje sin fallo entre 24 y 48 horas?

Solución:Sea T la variable aleatoria del tiempo del trabajo sin fallo de una persona. Por tratarse de un problema detiempo de espera del trabajo sin fallo, sabemos que la función de distribución de la variable T es unadistribución exponencial de media λ = 0,01(un fallo en 100 horas).

a) 49,01).01,0(1)72(1)72( 72,0)72).(01,0(72

0

).01,0(72

0

).01,0( ≅==+=−=<−=≥ −−−−∫ eeedT eT P T P T T

b) 17,0).01,0()4824( 48,024,048

24

).01,0(48

24

).01,0( ≅−=−==<< −−−−∫ eeedxeT P T T

Obj 5 Pta 7Un fabricante de resistencias, sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce está distribuidonormalmente con 100= µ Homs y 2=σ ohms.

a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá un valor mayor que 98 ohms?

12/27



GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS b) ¿Qué porcentaje entre 96 y 105 ohms?

Solución:

Si pasamos de la distribución normal ),( σ µ N a la distribución normal estándar )1,0( N mediante la

transformaciónσ

µ −=X

Z se tiene que:

a) [ ] [ ] [ ] 84,0)1())1(1(1)1(111

2

10098198198 ≈=−−=−−=−≤−=

−≤−=≤−=> F F F Z P Z P X P X P

Un 84,13% de las resistencias tendrán un valor mayor que 89 ohms.

b) [ ] )2()5,2(2

10096

2

10010510596 −−=

−

−

−

=<< F F F F X P

Luego, el [ ]{ }%100.)2()5,2( −− F F de la resistencia tendrá un valor entre 96 y 105 ohms.

Obj 5 Pta 8

Sea X una variable aleatoria con densidad:

><

≤≤=

.10010)(

2

xó x s i x s ic x x f X

Si X tiene función de densidad f X calcule:

a) P(X≤1/2).

b) P(1/4<X<1/2).

c) P(X>3/4 | X>1/2).

Solución:

Debemos hallar el valor de c tal que 1dx)x(f X =∫ ∞

∞−

. Veamos

3300)(

1

0

31

0

2

1

1

0

2

0ccx

dxcxdxdxcxdxdx x f X ===++= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+∞

∞−

∞

∞−

Luego .313

1)( =⇔=⇔=∫ ∞

∞−

cc

dx x f X Ahora, considerando el valor de c = 3:

a) Calculemos P(X≤1/2)

8

10

2

1

330)()2/1(

32/1

0

3

2/1

0

2

2/1

0

2

2/1 0

=−

==

=+==≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞− ∞−

x

dx xdx xdxdx x f X P X

b) Calculemos P(1/4<X<1/2).

1406,0

64

1

8

1

4

1

2

13)2/14/1(

332/1

4/1

3

2/1

4/1

2 ≈−=

−

===<<

∫ xdx x X P

c) P(X>3/4 | X>1/2).

13/27




( )

8

7

8

18

8

11)2/1(1)2/1(

64

37

64

2764

64

271

4

31303)()4/3(

,

56

37

)7).(64(

)8).(37(

8

764

37

)2/1(

)4/3(

)2/1(

)2/14/3()2/1|4/3(

3

31

4/3

3

1

4/3

2

1

4/3 1

2

4/3

=−=−=≤−=>

=−=−=

−===+==>

===>>

=>

>>=>>

∫ ∫ ∫ ∫

∞+∞+

X P X P

xdx xdxdx xdx x f X P

Donde

X P

X P

X P

X X P X X P

X

Obj 5 Pta 9


><

≤≤=

.100

102)(

xó x s i

x s i x x f X

Calcular las siguientes probabilidades:a) P(X≤1/2).

b) P(1/4<X<1/2).

c) P(X>3/4 | X>1/2).

( )

4

3

4

14

4

11)2/1(1)2/1(

16

7

16

916

16

91

4

31202)()4/3(

,

12

7

)3).(16(

)4).(7(

4

316

7

)2/1(

)4/3(

)2/1(

)2/14/3()2/1|4/3(

2

21

4/3

2

1

4/3

1

4/3 14/3

=−

=−=≤−=>

=−

=−=

−===+==>

===>>

=>

>>=>>

∫ ∫ ∫ ∫ ∞+∞+

X P X P

x xdxdx xdxdx x f X P

Donde

X P

X P

X P

X X P X X P

X

Obj 5 Pta 10


≥≤<<−=

.20020)2()(

xó x s i x s i xc x x f X

a) Determine el valor de c para que la siguiente función sea una función de densidad. b) Calcular la P(a < X < b), siendo 0<a<b<2.

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