guia15 distribucion prob

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA Prof. Zoraida Pérez S. ESTADISTICA I Página 1 UNIDAD V: Distribuciones de Probabilidad GUIA CONTENIDO 5 Revisión:25/06/06

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIA Ya hemos visto en matemática la definición de “variable”. Veamos entonces cuándo se dice que una variable es aleatoria. Devore (2001) “Para un espacio muestral “S” de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier

regla que asocia un número con cada resultado de “S”. Levin/ Rubin

"Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio”

Montgomery/ Runger

" La variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria"

Walpole/ Myers

“una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral”

Anderson/ Swenney/Williams

“una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento”.

Variable Aleatoria

DISCRETA CONTINUA

Función Probabilidad Función Densidad de Probabilidad

Distribución de Probabilidadde Variable Discreta

Distribución de Probabilidadde Variable Continua

MODELOS DE PROBABILIDADDE VARIABLE DISCRETA

MODELOS DE PROBABILIDADDE VARIABLE CONTINUA

EnsayoBernoulli

BINOMIAL

Distribución Exponencial

DistribuciónGamma

NORMALPOISSON

Hipergeométrica

Gráfica

Tabla

Expresión matemática

Curva definidapor puntos

Área bajo la curva

Probabilidad en un punto Probabilidad en un intervalo

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA Prof. Zoraida Pérez S. ESTADISTICA I Página 2 UNIDAD V: Distribuciones de Probabilidad GUIA CONTENIDO 5 Revisión:25/06/06 Veamos ejemplos: Del experimento "lanzar tres monedas"

C

S

C

S

S

C

LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS1°Lanz. 2°Lanz.

S

C

S

C

3°Lanz.

S

C

S

C

Podemos definir una variable aleatoria (llamémosla X) que denote el n° de sellos que pueden salir. Los valores posibles que puede tomar esta variable son: X=0 (que no salga sello) X=1 (que salga un sello) X=2 (que salga dos sellos) X=3 (que salga tres sellos) Ahora determinemos cuál es la probabilidad de cada evento (hazlo tú) P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) =

Tenemos entonces lo que se llama una FUNCIÓN PROBABILIDAD:

Para X=0 le corresponde P(X)= Para X=1 le corresponde P(X)= Para X=2 le corresponde P(X)= Para X=3 le corresponde P(X)=

La DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD es la información de estos resultados presentados en: a) una tabla; b) una gráfica; c) una fórmula matemática. De esta manera tenemos las probabilidades de TODO LO QUE PUDIERA OCURRIR en el experimento aleatorio. Construyamos la del ejemplo: (observemos que en este caso la variable aleatoria es DISCRETA)

Distribución de Probabilidad Lanzamiento detres monedas

1/8

1/4

3/8

1/2

0 1 2 3N° de sellos

P(X)

X F(X) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8


VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Meyer 1973 Sea X una variable aleatoria. Si el número de valores posibles de X (esto es el recorrido

de la variable) es finito o infinito numerable, llamamos a X una variable aleatoria discreta. Anderson/Sweeney /Williams (2000)

“Una variable aleatoria que puede asumir una cantidad finita de valores o una sucesión infinita de valores como 0,1,2,….se llama variable aleatoria discreta”

Ejemplos: X= n° de veces que sale sello (el ejemplo anterior de las monedas) => {0,1,2,3} Y= n° de alumnos que aprueban Estadística {0,1,2,3,.............,34,35,36,37,38,39,40} Z= n° de empanadas que se venden diariamente en el cafetín {0,1,2,3,.......,10,....20......} W= sexo de las personas que compran CD's de Rock {0 si es hombre, 1 si es mujer} V= (Te toca a ti)

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Para una variable aleatoria discreta "X" la distribución de probabilidad se describe mediante una Función de Probabilidad y se pueden describir mediante una tabla, una gráfica o una expresión matemática de la forma: f(x)= . Ejemplo: X= puntos obtenidos al lanzar un dado. Tabla

X F(X) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

Gráfica

Distribución de Probabilidad Lanzamiento de un Dado

0

1/6

1/3

1 2 3 4 5 6X=N°puntos

P(X

)

Expresión Matemática f(X)= 1/6 para X=1,2,3,4,5,6

Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta se deben satisfacer las siguientes condiciones: 1) La probabilidad, para cualquier valor que pueda tomar la variable es positiva

0)( ≥Xf 2) La suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable debe ser 1.

1)( =∑ iXf

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD Al igual que los modelos matemáticos que establecen fórmulas matemáticas para describir el comportamiento de una variable, también tenemos los modelos de probabilidad. Con estos modelos se pretende facilitar el cálculo de la probabilidad. Entre los modelos de probabilidad con variables aleatorias discretas están: § Distribución Uniforme. (ver el ejemplo anterior) § Situación Tipo Bernoulli § Distribución de Probabilidad Binomial § Distribución Hipergeométrica de Probabilidad § Distribución de Probabilidad de Poisson

Esta es una Distribución Uniforme


ANALOGÍA ENTRE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA Y LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Con el siguiente ejemplo abramos la discusión: (Adaptación del original en Anderson/Sweeney Sección 5.2 Pág.183) El Gerente de Ventas del concesionario AutOrinoco tiene registrada la venta de carros de los últimos 300 días de operación. Los datos de ventas muestran que hubo 54 días en los que no se vendió ningún carro en ese concesionario, que hubo 117 días que se vendió 1 carro, 72 días se vendieron 2, en 42 se vendieron 3, en 12 días se vendieron 4 y en 3 días se vendieron 5 carros. Con los datos históricos que nos permiten construir una Distribución de Frecuencia Relativa (recordar lo visto en el contenido 1) podemos entonces aplicar un enfoque de frecuencia relativa para asignar probabilidades y de esta manera se construye una Distribución de Probabilidad. Se define la variable aleatoria X = número de carros vendidos durante un día y asignamos la probabilidad para cada valor de X. Con esto podríamos contestar preguntas tales como ¿Cuál es la probabilidad de que en mañana jueves se vendan 2 carros?

Distribución de Frecuencia Relativa

n° de carros vendidos por día, en los últimos 300 días de operación

N°

carros

g(%) 0 54 / 300 = 0,18 1 117 / 300 = 0,39 2 72 / 300 = 0,24 3 42 / 300 = 0,14 4 12 / 300 = 0,04 5 3 / 300 = 0,01

Distribución de Probabilidad

X = n° de carros vendidos por día

X

P(X)

0 0,18 1 0,39 2 0,24 3 0,14 4 0,04 5 0,01

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA E(X)

También se le llama Esperanza matemática o Media de una distribución de probabilidad. Así como se analizaron las medidas de tendencia central y de dispersión para una Distribución de Frecuencia, también para una Distribución de Probabilidad se puede resumir con su Media y su Varianza. El Valor Esperado viene siendo una medida de tendencia central de la Distribución de Probabilidad. Cálculo del Valor Esperado de una Distribución de Probabilidad de Variable Discreta:

( )∑== )(.)( XPXXEµ

donde P(X) es la probabilidad de los valores posibles que puede tomar la variable

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA Prof. Zoraida Pérez S. ESTADISTICA I Página 5 UNIDAD V: Distribuciones de Probabilidad GUIA CONTENIDO 5 Revisión:25/06/06 El término “Valor Esperado” ó “Esperanza Matemática” trae confusión cuando se quiere interpretar su valor y lo que significa esta medida o parámetro. http://www.personal.us.es/valderas/INTRODUCCION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VALOR%20ESPERADO.pdf

“En la práctica es interesante resaltar que el valor esperado de una variable aleatoria no coincide, en general, con un valor posible de la misma. Por tanto, podría decirse que la expresión “valor esperado” resulta, cuanto menos, engañosa ya que no proporciona un valor que realmente podamos esperar que toma la variable”.

Siguiendo con el ejemplo anterior calculemos el valor esperado

X

P(X)

X. P(X) 0 0,18 0 1 0,39 0,39 2 0,24 0,48 3 0,14 0,42 4 0,04 0,16 5 0,01 0,05

E(X)= 1,50

El valor esperado es de 1,5 carros por día. ¿Qué significa eso? ¿Será que el Gerente puede esperar que mañana se venda un carro y la mitad de otro? NOOOOOOO!!!!!! Significa que, A LARGO PLAZO, el gerente puede esperar que la venta de carros tenga un PROMEDIO de 1,5 carros por día. Con ello podría anticiparse y estimar que las ventas mensuales (30 días operativos) promedio son de 45 carros

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Como medida de dispersión de una Distribución de Probabilidad se tiene la Varianza.

Cálculo: ( )∑ −== )(.¨)( .22 XPXXVar µσ

( Ver también; Levin/Rubin. 6edición. Sec.5.2 pag.238)

EJERCICIOS

1) A continuación se muestra la probabilidad de que un sistema de computación se caiga el número señalado de períodos por semana, durante la fase inicial de instalación del sistema. Calcule a) el número esperado de veces por semana que la computadora no vaya a trabajar. b) la varianza de esta distribución de probabilidad.

X 4 5 6 7 8 9 P(X) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06

2) Se ha determinado que el número de camiones que llegan cada hora a un almacén tiene la distribución de

probabilidad que se muestra. Calcula e Interpreta, el n° esperado de llegadas X por hora. Calcula la varianza de esta distribución de probabilidad para la variable aleatoria discreta.

X 0 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05


ENSAYO DE BERNOULLI

Cuando un experimento aleatorio tenga las siguientes características podemos catalogarlo como un ensayo de Bernoulli o una situación tipo Bernoulli: § Sólo tiene dos resultados mutuamente excluyentes e independientes. Para facilitar la comprensión, al

resultado que nos interesa le llamamos éxito (p) y al otro, fracaso (q). Ejemplos: varón/hembra, si/no, cierto/falso, cara/sello, par/impar, bueno/defectuoso.

§ El experimento se realiza una sola vez. La variable aleatoria sólo toma dos valores x=0 (fracaso) y x=1 (éxito) La probabilidad de fracaso la llamamos "q". La probabilidad de éxito la llamamos "p".

Tabla

X P(X) 0 (fracaso) q. 1 (éxito) p.

Gráfica

Expresión Matemática

f(0)=q

f(1)=p

p-1q 1qp =⇒=+ Valor Esperado : pxEppxE =⇒+−= )( *1)1(*0)(

Varianza: q )(V p) (q q) (-p p*p)(1 q p)(0)( 2222 ∗=⇒∗+∗=−+∗−= pxxV

Desviación Estándar: q ∗= pσ

Ensayo Bernoulli

p q=1-p

0 1

P(X)


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (DPB)

Cuando se tiene una sucesión de Ensayos de Bernoulli.

CARACTERÍSTICAS

1. Sólo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes e independientes.

2. El ensayo se puede repetir "n" veces. 3. Los resultados de las "n" veces que se repite el

ensayo son eventos independientes. 4. La probabilidad de éxito "p" permanece

constante de una a otra repetición.

EJEMPLO Presentar "n" exámenes de Estadística. 1. Resultados: Aprobar / Reprobar 2. Se pueden hacer "n" exámenes. 3. Para que los eventos sean independientes,

debemos suponer que el resultado del 3° examen no depende del 1° ni del 2° examen.

4. Probabilidad de éxito constante: Ejemplo: se supone que se utilizó el mismo método de estudio y las condiciones fueron las mismas para los "n" exámenes.

FORMAS DE CONSTRUIR UNA DISTRIBUCION BINOMIAL a) Utilizando un diagrama de árbol: cuando "n" no es muy grande podemos construir la D.P.utilizando esta

herramienta. Esto fue lo que hicimos en el ejemplo de los tres lanzamientos de una moneda. b) Utilizando la siguiente fórmula:

Probabilidad de "r" éxitos en "n" ensayos: )(rp

rn

p)r,P(n, rnq −∗

=

c) Utilizando las Tablas: Existen unas tablas que nos permiten ahorrar tiempo ya que directamente nos dan el

resultado de esta fórmula para ciertos valores de "n". Por lo general, en los apéndices de los textos de Estadística aparecen estas Tablas hasta n=20. PRECAUCIÓN: En algunos textos las tablas nos muestran las probabilidades ACUMULADAS, por eso es importante observar bien este detalle.

d) Utilizando Programas de Computación: Existen muchos programas estadísticos que permiten construir cualquier DPB. A continuación se presenta un diagrama de flujo para enseñarles a construir en EXCEL una distribución de probabilidad binomial.

EJERCICIO: Realizar el siguiente ejercicio utilizando las cuatro maneras descritas anteriormente y comprobar que los resultados son los mismos. Cinco alumnos en Pre-escolar. Estudios previos indican que la probabilidad de que cualquiera de estos cinco alumnos pueda llegar tarde es 0,40, y que las llegadas de los alumnos son independientes entre sí. Trazar la distribución binomial de probabilidad que indique las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 alumnos lleguen tarde simultáneamente

Valor Esperado

pxE ∗= n )(

Varianza

q n )(V ∗∗= px

Desviación Estándar

q ∗∗= pnσ

Insertar Función Estadística DistribBinom


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Parámetros: "n" y "p"

n= 10p 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9r P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r)1 0,3874205 0,2684355 0,1210608 0,0403108 0,0097656 0,0015729 0,0001378 4,096E-06 9E-09

2 0,1937102 0,3019899 0,2334744 0,1209324 0,0439453 0,0106168 0,0014467 7,373E-05 3,645E-073 0,0573956 0,2013266 0,2668279 0,2149908 0,1171875 0,0424673 0,0090017 0,0007864 8,748E-06

4 0,0111603 0,0880804 0,2001209 0,2508227 0,2050781 0,1114767 0,0367569 0,005505 0,00013785 0,001488 0,0264241 0,1029193 0,2006581 0,2460938 0,2006581 0,1029193 0,0264241 0,0014886 0,0001378 0,005505 0,0367569 0,1114767 0,2050781 0,2508227 0,2001209 0,0880804 0,0111603

7 8,748E-06 0,0007864 0,0090017 0,0424673 0,1171875 0,2149908 0,2668279 0,2013266 0,05739568 3,645E-07 7,373E-05 0,0014467 0,0106168 0,0439453 0,1209324 0,2334744 0,3019899 0,1937102

9 9E-09 4,096E-06 0,0001378 0,0015729 0,0097656 0,0403108 0,1210608 0,2684355 0,387420510 1E-10 1,024E-07 5,905E-06 0,0001049 0,0009766 0,0060466 0,0282475 0,1073742 0,3486784

Manteniendo fijo a "n" (n°veces q' se repite el experimento)variaremos la probabilidad de éxito "p" para observar qué pasa

Binomial, n=10; p=0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


EJERCICIOS 1. En tres lanzamientos de una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras (en cualquier orden)? 2. Cinco alumnos en Pre-escolar. Estudios previos indican que la probabilidad de que cualquiera de estos

cinco alumnos pueda llegar tarde es 0,40, y que las llegadas de los alumnos son independientes entre sí. Trazar la distribución binomial de probabilidad que indique las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 alumnos lleguen tarde simultáneamente.

3. El 10% de las partes que produce una máquina automática es defectuoso. Si se toma al azar una muestra

de 20 partes, determine: § Probabilidad de que en la muestra haya dos partes defectuosas § Probabilidad de que en la muestra haya un máximo de tres partes defectuosas. § Probabilidad de que en la muestra haya 18 tres partes defectuosas como mínimo. § Probabilidad de que en la muestra haya entre dos y cinco partes defectuosas. § Probabilidad de que en la muestra haya mínimo tres partes defectuosas. § ¿Cuántas partes defectuosas se espera encontrar en la muestra?

4. La probabilidad de que un cliente elegido al azar realice una compra es de 0,20. Si un vendedor visita a seis

prospectos, ¿Cuál es la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas? ¿Probabilidad de que el vendedor logre 4 ó más ventas?. Si el ve ndedor visita 15 clientes cuál es la probabilidad de que realice menos de 3 ventas?

5. Una caja contiene 30 baterías de las cuales 5 son defectuosas. De la caja se escogen al azar 6 baterías.

Hallar la probabilidad de que: a) dos sean defectuosas b) ninguna sea defectuos c) menos de 3 sean defectuosas.

Recomendaciones para Resolver los problemas de Distribución Binomial

1. Definir la variable aleatoria relacionada con el Ensayo de Bernoulli y distinguir cual es el éxito y cuál el fracaso.

2. Ubicar en el contexto, la probabilidad de éxito “p” para el ensayo de Bernoulli. 3. Definir la Variable aleatoria relacionada con el Modelo Binomial y determinar cuánto vale “n”. Observar

el recorrido de X [desde 0 hasta n¨] 4. Distinguir la probabilidad que se está solicitando en el problema. Es decir ubicar a “r” ó el intervalo

solicitado.


DISTRIBUCIÓN DE POISSON Se utiliza para describir la probabilidad en procesos relacionados con el número de éxitos por unidad de tiempo o espacio. Un proceso Poisson es similar a un proceso Bernoulli, sólo que los eventos ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, en lugar de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. § La gráfica de la Distribución de Poisson es sesgada a la derecha (sesgo positivo) siempre positiva. § La variable aleatoria no tiene límite superior específico.

EJEMPLOS Variables aleatorias que se pueden describir con la función de probabilidad de Poisson:

§ N° de llegadas de los carros a un peaje, en una hora. § N° de llamadas telefónicas a una Central, en cada hora. § N° de accidentes ocurridos en una intersección, en un período de 15 días. § N° de clientes que llegan a un Banco en un período de 30 minutos. § N° de errores por página que comete una mecanógrafa. § N° de huecos que tiene una carretera por cada cien metros.

CARACTERÍS TICAS EJEMPLO

N° llegadas de carros a un peaje, en una hora pico (Levin/Rubin, 6°Ed. P.258)

a) La probabilidad de ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud. Se supone que la media del proceso (λ= promedio de presentaciones por intervalo de tiempo o espacio) es siempre proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o espacio. Ej: si λ=5/hora entonces λ=10 / 2 horas.

b) La probabilidad de que se presente un evento en un intervalo muy pequeño, también es un número muy pequeño.

c) La probabilidad de que dos o más de estos

eventos se presenten dentro del mismo intervalo pequeño es cero.

La probabilidad de que se presente el evento dentro de un período determinado es independiente de la probabilidad en cualquier otro intervalo del período.

a) Podemos estimar previamente un promedio del n° de carros que pasan por el peaje en una hora pico. (λ = un carro cada 5 minutos, 10 carros los primeros 30 minutos, etc.).

b) La probabilidad de que exactamente un carro

llegue al peaje cada segundo (intervalo muy pequeño) es muy pequeña. Y es constante para cada intervalo de 1 segundo.

c) La probabilidad de que dos ó más carros lleguen al peaje en un segundo (intervalo pequeño) es tan pequeña que la podemos hacer tender a cero.

d) El número de vehículos que llegan en un intervalo

dado de un segundo, es independiente del tiempo en que dicho intervalo se presente en la hora pico

§ El número de llegadas en cualquier intervalo de 1 segundo no depende del numero de llegadas en cualquier otro intervalo de 1 segundo.

FÓRMULA PARA LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON:

Probabilidad de tener "x" presentaciones en un intervalo dado x! -e x?

) |P(x λ

λ∗

=

λ= promedio de presentaciones por intervalo de tiempo, espacio, etc.. X= número de presentaciones del evento en ese intervalo.

Valor Esperado

λ )( =xE

Varianza

λ )(V =x


EJERCICIOS 1. Un taller recibe un promedio de 5 solicitudes de servicio por hora. § Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar? § Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres llamadas o solicitudes de servicio en una hora?

2. En una intersección de calles, existen registros de que ocurren 5 accidentes mensuales. Se supone que el

n° de accidentes está distribuido de acuerdo a una distribución de Poisson. Se desea saber: § ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier mes ocurran menos de 5 accidentes? § ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 12 accidentes?

3. En promedio, a una Central telefónica llega un promedio de 0,5 llamadas por minuto.Halle la probabilidad

de que: § En un minuto no lleguen llamadas. § En un minuto lleguen más de tres llamadas. § En tres minutos lleguen menos de cinco llamadas. § En cinco minutos lleguen más de 2 llamadas. § Cuántas llamadas se espera que lleguen en 5 minutos?

4. En una autopista se da un promediode 10 animales vagabundos muertos por kilómetro. Halle la

probabilidad de que en 100 metros: a) se encuentren dos ó más animales muertos b)no se encuentre ningún animal muerto c)menos de tres animales muertos. ¿Cuántos animales muertos se espera encontrar en un trayecto de 500 metros?

5. A la ventanilla de un banco llega, en promedio, una persona cada minuto. Halla la probabilidad de que en

un minuto dado: a) no aparezcan clientes. b) haya tres o más clientes en la cola. c) Halla tres o menos clientes.

APROXIMACIÓN DE UNA DIST. BINOMIAL A UNA DIST. DE POISSON

Cuando el número de ensayos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña. Generalmente se utiliza cuando "n" es mayor o igual de 20 y "p" es menor o igual a 0,05. Para estos casos podemos sustituir en la fórmula de la D. De Poisson, en lugar de "λ" colocamos "n*p".

x! -e x?

) |P(x λ

λ∗

= x! -npe xp)*(n

np) |P(x ∗

=

Realice el ejercicio utilizando la D. Binomial y luego utilice la D. Poisson para comparar resultados y verificar que sí se puede realizar la aproximación. Se tienen 20 equipos de diálisis, la probabilidad de que cualquiera de ellos no funcione bien durante un día cualquiera es de 0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres equipos estén fuera de servicio el mismo día?


EJERCICIOS

1. En el Banco Central la frecuencia de errores de impresión en los billetes es tan baja que, sólo el 0,5% de los billetes presentan errores graves que no permiten su circulación. ¿Cuál es la probabilidad de que en un fajo de 1000 billetes: a) ninguno presente graves errores, b) diez billetes presenten graves errores que no permitan su circulación c) quince presentes errores?

2. En una escuela el 10% de las estudiantes son niñas. Se toma al azar una muestra de 50 estudiantes. Aplica

la Distribución de Poisson para calcular la probabilidad de que la muestra contenga: a) sólo niñas. b)Sólo una niña c) menos de tres niñas d) más de tres niñas.

3. Se estima que, en el llamado semáforo de la UNEG Villa Asia de la av. Atlántico, la probabilidad de que

haya un choque es de 0,0001. Si pasan 1000 carros. Halle la probabilidad de que ocurran dos ó más choques.

4. Suponga que el 1,5% de los espaciadores de plástico que produce una máquina de inyección de plástico

está defectuoso. Para una muestra aleatoria de 200 espaciadores, encuentra la probabilidad de que: a) ninguno de los espaciadores esté defectuoso. b) tres o más de los espaciadores estén defectuosos.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Cuando la variable puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo dado. Generalmente los resultados que se basan en escalas de medición (tiempo, peso, distancia, temperatura, etc.) se pueden describir mediante variables aleatorias continuas. X= Tiempo que tardas en tu recorrido diario casa->UNEG { } Y= Peso de los estudiantes de la UNEG { } Z= (Hazlo tu)

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Para variables aleatorias continuas, la probabilidad no se puede obtener por conteo y es necesario recurrir a herramientas matemáticas para estudiar el comportamiento de la variable. § Para una variable continua "X" la distribución de probabilidad se describe mediante una Función de

Densidad de Probabilidad. § A la gráfica de esta función se le llama Curva de Probabilidad. § El área bajo la Curva de Probabilidad, entre dos valores determinados (a,b) proporciona la probabilidad de

que la variable continua tome un valor contenido en (a,b). § De lo anterior se deduce que el área total bajo la curva siempre será igual a 1. Ejemplo:

P(a)=0

b

af(x)dx b)xP(a ∫=<<

MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD § Distribución Normal. § Distribución Gamma. § Distribución Exponencial. § Distribución ji cuadrada. § Distribución Weibull (1939)

00 50 100 150


DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es la Distribución continua de Probabilidad más importante de la Estadística, ya que: § Describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, en la industria y en la

investigación. Casi se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchas situaciones. § Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es

necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

PARÁMETROS QUE DEFINEN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

§ Media ( µ ) § Desviación Estandar ( σ )

Función Densidad

( )

2

1 ) s ,µ ;(x n

2

21

σµ

σπ

−−

=x

e

PROBABILIDAD (AREA BAJO LA CURVA)

dx ),;( )2 xX 1 x( P 2

1x∫=<<x

xn σµ

( )

2

1 )2xX1(x P

2

1

2

2

1

∫=<<−

−x

x

x

dxe σµ

σπ

CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA NORMAL Ejemplo: µ =70 σ=20

§ La curva tiene forma de campana (campana de

Gauss), es unimodal (un solo pico). § Es simétrica (media=mediana=moda) § Los extremos de la curva son asintóticos

respecto al eje horizontal (nunca lo cortan). § La curva tiene sus puntos de inflexión en x = µ

- σ y en x= µ + σ

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110120 130

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA Prof. Zoraida Pérez S. ESTADISTICA I Página 14 UNIDAD V: Distribuciones de Probabilidad GUIA CONTENIDO 5 Revisión:25/06/06 CÓMO DETERMINAR PROBABILIDADES, asumiendo un modelo de distribución normal "La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la Tabulación (TABLAS) de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. No obstante, sería una tarea inacabable crear tablas separadas para cada valor concebible de µ y de σ . Por fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media cero y varianza uno ( µ=0 ; σ2=1).(Distribución Normal Estandar)

Esto puede realizarse mediante la transformación: z σ

µ−=

x..." Walpole/Myers . 4°Edición

Es decir, se realiza un cambio de variable y se obtiene un valor de "z" para cada "x". Luego podemos buscar en la Tabla de la Distribución Normal Estándar que aparece en los apéndices de los libros de Estadística.

EJEMPLO

La vida útil de un bombillo se aproxima a una distribución normal con media igual a 2000 horas y una desviación estandar igual a 200 horas. § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure entre 2000 y 2400 horas? § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure más de 2200 horas? § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de 1750 horas? § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure entre 1700 y 2300 horas? § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de2350 horas? § ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de1600 horas?

EJERCICIOS

1. La compañía BBC ha recibido un pedido para fabricar motores eléctricos. Con el fin de que ajuste en su soporte, el rotor del motor debe tener un diámetro de 5,1± 0,05 (pulgadas). El encargado de compras de la compañía se da cuenta de que hay en existencia una gran cantidad de varillas de acero con un diámetro medio de 5,07 pulg. Y con una desviación estándar de 0,07 pulg. ¿ Cuál es la probabilidad de que una varilla de acero del inventario existente se ajuste en el soporte? (tomado de Levin/Rubin)

2. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir en promedio 200 mililitros por vaso. Si la

cantidad de refrescos es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.(Walpole) § ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros? § ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? § Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230mililitrod en los siguientes 1000

refrescos? § Bajo qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos? § Hallar el sexto decil de esta distribución.


APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DIST. NORMAL

En una distribución BINOMIAL, podemos calcular probabilidades utilizando procedimientos de aproximación a la distribución NORMAL, bajo las siguientes condiciones: § Cuando "n" es muy grande (n≥30) § Cuando "p" está próxima a 0,5 § Cuando "n" no es grande y p≠ 0,5 (no tan próximo a 0 ni a 1) se puede aproximar sólo si

5 q*ny 5 p*n ≥≥ ¿CÓMO APROXIMAMOS?

Decimos que p*n =µ y q*p*n=σ

Con estos valores resolvemos el problema como si fuera una distribución normal. EJEMPLO: El 70% de las personas que entran en un Centro Comercial realizan al menos una compra. Para una muestra de 50 personas ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 40 de ellas realicen una o más compras? (OJO: Se debe hacer una corrección por continuidad)

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON A LA DIST. NORMAL

En una distribución de POISSON, podemos calcular probabilidades utilizando procedimientos de aproximación a la distribución NORMAL, bajo las siguientes condiciones: § Cuando "λ" es relativamente grande (λ≥10) ¿CÓMO APROXIMAMOS?

Decimos que λµ = y λσ =

Con estos valores resolvemos el problema como si fuera una distribución normal. EJEMPLO: Se sabe que a un Taller llegan 5 solicitudes por hora en forma aleatoria y en forma de proceso estacionario (Poisson) § ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 50 solicitudes de servicio durante un turno de 8 horas? § ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban en un turno de 8 horas, 35 o menos solicitudes de servicio?


EJERCICIOS

(Walpole) 1. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10

cm y una desviación estándar de 0,03 cm. a) Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro que exceda de 10,075 cm? b) Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9,97 y 10,03? c) Debajo de qué valor del 15% caerá el 15% de los anillos de pistón?

2. En un examen de matemáticas la calificación promedio fue de 82 y la desviación estandar fue 5. Todos los

estudiantes con calificación de 88 a 94 recibieron una B. Si las calificaciones están distribuidas aproximadamente en forma normal y 8 estudiantes recibieron una B. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?

3. Los coeficientes de inteligencia (IQ)de 600 aspirantes a ingresar a cierta escuela están distribuidos

aproximadamente en forma normal con una media de 115 y una desviación estandar de 12. Si el colegio requiere un IQ mínimo de 95 ¿Cuántos de estos aspirantes serán rechazados sobre este criterio, sin considerar otros factores?

4. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estandar de 2 años. El

fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del período de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo el 3% de los motores que fallan ¿Qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue?. Suponga que las vidas de los motores siguen una distribución normal.

5. Una moneda se lanza 400 veces. Utilice la aproximación de la curva normal para encontrar la probabilidad

de obtener: a) entre 185 y 210 caras inclusive b) exactamente 205 caras. c) menos de 176 y mas de 227 caras.

6. Un proceso produce un 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100 artículos

aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos a) exceda de 13? b) Sea menor de 8?

7. Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras para el control natal tiene un

ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz?

8. Según las estadísticas, en una noche de fin de seman, en promedio, 1 de cada 10 conductores está ebrio.

Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado. ¿Cuál es la probabilidad de que el n° de conductores ebrios sea a) menos de 32? b) más de 49? c)al menos 35 pero menos de 47?

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