guia06 - mcm_mcd

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

ALUMNO:

ARITMÉTICAGUÍA Nº 06

Prof. Lic. MARCO AURELIO MAGUIÑA ARNAO

MCD y mcm

1. MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.)Se denomina así al mayor de los divisores comunes de 2 o más números enteros positivos.

Ejemplo: Sean los números 8 y 12.Números Divisores

8 1; 2; 4; 812 1; 2; 3; 4; 6; 12

Divisores Comunes: 1; 2; 4

El Mayor MCD (8; 12) = 4

Observación:* El número de divisores comunes de un conjunto de

números, es igual al número de divisores del MCD de dichos números.

* El MCD está contenido en los números.

1.1 Formas Prácticas para determinar el MCD1.1.1Descomposición Simultánea

Ejemplo: Calcular el MCD de: 42; 48 y 54Solución:

42 - 48 - 54 221 - 24 - 27 3 7 - 8 - 9

PESI MCD (42; 48; 54) = 2 x 3 = 6

1.1.2Descomposición Canónica:Ejemplo:Sean los números:

456 5 .3 .2A 234 7 .5 .2B

MCD (A;B) = 34 5 x 2

Explicación: “Se toman los factores primos comunes, elevados a sus menores exponentes”.1.1.3Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides.

Caso General: Calcular el MCD de A y B; donde A > B.

q1 q2 q3 q4 Cocientes A B r1 r2 r3 MCD r1 r2 r3 0 Residuos

Ejemplo: Calcular el MCD de: 60 y 36 1 1 2

60 36 24 12 MCD 24 12 0

MCD (60; 36) = 121.2 Propiedades* P.1. Si: A, B y C son PESI.

MCD (A, B, C) = 1

* P.2. Si: A = 0B , se cumple que:

MCD (A, B) = B* P.3. Si: MCD (A, B, C) = d, entonces:

A = d B = d son PESI C = d

* P.4. Si: MCD (A; B) = X MCD (C; E) = Zentonces:MCD (A; B; C; E) = MCD (X; Z)

* P.5. Dados los números:A = x m -1B = x n -1C = x p -1Se cumple que MCD (A; B; C) = x MCD(m, n, p) -1

2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)Se denomina así al menor de los múltiplos en común de 2 ó más números enteros positivos.Ejemplo:

Números Múltiplos8 8; 16; 24; 32; 40; 48; . . . . .

12 12; 24; 36; 48; 60; 72; . . . . Divisores Comunes: 24; 48; 72

El Menor MCM (8; 12) = 24Observación:* Los múltiplos comunes de un conjunto de números

son iguales a los múltiplos del MCM de dichos números.

* El MCM contiene a los números.

2.1 Formas Prácticas para determinar el MCM2.1.1Descomposición Simultánea

Ejemplo: Calcular el MCM de 20 y 15.Solución: 20 - 15 4 5 - 15 5 1 - 3 3

CENTRO PREUNIVERSITARIO ARITMETICA

1 - 1 MCM (20; 15) = 4 x 5 x 3 = 60

2.1.2Descomposición Canónica:Ejemplo:Sean los números:

456 5 .3 .2A 234 7 .5 .2B

MCM (A;B) = 2456 7 x5 x3 x 2

Explicación:“Se toman los factores primos comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes”.

2.2 Propiedades:P.1 Si: A y B son PESI MCM (A; B) = A.B

P.2 Si: A = 0B ; Se cumple que:

MCM (A, B) = A

P.3 Si: N = 0A r

N = 0B r

N = 0C r

Entonces: N = 0

)C,B,A( MCM r

III. Propiedad fundamental:Para dos números A y B; si:MCD (A, B) = dMCM (A, B) = m

Se cumple:

m = d . . A . B = m . d Donde y son PESI.

PROBLEMAS

01. Halla dos números tales que el mcm y el MCD son 252 y 12 respectivamente. Dar como respuesta la diferencia de ellas.

a) 36 b) 48 c) 246d) 750 e) 20

02. Se sabe que:

;

;

MCD (3x, 4y)=90,Halla la suma de las cifras del mcm(x,y).a) 9 b) 27 c) 36

d) 18 e) 15

03. La suma de los tres menores números tal que su MCD es 18 y que poseen 10, 15 y 18 divisores es , entonces el valor de: a+b+c, es:a) 20 b) 17 c) 18d) 21 e) 19

04. A un teatro asisten adultos y niños, el adulto paga S/13 por entrada y cada niño S/11; la recaudación total es S/. 2016, ¿cuántas personas asistieron al local como máximo?a) 170 b) 182 c) 1673d) 180 e) 185

05. ¿De cuántas maneras se puede dividir exactamente en parcelas cuadradas iguales un terreno rectangular de 120 m x 90 m? Cada parcela tiene un número entero de metros cuadrados?a)2 b)8 c)4d) 10 e)6

06. Halla la suma de dos números cuyo MCD sea 18, sabiendo que el primero tiene 10 divisores y el segundo 15 divisoresa) 288 b) 432 c) 144d) 306 e) 162

07. Si: MCD(N,22050)=225 y la cantidad de divisores de N es 15, entonces la suma de las cifras del menor N que cumple es:a) 11 b) 9 c) 15d) 16 e) 13

08. ¿Cuántos números de tres cifras cumplen: MCD?

a) 11 b) 8 c) 7d) 12 e) 10

09. Halla la suma de los divisores comunes a los números “p” y “q”, donde:

p=

q=

a) 1285 b) 325 c) 520d) 1716 e) 780

10. Si: MCD (KA; KB)=16.

CICLO: SETIEMBRE – DICIEMBRE 2006 - III Pág. 2


MCD =2

Halla MCD

a) 36 b) 24 c) 28d) 40 e) 32

11. La suma de dos números enteros es y se sabe que al calcular su MCD por el

algoritmo de Euclides se obtuvieron, en orden creciente, los cinco primeros primos como cocientes sucesivos. Uno de los números es:a) 12540 b) 6405 c) 14825d) 6450 e) 7450

12. Al calcular el MCD de A y B se obtuvo como cocientes sucesivos 2, 1, 5 y 3 y al calcular el MCD de C y D se obtuvo como cociente sucesivos 3, 2, 1 y 4. Si el MCD de A y B es igual al MCD de C y D, el MCD de A y D es 18, siendo A>B y C>D. Halla la suma de las cifras del MCD de B y C.a)9 b)6 c)7d)8 e) 10

13. El MCD de 2 enteros es 8 y la suma de sus cubos es 46592. Halla el mcm de dichos números.a) 96 b) 48 c) 64d) 72 e) 120

14. En la determinación del MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes números consecutivos en forma ascendente, si los primeros residuos fueron 3 565 y 690. Dar como respuesta la suma del mayor número con el MCD de los números.a) 48 415 b) 14 950 c) 15 065d) 484 e) 48 530

15. Halla la suma de cifras del menor número entero de 5 cifras que al ser dividido entre 13 no deja residuo, que aumentado en 3 unidades es múltiplo de 16 pero si se le aumentan 6 unidades es múltiplo de 19.a) 24 b) 30 c) 16d) 15 e) 25

16. El mcm(A,B,C,D) es 5005 veces el MCD(A,B,C,D) y A+B+C+D es 360. Halla el valor de C, sabiendo que es lo menor posible.a) 110 b) 50 c)7d) 100 e) 130

17. Si: mcm =132. calcula: a+b.a)6 b)7 c)8d)9 e) 10

18. Si: MCD(a,b)=4.

. Calcula: mcm(a,b,a+b).a) 200 b) 120 c) 150d) 250 e) 180

19. Un agricultor cosecha cierto número de plantas de lechuga y solicita a cuatro de sus trabajadores que las cuentes.* El primero las agrupó de 11 en 11 pero le faltó 1.* El segundo las agrupó de 13 en 13 y le sobraron 12.* El tercero las agrupó de 7 en 7 pero le faltó 1.* El cuarto las agrupó de 12 en 12 y no le faltó ni le

sobró.¿Cuántas plantas de lechuga tiene exactamente el agricultor si son menos de 8000? Dar la suma de cifras.a)9 b) 18 c) 12d) 21 e) 15

20. Se tiene cajas de dimensiones 2,333...cm; 3,111,,,cm y 4 cm y se quiere embalar en cajas cúbicas. Halla la menor cantidad de cajas que pueden embalarse en una caja cúbicaa) 756 b) 680 c) 720d) 756 e) 700

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: MCD . Halla la suma de

cifras del menor A posible.a) 15 b) 18 c) 9d) 10 e) 12

02. Si los cocientes sucesivos obtenidos en la determinación del MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, han sido 14; 1; 1; 1; y 2 respectivamente y si ambos números son primos entre sí, ¿Cuál es la suma de éstos?a) 125 b) 130 c) 117d) 135 e) 120

03. La suma del mcm y el MCD de dos números es igual a 4968. De los números, el menor es la tercera parte del mayor. Halla los números y dar como respuesta la suma de cifras del número mayor.a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

04. El mcm de: 29 – 1 y 212 – 1 es: Dar como respuesta la suma de cifras de uno de sus factores primos.a) 9 b) 10 c) 13d) 12 e) 14



05. Halla la suma de dos números; uno de 20 divisores y otro de 12 divisores, sabiendo que el mcm es 720.a) 90 b) 250 c) 25d) 768 e) 330

06. Al calcular el MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, los dos primeros residuos fueron 54 y 36, si la suma de los cocientes es 10. Halla el máximo valor posible de A.a) 810 b) 667 c) 846 d) 774 e) 711

07. El producto de dos números enteros positivos es 360. La suma de los cocientes obtenidos al dividir cada uno de ellos por su MCD es 7, y el producto de estos cocientes es 10. Entonces el valor de la diferencia de estos números es:a) 2 b) 31 c) 18d) 84 e) 54

08. El mcm de dos números es 288 veces el MCD, el mayor de estos números tiene 7 divisores. Determina la diferencia de estos números.a) 40 b) 43 c) 46d) 45 e) 48

09. La diferencia entre dos números es 44 y la diferencia entre el mcm y el MCD es 500. ¿Cuál es el mayor de dichos números?a) 82 b) 48 c) 56d) 72 e) 42

10. Sean los números:

Donde los exponentes del primero son mayores, diferentes, suman 29 y el MCD de ellos es 336 140. Si mcm de ellos resulta un número que es el menor posible, los exponentes a, c y d son pares, entonces el valor del exponente “d” es:

a)2 b)3 c)4d)5 e)6


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