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Facultad de Ingeniería Equipo de Matemática Escuela de Ingeniería de Sistemas Semestre 2011-I

APLICACIONES DE FUNCIONES - MODELOS MATEMÁTICOS

1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

En la actividad cotidiana, se puede observar la relación de diferentes magnitudes, las cuales se representan a través de variables para ser representadas en modelos matemáticos. Estos modelos matemáticos no son más que una representación abstracta de la realidad, los cuales muchas veces se expresan a través de funciones matemáticas. El concepto de función y su aplicación en los diversos campos de la actividad humana es imprescindible. Es difícil imaginar el desarrollo de las ciencias sin la presencia de funciones.

Por ejemplo, los pagos de servicios como luz, agua, teléfono, etc., se pueden expresar a través de una función, y calcular por ejemplo pagos futuros de acuerdo al consumo. En una empresa se puede analizar la relación entre productividad y número de trabajadores a partir de una función. Las aplicaciones de las funciones son innumerables.

2. CAPACIDAD Analiza modelos matemáticos de diferentes situaciones físicas, biológicas y

económicas.

Analiza gráficamente el comportamiento de modelos matemáticos de contexto real.

3. DESARROLLO TEÓRICO-PRÁCTICO

Antes de analizar las aplicaciones de las funciones, se presenta a continuación un resumen de las funciones reales que más se utilizaran en la asignatura de matemática I.

3.1. Definición.- Una relación de A en B se define como función si y solo sí, a cada le corresponde un único elemento a través de . Para denotar una función

de A en B se escribe:

y se lee f de A en B.

3.2. Dominio y rango de una función

Definición.- El dominio de una función es el conjunto formado por:

Guía de Teoría y PrácticaMatemática I Sesión Nº 1


Definición.- El rango de una función es el conjunto formado por:

3.3. Función real de variable real

Definición: Se denomina función real de variable real o función de una variable real a

una función .

donde es decir A y B son subconjuntos no vacíos de números reales.

y se denota : donde y = f(x) es la llamada regla de

correspondencia, en consecuencia, una función queda completamente definida si se

conocen:

i) Su regla de correspondencia f(x)

ii) Su dominio

El dominio de una función real, es el conjunto de valores de x para los cuales la regla de

correspondencia queda bien definida.

Nota: Podemos dar un criterio general para hallar fácilmente el dominio de una función. Sea polinomios

FUNCION DOMINIOPOLINOMIAL Reales

RACIONAL,

Para hallar el dominio:

RADICAL Para hallar el dominio:si n es impar todos los reales,si n es par,

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

El colegio privado de San Bernardo ha lanzado una campaña para reunir fondos. Se supone

que los directivos del colegio estiman que llevará a semanas lograr el

de su objetivo.

Hallar el dominio. Interprete sus resultados

Solución:

Facultad de Ingeniería Equipo de Matemática Escuela de Ingeniería de Sistemas Semestre 2011-Ia1) Identifique las variables (coloque las variables, descríbalas de acuerdo a sus

unidades)

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………….

a2) Hallando el dominio

¿Qué valores puede tomar ?

……………………………………………………………………………………………………

Según la definición de dominio, ¿qué condición se debe cumplir?

a3) Explique sus

resultados…………………………………………………………………………………………………………

………

3.4. Funciones reales básicas y especiales

3.4.1. Función ConstanteA la función f, le llamaremos función constante, si su regla de correspondencia es: También a la función constante, se puede

definir por:

Donde su dominio es , su rango es y

su grafica es:

3.4.2. Función IdentidadA la función f, le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es:

También a la función identidad se define: f = , donde

y su grafica es:

3.4.3. Función Lineal

A la función f, le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es:


Donde a,b son constantes y a 0. También a la función lineal se puede expresar en la forma:

f = , donde

, cuya grafica es:

3.4.4. Función cuadrática

A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es: También la función cuadrática se expresa así:

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en al cual se presenta dos casos.Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba.Si a < 0 la grafica se abre hacia abajo.El dominio de la función cuadrática es , el rango se determina completando cuadros.

Como

Luego el vértice de la parábola es:

Si a > 0 se tiene: Si a < 0 se tiene:


3.4.5. Función Polinomial

A la función f, le llamaremos función polinomial, si su regla de correspondencia es:

Donde a0, a1, a2,……, an-1, an son números reales, an 0.Ejemplo.- , es una función polinomial.

3.4.6. Función RacionalA la función f, le llamaremos función racional, si su regla de correspondencia

es:

Donde a0, a1,…, an, b0, b1,…, bm son constantes reales y bm 0

3.4.7. Función Raíz CuadradaA la función f, le llamaremos función raíz cuadrada,

si su regla de correspondencia es:

También se puede expresar en la forma:

donde y

3.4.8. Función Valor AbsolutoA la función f, le llamaremos función valor

Absoluto, si su regla de correspondencia es:

También se puede expresar en la forma:

Donde y y su gráfica

es:

Facultad de Ingeniería Equipo de Matemática Escuela de Ingeniería de Sistemas Semestre 2011-I3.4.9. Función Exponencial La función f, definida por: , donde b > 0 y b 1, el exponente x es

cualquier número real, es llamada función exponencial con base b.

Cuando b>1, la función se denomina función exponencial creciente, si b< 1 se denomina función exponencial decreciente.

Grafica de funciones exponenciales:

1

1

X

Domf= Domf=

Ranf= < 0, > Ranf= < 0, > La función f(x) es creciente si cuando x aumenta su valor, el valor de f(x) aumenta

La función f(x) es decreciente si cuando x disminuye su valor, el valor de f(x) disminuye.

3.4.10. Función Logarítmica

Definición.-La función logarítmica de base b, donde b > 0 y b 1, es denotada por

logb y está definida por: y = log x by = x

Gráfico de la función logaritmo. La gráfica de una función logarítmica tiene una de dos formas generales, dependiendo si la base b, es b > 1 ó 0 < b < 1.

EJEMPLOS

3.4.11. Funciones como modelos matemáticos

a) Ejemplo:

f(x) = bx, b > 1 f(x) = bx, 0< b <1

0

y

1 x 0

L

y

x

y = logbx , b > 1

y = logbx , 0<b<1

Facultad de Ingeniería Equipo de Matemática Escuela de Ingeniería de Sistemas Semestre 2011-IUna máquina embotelladora llena 120 botellas por minuto. Determine la función

que representa el número de botellas llenadas en relación al tiempo. Halle el

dominio y rango.

Solución:

- Identifique las

variables...............................................................................................

- Cuál debe ser la relación qué debe existir entre las variables

halladas........................................................................................,

Veamos:

Para 1 min.=

Para 2.5 min=

Para 40 min=Para “t” minutos=

Regla de correspondencia:

- ¿Qué valores puede tomar la variable

independiente?..................................................

- ¿Qué valores puede tomar la variable

dependiente?.....................................................

b) Ejemplo:

Para ensamblar un automóvil se requieren 8 trabajadores, para 3 automóviles se

necesitan 14 trabajadores y para ensamblar 5 automóviles se necesitan 20

trabajadores.

Defina el modelo matemático que relaciona la cantidad de trabajadores con la

cantidad de carros.

Solución:

- Identifique las variables.

- ¿Qué relación debe existir entre las variables?, ¿Cuál es la variable

independiente?

- Calcule los parámetros desconocidos del modelo


- Escriba la regla de correspondencia

- ¿Qué valores pueden tomar las variables del modelo?

- Grafique el modelo o la función obtenida

c) Ejemplo: Exprese el área del rectángulo mostrado en la figura como una función cuadrática de x. ¿Para qué valor de x el área será máxima?

Solución:

- Identifique las variables

- ¿Qué relación debe haber entre las variables?

- Identifique la variable independiente

- Escriba el modelo

- ¿Cómo halla el valor de x, que dé un área máxima?

- ¿Qué valores puede tomar x?, ¿ Qué valores puede tomar el área?

- Grafique e interprete los resultados


d)La eficiencia de un obrero de una fábrica está determinada por la función f(t) = 100-

60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber

trabajado t meses.

a) Cuántas unidades por día puede hacer un obrero principiante.

b)¿Cuántas unidades por día puede hacer un obrero con un año de experiencia.

c)¿Cuántas unidades por día se espera que produzca un obrero ineficiente?

Solución

Si el obrero es principiante, ¿cuál debe ser el valor de t?

Calcule el valor numérico luego de un año de experiencia

El hecho de ser ineficiente el obrero, ¿qué valor o valores puede tomar t?.

¿Cuál sería el valor de la función?

Grafique e interprete los resultados

e)El impuesto T que debe pagar una fábrica por la contaminación que produce, en

miles de soles , a la municipalidad, por la producción de x números de artículo está

dado por la función

T(x) = lnx2

- ¿Cuánto debe pagar la fábrica por concepto de impuesto por la producción de 10,

50 y 100 artículos?.

- Grafique e interprete los resultados.


f) En una fábrica de calculadoras el costo de mano de obra y de materiales es de

S/. 20 y los costos fijos diarios son de S/. 1500. El precio de venta de cada

calculadora es de S/. 30.¿Cuántas calculadoras debe producir y vender cada día ,

para mantenerse en una situación de equilibrio?

- Represente por medio de funciones el COSTO, el INGRESO y las UTILIDADES.

- Grafique cada una de las funciones (COSTO, INGRESO y UTILIDADES) Y

analice el comportamiento de éstas.

4. ACTIVIDADES PROPUESTAS I

A continuación se te presentan algunas situaciones y en cada una de ellas.

a) Identifique las cantidades, las variablesb) Localice las expresiones que relacionan a las variables. Utilice para ello el siguiente cuadro:

Cantidades Variables Expresiones

c)Halle el dominio y rango (algebraicamente y/o graficamente) .

d) Formule una regla que defina las relaciones encontradas y por ende las funciones existentes.

e) Grafique y analice el comportamiento de las funciones, dentro del contexto.

1. El ingreso mensual por la venta de x unidades de cierto

artículo está dado por

I(x) = -0.01x2 + 12x.

a) Determine el número de unidades que deben venderse cada mes para

maximizar el ingreso.

b) Hallar el ingreso máximo.

2. Dos fabricantes de cierto artículo con una producción x ( en miles de

unidades) obtienen respectivamente una ganancia G ( en miles de soles) de:

G1(x)= -x2 + 7.5 x - 8.5 G2(x)= x- 0.7

a) Grafiquen ambas funciones.

b) ¿Cuántas unidades deben producir ambos fabricantes para obtener la

misma ganancia? ¿A cuánto asciende dicha ganancia?


3. una empresa se observa que fueron reparadas 112 piezas de un motor.

Luego se incrementó la reparación de piezas, pero hubo un deterioro de ellas y

se desecharon. La cantidad de piezas que se reparan luego de t dias está

dado por: R(t)= - t +22t+112 (t >0).

4. Si se venden 20 calculadoras el precio por unidad es de S/.52 .Al disminuir

en S/.4 cada uno, aumenta la venta en 4 unidades. Halle el precio de la mayor

venta posible.

5. El valor en soles de un edificio, t años después de su construcción está dado

por :

V = 2 00000 , donde t

a) ¿Cuál es su valor 15 años después?

b) Halle el porcentaje de depreciación de su valor cada año

c) En cuántos años el valor del edificio será de S/. 80000.

6. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo 12 % anualmente.Si el

volumen actual Vo, es de 500 unidades diarias.¿ En cuánto tiempo se alcanzará

la cifra de 800?.

Solución:

El volumen final es Vf = Vo( 1 + i)t

Reemplazando valores 800 = 500( 1 + 0.12)t

1.6 = 1.12t

log 1.6 = tlog1.12

t=log1.6/log1.12

t= 4.147 años

7. En una agencia de autos se establecen las siguientes condiciones de

contratación

Precio fijo: S/. 20

Cada kilómetro recorrido: S/. 4

Modele la cantidad a pagar en función de los kilómetros recorridos.

8. Si una máquina de $ 30 000 se deprecia 2% de su valor original cada año,

determine una función f que exprese el valor V de la máquina después que han

transcurrido:


a) T años. b) Después de 5 años

Suponga que la depreciación es lineal y luego compare sus resultados para el

caso de depreciación exponencial.

9. Un fabricante puede producir celulares a un costo de S/. 200 cada uno. Si fija

un precio de x soles por unidad, podrá vender 120-x celulares al mes.

a) Expresa la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual

vende cada celular.

b) ¿Cuál es la utilidad mensual máxima que puede obtener el fabricante por la

venta de celulares?

c) Grafique la utilidad.

10. En un una fábrica se produce dispositivos electrónicos, y luego de un control

de calidad se desechan los que tienen fallas. La cantidad de dispositivos está en

función del número de dispositivos con fallas a través de la formula

. Para qué valor de x el número de dispositivos es máximo.

11. Se espera que el número de hogares con lavadoras crezca de acuerdo con la

siguiente función donde se mide

en años y corresponde a inicios del 2010, y se mide en millones de

hogares.

a) ¿Cuántos hogares tenían lavadoras a inicios del 2010?

b) ¿Cuántos hogares tendrán lavadoras al principio del 2015?

c) Grafique la función, indique el dominio y el rango.

12. El dueño de un terreno construye una casa y, desea tener un área de jardín

de forma rectangular en su patio. Cuenta con 60m. de cerca para cerrar su

jardín. Si denota el ancho del jardín, encuentre una función que depende de

, y que proporcione el área del jardín. ¿Cuál es el dominio?, ¿Cuál es el rango?

13. El valor de reventa en miles de soles, de cierto equipo es y , t meses

después de su compra

Y = 1200 +8000e-0.25t

a) ¿Cuál es el valor del equipo en el momento de la compra?b) ¿Cuál es el valor del equipo 10 meses después?


c) ¿Cuál es el valor anticipado de desecho del equipo, después de un tiempo prolongado.

d) ¿En qué tiempo el valor de reventa será de 3492? e) Grafique la función.

14. Un elemento radioactivo decae de modo que después de t días el número de

miligramos presentes, N, está dado por:

N = 100e-0,062t

a) ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente?

b) ¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 días?

c) ¿En cuántos días se obtendrá 40 miligramos?

d) Grafique la función.

15. Una empresa proyecta su producción de piezas para carros, de acuerdo a la

ecuación

P =100000e0,05t, donde t es el número de años después del

2005.

a) Pronosticar la producción para el año 2015.

b) ¿En cuántos años la producción será de un millón de piezas?

16. La ecuación de demanda de cierto producto está dada por p ln (x+1)= 500,

en donde x unidades pueden venderse al precio de S/. p, cada una.

a) ¿Cuántas unidades, a la unidad más próxima, pueden venderse si el precio por

unidad es de S/.62.5?

b) ¿A qué precio p por unidad se venderán 5,000 unidades?

17. Se ha fabricado un nuevo modelo de cámaras fotográficas. Luego de t años,

la proporción de fabricantes que producen el nuevo modelo, que está dado

por un modelo logístico. P= (1+Ce-kt)-1. Al tiempo t= 0, el 2% de

fabricantes producen el nuevo modelo. Cuatro años más tarde, la proporción

había subido al 50%. Evalúe C y k y calcule cuántos años deberán transcurrir

antes de que el 90% fabricantes produzcan el nuevo modelo.

18. La habilidad de un trabajador al efectuar una tarea rutinaria mejora con la

práctica. Sea “t” el tiempo empleado en aprender la tarea y Y una medida del

rendimiento del trabajador.

Por ejemplo, Y podría ser el número de veces que la tarea se efectúa en una

hora, entonces se puede relacionar a Y con t mediante la función Y=A(1-e-


kt) en donde A y K son constantes. (La gráfica de tal relación entre Y y t se

denomina curva de aprendizaje). Después de una hora de práctica, una

persona puede ajustar 10 tuercas en 5 minutos en una línea de ensamblaje.

Al cabo de 2 horas, la misma persona puede ajustar 15 tuercas en 5 minutos.

Calcule A y K. ¿Cuántas tuercas, podrá ajustar esa persona después de 4

horas de práctica?.

19. Una población crece de acuerdo a la fórmula P = 5 x 106e0.06t, en

donde t se da en años.

a) Calcule el porcentaje de crecimiento anual.

a) ¿Cuánto tardará la población incrementarse en un 50%?

20. La cantidad de repuestos que producen por hora en una línea de montaje

aumenta a medida que más repuestos se producen. Suponga que

y= 30- 15e-0.02x

donde y es la razón de producción cuando se han producido x unidades.

a) Calcule y, para x= 0 y x= 100.

¿A qué valor se aproxima y, cuando x se hace muy grande?.Interprete este

valor.

5. ACTIVIDADES PROPUESTAS

Formación de grupos y analizar casos donde se apliquen funciones dentro de

otras situaciones de contexto real.

6. BIBLIOGRAFIA

ARYA Jagdish, LARDNER Robin. Matemáticas Aplicadas a la Administración y

Economía. 4ª Edición. Editorial Prentice Hall. 2008. ISBN: 9684444370.

7. ENLACES WEB

- www.scribd.com

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