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Volumen de sólidos de revolución
ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS
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VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Sea f(x) una función continua en el intervalo ba, de su dominio, se llama sólido de revolución al sólido que se genera cuando se hace girar en torno al eje equis, la región limitada entre la curva de la función f(x) , el eje x y las rectas x = a , x= b .
Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).
Consideremos una partición nP del intervalo ba, determinada por el conjunto de
números nii xxxxx ,.....,,,.......,, 110
Donde iii xxx 1 , con ni ,.....,3,2,1 .
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos espesores son ni xxxx ,....,......,, 21 , y cuyas bases tienen radios )(),...(),......,(),(),( 210 ni xfxfxfxfxf .
)( ixf
ix
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El volumen del i-ésimo disco es: iii xxfV 2)(
El volumen del sólido de revolución generado es igual a la suma de los volúmenes de todos los discos en los cuales se ha dividido, es decir
n
iii
n
ii xxfVV
1
2
1)(
Ahora, si el numero de discos es considerablemente grande (tendiendo al infinita) entonces los espesores ix tienden a cero y así el volumen del sólido será:
n
iiix
xxfLimV1
2
0)(
Como el limite de las sumas de Riemann define la integral definida, se tiene que el volumen es:
b
a
dxxfV 2)(
Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje
, la región limitada por la gráfica de xxf )( y las rectas 1x , 4x .
Solución: Graficamos primero la función dada en el intervalo 4,1
Al hacerla girar en torno al eje de las equis, se obtiene el sólido mostrado en la figura.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
f(x)=x1/2
Volumen de sólidos de revolución
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3
El volumen del sólido esta dado por :
215
21
24
2
)(
22
4
1
24
1
4
1
2
2
V
xxdxdxxV
dxxfVb
a
Ejemplo 2:
Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de
Y = 2 – x , x = 0 ; y = 0 gira alrededor del eje x.
Solución:
La gráfica de la izquierda representa la región que se hace girar en torno al eje de las equis y en la grafica de la derecha se muestra el solidó que resulta.
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
f(x)=2-x
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4
Luego, el volumen del sólido está dado por:
38
380
302
322
3222
)(
23
2
0
32
0
22
0
2
2
V
xdxxdxxV
dxxfVb
a
EJEMPLO: Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva
Senxxf )( , y eje equis en el intervalo ,0 se gira en torno al eje .
Solución: La representación gráfica es la siguiente:
El solido generado por la rotación en torno al eje de las equis es:
El volumen del solido engendrado viene dado por:
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
f(x)=Senx
222
222
2
221
)(
2
0
00
2
0
2
2
SenxSenxV
dxxCosxdxSendxSenxV
dxxfVb
a
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ACTIVIDAD.
1. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al
eje de las equis la región del plano limitada por la curva 63)( 2 xxxf y el eje x.
2. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al eje de las equis la región del plano limitada por la curva
23)( 23 xxxxf y el eje x. 3. El triangulo cuyos vértices son ( 0,0 ) , ( 0 , 6 ) y ( 4 , 0 ) se hace girar en torno
al eje equis. Determine el volumen del sólido generado. 4. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al
eje de las equis la región del plano limitada por la curva 53)( 2 xxxf , el eje x y las rectas x= 1 , x= 5.
5. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al
eje de las equis la región del plano limitada por la curva 63)( 2 xxxf y el eje x.
6. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al
eje de las equis la región del plano limitada por la curva xxf 21)( , el eje
x y las rectas x= 0 , x= 4. 7. Determine el volumen del sólido que se genera al hacer el área mostrada en la
figura en torno al eje equis.
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
f(x)=1+2-2x
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-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
f(x)=e-x+Senx
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
x
y
f(x)=l4-x2l
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Si el área esta comprendida entre la curva, el eje y y las rectas cy , dy y esta se hace girar en torno al eje y .
x
y
f(x)
y=c
y=d
radio=x
El radio de cada disco o cilindro esta dado por x y el espesor viene dado por y . El volumen del sólido es:
d
cdyxV 2 .
EJEMPLO: Determine el volumen del solido de revolución generado al hacer girar en torno al eje de las y, la región limitada por las rectas y= 0 , y= 2 , el eje y y
la curva xy . La grafica muestra la región que hace girar en torno al eje y.
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
f(x)=v x
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Como el volumen esta dado por d
cdyxV 2 , entonces se debe despejar x en la
función dada. xy se tiene que xy 2. Luego el volumen viene dado por:
532
52
5
)(
5
2
0
5
2
0
4
2
0
22
2
V
yV
dyyV
dyyV
dyxVd
c
ACTIVIDAD Encuentre el volumen del sólido que se genera cuando se hace girar en torno al eje y la región sombreada. a)
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=4-2x
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-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
f(x)=4-x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=4x-x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=1+x2