UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS (ICYTAL) / ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas

UNIDAD 2: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION (ESTADO ESTACIONARIO)

GUIA DE PROBLEMAS 1. Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es

sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la

superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es

disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un

coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas

superficiales T1 y T2 para:

cmL 2= ; CmWK º20= ; 2

50 10

mWq = ; CT º50=∞ ;

CmWh

º500 2=

T1 T2

q

∞T

Desde T2 a T se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la

fórmula:

∞

( )∞−= TThAq

2 ( )∞−TTq 2 ⋅= Ah

Reemplazando:

( )CTCm

W

m

Wº50

º50010 222

5 −=

200ºC = T2 – 50ºC

T2 = 250ºC

Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto

utilizamos la fórmula:

( )e

TTK

A

q 12 −−= ( )e

TTK

Aq 21 −=( )

eTT

KAq 21 −= ( )

eTT

KAq 21 −=

( )m

T

CmW

m

W02,0

250

º2010 1

25 −=

100 ºC = T1 – 250

T1 = 350ºC

2. Un cilindro hueco con radio interior r = a y radio exterior r = b es

calentado en la superficie interior a una velocidad q0 (W/m²) y disipa calor

por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a una

temperatura T∞ con un coeficiente de transferencia de calor h. La

conductividad térmica es constante.

Calcular las temperaturas T1 y T2 correspondientes a las superficies interior

y exterior, respectivamente, para a = 3cm; b = 5cm; h = 400 W/m²-°C;

T = 100 °C; K = 15 W/m-°C ; q∞ 0 = 105 W/m².

POR CONVECCIÓN (T2 å T∞ ) )( TAhq ∆××= Y como el área del cilindro es HrA ⋅⋅⋅= π2 despejamos q en función de la longitud:

hr

TT

H

q

exterior ×××∞−=

π2

1)( 2

Solución Como q está en función del área del cilindro se despeja de modo que quede

en función de la longitud del cilindro.

2510

m

W

A

q =

Área del cilindro = Hr erno ××× int2 π

Hrm

Wq ××××= π210

25

Hmm

Wq ××××= 03.0210

25 π

m

W

H

q18849=

Calculo de T 2 : por convección entre la superficie del cilindro y el medio

hr

TT

H

q

exterior ×××∞−=

π2

1)( 2

Cm

Wm

CT

m

W

º40005.02

1)º100(

18849

2

2

×××

−=π

T2 = 250ºC

POR CONDUCCIÓN (T1 å T2) : dr

dTAkq ××−=

Calculo de T 1 : por conducción entre la superficie interna y externa del cilindro De la misma manera dejamos q en función de la longitud del cilindro:

)(

)(2

int

21

erno

externo

r

rLn

TTk

H

q −×××= π

)03.0

05.0(

)º250(º

15218849

1

m

mLn

CTCm

W

m

W −×××= π

T1 =352ºC

3. Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1,0 pie

de longitud, con diámetro interno de 0,25 pulg. y diámetro externo de 0,40

pulg., para extraer calor de un baño . La temperatura en la superficie interior

del tubo es de 40 °F y 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del

acero inoxidable 304 depende de la temperatura: K = 7,75 + 7,78 X 10 -3 T,

donde K está en BTU/hr-pie-°F y T en °F.

Calcúlese la extracción de calor en BTU/s y Watts.

q

T ∞

T2

r2

T1

r1

1 pie = H

Datos :

H= 1 pie

r1= piepu

piepu

pu0104,0

lg10833,0

lg125,02

lg25,0 =⋅= T1=40ºF

r2= piepu

pupu

01666,0lg1

0833,0lg2,0

2lg4,0 =⋅= T2=80ºF

q= -K A drdT

HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2

Reemplazando:

drdT

HrKq ⋅⋅⋅⋅⋅−= π2

Integrando: dTAKqdr ⋅⋅−=

∫∫ ⋅= 2

1

2

1

T

T

r

r

dTKAdrq

∫∫ ⋅⋅⋅⋅= 2

1

2

1

2T

T

r

r

dTKHrdrq π

Reemplazando:

( )∫∫ −⋅+⋅⋅= 80

40

32

1

1078,775,72 dTTHrdr

qr

r

π

( ) ⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅−= −− )

240

1078,7()2

801078,7(408075,72

0104,00167,0

ln2

32

3Hq π

( ) ⎟⎠⎞⎜⎝

⎛−+⋅⋅−=hr

BTUHq 224,6896,243102

0104,00167,0

ln π

s

hr

hr

BTUq

3600

141,4360 ⋅−=

sBTUq 21,1−=

sJ

wattBTU

Js

BTUq11

105521,1 ⋅⋅−=

wattq 9,1277=

4. Se desea construir un almacén refrigerado con una capa interna de 20

mm de madera de pino, una capa intermedia de corcho prensado y una

capa externa de 52 mm de concreto. La temperatura de la pared interior es -

18°C y la de la superficie exterior, 30° C en el concreto. Las conductividades

promedio son, para el pino, 0,151; para el corcho 0,0433; y para el concreto

0,762 W/m-K. El área superficial total interna que se debe usar en los

cálculos es aproximadamente 50 m² (omitiendo las esquinas y los efectos

de los extremos). ¿Que espesor de corcho prensado se necesita para

mantener la pérdida de calor en 550 W?

a : madera de pino (20mm)

b: corcho (??)

c: concreto(52mm)

El calor se trasmite en serie por lo ta nto el flujo de calor es el mismo

en cualquier punto del circuito eléctrico.

Solución:

Ecuación general:

total

ie

R

TT

A

q )( −=

Donde:

Te =Temperatura externa del almacén refrigerado

Ti = Temperatura interna del almacén refrigerado

R total =Resistencia total del circuito

R total = Ra + Rb + Rc

Como las resistencias se encuentran en serie entonces la Ecuación

para calcular la resistencia es:

Ak

eR ×=

Donde: e : espesor de las capas

k : conductividad térmica del material

A: área total de la cámara

W

Km

Kmw

m

k

eR

a

aa

2

13.0º151.0

02.0 ===

Kmw

x

k

eR

b

bb º0433.0

==

W

Km

Kmw

m

k

eR

c

cc

2

068.0º762.0

052.0 ===

Reemplazando en la ecuación general se despeja x que es el espesor

de la capa de corcho:

total

ie

R

TT

A

q )( −=

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−=

W

Kmx

W

Km

W

Km

CC

m

W2222

0433.0068.013.0

)º18(º30

50

550

x = 0.18m å Por lo tanto el espesor del corcho debe ser 180mm

Nota: la relación entre de temperatura que existe entre los ºK y los ºC es de uno a uno por lo tanto, las unidades

de estas no influyen en el cálculo.

5. ¿Que cantidad de aislante de fibra de vidrio (K=0,02 BTU/hr-pie-°F) es

necesaria para garantizar que la temperatura exterior de un horno de cocina

no excederá de 120 °F? La temperat ura máxima del horno que será

mantenida por el control termostático de tipo convencional es de 550 °F, la

temperatura del ambiente de la cocina puede variar de 60 a 90 °F y el

coeficiente promedio de transferencia de calor entre la superficie del horno y

la cocina es de 2,5 BTU/hr-pie²-°F.

q

T2

T∞=60 - 90 ºF

T1

Nota: Se escoge la mayor temperatura para el medio, ya que esto nos

asegurará que sea cual sea la temperatura de este, el espesor de aislante

calculado garantizará una temperatura exterior no mayor a 120ºC

Datos:

T1= 550 ºF

T2= 120 ºF

T = 90ºF ∞Fpiehr

BTUhº

5,2 2 ⋅⋅=

Transferencia de calor por convección entre T2 y T∞ :

( )∞−= TThAq

2

( ) FFpiehr

BTUAq

º90120º

5,22

−⋅⋅=

275

piehr

BTUAq

⋅=

Entre T1 y T2 se transmite calor por conducción:

( )e

TTK

Aq 21 −=

( )e

FFpiehr

BTU

piehr

BTU º120550º

02,0752

−⋅=⋅

e = 0,115 pie

6. Un gas a 450 °K fluye en el interior de una tubería de acero, número de

lista 40 (K = 45 W/m-K), de 2,5 pulg. de diámetro. La tubería está aislada

con 60 mm de un revestimiento que tiene un valor medio de K = 0,0623

W/m-K. El coeficiente convectivo de transferencia de calor del gas en el

interior de la tubería es 40 W/m²-K y el coeficiente convectivo en el interior

del revestimiento es 10. La temperatura del aire es 320 °K.

D nominal = 2 pulg.

D externo = 2,375 pulg.

D interno = 2,067 pulg.

Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en m de tubería.

320ºk

q

450ºk

mpu

mpur 0263,0

21085,0

lg10254,0

lg067,2int ==⋅=

mpu

mpurext 0301,0

20603,0

lg10254,0

lg375,2 ==⋅=

mrrev 09,006,003,0 =+=

total

total

R

Tq

∆=

HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2

WKm

HmKm

WAhRgas

º151,0

20263,0º

40

11

20

=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= π Convección

WKm

HKm

WHK

rr

Racero

º100,5

2º

45

026,003,0

ln

2

ln41

2

−×=⋅⋅⋅⋅⎟⎠⎞⎜⎝

⎛=⋅⋅⋅

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛= ππ Conducción

WKm

HKm

WHK

r

r

Raislante

º8,2

2º

0623,0

03,009,0

ln

2

ln1

2

=⋅⋅⋅⋅⎟⎠⎞⎜⎝

⎛=⋅⋅⋅

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛= ππ Conducción

WKm

HmKm

WAhRaire

º176,0

209,0º

10

11

20

=⋅⋅⋅⋅=⋅= π Convección

( )( )W

KmK

Hq

º176,08,20,5151,0

º320450

4 +++−=

−

q = 41,53 W/m

7. En el interior de una tubería de acero (K = 45 W/m-K) de 2,0 pulg. de

diámetro, fluye agua a temperatura promedio de 70°F, mientras en el

exterior se condensa vapor de agua a 220 °F. El coef iciente convectivo del

agua en el interior de la tubería es h = 500 BTU/hr-pie²-°F y el coeficiente

del condensado de vapor en el exterior es h = 1600 W/m²-K.

Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en pies.

Datos: Diámetro interno: 2.0pulg radio interno: 0.083pie

Diámetro externo: 2.4pulg radio externo.0.0996pie

h interno = 500 BTU/hr-pie²-°F

h externo = 1600 W/m²-K. =282BTU/hr-pie2-ºF

K = 45 W/m-K =26 BTU/hr-pie-ºF

Solución:

)2

1()

2

ln()

2

1(

)( 12

ee

ei

ii hrk

rr

hr

TT

H

q

×××+××+×××−=

πππ

convección conducción convección

Donde:

re : radio externo del cilindro

ri : radio interno del cilindro

T2: temperatura del vapor de agua condensado

T1: temperatura del agua

Resistencia del agua por convección:

Btu

Fpie

Fpie

Btupie

º1083.3)

º500083.02

1( 3

2

−×=×××π

Resistencia del acero por conducción:

Btu

Fpie

Fpiehr

Btupie

pieLn

º1012,1)

º262

)083.0

0996.0(

( 3−×=−××π

Resistencia del condensado de vapor (conducción):

Btu

Fpie

Fpie

Btupie

º1067.5

º2820996.02

1 3

2

−×=×××π

Al reemplazar todas las resistencias en la ecuación se obtiene la

perdida de calor por unidad de longitud:

Btu

Fpie

Btu

Fpie

Btu

FpieF

H

qº

1067.5º

1012,1º

1083.3

)º70220(

333 −−− ×+×+×−=

piehr

BTU

H

q

×= 3.14124

8. Calcular el flujo de calor a través de la pared mostrada en la fig.

Suponiendo que este es unidimensional.

Datos:

T1 = 50ºC

T2 = 20ºC

Ka =200 W/mºC

Kb =50 W/mºC

Kc =40 W/mºC

Kd =90 W/mºC

Area transversal = 1m2

Area B = 0.5m2

Area C = 0.5m2

Solución:

Calculo del flujo de calor a través de la pared

Formula general: eqR

T

A

q ∆= Req = Ra + Rbc + Rd

Calculo de Resistencias en series (R a y Rd):

W

C

mCmW

m

AK

eR

aa

aa

º100.5

1º200

01.0 52

−×=×=⋅=

W

C

mCmW

m

AK

eR

dd

dd

º1022.2

1º90

02.0 42

−×=×=⋅=

Calculo de Resistencias en paralelo (R b y Rc):

cbBC RRR

111 +=

c

cc

b

bb

bc e

Ak

e

Ak

R

×+×=1

m

mCmW

m

mCmW

Rbc 03.0

5.0)º(40

03.0

5.0)º(501 22 ×+×=

CWRbc º9.1499

11 =

W

CRbc

º1067.6 4−×=

W

CxxxReq

º1039.91067.61022.2100.5 4445 −−−− ×=++=

Reemplazo en la formula para el cálculo del flujo de calor:

q = wCº1039.9

C)º2050(4−×

−

q = 31948.9 w

9. Una pared de un horno es construida de ladrillos que tienen dimensiones

comunes 9 x 4 1/2 x 3 pulgadas. Se dispone de dos clases de material: uno

que tiene una temperatura útil límite de 1900 °F y una conductividad térmica

de 1 BTU/hr-pie-°F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 1600°F

y una conductividad térmica de 0,5. Los ladrillos tienen el mismo costo y

pueden colocarse de cualquier forma, pero se desea construir la pared más

económica para un horno con una temperatura del lado caliente de 1900°F

y del lado frío de 400 °F. Si la cant idad máxima permisible de transferencia

de calor es 300 BTU/hr-pie² de área, determinar el arreglo más económico

para los ladrillos disponibles.

0,25pie

q 0,75pie

400ºF 0,35pie

1900ºF

1.- Tº útil límite = 1900ºF; K= 1 BTU/ hr pie ºF

2.- Tº útil límite = 1600ºF; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

Respuesta: si se tienen dos tipos de ladrillos de distinta conductividad

térmica, para economizar en ladrillos, lo ideal es utilizar aquellos que tengan

la menor conductividad térmica, pero en este caso, no es posible utilizar los

ladrillos de conductividad térmica 0,5 BTU/ hr pie ºF, en el interior del horno,

ya que solo resisten una temperatura de 1600ºF y la temperatura al interior

del horno es de 1900ºF, por esta razón utilizaremos en el interior del horno

los ladrillos de conductividad térmica=1 BTU/ hr pie ºF, y posteriormente

utilizaremos los otros.

q= 300 BTU/ hr pie2

eTT

KAq 21 −⋅=

( )pie

FTFpiehr

BTUpiehr

BTU75,0

º1900º1300 2

2

−⋅⋅⋅=⋅

T2=1675 ºF

( )pie

FTFpiehr

BTUpiehr

BTU25,0

º1675º1300 2

2

−⋅⋅⋅=⋅

T2 =1600 ºF

( )e

FFpiehr

BTUpiehr

BTU º4001600º5,0300

2

−⋅⋅⋅=⋅

e = 2 pie

Se necesitarán 2 corridas de ladrillos de K = 1 BTU/ hr pie ºF, y 4 corridas

de ladrillos de; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

10. Para la pared compuesta representada en la figura adjunta, asumiendo

una transferencia de calor unidireccional y sabiendo que:

Area A = 1 pie²

Area B = Area E

Area C = AreaD=2

AreaE

KA = 100 BTU/hr - pie - °F;

KB = 20 BTU/hr - pie - °F;

KC = 60 BTU/hr - pie - °F;

KD = 40 BTU/hr - pie - °F;

KE = 80 BTU/hr - pie - °F;

KF = 100 BTU/hr - pie - °F;

a) Encontrar el flujo de calor .

Solución

Calculo de áreas:

Espesor de A = piepu

piepu 332.0

lg083.0lg4 =×

Espesor de F y C = piepu

piepu 1666.0

lg083.0lg2 =×

Espesor de D = piepu

piepu 664.0

lg083.0lg8 =×

Espesor de B y E = piepu

piepu 833.0

lg0833.0lg0.1 =×

Según la figura:

Area A = AreaB + AreaC+ AreaE

1pie2 = Area E+2

AreaE+Area E

Area E = 0.4 pie2

Por lo tanto:

Area C = 2

AreaE

Area C= 2

4.0 2pie

Area C= 0.2pie2

Area B =Area E

Area D= Area C

Cálculo de Resistencias en series:

dd

d

cc

cdc Ak

e

Ak

eRR ×+×=+

22 2.0º

40

6664.0

2.0º

60

1666.0

pieFhrpie

Btupie

pieFhrpie

Btupie

RR dc ×+

×=+

Fhr

Btu

Fhr

BtuRR dc º

0833.0º

0138.0 +=+

Fhr

BtuRR dc º

0971.0=+

Cálculo de Resistencias en paralelo:

EEEbbbEDCb Ake

Fhr

BtuAkeRRRR ×++×=+++ 1

º0971.0

11111

pieFhrpie

Btupie

Fhr

Btupie

Fhrpie

BtupieRRRR EDCb 4.0

º80833.0

1

º0971.0

1

4.0º

20833.0

1111

×++

×=+++

Btu

Fhr

mCmW

m

Ak

eR

aa

aa

º10332.3

1º100

332.0 32

−×=×=×=

Btu

Fhr

mCmW

m

Ak

eR

FF

FF

º10666.1

1º100

1666.0 32

−×=×=×=

Btu

Fhr

pieFhrpie

BtuAhR

i

º045.0

2.2º

10

11

22

=×

=×=∞

Btu

Fhr

pieFhrpie

BtuAhR

º033.0

2.2º

15

11

22

22 =

×=×=∞

La sumatoria de todas las resistencias es:

Fhr

BTURtotal º

1.0=

El flujo de calor de la pared co mpuesta se calcula a partir de la

ecuación:

Fhr

BtuF

R

Tq

total

º1.0

)º50110( −=∆= hr

BTUq 600=

b) Encontrar la temperatura en la interfase de las paredes C y D.

Nota:

En la figura se observa que las paredes C y D que se encuentran en serie

están en paralelo con las paredes B y D, por lo tanto para poder calcular la

temperatura entre ambas paredes es necesario primero calcular las

temperaturas en las superficies de la figura. Siguiendo los siguientes pasos:

Cálculo de T s1: (en la superficie por el lado A)

)( 11 STTAhq −××= ∞

Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

)º110(2.2º

10600 12

2 STFpieFhrpie

Btu

hr

Btu −××=

Despejando T S1

FTS º73.821 =

Calculo de T S2 (en la superficie por el lado F)

)( 22 ∞−××= TTAhq S

Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

)º50(2.2º

10600 22

2FTpie

Fhrpie

Btu

hr

BtuS −××=

Despejando T S2

FTS º18.682 =

Con las temperaturas de las superficies se calcula ∆T

21 SS TTT −=∆

FFT º55.14)º18.6873.82( =−=∆

El calor que pasa sobre las paredes es:

ECDB qqqq ++=

EEECDBBB Ake

T

R

T

Ake

Tq ×

∆+∆+×∆=

hr

Btu

Fhr

BtuF

R

Tq

CDCD 85.149

º0971.0

º55.14 ==∆=

Con el cálculo de qCD se puede obtener la temperatura en la interfase

de las paredes C y D.

D

S

E

SCD R

TT

R

TTq

)()( 21 −=−=

Fhr

BtuTF

hr

Btu

º0138.0

º73.8285.149

−=

FT º66.80=