guia para prueba 2 civil

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA ECUACIONES DIFERENCIALES

FACULTAD CIENCIAS BSICAS CM -472

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS PRIMER SEMESTRE 2015

GUA DE EJERCICIOS 3

Ecuaciones diferenciales lineales y Sistemas Masa-Resorte

1. Use el mtodo de reduccin de orden para encontrar una segunda solucin 2 ( )y x de

las siguientes ecuaciones diferenciales homogneas, a partir de 1( )y x ( solucin

conocida):

a) 116 0, cos(4 )y y y x b) 2 /3

19 12 4 0,xy y y y e

c) (1 2 2) + 2(1 + ) 2 = 0, 1 = + 1

d) 212 0, sin(ln( ))x y xy y y x x

2. Forme las ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes, y obtenga sus soluciones generales, dadas las ecuaciones caractersticas:

a) 2 3 2 0m m b) 5 0m

c) 2(2 + 1)3 = 0 d) ( 1)3( + 2)2(2 + + 1)2 = 0

3. Forme las ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes, conociendo las races de sus ecuaciones caractersticas y escriba sus soluciones

generales:

a) 1 21, 3m m b) 1 2 32 , 2 , 2m i m i m c) 1 2 3 41, 2 3 , 2 3m m m i m i

4. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes, determine: la ecuacin caracterstica asociada, el conjunto fundamental

de soluciones y la solucin general:

a) 2

23 2 0

d y dyy

dx dx b)

2

24 4 0

d y dyy

dx dx c)

2

20

d yy

dx

d) 2

22 2 0

d y dyy

dx dx e)

3

30

d yy

dx f)

3 2

3 20

d y d y dyy

dx dx dx

g) 4

40

d yy

dx h)

3 2

3 22 3 0

d y d y dy

dx dx dx i)

4 2

4 23 4 0

d y d yy

dx dx

5. Resuelva los siguientes PVI:

a) + 2 + = 0 , (0) = 1, (0) = 3 b) 2 + 2 = 0 , () = , () = 0




6. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ,

determine una solucin particular py , mediante el mtodo de coeficientes

indeterminados y la solucin general:

a) 2

2

22 15 (15 4 13)

d y dyy x x

dx dx b)

2

2sin( ) cos( )

d yy x x

dx

c) 2

2

22 x x

d y dyy e e

dx dx

d) 2

4

24 x

d y dyxe

dx dx

e) 2 24 sin( )xy y xe x x f) 4 2

2

4 24 8(6 5)

d y d yx

dx dx

7. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes,

determine una solucin particular py mediante el mtodo de variacin de parmetros

y la solucin general:

a) 2( ) xy y y x x e b) 2 sin( ),y k y bx k b

c) 2 5 (2 sin(2 ))xy y y e x x d) 1

3 21 x

y y ye

e) 2 ln( )xy y y e x f) tan( )y y x

8. Un cuerpo que pesa 19,6 N se suspende (verticalmente) del extremo de un resorte, lo cual hace que el resorte se alargue 10 cm de su longitud natural. Luego, se desplaza el

cuerpo 50 cm por encima de su posicin de equilibrio y se suelta. Considerando que

el valor de la aceleracin de la gravedad es g = 9,8 m/2, determinar la ecuacin del movimiento.

9. En equilibrio, un objeto de 64 lb estira un resorte 4 pies y est unido a un amortiguador cuya constante de amortiguamiento es 8 lb seg/pie. Inicialmente se desplaza 18 pulgadas arriba de

la posicin de equilibrio con velocidad hacia abajo de 4 pie/seg.

(a) Encuentre su posicin en cualquier instante.

(b) Determine el tiempo en que alcanza por primera vez su posicin de equilibrio.

10. A un resorte que cuelga del techo se le adosa una masa de 2 kg la que lo estira en 20 cm. A continuacin, la masa se suelta desde 5cm por debajo de la posicin de equilibrio y

simultneamente se le aplica una fuerza externa F (t) = 3/10cos(t) N. Si el sistema masa-

resorte est inmerso en medio que proporciona un amortiguamiento igual a 5 veces la

velocidad instantnea:

(a) Encuentre la posicin de la masa en cualquier instante t.

(b) Determine el comportamiento de la solucin cuando t crece.

Nota: Aceleracin de gravedad = 10.




11. Una masa de 1/ 2 slug estira un resorte de 4 pies y el medio que rodea el sistema masa-resorte ofrece una resistencia al movimiento numricamente igual a 4,5 veces la

velocidad instantnea. El peso se suelta 6 pulgadas por debajo de la posicin de

equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 0 pies/seg. Que valores puede tener 0 para que la masa pase por la posicin de equilibrio?

12. Un resorte horizontal se encuentra fijo en su extremo izquierdo. Se le agrega un carrito de 2 Kg en su extremo derecho el que se mueve horizontalmente sobre una

superficie sin roce de ninguna especie. Si a partir de la posicin de equilibrio x = 0, al

carrito se le aplica una fuerza de 0,5 N , el resorte se contrae 10 cm. Si de la posicin

descrita el carrito se suelta, determine en que instante pasa por tercera vez por la

posicin de equilibrio y con que velocidad lo hace.

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